Плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине

Дано розв’язок плоскої нелінійної задачі про розтяг пластини з тріщиною при умові утворення шийки в вершині тріщини. Діаграму деформування прийнято кусково-лінійною з постійним модулем об’ємного стиску. Перетворенням Фур’є і дискретизацією задачу зведено до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь. Д...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автор:	Хорошун, Л.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2015
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140988
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине / Л.П. Хорошун // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 95-112. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-140988
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1409882018-07-22T01:22:47Z Плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине Хорошун, Л.П. Дано розв’язок плоскої нелінійної задачі про розтяг пластини з тріщиною при умові утворення шийки в вершині тріщини. Діаграму деформування прийнято кусково-лінійною з постійним модулем об’ємного стиску. Перетворенням Фур’є і дискретизацією задачу зведено до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь. Досліджено розподіл глибини шийки біля вершини тріщини і вплив нелінійності на розкриття тріщин біля вершини. A solution is obtained for the plane nonlinear problem on tension of a plate with crack under condition of forming of a neck at the tip of crack. A diagram of deformation is assumed to be linear with the constant bulk modulus. This problem is reduced to the system of algebraic equation using the Fourier transform and by discretization. A distribution of the neck depth near the crack tip and an effect of nonlinearity on opening of the crack near the tip are studied. 2015 Article Плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине / Л.П. Хорошун // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 95-112. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140988 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Дано розв’язок плоскої нелінійної задачі про розтяг пластини з тріщиною при умові утворення шийки в вершині тріщини. Діаграму деформування прийнято кусково-лінійною з постійним модулем об’ємного стиску. Перетворенням Фур’є і дискретизацією задачу зведено до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь. Досліджено розподіл глибини шийки біля вершини тріщини і вплив нелінійності на розкриття тріщин біля вершини.
format	Article
author	Хорошун, Л.П.
spellingShingle	Хорошун, Л.П. Плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине Прикладная механика
author_facet	Хорошун, Л.П.
author_sort	Хорошун, Л.П.
title	Плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине
title_short	Плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине
title_full	Плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине
title_fullStr	Плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине
title_full_unstemmed	Плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине
title_sort	плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140988
citation_txt	Плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине / Л.П. Хорошун // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 95-112. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT horošunlp ploskaâzadačaobobrazovaniišejkivokrestnostiveršinytreŝinyvplastine
first_indexed	2025-07-10T11:41:32Z
last_indexed	2025-07-10T11:41:32Z
_version_	1837260027313782784
fulltext	2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 3 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 3 95 Л .П .Х о р ош у н ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ОБ ОБРАЗОВАНИИ ШЕЙКИ В ОКРЕСТНОСТИ ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ В ПЛАСТИНЕ Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: stochac@inmech.kiev.ua Abstract. A solution is obtained for the plane nonlinear problem on tension of a plate with crack under condition of forming of a neck at the tip of crack. A diagram of deforma- tion is assumed to be linear with the constant bulk modulus. This problem is reduced to the system of algebraic equation using the Fourier transform and by discretization. A distribu- tion of the neck depth near the crack tip and an effect of nonlinearity on opening of the crack near the tip are studied. Key words: diagram of deformation, crack, nonlinear problem, neck, discretization, depth of neck, crack opening. Введение. Основной задачей механики разрушения является изучение напряженно-деформи- рованного состояния в окрестности трещины и установление критериев и закономер- ностей ее развития [2, 9, 23]. Вполне очевидно, что адекватное решение этой задачи возможно на основе всестороннего изучения физической сущности явления и сопро- вождающих его процессов, строгой формулировки выбранной конкретной математи- ческой модели, описывающей специфику явления, и точного решения соответствую- щих исходных уравнений. Упрощения в формулировке математической модели и ме- тодах аналитического или численного решения могут существенно исказить сущность реальной задачи. Проблемы и критерии механики разрушения, как известно [12, 13], могут быть разделены на классические и неклассические. К первым относятся задачи на растяже- ние или сдвиг в окрестности трещины при условии отсутствия резкого изменения ха- рактера деформирования до разрушения. Критерии разрушения в этом случае форму- лируются относительно определенных параметров напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины. К неклассическим проблемам механики разрушения относят вопросы установле- ния новых механизмов разрушения и исследования на их основе определенных клас- сов задач. Здесь фундаментальными направлениями механики трещин являются про- блемы разрушения при сжатии вдоль трещин [5, 8, 10, 13, 14], а также динамические задачи для однородных и композитных материалов с трещинами [6, 7, 12]. В отличие от большинства задач механики, где прочность тела определяется пу- тем сравнения максимальных напряжений или деформаций с их предельными значе- ниями для рассматриваемого материала, расчетные значения напряжений и деформа- ций в вершине трещины в линейной механике разрушения бесконечны, что исключа- ет применение такой процедуры, создавая трудности постановочного и вычислитель- ного характера [2]. Поэтому развитие классической механики разрушения шло по пу- ти создания альтернативных концепций и подходов, базирующихся на определенных дополнительных упрощающих предположений о характере распределения напряже- ний и механизме разрушения в вершине трещины. Эти подходы известны как энерге- тические, силовые и деформационные критерии разрушения [2]. 96 В классической механике разрушения фундаментальными принято считать энер- гетический критерий хрупкого разрушения Гриффитса [11] и его модификацию в виде критерия квазихрупкого разрушения Орована – Ирвина [15, 22]. Основой этих крите- риев является предположение о балансе освобождающейся упругой энергии линейно- го деформирования и приращения поверхностной энергии при увеличении длины тре- щины для хрупкого разрушения или работы пластической деформации в тонком слое у вершины трещины для квазихрупкого разрушения. Очевидно, что такое предполо- жение нельзя признать корректным, так как приращение поверхностной энергии, рав- ной работе разделения двух соседних слоев атомов, как минимум на порядок меньше освобождающейся упругой энергии, которая накоплена не менее чем в десяти слоях атомов согласно концепции сплошности, т.е. эти величины несоизмеримы. Кроме то- го, в линейной задаче напряжения у вершины трещины неограничены, в то время как приращение поверхностной энергии и работа пластической деформации определяют- ся через ограниченные напряжения согласно реальной диаграмме деформирования. Это значит, что на границе упругой области и области разрушения соответствующие напряжения терпят разрыв вопреки представлениям механики сплошной среды. К энергетическим относят также критерий -J итеграла (Эшелби, Черепанов, Райс) [3], связанный со способом определения освобождающейся упругой энергии при уве- личении длины трещины, который сводится к интегрированию определенного выра- жения по произвольному контуру, охватывающему вершину трещины. Однако при построении -J интеграла не соблюдается строгость. Прежде всего, при приближении произвольного контура к вершине трещины погрешность может быть большой. Кро- ме того замена производной по длине трещины производной по координате вдоль трещины является необоснованной и весьма приближенной. Строгий подход для ли- нейно-упругой задачи [18] приводит к результату, отличному от -J интеграла. Анализ концепции силового критерия Ирвина [15] в виде предельной поверхно- сти относительно коэффициентов интенсивности напряжений в сингулярных состав- ляющих также свидетельствует о несоблюдении строгости в построении. Действи- тельно, в нелинейных диаграммах деформирования реальных материалов напряжения всегда ограничены, поэтому напряжения в вершине трещины не могут быть беско- нечными, т.е. коэффициенты интенсивности напряжений в действительности не су- ществуют. Они являются результатом решения задачи для идеализированной линей- ной диаграммы деформирования, допускающей бесконечные напряжения. Второй особенностью критерия предельного значения коэффициентов интенсивности являет- ся то, что в линейной механике разрушения коэффициент интенсивности напряжений определяется как множитель при размерной корневой особенности в асимптотиче- ском решении. Это приводит к зависимости критической нагрузки от длины трещины. Однако это противоречит решению линейной задачи для бесконечного тела, которое в безразмерных координатах, отнесенных к длине трещины, является одним и тем же для произвольной длины трещины. Этот парадокс обусловлен выделением размерной корневой особенности, где рассматривается стремление к нулю размерной величины, что не имеет смысла. Смысл имеет только безразмерная особенность, что для беско- нечного однородного линейно-упругого тела с трещиной ведет к зависимости коэф- фициента интенсивности напряжений только от нагрузки. Недостаточная строгость критерия критического раскрытия трещины, относяще- гося к деформационным критериям [2], связана с отсутствием строгого обоснования и четкого представления о расстоянии от вершины трещины, на котором рассматрива- ется раскрытие. Вводимое понятие «тупиковая часть трещины» не имеет четкого оп- ределения. Более того, оно вообще не имеет смысла при общепринятом моделирова- нии трещины прямолинейным математическим размером нулевой трещины. Это по- рождает дополнительные трудности при решении соответствующих задач и экспери- ментальном определении предельных параметров, преодоление которых связано с дополнительными предположениями и упрощениями. Приведенный анализ основных концепций и подходов в классической механике разрушения свидетельствует об отсутствии единой обоснованной формулировки фи- зического смысла и механизма образования критического состояния трещины, а так- же соответствующей математической модели. При этом допускаемые предположения и упрощения с целью преодоления трудностей постановочного и вычислительного 97 характера ведут к определенному отходу от адекватности реальным процессам и ме- ханизмам. Это значит, что адекватная математическая модель разрушения в механике трещин должна базироваться как на строгом соблюдении физической сущности явле- ния в математической формулировке задачи, так и точности решения соответствую- щих уравнений. Одним из основных условий соблюдения строгости постановки является форму- лировка задачи классической механики разрушения для полной нелинейной диаграм- мы деформирования материала. В этом случае в окрестности вершины трещины фор- мируются зоны нелинейных или пластических деформаций, называемых также зона- ми предразрушения, где напряжения ограничены. Аналитическое решение такой за- дачи осуществить невозможно без упрощающих предположений, поэтому единствен- ным строгим подходом является дискретизация исходных континуальных уравнений и численное их решение. Необходимо отметить, что попытки построить приближенные аналитические ре- шения задачи о трещине с зоной предразрушения на основе упрощающих предполо- жений [4, 16, 17] не могут быть признаны обоснованными и достоверными. В самом деле, здесь зоны предразрушения не определяются из решения задачи, а задаются в виде трещин-разрезов с неопределенной длиной и наклоном, к берегам которых при- ложена простая нагрузка, соответствующая пределу текучести или неизвестная. При этом для определения длины и наклона трещины-разреза формулируются дополни- тельные необоснованные условия. В действительности же зоны предразрушения пол- ностью определяются из решения нелинейной задачи [20, 21], причем в них имеет место неоднородное сложное напряженное состояние, а отношение поперечных раз- меров зон предразрушения к продольным имеют порядок 0,7 – 0,8 для плоского де- формированного состояния и 0,8 – 1,0 для плоского напряженного состояния. Не име- ет также физического смысла задание на бесконечности сингулярных составляющих асимптотического приближения линейно-упругой задачи вместо естественного обще- принятого задания однородных нагрузок. Очевидно, что построенные таким образом приближенные аналитические решения неадекватны реальной задаче. В настоящей работе рассмотрена плоская нелинейная задача о растяжении пластины с трещиной при условии, что в окрестности вершины трещины образуется шейка. В основу положены уравнения плоского напряженного состояния для пластины пере- менной толщины, материал которой следует физически нелинейному деформирова- нию. Диаграмма деформирования принимается кусочно-линейной, модуль сдвига за- висит от второго инварианта девиатора деформаций при постоянном модуле объемного сжатия. Применение преобразования Фурье [24] позволяет свести задачу к системе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которая заменой интегралов суммами и производных разностями преобразуется в систему нелинейных алгебраи- ческих уравнений. Проведено численное решение системы для диаграмм идеального упругопластического деформирования, линейного упрочнения и линейно ниспадаю- щего участка диаграммы. Исследовано распределение глубины шейки возле вершины трещины, а также влияние нелинейности на особенности кривых раскрытия трещины возле вершины. §1. Основные уравнения. Исходя из физически нелинейного закона деформирования материала, описывае- мого, соответственно, линейными и нелинейными зависимостями между объемными и девиаторными частями напряжений и деформаций, имеем  1 23 ; 2 ( ) ; ( ) ; , , 1, 2, 3rr rr ij ij ij ijK J J i j r              , (1.1) откуда следуют соотношения    ( ) 3 2 ( ) 2 ; ( ) , , 1, 2, 3 , 1 2 ( ) 6 2 ( )ij rr ij ij J K J J J i j r J K J                          (1.2) где ,K  ,  – соответственно, модули объемной деформации, сдвига и коэффициент Пуассона. 98 Примем, что модуль сдвига определяется функцией   0 0 0 0 , , 2 1 , , 2 2 k J J k k J J                        (1.3) где 0 0, , 2 3k    – постоянные; 0 – предел текучести материала. Для одноос- ной деформации при 0  , 0  , 0  имеет место, соответственно, линейное уп- рочнение, идеальное упругопластическое деформирование и линейный ниспадающий участок диаграммы деформирования. Если ввести замену 0 1 ; ,ij ijk        (1.4) то соотношения (1.2) примут вид  0 0 02 ; , , 1, 2, 3 . 1 2ij rr ij ij i j r k               (1.5) Полагая в (1.5), соответственно, 13 23 33 0     и 13 23 33 0     , получаем выражения инварианта J для плоского деформированного состояния 1 22 2 2 11 22 11 22 12 0 1 2 ; (1 ) ( ) 3( ) 2 3 J J J                    (1.6) и для плоского напряженного состояния  1 22 2 2 11 22 11 22 12 0 1 2 ; 3 . 2 3 J J J              (1.7) При этом безразмерный модуль сдвига  согласно (1.3), (1.4), (1.6), (1.7) определяет- ся формулой         0 0, 1; 1 ; .1 1 1 , 1; J J J J J J                                (1.8) Из соотношений (1.5) следуют выражения для деформаций 0 1 ˆ( ) ( , , 1, 2), 2ij ij rr ij i j r        (1.9) где ̂  – для плоского деформированного и ˆ (1 )    – для плоского напряжен- ного состояний. Согласно (1.2) – (1.4), (1.8) коэффициент ̂ можно представить в ви- де суммы 0 1ˆ ˆ ˆ    , где 0 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 22 ˆ ˆ; ( ); ; 1 3 6 2 2(1 ) K J K                     (1.10) – для плоского напряженного состояния и 99  0 0 1 3 ( ) ˆ ˆ; 2(1 ) 1 ( ) J J               (1.11) – для плоского деформированного состояния. В случае плоского напряженного состояния, имеющего место в тонкой пластине под воздействием сил в ее плоскости, в зоне больших напряжений растяжения, пре- вышающих предел текучести, могут появляться остаточные деформации 33 , обу- словленные эффектом Пуассона, приводящие к образованию шейки. Для описания этого явления необходимо вышеприведенные уравнения состояния дополнить диффе- ренциальными уравнениями равновесия относительно усилий ijs , действующих в плоскости 1 2x x на пластину , 0; 2 ( , 1, 2),ij j ij ijs s h i j   (1.12) где 2h – толщина пластины, зависящая от напряжений, которая, согласно (1.5), (1.10), определяется через исходную постоянную толщину 02h и напряжения соотношениями 11 22 0 33 33 0 1 0 ˆ ˆ2 2 (1 ); ( ) . 2 h h              (1.13) С учетом (1.4) уравнения равновесия (1.12) приводятся к виду    , , 1 0; , 1, 2 .ij j i i ijj f f h i j h         (1.14) Подставляя (1.9) в уравнение совместности деформаций 11,22 22,11 12,122 ,    (1.15) приходим к уравнению совместности относительно модифицированных напряжений      0 11 0 22 0 22 0 11 3, 12,12 3 1,22 ,11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 ) 2 ; 1, 2 .rr rrf f r                   (1.16) Решение однородных дифференциальных уравнений (1.14), (1.16) определяется через функцию напряжений 0 0 0 11 ,22 22 ,11 12 ,12; ; ,         (1.17) удовлетворяющую бигармоническому уравнению , 0 ( , 1, 2).iijj i j   (1.18) Частное решение неоднородных уравнений (1.14), (1.16), которое можно постро- ить методом преобразований Фурье для бесконечной области [24], представлено через интегралы по области D тела          * 11 1 2 0 1 ˆ4 1 j j j r i i i iD x f d d x x                             2 2 1 1 2 2 1 22 1 2 j j j r D i i i i x x x f d d x x                                 1 1 2 20 1 22 0 ˆ1 2 ˆ2 1 ij i i j r D i i i i x x e x f d d x x                      100            2 2 1 1 2 2 3 1 22 0 1 ; ˆ2 1 r D i i i i x x f d d x x                             * 22 1 2 0 1 ˆ4 1 j j j r i i i iD x f d d x x                             2 2 1 1 2 2 1 22 1 2 j j j r D i i i i x x x f d d x x                                1 1 2 20 1 22 0 ˆ1 2 ˆ2 1 ij i i j r D i i i i x x e x f d d x x                                 2 2 1 1 2 2 3 1 22 0 1 ; ˆ2 1 r D i i i i x x f d d x x                                 2 2 1 1 2 2* 0 12 1 22 0 ˆ1 2 ˆ4 1 ij i i j r D i i i i x x e x f d d x x                                     1 1 2 2 1 22 1 j j j r D i i i i x x x f d d x x                      1 1 2 2 3 1 22 0 ( )( ) ( )1 ( , , 1, 2), ˆ(1 ) ( )( ) r D i i i i x x f d d i j r x x                 (1.19) где 11 22 12 210, 1e e e e     . Постоянные интегрирования определяются из гранич- ных условий для общего решения 0 * ij ij ij    , состоящего из суммы (1.17), (1.19). Таким образом приходим к системе нелинейных интегро-дифференциальных уравне- ний относительно модифицированных напряжений 11 22 12, ,   . §2. Задача о растяжении пластины с трещиной. Рассмотрим плоское напряженное состояние пластины с внутренней трещиной ( , 0)c x c y    при заданной на бесконечности нормальной равномерно распреде- ленной растягивающей нагрузке 0p , действующей вдоль оси y . Так как распределе- ние напряжений имеет симметрию относительно осей x и y , то достаточно ограни- читься рассмотрением первого квадрата 1D области тела D . При этом необходимо учесть влияние остальных квадратов 2 3 4, ,D D D при построении частного решения (1.19). Тогда приходим к соотношениям              1 * 11 3 3, , ; , , ; , , , ; , , ;i i i D x y P x y Q x y f P x y f d d                              1 * 22 3 3, , ; , , ; , , , ; , , ;i i i D x y P x y Q x y f P x y f d d                             1 * 12 3 3, , ; , , , ; , , , 1, 2 ,i i D x y S x y f S x y f d d i j               (2.1) где функции влияния определяются формулами 101   1 2 2 1 1 0 1 2 3 4 1 , ; , ; ˆ4 (1 ) P x y                         3 3 4 4 2 0 1 2 3 4 1 , ; , ; ˆ4 (1 ) P x y                         31 2 4 3 2 2 2 2 0 1 2 3 4 1 , ; , ; ˆ2 (1 ) P x y                        2 2 2 2 0 1 3 2 3 2 4 1 4 1 2 2 2 2 0 1 2 3 4 ˆ1 2 , ; , ˆ2 (1 ) Q x y                              2 31 1 2 2 1 4 2 2 2 2 1 2 3 4 1 ; 2                        2 2 2 2 0 1 3 2 3 2 4 1 4 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 ˆ1 2 , ; , ˆ2 (1 ) Q x y                               3 1 3 2 4 3 4 4 2 2 2 2 1 2 3 4 1 ; 2                           0 3 1 3 2 4 3 4 4 1 2 2 2 2 0 1 2 3 4 ˆ1 2 , ; , ˆ4 1 S x y                               2 2 2 2 1 3 2 3 2 4 1 4 2 2 2 2 1 2 3 4 1 ;                           0 2 31 1 2 2 1 4 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 ˆ1 2 , ; , ˆ4 1 S x y                             2 2 2 2 1 3 2 3 2 4 1 4 2 2 2 2 1 2 3 4 1 ;                         1 3 2 3 2 4 1 4 3 2 2 2 2 0 1 2 3 4 1 , ; , ; ˆ(1 ) S x y                           1 2 3 4; ; ; ;x x y y               2 2 2 2 1 1 3 2 2 3; ,         (2.2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 4 1 4 1 1 3 2 2 3 3 2 4 4 1 4; ; ; ; ; .                             Нагрузку 0p принимаем меньшей предела текучести k , приводящую к образова- нию нелинейной зоны лишь в окрестности трещины, так что на бесконечности, со- гласно (1.4), (1.8), выполняются граничные условия 22 0p   , 11 12 0    , где 0 0p p k . На оси 0y  граничные условия формулируются в виде 22 ( , 0) 0x  для 102 x c , 2 ( , 0) 0u x  для x c , 12 ( , 0) 0x  для 0 \| \| ,x   где 2 ( , 0)u x – перемеще- ние вдоль оси y . На основе преобразования Фурье [24] решение сформулированной задачи можно представить в виде * 11 11 0 2 ( , ) ( , ) ( ) (1 ) cos ;yx y x y p y e x d            * 22 0 22 0 2 ( , ) ( , ) ( ) (1 ) cos ;yx y p x y p y e x d             * 12 12 0 2 ( , ) ( , ) ( ) sin ,yy x y x y p e x d            (2.3) где функция ( )p  определяется из дуальных интегральных уравнений * 0 22 0 2 ( )cos ( , 0) (0 ),p xd p x x c             0 cos 0 ( ), x p d x c        (2.4) при этом перемещение берега трещины определяется формулой    0 2 0 0 ˆ2(1 ) cos , 0 (0 ). k x u x p d x c           (2.5) Таким образом, приходим к системе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (2.1) – (2.4) относительно модифицированных напряжений 11 22 12, ,   . Учитывая, что трансформанта Фурье перемещения  2 ,0u x согласно (2.5) опре- деляется формулой   0 2 0 ˆ(1 ) ( ) , 0 k p u        , (2.6) преобразуем уравнения (2.3) к виду            * 0 11 11 1 2 2 0 0 2 , , , , , , , 0 ; ˆ1 c x y x y R x y yR x y u d k                           * 0 22 0 22 1 2 2 0 0 2 , , , , , , , 0 ; ˆ1 c x y p x y R x y yR x y u d k                          * 0 12 12 3 2 0 0 2 , , , , , 0 , ˆ1 c x y x y R x y u d k             (2.7) где функция 2 ( , 0)u  удовлетворяет интегральному уравнению   * 0 0 22 2 0 0 2 ( , 0) ( , ) ( , 0) (0 ) , ˆ1 c p x R x u d x c k              (2.8) 103 а ядра определяются формулами   1 1 1 , ; 2 R x x x                  1 2 22 2 1 , , ; 2 x x R x y x y x y                              2 2 22 22 2 , , ; y x y x R x y x y x y                                     2 22 2 3 2 22 22 2 1 , , . 2 x y x y R x y x y x y                             (2.9) Если ввести безразмерное перемещение       0 2 0 2 , 0 , 0 , ˆ1 u u kc        (2.10) то соотношения (2.7) приводятся к виду          * 11 11 1 2 0 , , , , , , , 0 ; c x y x y c R x y yR x y u d                   * 22 0 22 1 2 0 , , , , , , , 0 ; c x y p x y c R x y yR x y u d                  * 12 12 3 0 , , , , , 0 , c x y x y cy R x y u d       (2.11) где функция  ,0u  , как следует из (2.8), удовлетворяет интегральному уравнению      * 22 0 , 0 , , 0 (0 ). c op x c R x u d x c       (2.12) §3. Дискретизация задачи. Решение системы интегро-дифференциальных уравнений (2.1), (2.11), (2.12) мож- но осуществить только численными методами, для чего необходимо их преобразовать из континуальной в дискретную форму. С этой целью разобьем интервал (0, )c на N частей, представив интеграл в (2.12) суммой         1 10 , , 0 , 0 , 2 . k k k k x ac N N k k k kx a R x u d u x R x d a c                  (3.1) Тогда с учетом (2.9) приведем интегральное уравнение (2.12) относительно ( , 0)u  к системе алгебраических уравнений  * 0 22 , 0ip x    1 , 0 ( 1, ... , ), N ik k k I u x i N   (3.2) где матрица ikI с безразмерными элементами определяется формулой 104    2 22 2 1 1 ; ; , 1, ... , .i k ik k i k i k k i k k x a I a x a i k N c cx x a x x a                    (3.3) Аналогично на основе (2.9), (2.11) получим представление решения в произволь- ной точке ,i jx y области 1D , включая границу, через суммы           1 2* 11 11 1 , , ,0 N i j i j ijk ijk k k x y x y I I u x      ;           1 2* 22 0 22 1 , , ,0 N i j i j ijk ijk k k x y p x y I I u x       ;        3* 12 12 1 , , , 0 , N i j i j ijk k k x y x y I u x     (3.4) где матрицы      1 2 3, ,ijk ijk ijkI I I определяются формулами  1 31 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 2 5 3 5 4 5 1 ; 2ijk rr r r I r r r r r r r r             2 2 31 2 4 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 2 5 3 5 4 5 ; ( ) ( ) ( ) ( )ijk rr r r I r r r r r r r r r              2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 1 5 2 5 3 5 4 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 2 5 3 5 4 5 ; 2 ( ) ( ) ( ) ( )ijk r r r r r r r r r I r r r r r r r r               1 ;i k kr x x a   2 ;i k kr x x a   3 ;i k kr x x a   4 ;i k kr x x a   5 .jr y (3.5) Частное решение (2.1) представлено через двойные суммы по прямоугольным ячейкам области 1D , т.е. * 11( , )i jx y            3 3 , 1 4 , ; , , ; , , , ; , , ;r i j k n r i j k n r k n i j k n k n k n k n P x y x y Q x y x y f x y P x y x y f x y a b        * 22 ( , )i jx y            3 3 , 1 4 , ; , , ; , , , ; , , ;r i j k n r i j k n r k n i j k n k n k n k n P x y x y Q x y x y f x y P x y x y f x y a b        * 12 , 1 3 3 ( , ) 4 ( , ; , ) ( , ) ( , ; , ) ( , ) ( 1, 2), i j r i j k n r k n k n i j k n k n k n x y S x y x y f x y S x y x y f x y a b r         (3.6) где введены обозначения    , ; , , ; , ;r i j k n r i j k nP x y x y cP x y x y    , ; , , ; , ;r i j k n r i j k nQ x y x y cQ x y x y    , ; , , ; , ;r i j k n r i j k nS x y x y cS x y x y 105    2 3 3, ; , , ; ,i j k n i j k nP x y x y c P x y x y ;    2 3 3, ; , , ; ,i j k n i j k nS x y x y c S x y x y ;             1 1 1 1 , , , , 1 , , r k n k n k n r k n k k k n k n x y h x y x y f x y a a h x y x y                         2 1 1 1 , , , 1 , , r k n k n k n n n k n k n x y h x y x y b b h x y x y              ;      3 1̂, , , ( 1, 2).k n k n rr k nf x y x y x y r   (3.7) При этом безразмерные координаты и величины определяются отношениями i i x x c  ; j j y y c  , k k x x c  ; n n y y c  ; k k a a c  , n n b b c  , ( , 0,1, ... ; , 1, 2, ...),i j k n  (3.8) где ka , nb – половины размеров прямоугольных ячеек области 1D с координатами центров ,k nx y . Если принять равномерное разбиение области 1D с одинаковыми размерами яче- ек вдоль обеих осей, т.е. 1 ( , 1, 2, ...), 2k na b a k n N     (3.9) то безразмерные координаты ,i jx y в области 1D могут быть представлены в виде (2 1) ; (2 1) ( , 1, 2, ...).i jx i a y j a i j     (3.10) Границе 0y  соответствует значение индекса 1 2j  . Подставляя (3.9), (3.10) в (3.3), (3.5), получаем      2 2 1 1 1 , 1, ... , , 4 1 4 1 1 ikI i k N a i k i k               (3.11) а также формулы:  1 31 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 2 5 3 5 4 5 1 ; 2ijk ss s s I a s s s s s s s s                      2 2 5 31 2 4 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 5 2 5 3 5 4 5 ijk s ss s s I a s s s s s s s s              ;           2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 1 5 2 5 3 5 4 5 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 5 2 5 3 5 4 5 2ijk s s s s s s s s s I a s s s s s s s s                ;  1 2 1;s i k    2 2 3;s i k    3 2 1;s i k   4 2( ) 1;s i k   5 2 1s j  ( 1, ... , ).k N (3.12) 106 Частное решение (3.6) с учетом (3.9), (3.10) принимает вид            * 11 3 3 , 1 , , ; , , ; , , , ; , ,i j r r r k n x y P i j k n Q i j k n g k n P i j k n g k n        ;            * 22 3 3 , 1 , , ; , , ; , , , ; , ,i j r r r k n x y P i j k n Q i j k n g k n P i j k n g k n        ;            * 12 3 3 , 1 , , ; , , , ; , , ; 1,2i j r r k n x y S i j k n g k n S i j k n g k n r      , (3.13) где приняты обозначения     1 2 2 1 1 0 1 2 3 4 1 , ; , ; ˆ4 1 P i j k n                         3 3 4 4 2 0 1 2 3 4 1 , ; , ; ˆ4 1 P i j k n                         31 2 4 3 2 2 2 2 0 1 2 3 4 1 , ; , ; ˆ2 1 P i j k n                        2 2 2 2 0 1 3 2 3 2 4 1 4 1 2 2 2 2 0 1 2 3 4 ˆ1 2 , ; , ˆ2 1 Q i j k n                            2 31 1 2 2 1 4 2 2 2 2 1 2 3 4 1 ; 2                          2 2 2 2 0 1 3 2 3 2 4 1 4 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 ˆ1 2 , ; , ˆ2 1 Q i j k n                             3 1 3 2 4 3 4 4 2 2 2 2 1 2 3 4 1 ; 2                        1 , ; ,S i j k n    2 2 2 2 0 3 1 3 2 4 3 1 3 2 34 4 2 4 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 ˆ1 2 1 ˆ4 1                                                 ;     0 2 31 1 2 2 1 4 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 ˆ1 2 , ; , ˆ4 1 S i j k n                           2 2 2 2 1 3 2 3 2 4 1 4 2 2 2 2 1 2 3 4 1 ;                           1 3 2 3 2 4 1 4 3 2 2 2 2 0 1 2 3 4 1 , ; , ; ˆ1 S i j k n                         107 2 2 2 2 1 2 3 4 1 1 3 2 2 3; 1; ; 1; ; ;i k i k j n j n                       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 4 1 4 1 1 3 2 2 3 3 2 4 4 1 4; ; ; ; ; ;                              ,rg k n                      1 1 1 1 1 2 , , , , , 1 , 1 ; , , , , k n k n k n k n r k n r k n k n k n k n k n h x y x y h x y x y x y x y h x y x y h x y x y                              3 3, , 1, 2 .k ng k n f x y r  (3.14) Таким образом, при равномерном разбиении области 1D на квадратные ячейки задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений (3.2), (3.4), (3.13) относительно переменных ( , 0)ku x , ( , ), ( , )ij k n ij k nx y x y  , где коэффици- енты определяются формулами (3.11), (3.12), (3.14), а безразмерный модуль сдвига  связан с напряжениями ij зависимостями (2.14) – (2.16). Полученную систему мож- но упростить, исключив переменные ( , 0)ku x , ( , )ij k nx y . Для этого представим уравнения (3.2) в виде      1 * 0 22 1 , 0 , 0 1, ... , , N i ik k k u x I p x i N       (3.15) где 1 ikI  – матрица, обратная к ikI , и воспользуемся представлением            * 22 3 3 , 1 , 0 , 1 2; , , 1 2; , , , 1 2; , , ,i r r r k n x P i k n Q i k n g k n P i k n g k n        (3.16) вытекающим из (3.13), (3.14). Тогда из (3.4), (3.13), (3.15), (3.16) следует система не- линейных алгебраических уравнений относительно напряжений ij  11 ,i jx y           0 11 , 1 , , ; , , ; , , ; , ,i j r r r r k n p T x y P i j k n Q i j k n E i j k n g k n                3 3 3, ; , , ; , , ;P i j k n E i j k n g k n               22 0 22 , 1 , 1 , , ; , , ; , , ; , ,i j i j r r r r k n x y p T x y P i j k n Q i j k n L i j k n g k n                    3 3 3, ; , , ; , , ;P i j k n L i j k n g k n              12 0 12 , 1 , , , ; , , ; , ,i j i j r r r k n x y p T x y S i j k n M i j k n g k n                 3 3 3, ; , , ; , , 1, 2 ,S i j k n M i j k n g k n r     (3.17) 108 где введены такие обозначения:       1 2 1 11 , 1 , ; N i j ijk ijk kn k n T x y I I I           1 2 1 22 , 1 , ; N i j ijk ijk kn k n T x y I I I        3 1 12 , 1 , ; N i j ijk kn k n T x y I I               1 2 1 , 1 , ; , , 1 2; , , 1 2; , ; N r ijp ijp pq r r p q E i j k n I I I P q k n Q q k n                 1 2 1 , 1 , ; , , 1 2; , , 1 2; , ; N r ijp ijp pq r r p q L i j k n I I I P q k n Q q k n              3 1 , 1 , ; , , 1 2; , , 1 2; , ; N r ijp pq r r p q M i j k n I I P q k n Q q k n              1 2 1 3 3 , 1 , ; , , 1 2; , ; N ijp ijp pq p q E i j k n I I I P q k n            1 2 1 3 3 , 1 , ; , , 1 2; , ; N ijp ijp pq p q L i j k n I I I P q k n         3 1 3 3 , 1 , ; , , 1 2; , . N ijp pq p q M i j k n I I P q k n    Следует отметить, что в уравнениях (3.17) суммирование распространяется толь- ко на область нелинейного деформирования материала, где 3( , ) 0, ( , ) 0rg k n g k n  . При этом слагаемые 0 11( , )i jp T x y , 0 221 ( , ) ,i jp T x y   0 12 ( , )i jp T x y представляют собой решение линейной задачи для случая 1  . Для вычисления напряжений 11( , 0)ix , 22 ( , 0)ix на оси x при вычисленных на- пряжениях 11( , )i jx y , 22 ( , )i jz y , 12 ( , )i jx y в области необходимо в (3.17) поло- жить 1 2j  . В результате получим  11 , 0ix           0 11 , 1 , 0 ,1 2; , , 1 2; , , 1 2; , ,i r r r r k n p T x P i k n Q i k n E i k n g k n                3 3 3,1 2; , , 1 2; , , ;P i k n E i k n g k n     22 , 0ix           0 22 , 1 1 ,0 ,1 2; , , 1 2; , , 1 2; , ,i r r r r k n p T x P i k n Q i k n L i k n g k n                   3 3 3, 1 2; , ,1 2; , , .P i k n L i k n g k n     109 §4. Численные результаты. На основе исходных соотношений и построенных нелинейных алгебраических урав- нений проведено исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в пластине из дюралюминия с постоянными [1] 61400МПа,K  0 026720 МПа, 330 МПа.   Нелинейность деформирования описывается уравнениями (1.1) – (1.3) для значений 0  , 0,1  , 0,1   , относящихся ко второму участку модуля сдвига (1.3). Численное решение задачи осуществлено путем разбиения половины длины тре- щины на N = 200 одинаковых частей и равномерного разбиения области 1D c одина- ковыми размерами ячеек вдоль обеих осей, равными 2 1 0,005а N  в безразмерных координатах. В случае линейной задачи это приводит к решению системы 200 линей- ных уравнений относительно 200 неизвестных ( , 0)iu x , которое определяется фор- мулой (3.15) при * 2 ( , 0) 0kx  . В случае нелинейной задачи шаг равномерного разбиения должен быть таким, чтобы выбранное число квадратных ячеек покрывало область нелинейного деформирования у вершины трещины, размеры которой зависит от значения действующей нагрузки 0p . В рассматриваемой задаче принято, что нагрузка задана в интервале 00,3 0,5p  . Для покрытия области нелинейного деформирования использовано 30×24 квадратных ячеек, что приводит к решению системы 2160 нелинейных алгебраических уравнений (3.17) относительно 2160 неизвестных 11 , 22 , 12 . При решении системы нулевым приближением принято решение соответствующей линейной задачи, которое описы- вается первыми слагаемыми правой части нелинейной системы уравнений (3.17). Основной целью численного решения задачи было изучение характера шейки, об- разующейся в окрестности вершины трещины, которая в безразмерном виде опреде- ляется, согласно (1.13), ее глубиной 01 .d h h  (4.1) На рис. 1 – 4 представлены зависимости глубины шейки d от координат 1,x y при воздействии нагрузки 0 0,5p  , где черной жирной линией показана вершина трещины. На рис 1, 3, 4 представлены соответствующие зависимости для 0  , 0,1   , 0,1  при действующей нагрузке 0 0,5p  . На рис. 2 представлена зави- симость глубины шейки от координат для 0  после снятия нагрузки 0 0,5p  , т.е. остаточная глубина шейки. Рис. 1 110 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Необходимо отметить, что зоны пластических деформаций и кривые зависимостей нормальных напряжений 22 ( , 0)ix от координаты x практически не зависят от обра- зования шейки и имеют вид, приведенный в [20]. 111 На рис. 5 приведены, согласно (2.10), кривые остаточного раскрытия трещины у вершины      0v , 0 , 0 , 0x u x u x  (4.2) для нагрузок 0 0,3; 0,3; 0,4; 0,45; 0,5p  , где  0 ,0u x – линейно-упругое перемеще- ние берега трещины. Как видим, кривые имеют максимум у вершины трещины, кото- рый удаляется от вершины с увеличением нагрузки. Рис. 5 На рис. 6 приведены кривые остаточного раскрытия трещины (4.3) для нагрузки 0 0,5p  при 0  , 0,1   , 0,1  . Как видим, остаточное раскрытие трещины уменьшается для материала с упрочнением и увеличивается при наличии ниспадаю- щего участка диаграммы деформирования. Это вполне соответствует физическим представлениям о процессе нелинейного деформирования в окрестности вершины трещины. Рис. 6 Наличие максимального раскрытия трещины на некотором расстоянии от ее вер- шины при нелинейном деформировании, которое всегда имеет место для реальных материалов, может служить основанием принять его предельное значение в качестве критерия разрушения. Достоверность такой гипотезы может быть установлена экспе- риментальным путем. 112 Заключение. Высокая концентрация напряжений и деформаций в окрестности вершины тре- щины в пластине при растяжении приводит к образованию шейки. Исследование задачи об образовании шейки в вершине трещины осуществлено на основе уравнений плоского напряженного состояния для пластины переменной тол- щины, материал которой следует физически нелинейному деформированию. Применением преобразования Фурье с последующей дискретизацией уравнений за- дача об образовании шейки сведено к системе нелинейных алгебраических уравнений. Исследовано распределение глубины шейки и раскрытие трещины для диаграмм идеального упруго-пластического деформирования, линейного упрочнения и линейно ниспадающего участка диаграммы. Р Е ЗЮМ Е . Дано розв’язок плоскої нелінійної задачі про розтяг пластини з тріщиною при умові утворення шийки в вершині тріщини. Діаграму деформування прийнято кусково-лінійною з постійним модулем об’ємного стиску. Перетворенням Фур’є і дискретизацією задачу зведено до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь. Досліджено розподіл глибини шийки біля вершини тріщини і вплив нелінійності на розкриття тріщин біля вершини. 1. Гуляев А.П. Металловедение. – М.: Металлургия, 1986. – 542 с. 2. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В.З. Основы механики разрушения материалов. – К.: Наук. думка, 1988. – 487 с. – (Механика разрушения и прочность материалов. Справочное пособие в 4- х томах; Т. 1). 3. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 с. 4.Черепанов Г.П. Пластические линии разрыва в конце трещины // Прикл. математика и механика. – 1976. – 40, № 4. – С. 720 – 728. 5. Amar C.G. Delamination – a damage mode in composite structures // Engng. Frac. Mech – 1988. – 29, N 5. – P. 557 – 584. 6. Composite Materials. V. 1-8/ Ed by L.J.Broutman and R.H.Krock. – New York and London: Academic Press, 1973 – 1976. 7. Elastodynamic crack problems / Ed. G.C.Sih. – Leyden: Noordhoff, 1977. – 423 p. 8. Evans A.G. and Hutchinson J.W. On the mechanics of delamination and spalling in compressed films // Int. J. Solids Struct. – 1984. – 20, N 5. – P. 455 – 466. 9. Fracture. An advance treatise. V. 1 – 7 / Liebowiz H., Chief Editor. – New York and London: Academic Press, 1968 – 1972. 10. Garg A.C. Intralaminar and interlaminar fracture in graphite / epoxy laminates // Engng. Frac. Mech. – 1986. – 23, N 4. – P. 719 – 733. 11. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. – 1920. – A221. – P. 163 – 198. 12. Guz A.N., Guz I.A., Men’shikov A.V and Men’shikov V.A. Tree-Dimensional Problems in the Dynamic Fracture Mechanics of Materials with Interface Cracks (Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 48, N 1. – P. 1 – 61. 13. Guz A.N. Establishing the Foundations of the Mechanics of Fracture of Materials Compressed along Cracks (Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 1. – P. 1 – 57. 14. Hutchinson J.W., Mear M., Rice J.R. Crack paralleling an interface between dissimilar material // Trans. ASME. J. Appl. Mech. – 1987. – 54, N 4. – P. 828 – 832. 15. Irwin G.P. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech., 1957. – 24, N 4. – P. 361 – 364. 16. Kaminsky A.A., Kurchakov E.E. Modeling a Crack with a Fracture Process Zone in a Nonlinear Elastic Body // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 5. – P. 552 – 562. 17. Kipnis L.A., Polishchuk T.V. Analysis of the Plastic Zone at the Corner Point of Interface // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 2. – P. 159 – 168. 18. Khoroshun L.P. Integral Relations in the Vicinity of a Crack Tip // Int. Appl. Mech. – 1995. – 31, N 8. – P. 601 – 607. 19. Khoroshun L.P. On the Correctness of Energy Criterion in Fracture Mechanics // Int. Appl. Mech. – 1995. – 31, N 10. – P. 799 – 805. 20. Khoroshun L.P. Discretization of the plane problem for a cracked body with nonlinear stress-strain dia- gram under tension // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 11. – P. 1238 – 1252. 21. Khoroshun L.P., Levchuk O.I. Distribution around Cracks in Linear Hardening Materials Subject to Ten- sion: Plane Problem // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 2. – P. 128 – 140. 22. Orowan E.O. Fundamentals of brittle behavior of metals // Fatigue and Fracture of Metals. – New York: Wiley, 1950. – P. 139 – 167. 23. Perez N. Fracture Mechanics. – Boston: Kluwer Academic Publishers, 2004. – 299 p. 24. Sneddon J.N., Berry D.S. The classical theory of elasticity. – Berlin: Springer-Verlag, 1958. – 219 p. Поступила 28.05.2013 Утверждена в печать 19.02.2015

Плоская задача об образовании шейки в окрестности вершины трещины в пластине

Репозитарії

Схожі ресурси