О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента
Рассмотрена задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку, в потенциальном силовом поле. Полагается, что уравнения движения допускают инвариантное соотношение, которое характеризуется постоянством модуля момента количества движения. Указано четыре новых класса решений уравнений движен...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140934 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента / Г.В. Горр, А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 14-24. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140934 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1409342018-07-20T01:23:00Z О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента Горр, Г.В. Мазнев, А.В. Рассмотрена задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку, в потенциальном силовом поле. Полагается, что уравнения движения допускают инвариантное соотношение, которое характеризуется постоянством модуля момента количества движения. Указано четыре новых класса решений уравнений движения динамически симметричного тела. The article considers the problem of motion of a rigid body with a fixed point in the potential force field. It is assumed that the equations of motion admit an invariant relationship, which is characterized by the constancy of the module of the angular momentum. The details of four new classes of solutions of the equations of motion of the dynamically symmetric body are indicated. 2017 Article О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента / Г.В. Горр, А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 14-24. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140934 531.38; 531.39 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку, в потенциальном силовом поле. Полагается, что уравнения движения допускают инвариантное соотношение, которое характеризуется постоянством модуля момента количества движения. Указано четыре новых класса решений уравнений движения динамически симметричного тела. |
| format |
Article |
| author |
Горр, Г.В. Мазнев, А.В. |
| spellingShingle |
Горр, Г.В. Мазнев, А.В. О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента Механика твердого тела |
| author_facet |
Горр, Г.В. Мазнев, А.В. |
| author_sort |
Горр, Г.В. |
| title |
О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента |
| title_short |
О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента |
| title_full |
О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента |
| title_fullStr |
О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента |
| title_full_unstemmed |
О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента |
| title_sort |
о решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140934 |
| citation_txt |
О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента / Г.В. Горр, А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 14-24. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT gorrgv orešeniâhuravnenijdviženiâtverdogotelavpotencialʹnomsilovompolevslučaepostoânnogomodulâkinetičeskogomomenta AT maznevav orešeniâhuravnenijdviženiâtverdogotelavpotencialʹnomsilovompolevslučaepostoânnogomodulâkinetičeskogomomenta |
| first_indexed |
2025-07-10T11:35:00Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:35:00Z |
| _version_ |
1837259611908866048 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2017. Вып. 47
УДК 531.38; 531.39
c©2017. Г.В. Горр, А.В.Мазнев
О РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
В СЛУЧАЕ ПОСТОЯННОГО МОДУЛЯ
КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Рассмотрена задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку, в потенци-
альном силовом поле. Полагается, что уравнения движения допускают инвариантное со-
отношение, которое характеризуется постоянством модуля момента количества движения.
Указано четыре новых класса решений уравнений движения динамически симметричного
тела.
Ключевые слова: твердое тело, момент количества движения, инвариантное соотно-
шение.
Введение. Неинтегрируемость в общем случае уравнений динами-
ки твердого тела (уравнений Эйлера–Пуассона [1], уравнений Кирхгофа–
Пуассона [2] и других) обосновывает построение частных решений рассмат-
риваемых уравнений [3, 4]. Обзор результатов, полученных в классической
задаче о движении тяжелого твердого тела, приведен в монографиях [3, 5];
в задаче о движении гиростата в различных силовых полях – в монографи-
ях [6, 7].
Постановка задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой в
потенциальном силовом поле дана Д.Н. Горячевым [8]. Количество построен-
ных решений в этой задаче значительно меньше количества решений клас-
сических задач [3, 5] и задачи о движении гиростата под действием потен-
циальных и гироскопических сил, которые описываются уравнениями класса
Эйлера–Пуассона и Кирхгофа–Пуассона.
В данной статье получены новые классы решений уравнений движения
твердого тела, имеющего неподвижную точку, в потенциальном силовом по-
ле в случае постоянного модуля кинетического момента. Метод построения
решения состоит в задании трех инвариантных соотношений, которые опре-
деляют зависимость компонент вектора угловой скорости от компонент еди-
ничного вектора оси симметрии силового поля. Для всех выбранных классов
инвариантных соотношений выполнено интегрирование уравнений Пуассона.
На заключительном этапе построения решения системы уравнений движе-
ния исследована задача об интегрировании динамического уравнения. Най-
денные классы решений в замкнутом виде отвечают случаю динамически
симметричного твердого тела, имеющего неподвижную точку.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении твердого те-
ла с неподвижной точкой в поле потенциальных сил. Уравнения движения
14
О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле
запишем в векторном виде [8]
ẋ = x × ax +
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν
× ν, ν̇ = ν × ax, (1)
где x = (x1, x2, x3) – момент количества движения тела; ν = (ν1, ν2, ν3) – еди-
ничный вектор оси симметрии силового поля; U(ν1, ν2, ν3) – силовая функ-
ция; a = (aij) – гирационный тензор; точка над переменными обозначает
дифференцирование по времени t.
Уравнения (1) имеют первые интегралы
ν · ν = 1, x · ν = k, x · ax − 2U(ν1, ν2, ν3) = 2E, (2)
где k и E – произвольные постоянные.
Если в уравнении (1) положить U(ν1, ν2, ν3) = s · ν, где s – постоянный
вектор, то получим уравнения Эйлера–Пуассона задачи о движении тяжелого
твердого тела с неподвижной точкой.
В статье [9] для случая U = s · ν (s – постоянный вектор) показано, что,
когда постоянен модуль момента количества движения,
x2 = x21 + x22 + x23 = c2, (3)
уравнение Пуассона из (1) нельзя заменять первыми интегралами (2), по-
скольку существуют решения динамического уравнения из (1), которые удо-
влетворяют первым интегралам (2), но не удовлетворяют уравнению Пуас-
сона из (1). Эти решения в [9] названы особыми. Особые решения уравнений
Эйлера–Пуассона полностью изучены [10]. В данной статье исследованы осо-
бые решения для уравнений (1).
2. Редукция уравнений (1) на инвариантном соотношении (3).
Так как в рассматриваемом случае уравнение Пуассона
ν̇ = ν × ax (4)
заменять первыми интегралами (2) нельзя, то при решении динамического
уравнения
ẋ = x × ax +
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν
× ν (5)
будем привлекать интегралы (2). Если умножить обе части уравнения (5)
скалярно на векторы ν, ax, то получим два последних интеграла из (2), а
при умножении на вектор ν × ax имеем
ẋ · (ν × ax) = k(ax)2 + (ν · ax)
[∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν
· ν − 2U(ν1, ν2, ν3)− 2E
]
−
−
[
ax ·
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν
]
. (6)
15
Г.В. Горр, А.В.Мазнев
При получении скалярных уравнений, вытекающих из (5), можно исполь-
зовать другой базис векторов. В случае существования инвариантного со-
отношения (3) целесообразно в базис включить вектор x. Здесь примем сле-
дующий базис: ν, ax и x и потребуем выполнения условия некомпланарности
базисных векторов, т. е. x · (ν × ax) 6= 0.
Справедливы утверждения:
1. Если выполнено условие x · (ν × ax) 6= 0, то в задаче интегрирования
уравнений (1) на соотношении (3) достаточно рассматривать только уравне-
ние (4), соотношение (3) и интегралы (2), т. е.
ν̇ = ν×ax, x2 = c2, ν ·ν = 1, x ·ν = k, x ·ax−2U(ν1, ν2, ν3) = 2E. (7)
Динамическое уравнение из (1) на найденном решении уравнений Пуассона
будет выполняться автоматически.
2. Если выполняется условие x · (ν × ax) = 0, или в скалярной форме при
выборе a = diag(a1, a2, a3) равенство
(a2 − a3)ν1x2x3 + (a3 − a1)ν2x3x1 + (a1 − a2)ν3x1x2 = 0, (8)
то, кроме (7), необходимо рассматривать и уравнения (6), (8).
Интегрирование уравнения Пуассона (4) с учетом (7) будем проводить
в главной системе координат: A = a−1 = diag(A1, A2, A3). Будем использо-
вать компоненты ω1, ω2, ω3 вектора угловой скорости, при этом ωi = aixi,
xi = Aiωi (i = 1, 3).
Запишем (4) в скалярной форме
ν̇1 = ω3ν2 − ω2ν3, ν̇2 = ω1ν3 − ω3ν1, ν̇3 = ω2ν1 − ω1ν2. (9)
Инвариантное соотношение (3) и интегралы из (7) представим в виде
A2
1ω
2
1 +A2
2ω
2
2 +A2
3ω
2
3 = c2, A1ω1ν1 +A2ω2ν2 +A3ω3ν3 = k,
ν21 + ν22 + ν23 = 1, A1ω
2
1 +A2ω
2
1 +A3ω
2
1 − 2U(ν1, ν2, ν3) = 2E.
(10)
Данные равенства рассматриваем при условии Aω · (ω × ν) 6= 0:
(A1 −A2)ω1ω2ν3 + (A2 −A3)ω2ω3ν1 + (A3 −A1)ω3ω1ν2 6= 0.
Сформулируем более подробно постановку задачи. Заданы, кроме (3), три
инвариантных соотношения
ωi = ωi(ν1, ν2, ν3) (i = 1, 3). (11)
Требуется выполнить интегрирование уравнений (9) и потребовать, чтобы
первое и второе соотношения из системы (10) были тождествами по ν3 на
полученном решении уравнений Пуассона. Тогда четвертое равенство из (10)
будет служить для определения функции U(ν1, ν2, ν3), соответствующей по-
лученному решению уравнений (9).
16
О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле
3. Первый класс особых решений. Зададим три инвариантных со-
отношения (ИС) (11) в виде
ω1 = β1g(ν3), ω2 = β2g(ν3), ω3 = h(ν3), (12)
где β1, β2 – параметры, g(ν3), h(ν3) – дифференцируемые функции перемен-
ной ν3. Подставим (12) в уравнения (9)
ν̇1 = ν2h(ν3)− β2ν3g(ν3),
ν̇2 = −ν1h(ν3) + β1ν3g(ν3),
ν̇3 = g(ν3)(β2ν1 − β1ν2).
(13)
Уравнения (13) имеют первый интеграл с фиксированной постоянной
ν21 + ν22 + ν23 = 1 (14)
и интегральное соотношение
β1ν1 + β2ν2 +
∫
h(ν3)
g(ν3)
dν3 = c1, (15)
где c1 – произвольная постоянная. Предполагаем, что функции h(ν3), g(ν3)
таковы, что интеграл в (15) имеет первообразную в классе элементарных
функций. Для нахождения решения уравнений (13), интеграл (14) параме-
тризуем так
ν1 =
√
1− ν23 sinϕ, ν2 =
√
1− ν23 cosϕ. (16)
В силу (16) из (15) получим
χ0
√
1− ν23 sin(ϕ+ β0) = F (ν3), (17)
где
χ0 =
√
β21 + β22 , β0 = arctg
β2
β1
, F (ν3) = c1 −
∫
h(ν3)
g(ν3)
dν3. (18)
На основании (17), (18) из третьего уравнения системы (13) имеем
ν3
∫
ν
(0)
3
dν3
g(ν3)
√
χ2
0(1− ν23 )− F 2(ν3)
= t0 − t. (19)
Из (19) определяется функция ν3 = ν3(t). Переменные ν1, ν2 найдем из (16),
учтя (17),
ν1 = ν1(ν3) =
√
1− ν23 sin
(
arcsin
F (ν3)
χ0
√
1− ν23
− β0
)
,
ν2 = ν2(ν3) =
√
1− ν23 cos
(
arcsin
F (ν3)
χ0
√
1− ν23
− β0
)
.
(20)
17
Г.В. Горр, А.В.Мазнев
Подставим значения ωi (i = 1, 3) из (12) в равенства (10)
g2(ν3)(A
2
1β
2
1 +A2
2β
2
2) +A2
3h
2(ν3) = c2,
g(ν3)(A1β1ν1(ν3) +A2β2ν2(ν3)) +A3ν3h(ν3) = k,
g2(ν3)(A1β
2
1 +A2β
2
2) +A3h
2(ν3)− 2E = 2U(ν3).
(21)
Из последнего соотношения системы (21) следует, что функция U(ν1, ν2, ν3)
зависит только от ν3.
Если функции h(ν3), g(ν3) заданы, то после нахождения функций (20) и
подстановки их в первые два равенства из (21) получим соотношения, кото-
рые должны быть тождествами по ν3 и определять значения коэффициентов
β1, β2 из ИС (11).
В общем случае интегрирование в (15) затруднительно, поэтому приведем
пример разрешимости данной задачи. Для этой цели положим k = 0, A1 = A2.
Тогда второе равенство из (21) представимо в виде
β1ν1 + β2ν2 = −
A3ν3
A1
ψ(ν3)
(
ψ(ν3) =
h(ν3)
g(ν3)
)
. (22)
Запишем интегральное представление (15) в силу (22)
ψ(ν3)dν3 −
A3ν3
A1
ψ(ν3) = c1. (23)
Из (23) после дифференцирования по ν3 следует уравнение с разделяющи-
мися переменными:
ψ′(ν3) =
A1 −A3
A3ν3
ψ(ν3). (24)
Проинтегрируем (24) с учетом обозначения для функции ψ(ν3) из (22). Тогда
h(ν3) = c2g(ν3)ν3
σ0
(
σ0 =
A1 −A3
A3
)
, (25)
где c2 – произвольная постоянная. Подставив (25) в первое равенство системы
(21), найдем
g2(ν3) =
c2
A2
1χ
2
0 + c22A
2
3ν3
2σ0
, (26)
значит, найдем и функцию h(ν3) из (25). Силовая функция U(ν1, ν2, ν3) на
решении (25), (26) определяется из третьего равенства системы (21). Для рас-
сматриваемого решения (12), (20), с учетом (25), (26), условие (8) не выпол-
няется, поэтому дополнительных исследований не требуется.
18
О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле
4. Второй класс решений. Усложним выбор ИС, задав их в виде
ω1 = β0ν2 + β1g(ν3), ω2 = β0ν1 + β2g(ν3), ω3 = h(ν3), (27)
где β0, β1, β2 – постоянные. Внесем выражения (27) в уравнения (9):
ν̇1 = ν2(h(ν3)− β0ν3)− β2ν3g(ν3), ν̇2 = −ν1(h(ν3)− β0ν3) + β1ν3g(ν3),
ν̇3 = g(ν3)(β2ν1 − β1ν2).
(28)
Для уравнений (28) имеет место интегральное соотношение
β1ν1 + β2ν2 +
∫
h(ν3)− β0ν3
g(ν3)
dν3 = c3. (29)
Будем, по-прежнему, предполагать, что A1 = A2. Первое, второе и четвертое
соотношения из (10) с учетом (27) примут вид
A2
1
[
β20(ν
2
1 + ν22) + 2β0g(ν3)(β1ν1 + β2ν2) + χ0g
2(ν3)
]
+A2
3h
2(ν3) = c2,
A1
[
β0(ν
2
1 + ν22) + g(ν3)(β1ν1 + β2ν2)
]
+A3ν3h(ν3) = k,
U(ν1, ν2, ν3) = U(ν3) =
1
A1
[
A3(A3 −A1)h
2(ν3)− 2EA1 + c2
]
.
(30)
Из второго равенства системы (30) на сфере Пуассона ν21 + ν22 + ν23 = 1 имеем
β1ν1 + β2ν2 =
1
A1g(ν3)
(k0 − ν3H(ν3)), (31)
где
k0 = k −A1β0, H(ν3) = A3h(ν3)−A1β0ν3. (32)
Подставим выражение (31) в первое уравнение системы (30). Тогда
g(ν3) =
1
ε0
√
µ20 −H2(ν3), (33)
где
ε0 = A1χ0, µ20 = c2 +A1β0(A1β0 − 2k). (34)
В силу (33) произвольные постоянные c и k связаны условием положитель-
ности правой части выражения для µ20 из (34).
Продифференцировав (29) по ν3 и учтя (31), (33), получим
A3[µ
2
0ν3 − k0H(ν3)]H
′(ν3) = (A1 −A3)[µ
2
0 −H2(ν3)][H(ν3) +A1β0ν3]. (35)
Таким образом, функция H(ν3) должна удовлетворять дифференциальному
уравнению (35).
Приведем пример разрешимости уравнения (35). Положим
H(ν3) +A1β0ν3 = α0(µ
2
0ν3 − k0H(ν3)), (36)
где α0 – постоянная.
19
Г.В. Горр, А.В.Мазнев
Будем полагать, что равенство (36) выполняется для любых ν3. Тогда
получим условия
α0 = −
1
k0
, k0A1β0 + µ20 = 0. (37)
Учитывая в (37) значение µ20 из (34), найдем условие на постоянную c2: c2 =
= A1β0(k0 + A1β0). При данном значении c2 величина µ20 = −A1β0k0 > 0
(−A1β
2
0 < β0k0 < 0). На основании (36) и указанного значения µ20 уравнение
(35) интегрируется в квадратурах:
H(ν3) =
√
−A1β0k0
1 + e(ν3−ν
(0)
3 )γ0
1− e(ν3−ν
(0)
3 )γ0
(
γ0 =
2
√
−A1β0k0(A3 −A1)
A3
)
, (38)
где ν
(0)
3 – произвольная постоянная. Интегрирование системы (28) проводит-
ся так же, как и в случае первого решения (16)–(20). При этом изменяется
только функция F (ν3); ее необходимо заменить на функцию
F ∗(ν3) = c3 −
∫
H(ν3) + β0(A1 −A3)
g(ν3)
dν3,
где g(ν3) выражается по формуле (26). Здесь интеграл вычисляется в ви-
де элементарных функций переменной ν3. Значение U(ν1, ν2, ν3) на дан-
ном решении находится из третьего соотношения системы (30), в котором
h(ν3) = A−1
3 (H(ν3) +A1β0ν3), а H(ν3) определено в (38). Нетрудно убедиться
в том, что для указанного решения условие x · (ν × ax) = 0 не выполняется,
т. е. уравнение (6) можно не рассматривать.
5. Третий класс решений. Третий класс решений зададим в виде
ω1 = ν1ε(ν3) + β1g(ν3), ω2 = ν2ε(ν3) + β2g(ν3), ω3 = h(ν3). (39)
Уравнения (9) на ИС (39) таковы
ν̇1 = ν2
(
h(ν3)− ν3ε(ν3)
)
− β2ν3g(ν3),
ν̇2 = −ν1
(
h(ν3)− ν3ε(ν3)
)
+ β1ν3g(ν3), ν̇3 = g(ν3)(β2ν1 − β1ν2).
(40)
Запишем соотношение, вытекающее из (40):
β1ν1 + β2ν2 +
∫
h(ν3)− ν3ε(ν3)
g(ν3)
dν3 = c5, (41)
где c5 – постоянная.
Положим A1 = A2 6= A3. Подставим (39) в уравнения (10). После некото-
рых преобразований имеем
A2
1
[
ε2(ν3)(1 − ν23) + (β21 + β22)g
2(ν3) + 2ε(ν3)g(ν3)(β1ν1 + β2ν2)
]
+A2
3h
2(ν3) = c2,
(42)
20
О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле
(β1ν1 + β2ν2) =
1
A1g(ν3)
[
k +A1ε(ν3)(ν
2
3 − 1)−A3ν3h(ν3)
]
, (43)
2U(ν1, ν2, ν3) =
1
A1
[
A3(A1 −A3)h
2(ν3)− 2EA1 + c2
]
. (44)
Отметим, что уравнение (44) записано как линейная комбинация первого и
четвертого уравнений системы (10).
Проведем исследование соотношений (42)–(44). Введем обозначения
H(ν3) = A3h(ν3)−A1ν3ε(ν3), L(ν3) = A1ε(ν3)− k. (45)
Продифференцировав уравнение (41), получим
(
β1ν1(ν3) + β2ν2(ν3)
)
′
+
h(ν3)− ν3ε(ν3)
g(ν3)
= 0, (46)
где штрихом обозначена производная по переменной ν3.
Подставим выражение β1ν1 + β2ν2 из (43) в (46). Учитывая обозначения
(45), получим дифференциальное уравнение на функции H(ν3), L(ν3), g(ν3)
следующего вида:
A3ν3g(ν3)H
′(ν3) +A3g(ν3)L
′(ν3)−A3g
′(ν3)
[
ν3H(ν3) + L(ν3)
]
−
−(A1 −A3)g(ν3)(H(ν3) + ν3L(ν3) + kν3) = 0.
(47)
Внесем β1ν1(ν3) + β2ν2(ν3) из (43) в уравнение (42):
H2(ν3) + σ20g
2(ν3) = C + L2(ν3)
(
C = c2 − k2, σ0 = A1
√
β21 + β22
)
. (48)
Исключим в уравнении (47) функцию g(ν3) с помощью (48):
A3H
′(ν3)
[
Cν3 + ν3L
2(ν3) + L(ν3)H(ν3)
]
+A3L
′(ν3)
[
C −H2(ν3)− ν3L(ν3)H(ν3)
]
+
+ (A3 −A1)
[
C + L2(ν3)−H2(ν3)
][
H(ν3) + ν3(L(ν3) + k)
]
= 0. (49)
После нахождения из (49) функций H(ν3), L(ν3) из (48) определим
g(ν3) =
1
σ0
√
C + L2(ν3)−H2(ν3), (50)
а функции h(ν3) и ε(ν3) получим из (45):
h(ν3) =
1
A3
[
H(ν3) + ν3(L(ν3) + k)
]
, ε(ν3) =
L(ν3) + k
A1
. (51)
При ε(ν3) = β0 = const уравнение (49) преобразуется к уравнению (35).
Рассмотрим случай h(ν3) = 0. Тогда из (51) найдем
H(ν3) = −ν3[L(ν3) + k]. (52)
21
Г.В. Горр, А.В.Мазнев
Подставим выражение (52) в уравнение (49)
L′(ν3)(C − c2ν23)− ν3L(ν3)(C − kL(ν3)) = 0. (53)
Уравнение (53) интегрируется явно
L(ν3) =
Cψ(ν3)
kψ(ν3) + 1
, ψ(ν3) = c∗(C − c2ν23)
−
C
2c2 , (54)
где c∗ – произвольная постоянная.
Если параметр k = 0, то из (53) следует
L(ν3) = c2ψ(ν3), ψ(ν3) =
c∗
c
√
1− ν23
. (55)
На основании (48), (52) при k = 0 для функции g(ν3) получим постоянное
значение g0. ИС (39) упрощаются:
ω1 = ν1
L(ν3)
A1
+ β1g0, ω2 = ν2
L(ν3)
A1
+ β2g0, ω3 = 0. (56)
Значение функции U(ν1, ν2, ν3) получим из (44) на решении (56), в котором
ν1 = sin θ sinϕ, ν2 = sin θ cosϕ, ν3 = cos θ,
θ̇ = −
1
2A1g0
√
4A2
1χ
2
0 sin
2 θ − (2A1g0c∗ + cc∗ sin θ)2,
ϕ = arcsin
2A1g0c
∗ − cc∗ sin θ
2A1g0 sin θ
+ arctg
β2
β1
.
(57)
Случай h(ν3) = ν3ε(ν3), k = 0. Он представляет интерес в силу того,
что уравнения (40) допускают линейный интеграл, следующий из (46):
β1ν1 + β2ν2 = c5. (58)
В этом случае ИС (39) принимают вид
ω1 = ν1ε(ν3) + β1g(ν3), ω2 = ν2ε(ν3) + β2g(ν3), ω3 = ν3ε(ν3).
Рассмотрим уравнение (49) с учетом (48). Полагая в (49) на основании
принятых ограничений
H(ν3) =
ν3(A3 −A1)
A1
L(ν3), k = 0, (59)
получим уравнение
CA2
1
[
A1 + (A3 −A1)ν
2
3
]
L′(ν3) + (A3 −A1)ν3L(ν3)
{
2CA2
1+
+
[
A1(A1 +A3)−A3(A3 −A1)ν
2
3
]
L2(ν3)
}
= 0.
(60)
22
О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле
Для интегрирования уравнения (60) необходимо выполнить две замены:
u = L2(ν3), v =
1
u
. (61)
Тогда получим линейное уравнение относительно v:
CA2
1
[
A1 + (A3 −A1)ν
2
3
]
v′(ν3)− 4CA2
1(A3 −A1)ν3v(ν3) =
= 2(A3 −A1)ν3
[
A1(A1 +A3)−A3(A3 −A1)ν
2
3
]
.
(62)
Общее решение уравнения (62) таково
v(ν3) =
1
CA2
1
[
A3ϕ(ν3) + bϕ2(ν3)−
1
2
A2
1(A1 + 2A3)
]
, (63)
где b – произвольная постоянная, а ϕ(ν3) = A1+(A3−A1)ν
2
3 . Следовательно,
в силу (59), (61)
H(ν3) =
ν3(A3 −A1)
A1
√
v(ν3)
, L(ν3) =
1
√
v(ν3)
, (64)
v(ν3) определена в (63).
Введем для ν1, ν2 соотношения (16), подстановка которых в геометриче-
ский интеграл дает тождество.
Запишем значение g(ν3) из (50) в силу (59):
g(ν3) =
1
σ0A1
√
c2A2
1 + L2(ν3)[A
2
1 − ν23(A3 −A1)2]. (65)
Здесь L(ν3) имеет вид из (64). Подставим (16) в интеграл (58)
χ0
√
1− ν23 sin(ϕ+ β0) = c5 (66)
и в третье уравнение системы (40):
ν̇3 = −χ0g(ν3)
√
1− ν3 cos(ϕ+ β0). (67)
Значения χ0 и β0 указаны в (18). Тогда с учетом (66) уравнение (67) прини-
мает вид
ν̇3 = −g(ν3)
√
(χ2
0 − c25)− ν23χ
2
0. (68)
То есть ν3(t) получим обращением интеграла из (68)
ν3
∫
ν
(0)
3
dν3
g(ν3)
√
(χ2
0 − c25)− ν23χ
2
0
= −(t− t0). (69)
23
Г.В. Горр, А.В.Мазнев
Здесь g(ν3) можно получить из (65), (64), (63) на решении (39), (64). Значение
функции h(ν3) таково
h(ν3) =
ν3
A1
√
v(ν3)
. (70)
Переменную ϕ(ν3) получим из равенства (66)
ϕ = − arctg
β2
β1
+ arcsin
c5
χ0
√
1− ν23
, (71)
где ν3(t) определяется из (69).
Таким образом, приведены примеры разрешимости в квадратурах урав-
нений движения тела в потенциальном силовом поле, которые допускают три
инвариантных соотношения (39). При этом модуль момента количества дви-
жения тела постоянен. Для построенных примеров условие x · (ν × ax) = 0
не выполняется, т. е. дополнительных исследований не требуется.
1. Зиглин С.Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование инте-
грала в динамике твердого тела // Тр. Москов. мат. о-ва. – 1980. – 41. – С. 287–303.
2. Козлов В.В., Онищенко Д.А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа // Докл. АН
СССР. – 1982. – 266, № 6. – С. 1298–1300.
3. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого
тела. Развитие и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.
4. Харламов П.В. Современное состояние и перспективы развития классических задач
динамики твердого тела // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – С. 1–12.
5. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалев А.М. Классические задачи динамики твердого
тела. – Киев: Наук. думка, 2012. – 400 с.
6. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-
нецк: ДонНУ, 2010. – 364 с.
7. Горр Г.В., Ковалев A.M. Движение гиростата. – Киев: Наук. думка, 2013. – 408 с.
8. Горячев Д.Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твердого тела. –
Варшава, 1910. – 62 с.
9. Горр Г.В., Илюхин А.А., Харламова Е.И. Об особых решениях одной формы уравне-
ний движения твердого тела, имеющего неподвижную точку // Механика твердого
тела. – 1974. – Вып. 6. – С. 3–9.
10. Горр Г.В., Илюхин А.А. Случаи постоянства модуля момента количества движения
гиростата // Механика твердого тела. – 1974. – Вып. 6. – С. 9–15.
G.V.Gorr, A.V. Maznev
On solutions of the equations of motion of a rigid body in the potential force
field in the case of constant modulus of the kinetic moment
The article considers the problem of motion of a rigid body with a fixed point in the potential
force field. It is assumed that the equations of motion admit an invariant relationship, which is
characterized by the constancy of the module of the angular momentum. The details of four new
classes of solutions of the equations of motion of the dynamically symmetric body are indicated.
Keywords: rigid body, angular momentum, invariant relation.
ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”, Донецк
gvgorr@gmail.com
Получено 12.09.17
24
|