Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем

Рассматриваются вопросы, связанные с решением задач устойчивости для систем с известной знакоопределенной функцией со знакопостоянной производной. Для решения используются функции Ляпунова и дополнительные функции. Введено понятие координатной устойчивости динамических систем, а также метод инвариа...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автор:	Ковалев, А.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2017
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140933
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем / А.М. Ковалев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 3-13. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-140933
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1409332018-07-20T01:22:57Z Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем Ковалев, А.М. Рассматриваются вопросы, связанные с решением задач устойчивости для систем с известной знакоопределенной функцией со знакопостоянной производной. Для решения используются функции Ляпунова и дополнительные функции. Введено понятие координатной устойчивости динамических систем, а также метод инвариантных соотношений применен к неавтономным системам дифференциальных уравнений. The questions, about the resolution of the problems of stability for the systems with a known fixed-sign function with constant sign derivative, are considered. The Lyapunov’s functions and additional functions are used for the solution. The notion of coordinate stability of the dynamical systems is introduced, as well as the method of invariant relations is applied to the nonautonomous systems of the differential equations. 2017 Article Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем / А.М. Ковалев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 3-13. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140933 531.36 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассматриваются вопросы, связанные с решением задач устойчивости для систем с известной знакоопределенной функцией со знакопостоянной производной. Для решения используются функции Ляпунова и дополнительные функции. Введено понятие координатной устойчивости динамических систем, а также метод инвариантных соотношений применен к неавтономным системам дифференциальных уравнений.
format	Article
author	Ковалев, А.М.
spellingShingle	Ковалев, А.М. Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем Механика твердого тела
author_facet	Ковалев, А.М.
author_sort	Ковалев, А.М.
title	Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем
title_short	Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем
title_full	Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем
title_fullStr	Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем
title_full_unstemmed	Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем
title_sort	применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2017
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140933
citation_txt	Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем / А.М. Ковалев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 3-13. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT kovalevam primeneniemetodainvariantnyhsootnošenijkrešeniûzadačustojčivostiavtonomnyhineavtonomnyhsistem
first_indexed	2025-07-10T11:34:52Z
last_indexed	2025-07-10T11:34:52Z
_version_	1837259603562201088
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2017. Вып. 47 УДК 531.36 c©2017. А.М. Ковалев ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОНОМНЫХ И НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ Рассматриваются вопросы, связанные с решением задач устойчивости для систем с из- вестной знакоопределенной функцией со знакопостоянной производной. Для решения используются функции Ляпунова и дополнительные функции. Введено понятие коорди- натной устойчивости динамических систем, а также метод инвариантных соотношений применен к неавтономным системам дифференциальных уравнений. Ключевые слова: инвариантные соотношения, дополнительные функции, координат- ный подход, неавтономные системы. Введение. Наибольшие успехи в решении задач устойчивости движе- ния связаны с методом функций Ляпунова [1]. Опыт применения этого метода показал, что основную роль в успешном решении задачи играет построение функции, производная которой в силу системы является знакоопределенной, либо знакопостоянной. Случай, когда производная является знакоопределен- ной функцией, полностью решается второй и третьей теоремами Ляпунова. Движение при этом может быть асимптотически устойчивым, либо неустой- чивым. Намного сложнее и не решенным в полной мере является случай, когда производная является функцией знакопостоянной. Дальнейшее развитие задачи устойчивости для систем со знакопостоян- ной производной связано с получением дополнительных функций [2]. При по- лучении этих функций использован метод инвариантных соотношений. При- менение дополнительных функций в общей ситуации, когда сама функция не является знакоопределенной, позволило получить новые результаты по неустойчивости [3], устойчивости [4] и частичной устойчивости [5]. С течением времени теория устойчивости нашла широкое применение в космонавтике, машиностроении и других отраслях, связанных с движением (как изделий, так и оборудования). Возникла необходимость (и потребность) введения математических методов в науку и практику. Появились новые за- дачи, связанные с теорией устойчивости. Решение этих задач привело к созда- нию нового раздела и нового термина, получившего название “координатная устойчивость”. Первые результаты по формированию координатной устойчи- вости представлены в статье [6]. Следующей важной областью применения методов теории устойчивости являются неавтономные системы дифференциальных уравнений. Метод ин- вариантных соотношений обобщен на случай неавтономных дифференци- альных уравнений. Получены первые результаты [7], формирующие теорию устойчивости неавтономных систем, опирающиеся на приведенные выше под- ходы. Приведем краткое изложение современного состояния теории устойчи- 3 А.М.Ковалев вости и направлений ее дальнейшего развития. 1. Постановка задачи. Рассматривается устойчивость нулевого реше- ния системы ẋ = f(x), f(0) = 0; x ∈ D ⊂ Rn, t ∈ [t0,∞), (1) где D – некоторая окрестность нуля; функция f(x) предполагается непре- рывно дифференцируемой достаточное число раз для x ∈ D. Точка означает дифференцирование по времени t зависимой переменной x, а также функции v(x) в силу системы (1): v̇(x) = 〈∇v(x), f(x)〉. Здесь ∇ – оператор дифферен- цирования, символ 〈, 〉 означает скалярное произведение. С целью более детальной характеристики движений в окрестности нулево- го решения воспользуемся подходом, принятым в частичной устойчивости [8], и введем понятия устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых переменных. Определение 1. Переменная y = g(x) (y ∈ R1, y(0) = 0) называ- ется устойчивой, асимптотически устойчивой, неустойчивой, если нулевое решение системы (1) является, соответственно, устойчивым, асимптотиче- ски устойчивым, неустойчивым относительно этой переменной. Отметим, что устойчивые переменные (по определению) при неограниченном возрастании времени не стремятся к нулю, оставаясь все время в заданной ограниченной области. Сформулируем следующие задачи, решение которых направлено на со- здание конструктивных методов теории устойчивости. Задача 1. Выделить устойчивые, асимптотически устойчивые и неустой- чивые переменные для системы (1). Для теории и практики представляет интерес решение задачи 1 в двух вариантах. В первом варианте необходимо разделить заданные переменные на указанные три группы. Во втором варианте требуется получить три груп- пы переменных yi = gi(x) таким образом, чтобы количество устойчивых y1, асимптотически устойчивых y2 и неустойчивых y3 координат соответствовало наперед заданным числам. Задача 1 составляет основу координатного подхода в теории устойчиво- сти, результаты которого важны для качественной теории дифференциаль- ных уравнений, теории устойчивости, а также для теории управления при разработке специальных алгоритмов управления и стабилизации процессов самой различной природы. Решение задачи 1 во втором варианте порождает понятие координатной устойчивости, связанное со следующей задачей. Задача 2. Для системы с известными свойствами переменных (относи- тельно их устойчивости) ввести новые переменные с заданными свойствами, как функции исходных переменных. 4 Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости 2. Дополнительные функции. Вопрос о наличии целых полутраек- торий системы (1) в некотором множестве зависит от свойства инвари- антности. В качественной теории дифференциальных уравнений со свойством инвариантности связаны два следующих понятия: инвариантное множество и инвариантное соотношение. Определение 2. Множество G ⊂ D называется инвариантным множе- ством системы (1), если всякое ее решение x(t), имеющее с G общую точку x(t∗) ∈ G, целиком принадлежит этому множеству: x(t) ∈ G, t ∈ [t0,∞). Определение 3. Соотношение ϕ(x) = 0 называется инвариантным со- отношением системы (1), если определяемое им множество содержит инва- риантное множество системы (1). Удобный инструмент для проверки, является ли заданное соотношение инвариантным соотношением системы (1), дает следующая теорема [9]. Теорема 1. Порождаемое инвариантным соотношением ϕ(x) = 0 инва- риантное множество G системы (1) определяется уравнениями ϕ(i)(x) = 0 (i = 0, 1, ... l − 1), (2) где l – число независимых функций в последовательности ϕ(x), ϕ̇(x), ϕ̈(x), ..., (3) при этом ∇ϕ(x) 6= 0 для x(t) ∈ G. Данная теорема дала возможность получить [2–5] дополнительные функ- ции Va(x), добавление которых к исходной функции Ляпунова V (x) при выполнении условий теоремы Барбашина–Красовского последовательно су- жает множество обращения в нуль ее производной, начиная с исходного мно- жества M и до нулевой точки, сохраняя знакоопределенность самой функции и ее производной в остальных точках. Для построения дополнительных функций важное значение имеет струк- тура множества M , определяемая его геометрическими и дифференциаль- ными особенностями. Во-первых (геометрическая особенность), множество M может быть суммой подмножеств: M = s ⋃ i=1 Mi, Mi = {x : ϕi(x) = 0, ∇ϕi(x) 6= 0}. Кроме того, попарные пересечения Mk ⋂ Mm могут содержать ненулевые точки для некоторых k,m, что также необходимо учитывать. Во- вторых (дифференциальные особенности), для некоторых множеств Mi во- прос о существовании инвариантного множества может не решаться первыми двумя членами последовательности (3), т. е. в теореме 1 для точек x ∈ Mi имеем i > 1. Приведем два типа дополнительных функций, с использованием которых строится функция Ляпунова со знакоопределенной производной. В простей- шем случае, когда множество M обращения в нуль производной V̇ (x) опи- сывается одной функцией ϕ(x): M = {x : ϕ(x) = 0, ∇ϕ(x) 6= 0} и задача 5 А.М.Ковалев существования инвариантного множества решается первыми двумя членами последовательности (3), в качестве дополнительной функции принимается функция Va(x) = 〈∇ϕ(x), f(x)〉2m 〈 〈∇ϕ(x), f(x)〉, ϕ(x) 〉 . (4) Функция типа Vai = 〈∇ϕi(x), f(x)〉 2m 〈 〈∇ϕi(x), f(x)〉, ϕi(x) 〉 s ∏ j=1, j 6=i ϕ2 j (x) (5) принимается в качестве дополнительной функции для множества Mi в слу- чае, когда множество M состоит из нескольких множеств: M = s ⋃ i=1 Mi, для каждого из которых задача существования инвариантного множества реша- ется первыми двумя членами последовательности (3). С целью рассмотрения всего круга задач устойчивости (включая и не- устойчивость) поставим вопрос о максимальном расширении области зна- коопределенности производной для известной функции со знакопостоянной производной, не обращая при этом внимания на значения самой функции. Используя метод дополнительных функций, получаем следующий результат. Теорема 2. Пусть для системы (1) известна функция V (x) со знако- постоянной производной V̇ (x). Тогда добавлением конечного числа дополни- тельных функций строится функция Vf (x), производная которой V̇f (x) яв- ляется знакопостоянной функцией, при этом множество ее обращения в нуль является инвариантным множеством. Воспользуемся методом дополнительных функций и теоремой 2 для по- лучения основных теорем об устойчивости и неустойчивости. 3. Две теоремы. Используя дополнительную функцию (2), доказыва- ется следующая теорема [2]. Теорема 3. Пусть для системы (1) существует функция V (x), произ- водная которой в силу системы (1) является знакопостоянной, знака про- тивоположного V (x). Множество M = {x : V̇ (x) = 0} представляется суммой множеств M = s,si ⋃ i=j=1 Mij , описываемых формулами (17). Предпо- лагаем, что V (x), ϕi(x) – функции, дифференцируемые достаточное чис- ло раз; знакоопределенность функции V (x) определяется формой конечного порядка; знакопостоянство V̇ (x) и неравенства ϕ (j) i (x) 6= 0 определяются членами разложения в окрестности нуля конечного порядка. Тогда суще- ствуют числа mij, αij такие, что функция (18) будет знакоопределенной, а ее производная V̇f (x) будет y-знакоопределенной, знака противоположного Vf (x), и нулевое решение системы (1) будет устойчиво по всем переменным и асимптотически y-устойчиво. (Формулы (17), (18) представлены в ста- тье [2]). 6 Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости Перейдем к изучению неустойчивых движений. В дополнение к теоре- мам Ляпунова и Четаева о неустойчивости движения метод дополнительных функций позволяет доказать следующую теорему [2]. Теорема 4. Пусть для системы (1) существует функция V (x), произ- водная которой является функцией знакопостоянной и представима в фор- ме знакоопределенной функции V̇ (y) меньшего числа переменных y1, ..., yk (k < n), причем множество M = {x : V̇ (x) = 0} – инвариантно. При этом в сколь угодно малой окрестности B нуля существуют точки x ∈ B \M , в которых функция V (x) принимает значения того же знака, что и V̇ (x). Тогда нулевое решение неустойчиво. Замечание. Теорема 4 обобщает первую теорему Ляпунова о неустой- чивости на случай знакопостоянной производной, совпадая с ней, когда про- изводная является знакоопределенной. 4. Координатный подход. Формирование понятия координатной устойчивости начнем с рассмотрения вопросов частичной устойчивости. Одной из задач частичной устойчивости является задача y-неустойчивости. Для описания y-неустойчивости движений воспользуемся следующим опре- делением. Определение 4 [8]. Движение x = 0 называется y-неустойчивым, если существует ε0 > 0 такое, что для любого сколь угодно малого δ > 0 найдутся точка x∗ с ‖x∗‖ < δ и момент времени t∗ > t0, для которых ‖y(t∗; t0, x∗‖ ≥ ε0. Здесь y является подвектором вектора xT = (yT , zT ). Применив определение частичной устойчивости к одной координате, при- ходим к понятиям устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых координат. Это приводит к формулировке задач 1, 2, решение которых про- демонстрируем на следующих примерах. Пример 1. Исследуем устойчивость нулевого решения системы ẋ1 = 2x1, ẋ2 = 5x1 − 3x2, ẋ3 = 6x1 − 4x3. (6) Функция Ляпунова V = x21 имеет производную V̇ = 4x21 и удовлетворяет теореме 4. На основании этого нулевое решение системы (6) неустойчиво и, более того, переменная x1 – неустойчива. Сделать заключение относитель- но переменных x2, x3 с использованием функций Ляпунова довольно сложно ввиду трудности их построения. Однако, воспользовавшись формулой общего решения x1 = c1e 2t, x2 = c1e 2t + c2e −3t, x3 = c1e 2t + c3e −4t, получаем, что все переменные x1, x2, x3 являются неустойчивыми. Этот факт кажется удивительным, имея ввиду собственные числа системы (6): λ1 = = 2, λ2 = −3, λ3 = −4. Разрешение этой ситуации состоит в том, что это заключение получено при решении задачи 1 в первом варианте, а собственные числа сыграют свою роль при рассмотрении второго варианта решения. 7 А.М.Ковалев Сделаем в системе (6) замену переменных y1 = x1, y2 = x2 − x1, y3 = x3 − x1. (7) В переменных (7) система (6) принимает вид ẏ1 = 2y1, ẏ2 = −3y2, ẏ3 = −4y3. (8) Нетрудно видеть, что переменная y1 является неустойчивой, переменные y2, y3 являются асимптотически устойчивыми. В системе (6) сделаем еще одну замену, которая является нелинейной: z1 = y1y 2 2, z2 = y2, z3 = y3. (9) Получаем ż1 = −4z1, ż2 = −3z2, ż3 = −4z3. (10) Очевидно, что все переменные z1, z2, z3 системы (10) являются асимптоти- чески устойчивыми. Изучая поведение системы (6) при заменах (7), (9), отмечаем, что переменные xi, yi, zi сильно меняются: все переменные xi – неустойчивые; переменные y2, y3 – асимптотически устойчивые, переменная y1 – неустойчивая; все переменные zi – асимптотически устойчивые. Это есть решение задачи 1 во втором варианте и фактически решение задачи 2. Та- ким образом, Пример 1 демонстрирует свойства координатной устойчивости и возникающие ее новые качества. Пример 2. Для системы (6) необходимо построить две системы, перемен- ные одной из них являются асимптотически устойчивыми, а другие перемен- ные являются неустойчивыми. Решение задачи начнем с того, что систему (6) с помощью замены (7) при- ведем к виду (8). С помощью замены (9) получаем систему (10), все перемен- ные этой системы асимптотически устойчивые. Для получения неустойчивых переменных сделаем замену v1 = x1, v2 = x2 − x1, v3 = x3 + x1. (11) Система (6) в переменных (11) принимает вид v̇1 = 2x1, v̇2 = −3v2, v̇3 = −4v3 + 12v1. (12) Сделаем еще одну замену w1 = v1, w2 = v2v 2 1 , w3 = v3v1. (13) В переменных (13) система (12) имеет вид ẇ1 = 2v1, ẇ2 = w2, ẇ3 = 12w3 1 . (14) Все переменные (13) системы (14), описывающей систему (12) и исходную систему (6), являются неустойчивыми, как и переменные системы (6). Таким образом, решение поставленной задачи получено. При этом для неустойчивых переменных имеются два решения: решение в переменных x, а также решение в переменных (13). 8 Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости 5. Применение к неавтономным системам. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида ẋi = dxi dt = Xi(x1, . . . , xn, t), i = 1, n, (15) где t – независимая переменная, x1, . . . , xn – неизвестные функции этой переменной, а Xi – функции от n + 1 переменных, заданные на некотором открытом множестве U пространства размерности n + 1, в котором коор- динатами являются компоненты вектора (x1, . . . , xn, t). Будем предполагать, что функции Xi(x1, . . . , xn, t), i = 1, n, имеют непрерывные частные про- изводные любого порядка. При рассмотрении неавтономной системы (15) целесообразно преобразо- вать ее к автономному виду. Следуя [10], положим t = xn+1. Тогда уравнения (15) можно записать в виде u̇i = Yi(u1, . . . , un+1), i = 1, n + 1, (16) где Yi ≡ Xi, i = 1, n, Yn+1 ≡ 1. Решению уравнений (15) с начальными условиями xi(t0) = x (0) i будет соответствовать решение уравнений (16) с на- чальными условиями ui(0) = x (0) i , i = 1, n, un+1(0) = t0. (17) Это соответствие определяется зависимостью xi(t) = ui(t− t0), i = 1, n. Определение 5. Непустое множество M ⊆ U называется инвариантным по отношению к (16), если для любой точки (x (0) 1 , . . . , x (0) n , t0) из M реше- ние уравнения (16) с начальными условиями (17) удовлетворяет условию (u1(t), . . . , un+1(t)) ∈ M при t ∈ (t1 − t0, t2 − t0), где (t1, t2) – интервал су- ществования соответствующего решения системы (15). Рассмотрим уравнение f(u1, . . . , un+1) = 0. (18) Предположим, что функция f(u1, . . . , un+1) дифференцируема по всем пе- ременным до произвольного порядка, в частности до порядка n+ 1, и ( ∂f ∂u1 , . . . , ∂f ∂un+1 ) 6= 0 (19) в рассматриваемой области U . Определение 6. Соотношение (18) называется инвариантным соотноше- нием (ИС) системы (16), если множество G точек, удовлетворяющих этому соотношению, содержит некоторое инвариантное множество. Поскольку инвариантное множество по определению не может быть пус- тым, то должна существовать по крайней мере одна точка, для которой (18) 9 А.М.Ковалев выполнено. Поставим задачу об исследовании условий существования ИС (18) у системы (16). Для функции (18) построим последовательность функций f (1)(u1, . . . , un+1) = f(u1, . . . , un+1), (20) f (l)(u1, . . . , un+1) = n+1 ∑ j=1 ∂f (l−1)(u1, . . . , un+1) ∂uj Yj(u1, . . . , un+1), l = 2, 3, . . . , члены которой являются производными от соответствующих функций в силу уравнений (16). Лемма 1. Пусть для уравнений (16) соотношение (18) – инвариантное и множество G, определяемое им, содержит инвариантное множество M . Тогда для точек множества M должны выполняться уравнения f (1)(u1, . . . , un+1) = 0, f (2)(u1, . . . , un+1) = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (l)(u1, . . . , un+1) = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (21) Доказательство. Рассмотрим множество M . Выберем произвольную точ- ку (x (0) 1 , . . . , x (0) n , t0) этого множества (обозначим ее u(0)) и возьмем решение ui = ui(t), удовлетворяющее начальным условиям (17). Поскольку M ⊆ G, то в силу определения ИС при подстановке решения в уравнение (18) получим тождество по t: f (1)(u1(t), . . . , un+1(t)) = 0. (22) Многократно дифференцируя это тождество по t, получим f (2)(u1(t), . . . , un+1(t)) = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (l)(u1(t), . . . , un+1(t)) = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (23) Поскольку тождества (22) и (23) справедливы для всех t, то они верны и при t = 0, а значит, и для точки u(0). В силу же произвольности u(0) получаем, что соотношения (21) выполнены всюду на M . Отметим, что в общем случае для составления цепочки производных необ- ходимо потребовать бесконечную дифференцируемость функции f(u1, . . . , un+1). 10 Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости Теорема 5. Если в последовательности (20) существует k независи- мых членов, то независимыми будут и первые k членов последовательности (20). Доказательство. Доказательство будем проводить методом от противно- го. Предположим, что первые k членов последовательности (20) зависимы. Найдем такое наименьшее такое число k∗, что первые k∗ членов последова- тельности (20) зависимы. Тогда функции f (1), ..., f (k∗−1) независимы, а функ- ции f (1), ..., f (k∗) зависимы в области U , причем k∗ ≤ k. Тогда на основании утверждения [10, с. 307] можно записать f (k∗)(u1, . . . , un+1) = W (f (1)(u1, . . . , un+1), . . . , f (k∗−1)(u1, . . . , un+1)). (24) Функция (24) определена и дифференцируема на множестве U и зависит только от функций f (1), ..., f (k∗−1). Вычислим производную от левой и правой частей выражения (24) с учетом уравнений (16): f (k∗+1)(u1, . . . , un+1) = k∗−1 ∑ j=1 ∂W (f (1), . . . , f (k∗−1)) ∂f (j) f (j+1)(u1, . . . , un+1), т. е. функция f (k∗+1) так же, как и функция f (k∗) , оказывается зависимой от первых k∗ − 1 функций. Аналогично доказывается, что остальные члены последовательности (20) являются зависимыми от f (1), . . . , f (k∗−1). Однако, поскольку все члены последовательности зависят от k∗−1 функции, то любые k∗ (и тем более k) членов будут обязательно зависимыми, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие означает справедливость данной теоремы. Следствие 1. Если существует непустое множество M , определяемое уравнениями (21), то система (21) равносильна своим первым k уравнени- ям, где k – максимальное количество независимых функций в последова- тельности (20). Доказательство. Так как функции f (i), i > k, функционально зависят от первых k функций последовательности, то при фиксированных значени- ях f (1), . . . , f (k) каждый член последовательности может принимать лишь одно значение. Поскольку система (21) определяет непустое множество M , то она совместна и существует по крайней мере одна точка, для которой все равенства f (i) = 0, i = 1, 2, ..., выполнены. Это и означает, что из соотноше- ний f (i) = 0, i = 1, k, следует, что с необходимостью выполнены равенства f (i) = 0 для всех i > k. Пусть поставлена задача о нахождении уравнений, определяющих множе- ство M при заданном ИС (18). Согласно доказанной выше теореме, необходи- мо построить цепочку производных (20). Затем нужно поэтапно провести ис- следование зависимости входящих в (21) уравнений. То есть на первом этапе 11 А.М.Ковалев следует провести исследование зависимости производной f (2)(u1, . . . , un+1) от соотношения (18). Если будут найдены условия, при выполнении которых f (2)(u1, . . . , un+1) ∣ ∣ ∣ f(1)(u1, ...,un+1)=0 ≡ 0, то множество G является инвариантным. Очевидно, что при дальнейшем изучении системы (21) необходимо рас- смотреть случаи f (l)(u1, . . . , un+1) ∣ ∣ ∣ f(1)(u1, ..., un+1)=0, ..., f(l−1)(u1, ...,un+1)=0 ≡ 0. (25) В формуле (25) предусмотрены все варианты исследования системы (21). При выполнении (25) получим систему уравнений, которая задает инвариантное множество M . Полученные выше результаты применены в [7] в задаче об условиях суще- ствования равномерных вращений гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием силы тяжести. Заключение. 1. Достижения последних лет, связанные с введением в те- орию устойчивости дополнительных функций и координатного подхода, при- вели к необходимости нового построения теории устойчивости. Предлагается выделить в теории устойчивости три части, причем в каждой из них серьез- ное значение имеют дополнительные функции (первая часть), координатный подход (вторая часть) и координатная устойчивость (третья часть). 2. Рождается новый подход к изучению свойств устойчивости: оказалось, что устойчивость существенно зависит от переменных, описывающих поведе- ние изучаемой системы, особенно в случае, когда замена переменных явля- ется нелинейной. Возникает (пока не доказанная автором) теорема о суще- ствовании таких переменных для изучаемой системы, которые удовлетворя- ют любым наперед заданным свойствам их устойчивости. Возможны некото- рые исключения. 3. В связи с п. 1 (вышестоящим) необходимо отметить, что и в третьей части происходит деление вопросов устойчивости на два направления: 1) ко- ординатный подход приводит к разделению переменных по свойству их устой- чивости и неустойчивости; 2) координатная устойчивость порождает задачу построения системы с заданными свойствами, что связано с практическими требованиями и с появлением нового подхода к изучению дифференциальных уравнений при использовании замены переменных, особенно в нелинейном случае. 4. Особое внимание привлекают новые исследования неавтономных си- стем. В работе [11] приведены неустойчивые движения, вызванные неавто- номностью изучаемых систем. В настоящей работе использовано предложе- ние Л.С.Понтрягина о переводе неавтономной системы в автономную путем приравнивания временной переменной (времени) с пространственными пере- менными, что повышает размерность системы на единицу и требует отдельно- 12 Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости го рассмотрения временной переменной. Выполнение исследований в данном направлении наверняка приведет к новым достижениям высокого уровня. 1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – М.; Л.: Гостехиздат, 1950. – 472 с.; Ляпунов А.М. Собр. соч. – М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. – Т. 2. – 476 с. 2. Ковалев А.М. Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функ- цией со знакопостоянной производной // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. – С. 3–28. 3. Ковалев А.М. Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнитель- ных функций // Докл. НАН Украины. – 2009, № 11. – С. 21–27. 4. Ковалев А.М. Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использовани- ем метода дополнительных функций // Докл. НАН Украины. – 2010, № 2. – С. 11–16. 5. Ковалев А.М. Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости // Докл. НАН Украины. – 2009, №7. – С. 17–23. 6. Ковалев А.М. Координатная устойчивость динамических систем // Механика твердого тела. – 2015. – Вып. 45. – С. 3–10. 7. Ковалев А.М., Горр Г.В., Неспирный В.Н. Инвариантные соотношения неавтономных систем дифференциальных уравнений с приложением в механике // Механика твер- дого тела. – 2013. – Вып. 43. – С. 3–18. 8. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. – М.: Наука, 1987. – 256 с. 9. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравне- ний // Механика твердого тела. – Киев: Наук. думка, 1974. – Вып. 6. – С. 15–24. 10. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Москва: Наука, 1970. – 331 с. 11. Ковалев А.М. Теория неустойчивости: от Ляпунова к Четаеву и до наших дней // Аналит. механика, устойчивость и управление: 10 междунар. Четаев. конф. (Казань, 12–16 июня 2012 г.). – Казань, 2012. – Т. 5: Пленар. докл. – С. 26–39. A.M.Kovalev Method of invariant relations in the stability theory The questions, about the resolution of the problems of stability for the systems with a known fixed-sign function with constant sign derivative, are considered. The Lyapunov’s functions and additional functions are used for the solution. The notion of coordinate stability of the dy- namical systems is introduced, as well as the method of invariant relations is applied to the nonautonomous systems of the differential equations. Keywords: invariant relations, additional functions, coordinate approach, nonautonomous sys- tems. ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”, Донецк kovalev@iamm.su Получено 16.05.17 13

Применение метода инвариантных соотношений к решению задач устойчивости автономных и неавтономных систем

Репозитарії

Схожі ресурси