О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей
В данной работе изучается одна из классических проблем геометрической теории функций об экстремальном разбиении комплексной плоскости.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140899 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей / И.Я. Дворак // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 2. — С. 157-166. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140899 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1408992018-07-18T01:24:08Z О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей Дворак, И.Я. В данной работе изучается одна из классических проблем геометрической теории функций об экстремальном разбиении комплексной плоскости. In this paper one quite general problem of geometric function theory on extremal decomposition of complex plane is consider. 2016 Article О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей / И.Я. Дворак // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 2. — С. 157-166. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC: 30C75 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140899 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В данной работе изучается одна из классических проблем геометрической теории функций об экстремальном разбиении комплексной плоскости. |
| format |
Article |
| author |
Дворак, И.Я. |
| spellingShingle |
Дворак, И.Я. О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей Український математичний вісник |
| author_facet |
Дворак, И.Я. |
| author_sort |
Дворак, И.Я. |
| title |
О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей |
| title_short |
О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей |
| title_full |
О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей |
| title_fullStr |
О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей |
| title_full_unstemmed |
О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей |
| title_sort |
о внутренних радиусах симметричных неналегающих областей |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140899 |
| citation_txt |
О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей / И.Я. Дворак // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 2. — С. 157-166. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT dvorakiâ ovnutrennihradiusahsimmetričnyhnenalegaûŝihoblastej |
| first_indexed |
2025-07-10T11:30:11Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:30:11Z |
| _version_ |
1837259310138130432 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 13 (2016), № 2, 157 – 166
О внутренних радиусах симметричных
неналегающих областей
Инна Я. Дворак
(Представлена В.Я. Гутлянским)
Аннотация. В данной работе изучается одна из классических про-
блем геометрической теории функций об экстремальном разбиении
комплексной плоскости.
2010 MSC. 30C75.
Ключевые слова и фразы. Внутренний радиус области, непере-
секающиеся области, лучевые системы точек, разделяющее преобра-
зование, квадратичный дифференциал, функция Грина.
1. Обозначения и определения
Пусть N, R — множество натуральных и вещественных чисел, со-
ответственно, C — комплексная плоскость, C = C
⋃{∞} — расширен-
ная комплексная плоскость или сфера Римана, R+ = (0,∞). Пусть
r(B, a) — внутренний радиус области B ⊂ C, относительно точки
a ∈ B (см., например, [1–5]). Внутренний радиус области B связан с
обобщенной функцией Грина gB(z, a) области B соотношением
gB(z, a) = − ln |z − a|+ ln r(B, a) + o(1), z → a,
gB(z,∞) = ln |z|+ ln r(B, a) + o(1), z → ∞.
Систему точок An := { ak ∈ C, k = 1, n}, n ∈ N, n > 2 назовем
n-лучевой, если |ak| ∈ R+ при k = 1, n}, 0 = arg a1 < arg a2 < . . . <
arg an < 2π.
Введем обозначения Pk = Pk(An) := {w : arg ak < argw < arg ak+1},
an+1 := a1, αk :=
1
π
arg
ak+1
ak
, αn+1 := α1, k = 1, n,
n∑
k=1
αk = 2.
Статья поступила в редакцию 15.06.2016
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
158 О внутренних радиусах симметричных...
Системой непересекающихся областей называется конечный на-
бор произвольных областей {Bk}nk=1, n ∈ N, n > 2 таких, что Bk ⊂ C,
Bk ∩Bm = ∅, k 6= m, k,m = 1, n.
Данная работа базируется на применении кусочно-разделяющего
преобразования, развитого в [2, с. 48–50], [4, с. 120]. Пусть ζ = πk(w)
обозначает ту однозначную ветвь многозначной аналитической функ-
ции −i
(
e−iθkw
) 1
αk , k = 1, n, которая осуществляет однолистное и кон-
формное отображение Pk на правую полуплоскость Re ζ > 0.
2. Постановка задачи
В данной работе рассматривается задача об экстремизации функ-
ционала
In(γ) = [r (B0, 0)]
γ
n∏
k=1
r (Bk, ak) , (1)
при γ > 0, n > 2, на множестве всех систем взаимно непересе-
кающихся областей {Bk}n+1
k=0 , таких, что ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n,
0 ∈ B0 ∈ U [1, 6, 7].
Отметим, что если области Bk, k = 1, n, симметричны относи-
тельно окружности |ak| = 1 и область B0 ⊂ U , то с помощью не
сложных преобразований задачу об экстремизации функционала (1)
(см. [3, с. 59]) можно привести к изучению следующего функционала
Jn
(γ
2
)
= rγ/2 (B0, 0) r
γ/2 (B∞,∞)
n∏
k=1
r (Bk, ak) .
В данной работе получены оценки функционала Jn(γ) на более
широком интервале значений параметра γ, по сравнению с работами
[2–5,8, 9].
3. Результаты и доказательства
Теорема 1. Пусть n ∈ N, n > 2, 0 < δ 6 δn, δ2 = 0, 73, δ3 = 1, 41,
δ4 = 2, 29, δ5 = 3, 36, δ6 = 4, 62, δn = 0, 08n2, n > 7. Тогда для
любой n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1, |ak| = 1, и любого
набора взаимно непересекающихся областей {Bk}nk=1, 0 ∈ B0 ∈ C,
∞ ∈ B∞ ∈ C, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, причем области Bk обладают
симметрией относительно окружности |ak| = 1 при всех k = 1, n,
справедливо неравенство
rδ (B0, 0) r
δ (B∞,∞)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6 rδ (Λ0, 0) r
δ (Λ∞,∞)
n∏
k=1
r (Λk, λk) ,
И. Я. Дворак 159
где области Λ0, Λ∞, Λk, и точки 0, ∞, λk, k = 1, n, есть круговые
области и, соответственно, полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw
2n + (2n2 − 2γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2. (2)
Доказательство. Рассмотрим введенную ранее систему функций
ζ = πk(w) = −i
(
e−iθkw
) 1
αk , k = 1, n. Пусть Ω
(1)
k , k = 1, n, обознача-
ет область плоскости ζ, полученную в результате объединения связ-
ной компоненты множества πk(Bk
⋂
P k), содержащей точку πk(ak),
со своим симметричным отражением относительно мнимой оси. В
свою очередь, через Ω
(2)
k , k = 1, n, обозначаем область плоскости Cζ ,
полученную в результате объединения связной компоненты множе-
ства πk(Bk+1
⋂
P k), содержащей точку πk(ak+1), со своим симметрич-
ным отражением относительно мнимой оси, Bn+1 := B1, πn(an+1) :=
πn(a1). Кроме того, Ω(0)
k будет обозначать область плоскости Cζ , по-
лученную в результате объединения связной компоненты множества
πk(B0
⋂
P k), содержащей точку ζ = 0, со своим симметричным отра-
жением относительно мнимой оси. Семейство {Ω(∞)
k }nk=1 является ре-
зультатом разделяющего преобразования произвольной области B∞
относительно семейств {Pk}nk=1 и {πk}nk=1 в точке ζ = ∞. Обозна-
чим πk(ak) := ω
(1)
k , πk(ak+1) := ω
(2)
k , k = 1, n, πn(an+1) := ω
(2)
n . Из
определения функций πk вытекает, что
|πk(w)− ω
(1)
k | ∼ 1
αk
|ak|
1
αk
−1 · |w − ak|, w → ak, w ∈ Pk,
|πk(w)− ω
(2)
k | ∼ 1
αk
|ak+1|
1
αk
−1 · |w − ak+1|, w → ak+1, w ∈ Pk,
|πk(w)| ∼ |w|
1
αk , w → 0, w ∈ Pk,
|πk(w)| ∼ |w|
1
αk , w → ∞, w ∈ Pk.
Тогда, используя соответствующие результаты работ [2,3], имеем не-
равенства
r (Bk, ak) 6
r
(
Ω
(1)
k , ω
(1)
k
)
· r
(
Ω
(2)
k−1, ω
(2)
k−1
)
1
αk
|ak|
1
αk
−1 · 1
αk−1
|ak|
1
αk−1
−1
1
2
, (3)
r (B0, 0) 6
[
n∏
k=1
rα
2
k
(
Ω
(0)
k , 0
)] 1
2
, (4)
160 О внутренних радиусах симметричных...
r (B∞,∞) 6
[
n∏
k=1
rα
2
k
(
Ω
(∞)
k ,∞
)] 1
2
. (5)
Условия реализации знака равенства в неравенствах (3)–(5) полно-
стью описаны в работе [2, с. 29]. На основании этих соотношений
получаем неравенство
Jn(δ) 6
n∏
k=1
(
r
(
Ω
(0)
k , 0
)
r
(
Ω
(∞)
k ,∞
)) δα
2
k
2
(
r
(
Ω
(1)
k
,ω
(1)
k
)
·r
(
Ω
(2)
k
,ω
(2)
k
)
(
1
αk
)2
(|ak||ak+1|)
1
αk
−1
) 1
2
.
Далее, из последнего соотношения имеем
Jn(δ) 6
(
n∏
k=1
αk
)
×
n∏
k=1
{
r
(
Ω
(1)
k , ω
(1)
k
)
r
(
Ω
(2)
k , ω
(2)
k
)(
r
(
Ω
(0)
k , 0
)
r
(
Ω
(∞)
k ,∞
))δα2
k
} 1
2
,
где |ω(1)
k | = |ak|
1
αk , |ω(2)
k | = |ak+1|
1
αk , |ω(1)
k − ω
(2)
k | = |ak|
1
αk + |ak+1|
1
αk .
Каждое выражение, стоящее в фигурных скобках последнего нера-
венства, является значением функционала
Wτ = [r (B0, 0) r (B∞,∞)]τ
2
r (B1, a1) r (B2, a2) (6)
на системе неналегающих областей {Ω(0)
k ,Ω
(1)
k ,Ω
(2)
k ,Ω
(∞)
k }, и соответ-
ствующей системе точек {0, ω(1)
k , ω
(2)
k ,∞} (k = 1, n). На основании
утверждения работы [3, с. 60] и инвариантности функционала (6) по-
лучаем оценку
Wτ 6 Φ(τ), τ > 0,
где Φ(τ) = τ2τ
2 · |1− τ |−(1−τ)2 · (1 + τ)−(1+τ)2 . Тогда
Jn(δ) 6
(
1√
δ
)n
·
(
n∏
k=1
αk
√
δ
)[
n∏
k=1
Φ(τk)
]1/2
= δ−
n
2
[
n∏
k=1
(
τ
2τ2
k
+2
k · |1− τk|−(1−τk)
2 · (1 + τk)
−(1+τk)
2
)] 1
2
,
где τk =
√
δ · αk, k = 1, n. Пусть
S(x) = x2x
2+2 · |1− x|−(1−x)2 · (1 + x)−(1+x)2 и Ψ(x) = ln(S(x)).
И. Я. Дворак 161
S(x) — логарифмически выпуклая функция на промежутке [0, x0],
где x0 ≈ 0, 88441.
Далее, аналогично [3, 6], рассмотрим экстремальную задачу
n∏
k=1
S(xk) −→ max,
n∑
k=1
xk = 2
√
δ, xk = αk
√
δ.
Пусть X(0) =
{
x
(0)
k
}n
k=1
— произвольный экстремальный набор точек
выше указанной задачи. Следуя работе [6], имеет место соотношение
Ψ′(x(0)1 ) = Ψ′(x(0)2 ) = . . . = Ψ′(x(0)n ), (7)
где Ψ′(x) = 4x ln(x) − 2(x − 1) ln |x − 1| − 2(x + 1) ln(x + 1) + 2
x (см.
Рис. 1).
Рис. 1: График функции y = Ψ′(x)
На основании соотношения (7), аналогично [6], докажем, что
x
(0)
1 = x
(0)
2 = · · · = x
(0)
n .
Пусть Ψ′(x) = t, y0 6 t < 0, y0 ≈ −1, 06. Найдем решение уравне-
ния Ψ′(x) = tk, k = 1, 53. Для ∀tk ∈ [y0, 0) уравнение имеет два реше-
ния: x1(t) ∈ (0, x0], x2(t) ∈ (x0,∞]. Рассмотрим следующие значения
t: t1 = −0, 02, t2 = −0, 04, t3 = −0, 06, t4 = −0, 08, · · · , t52 = −1, 04,
t53 = y0. Непосредственные вычисления представлены в таблицах,
приведенных ниже.
162 О внутренних радиусах симметричных...
k
t k
x
1
(t
k
)
x
2
(t
k
)
x
1
(t
k
)
+
x
2
(t
k
+
1
)
2
x
1
(t
k
)
+
x
2
(t
k
+
1
)
3
x
1
(t
k
)
+
x
2
(t
k
+
1
)
4
x
1
(t
k
)
+
x
2
(t
k
+
1
)
5
x
1
(t
k
)
+
x
2
(t
k
+
1
)
1
-0
,0
2
0
,5
8
4
1
9
2
2
,6
0
7
6
7
7
2
-0
,0
4
0
,5
8
6
9
9
6
2
,0
9
5
4
3
1
2
,6
7
9
6
2
3
3
,2
6
3
8
1
4
3
,8
4
8
0
0
6
4
,4
3
2
1
9
8
5
,0
1
6
3
8
9
3
-0
,0
6
0
,5
8
9
8
3
3
1
,8
4
9
8
2
5
2
,4
3
6
8
2
0
3
,0
2
3
8
1
6
3
,6
1
0
8
1
1
4
,1
9
7
8
0
7
4
,7
8
4
8
0
2
4
-0
,0
8
0
,5
9
2
7
0
6
1
,6
9
6
6
5
9
2
,2
8
6
4
9
2
2
,8
7
6
3
2
5
3
,4
6
6
1
5
9
4
,0
5
5
9
9
2
4
,6
4
5
8
2
5
5
-0
,1
0
,5
9
5
6
1
4
1
,5
8
8
9
4
1
2
,1
8
1
6
4
7
2
,7
7
4
3
5
3
3
,3
6
7
0
5
9
3
,9
5
9
7
6
5
4
,5
5
2
4
7
0
6
-0
,1
2
0
,5
9
8
5
5
9
1
,5
0
7
7
1
0
2
,1
0
3
3
2
4
2
,6
9
8
9
3
8
3
,2
9
4
5
5
3
3
,8
9
0
1
6
7
4
,4
8
5
7
8
1
7
-0
,1
4
0
,6
0
1
5
4
2
1
,4
4
3
5
8
6
2
,0
4
2
1
4
5
2
,6
4
0
7
0
4
3
,2
3
9
2
6
3
3
,8
3
7
8
2
3
4
,4
3
6
3
8
2
8
-0
,1
6
0
,6
0
4
5
6
4
1
,3
9
1
3
0
4
1
,9
9
2
8
4
6
2
,5
9
4
3
8
8
3
,1
9
5
9
3
0
3
,7
9
7
4
7
3
4
,3
9
9
0
1
5
9
-0
,1
8
0
,6
0
7
6
2
6
1
,3
4
7
6
4
3
1
,9
5
2
2
0
7
2
,5
5
6
7
7
1
3
,1
6
1
3
3
5
3
,7
6
5
8
9
9
4
,3
7
0
4
6
3
1
0
-0
,2
0
,6
1
0
7
2
9
1
,3
1
0
4
9
9
1
,9
1
8
1
2
5
2
,5
2
5
7
5
1
3
,1
3
3
3
7
7
3
,7
4
1
0
0
3
4
,3
4
8
6
2
9
1
1
-0
,2
2
0
,6
1
3
8
7
6
1
,2
7
8
4
3
3
1
,8
8
9
1
6
3
2
,4
9
9
8
9
2
3
,1
1
0
6
2
2
3
,7
2
1
3
5
1
4
,3
3
2
0
8
1
1
2
-0
,2
4
0
,6
1
7
0
6
6
1
,2
5
0
4
2
1
1
,8
6
4
2
9
7
2
,4
7
8
1
7
2
3
,0
9
2
0
4
8
3
,7
0
5
9
2
4
4
,3
1
9
7
9
9
1
3
-0
,2
6
0
,6
2
0
3
0
2
1
,2
2
5
7
0
9
1
,8
4
2
7
7
5
2
,4
5
9
8
4
1
3
,0
7
6
9
0
6
3
,6
9
3
9
7
2
4
,3
1
1
0
3
8
1
4
-0
,2
8
0
,6
2
3
5
8
5
1
,2
0
3
7
2
9
1
,8
2
4
0
3
1
2
,4
4
4
3
3
3
3
,0
6
4
6
3
4
3
,6
8
4
9
3
6
4
,3
0
5
2
3
8
1
5
-0
,3
0
,6
2
6
9
1
7
1
,1
8
4
0
4
5
1
,8
0
7
6
3
0
2
,4
3
1
2
1
5
3
,0
5
4
7
9
9
3
,6
7
8
3
8
4
4
,3
0
1
9
6
9
1
6
-0
,3
2
0
,6
3
0
2
9
9
1
,1
6
6
3
1
3
1
,7
9
3
2
3
0
2
,4
2
0
1
4
6
3
,0
4
7
0
6
3
3
,6
7
3
9
8
0
4
,3
0
0
8
9
6
1
7
-0
,3
4
0
,6
3
3
7
3
4
1
,1
5
0
2
6
0
1
,7
8
0
5
5
9
2
,4
1
0
8
5
8
3
,0
4
1
1
5
7
3
,6
7
1
4
5
6
4
,3
0
1
7
5
6
1
8
-0
,3
6
0
,6
3
7
2
2
3
1
,1
3
5
6
6
4
1
,7
6
9
3
9
8
2
,4
0
3
1
3
3
3
,0
3
6
8
6
7
3
,6
7
0
6
0
1
4
,3
0
4
3
3
5
1
9
-0
,3
8
0
,6
4
0
7
7
0
1
,1
2
2
3
4
5
1
,7
5
9
5
6
9
2
,3
9
6
7
9
2
3
,0
3
4
0
1
6
3
,6
7
1
2
3
9
4
,3
0
8
4
6
3
2
0
-0
,4
0
,6
4
4
3
7
5
1
,1
1
0
1
5
3
1
,7
5
0
9
2
3
2
,3
9
1
6
9
2
3
,0
3
2
4
6
2
3
,6
7
3
2
3
1
4
,3
1
4
0
0
1
2
1
-0
,4
2
0
,6
4
8
0
4
1
1
,0
9
8
9
6
2
1
,7
4
3
3
3
7
2
,3
8
7
7
1
2
3
,0
3
2
0
8
6
3
,6
7
6
4
6
1
4
,3
2
0
8
3
5
2
2
-0
,4
4
0
,6
5
1
7
7
2
1
,0
8
8
6
6
8
1
,7
3
6
7
0
9
2
,3
8
4
7
5
0
3
,0
3
2
7
9
1
3
,6
8
0
8
3
2
4
,3
2
8
8
7
3
2
3
-0
,4
6
0
,6
5
5
5
6
9
1
,0
7
9
1
8
2
1
,7
3
0
9
5
3
2
,3
8
2
7
2
5
3
,0
3
4
4
9
6
3
,6
8
6
2
6
8
4
,3
3
8
0
3
9
2
4
-0
,4
8
0
,6
5
9
4
3
7
1
,0
7
0
4
2
7
1
,7
2
5
9
9
6
2
,3
8
1
5
6
5
3
,0
3
7
1
3
4
3
,6
9
2
7
0
3
4
,3
4
8
2
7
2
2
5
-0
,5
0
,6
6
3
3
7
8
1
,0
6
2
3
3
8
1
,7
2
1
7
7
5
2
,3
8
1
2
1
1
3
,0
4
0
6
4
8
3
,7
0
0
0
8
4
4
,3
5
9
5
2
1
2
6
-0
,5
2
0
,6
6
7
3
9
6
1
,0
5
4
8
6
0
1
,7
1
8
2
3
8
2
,3
8
1
6
1
5
3
,0
4
4
9
9
3
3
,7
0
8
3
7
0
4
,3
7
1
7
4
8
2
7
-0
,5
4
0
,6
7
1
4
9
5
1
,0
4
7
9
4
4
1
,7
1
5
3
4
0
2
,3
8
2
7
3
5
3
,0
5
0
1
3
1
3
,7
1
7
5
2
7
4
,3
8
4
9
2
2
И. Я. Дворак 163
k
t k
x
1
(t
k
)
x
2
(t
k
)
x
1
(t
k
)
+
x
2
(t
k
+
1
)
2
x
1
(t
k
)
+
x
2
(t
k
+
1
)
3
x
1
(t
k
)
+
x
2
(t
k
+
1
)
4
x
1
(t
k
)
+
x
2
(t
k
+
1
)
5
x
1
(t
k
)
+
x
2
(t
k
+
1
)
2
8
-0
,5
6
0
,6
7
5
6
8
0
1
,0
4
1
5
4
9
1
,7
1
3
0
4
4
2
,3
8
4
5
3
9
3
,0
5
6
0
3
3
3
,7
2
7
5
2
8
4
,3
9
9
0
2
3
2
9
-0
,5
8
0
,6
7
9
9
5
4
1
,0
3
5
6
3
9
1
,7
1
1
3
1
8
2
,3
8
6
9
9
8
3
,0
6
2
6
7
7
3
,7
3
8
3
5
7
4
,4
1
4
0
3
7
3
0
-0
,6
0
,6
8
4
3
2
5
1
,0
3
0
1
8
4
1
,7
1
0
1
3
8
2
,3
9
0
0
9
3
3
,0
7
0
0
4
7
3
,7
5
0
0
0
2
4
,4
2
9
9
5
6
3
1
-0
,6
2
0
,6
8
8
7
9
7
1
,0
2
5
1
5
7
1
,7
0
9
4
8
2
2
,3
9
3
8
0
7
3
,0
7
8
1
3
2
3
,7
6
2
4
5
7
4
,4
4
6
7
8
2
3
2
-0
,6
4
0
,6
9
3
3
7
7
1
,0
2
0
5
3
9
1
,7
0
9
3
3
6
2
,3
9
8
1
3
3
3
,0
8
6
9
3
0
3
,7
7
5
7
2
7
4
,4
6
4
5
2
4
3
3
-0
,6
6
0
,6
9
8
0
7
2
1
,0
1
6
3
1
3
1
,7
0
9
6
9
0
2
,4
0
3
0
6
7
3
,0
9
6
4
4
4
3
,7
8
9
8
2
0
4
,4
8
3
1
9
7
3
4
-0
,6
8
0
,7
0
2
8
9
0
1
,0
1
2
4
6
8
1
,7
1
0
5
4
0
2
,4
0
8
6
1
2
3
,1
0
6
6
8
4
3
,8
0
4
7
5
5
4
,5
0
2
8
2
7
3
5
-0
,7
0
,7
0
7
8
4
2
1
,0
0
8
9
9
9
1
,7
1
1
8
8
9
2
,4
1
4
7
8
0
3
,1
1
7
6
7
0
3
,8
2
0
5
6
0
4
,5
2
3
4
5
1
3
6
-0
,7
2
0
,7
1
2
9
3
6
1
,0
0
5
9
1
1
1
,7
1
3
7
5
3
2
,4
2
1
5
9
4
3
,1
2
9
4
3
6
3
,8
3
7
2
7
7
4
,5
4
5
1
1
9
3
7
-0
,7
4
0
,7
1
8
1
8
5
1
,0
0
3
2
2
8
1
,7
1
6
1
6
3
2
,4
2
9
0
9
9
3
,1
4
2
0
3
5
3
,8
5
4
9
7
1
4
,5
6
7
9
0
7
3
8
-0
,7
6
0
,7
2
3
6
0
4
1
,0
0
1
0
1
5
1
,7
1
9
2
0
0
2
,4
3
7
3
8
6
3
,1
5
5
5
7
1
3
,8
7
3
7
5
6
4
,5
9
1
9
4
2
3
9
-0
,7
8
0
,7
2
9
2
0
8
0
,9
9
9
4
5
7
1
,7
2
3
0
6
1
2
,4
4
6
6
6
5
3
,1
7
0
2
6
9
3
,8
9
3
8
7
4
4
,6
1
7
4
7
8
4
0
-0
,8
0
,7
3
5
0
1
7
0
,9
9
7
3
9
0
1
,7
2
6
5
9
8
2
,4
5
5
8
0
6
3
,1
8
5
0
1
5
3
,9
1
4
2
2
3
4
,6
4
3
4
3
1
4
1
-0
,8
2
0
,7
4
1
0
5
3
0
,9
9
4
7
9
7
1
,7
2
9
8
1
4
2
,4
6
4
8
3
1
3
,1
9
9
8
4
9
3
,9
3
4
8
6
6
4
,6
6
9
8
8
3
4
2
-0
,8
4
0
,7
4
7
3
4
5
0
,9
9
1
7
6
2
1
,7
3
2
8
1
5
2
,4
7
3
8
6
9
3
,2
1
4
9
2
2
3
,9
5
5
9
7
6
4
,6
9
7
0
2
9
4
3
-0
,8
6
0
,7
5
3
9
2
6
0
,9
8
8
2
9
5
1
,7
3
5
6
4
0
2
,4
8
2
9
8
5
3
,2
3
0
3
3
0
3
,9
7
7
6
7
5
4
,7
2
5
0
2
0
4
4
-0
,8
8
0
,7
6
0
8
3
8
0
,9
8
4
3
8
1
1
,7
3
8
3
0
7
2
,4
9
2
2
3
2
3
,2
4
6
1
5
8
4
,0
0
0
0
8
4
4
,7
5
4
0
0
9
4
5
-0
,9
0
,7
6
8
1
3
8
0
,9
7
9
9
8
2
1
,7
4
0
8
2
0
2
,5
0
1
6
5
9
3
,2
6
2
4
9
7
4
,0
2
3
3
3
5
4
,7
8
4
1
7
4
4
6
-0
,9
2
0
,7
7
5
8
9
6
0
,9
7
5
0
3
8
1
,7
4
3
1
7
6
2
,5
1
1
3
1
4
3
,2
7
9
4
5
1
4
,0
4
7
5
8
9
4
,8
1
5
7
2
6
4
7
-0
,9
4
0
,7
8
4
2
1
2
0
,9
6
9
4
6
1
1
,7
4
5
3
5
6
2
,5
2
1
2
5
2
3
,2
9
7
1
4
8
4
,0
7
3
0
4
4
4
,8
4
8
9
3
9
4
8
-0
,9
6
0
,7
9
3
2
2
8
0
,9
6
3
1
1
4
1
,7
4
7
3
2
6
2
,5
3
1
5
3
8
3
,3
1
5
7
5
0
4
,0
9
9
9
6
1
4
,8
8
4
1
7
3
4
9
-0
,9
8
0
,8
0
3
1
6
2
0
,9
5
5
7
8
7
1
,7
4
9
0
1
5
2
,5
4
2
2
4
3
3
,3
3
5
4
7
1
4
,1
2
8
6
9
9
4
,9
2
1
9
2
7
5
0
-1
0
,8
1
4
3
7
8
0
,9
4
7
1
2
0
1
,7
5
0
2
8
1
2
,5
5
3
4
4
3
3
,3
5
6
6
0
5
4
,1
5
9
7
6
6
4
,9
6
2
9
2
8
5
1
-1
,0
2
0
,8
2
7
5
8
5
0
,9
3
6
4
0
7
1
,7
5
0
7
8
5
2
,5
6
5
1
6
2
3
,3
7
9
5
4
0
4
,1
9
3
9
1
8
5
,0
0
8
2
9
5
5
2
-1
,0
4
0
,8
4
4
6
0
8
0
,9
2
1
8
2
8
1
,7
4
9
4
1
3
2
,5
7
6
9
9
8
3
,4
0
4
5
8
2
4
,2
3
2
1
6
7
5
,0
5
9
7
5
1
5
3
-1
,0
6
0
,8
8
4
4
0
6
0
,8
8
4
4
0
6
1
,7
2
9
0
1
5
2
,5
7
3
6
2
3
3
,4
1
8
2
3
2
4
,2
6
2
8
4
0
5
,1
0
7
4
4
8
164 О внутренних радиусах симметричных...
Учитывая свойства функции Ψ′(x) и условия теоремы, соответ-
ственно для n = 2, 6, получаем следующие неравенства
x1(t) + x2(t) > x1(tk) + x2(tk+1) > 1, 709336 > 2
√
δ2,
3∑
k=1
xk(t) > 2x1(tk) + x2(tk+1) > 2, 381211 > 2
√
δ3,
4∑
k=1
xk(t) > 3x1(tk) + x2(tk+1) > 3, 032086 > 2
√
δ4,
5∑
k=1
xk(t) > 4x1(tk) + x2(tk+1) > 3, 670601 > 2
√
δ5,
6∑
k=1
xk(t) > 5x1(tk) + x2(tk+1) > 4, 300896 > 2
√
δ6,
где tk 6 t 6 tk+1, k = 1, 52. Таким образом, имеем, что для экс-
тремального набора X(0) возможен только случай, когда
{
x
(0)
k
}n
k=1
∈
(0, x0], x0 ≈ 0, 88441, n = 2, 6, и, следовательно, x(0)1 = x
(0)
2 = · · · =
x
(0)
n .
Для произвольного n ≥ 7 имеет место неравенство
(n− 1)x1 + x2 > 2
√
δn, δn = 0, 08n2.
Отсюда nx1+(x2−x1) > 0, 56n. Из графика функции Ψ′(x) следу-
ет, что всегда справедливо соотношение (x1 − 0, 56)n+ (x2 − x1) > 0
для n ≥ 7. Утверждение о знаке равенства проверяется непосред-
ственно.
Пусть
min((n− 1)x1 + x2) = µ0n = 2
√
δ0n, δ0n = (µ0n/2)
2.
Тогда для ∀δ ∈ (0, δn] такого, что δn < δ0n, выполняется соотношение
δ < (µ0n/2)
2. Теорема 1 доказана.
Согласно теореме 1 имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть n ∈ N, n > 2, 0 < δ 6 δn, δ2 = 0, 73, δ3 = 1, 41,
δ4 = 2, 29, δ5 = 3, 36, δ6 = 4, 62, и δn = 0, 08n2, n > 7. Тогда для
любой n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1, |ak| = 1, и любого
набора взаимно непересекающихся областей Bk, 0 ∈ B0 ∈ U , ∞ ∈
B∞ ∈ C\U , ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, причем области Bk обладают
И. Я. Дворак 165
симметрией относительно окружности |ak| = 1 при всех k = 1, n,
справедливо неравенство
rδ (B0, 0) r
δ (B∞,∞)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6 rδ (Λ0, 0) r
δ (Λ∞,∞)
n∏
k=1
r (Λk, λk) ,
где области Λ0, Λ∞, Λk, и точки 0, ∞, λk, k = 1, n, есть круговые
области и, соответственно, полюсы квадратичного дифференциала
(2).
Согласно пункту 2, получаем утверждение:
Теорема 3. Пусть n ∈ N, n > 2, 0 < γ 6 γn, γ2 = 1, 46, γ3 = 2, 82,
γ4 = 4, 58, γ5 = 6, 72, γ6 = 9, 24 и γn = 0, 16n2, n > 7. Тогда для
любых различных точек единичной окружности |ak| = 1, и любого
набора взаимно непересекающихся областей Bk, a0 = 0 ∈ B0 ⊂ U ,
ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, причем области Bk обладают симметрией
относительно окружности |ak| = 1 при всех k = 1, n, справедливо
неравенство
[r (B0, 0)]
γ
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6 [r (Λ0, 0)]
γ
n∏
k=1
r (Λk, λk) ,
где области Λ0, Λk, и точки 0, λk, k = 1, n, есть круговые области
и, соответственно, полюсы квадратичного дифференциала (2).
Литература
[1] Г. П. Бахтина, О конформных радиусах симметричных неналегающих обла-
стей // Современ. вопр. веществен. и комплексн. анализа, Киев, Ин-т матем.
АН УССР (1984), 21–27.
[2] В. Н. Дубинин, Метод симметризации в геометрической теории функций
комплексного переменного // Успехи мат. наук, 49 (1994), № 1 (295), 3–76.
[3] В. Н. Дубинин, Разделяющее преобразование областей и задачи об экстре-
мальном разбиении // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР,
168 (1988), 48–66.
[4] В. Н. Дубинин, Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической
теории функций комплексного переменного, Владивосток, “Дальнаука” ДВО
РАН, 2009, 390 с.
[5] А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Ю. Б. Зелинский, Тополого-алгебраические
структуры и геометрические методы в комплексном анализе // Працi iн-ту
мат-ки НАНУ, 2008, 308 c.
[6] Л. В. Ковалев, К задаче об экстремальном разбиении со свободными полю-
сами на окружности // Дальневосточный матем. сборник, 2 (1996), 96–98.
166 О внутренних радиусах симметричных...
[7] Л. В. Ковалев, О внутренних радиусах симметричных неналегающих обла-
стей // Изв. вузов. Серия Математика, 6 (2000), 80–81.
[8] Г. В. Кузьмина, К вопросу об экстремальных свойствах квадратичных диф-
ференциалов с концевыми областями в структуре траекторий // Зап. на-
учн. сем. ЛОМИ, 168 (1988), 98–113.
[9] Г. В. Кузьмина, Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы //
Зап. научн. семин. ПОМИ, 276 (2001), 253–275.
[10] М. А. Лаврентьев, К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат.
ин-та АН СССР, 5 (1934), 159–245.
[11] Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного,
М., Наука, 1966, 628 с.
[12] Дж. А. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отображения, М.,
Издательство иностр.лит., 1962, 256 с.
Сведения об авторах
Инна Ярославовна
Дворак
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: dvorakinna@gmail.com
|