О прецессиях второго типа гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил
Рассмотрена задача о движении гиростата, несущего два ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил. Исследованы условия существования прецессий гиростата, характеризующихся постоянством скорости собственного вращения. Уравнения движения редуцированык одному дифференциальномууравнению о...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140936 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О прецессиях второго типа гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / Г.А. Котов, А.И. Шмыгаль // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 36-44. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140936 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1409362018-07-20T01:22:59Z О прецессиях второго типа гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил Котов, Г.А. Шмыгаль, А.И. Рассмотрена задача о движении гиростата, несущего два ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил. Исследованы условия существования прецессий гиростата, характеризующихся постоянством скорости собственного вращения. Уравнения движения редуцированык одному дифференциальномууравнению относительно скорости прецессии гиростата. Получены новые решения приведенных уравнений. The problem of motion of a gyrostat carrying two rotors under the action of potential and gyroscopic forces is considered. Conditions of existence of precession motions of the gyrostat with permanent self-rotation velocity are studied. The equations of motions are reduced to one differential equation for the precession velocity of the gyrostat and new solutions of this equation are obtained. 2017 Article О прецессиях второго типа гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / Г.А. Котов, А.И. Шмыгаль // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 36-44. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140936 531.38, 531.39 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача о движении гиростата, несущего два ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил. Исследованы условия существования прецессий гиростата, характеризующихся постоянством скорости собственного вращения. Уравнения движения редуцированык одному дифференциальномууравнению относительно скорости прецессии гиростата. Получены новые решения приведенных уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Котов, Г.А. Шмыгаль, А.И. |
| spellingShingle |
Котов, Г.А. Шмыгаль, А.И. О прецессиях второго типа гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил Механика твердого тела |
| author_facet |
Котов, Г.А. Шмыгаль, А.И. |
| author_sort |
Котов, Г.А. |
| title |
О прецессиях второго типа гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_short |
О прецессиях второго типа гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full |
О прецессиях второго типа гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_fullStr |
О прецессиях второго типа гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full_unstemmed |
О прецессиях второго типа гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_sort |
о прецессиях второго типа гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140936 |
| citation_txt |
О прецессиях второго типа гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / Г.А. Котов, А.И. Шмыгаль // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 36-44. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT kotovga oprecessiâhvtorogotipagirostatasperemennymgirostatičeskimmomentompoddejstviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsil AT šmygalʹai oprecessiâhvtorogotipagirostatasperemennymgirostatičeskimmomentompoddejstviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsil |
| first_indexed |
2025-07-10T11:35:17Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:35:17Z |
| _version_ |
1837259628202688512 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2017. Вып. 47
УДК 531.38, 531.39
c©2017. Г.А. Котов, А.И. Шмыгаль
О ПРЕЦЕССИЯХ ВТОРОГО ТИПА ГИРОСТАТА
С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ
И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
Рассмотрена задача о движении гиростата, несущего два ротора, под действием потенци-
альных и гироскопических сил. Исследованы условия существования прецессий гиростата,
характеризующихся постоянством скорости собственного вращения. Уравнения движения
редуцированы к одному дифференциальному уравнению относительно скорости прецессии
гиростата. Получены новые решения приведенных уравнений.
Ключевые слова: прецессии второго типа, два ротора, гиростат с переменным гиро-
статическим моментом.
Введение. В динамике систем связанных твердых тел традиционно
применяется модель гиростата. Она использовалась в статьях Н. Е. Жу-
ковского [1], В. В. Румянцева [2], П. В. Харламова [3], которые получили
дифференциальные уравнения движения гиростата в случаях постоянного и
переменного гиростатического момента. Подробный анализ результатов в за-
дачах динамики твердого тела изложен в монографиях [4–6]. Он показывает,
что большое внимание в научных публикациях уделяется изучению прецес-
сионных движений, которые находят широкое применение в практических
задачах техники. Так, например, в статьях [7, 8] рассмотрена проблема ис-
следования условий существования прецессий гиростата с одним ротором. В
статьях [9–12] изучены различные классы прецессий гиростата, который не-
сет два вращающихся ротора. В [9] рассмотрены полурегулярные прецессии, в
[10] предложен общий метод исследования прецессий, в [11] получены условия
существования маятниковых движений, в [12] указаны новые решения урав-
нений движения гиростата в случае прецессионно-изоконических движений.
Общим математическим методом служит метод инвариантных соотношений
для автономных [13] и неавтономных дифференциальных уравнений [14].
В данной статье изучаются прецессии гиростата с двумя роторами в пред-
положении, что постоянна скорость собственного вращения гиростата. Полу-
чено одно дифференциальное уравнение относительно скорости прецессии и
указаны решения этого уравнения.
1. Постановка задачи. Запишем уравнения движения гиростата с дву-
мя роторами в предположении, что на гиростат действуют потенциальные и
гироскопические силы [6]
Aω̇ + λ̇1(t)α+ λ̇2(t)β = (Aω + λ1(t)αλ2(t)β) ×ω +
+ ω ×Bν + s× ν + ν ×Cν,
(1)
36
О прецессиях гиростата с переменным гиростатическим моментом
ν̇ = ν × ω. (2)
В (1), (2) введены обозначения: ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скоро-
сти; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор оси симметрии силовых полей; λi(t)
(i = 1, 2) – проекции гиростатического момента на единичные ортогональные
векторы α = (α1, α2, α3), β = (β1, β2, β3); A = (Aij) – тензор инерции гиро-
стата, B = (Bij), C = (Cij) (i, j = 1, 3) – постоянные симметричные матрицы;
точка над переменными обозначает дифференцирование по времени t.
Уравнения (1), (2) допускают первые интегралы
ν · ν = 1,
[
Aω + λ1(t)α+ λ2(t)β
]
· ν −
1
2
(Bν · ν) = k, (3)
где k – произвольная постоянная.
Зададим прецессии второго типа [5, 6]
a · ν = a0, ω = ϕ̇a+ ψ̇ν = na+ ψ̇ν, (4)
где ϕ̇ = n = const, или ϕ = nt+ϕ0 (положим ϕ0 = 0); a0 = cos θ0, θ0 = ∠(a,ν);
a – единичный вектор, неизменно связанный с гиростатом.
Подставим (4) в (2), тогда
ν̇ = n(ν × a). (5)
Полагая a = (0, 0, 1), из (5) и интеграла ν21 + ν22 + ν23 = 1 находим [5]
ν1 = a′0 sinnt, ν2 = a′0 cosnt, ν3 = a0, (6)
где a′0 =
√
1− a20. Таким образом, общее решение уравнения (2) выражается
в виде периодических функций (6).
Запишем уравнение (1), подставив в него ω из (4):
λ̇1(t)α+ λ̇2(t)β = −ψ̈Aν − ψ̇nSp(A)(ν × a) + ψ̇2n(ν ×Aa) + n2(Aa× a)+
+ ψ̇2(Aν × ν) + λ1(t)
[
n(α× a) + ψ̇(α× ν)
]
+ λ2(t)
[
n(β × a) + ψ̇(β × ν)
]
+
+ ψ̇(ν ×Bν) + n(a×Bν) + s× ν + ν × Cν. (7)
В уравнении (7) Sp(A) =
3
∑
i=1
Aii.
Векторы α = (α1, α2, α3), β = (β1, β2, β3), γ = α×β = (γ1, γ2, γ3) состав-
ляют базис. Спроецируем обе части уравнения (7) на векторы α, β, γ. Тогда,
полагая A = diag(A1, A2, A3), B = diag(B1, B2, B3), C = diag(C1, C2, C3),
получим
λ̇1(t) = λ2(t)
(
P (1)(t)ψ̇ + nγ3
)
− ψ̈(t)p1(t) + ψ̇(t)
[
c0(α1 cosnt−
− α2 sinnt) +R(1)(t)
]
+ ψ̇2(t)Q(1)(t) +K(1)(t) + nN (1)(t) + Π(1)(t),
(8)
37
Г.А. Котов, А.И. Шмыгаль
λ̇2(t) = −λ1(t)
(
P (1)(t)ψ̇ + nγ3
)
− ψ̈(t)q1(t) + ψ̇(t)
[
c0(β1 cosnt−
− β2 sinnt) +R(2)(t)
]
+ ψ̇2(t)Q(2)(t) +K(2)(t) + nN (2)(t) + Π(2)(t),
(9)
λ1(t)
[
ψ̇(t)(a′0β1 sinnt+ a′0β2 cosnt+ a0β3) + nβ3
]
−
− λ2(t)
[
ψ̇(t)(a′0α1 sinnt+ a′0α2 cosnt+ a0α3) + nα3
]
=
= ψ̈(t)r1(t)− ψ̇(t)
[
c0(γ1 cosnt− γ2 sinnt) +R(3)(t)
]
−
− ψ̇2(t)Q(3)(t)−K(3)(t)− nN (3)(t)−Π(3)(t).
(10)
В уравнениях (8)–(10) введены следующие функции:
p1(t) = ε
(1)
1 cosnt+ ε
(1)
2 sinnt+ ε
(1)
0 ,
q1(t) = ε
(2)
1 cosnt+ ε
(2)
2 sinnt+ ε
(2)
0 ,
r1(t) = ε
(3)
1 cosnt+ ε
(3)
2 sinnt+ ε
(3)
0 ,
P (1)(t) = P
(1)
1 cosnt+ P
(1)
2 sinnt+ P
(1)
0 ,
Q(k)(t) = Q
(k)
2 sin 2nt+Q
(k)
1 cosnt+ Q̃
(k)
1 sinnt,
R(k)(t) = R
(k)
2 sin 2nt+R
(k)
1 cosnt+ R̃
(k)
1 sinnt,
K(k)(t) = K
(k)
1 cosnt+K
(k)
2 sinnt+K
(k)
0 ,
N (k)(t) = N
(k)
1 cosnt+N
(k)
2 sinnt,
Π(k)(t) = Π
(k)
2 sin 2nt+Π
(k)
1 cosnt+ Π̃
(k)
1 sinnt,
k = 1, 2, 3,
(11)
где
c0 = a′0n(A3 −A2 −A1),
P
(1)
1 = a′0γ2, P
(1)
2 = a′0γ1, P
(1)
0 = a0γ3,
ε
(1)
1 = a′0α2A2, ε
(1)
2 = a′0α1A1, ε
(1)
0 = a0α3A3,
ε
(2)
1 = a′0β2A2, ε
(2)
2 = a′0β1A1, ε
(2)
0 = a0β3A3,
ε
(3)
1 = a′0γ2A2, ε
(3)
2 = a′0γ1A1, ε
(3)
0 = a0γ3A3, (12)
Q
(1)
2 =
1
2
a′20 α3(A1 −A2), Q
(1)
1 = a0a
′
0α1(A2 −A3), Q̃
(1)
1 = a0a
′
0α2(A3 −A1),
Q
(2)
2 =
1
2
a′20 β3(A1 −A2), Q
(2)
1 = a0a
′
0β1(A2 −A3), Q̃
(2)
1 = a0a
′
0β2(A3 −A1),
Q
(3)
2 =
1
2
a′20 γ3(A1 −A2), Q
(3)
1 = a0a
′
0γ1(A2 −A3), Q̃
(3)
1 = a0a
′
0γ2(A3 −A1),
38
О прецессиях гиростата с переменным гиростатическим моментом
R
(1)
2 =
1
2
a′20 α3(B1 −B2), R
(1)
1 = a0a
′
0α1(B2 −B3), R̃
(1)
1 = a0a
′
0α2(B3 −B1),
R
(2)
2 =
1
2
a′20 β3(B1 −B2), R
(2)
1 = a0a
′
0β1(B2 −B3), R̃
(2)
1 = a0a
′
0β2(B3 −B1),
R
(3)
2 =
1
2
a′20 γ3(B1 −B2), R
(3)
1 = a0a
′
0γ1(B2 −B3), R̃
(3)
1 = a0a
′
0γ2(B3 −B1),
K
(1)
1 = a′0(α3s1 − α1s3),K
(1)
2 = a′0(α2s3 − α3s2),K
(1)
0 = a0(α1s2 − α2s1),
K
(2)
1 = a′0(β3s1 − β1s3),K
(2)
2 = a′0(β2s3 − β3s2),K
(2)
0 = a0(β1s2 − β2s1),
K
(3)
1 = a′0(γ3s1 − γ1s3),K
(3)
2 = a′0(γ2s3 − γ3s2),K
(3)
0 = a0(γ1s2 − γ2s1),
N
(1)
1 = −a′0α1B2, N
(1)
2 = −a′0α2B1, N
(2)
1 = −a′0β1B2,
N
(2)
2 = −a′0β2B1, N
(3)
1 = −a′0γ1B2, N
(3)
2 = −a′0γ2B1,
Π
(1)
2 =
1
2
a′20 α3(C1 − C2),Π
(1)
1 = a0a
′
0α1(C2 − C3), Π̃
(1)
1 = a0a
′
0α2(C3 − C1),
Π
(2)
2 =
1
2
a′20 β3(C1 − C2),Π
(2)
1 = a0a
′
0β1(C2 −C3), Π̃
(2)
1 = a0a
′
0β2(C3 − C1),
Π
(3)
2 =
1
2
a′20 γ3(C1 − C2),Π
(3)
1 = a0a
′
0γ1(C2 − C3), Π̃
(3)
1 = a0a
′
0γ2(C3 − C1).
Запишем интеграл моментов из (3) в координатах
λ1(t)(a
′
0α1 sinnt+ a′0α2 cosnt+ a0α3) + λ2(t)(a
′
0β1 sinnt+
+ a′0β2 cosnt+ a0β3) = d2 cos 2nt+ d0 − ψ̇(t)(
a′20
2
(A2 −A1) cos 2nt+
+
1
2
a′20 (A1 +A2) + a20A3),
(13)
где d2 =
1
4
a′20 (B2 −B1), d0 = k +
a′20
4
(B1 +B2) +
1
2
a20B3 − a0nA3.
Опишем общий метод решения задачи об условиях существования пре-
цессий (4)–(6). Обозначая через u(t) = ψ̇(t), из уравнений (10), (13) находим
функции λi(t) = λi(t, u(t), u̇(t), σij), где σij – параметры задачи, указанные
в (12). Подставляя данные функции в одно из уравнений (8), (9), получим
дифференциальное уравнение вида F (t, u(t), u̇(t), ü(t), σij) = 0, решение ко-
торого позволяет найти зависимость ψ̇ = u(t) и тем самым построить решение
ω = ψ̇ν + na, которое описывает вместе с формулами (6) прецессию второго
типа.
Условия разрешимости уравнения F (t, u(t), u̇(t), ü(t), σij) = 0 есть условия
существования построенного таким методом решения уравнений (1), (2).
2. Новые классы полурегулярных прецессий второго типа. По-
ложим
α = (1, 0, 0), β = (0, 1, 0), γ = (0, 0, 1). (14)
39
Г.А. Котов, А.И. Шмыгаль
Введем дополнительные обозначения
n1 = a′20 A1 + a20A3, m1 = k +
a′20
4
(3B1 −B2) +
a20
2
B3 − a0nA3,
n2 = a′20 A2 + a20A3, m2 = k +
a′20
4
(3B2 −B1) +
a20
2
B3 − a0nA3.
Используя условия (14) и значения постоянных параметров (12), из (10), (13)
и (8) получим
λ1(t) =
1
a′0u(t)
[
a0A3u̇(t) cosnt− n1u
2(t) sin nt+
+u(t)(−d2 cos 2nt+m1) sinnt− a′0(s1 cosnt− s2 sinnt) cosnt−
−a′20 (C2 − C1) sinnt cos
2 nt
]
,
(15)
λ2(t) =
1
a′0u(t)
[
− a0A3u̇(t) sin nt− n2u
2(t) cosnt+
+u(t)(−d2 cos 2nt+m2) cosnt+ a′0(s1 cosnt− s2 sinnt) sinnt+
+a′20 (C2 − C1) sin
2 nt cosnt
]
,
(16)
λ̇1(t)− λ2(t)(a0u(t) + n) + a′0A1u̇(t) sin nt+ a′0[a0(B2 −B3)+
+n(A1 −A2 +A3)]u(t) cos nt− a0a
′
0(A2 −A3)u
2(t) cosnt+
+a′0[nB2 + a0(C2 −C3) + s3] cos nt− a0s2 = 0.
(17)
Отметим, что функции (15), (16) определены из уравнений (10), (13).
Подставим (15), (16) в уравнение (17):
a0A3u(t)ü(t)− a0A3u̇
2(t) + a′0u̇(t)
[
s1 cosnt− s2 sinnt+
+a′0(C2 − C1) sinnt cosnt
]
+ a0A3u
4(t) + u3(t)(a0d2 cos 2nt+ σ1)−
+u2(t)
[
σ2 cos 2nt− a0a
′
0(s1 sinnt+ s2 cosnt) + σ3
]
+
+na′0u(t)
[
s1 sinnt+ s2 cosnt− a′0(C2 − C1) cos 2nt
]
= 0,
(18)
где
σ1 =
a0a
′2
0
4
(B1 +B2 − 4B3)− a0(k +
a20
2
B3) + nA3,
σ2 =
a′20
2
[
a0(C2 − C1)− n(B2 −B1)
]
,
σ3 =
a′20
2
[
a0(C1 + C2 − 2C3) + n(B1 +B2) + 2s3
]
.
40
О прецессиях гиростата с переменным гиростатическим моментом
Вариант №1. Положим в уравнении (18)
a0 = 0, s1 = s2 = 0, C1 = C2, B1 = B2. (19)
В силу (19) уравнение (18) упрощается:
u2(t)[nA3u(t) + s3 + nB1] = 0,
откуда при u(t) 6= 0 находим ψ̇ = u(t) = −
s3 + nB1
nA3
. Следовательно, скорость
прецессии – постоянная величина. То есть, в случае ограничений (19) имеем
вырождение полурегулярной прецессии в регулярную. Из формул (15), (16)
найдем
λ1(t) =
nA3(B1 + 2k) + 2A1(s3 + nB2)
2nA3
sinnt,
λ2(t) =
nA3(B1 + 2k) + 2A2(s3 + nB2)
2nA3
cosnt.
Таким образом, при выполнении условий (19) угловая скорость гиростата,
как следует из (4), имеет вид
ω = na+mν,
где m = −
s3 + nB1
nA3
, а компоненты вектора ν выражаются по формулам (6).
Вариант №2. Рассмотрим уравнение (18) при условиях
a0 = 0, s1 = s2 = 0, C1 = C2.
Тогда имеем
ψ̇(t) = u(t) =
1
2A3
[
(B2 −B1) cos 2nt− (B1 +B2)−
2s3
n
]
. (20)
Полагая B2 6= B1, s3 6= −
n
2
(B1 +B2), из уравнения (20) получим
ψ(t) =
1
2nA3
[B2 −B1
2
sin 2nt− (s3 + nB1 + nB2)t
]
+ ψ0, (21)
где ψ0 = const. Зависимость (21) показывает, что ψ(t) – условно периодиче-
ская функция, имеющая вековую составляющую. Данное решение является
частным случаем решения из [15], поскольку в (21) матрицы A, B, C явля-
ются диагональными.
Вариант №3. Пусть имеют место ограничения
a0 = 0, s1 = s2 = 0, B2 = B1, C2 6= C1, s3 = −nB1. (22)
41
Г.А. Котов, А.И. Шмыгаль
Обозначим µ = C2 − C1. В силу (22) уравнение (18) принимает вид
1
2
µu̇(t) sin 2nt− nµu(t) cos 2nt+ nA3u
3(t) = 0
и допускает решение u(t) =
√
µ cosnt sinnt
√
cµ −A3 cos2 nt
(c – произвольная постоянная).
Следовательно,
ψ(t) =
∫
u(t)dt =
√
µ
nA3
√
cµ −A3 cos2 nt+ ψ1,
где ψ1 = const. Таким образом, угол прецессии – периодическая функция с
периодом T =
π
n
.
Компоненты λ1(t), λ2(t) гиростатического момента λ(t) найдем из (15),
(16); период этих функций T =
2π
n
.
Условия (22) можно ослабить: не обязательно требовать принадлежности
центра масс гиростата третьей оси. В таком случае уравнение (18) запишем
в виде
u̇(t)(s1 cosnt− s2 sinnt+ µ sinnt cosnt)+
+nu(t)(s1 sinnt+ s2 cosnt− µ cos 2nt) + u3(t)nA3 = 0
и с помощью замены v(t) = s1 cosnt− s2 sinnt+
1
2
µ sin 2nt представим его в
виде
−
(v(t)
u(t)
)
.
+ nA3u(t) = 0. (23)
Пусть w = c0 + 2A3(4s1 sinnt + 4s2 cosnt − µ cos 2nt), где c0 – произвольная
постоянная. Легко проверить, что функция u(t) =
ẇ
4nA3
√
w
=
2v
√
w
является
решением уравнения (23). Скорость прецессии такова
ψ̇(t) =
2s1 cosnt− 2s2 sinnt+ µ sin 2nt
√
c0 + 2A3(4s1 sinnt+ 4s2 cosnt− µ cos 2nt)
.
Угол прецессии находится путем интегрирования уравнения
ψ̇(t) =
ẇ
4nA3
√
w
,
т. е.
ψ(t) =
1
2nA3
√
c0 + 2A3(4s1 sinnt+ 4s2 cosnt− µ cos 2nt) + ψ2 ,
где ψ2 = const. Период полученного решения, в отличие от случая s1 = s2 = 0,
равен T =
2π
n
. Компоненты гиростатического момента определяются из (15),
(16).
42
О прецессиях гиростата с переменным гиростатическим моментом
Вариант №4. Зададим равенства
B1 = B2, C1 = C2, s1 = s2 = 0, s3 = a0(C3 − C1)− nB1,
k =
1
a0
(nA3 +
a0a
′2
0
2
(B1 − 2B3))−
a20
2
B3.
(24)
При этом полагаем a0 6= 0. Для записи уравнения (18) при условиях (24)
вместо переменной t введем безразмерное время τ = nt. Обозначая диффе-
ренцирование по τ штрихом, из (18) получим
ψ′(τ)ψ′′′(τ)− (ψ′′(τ))2 + (ψ′(τ))4 = 0. (25)
Общее решение уравнения (25) таково
ψ(t) = arctg sh(c∗1nt+ c∗2) + ψ3, (26)
где ψ3, c
∗
1, c
∗
2 — произвольные постоянные. На основании (26) компоненты
λ1(t), λ2(t) из (15), (16) преобразуются к виду
λ1(t) =
1
a′0
[
− a0nc
∗
1A3 cosnt th(c
∗
1nt+ c∗2)− nn1c
∗
1
sinnt
ch(c∗1nt+ c∗2)
+m1 sinnt
]
,
λ2(t) =
1
a′0
[
a0A3nc
∗
1 sinnt th(c
∗
1nt+ c∗2)− nn2c
∗
1
cosnt
ch(c∗1nt+ c∗2)
+m2 cosnt
]
.
Примечательным свойством полученного решения является непериодический
характер указанных компонент λi(t).
В варианте 4 угловая скорость гиростата в силу (4) и (26) имеет вид
ω = n
(
a+
c∗1ν
ch(c∗1nt+ c∗2)
)
,
откуда следует, что при t → ∞ вектор угловой скорости стремится к вектору
ω
∗ = na, (27)
т. е. гиростат при t → ∞ стремится к равномерному вращению с угловой
скоростью (27), которая не коллинеарна вектору вертикали ν.
Заключение. Получены дифференциальные уравнения движения ги-
ростата в случае прецессии второго типа. Эти уравнения (8)–(10) редуци-
рованы к одному уравнению (18) на скорость прецессии. В предположении
ортогональности гиростатического момента оси собственного вращения гиро-
стата получены четыре решения приведенного уравнения. Первые три реше-
ния характеризуются свойством ортогональности оси собственного вращения
вектору оси симметрии силовых полей.
Ни в одном из решений нет ограничений на главные моменты инерции
гиростата. В четвертом решении ось собственного вращения не ортогональна
вектору оси симметрии силовых полей; компоненты гиростатического момен-
та выражаются через тригонометрические и гиперболические функции вре-
мени; движение гиростата асимптотически стремится к равномерному вра-
щению относительно наклонной оси в неподвижном пространстве.
43
Г.А. Котов, А.И. Шмыгаль
1. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные одно-
родной капельной жидкостью // Собр. соч. – М.;Л.: ОГИЗ, 1949. – Т. 1. – С. 152–310.
2. Румянцев В.В. Об уравнении ориентации и о стабилизации спутника ротора //
Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика. – 1970. – № 2. – С. 83–96.
3. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого
тела. – 1972. – Вып. 4. – С. 52–73.
4. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого
тела. Развитие и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.
5. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-
нецк: ДонНУ, 2010. – 394 с.
6. Горр Г.В., Ковалев А.М. Движение гиростата. – Киев: Наук. думка, 2013. – 408 с.
7. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим мо-
ментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого
тела. – 2010. – Вып. 40. – C. 91–104.
8. Мазнев А.В., Котов Г.А. Прецессионно-изоконические движения второго типа в зада-
че о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом // Вiсн. Донецьк.
ун-ту. Сер. А. Природничi науки. – 2012. – Вип. 1. – C. 79–83.
9. Горр Г.В., Щетинина Е.К. Полурегулярные прецессии тяжелого гиростата, несущего
два ротора // Механика твердого тела. – 2014. – Вып. 44. – C. 16–26.
10. Котов Г.А. Прецессии общего вида в задаче о движении гиростата, несущего два
маховика с переменным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. –
2013. – Вып. 43. – C. 79–89.
11. Горр Г.В., Котов Г.А. О маятниковых движениях гиростата, несущего два ротора //
Механика твердого тела. – 2015. – Вып. 45. – C. 40–50.
12. Горр Г.В., Кошель Ю.В. Один класс прецессионно-изоконических движений гироста-
та, несущего два ротора // Механика твердого тела. – 2016. – Вып. 46. – C. 45–54.
13. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных урав-
нений // Механика твердого тела. – 1974. – Вып. 6. – С. 15–24.
14. Ковалев А.М., Горр Г.В., Неспирный В.Н. Инвариантные соотношения неавтоном-
ных систем дифференциальных уравнений с приложением в механике // Механика
твердого тела. – 2013. – Вып. 43. – C. 3–18.
15. Котов Г.А. О полурегулярных прецессиях гиростата, несущего два ротора // Меха-
ника твердого тела. – 2016. – Вып. 46. – C. 37–44.
G.A. Kotov, A.I. Shmigal
On the second type precessions of a gyrostat with the variable gyrostatic
moment under the action of potential and gyroscopic forces
The problem of motion of a gyrostat carrying two rotors under the action of potential and
gyroscopic forces is considered. Conditions of existence of precession motions of the gyrostat
with permanent self-rotation velocity are studied. The equations of motions are reduced to one
differential equation for the precession velocity of the gyrostat and new solutions of this equation
are obtained.
Keywords: second type precessions, two rotors, gyrostat with variable gyrostatic moment.
ГОУ ВПО “Донбасская национальная акад.
строительства и архитектуры”, Макеевка,
ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”,Донецк
kotov ga@rambler.ru, agreena@mail.ru
Получено 25.05.17
44
|