Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений

Формулируются и обосновываются по матрице парных сравнений, содержащей неоднородную информацию эксперта о парных сравнениях объектов, конструктивные математические модели оптимизации нахождения весов в методе анализа иерархий Саати....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автори:	Павлов, А.А., Кут, В.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2007
Теми:	Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/14092
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений / А.А. Павлов, В.И. Кут // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2007. — № 3. — С. 28-37. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-14092
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-140922010-12-15T12:01:39Z Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений Павлов, А.А. Кут, В.И. Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу Формулируются и обосновываются по матрице парных сравнений, содержащей неоднородную информацию эксперта о парных сравнениях объектов, конструктивные математические модели оптимизации нахождения весов в методе анализа иерархий Саати. Формулюються і обгрунтовуються за матрицею парних порівнянь, яка має неоднорідну інформацію експерта про парні порівняння об’єктів, конструктивні математичні моделі оптимізації для знаходження ваг у методі аналізу ієрархій Сааті. Constructive mathematical models of optimization for finding of weights in the Analytic Hierarchy Process by T. Saaty are formulated and substantiated using the matrix of pair comparisons which has inhomogeneous information of the expert about pair comparisons of objects. 2007 Article Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений / А.А. Павлов, В.И. Кут // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2007. — № 3. — С. 28-37. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/14092 519.5:681:513 ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу
spellingShingle	Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу Павлов, А.А. Кут, В.И. Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений
description	Формулируются и обосновываются по матрице парных сравнений, содержащей неоднородную информацию эксперта о парных сравнениях объектов, конструктивные математические модели оптимизации нахождения весов в методе анализа иерархий Саати.
format	Article
author	Павлов, А.А. Кут, В.И.
author_facet	Павлов, А.А. Кут, В.И.
author_sort	Павлов, А.А.
title	Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений
title_short	Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений
title_full	Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений
title_fullStr	Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений
title_full_unstemmed	Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений
title_sort	математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/14092
citation_txt	Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений / А.А. Павлов, В.И. Кут // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2007. — № 3. — С. 28-37. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT pavlovaa matematičeskiemodelioptimizaciidlâobosnovaniâinahoždeniâvesovobʺektovponeodnorodnymmatricamparnyhsravnenij AT kutvi matematičeskiemodelioptimizaciidlâobosnovaniâinahoždeniâvesovobʺektovponeodnorodnymmatricamparnyhsravnenij
first_indexed	2025-07-02T15:49:11Z
last_indexed	2025-07-02T15:49:11Z
_version_	1836550824546795520
fulltext	 А.А. Павлов, В.И.Кут, 2007 28 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 УДК 519.5:681:513 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ОБОСНОВАНИЯ И НАХОЖДЕНИЯ ВЕСОВ ОБЪЕКТОВ ПО НЕОДНОРОДНЫМ МАТРИЦАМ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ А.А. ПАВЛОВ, В.И. КУТ Формулируются и обосновываются по матрице парных сравнений, содержа- щей неоднородную информацию эксперта о парных сравнениях объектов, конструктивные математические модели оптимизации нахождения весов в ме- тоде анализа иерархий Саати. Проблема практического использования метода анализа иерархий [1–4] в задаче многокритериального выбора сводится к обоснованному нахожде- нию весов объектов по эмпирическим матрицам парных сравнений, запол- няемых экспертом (экспертами). Суть проблемы заключается в том, что в общем случае эксперт в силу возможной противоречивости проявлений свойств объектов и других факторов искажает косвенную информацию о весах объектов. В работе [7] предложены математические модели оптимиза- ции для случая, когда каждый элемент матрицы парных сравнений показы- вает, во сколько раз вес одного объекта больше веса другого по отношению к заданной цели (критерию). Рассмотрим случай, когда произвольный элемент матрицы парных сравнений соответствует одному из четырех вариантов: 1) показывает, во сколько раз вес одного объекта больше веса другого по отношению к заданной цели; 2) на сколько вес одного объекта больше веса другого по отношению к заданной цели; 3) один объект предпочтительнее другого (один вес больше другого); 4) информация о парном сравнении объектов отсутствует. Следует отметить, что во втором варианте эксперт приводит оценку для всех весов в одних единицах измерения. Выбор единицы измерения веса никак не влияет на оценку в первом случае. Действительно, оценка j i ij w w =γ остается неизменной при любых единицах измерения весов объектов ( iw — вес i -го объекта, ni ,1= ). Будем считать, что численные значения элементов матрицы парных сравнений в первом и втором вариантах экспертом могут искажаться. Ин- формацию, которая содержится в матрице парных сравнений, в третьем ва- рианте будем считать достоверной. Но здесь необходимым условием досто- верности информации является выполнение свойства транзитивности. Если ji ВВ  (т.е. ji ww > , iB — i -й объект) и kj ВВ  то ki ВВ  , ( ki ww > ). Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 29 Произвольный )(ij элемент неоднородной матрицы парных сравнений размерности nn × принадлежит одному из четырех попарно не совместных множеств 4321 ,,, NNNN . Множество 1N состоит из тех элементов матрицы парных сравнений которые числом ijγ оценивают отношения j i w w . Множество 2N элементов матрицы парных сравнений состоит из тех ее элементов, которые числом ijd оценивают равенство )0\|(\| >+= ijijji ddww . iiγ , iid из множеств 1N и 2N исключаем. )(ij элемент множества 3N содержит информацию ( )ji ww > < . Элементы множества 4N пустые, т.е. эксперт не способен сравнить объект iB с объектом jB . Очевидны соотношения: если )(ij элемент равен ijγ , то ( )ji элемент равен 1 1 N∈ ijγ ; если )(ij элемент равен ijd , то )( ji элемент равен 2N∈− ijd ; если )(ij элемент содержит неравенство ji ww > , то )( ji элемент — соответственно неравенство ij ww < и 3N∈ . Введем множества 1A и 2A , 11 NA ⊂ и содержит все ( )ij элементы из 1N , удовлетворяющие условию 1≥ijγ ( ( )ji элемент в 1A не входит). 22 NA ⊂ и содержит все ( )ij элементы из 2N , удовлетворяющие условию 0>ijd ( )( ji элемент в 2A не входит). Из определения неоднородной мат- рицы парных сравнений следует, что }{21 ∅=AA  \|\| 1A , \|\| 2A — множе- ство пар ,)(ij которые являются индексами элементов, входящих соответст- венно в множества 1A , 2A . Такое задание множеств 1A , 2A позволяет как достаточно просто формулировать модели оптимизации, так и обоснованно находить коэффи- циенты согласованности весов iw , ni ,1= . Если неоднородная матрица парных сравнений является полностью со- гласованной (косвенная информация экспертом о весах объектов nwi ,1= не искажается), то существуют такие положительные числа iw , ni ,1= , что 1. Если \|\|)( 1A∈ij , то ij j i w w γ= ,( jiji ww γ= ). (1) 2. Если \|\|)( 2A∈ij , то ijji dww += . В дальнейшем будем считать, что единица измерения ijd позволяет по- ложить минимально возможное значение iw , ni ,1= равной единице. 3. Для 3)( N∈∀ ij соотношения для весов также выполняются. А.А. Павлов, В.И.Кут ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 30 Введем очевидные ограничения: 1. Количество элементов множества 21 AA  не меньше, чем число сравниваемых объектов. 2. Для любого i существует пара 21)()( AA ∈∨ jiij . Действительно, в противном случае полностью согласованная неодно- родная матрица парных сравнений не задает однозначно значения весов объектов, что исключает применение метода парных сравнений в задаче принятия решений. Если эксперт искажает косвенную информацию о весах объектов, то положительных значений весов iw , ni ,1= , для которых вы- полняются соотношения (1), не существует. В этом случае элементы матри- цы парных сравнений из множества 3N используются в проверке выполне- ния для весов объектов условий транзитивности в соответствии с числами ijγ , \|\|)( 1A∈ij ; ijd , \|\|)( 2A∈ij . Т.е. если из анализа неравенств, содержащих- ся в 3N , вытекает, что ji ww > , а ej ww > , то )(ie элемент принадлежит либо 1A , либо 2A , если он не принадлежит 3N . В случае невыполнения этих условий эксперт обязан корректировать числа ijγ , ijd , так как инфор- мация из множества 3N считается достоверной. В дальнейшем элементы неоднородной матрицы парных сравнений, принадлежащих множествам 3N , 4N , в построении моделей оптимизации не используются. Для построения и обоснования эффективных математических моделей оптимизации нахождения весов введем меры их согласованности числам ijγ , ijd . Для чисел ijγ используем меры, введенные в работе [7]. 2)( jiji ww γ− либо jiji ww γ− , (2) 2 2 1         − ij j i ij w w γ γ либо ij j i ij w w γ γ − 1 , (3) \|\|)( 1A∈∀ ij . Меры (3), как обосновывалось в [7], являются более логичными. Одна- ко их непосредственное использование приводит к неэффективным матема- тическим моделям оптимизации. Тем не менее, как и в [7], в ряде моделей эти меры будут использованы конструктивно. Для чисел ijd введем следующие меры: ( 2)( jiji wdw −− либо jiji wdw −− . (4) Первые две модели используются только для нахождения весов по полностью согласованной неоднородной матрице парных сравнений. Ины- ми словами, если существуют значения весов bwa i ≤≤≤1 , ni ,1= ( ba, — заданные числа — естественные ограничения на веса), для которых выпол- няются условия (1), то эти значения могут быть получены по первой либо Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 31 второй модели. Если же эмпирическая матрица парных сравнений не явля- ется полностью согласованной, т.е. iw , ni ,1= , удовлетворяющих (1), не существует, то для нахождения и обоснования весов объектов может ис- пользоваться модель (3) для случая хорошо согласованной неоднородной матрицы парных сравнений и итеративное использование оптимизационных моделей 4–9 в общем случае. Модель 1         −+−∑∑ ∑∑ ∈ ∈= )( )( 22 1, 1 2, )()(min ij ij jijijiji niw wdwww i A A γ , (5) bwa i ≤≤≤1 , ni ,1= , (6) где iw , ni ,1= — переменные; ba, — заданные числа. Задача (5), (6) — задача выпуклого квадратичного программирования. Если неоднородная матрица парных сравнений является полностью со- гласованной, то оптимальное значение функционала задачи (5), (6) равно нулю, а значения весов iw ( ni ,1= ) удовлетворяют условиям i ij j w w γ= для jiji wdwij +=∈∀ ;)( 1A для 2)( A∈∀ ij . (7) Модель 2 ymin (8) bwa i ≤≤≤1 , ywwy jiji ≤−≤− γ , 1)( A∈∀ ij , (9) ywdwy jiji ≤−−≤− , 2)( A∈∀ ij , 0y ≥ , где ba, — заданные числа; iw , ni ,1= , y — переменные. (8), (9) — задача линейного программирования. Если неоднородная матрица парных сравнений является полностью со- гласованной, то оптимальное решение задачи (8), (9) удовлетворяет условию (7). Переменная у на оптимальном решении равна нулю. Следующая модель строится для нахождения весов по допустимо со- гласованной эмпирической неоднородной матрице парных сравнений. Определение. Хорошо обусловленной неоднородной матрицей парных сравнений называется такая матрица, у которой для заданных положитель- ных чисел 1λ , 2λ существуют веса объектов iw , ni ,1= , такие, что выпол- няется ijij j i y w w γλ1≤− для всех \|\|)( 1A∈ij , (10) ijjiji dwdw 2λ≤−− для всех \|\|)( 2A∈ij . (11) А.А. Павлов, В.И.Кут ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 32 Этим весам соответствует произвольное допустимое решение задачи линейного программирования вида Модель 3 bwa i ≤≤≤1 , jijjijijij wwww γλγγλ 11 ≤−≤− , (12) 1)( A∈∀ ij , ijjijiij dwdwd 22 λλ ≤−−≤− , (13) 2)( A∈∀ ij , где iw , ni ,1= — переменные; ba, — заданные числа. Допустимое решение находится как решение задачи линейного про- граммирования стандартным образом [8], формулируемой по ограничениям (12), (13). Построение следующих моделей связано с плохо обусловленными не- однородными матрицами парных сравнений. В отличие от работы [7], в этом случае в силу неоднородности матрицы парных сравнений и невозможности в функционале эффективной модели оптимизации использовать непосредственно меру (3) предлагается итераци- онная процедура использования оптимизационных моделей для нахождения весов объектов. Пусть область (12), (13) является пустой для заданных положительных чисел 1λ , 2λ , определяющих хорошо обусловленную неод- нородную матрицу парных сравнений. Тогда последовательно, при фикси- рованном j ( j изменяется от нуля с единичным шагом) решаются сле- дующие оптимизационные задачи (модели 4–9). Модель 4 ymin jijjijijij wjwwwj γλγγλ )()( 1111 ∆+≤−≤∆+− , (14) 1)( A∈∀ ij , bwa i ≤≤≤1 , ni ,1= , (15) 0, ≥≤−−≤− ydywdwdy ijjijiij , (16) 2)( A∈∀ ij , где iw , ni ,1= , y — переменные; ba, , 01 >∆ — заданные числа. (14) – (16) — задача линейного программирования. Модель 5 2)( min A∈∀ ∑∑ ij yij , (17) jijjijijij wlwwwl γλγγλ )()( 1111 ∆+≤−≤∆+− , (18) 1)( A∈∀ ij , Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 33 bwa i ≤≤≤1 , ni ,1= , (19) 0, ≥≤−−≤− ijijijjijiijij ydywdwdy , 2)( A∈∀ ij , где iw , ni ,1= , ijy , 2)( A∈∀ ij — переменные; ba, , 01 >∆ — заданные числа. (17) – (19) — задача линейного программирования. Модель 6 ( ) ( ) 2 ,1, 1 min ∑∑ ∈= − ij jji niw ww i A γ , (20) ijjijiij dlwdwdl )()( 2222 ∆+≤−−≤∆+− λλ , 2)( A∈∀ ij , (21) bwa i ≤≤≤1 , ni ,1= , где iw , ni ,1= — переменные; ba, , 02 >∆ — заданные числа. Модель оптимизации (20), (21) — задача выпуклого квадратичного программирования. Модель 7 1)( min A∈ ∑∑ ij уij , (22) 1)( A∈∀≤−≤− ijywwy ijjijiij γ , (23) ijjijiij dlwdwdl )()( 2222 ∆+≤−−≤∆+− λλ , 2)( A∈ij , (24) bwa i ≤≤≤1 , ni ,1= , где iw , ni ,1= , ijy , 1)( A∈∀ ij — переменные; ba, , 2λ , 2∆ — заданные положительные числа. (22) – (24) — задача линейного программирования. Модель 8 ( ) ∑∑ ∈ij ij ijy 1 min A γ , (25) 0, ≥≤−≤− ijijjijiij yywwy γ 1)( A∈∀ ij , (26) ijjijiij dlwdwdl )()( 2222 ∆+≤−−≤∆+− λλ 2)( A∈∀ ij , (27) bwa i ≤≤≤1 , ni ,1= , где iw , ni ,1= , ijy , 1)( A∈∀ ij — переменные; ba, , 2λ , 2∆ — заданные положительные числа. (25) – (27) — задача линейного программирования. А.А. Павлов, В.И.Кут ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 34 Модель 9 ymin , (28) ywwy jiji ≤−≤− γ 1)( A∈∀ ij , (29) ijjijiij dlwdwdl )()( 2222 ∆+≤−−≤∆+− λλ 2)( A∈∀ ij , (30) bwa i ≤≤≤1 , ni ,1= ; 0y ≥ , где iw , ni ,1= , y — переменные; ba, 2λ , 2∆ — заданные положительные числа. (28) – (30) — задача линейного программирования. Обоснование моделей 4–9. Отсутствие допустимого решения ограничений (10), (11) означает, что для заданных чисел 1λ , 2λ условие хорошей согласованности (10), (11) не- однородной матрицы парных сравнений не реализуется. В модели 4 фиксируется параметр согласованности 11 ∆+ jλ , ...,1,0=j для коэффициентов неоднородной матрицы парных сравнений из мно- жества 1A . Если задача (14) – (16) имеет решение, то найденным значениям весов объектов * iw , ni ,1= соответствует минимум выражения ij jiji d wdw ij −− ∈ 2)( max A . В модели 5 при фиксированном параметре согласованности 11 ∆+ lλ , ...,1,0=l для коэффициентов неоднородной матрицы парных сравнений из множества 1A находятся значения весов * iw , ni ,1= , минимизирующие ин- тегральную меру ∑ ∑ ∈ −− )( 2ij ij jiji d wdw A . В модели 6 фиксируется параметр согласованности 22 ∆+ lλ , ...,1,0=l для коэффициентов неоднородной матрицы парных сравнений из множества 2A . Тогда оптимальному решению задачи (20), (21) соответст- вует значение весов * iw , ni ,1= , минимизирующее сумму квадратов откло- нений iw от jij wγ . Модель 7 решает задачу, аналогичную модели 6, но в этом случае оп- тимальным значениям весов * iw , ni ,1= , соответствует минимум выражения ∑ ∑ ∈ − )( 1ij jiji ww A γ . Функционал модели 8 обосновывается следующим образом. Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 35 Имеют место неравенства ij ijji ij ij j i ij ijji a www w в ww γ γ γ γ γ γ − ≤ − ≤ − . Так как функционал ∑ ∑ ∈ − )( 1ij ijj jiji w ww A γ γ приводит к задаче нелинейного невыпуклого программирования, то в моде- ли 8 используется функционал (25), которому соответствует минимум верх- ней оценки функционала ( ) ( ) ∑∑ ∈∈ − ≤ − 11 AA ij ij ijji ij ij ij j i a www w γ γ γ γ . (31) В модели (9) при фиксированном параметре согласованности 22 ∆+ lλ для коэффициентов неоднородной матрицы парных сравнений из множества 2A находятся значения весов iw , ni ,1= , которым соответствует минимум выражения ( ) jij ij ww γ− ∈ 1 1 max A . Пусть для 1l выполняется условие 1ll ≤∃ , при котором одна из моде- лей 4–9 имеет допустимое решение. На 1l могут накладываться ограничения вида 1111 Tl ≤∆+λ , 2212 Tl ≤∆+λ . Обозначим e iw , ni ,1= , Le∈ оптимальные решения тех моделей 4–9, которые для всех 1ll ≤ имеют допустимое решение. Необходимо обосновать, какой из наборов весов e iw , ni ,1= , наиболее адекватно соответствует эмпирической неоднородной матрице парных сра- внений. Для этого найдем коэффициенты согласованности весов e iw , ni ,1= , Le∈ . Обозначим i 1N множество пар )(ij , каждой из которых соответствует 1N∈ijγ при фиксированном i . Аналогично определяется множество i 2N . i 1N , i 2N — количество элементов в соответствующих множествах. Тогда для весов e iw ( ni ,1= , Le∈ ) вводим коэффициенты согласован- ности 54321 ,),(),(),( KKKKK e i e i e i www . ,1)( 1)(1 1 ∑ ∈ − = iij e jij e jij e i i e i w ww w NN K γ γ 01 ≠iN . (32) А.А. Павлов, В.И.Кут ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 36 Если 01 =iN , то )(1 e iwK не существует. Если в слагаемом (32) 1<ijγ , то это слагаемое в (33) заменяется на e iji e iji e j w ww γ γ− . ( ) ,1 2)(2 2 ∑ ∈ −− = iij ij e jij e i i e i d wdw w NN K если 02 ≠iN . Если 02 =iN , то )(2 e iwK не существует. )()()( 213 e i e i e i www KKK += . )(3 e iwK может содержать только одно слагаемое, если )(1 e iwK либо )(2 e iwK не существует. ( )         − = ∈ e jij e jij e i ij w ww e γ γ 1)( 4 max A K , ( )         − = ∈ ij e jij e i ij d wdw e 2)( 5 max A K . По коэффициентам согласованности )(3 e iwK , ni ,1= , )(4 eK , )(5 eK строим меры согласованности е-го набора весов объектов ( e iw ), ni ,1= , .Le∈ ( )∑ = = n i e iwe 1 31 )( KM , ( ) ( ){ }ee 542 ,max KKM = . Таким образом каждый e -й набор весов объектов характеризуется ме- рами согласованности )(1 eM и )(2 eM . Задача свелась к классической. Есть конечный набор альтернатив, каж- дый из которых характеризуется значениями двух критериев )(1 eM , )(2 eM , L∈e . Необходимо обосновать выбор одного из них. Итак, мы сфо- рмулировали частный случай задачи многокритериального выбора на коне- чном наборе альтернатив. Приведем одно из возможных решений, базирующееся на специфике рассматриваемой задачи. 1. Находим множество 1L альтернатив, удовлетворяющих условию: для 1L∈∀e выполняется )()( 11 mMM ≥e ; )()( 22 mMM ≥e ., e≠∈∀ mLm Любой набор весов e iw , ni ,1= , 1L∈e является решением поставлен- ной задачи. 2. Множество 1L оказалось пустым. Ранжируем критерии по важности: в нашем случае первым является критерий )(1 eM , вторым — )(2 eM . Находим множество 2L , удовлетворяющее условию 2L∈∀e )()( 11 mMM ≥e ; ., e≠∈∀ mLm Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 37 Если 2L содержит один элемент, то соответствующий набор весов e iw , ni ,1= является решением задачи. 3. Если 2L содержит более чем один элемент, то находим множество 23 LL ⊂ , для которого выполняется 3L∈∀e )()( 22 mMM ≥e 2Lm∈∀ , e≠m . Для произвольного 3L∈e набор весов e iw , ni ,1= является решением задачи. Пусть * iw , ni ,1= — веса объектов, найденные по процедуре 1–3. Тогда в соответствии с методологией, изложенной в работе [7], значения этих ве- сов непосредственно используются в методе анализа иерархий либо умень- шаются в соответствии с величиной интегральной меры )( * 3 iw=K , ni ,1= , и после этого используются в методе анализа иерархий. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В методе анализа иерархий вводится неоднородная эмпирическая матрица парных сравнений (матрица, произвольный элемент которой может указы- вать, во сколько (на сколько) один объект лучше (хуже) другого либо не со- держать никакой информации об объектах). На основании следующей по- сылки все не пустые элементы эмпирической неоднородной матрицы парных сравнений содержат информацию (возможно искаженную) о весах объектов (альтернатив, критериев) и должны быть использованы в моделях оптимизации для нахождения этих весов. Введены и обоснованы девять эф- фективных моделей оптимизации для нахождения весов объектов и предло- жена процедура получения и обоснования результирующего решения. ЛИТЕРАТУРА 1. Saaty T.L. Multycriteric Decision Making. The Analytic Hierarchy Process, McGraw Hill International. — New York, 1980. Translated to Russian, Portuguese, and Chinese. Revised edition, Paperback. — Pittsburgh, PA: RWS Publications, 1990, 1996. — 215 p. 2. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем: Пер. с англ. Р.Г. Вачнадзе / Под ред. И.А. Ушакова. — М.: Радио и связь, 1991. — 223 с. 3. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Tomas Saaty. The Ana- lytic Hierarchy Process / Пер. с англ. Р.Г. Вачнадзе. — М.: Радио и связь, 1993. — 315 с. 4. Тоценко В.Г. Методы и системы поддержки принятия решений. Алгоритмиче- ский аспект. — Киев: Наук. думка, 2002. — 381 с. 5. Ларичев О.И. Теория и методы принятие решений. — М.: Логос, 2000. — 213 с. 6. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 160 с. 7. Павлов А.А., Лищук Е.И., Кут В.И. Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов в методе парных сравнений // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2007. — № 2. — С. 13–21. 8. Зайченко Ю.П. Дослідження операцій. — Київ: Слово, 2006. — 814 с. Поступила 24.05.2007 математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений А.А. Павлов, В.И. Кут ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений

Репозитарії

Схожі ресурси