Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата с переменным гиростатическим моментом
Рассмотрена задача о движении гиростата, несущего два ротора, под действием гироскопических и потенциальных сил. Уравнения движения исследованы для программных движений, характеризующихся свойствами прецессионности и изоконичности. Выполне на редукция исходных уравнений к уравнению второго порядка...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140937 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата с переменным гиростатическим моментом / Г.В. Горр, Ю.В. Кошель // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 45-54. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140937 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1409372018-07-20T01:23:03Z Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата с переменным гиростатическим моментом Горр, Г.В. Кошель, Ю.В. Рассмотрена задача о движении гиростата, несущего два ротора, под действием гироскопических и потенциальных сил. Уравнения движения исследованы для программных движений, характеризующихся свойствами прецессионности и изоконичности. Выполне на редукция исходных уравнений к уравнению второго порядка относительно скорости собственного вращения гиростата. Получены новые решения, описывающие прецессионно-изоконические движения тела-носителя. The subject of consideration is the problem on motion of a gyrostat carrying two rotors and being under the action of potential and gyroscopic forces. Equations of motion are investigated for programmed motions which are defined as both precessional and isoconical. Starting equations are reduced to one second order equation with respect to the speed of proper rotation of the gyrostat. New solutions are obtained which describe precessionally isoconical motions of the carrier body. 2017 Article Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата с переменным гиростатическим моментом / Г.В. Горр, Ю.В. Кошель // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 45-54. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140937 531.38; 531.39 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача о движении гиростата, несущего два ротора, под действием гироскопических и потенциальных сил. Уравнения движения исследованы для программных движений, характеризующихся свойствами прецессионности и изоконичности. Выполне на редукция исходных уравнений к уравнению второго порядка относительно скорости собственного вращения гиростата. Получены новые решения, описывающие прецессионно-изоконические движения тела-носителя. |
| format |
Article |
| author |
Горр, Г.В. Кошель, Ю.В. |
| spellingShingle |
Горр, Г.В. Кошель, Ю.В. Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата с переменным гиростатическим моментом Механика твердого тела |
| author_facet |
Горр, Г.В. Кошель, Ю.В. |
| author_sort |
Горр, Г.В. |
| title |
Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_short |
Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_full |
Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_fullStr |
Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_full_unstemmed |
Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_sort |
новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140937 |
| citation_txt |
Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата с переменным гиростатическим моментом / Г.В. Горр, Ю.В. Кошель // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 45-54. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT gorrgv novyerešeniâuravnenijprecessionnoizokoničeskihdviženijgirostatasperemennymgirostatičeskimmomentom AT košelʹûv novyerešeniâuravnenijprecessionnoizokoničeskihdviženijgirostatasperemennymgirostatičeskimmomentom |
| first_indexed |
2025-07-10T11:35:25Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:35:25Z |
| _version_ |
1837259637155430400 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2017. Вып. 47
УДК 531.38; 531.39
c©2017. Г.В. Горр, Ю.В.Кошель
НОВЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ПРЕЦЕССИОННО-ИЗОКОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ
ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ
Рассмотрена задача о движении гиростата, несущего два ротора, под действием гиро-
скопических и потенциальных сил. Уравнения движения исследованы для программных
движений, характеризующихся свойствами прецессионности и изоконичности. Выполне-
на редукция исходных уравнений к уравнению второго порядка относительно скорости
собственного вращения гиростата. Получены новые решения, описывающие прецессионно-
изоконические движения тела-носителя.
Ключевые слова: гиростат, прецессионные и изоконические движения, редукция.
Введение. Задача о моделировании движений систем связанных твер-
дых тел, деформациями которых можно пренебречь, приводит к рассмотре-
нию систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Различные спосо-
бы получения уравнений движения таких систем указаны в статьях [1–4].
В монографиях [5–7] дан анализ публикаций, посвященных исследованию
движений класса систем связанных твердых тел, названного гиростатом, в
предположении постоянства гиростатического момента. Если полагать, что
тело-носитель несет гироскопы, вращающиеся неравномерно, то система диф-
ференциальных уравнений движения гиростата в общем случае не допускает
интеграла энергии и невозможно применить теорию интегрирующего множи-
теля, предложенную Якоби.
Исследование движения гиростата с переменным гиростатическим момен-
том проводится в зависимости от выбора классов программных движений.
Например, в случае, когда гиростат несет один ротор, рассмотрены важные
для практики прецессионные движения [8, 9]. Задача о движении гиростата,
несущего два ротора, является естественным обобщением как задачи о движе-
нии гиростата с постоянным гиростатическим моментом, так и задачи о дви-
жении гиростата с одним ротором. В этой задаче изучены прецессии общего
вида [10], регулярные прецессии [11], полурегулярные прецессии [12], маят-
никовые движения [13], прецессионно-изоконические движения [14]. Класс
прецессионно-изоконических движений гиростата рассмотрен только в слу-
чае, когда на гиростат дейтвует сила тяжести [14].
В данной статье исследованы условия существования прецессионно-
изоконических движений гиростата с двумя роторами под действием потен-
циальных и гироскопических сил. Найдены уравнения движения, выполнена
их редукция к уравнению второго порядка относительно скорости собствен-
ного вращения гиростата, получены новые решения редуцированных уравне-
ний.
45
Г.В. Горр, Ю.В. Кошель
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении гиростата под
действием потенциальных и гироскопических сил. Полагая, что гиростат не-
сет два вращающихся ротора, уравнения движения запишем в виде [7]
Aω̇+λ̇1(t)α+λ̇2(t)β = (Aω+λ1(t)α+λ2(t)β)×ω+ω×Bν+s×ν+ν×Cν, (1)
ν̇ = ν × ω. (2)
В (1), (2) введены обозначения: ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой ско-
рости; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор оси симметрии силовых полей;
λi(t) (i = 1, 2) – значения гиростатических моментов, имеющих единичные
векторы α,β (|α| = 1, |β| = 1, α · β = 0); A = (Aij) – тензор инерции;
B = (Bij) и C = (Cij) (i, j = 1, 3) – постоянные симметричные матрицы
третьего порядка; точка над переменными обозначает дифференцирование
по времени t. Уравнения (1), (2) имеют интегралы
ν · ν = 1, (Aω + λ1(t)α+ λ2(t)β) · ν −
1
2
(Bν · ν) = k, (3)
где k – произвольная постоянная.
Движение тела называется прецессионным, если постоянен угол между
единичным вектором a, неизменно связанным с телом-носителем, и вектором
ν. То есть выполняется инвариантное соотношение
a · ν = a0 (a0 = cos θ0, θ0 = ∠(a,ν)). (4)
При исследовании прецессий гиростата на первом этапе интегрируется
уравнение (2) [6]. Для этой цели дифференцируется нвариантное соотноше-
ние (4) в силу уравнения (2) и из полученного равенства устанавливается
соотношение
ω = ϕ̇a + ψ̇ν, (5)
где ϕ и ψ – углы Эйлера. После подстновки выражения (5) в уравнение (2)
получим
ν̇ = ϕ̇(ν × a). (6)
В [6] показано, что при условии a = (0, 0, 1), которое не умаляет общности
задачи, из (4), (6) и геометрического интеграла ν21 + ν22 + ν23 = 1 следуют
равенства
ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0 (a′0 = sin θ0). (7)
На втором этапе изучения прецессий рассматривается уравнение (1). В
данной статье исследованы прецессионно-изоконические движения гироста-
та, т. е. предполагается, что движение гиростата не только прецессионное, но
и изоконическое (т. е. подвижный и неподвижный годографы вектора угло-
вой скорости симметричны друг другу относительно касательной к ним плос-
кости). Для изоконических движений гиростата, угловая скорость которого
46
Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата
выражается по формуле (5), имеет место условие ψ̇ = ϕ̇ (см. [6]). Тогда выра-
жение (5) упростится:
ω = ϕ̇(a + ν). (8)
В [14] на основе уравнения (1) и равенства (8) получены три дифференци-
альных уравнения
λ̇1(t) = λ2(t)ϕ̇
(
a′0γ1 sinϕ+ a′0γ2 cosϕ+ (a0 + 1)γ3
)
− p1(ϕ)ϕ̈+
+ϕ̇2A
(1)
2 (ϕ) + ϕ̇B
(1)
2 (ϕ) + C
(1)
2 (ϕ),
(9)
λ̇2(t) = −λ1(t)ϕ̇
(
a′0γ1 sinϕ+ a′0γ2 cosϕ+ (a0 + 1)γ3
)
− q1(ϕ)ϕ̈+
+ϕ̇2A
(2)
2 (ϕ) + ϕ̇B
(2)
2 (ϕ) + C
(2)
2 (ϕ),
(10)
ϕ̇
{
λ1(t)
[
a′0β1 sinϕ+ a′0β2 cosϕ+ (a0 + 1)β3
]
−
−λ2(t)
[
a′0α1 sinϕ+ a′0α2 cosϕ+ (a0 + 1)α3
]
}
−
−r1(ϕ)ϕ̈+ ϕ̇2A
(3)
2 (ϕ) + ϕ̇B
(3)
2 (ϕ) + C
(3)
2 (ϕ) = 0.
(11)
Запишем обозначения, используемые в (9)–(11), для случая
A = diag(A1, A2, A3), B = diag(B1, B2, B3), C = diag(C1, C2, C3).
Из соотношений (12)–(34) статьи [14] с учетом Aij = 0, Bij = 0, Cij = 0
(i 6= j), имеем
p1(ϕ) = a′0α1A1 sinϕ+ a′0α2A2 cosϕ+ (a0 + 1)α3A3,
q1(ϕ) = a′0β1A1 sinϕ+ a′0β2A2 cosϕ+ (a0 + 1)β3A3,
r1(ϕ) = a′0γ1A1 sinϕ+ a′0γ2A2 cosϕ+ (a0 + 1)γ3A3,
(12)
A
(1)
2 (ϕ) = b′2 sin 2ϕ+ b1 cosϕ+ b′1 sinϕ,
A
(2)
2 (ϕ) = c′2 sin 2ϕ+ c1 cosϕ+ c′1 sinϕ,
A
(3)
2 (ϕ) = d′2 sin 2ϕ+ d1 cosϕ+ d′1 sinϕ,
(13)
B
(1)
2 (ϕ) = g′2 sin 2ϕ+ g1 cosϕ+ g′1 sinϕ,
B
(2)
2 (ϕ) = f ′2 sin 2ϕ+ f1 cosϕ+ f ′1 sinϕ,
B
(3)
2 (ϕ) = h′2 sin 2ϕ+ h1 cosϕ+ h′1 sinϕ,
(14)
C
(1)
2 (ϕ) = u′2 sin 2ϕ + u1 cosϕ+ u′1 sinϕ+ u0,
C
(2)
2 (ϕ) = v′2 sin 2ϕ + v1 cosϕ+ v′1 sinϕ+ v0,
C
(3)
2 (ϕ) = w′
2 sin 2ϕ +w1 cosϕ+ w′
1 sinϕ+ w0,
(15)
47
Г.В. Горр, Ю.В. Кошель
где
γ1 = α2β3 − α3β2, γ2 = α3β1 − α1β3, γ3 = α1β2 − α2β1, (16)
b′2 = a′0
2
α3(A1 −A2), b1 = a′0α̇1
[
(a0 + 1)(A2 −A3)−A1
]
,
b′1 = a′0α2
[
(a0 + 1)(A3 −A1) +A2
]
,
c′2 =
1
2
a′0
2
β3(A1 −A2), c1 = a′0β1
[
(a0 + 1)(A2 −A3)−A1
]
,
c′1 = a′0β2
[
(a0 + 1)(A3 −A1) +A2
]
,
d′2 =
1
2
a′0
2
γ3(A1 −A2), d1 = a′0γ1
[
(a0 + 1)(A2 −A3)−A1
]
,
d′1 = a′0γ2
[
(a0 + 1)(A3 −A1) +A2
]
,
(17)
g′2 =
1
2
a′0
2
α3(B2 −B1), g1 = a′0α1
[
a0B3 − (1 + a0)B2
]
,
g′1 = a′0α2
[
(a0 + 1)B1 − a0B3
]
,
f ′2 =
1
2
a′0
2
β3(B2 −B1), f1 = a′0β1
[
a0B3 − (1 + a0)B2
]
,
f ′1 = a′0β2
[
(a0 + 1)B1 − a0B3
]
,
h′2 =
1
2
a′0
2
γ3(B2 −B1), h1 = a′0γ1
[
a0B3 − (1 + a0)B2
]
,
h′1 = a′0γ2
[
(a0 + 1)B1 − a0B3
]
.
(18)
u′2 =
α3
2
a′0
2
(C2 − C1), u1 = a′0
[
α1(a0(C3 − C2)− s3) + α3s1
]
,
u′1 = a′0
[
α2(s3 − a0(C3 −C1))− α3s2
]
, u0 = a0(α1s2 − α2s1),
v′2 =
β3
2
a′0
2
(C2 − C1), v1 = a′0
[
β1(a0(C3 − C2)− s3) + β3s1
]
,
v′1 = a′0
[
β2(s3 − a0(C3 − C1))− β3s2
]
, v0 = a0(β1s2 − β2s1),
w′
2 =
γ3
2
a′0
2
(C2 − C1), w1 = a′0
[
γ1(a0(C3 − C2)− s3) + γ3s1
]
,
w′
1 = a′0
[
γ2(s3 − a0(C3 −C1))− γ3s2
]
, w0 = a0(γ1s2 − γ2s1).
(19)
Система (9)–(11) является системой дифференциальных уравнений относи-
тельно трех функций ϕ(t), λ1(t), λ2(t). Исследуем ее, полагая
ϕ̇ = σ(ϕ). (20)
Обозначая дифференцирование по ϕ штрихом и полагая ϕ 6= const, из (9)–
(11) найдем
λ′1(ϕ) = λ2(t)(a
′
0γ1 sinϕ+ a′0γ2 cosϕ+ (a0 + 1)γ3)− p1(ϕ)σ
′(ϕ)+
+σ(ϕ)A
(1)
2 (ϕ) +B
(1)
2 (ϕ) +
1
σ(ϕ)
C
(1)
2 (ϕ),
(21)
48
Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата
λ′2(ϕ) = −λ1(t)(a
′
0γ1 sinϕ+ a′0γ2 cosϕ+ (a0 + 1)γ3)− q1(ϕ)σ
′(ϕ)+
+σ(ϕ)A
(2)
2 (ϕ) +B
(2)
2 (ϕ) +
1
σ(ϕ)
C
(2)
2 (ϕ),
(22)
λ1(ϕ)(a
′
0β1 sinϕ+ a′0β2 cosϕ+ (a0 + 1)β3)− λ2(ϕ)(a
′
0α1 sinϕ+ a′0α2 cosϕ+
+ (a0 + 1)α3)− r1(ϕ)σ
′(ϕ) + σ(ϕ)A
(3)
2 (ϕ) +B
(3)
2 (ϕ) +
1
σ(ϕ)
C
(3)
2 (ϕ) = 0. (23)
При изучении прецессионно-изоконических движений гиростата, опи-
сываемых уравнениями (21)–(23), целесообразно привлечь интеграл момен-
тов из (3). Используя равенства (3), (5), (7) и условие ψ̇ = ϕ̇, представим
интеграл моментов в виде
λ1(t)(α1a
′
0 sinϕ+ α2a
′
0 cosϕ+ α3a0)+
+λ2(t)(β1a
′
0 sinϕ+ β2a
′
0 cosϕ+ β3a0) = σ(ϕ)R2(ϕ) +N2(ϕ),
(24)
где
R2(ϕ) = µ2 cos 2ϕ + µ0, N2(ϕ) = n2 cos 2ϕ+ n0,
µ2 =
1
2
a′0
2
(A1 −A2), µ0 = −
1
2
a′0
2
(A1 +A2)−A3(a0 + 1)a0,
n2 =
1
4
a′0
2
(B2 −B1), n0 =
1
4
a′0
2
(B1 +B2) +
1
2
B3a
2
0 + k.
(25)
Для исследования уравнений (21)–(24) можно было бы применить метод
инвариантных соотношений для неавтономных дифференциальных уравне-
ний, предложенный в статье [15]. Согласно этому методу, необходимо вычи-
слить производные от соотношения (23) в силу (21), (22) до второго порядка
включительно, а затем исследовать на совместность систему, состоящую из
двух полученных уравнений и уравнения (23) (они не будут содержать про-
изводные λ′1(ϕ), λ
′
2(ϕ)). В данной статье применяется иной метод: он заклю-
чается в нахождении функций λ1(ϕ), λ2(ϕ) из уравнений (23), (24) и подста-
новке их в уравнение (21). Таким путем получаем одно дифференциальное
уравнение относительно функции σ(ϕ). Нахождение решения этого уравне-
ния позволит построить решение системы уравнений (21)–(23), которая опи-
сывает прецессионно-изоконическое движение гиростата.
2. Случай ортогональности гиростатического момента оси соб-
ственного вращения. Рассмотрим случай
α = (1, 0, 0), β = (0, 1, 0), γ = (0, 0, 1). (26)
В формулах (9)–(19), (21)–(24) положим α1 = 1, α2 = α3 = 0; β1 = β3 = 0,
β2 = 1; γ1 = γ2 = 0, γ3 = 1. Тогда уравнения (21)–(24) примут вид
λ′1(ϕ) = (a0 + 1)λ2(ϕ) − a′0A1σ
′(ϕ) sinϕ+M1σ(ϕ) cos ϕ+
+M ′
1 cosϕ+
1
σ(ϕ)
(K1 cosϕ+K0),
(27)
49
Г.В. Горр, Ю.В. Кошель
λ′2(ϕ) = −(a0 + 1)λ′2(ϕ)− a′0A2σ
′(ϕ) cos ϕ+N1σ(ϕ) sinϕ+
+N ′
1 sinϕ+
1
σ(ϕ)
(L1 sinϕ+ L0),
(28)
a′0(λ1(ϕ) cos ϕ− λ2(ϕ) sinϕ) = (a0 + 1)A3σ
′(ϕ)− µ2σ(ϕ) sin 2ϕ+
+2n2 sin 2ϕ−
1
σ(ϕ)
(S2 sin 2ϕ+ S1 cosϕ− S′
1 sinϕ),
(29)
a′0(λ1(ϕ) sinϕ+ λ2(ϕ) cosϕ) = σ(ϕ)(µ2 cos 2ϕ+ µ0) + n2 cos 2ϕ+ n0, (30)
где
M1 = a′0
[
(a0 + 1)(A2 −A3)−A1
]
, M ′
1 = a′0
[
a0B3 − (a0 + 1)B2
]
,
K1 = a′0
[
a0(C3 − C2)− s3
]
, K ′
0 = a0s2,
N1 = a′0
[
(a0 + 1)(A3 −A1) +A2
]
, N ′
1 = a′0
[
(a0 + 1)B1 − a0B3
]
,
L1 = a′0
[
s3 − a0(C3 − C1)
]
, L′
1 = −a0s1,
S2 =
1
2
a′0
2
(C2 − C1), S1 = a′0s1, S′
1 = −a′0s2.
(31)
Обозначения, используемые в (30), указаны в (25).
Из уравнений (23), (30) с учетом (31) найдем λ1(ϕ), λ2(ϕ):
λ1(ϕ) =
1
a′0
[
(a0 + 1)A3σ
′(ϕ) cosϕ− l1σ(ϕ) sinϕ+ n2(3 cos 2ϕ+ 2)+
+n0 sinϕ−
1
σ(ϕ)
(S2 sin 2ϕ+ S1 cosϕ− S′
1 sinϕ
]
,
(32)
λ2(ϕ) =
1
a′0
[
− (a0 + 1)A3σ
′(ϕ) sinϕ− l2σ(ϕ) cosϕ+ n2(3 cos 2ϕ − 2)+
+n0 cosϕ+
1
σ(ϕ)
(S2 sin 2ϕ+ S1 cosϕ− S′
1 sinϕ
]
.
(33)
Здесь l1 = (a0 + 1)[a0A3 + (1− a0)A1], l2 = (a0 + 1)[a0A3 + (1− a0)A2].
Подставим выражения (32), (33) в уравнение (27):
(a0 + 1)A3σ
2(ϕ)
[
σ′′(ϕ) + σ(ϕ)
]
+ σ′(ϕ)
[
S2 sin 2ϕ+ a′0(s1 cosϕ− s2 sinϕ)
]
+
+ σ(ϕ)
[
(a0 − 2)S2 cos 2ϕ+ a′0(1− a0)(s1 sinϕ+ s2 cosϕ)− a′0κ1
]
− (34)
− σ2(ϕ)(κ2 cos 2ϕ+ κ0) = 0,
где
κ2 =
1
4
a′0
2
(a0 − 2)(B1 −B2), κ1 =
a′0
2
[
a0(2C3 − C1 − C2)− 2s3
]
,
κ0 = a0k +
a0(2− a20)
2
B3 −
a′0
2
4
(a0 + 2)(B1 +B2).
(35)
50
Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата
При условиях Bi = 0, Ci = 0 (i = 1, 3) уравнение (34) преобразуется к
уравнению (41), указанному в [14]. Если данные условия не выполняются, а
уравнение (34) может быть редуцировано к уравнению (41) из [14], то реше-
ния, полученные в [14], можно рассматривать как решения уравнения (34).
Так будет, например, когда имеют место равенства
s1 = s2 = 0, C2 = C1, B2 = B1. (36)
Уравнение (34) при наличии условий (36) таково
(a0 + 1)A3σ(ϕ)
[
σ′′(ϕ) + σ(ϕ)
]
− κ0σ(ϕ)− a′0κ1 = 0. (37)
Интегрирование уравнения (37) основано [14] на приведении левой части к
виду
[
(a0 + 1)A3(σ
′2(ϕ) + σ2(ϕ)) − 2κ0σ(ϕ) − 2a′0κ1ln|σ(ϕ)|
]′
= 0.
Можно указать аналоги решений [14] и в случае σ(ϕ) = σ1 sin(ϕ)+
+σ2 cos(ϕ) + σ0.
3. Случай α = (0, 0, 1), β = (0, 1, 0), γ = (−1, 0, 0), a0 = 0. Введем
обозначения
µa =
1
2
(A2 −A1), µb =
1
2
(B1 −B2), µc =
1
2
(C1 − C2),
µ0 = −
1
2
(A1 +A2 + 2A3), a1 = A2 +A3 −A1, a2 = A1 +A3 −A2,
a3 = A2 +A1 −A3, n0 = k +
1
4
(B1 +B2).
(38)
Используя обозначения (12)–(19), (38), запишем уравнения (21)–(24)
λ′1(ϕ) = −λ2(ϕ) sinϕ−A3σ
′(ϕ)− µaσ(ϕ) sin 2ϕ− µb sin 2ϕ+
+
1
σ(ϕ)
(−µc sin 2ϕ + s1 cosϕ− s2 sinϕ),
(39)
λ′2(ϕ) = λ1(ϕ) sinϕ−A2σ
′(ϕ) cosϕ+ a1σ(ϕ) sinϕ+B1 sinϕ+
s3
σ(ϕ)
sinϕ, (40)
λ1(ϕ) cosϕ− λ2(ϕ) = −A1σ
′(ϕ) sinϕ+ a2σ(ϕ) cosϕ−B2 cosϕ−
s3
σ(ϕ)
cosϕ, (41)
λ2(ϕ) =
1
cosϕ
[
σ(ϕ)(−µa cos 2ϕ+ µ0)−
1
2
µb cos 2ϕ + n0
]
. (42)
Подставим выражение (42) в уравнение (41)
λ1(ϕ) =
1
cos2 ϕ
[
−
1
2
σ′(ϕ) sin 2ϕ+ σ(ϕ)(a3 −
1
2
A3 cos 2ϕ)−
−
1
4
(B1 +B2) cos 2ϕ+m0 −
s3
σ(ϕ)
cos2 ϕ
]
,
(43)
51
Г.В. Горр, Ю.В. Кошель
где
m0 = k +
1
4
(B1 −B2). (44)
Внесем (42), (43) в уравнение (39) и учтем выражение (44)
A1 sinϕ cos2 ϕσ2(ϕ)σ′′(ϕ)− σ′(ϕ)(s3 cos
2 ϕ− 2A1σ
2(ϕ)) cos ϕ+
+A1σ
3(ϕ)(2 + cos2 ϕ) sinϕ− σ(ϕ)(µc sin 2ϕ+ s1 cosϕ− s2 sinϕ) cos
3 ϕ−
−σ2(ϕ)(p0 + p2 cos 2ϕ+ p4 cos 4ϕ) sinϕ = 0,
(45)
где
p0 =
5k
2
+
1
16
(19B1 +B2), p2 =
k
4
+
7B1 − 5B2
16
, p4 =
1
16
(B1 −B2) =
1
8
µb. (46)
В качестве примера интегрирования уравнения (45) рассмотрим случай
B2 = B1, C2 = C1, si = 0 (i = 1, 3), k = −
1
2
B1. (47)
Запишем уравнение (45) с учетом условий (47)
σ′′(ϕ) sinϕ cos2 ϕ+ 2σ′(ϕ) cosϕ+ σ(ϕ)(2 + cos2 ϕ) sinϕ = 0. (48)
Выполним в уравнении (48) замену σ(ϕ) = w̃(ϕ) ctg ϕ. Тогда получим
w̃′′(ϕ) + w̃(ϕ) = 0.
Общее решение этого уравнения w̃(ϕ) = c̃1 sinϕ + c̃2 cosϕ позволяет найти
решение уравнения (48)
σ(ϕ) = (c̃1 sinϕ+ c̃2 cosϕ) ctg ϕ, (49)
где c̃1, c̃2 – произвольные постоянные. Поскольку σ(ϕ) = ϕ̇, то из (49) следует
dϕ
dt
= F (c̃1, c̃2, ϕ), (50)
где
F (c̃1, c̃2, ϕ) = c̃1 cosϕ+ c̃2cos
2 ϕ/sinϕ. (51)
Если в формуле (51) положить c̃2 = 0, то из (50) следует
dϕ
dt
= c̃1 cosϕ. (52)
Решение уравнения (52) таково (полагаем ϕ(t0) = 0)
ϕ = arcsin(thc̃1(t− t0)). (53)
При t→ ∞ переменная ϕ→
π
2
.
В случае c̃1 6= 0 из (50), (51) получим
1 + sinϕ
cosϕ
(µ0 + c̃2 sinϕ− c̃1 cosϕ
c̃2 cosϕ+ c̃1 sinϕ
)
−
c̃2
µ0 + c∗ = ec̃1(t−t0), (54)
52
Новые решения уравнений прецессионно-изоконических движений гиростата
где c∗ – постоянная, а µ0 имеет значение
µ0 =
√
c̃21 + c̃22. (55)
При c̃1 = 0 из (55) следует µ0 = |c̃2|, но формула (54) теряет смысл. В этом
случае уравнение (51) упрощается, переходит в уравнение
dϕ
dt
= c̃2
cos2 ϕ
sinϕ
, (56)
которое легко интегрируется:
ϕ = arccos
cosϕ0
1 + c̃2t cosϕ0
, (57)
где ϕ0 – значение ϕ при t = 0. При t → ∞ ϕ→
π
2
(полагаем ϕ0 ∈ (0,
π
2
)). То
есть движение тела носит асимптотический характер. В случае (54) движение
также носит асимптотический характер. Подчеркнем, что в силу (47) центр
масс гиростата неподвижен, но распределение масс произвольно, поскольку
нет условий на моменты инерции Ai (i = 1, 3).
Для получения функций λ1(ϕ), λ2(ϕ) необходимо выражение (49) подста-
вить в формулы (42), (43). Значение угловой скорости гиростата найдем из
равенства (8) на основе (49):
ω = ctgϕ(c̃1 sinϕ+ c̃2 cosϕ)(a + ν). (58)
Компоненты вектора ν выражаются формулами (7). Для представления
решений в виде функций времени необходимо воспользоваться одним из со-
отношений (53), (57).
4. Свойства построенных решений. Общими свойствами постро-
енных решений служат условия принадлежности оси собственного вращения
гиростата главной оси эллипсоида инерции и равенства
B = diag(B1, B1, B3), C = diag(C1, C1, C3). Отличительные свойства этих
решений таковы.
1. Для первого решения гиростатический момент лежит в плоскости, орто-
гональной оси собственного вращения, центр масс лежит на оси собственного
вращения гиростата. Оно является обобщением решения [14].
2. Для второго решения гиростатический момент лежит в плоскости, ко-
торая содержит ось собственного вращения гиростата, и центр масс гиростата
неподвижен. Такое расположение гиростатического момента ранее в случае
прецессионно-изоконических движений не рассматривалось.
Заключение. В статье аналитический метод интегрирования уравнений
движения гиростата основан на редукции системы уравнений к одному диф-
ференциальному уравнению относительно скорости собственного вращения.
Это позволило получить, хотя и нестандартное, дифференциальное уравне-
ние. Получение частных решений этих уравнений в замкнутой форме по-
казывает эффективность метода статьи и перспективу нахождения новых
случаев интегрируемости уравнений движения гиростата для прецессионно-
изоконических движений.
53
Г.В. Горр, Ю.В. Кошель
1. Liouville J. Dèveloppements sur un chapitre de la Mècanique de Poisson // J. Math. Pures
et Appl. – 1858. – Bd. 3. – P. 1–25.
2. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные одно-
родной капельной жидкостью // Журн. Рус. физ.-хим. о-ва. Часть физ. – 1885. – 17,
отд. 1, вып. 6. – С. 81–113.
3. Румянцев В.В. Об управлении ориентацией и о стабилизации спутника роторами //
Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика. – 1970. – № 2. – С. 83–96.
4. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого
тела. – 1972. – Вып. 4. – С. 52–73.
5. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого
тела. Развитие и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.
6. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-
нецк: ДонНУ, 2010. – 394 с.
7. Горр Г.В., Ковалев А.М. Движение гиростата. – Киев: Наук. думка, 2013. – 408 с.
8. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим мо-
ментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого
тела. – 2010. – Вып. 40. – С. 91–104.
9. Мазнев А.В., Котов Г.А. Прецессионно-изоконические движения второго типа в зада-
че о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом // Biсн. Донецьк.
ун-ту. Сер. А. Природничi науки. – 2012. – Вып. 1. – С. 79–83.
10. Котов Г.А. Прецессии общего вида в задаче о движении гиростата, несущего два
маховика, с переменным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. –
2013. – Вып. 43. – С. 79–89.
11. Котов Г.А. Регулярные прецессии тяжелого гиростата, несущего два вращающихся
гироскопа // Механика твердого тела. – 2014. – Вып. 44. – С. 59–66.
12. Горр Г.В., Щетинина Е.К. Полурегулярные прецессии тяжелого гиростата, несущего
два ротора // Механика твердого тела. – 2014. – Вып. 44. – С. 16–26.
13. Горр Г.В., Котов Г.А. О маятниковых движениях гиростата, несущего два ротора //
Механика твердого тела. – 2015. – Вып. 45. – С. 40–50.
14. Горр Г.В., Кошель Ю.В. Один класс прецессионно-изоконических движений гироста-
та, несущего два ротора // Механика твердого тела. – 2016. – Вып. 46. – С. 45–54.
15. Ковалев А.М., Горр Г.В., Неспирный В.Н. Инвариантные соотношения неавтоном-
ных систем дифференциальных уравнений с приложением в механике // Механика
твердого тела. – 2013. – Вып. 43. – С. 3–18.
G.V.Gorr, Yu.V.Koshel
New solutions of equations of precessionally isoconical motions of a gyrostat
with the varying gyrostatic moment
The subject of consideration is the problem on motion of a gyrostat carrying two rotors and being
under the action of potential and gyroscopic forces. Equations of motion are investigated for
programmed motions which are defined as both precessional and isoconical. Starting equations
are reduced to one second order equation with respect to the speed of proper rotation of the
gyrostat. New solutions are obtained which describe precessionally isoconical motions of the
carrier body.
Keywords: gyrostat, precessional and isoconical motions, reduction.
ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”, Донецк
gvgorr@gmail.com
Получено 21.08.17
54
|