Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров

Получены уравнения движения для задачи о движении трех взаимно притягивающихся тел, одно из которых – жидкий эллипсоид переменной вязкости, совершающий однородное вихревое движение, а два других – твердые однородные шары. Закон изменения стратифицированной вязкости выбран так, чтобы обеспечить однор...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автори:	Андрюхин, А.И., Судаков, С.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2017
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140942
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров / А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 101-108. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-140942
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1409422018-07-20T01:23:02Z Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров Андрюхин, А.И. Судаков, С.Н. Получены уравнения движения для задачи о движении трех взаимно притягивающихся тел, одно из которых – жидкий эллипсоид переменной вязкости, совершающий однородное вихревое движение, а два других – твердые однородные шары. Закон изменения стратифицированной вязкости выбран так, чтобы обеспечить однородное вихревое движение жидкости. В качестве примера с помощью метода Рунге–Кутта сделан расчет движения для задачи с массово-геометрическими параметрами системы Земля–Луна–Солнце. The problem of three gravitating bodies, one of which is a liquid ellipsoid and two others are rigid homogeneous spheres, is the subject of investigation in the paper. The motion of the liquid ellipsoid is assumed to be the homogeneous vortex flow, and this liquid has a special stratified distribution of viscosity that makes possible such motion. The equations of motion of this system are obtained, and they are solved for example by Runge–Kutta method for the case of the system with mass–geometric parameters of the Earth–Moon–Sun system. 2017 Article Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров / А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 101-108. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140942 521.1:531 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Получены уравнения движения для задачи о движении трех взаимно притягивающихся тел, одно из которых – жидкий эллипсоид переменной вязкости, совершающий однородное вихревое движение, а два других – твердые однородные шары. Закон изменения стратифицированной вязкости выбран так, чтобы обеспечить однородное вихревое движение жидкости. В качестве примера с помощью метода Рунге–Кутта сделан расчет движения для задачи с массово-геометрическими параметрами системы Земля–Луна–Солнце.
format	Article
author	Андрюхин, А.И. Судаков, С.Н.
spellingShingle	Андрюхин, А.И. Судаков, С.Н. Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров Механика твердого тела
author_facet	Андрюхин, А.И. Судаков, С.Н.
author_sort	Андрюхин, А.И.
title	Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров
title_short	Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров
title_full	Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров
title_fullStr	Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров
title_full_unstemmed	Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров
title_sort	задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2017
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140942
citation_txt	Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров / А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2017. — Вип 47. — С. 101-108. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT andrûhinai zadačatrehteldlâžidkogoéllipsoidaidvuhodnorodnyhtverdyhšarov AT sudakovsn zadačatrehteldlâžidkogoéllipsoidaidvuhodnorodnyhtverdyhšarov
first_indexed	2025-07-10T11:36:06Z
last_indexed	2025-07-10T11:36:06Z
_version_	1837259679328108544
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2017. Вып. 47 УДК 521.1:531 c©2017. А.И. Андрюхин, С.Н.Судаков ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ ДЛЯ ЖИДКОГО ЭЛЛИПСОИДА И ДВУХ ОДНОРОДНЫХ ТВЕРДЫХ ШАРОВ Получены уравнения движения для задачи о движении трех взаимно притягивающихся тел, одно из которых – жидкий эллипсоид переменной вязкости, совершающий однородное вихревое движение, а два других – твердые однородные шары. Закон изменения стра- тифицированной вязкости выбран так, чтобы обеспечить однородное вихревое движение жидкости. В качестве примера с помощью метода Рунге–Кутта сделан расчет движения для задачи с массово-геометрическими параметрами системы Земля–Луна–Солнце. Ключевые слова: задача трех тел, жидкий эллипсоид переменной вязкости, однородное вихревое движение. Введение. В геофизике и геодезии фундаментальную роль играет по- нятие референц-поверхности, т. е. поверхности постоянного гравитационного потенциала, совпадающей с поверхностью океана и простирающейся под кон- тинентами. Именно от нее ведутся все отсчеты. Долгое время хорошим при- ближением такой поверхности считался эллипсоид Маклорена – самограви- тирующий жидкий осесимметричный эллипсоид, вращающийся вокруг своей оси симметрии. Однако в последнее время, благодаря точным измерениям, проведенным с использованием космических аппаратов, было выяснено, что поверхность Земли не является точно эллипсоидом вращения [1]. В связи со сказанным возникает вопрос: в какой мере поверхность Земли, рассматриваемая как поверхность жидкого эллипсоида, будет отклоняться от эллипсоида Маклорена под действием гравитационного притяжения таких небесных тел как Луна и Солнце. С этой целью ниже рассмотрена задача трех тел, одно из которых жидкий эллипсоид с массово-геометрическими параметрами Земли, а два других – твердые однородные шары с массами Луны и Солнца. Задача о вращении жидких гравитирующих эллипсоидов не является но- вой. Начиная с Ньютона, она привлекала внимание многих ученых и была подробно исследована [1–6]. Гораздо менее изучены важные для астрономии задачи о движении нескольких взаимогравитирующих жидких и твердых тел. Здесь широко известна проблема Роша об определении формы Луны [4]. Е.В.Петкевичем [7,8] получены уравнения движения для задачи двух жидких тел. Поскольку эти проблемы имеют фундаментальное значение для теории вращающихся звезд и жидких планет, представляется важным продолжить эти исследования. Ниже рассмотрена задача о движении трех тел, одно из которых представляет собой жидкий эллипсоид, а два других – твердые одно- родные шары (см. рис. 1). Частицы жидкости притягиваются друг к другу и к твердым телам по закону Ньютона. Жидкость считается несжимаемой и обладающей переменной вязкостью, допускающей ее однородное вихревое движение [9]. 101 А.И.Андрюхин, С.Н. Судаков Рис. 1. Используемые системы координат. 1. Уравнения движения. Обозначим через Oξ1ξ2ξ3 неподвижную си- стему координат, начало которой совпадает с общим центром масс рассмат- риваемой механической системы. Через O1η1η2η3 обозначим подвижные пря- моугольные оси, начало которых O1 совпадает с центром масс жидкого эл- липсоида, а оси параллельны соответствующим осям системы Oξ1ξ2ξ3. Через O1x1x2x3 обозначим систему координат, оси которой являются главными ося- ми жидкого эллипсоида. Положение осей O1x1x2x3 относительно O1η1η2η3 определим углами Эй- лера ϕ,ψ, θ. Матрица перехода A = (aij) от осей O1η1η2η3 к O1x1x2x3 имеет вид   cosψ cosϕ− sinψ cos θ sinϕ − cosψ sinϕ− sinψ cos θ cosϕ sinψ sin θ sinψ cosϕ+ cosψ cos θ sinϕ − sinψ sinϕ+ cosψ cos θ cosϕ − cosψ sin θ sin θ sinϕ sin θ cosϕ cos θ   . Пусть (ξ11, ξ12, ξ13) – координаты центра масс (ЦМ) жидкого эллипсоида в осях Oξ1ξ2ξ3; (ξ21, ξ22, ξ23) и (ξ31, ξ32, ξ33) – соответственно координаты ЦМ второго и третьего тел в тех же осях. Координаты ЦМ жидкого эллипсоида в осях O1η1η2η3 будут равны η11 = 0, η12 = 0, η13 = 0, а координаты ЦМ второго и третьего тел соответственно будут следующими: η21 = ξ21 − ξ11, η22 = ξ22 − ξ12, η23 = ξ23 − ξ13, η31 = ξ31 − ξ11, η32 = ξ32 − ξ12, η33 = ξ33 − ξ13. Используя матрицу перехода A от системы координат O1η1η2η3 к Ox1x2x3, находим координаты второго и третьего тел в осях O1x1x2x3: x2i = 3 ∑ j=1 aijη2j , x3i = 3 ∑ j=1 aijη3j , i = 1, 2, 3. Используя матрицу перехода A, находим проекции ускорения точки O1 на оси O1x1x2x3: wxi = 3 ∑ j=1 aijwj , i = 1, 2, 3, где w1, w2, w3 – компоненты ускорения точки O1 в подвижных осях Oη1, η2, η3. 102 Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров Проекции на оси O1x1x2x3 гравитационной силы, действующей на единич- ный объем жидкости со стороны твердых тел, определяются формулами fi = Gρm2 x̃2i − x̃i r212[(x̃21 − x̃1)2 + (x̃22 − x̃2)2 + (x̃23 − x̃3)2]3/2 + +Gρm3 x̃3i − x̃i r213[(x̃31 − x̃1)2 + (x̃32 − x̃2)2 + (x̃33 − x̃3)2]3/2 , i = 1, 2, 3, (1) где G – гравитационная постоянная, ρ – плотность жидкости, r21k = x2k1+ +x2k2 + x2k3, x̃ki = xki/r12 (k = 2, 3); x̃i = xi/r12; x1, x2, x3 – координаты рассматриваемой частицы жидкости в осях Ox1x2x3. В дальнейшем будем рассматривать только те случаи, когда расстояние r1k между точками O1 и Ok, k = 2, 3, настолько велико, что можно провести линеаризацию величин fi по x̃i, i = 1, 2, 3. Такая линеаризация обеспечит существование однородного вихревого движения жидкости и сохранение ее эллипсоидальной формы. После линеаризации и возврата к величинам без знака “тильда” будем иметь f1 = Gρm2 r512 [ x21r 2 12 + (3x221 − r212)x1 + x21x22x2 + 3x21x23x3 ] + + Gρm3 r513 [ x31r 2 13(3x 2 31 − r213)x1 + 3x31x32x2 + 3x31x33x3 ] (123), где r13 = x231 + x232 + x233. Символ циклической перестановки индексов (123) не применяется к величинам m2, m3, к первому индексу величин x2i, x3i, i = 1, 2, 3, и к обоим индексам величин r12, r13. Движение жидкости переменной вязкости описывается уравнениями [7] ∂v ∂t + (v · ∇)v = − 1 ρ ∇p+ ν(x, c)∆v + 2σ∇ν− −w− ω̇ × x − ω × (ω × x)− 2ω × v −∇Φ+ 1 ρ f, divv = 0, (2) где v = (v1, v2, v3) – скорость движения жидкости относительно осей O1x1x2x3, x = (x1, x2, x3) – координатный вектор, ρ – плотность жидкости, p – давление, ω – угловая скорость осей O1x1x2x3, c = (c1, c2, c3) – полу- длины главных осей жидкого эллипсоида, w = (wx1 , wx2 , wx3) – абсолютное ускорение точки O1, f = (f1, f2, f3). Величина кинематической вязкости ν(x, c) определяется выражением ν = ν0 ( 1− x21/c 2 1 − x22/c 2 2 − x23/c 2 3 ) , где ν0 = const. Граница жидкости в осях O1x1x2x3 задается уравнением x21/c 2 1 + x22/c 2 2 + x23/c 2 3 = 1. Следовательно, на границе жидкости ν = 0. Отметим, что задание кинематической вязкости как функции координат, на первый взгляд, может показаться неестественным. Однако, в дальнейшем будут рассматриваться только однородные вихревые движения эллипсои- 103 А.И.Андрюхин, С.Н. Судаков дальной массы жидкости, при которых вязкость имеет одно и то же значение на каждом эллипсоиде из семейства соосных концентрических эллипсоидов, подобных границе жидкости. Частицы жидкости, лежащие в какой-то мо- мент времени на одном из таких эллипсоидов, никогда не сходят с него. То есть вязкость каждой частицы жидкости остается постоянной. Компоненты тензора скоростей деформаций жидкости σ имеют вид σij = 1 2 ( ∂vi ∂xj + ∂vj ∂xi ) , i, j = 1, 2, 3. Потенциал Φ гравитационных сил, порождаемых жидкостью, в ее внутренних точках описывается формулой [2]: Φ = πρG(α1x 2 1 + α2x 2 2 + α3x 2 3 − χ0), где αi = c1c2c3 ∞ ∫ 0 dλ (c2i + λ)D , i = 1, 2, 3, χ0 = c1c2c3 ∞ ∫ 0 dλ D , D = [(c21 + λ)(c22 + λ)(c23 + λ)]1/2. В случае однородного вихревого движения компоненты скорости жидкос- ти v1, v2, v3 и давление p ищем в виде v1 = ċ1 c1 x1 − c1 c2 Ω3x2 + c1 c3 Ω2x3 (123), p = −p0(t) ( x21 c21 + x22 c22 + x23 c23 − 1 ) , (3) где Ω1,Ω2,Ω3 и p0(t) – неизвестные функции времени t. Подставляя (3) в уравнения движения жидкости (2), получаем ki0 + ki1x1 + ki2x2 + ki3x3 = 0, i = 1, 2, 3. (4) Здесь ki0 =wxi −Gm2x2i/r 3 12 −Gm3x3i/r 3 13, i = 1, 2, 3, k11 = c̈1 c1 − Ω3 2 − Ω2 2 − 2p0 ρc21 + 4ν0 ċ1 c31 − ω2 2 − ω2 3 − 2 c3 c1 Ω2ω2 − 2 c2 c1 Ω3ω3+ + 2πρGα1 −Gm2(3x 2 21 − r212)/r 5 12 −Gm3(3x 2 31 − r213)/r 5 13, k12 =− 2 ċ1 c2 Ω3 − c1 c2 Ω̇3 + c1 c2 Ω1Ω2 + 2ν0 c22 c22 − c21 c2c1 Ω3 + 2 c3 c2 Ω1ω2 − 2 ċ2 c2 ω3− − ω̇3 + ω1ω2 − 3Gm2x21x22/r 5 12 − 3Gm3x31x32/r 5 13, k13 =2 ċ1 c3 Ω2 + c1 c3 Ω̇2 + c1 c3 Ω1Ω3 + 2ν0 c23 c21 − c23 c1c3 Ω2 + 2ċ3 c3 ω2 + 2c2 c3 Ω1ω3+ + ω̇2 + ω1ω3 − 3Gm2x21x23/r 5 12 − 3Gm3x31x33/r 5 13 (123), (5) где ω1, ω2, ω3 – проекции угловой скорости ω осей O1x1x2x3 на себя; символ циклической перестановки индексов (123) не распространяется на m2, m3, первые индексы координат x2i, x3i и на оба индекса величин r12, r13. 104 Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров Равенства (4) должны выполняться при любых значениях x1, x2, x3 из области, занимаемой жидкостью. Отсюда следуют уравнения kij = 0, i = 1, 2, 3, j = 0, 1, 2, 3, (6) где kij определены выражениями (5). Далее, исключая переменную p0, пред- ставим уравнения (6) в виде Ω̇1 = c2c3 c22 − c23 (f23 − f32), ω̇1 = c22f32 − c23f23 c22 − c23 (123), c̈1 c1 = [( 1 + c23 c22 ) F1 − c23 c21 F2 ] ∆−1, c̈2 c2 = [( 1 + c23 c21 ) F2 − c23 c22 F1 ] ∆−1, (7) где ∆ = 1 +R6/(c41c 2 2) +R6/(c21c 4 2), c3 = R3/(c1c2); f23 =− 2ċ2 c3 Ω1 + c2 c3 Ω2Ω3 + ω2ω3 + 2 c1 c3 Ω2ω3 − 2 ċ3 c3 ω1 + 2ν0 c23 ( c3 c2 − c2 c3 ) Ω1− − 3Gm2x22x23/r 5 12 − 3Gm3x32x33/r 5 13, f32 =− 2ċ3 c2 Ω1 − c3 c2 Ω2Ω3 − ω2ω3 − 2 c1 c2 Ω3ω2 − 2 ċ2 c2 ω1 − 2ν0 c22 ( c3 c2 − c2 c3 ) Ω1+ + 3Gm2x22x23/r 5 12 + 3Gm3x32x33/r 5 13, f33 =− Ω1 2 − Ω2 2 − ω2 1 − ω2 2 − 2 c2 c3 Ω1ω1 − 2 c1 c3 Ω2ω2 + 4ν0 ċ3 c33 + 2πρGα3− −Gm2(3x 2 23 − r212)/r 5 12 −Gm3(3x 2 33 − r213)/r 5 13 (123), Fi =2 c23 c2i ( ċ21 c21 + ċ1ċ2 c1c2 + ċ22 c22 ) + c23 c2i f33 − fii, i = 1, 2. Движение осей O1x1x2x3 относительно O1η1η2η3 описывается кинематически- ми уравнениями для углов Эйлера ϕ,ψ, θ, которые запишем в виде ϕ̇ = ω3 − (ω1 sinϕ+ ω2 cosϕ) ctg θ, ψ̇ = (ω1 sinϕ+ ω2 cosϕ)/ sin θ, θ̇ = ω1 cosϕ− ω2 sinϕ. (8) Движение центров масс эллипсоида O1 и твердых тел O2, O3, благодаря ли- неаризации выражений для fi, описывается уравнениями задачи трех тел, которые не зависят от колебаний жидкого эллипсоида: d2ξ1i dt2 = m2G ξ2i − ξ1i r312 +m3G ξ3i − ξ1i r313 (123), i = 1, 2, 3, (9) где r12 = r21 = √ (ξ11 − ξ21)2 + (ξ12 − ξ22)2 + (ξ13 − ξ23)2 (123). 105 А.И.Андрюхин, С.Н. Судаков Уравнения (7) – (9) представляют собой систему двадцати обыкновенных дифференциальных уравнений относительно двадцати неизвестных c1, c2, ϕ, ψ, θ, Ωi, ωi, ξki, ξki (k, i = 1, 2, 3), которая, после задания начальных условий, полностью описывает движение рассматриваемой механической системы. 2. Численный расчет. В качестве примера взята система Земля– Луна–Солнце в эпоху, когда, согласно гипотезе Канта–Лапласа, Земля была жидкой, и рассмотрено движение Земли. Для численного решения уравнений (7) – (9) вводим безразмерные переменные τ = t/T , ζi = ci/R, ui = dζi/dτ , ˜Ωi = TΩi, ω̃i = Tωi, i = 1, 2, 3; r̃1 = r1/R, где T – характер времени, R = 3 √ c1c2c3. Для решения уравнений был использован численный метод Рунге–Кутта 4 – 5. Mассово-геометрические параметры системы: m1 = 5973.0 · 1021 кг, m2 = 0.0123 ·m1, m3 = 332946 ·m1, R = 6.371000685 · 106 м, ν0 = 5 · 108 м2/с, ρ = 5516.977018кг/м3, G = 6.673 · 10−11 м3/(кг · с2), T = 24 · 602 с. На рис. 2 – 7 приведены графики решения. На рис. 4 показана разность по- луосей c∗ = c1(τ)−c2(τ). На рис. 5 –7 – зависимость от времени τ углов Эйлера ϕ,ψ, θ, определяющих направление главных осей жидкого эллипсоида. Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 106 Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров Рис. 6 Рис. 7 Начальные условия при τ = 0: ζ1 = 1.00143337102364871, ζ2 = 1.00143318912771906, u1 = −3.99726666799916140 · 10−9, u2 = 8.77743740509621554 · 10−10, ˜Ω1 = −0.107456678954105066 · 10−3, ˜Ω2 = −2.93804410774078165 · 10−7, ˜Ω3 = 6.03585129313196234, ω̃1 = −0.475877966250700194 · 10−5, ω̃2 = 2.94046254130352368 · 10−7, ω̃3 = .243354793234692474, ϕ = 108.188083562994422, ψ = 1.46997262798553964, θ = 0.409982577490330790, r̃1 = 0.730391117870160977, ϕ1 = 12.2820403947446515, θ1 = 0, dϕ1 dτ = 0.221922287024808568, dθ1 dτ = 0. Выводы. Получены уравнения движения для задачи трех тел (жидкого эллипсоида переменной вязкости и двух абсолютно твердых однородных ша- ров). Составлена компьютерная программа для численного решения получен- ных уравнений и выполнены пробные расчеты при массово-геометрических параметрах системы Земля–Луна–Солнце. Движение Земли моделировалось жидким эллипсоидом переменной вязкости. Результаты расчетов представле- ны графически на рис. 2 – 7. Из рис. 2 следует, что большая экваториальная ось эллипсоидальной массы жидкости за 0.5 суток совершает примерно семь с половиной колебаний. 1. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика жидких и газовых эллипсоидов. – М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2010. – 364 с. 2. Ламб Г. Гидродинамика. – М.;Л.: Гостехиздат, 1947. – 928 с. 3. Стеклов В.А. Работы по механике. – М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2011. – 492 с. 4. Субботин М.Ф. Курс небесной механики. – Т. 3. – М.: Гостехиздат, 1949. – 280 с. 107 А.И.Андрюхин, С.Н. Судаков 5. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. – М.: Мир, 1973. – 288 с. 6. Ядрицкий В.С. Теория фигур небесных тел. – М.; Ижевск: Ин-т компьютерных иссле- дований, 2011. – 298 с. 7. Петкевич Е.В. Задача двух жидких тел // Письма в Астрономический журнал. – 3, 9. – 1977. – С. 424–428. 8. Петкевич Е.В. Уравнения внешней задачи двух тел // Письма в Астрономический журнал. – 3, 11. – 1977. – С. 522–525. 9. Судаков С.Н. О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов пере- менной вязкости // Механика твердого тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 208–217. A.I. Andryukhin, S.N. Sudakov The problem of three bodies for the ellipsoidal mass of liquid and two homogeneous rigid spheres The problem of three gravitating bodies, one of which is a liquid ellipsoid and two others are rigid homogeneous spheres, is the subject of investigation in the paper. The motion of the liquid ellipsoid is assumed to be the homogeneous vortex flow, and this liquid has a special stratified distribution of viscosity that makes possible such motion. The equations of motion of this system are obtained, and they are solved for example by Runge–Kutta method for the case of the system with mass–geometric parameters of the Earth–Moon–Sun system. Keywords: the problem of three bodies, ellipsoidal mass of liquid, homogeneous vortex flow. ГОУ ВПО “Донецкий национальный техн. ун-т”, ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”, Донецк sudakov@iamm.su Получено 19.06.17 108

Задача трех тел для жидкого эллипсоида и двух однородных твердых шаров

Репозитарії

Схожі ресурси