О моногенных отображениях кватернионной переменной

В работе [1] рассмотрен класс, так называемых, G-моногенных (дифференцируемых по Гато) кватернионных отображений. В этой работе введены кватернионные H-моногенные (дифференцируемые по Хаусдорфу) отображения и установлена связь между G-моногенными и H-моногенными отображениями. Доказана эквивалентнос...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автори:	Шпаковский, В.С., Кузьменко, Т.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2016
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140903
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О моногенных отображениях кватернионной переменной / В.С. Шпаковский, Т.С. Кузьменко // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 2. — С. 270-289. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-140903
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1409032018-07-18T01:23:58Z О моногенных отображениях кватернионной переменной Шпаковский, В.С. Кузьменко, Т.С. В работе [1] рассмотрен класс, так называемых, G-моногенных (дифференцируемых по Гато) кватернионных отображений. В этой работе введены кватернионные H-моногенные (дифференцируемые по Хаусдорфу) отображения и установлена связь между G-моногенными и H-моногенными отображениями. Доказана эквивалентность разных определений G-моногенного отображения. In the last paper we consider a new class of quaternionic mappings, so-called, G-monogenic (differentiable in the sense of Gateaux) mappings. In the present paper the quaternionic H-monogenic (differentiable in the sense of Hausdorff) mappings are introduced and the relation between G-monogenic and H-monogenic mappings is established. The equivalence of different definitions of G-monogenic mapping is proved. 2016 Article О моногенных отображениях кватернионной переменной / В.С. Шпаковский, Т.С. Кузьменко // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 2. — С. 270-289. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC: 30G35, 57R35 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140903 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В работе [1] рассмотрен класс, так называемых, G-моногенных (дифференцируемых по Гато) кватернионных отображений. В этой работе введены кватернионные H-моногенные (дифференцируемые по Хаусдорфу) отображения и установлена связь между G-моногенными и H-моногенными отображениями. Доказана эквивалентность разных определений G-моногенного отображения.
format	Article
author	Шпаковский, В.С. Кузьменко, Т.С.
spellingShingle	Шпаковский, В.С. Кузьменко, Т.С. О моногенных отображениях кватернионной переменной Український математичний вісник
author_facet	Шпаковский, В.С. Кузьменко, Т.С.
author_sort	Шпаковский, В.С.
title	О моногенных отображениях кватернионной переменной
title_short	О моногенных отображениях кватернионной переменной
title_full	О моногенных отображениях кватернионной переменной
title_fullStr	О моногенных отображениях кватернионной переменной
title_full_unstemmed	О моногенных отображениях кватернионной переменной
title_sort	о моногенных отображениях кватернионной переменной
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140903
citation_txt	О моногенных отображениях кватернионной переменной / В.С. Шпаковский, Т.С. Кузьменко // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 2. — С. 270-289. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT špakovskijvs omonogennyhotobraženiâhkvaternionnojperemennoj AT kuzʹmenkots omonogennyhotobraženiâhkvaternionnojperemennoj
first_indexed	2025-07-10T11:30:51Z
last_indexed	2025-07-10T11:30:51Z
_version_	1837259349381087232
fulltext	Український математичний вiсник Том 13 (2016), № 2, 270 – 289 О моногенных отображениях кватернионной переменной Виталий С. Шпаковский, Татьяна С. Кузьменко (Представлена В.Я. Гутлянским) Аннотация. В работе [1] рассмотрен класс, так называемых, G- моногенных (дифференцируемых по Гато) кватернионных отобра- жений. В этой работе введены кватернионные H-моногенные (диф- ференцируемые по Хаусдорфу) отображения и установлена связь между G-моногенными и H-моногенными отображениями. Доказана эквивалентность разных определений G-моногенного отображения. 2010 MSC. 30G35, 57R35. Ключевые слова и фразы. Алгебра комплексных кватернионов, G-моногенные отображения, теорема Морера, H-моногенные отоб- ражения. 1. Введение Проблеме определения аналитической функции в ассоциативных (коммутативных или некоммутативных) алгебрах посвящено много работ (см., например, [1–23]). В частности, в работах [15–23] указан- ная проблема рассматривается в алгебре кватернионов. В то же время в кватернионном анализе осталось незамеченным определение аналитической функции по Хаусдорфу (H-аналитичес- кой) [3], не смотря на то, что в работах [4, 9–12] предпринимались некоторые попытки построения теории H-аналитических функций в общей ассоциативной алгебре. Так, Ф. Ринглеб в работе [4] развивает теорию H-аналитических функций в произвольной конечномерной полупростой (т. е., являю- щейся прямой суммой простых подалгебр) алгебре над полем дей- ствительных чисел R. При этом он рассматривает функции, опреде- ленные и принимающие значения во всей алгебре. Статья поступила в редакцию 26.05.2016 Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Украины (проект “Моногенные функции в банаховых алгебрах и краевые задачи анализа и математической физики”). ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України В. Шпаковский, Т. Кузьменко 271 Развивая идеи Хаусдорфа, С. Воловельская в работе [9] определя- ет H-аналитические функции в области алгебры из некоторого клас- са конечномерных неполупростых алгебр над полем R и описывает общий вид таких функций. В заметке М. Дегтеревой [10] показано, что в коммутативной ал- гебре над R дифференцируемость по Хаусдорфу совпадает с диффе- ренцируемостью по Шефферсу (см. [2]). В. Портман [11] определяет производную от H-аналитической функции в ассоциативных алгеб- рах над полем комплексных чисел C и исследует вопрос о ее соотно- шении с некоторыми другими определениями производной. В работе Р. Ринехарта и Дж. Вилсона [12] вводится класс функ- ций, в некотором смысле дифференцируемых в любой ассоциативной алгебре над полем R или C, и изучается вопрос о соотношении меж- ду этими функциями и H-аналитическими функциями на различных классах алгебр. В нашей работе [1] в алгебре комплексных кватернионов был опре- делен класс G-моногенных (дифференцируемых по Гато) отображе- ний. Там же установлено конструктивное описание всех отображений из этого класса с помощью четырех аналитических функций ком- плексной переменной. В работе [24] для G-моногенных отображений доказаны аналоги интегральной теоремы Коши для криволинейного и поверхностного интеграла и интегральной формулы Коши. Кроме того, в статье [25] получены разложения G-моногенных отображений в ряды Тейлора и Лорана, а также проведено классификацию особых точек рассматриваемых отображений. В этой работе мы вводим класс H-моногенных (дифференцируе- мых по Хаусдорфу) отображений в алгебре комплексных кватернио- нов и устанавливаем связь между G-моногенными и H-моногенными отображениями. Кроме того, доказывается теорема об эквивалентно- сти разных определений G-моногенного отображения. 2. Алгебра комплексных кватернионов Пусть H(C) — алгебра кватернионов над полем комплексных чи- сел C, базис которой состоит из единицы алгебры 1 и элементов I, J,K, для которых выполняются правила умножения: I2 = J2 = K2 = −1, IJ = −JI = K, JK = −KJ = I, KI = −IK = J. В алгебре H(C) существует другой базис {e1, e2, e3, e4}: e1 = 1 2 (1 + iI), e2 = 1 2 (1− iI), e3 = 1 2 (iJ −K), e4 = 1 2 (iJ +K), 272 О моногенных отображениях кватернионной... где i — мнимая комплексная единица. Таблица умножения в новом базисе принимает следующий вид (см., например, [26]) · e1 e2 e3 e4 e1 e1 0 e3 0 e2 0 e2 0 e4 e3 0 e3 0 e1 e4 e4 0 e2 0 , при этом единица алгебры представляется в виде 1 = e1+e2. Очевид- но, что коммутативная подалгебра с базисом {e1, e2} является алгеб- рой бикомплексных чисел или алгеброй коммутативних кватернионов Сегре [27]. Напомним (см., например, [28, c. 64]), что подмножество I ⊂ H(C) называется левым (или правым) идеалом, если из условия x ∈ I сле- дует yx ∈ I (или xy ∈ I) для любого y ∈ H(C). Теперь отметим, что алгебра H(C) содержит два правых макси- мальных идеала I1 := {λ2e2 + λ4e4 : λ2, λ4 ∈ C}, I2 := {λ1e1 + λ3e3 : λ1, λ3 ∈ C} и два левых максимальных идеала Î1 := {λ2e2 + λ3e3 : λ2, λ3 ∈ C}, Î2 := {λ1e1 + λ4e4 : λ1, λ4 ∈ C}. Следствием очевидных равенств I1 ∩ I2 = Î1 ∩ Î2 = 0, I1 ∪ I2 = Î1 ∪ Î2 = H(C) является разложение в прямую сумму: H(C) = I1 ⊕ I2 = Î1 ⊕ Î2. Определим линейные функционалы f1 : H(C) → C и f2 : H(C) → C, полагая f1(e1) = f1(e3) = 1, f1(e2) = f1(e4) = 0, f2(e2) = f2(e4) = 1, f2(e1) = f2(e3) = 0, при этом очевидно f1(I1) = f2(I2) = 0. Определим также линейные функционалы f̂1 : H(C) → C и f̂2 : H(C) → C, полагая f̂1(e1) = f̂1(e4) = 1, f̂1(e2) = f̂1(e3) = 0, f̂2(e2) = f̂2(e3) = 1, f̂2(e1) = f̂2(e4) = 0, для которых очевидно f̂1(Î1) = f̂2(Î2) = 0. Отметим, что указанные функционалы являются непрерывными и в некотором смысле мультипликативными (см. [1]). В. Шпаковский, Т. Кузьменко 273 3. G-моногенные отображения Пусть i1 = 1, i2 = a1e1 + a2e2, i3 = b1e1 + b2e2 (3.1) при ak, bk ∈ C, k = 1, 2 — тройка линейно независимых векторов над полем R. Это означает, что равенство α1i1 + α2i2 + α3i3 = 0, α1, α2, α3 ∈ R выполняется тогда и только тогда, когда α1 = α2 = α3 = 0. Выделим в алгебре H(C) линейную оболочку E3 := {ζ = xi1 + yi2 + zi3 : x, y, z ∈ R} над полем R, порожденную векторами i1, i2, i3. Введем обозначения ξ1 := f1(ζ) = f̂1(ζ) = x+ ya1 + zb1, ξ2 := f2(ζ) = f̂2(ζ) = x+ ya2 + zb2. Теперь элемент ζ ∈ E3 может быть представлен в виде ζ = ξ1e1+ξ2e2. Множеству S ⊂ R3 поставим в соответствие множество Sζ := {ζ = xi1 + yi2 + zi3 : (x, y, z) ∈ S} в E3. Пусть Ω — область в R3. В работе [1] предложено следующее опре- деление. Непрерывное отображение Φ : Ωζ → H(C) (или Φ̂ : Ωζ → H(C)) на- зывается право-G-моногенным ( или лево-G-моногенным ) в области Ωζ ⊂ E3, если Φ ( или Φ̂ ) дифференцируемо по Гато в каждой точке этой области, т. е., если для каждого ζ ∈ Ωζ существует элемент Φ′(ζ)( или Φ̂′(ζ) ) алгебры H(C) такой, что выполняется равенство lim ε→0+0 ( Φ(ζ + εh)− Φ(ζ) ) ε−1 = hΦ′(ζ) ∀h ∈ E3 (3.2) ( или lim ε→0+0 ( Φ̂(ζ + εh)− Φ̂(ζ) ) ε−1 = Φ̂′(ζ)h ∀h ∈ E3 ) . При этом Φ′(ζ) называется правой производной Гато отображения Φ, а Φ̂′(ζ) — левой производной Гато отображения Φ̂ в точке ζ . Рассмотрим разложение отображения Φ : Ωζ → H(C) по базису {e1, e2, e3, e4}: Φ(ζ) = 4∑ k=1 Uk(x, y, z)ek. (3.3) 274 О моногенных отображениях кватернионной... В предположении, что функции Uk : Ω → C являются R-дифферен- цируемыми в области Ω, т. е. во всех точках (x, y, z) ∈ Ω выполняются соотношения Uk(x+∆x, y +∆y, z +∆z)− Uk(x, y, z) = ∂Uk ∂x ∆x+ ∂Uk ∂y ∆y + ∂Uk ∂z ∆z + o (√ (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 ) , (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 → 0, в теореме 1 из [1] установлены необходимые и достаточные усло- вия право-G-моногенности отображения Φ (или лево-G-моногенности отображения Φ̂) (аналоги условий Коши–Римана), которые всюду в области Ωζ в свернутом виде выражаются равенствами ∂Φ ∂y = i2 ∂Φ ∂x , ∂Φ ∂z = i3 ∂Φ ∂x (3.4) ( или ∂Φ̂ ∂y = ∂Φ̂ ∂x i2 , ∂Φ̂ ∂z = ∂Φ̂ ∂x i3 ) . (3.5) Из леммы 2 работы [1] вытекает, что точки (x, y, z) ∈ R3, соот- ветствующие необратимым элементам ζ = xi1 + yi2 + zi3, лежат на прямых L1 : x+ yℜ a1 + zℜ b1 = 0, yℑ a1 + zℑ b1 = 0, L2 : x+ yℜ a2 + zℜ b2 = 0, yℑ a2 + zℑ b2 = 0 в трехмерном пространстве R3. Обозначим через fk(E3) при k = 1, 2 — образ множества E3 при отображении fk. Отметим, что существенным для дальнейшего изло- жения является предположение f1(E3) = f2(E3) = C. Очевидно, что оно имеет место тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел в каждой из пар (a1, b1), (a2, b2) принадлежит C \ R. Пусть D1 и D2 — области в C, на которые область Ωζ отобража- ется соответственно функционалами f1 и f2. В теореме 5 из [1] описаны все право-G-моногенные отображе- ния, определенные в области Ωζ и принимающие значения в алгебре H(C), с помощью аналитических функций комплексной переменной. А именно, если область Ω ⊂ R3 выпукла в направлении прямых L1, L2 и f1(E3) = f2(E3) = C, то каждое право-G-моногенное отображе- ние Φ : Ωζ → H(C) представляется в виде Φ(ζ) = F1(ξ1)e1 + F2(ξ2)e2 + F3(ξ1)e3 + F4(ξ2)e4 (3.6) В. Шпаковский, Т. Кузьменко 275 ∀ ζ = xi1 + yi2 + zi3 ∈ Ωζ , где F1, F3 — некоторые аналитические в области D1 функции пере- менной ξ1 = x + ya1 + zb1, а F2, F4 — некоторые аналитические в области D2 функции переменной ξ2 = x+ ya2 + zb2. При таких же предположениях, каждое лево-G-моногенное отоб- ражение Φ̂ : Ωζ → H(C) представляется в виде Φ̂(ζ) = F̂1(ξ1)e1 + F̂2(ξ2)e2 + F̂3(ξ2)e3 + F̂4(ξ1)e4, (3.7) где F̂1, F̂4 — некоторые аналитические в области D1 функции пере- менной ξ1 = x + ya1 + zb1, а F̂2, F̂3 — некоторые аналитические в области D2 функции переменной ξ2 = x+ ya2 + zb2. Отметим, что производная Гато право-G-моногенного отображе- ния Φ(ζ) (или лево-G-моногенного отображения Φ̂(ζ)) вычисляется по формуле Φ′(ζ) = F ′ 1(ξ1)e1 + F ′ 2(ξ2)e2 + F ′ 3(ξ1)e3 + F ′ 4(ξ2)e4 ( или Φ̂′(ζ) = F̂ ′ 1(ξ1)e1 + F̂ ′ 2(ξ2)e2 + F̂ ′ 3(ξ2)e3 + F̂ ′ 4(ξ1)e4 ) . Используя представления (3.6), (3.7), в работе [25] получены раз- ложения G-моногенных отображений в ряды Тейлора. Если f1(E3) = f2(E3) = C и ζ0 := x0i1 + y0i2 + z0i3 ∈ Ωζ , то каждое право-G- моногенное отображение Φ : Ωζ → H(C) представляется в виде суммы сходящегося степенного ряда Φ(ζ) = ∞∑ n=0 (ζ − ζ0) n pn, pn ∈ H(C), (3.8) а каждое лево-G-моногенное отображение Φ̂ : Ωζ → H(C) — в виде суммы сходящегося степенного ряда: Φ̂(ζ) = ∞∑ n=0 p̂n (ζ − ζ0) n, p̂n ∈ H(C). (3.9) 4. Теорема Морера Рассмотрим алгебру H̃(R) с базисом {ek, iek}4k=1 над полем дей- ствительных чисел R, которая изоморфна алгебре H(C) над полем комплексных чисел C. Очевидно, что в алгебре H̃(R) существует ба- зис {ik}8k=1, где векторы i1, i2, i3 те же, что и в соотношениях (3.1). 276 О моногенных отображениях кватернионной... Для элемента a := 8∑ k=1 akik, ak ∈ R определим евклидову норму ‖a‖ := √√√√ 8∑ k=1 a2k . Соответственно, ‖ζ‖ = √ x2 + y2 + z2 и ‖i1‖ = ‖i2‖ = ‖i3‖ = 1. В силу теоремы об эквивалентности норм, для произвольного эле- мента b := 4∑ k=1 (b1k + ib2k)ek, b1k, b2k ∈ R, выполняются неравенства \|b1k + ib2k\| ≤ √√√√ 4∑ k=1 (b21k + b22k) ≤ c‖b‖, (4.1) где c — положительная постоянная, не зависящая от b. Пусть γ — жорданова спрямляемая кривая в R3. Для непрерывной функции Ψ : γζ → H(C) вида Ψ(ζ) = 4∑ k=1 Uk(x, y, z)ek + iVk(x, y, z)ek, (4.2) где (x, y, z) ∈ γ и Uk : γ → R, Vk : γ → R, определим интегралы по жордановой спрямляемой кривой γζ равенствами ∫ γζ dζΨ(ζ) := 4∑ k=1 ek ∫ γ Uk(x, y, z)dx+ 4∑ k=1 i2ek ∫ γ Uk(x, y, z)dy + 4∑ k=1 i3ek ∫ γ Uk(x, y, z)dz + i 4∑ k=1 ek ∫ γ Vk(x, y, z)dx +i 4∑ k=1 i2ek ∫ γ Vk(x, y, z)dy + i 4∑ k=1 i3ek ∫ γ Vk(x, y, z)dz В. Шпаковский, Т. Кузьменко 277 и ∫ γζ Ψ(ζ)dζ := 4∑ k=1 ek ∫ γ Uk(x, y, z)dx+ 4∑ k=1 eki2 ∫ γ Uk(x, y, z)dy + 4∑ k=1 eki3 ∫ γ Uk(x, y, z)dz + i 4∑ k=1 ek ∫ γ Vk(x, y, z)dx + i 4∑ k=1 eki2 ∫ γ Vk(x, y, z)dy + i 4∑ k=1 eki3 ∫ γ Vk(x, y, z)dz, где dζ := dx+ i2dy + i3dz. Лемма 4.1. Если γ — замкнутая жорданова спрямляемая кривая в R3 и функция Ψ : γζ → H(C) непрерывна, то ∥∥∥∥∥ ∫ γζ dζ Ψ(ζ) ∥∥∥∥∥ ≤ c ∫ γζ ‖Ψ(ζ)‖‖dζ‖ (4.3) и ∥∥∥∥∥ ∫ γζ Ψ(ζ) dζ ∥∥∥∥∥ ≤ c ∫ γζ ‖Ψ(ζ)‖‖dζ‖, (4.4) где c — абсолютная положительная постоянная. Доказательство. Используя представление функции Ψ в виде (4.2), получаем оценку ∥∥∥∥∥ ∫ γζ dζΨ(ζ) ∥∥∥∥∥ ≤ 4∑ k=1 ‖i1ek‖ ∫ γ \|Uk(x, y, z) + iVk(x, y, z)\| dx + 4∑ k=1 ‖i2ek‖ ∫ γ \|Uk(x, y, z) + iVk(x, y, z)\| dy + 4∑ k=1 ‖i3ek‖ ∫ γ \|Uk(x, y, z) + iVk(x, y, z)\| dz. Принимая во внимание неравенство (4.1) при b = Ψ(ζ) и неравенства ‖isek‖ ≤ cs, s = 1, 2, 3, где cs — абсолютные положительные посто- янные, получаем оценку (4.3). Аналогично устанавливается оценка (4.4). Лемма доказана. 278 О моногенных отображениях кватернионной... Под треугольником ∆ будем понимать плоскую фигуру ограни- ченную тремя отрезками, соединяющими три его вершины. Через ∂∆ обозначим границу треугольника ∆ в относительной топологии его плоскости. Используя лемму 4.1 для отображений, принимающих значения в алгебре H(C), по стандартной схеме доказывается следующий аналог теоремы Морера. Теорема 4.1. Пусть f1(E3) = f2(E3) = C. Если отображение Φ : Ωζ → H(C) (или Φ̂ : Ωζ → H(C)) непрерывно в области Ωζ и удовле- творяет равенству ∫ ∂∆ζ dζ Φ(ζ) = 0 (4.5)  или ∫ ∂∆ζ Φ̂(ζ) dζ = 0   (4.6) для каждого треугольника ∆ζ такого, что замыкание ∆ζ ⊂ Ωζ , то отображение Φ право-G-моногенное ( или Φ̂ — лево-G-моногенное ) в области Ωζ . 5. H−моногенные отображения Ф. Хаусдорф [3] предложил определение аналитической функции в любой ассоциативной (коммутативной или некоммутативной) ал- гебре A над полем C с единицей, которое может быть сформулирова- но следующим образом. Гиперкомплексная функция f(η) = n∑ k=1 fk(η1, . . . , ηn)ek , (5.1) где ek — базисные элементы алгебры A, называетсяH-аналитической функцией переменной η := n∑ k=1 ηkek, если компоненты fk из разложе- ния (5.1) являются аналитическими функциями комплексных пере- менных η1, . . . , ηn и дифференциал df := n∑ k=1 dfk(η1, . . . , ηn)ek = n∑ j,k=1 ∂fk ∂ηj dηj ek (5.2) В. Шпаковский, Т. Кузьменко 279 является линейным однородным полиномом дифференциала dη := n∑ k=1 dηk ek, т. е. df = n2∑ s=1 As dη Bs , (5.3) где As и Bs — некоторые A-значные функции. При этом значение f ′(η) := n2∑ s=1 AsBs называют производной Хау- сдорфа функции f(η). Отметим, что в работе [4] при определенииH-аналитической функ- ции в ассоциативной алгебре над полем R, предполагается аналитич- ность действительнозначных компонент fk из разложения (5.1), а в работе [12] рассматриваются ассоциативные алгебры над полями R или C и предполагается лишь существование частных производных ∂fk ∂ηj при всех j, k = 1, 2, . . . , n. Подчеркнем, что свойство H-аналитичноcти функции не зависит от выбора базиса алгебры. Кроме того, если функции f(η) и g(η) H-аналитические, то функции f(η) + g(η) и f(η) · g(η) также H- аналитические, при этом d(f + g) = df + dg и d(f · g) = df · g + f · dg (см. [4, 11]). Теперь реализуем подход Хаусдорфа к отображениям переменной ζ = xi1 + yi2 + zi3. Непрерывное отображение Φ : Ωζ → H(C) вида (3.3) будем назы- вать H-моногенным в области Ωζ ⊂ E3, если Φ дифференцируемо по Хаусдорфу в каждой точке ζ ∈ Ωζ , т. е. если компоненты отображе- ния (3.3) имеют частные производные первого порядка по перемен- ным x, y, z, и формальный дифференциал отображения dΦ := 4∑ k=1 ( ∂Uk ∂x dx+ ∂Uk ∂y dy + ∂Uk ∂z dz ) ek (5.4) является линейным однородным полиномом от дифференциала dζ = dx+ i2dy + i3dz, т. е. dΦ = 16∑ s=1 As dζ Bs , (5.5) где As, Bs — некоторые H(C)-значные функции. Отметим, что если частные производные первого порядка функ- ций Uk при k = 1, 2, 3, 4 существуют и непрерывны, то формальный дифференциал (5.4) будет полным дифференциалом отображения Φ, т. е. является главной частью приращения этого отображения. 280 О моногенных отображениях кватернионной... Как и выше, Φ′ H(ζ) := 16∑ s=1 AsBs назовем производной Хаусдорфа отображения Φ(ζ). Покажем, что определение производной Φ′ H является коррект- ным. Теорема 5.1. Если отображение Φ : Ωζ → H(C) является H-моно- генным в области Ωζ , то его производная Φ′ H существует и не за- висит от выбора функций As, Bs в равенстве (5.5), при этом Φ′ H(ζ) = ∂Φ ∂x . Доказательство. Вследствие H-моногенности отображения Φ вы- полняется равенство 16∑ s=1 AsdζBs = 4∑ k=1 ( ∂Uk ∂x dx+ ∂Uk ∂y dy + ∂Uk ∂z dz ) ek . (5.6) Пусть As = as1e1 + as2e2 + as3e3 + as4e4 , (5.7) Bs = bs1e1 + bs2e2 + bs3e3 + bs4e4 для s = 1, 2, . . . , 16. Учитывая равенство dζ = (dx+ a1dy + b1dz)e1 + (dx+ a2dy + b2dz)e2 и (5.7), получаем: AsdζBs = (as1e1 + as2e2 + as3e3 + as4e4) ( (dx+ a1dy + b1dz)e1 +(dx+ a2dy + b2dz)e2 ) (bs1e1 + bs2e2 + bs3e3 + bs4e4) = ( as1bs1(dx+ a1dy + b1dz) + as3bs4(dx+ a2dy + b2dz) ) e1 + ( as2bs2(dx+ a2dy + b2dz) + as4bs3(dx+ a1dy + b1dz) ) e2 + ( as1bs3(dx+ a1dy + b1dz) + as3bs2(dx+ a2dy + b2dz) ) e3 + ( as2bs4(dx+ a2dy + b2dz) + as4bs1(dx+ a1dy + b1dz) ) e4 . (5.8) Следствием равенств (5.6) и (5.8) являются соотношения ∂U1 ∂x = 16∑ s=1 as1bs1 + as3bs4 , ∂U2 ∂x = 16∑ s=1 as2bs2 + as4bs3 , (5.9) В. Шпаковский, Т. Кузьменко 281 ∂U3 ∂x = 16∑ s=1 as1bs3 + as3bs2 , ∂U4 ∂x = 16∑ s=1 as2bs4 + as4bs1 . С учетом равенств (5.7), имеем Φ′ H(ζ) := 16∑ s=1 AsBs = 16∑ s=1 ( (as1bs1 + as3bs4)e1 +(as2bs2 + as4bs3)e2 + (as1bs3 + as3bs2)e3 + (as2bs4 + as4bs1)e4 ) , откуда, принимая во внимание соотношения (5.9), получаем Φ′ H(ζ) = ∂U1 ∂x e1 + ∂U2 ∂x e2 + ∂U3 ∂x e3 + ∂U4 ∂x e4 = ∂Φ ∂x . Теорема доказана. Теорема 5.2. Если отображения Φ : Ωζ → H(C) и Ψ : Ωζ → H(C) являются H-моногенными в области Ωζ , то произведение Φ ·Ψ так- же является H-моногенным отображением в Ωζ , при этом d(Φ ·Ψ) = dΦ ·Ψ+Φ · dΨ. Доказательство. Пусть Φ(ζ) = 4∑ k=1 Uk(x, y, z)ek , Ψ(ζ) = 4∑ k=1 Vk(x, y, z)ek . Тогда dΦ = 4∑ k=1 ( ∂Uk ∂x dx+ ∂Uk ∂y dy + ∂Uk ∂z dz ) ek , dΨ = 4∑ k=1 ( ∂Vk ∂x dx+ ∂Vk ∂y dy + ∂Vk ∂z dz ) ek и d(Φ ·Ψ) = d ( U1V1 + U3V4 ) e1 + d ( U2V2 + U4V3 ) e2 +d ( U1V3 + U3V2 ) e3 + d ( U2V4 + U4V1 ) e4 = [( ∂U1 ∂x V1 + ∂V1 ∂x U1 + ∂U3 ∂x V4 + ∂V4 ∂x U3 ) dx + ( ∂U1 ∂y V1 + ∂V1 ∂y U1 + ∂U3 ∂y V4 + ∂V4 ∂y U3 ) dy 282 О моногенных отображениях кватернионной... + ( ∂U1 ∂z V1 + ∂V1 ∂z U1 + ∂U3 ∂z V4 + ∂V4 ∂z U3 ) dz ] e1 + [( ∂U2 ∂x V2 + ∂V2 ∂x U2 + ∂U4 ∂x V3 + ∂V3 ∂x U4 ) dx + ( ∂U2 ∂y V2 + ∂V2 ∂y U2 + ∂U4 ∂y V3 + ∂V3 ∂y U4 ) dy + ( ∂U2 ∂z V2 + ∂V2 ∂z U2 + ∂U4 ∂z V3 + ∂V3 ∂z U4 ) dz ] e2 + [( ∂U1 ∂x V3 + ∂V3 ∂x U1 + ∂U3 ∂x V2 + ∂V2 ∂x U3 ) dx + ( ∂U1 ∂y V3 + ∂V3 ∂y U1 + ∂U3 ∂y V2 + ∂V2 ∂y U3 ) dy + ( ∂U1 ∂z V3 + ∂V3 ∂z U1 + ∂U3 ∂z V2 + ∂V2 ∂z U3 ) dz ] e3 + [( ∂U2 ∂x V4 + ∂V4 ∂x U2 + ∂U4 ∂x V1 + ∂V1 ∂x U4 ) dx + ( ∂U2 ∂y V4 + ∂V4 ∂y U2 + ∂U4 ∂y V1 + ∂V1 ∂y U4 ) dy + ( ∂U2 ∂z V4 + ∂V4 ∂z U2 + ∂U4 ∂z V1 + ∂V1 ∂z U4 ) dz ] e4. Преобразуем полученное выражение к следующему виду: ( V1 ∂U1 ∂x dx+ V1 ∂U1 ∂y dy + V1 ∂U1 ∂z dz + V4 ∂U3 ∂x dx+ V4 ∂U3 ∂y dy + V4 ∂U3 ∂z dz ) e1 + ( V2 ∂U2 ∂x dx+ V2 ∂U2 ∂y dy + V2 ∂U2 ∂z dz + V3 ∂U4 ∂x dx+ V3 ∂U4 ∂y dy + V3 ∂U4 ∂z dz ) e2 + ( V3 ∂U1 ∂x dx+ V3 ∂U1 ∂y dy + V3 ∂U1 ∂z dz + V2 ∂U3 ∂x dx+ V2 ∂U3 ∂y dy + V2 ∂U3 ∂z dz ) e3 В. Шпаковский, Т. Кузьменко 283 + ( V4 ∂U2 ∂x dx+ V4 ∂U2 ∂y dy + V4 ∂U2 ∂z dz + V1 ∂U4 ∂x dx+ V1 ∂U4 ∂y dy + V1 ∂U4 ∂z dz ) e4 + ( U1 ∂V1 ∂x dx+ U1 ∂V1 ∂y dy + U1 ∂V1 ∂z dz + U4 ∂V3 ∂x dx+ U4 ∂V3 ∂y dy + U4 ∂V3 ∂z dz ) e1 + ( U2 ∂V2 ∂x dx+ U2 ∂V2 ∂y dy + U2 ∂V2 ∂z dz + U3 ∂V4 ∂x dx+ U3 ∂V4 ∂y dy + U3 ∂V4 ∂z dz ) e2 + ( U3 ∂V1 ∂x dx+ U3 ∂V1 ∂y dy + U3 ∂V1 ∂z dz + U2 ∂V3 ∂x dx+ U2 ∂V3 ∂y dy + U2 ∂V3 ∂z dz ) e3 + ( U4 ∂V2 ∂x dx+ U4 ∂V2 ∂y dy + U4 ∂V2 ∂z dz + U1 ∂V4 ∂x dx+ U1 ∂V4 ∂y dy + U1 ∂V4 ∂z dz ) e4 , откуда будем иметь ( V1dU1 + V4dU3 ) e1 + ( V2dU2 + V3dU4 ) e2 + ( V3dU1 + V2dU3 ) e3 + ( V4dU2 + V1dU4 ) e4 + ( U1dV1 + U3dV4 ) e1 + ( U2dV2 + U4dV3 ) e2 + ( U1dV3 + U3dV2 ) e3 + ( U2dV4 + U4dV1 ) e4 = dΦ ·Ψ+Φ · dΨ. Теорема доказана. В силу теоремы 5.2 множествоH-моногенных отображений со зна- чениями в алгебре H(C) образует функциональную алгебру, посколь- ку произведение двух H-моногенных отображений также является H-моногенным отображением. В следующей теореме устанавливается связь между G-моноген- ными и H-моногенными отображениями. Теорема 5.3. Каждое право-G-моногенное отображение Φ : Ωζ → H(C) и каждое лево-G-моногенное отображение Φ̂ : Ωζ → H(C) в области Ωζ являются H-моногенными отображениями в этой об- ласти. 284 О моногенных отображениях кватернионной... Доказательство. Пусть Φ : Ωζ → H(C) — право-G-моногенное отоб- ражение. Тогда существование частных производных первого поряд- ка от компонент отображения Φ вытекает из существования произ- водной Гато (равенство (3.2)). Покажем теперь, что дифференциал dΦ = ∂Φ ∂x dx+ ∂Φ ∂y dy + ∂Φ ∂z dz (5.10) представим в виде (5.5). С этой целью заметим, что следствием равенства (5.10) и условий (3.4) является равенство dΦ = ( dx+ i2dy + i3dz )∂Φ ∂x = dζ Φ′(ζ), т. е. представление вида (5.5), в котором A1 = 1, B1 = Φ′(ζ). Аналогично устанавливается, что следствием равенства (5.10) при Φ = Φ̂ и условий (3.5) является равенство dΦ̂ = Φ̂′(ζ)dζ, т. е. снова представление вида (5.5), в котором A1 = Φ̂′(ζ), B1 = 1. Теорема доказана. Поскольку право- и лево-G-моногенные отображения являются H-моногенными, то их произведения также являются H-моногенны- ми отображениями. Поэтому следствием теорем 5.2, 5.3 и представ- лений (3.6), (3.7) является следующее утверждение. Следствие 5.1. Пусть область Ω ⊂ R3 является выпуклой в на- правлении прямых L1, L2 и f1(E3) = f2(E3) = C. Тогда H-моноген- ными в области Ωζ являются отображения Φ(ζ) · Φ̂(ζ) = ( F1(ξ1)F̂1(ξ1) + F3(ξ1)F̂4(ξ1) ) e1 + ( F2(ξ2)F̂2(ξ2) + F4(ξ2)F̂3(ξ2) ) e2 + ( F1(ξ1)F̂3(ξ2) + F3(ξ1)F̂2(ξ2) ) e3 + ( F2(ξ2)F̂4(ξ1) + F4(ξ2)F̂1(ξ1) ) e4, Φ̂(ζ) · Φ(ζ) = ( F̂1(ξ1)F1(ξ1) + F̂3(ξ2)F4(ξ2) ) e1 + ( F̂2(ξ2)F2(ξ2) + F̂4(ξ1)F3(ξ1) ) e2 + ( F̂1(ξ1)F3(ξ1) + F̂3(ξ2)F2(ξ2) ) e3 + ( F̂2(ξ2)F4(ξ2) + F̂4(ξ1)F1(ξ1) ) e4, где аналитические функции Fk, F̂k определены в равенствах (3.6), (3.7). В. Шпаковский, Т. Кузьменко 285 В то же время существуют H-моногенные отображения, не явля- ющиеся ни право-G-моногенными, ни лево-G-моногенными. Пример 5.1. Отображение h(ζ) = (eξ1 + ξ22) e1 + ξ1 sin ξ2 e2 + ξ22 e3 + eξ1 e4 является H-моногенным в пространстве E3, но не является ни лево- G-моногенным, ни право-G-моногенным. Действительно, дифферен- циал этого отображения представляется в виде (5.5): dh = eξ1e1dζe1 + ξ1 cos ξ2 e2 dζe2 + 2ξ2 e3 dζe2 +eξ1 e4 dζe1 + 2ξ2 e3 dζ e4 + sin ξ2 e4 dζ e3. Однако отображение h не представляется ни в виде (3.6), ни в виде (3.7). H-моногенное отображение Φ, дифференциал которого представ- ляется в виде dΦ = dζ Φ′ H(ζ) (5.11) будем называть право-H-моногенным, а H-моногенное отображение Φ̂, дифференциал которого представляется в виде dΦ̂ = Φ̂′ H(ζ)dζ (5.12) — лево-H-моногенным в области Ωζ . Установим необходимые и достаточные условия G-моногенности отображения. Теорема 5.4. Пусть компоненты Uk : Ω → C отображения (3.3) являются R-дифференцируемыми в области Ω. Отображение Φ : Ωζ → H(C) является право-G-моногенным тогда и только тогда, когда оно — право-H-моногенное, а отображение Φ̂ : Ωζ → H(C) является лево-G-моногенным тогда и только тогда, когда оно — лево-H-моногенное. Доказательство. Необходимость доказана при доказательстве тео- ремы 5.3. Докажем достаточность. Пусть отображение Φ — право-H- моногенное, т. е. выполняется равенство (5.11). Следствием равенств (5.10) и (5.11) является равенство ∂Φ ∂x dx+ ∂Φ ∂y dy + ∂Φ ∂z dz = dζΦ′ H(ζ). 286 О моногенных отображениях кватернионной... С учетом выражений Φ′ H(ζ) = ∂Φ ∂x и dζ = dx + i2dy + i3dz имеем тождество ∂Φ ∂x dx+ ∂Φ ∂y dy + ∂Φ ∂z dz = ∂Φ ∂x dx+ i2 ∂Φ ∂x dy + i3 ∂Φ ∂x dz, следствием которого являются условия Коши–Римана (3.4). Тогда по теореме 1 из [1] отображение Φ — право-G-моногенное. Аналогично рассматривается случай лево-H-моногенного отобра- жения. Теорема доказана. Из теоремы 5.4 и теоремы 5 из [1] вытекает Следствие 5.2. Если область Ω ⊂ R3 является выпуклой в направ- лении прямых L1, L2 и f1(E3) = f2(E3) = C, то каждое право-H- моногенное отображение Φ : Ωζ → H(C) представляется в виде (3.6) и каждое лево-H-моногенное отображение Φ̂ : Ωζ → H(C) представ- ляется в виде (3.7). Следующая теорема содержит критерии право-G-моногенности и лево-G-моногенности отображений. Теорема 5.5. Отображение Φ : Ωζ → H(C) ( или Φ̂ : Ωζ → H(C) ) является право-G-моногенным ( или лево-G-моногенным ) в области Ωζ ⊂ E3 тогда и только тогда, когда выполняется одно из следую- щих условий: (I) компоненты Uk : Ω → C разложения (3.3) являются R- дифференцируемыми в области Ω и выполняются условия (3.4) ( или (3.5) ) в каждой точке области Ωζ ; (II) компоненты Uk : Ω → C разложения (3.3) являются R- дифференцируемыми в области Ω и отображение Φ ( или Φ̂ ) — пра- во-H-моногенное ( или лево-H-моногенное ) в Ωζ . Если f1(E3) = f2(E3) = C, то отображение Φ является право-G- моногенным ( или Φ̂ — лево-G-моногенным ) тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий: (III) для каждой точки ζ0 ∈ Ωζ найдется окрестность, в кото- рой отображение Φ ( или Φ̂ ) разлагается в степенной ряд (3.8) ( или (3.9) ) ; (IV) отображение Φ ( или Φ̂ ) непрерывно и удовлетворяет ра- венству (4.5) ( или (4.6) ) для каждого треугольника ∆ζ такого, что ∆ζ ⊂ Ωζ . Если f1(E3) = f2(E3) = C и, кроме того, область Ω ⊂ R3 являет- ся выпуклой в направлениии прямых L1, L2, то отображение Φ — В. Шпаковский, Т. Кузьменко 287 право-G-моногенное ( или Φ̂ — лево-G-моногенное ) тогда и только тогда, когда (V) существуют единственные аналитические в области D1 := {ξ1 = x + a1y + b1z : (x, y, z) ∈ Ω} функции F1, F3 ( или F̂1, F̂4 ) и единственные аналитические в области D2 := {ξ2 = x + a2y + b2z : (x, y, z) ∈ Ω} функции F2, F4 ( или F̂2, F̂3 ) такие, что в области Ωζ отображение Φ ( или Φ̂ ) представляется в виде (3.6) ( или (3.7) ) . Доказательство. Эквивалентность условия (I) и свойства право-G- моногенности установлена в теореме 1 из [1]. Эквивалентность усло- вия (II) и право-G-моногенности установлена в теореме 5.4. Эквива- лентность условия (III) и право-G-моногенности вытекает из теоремы 1 работы [25] и свойства сходящегося ряда (3.8) определять функцию, право-G-моногенную в шаре сходимости. Эквивалентность условия (IV) и право-G-моногенности вытекает из теоремы 4.1 и теоремы 2 работы [24]. Наконец, для доказательства эквивалентности условия (V) и пра- во-G-моногенности отображения Φ достаточно заметить, что отоб- ражение (3.6) является право-G-моногенным в Ωζ , а единственность функций F1, F2, F3, F4 из (3.6) следует из единственности разложе- ния элемента алгебры H(C) по базису {e1, e2, e3, e4}. В случае лево- G-моногенного отображения теорема доказывается аналогично. Тео- рема доказана. Благодарности. Авторы признательны профессору С. А. Плаксе за ценные советы, которые способствовали улучшению работы. Литература [1] В. С. Шпакiвський, Т. С. Кузьменко, Про один клас кватернiонних вiдобра- жень // Укр. мат. журн., 68 (2016), № 1, 117–130. [2] G. Scheffers, Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohnlich complexen Funktionen // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig Mat.-Phys. Kl., 45 (1893), 828–848. [3] F. Hausdorff, Zur Theorie der Systeme complexer Zahlen // Leipziger Berichte, 52 (1900), 43–61. [4] F. Ringleb, Beiträge zur funktionentheorie in hyperkomplexen systemen, I. // Rend. Circ. Mat. Palermo, 57 (1933), No. 1, 311–340. [5] J. Ward, A theory of analytic functions in linear associative algebras // Duke Math. J., 7 (1940), No. 1, 233–248. 288 О моногенных отображениях кватернионной... [6] R. D. Wagner, Differentials and analytic continuation in non-commutative algebras // Duke Math. J., 9 (1942), No. 4, 677–691. [7] E. R. Lorch, The theory of analytic runction in normed abelin vector rings // Trans. Amer. Math. Soc., 54 (1943), 414–425. [8] В. С. Федоров, Моногенность // Мат. сб., 18 (1946), № 3, 353–378. [9] С. Н. Воловельская, Аналитические функции в неполупростых ассоциатив- ных линейных алгебрах // Записки Научно-исслед. ин-та математики и ме- ханики и Харьков. мат. общ., 19(4) (1948), 153–159. [10] М. Дегтерева, К вопросу построения теории аналитических функций в ли- нейных алгебрах // Докл. АН СССР, 61 (1948), No. 1, 13–15. [11] W. O. Portman, A derivative for Hausdorff-analytic functions // Proc. Amer. Math. Soc., V (10) (1959), 101–105. [12] R. F. Rinehart, J. C. Wilson, Two types of differentiability of functions on algebras // Rend. Circ. Matem. Palermo, II (11) (1962), 204–216. [13] M. N. Roşculeţ, Funcţii monogene pe algebre comutative, Bucuresti, Acad. Rep. Soc. Romania, 1975, 339 p. [14] И. П. Мельниченко, С. А. Плакса, Коммутативные алгебры и простран- ственные потенциальные поля,, Ин-т математики НАН Украины, 2008, 230 с. [15] М. В. Синьков, Ю. С. Бояринова, Я. А. Калиновский, Конечномерные гипер- комплексные числовые системы. Основы теории. Применения, Ин-т проблем регистр. информ. НАН Украины, 2010, 389 с. [16] G. C. Moisil, N. Theodoresco, Functions holomorphes dans l’espace // Mathematica (Cluj), 5 (1931), 142–159. [17] R. Fueter, Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen ∆u = 0 und ∆∆u = 0 mit vier reellen Variablen // Comment. math. helv, 7 (1935), 307–330. [18] Н. М. Крылов, О кватернионах Роана Гамильтона и понятии моногенно- сти // Докл. АН СССР, 55 (1947), № 9, 799–800. [19] А. С. Мейлихзон, По поводу моногенности кватернионов // Докл. АН СССР, 59 (1948), № 3, 431–434. [20] A. Sudbery, Quaternionic analysis // Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 85 (1979), 199–225. [21] G. Gentili, D. C. Struppa, A new approach to Cullen-regular functions of a quaternionic variable // Comptes Rendus Mathematique, 342 (10) (2006), 741– 744. [22] M. E. Luna Elizarrarás, M. Shapiro, A Survey on the (Hyper−) Derivatives in Complex, Quaternionic and Clifford Analysis // Milan J. Math., 79 (2) (2011), 521–542. В. Шпаковский, Т. Кузьменко 289 [23] O. Dzagnidze, C2-differentiability of quaternion functions and their representation by integrals and series // Proc. A. Razmadze Math. Inst., 167 (2015), 19–27. [24] V. S. Shpakivskyi, T. S. Kuzmenko, Integral theorems for the quaternionic G- monogenic mappings: accepted to An. Şt. Univ. Ovidius Constanţa, 24 (2) (2016), http://arxiv.org/pdf/1412.5320v1.pdf. [25] Т. С. Кузьменко, Степеневi ряди та ряди Лорана в алгебрi комплексних кватернiонiв // Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 12(3) (2015), 164– 174. [26] E. Cartan, Les groupes bilinéares et les systèmes de nombres complexes // Annales de la faculté des sciences de Toulouse, 12(1) (1898), 1–64. [27] C. Segre, The real representations of complex elements and extension to bicomplex systems // Math. Ann. 40 (1892), 413–467. [28] Б. Л. Ван дер Варден, Алгебра, М., Мир, 1976, 648 с. Сведения об авторах Виталий Станиславович Шпаковский Институт математики НАН Украины, Киев, Украина E-Mail: shpakivskyi86@gmail.com Татьяна Сергеевна Кузьменко Институт математики НАН Украины, Киев, Украина E-Mail: kuzmenko.ts15@gmail.com

О моногенных отображениях кватернионной переменной

Репозитарії

Схожі ресурси