Точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса

За допомогою скінченого інтегрального перетворення Ханкеля побудовано точний розв’язок двох осeсиметричних задач теорії пружності для суцільного та порожнистого циліндрів скінченої довжини з урахуванням їх питомої ваги. На нижній основі та на бічних поверхнях задано умови ковзного закріплення, до ве...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2015
Main Authors:	Попов, Г.Я., Процеров, Ю.С., Гончар, И.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2015
Series:	Прикладная механика
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140995
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса / Г.Я. Попов, Ю.С. Процеров, И.А. Гончар // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 31-44. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-140995
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1409952018-07-22T01:22:56Z Точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса Попов, Г.Я. Процеров, Ю.С. Гончар, И.А. За допомогою скінченого інтегрального перетворення Ханкеля побудовано точний розв’язок двох осeсиметричних задач теорії пружності для суцільного та порожнистого циліндрів скінченої довжини з урахуванням їх питомої ваги. На нижній основі та на бічних поверхнях задано умови ковзного закріплення, до верхньої основи прикладено осесиметричне нормальне та дотичне навантаження. Отримано зображення переміщень та напружень. Результати розрахунків нормованих напружень на циліндричних поверхнях для різних співвідношень висоти, зовнішніх та внутрішніх циліндрів подано у вигляді графіків. The exact solution of two axisymmetric problems of the theory of elasticity for the solid and hollow cylinders of finite length is constructed with allowance for their specific weight and using the finite Hankel integral transform. The conditions of sliding support on the bottom backing and the lateral faces are given. The upper backing is loaded by axisymmetric normal and tangential forces. The transforms of displacements and stresses are obtained. The results of numerical evaluations of normal stresses on the cylindrical surfaces of external and internal cylinders are shown in the form of plots for different ratios of height. 2015 Article Точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса / Г.Я. Попов, Ю.С. Процеров, И.А. Гончар // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 31-44. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140995 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	За допомогою скінченого інтегрального перетворення Ханкеля побудовано точний розв’язок двох осeсиметричних задач теорії пружності для суцільного та порожнистого циліндрів скінченої довжини з урахуванням їх питомої ваги. На нижній основі та на бічних поверхнях задано умови ковзного закріплення, до верхньої основи прикладено осесиметричне нормальне та дотичне навантаження. Отримано зображення переміщень та напружень. Результати розрахунків нормованих напружень на циліндричних поверхнях для різних співвідношень висоти, зовнішніх та внутрішніх циліндрів подано у вигляді графіків.
format	Article
author	Попов, Г.Я. Процеров, Ю.С. Гончар, И.А.
spellingShingle	Попов, Г.Я. Процеров, Ю.С. Гончар, И.А. Точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса Прикладная механика
author_facet	Попов, Г.Я. Процеров, Ю.С. Гончар, И.А.
author_sort	Попов, Г.Я.
title	Точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса
title_short	Точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса
title_full	Точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса
title_fullStr	Точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса
title_full_unstemmed	Точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса
title_sort	точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140995
citation_txt	Точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса / Г.Я. Попов, Ю.С. Процеров, И.А. Гончар // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 31-44. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT popovgâ točnoerešenienekotoryhosesimmetričnyhzadačdlâuprugihcilindrovkonečnojdlinysučetomudelʹnogovesa AT procerovûs točnoerešenienekotoryhosesimmetričnyhzadačdlâuprugihcilindrovkonečnojdlinysučetomudelʹnogovesa AT gončaria točnoerešenienekotoryhosesimmetričnyhzadačdlâuprugihcilindrovkonečnojdlinysučetomudelʹnogovesa
first_indexed	2025-07-10T11:42:32Z
last_indexed	2025-07-10T11:42:32Z
_version_	1837260089150406656
fulltext	2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 4 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, №4 31 Г .Я .П о п о в , Ю .С .Пр о ц е р о в , И .А . Г о н ч а р ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГИХ ЦИЛИНДРОВ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ С УЧЕТОМ УДЕЛЬНОГО ВЕСА Одесский Национальный университет им. И.И. Мечникова, 65082, г. Одесса, ул. Дворянская 2, e-mail: popovgya@mail.ru, protserov@onu.edu.ua, gigorok@mail.com Abstract. The exact solution of two axisymmetric problems of the theory of elasticity for the solid and hollow cylinders of finite length is constructed with allowance for their specific weight and using the finite Hankel integral transform. The conditions of sliding support on the bottom backing and the lateral faces are given. The upper backing is loaded by axisymmetric normal and tangential forces. The transforms of displacements and stresses are obtained. The results of numerical evaluations of normal stresses on the cylindrical sur- faces of external and internal cylinders are shown in the form of plots for different ratios of height. Key words: solid and hollow cylinders of finite length, specific weight, sliding contact, finite Hankel integral transform. Введение. Осесимметричным задачам для упругих цилиндров конечной длины, сплошных и полых, посвящена довольно обширная литература. Состояние проблемы до 1963 года освящена в обстоятельном обзоре [1]. Этим задачам посвящена значительная часть монографии [5]. Там же приводится обзор работ, опубликованных после 1963 г. Во всех публикациях, в том числе и выполненных в последнее время, не учитывается действие объемных сил, например, удельного веса материала цилиндров. Исключение составляют работы [13] и [7,8]. В первой из них дано численное решение задачи о напряженном состоянии полого цилиндра под действием собственного веса материа- ла. При этом внутренняя цилиндрическая поверхность и верхний торец цилиндра – свободны, а вторая цилиндрическая поверхность и нижний торец – защемлены. В ра- боте [7] намечен путь получения точного решения для сплошного цилиндра под дей- ствием собственного веса, когда на цилиндрической поверхности и на нижнем торце цилиндра выполнено условие скользящего закрепления (нормальное смещение и ка- сательные напряжения равны нулю), а верхний торец цилиндра загружен нормальной и касательной нагрузкой. В работе [8] построено решение задачи для сплошного ци- линдра с защемленной цилиндрической поверхностью под действием силы веса и нормальной нагрузки, приложенной к верхнему основанию. Отметим работы [3, 14, 15], посвященные разработке аналитических и аналитико-численных методов реше- ния задач для упругих цилиндров. В остальных публикациях [12, 16, 18 – 20] предло- жены различные приближенные аналитические или численные методы решения про- блемы при различных граничных условиях. Цель настоящей работы – указать граничные условия для цилиндров, находящих- ся под действием удельного веса, при которых можно получить точное решение и его построить. Тем самым обобщить и дать численную реализацию метода работы [7]. 32 К направлению получения точных решений относятся работы [2, 4]. В [2] построено точное решение для сплошного цилиндра без учета удельного веса, у которого на ци- линдрической поверхности заданы не нулевые нормальное смещение и касательные напряжения, а на торцах заданы нормальные и касательные напряжения. Использован метод, отличный от примененного в работе [7] и в настоящей работе. В публикации [4] для получения точных решений использован аппарат р-аналитических функций. При этом на торцах заданы ненулевые нормальные смещения и касательные напря- жения, а на цилиндрических поверхностях могут выполняться такие условия: а) зада- ны ненулевые нормальные смещения и касательные напряжения; б) заданы не нуле- вые нормальные напряжения и касательные смещения; в) заданы ненулевые нормаль- ные и касательные напряжения; г) заданы нормальные и касательные смещения (не нулевые); д) на внутренней цилиндрической поверхности заданы нормальные и каса- тельные смещения, а на внешней – нормальные и касательные напряжения. Следует отметить, что задание на грани цилиндра нулевых нормальных смещений и касатель- ных напряжений соответствует условию скользящего закрепления, т.е. эта грань ци- линдра находится в контакте с абсолютно жестким гладким телом. Как практически осуществить граничные условия, когда указанные величины отличны от нуля, авторы работ [2,4] не объясняют, впрочем, как и условия задания на грани нормальных на- пряжений и касательных смещений. §1. Постановка задачи. Рассмотрим две осесимметричные задачи для сплошного (задача І) и полого (за- дача ІІ) цилиндров, заданых в цилиндрической системе координат соотношениями 0 r a  (задача І), 0 10 a r a   (задача ІІ), , 0 z h       . Искомыми функ- циями в этих задачах являются смещения  ,ru r z и  ,zu r z , которые должны удов- летворять осесимметричным уравнениям Ламе с объемными силами в виде удельного веса   2 2 0 02 2 1 1 1 0r z z r u u u r u r r r r zr z                    ;   2 0 0 2 1 1r z zu u u r r Gr r z r r r z                      , где    1 0 0 01 2 ;1 2 1 ;          – коэффициент Пуассона; G – модуль сдвига и  – удельный вес материала. Напряжения выражаются формулами  0 1 2 1 1 r z r r z z r r u u u r z rG u u u z r r                                            ; r z rz u u G z r         . Примем, что цилиндр опирается на абсолютно жесткое гладкое основание, т.е. на нижнем основании z = 0 имеем 0 0z z u   и 0 0zr z    , откуда 0 0r z u z     . К верхнему основанию z = h приложены осесимметричные нормальная и касательная нагрузки    ,z zrz h z h p r q r      . 33 На цилиндрических поверхностях kr a (k = 1 для задачи I и k = 0,1 для задачи II) заданы условия скользящего закрепления 0 k r r a u   и 0 k rz r a    , откуда 0 k z r a u r     . Перейдем к безразмерным координатам r a  и z h  и величинам            , , , , , , , ,r z ru u a h w u a h a h                и т.д. Система урав- нений Ламе примет вид     2 2 2 0 02 2 22 20 1 1 0 2 1 1 1 0; 1 1 ; . u u w u au w w a hG                                                                 (1.1) Краевые условия на нижнем и верхнем основаниях запишем в виде 0 0 0, 0 u w         ; (1.2)        1 1 01 1 1 ; , 2 a P a Qw u w u G G                                       (1.3) где        ,P p a Q q a     . Краевые условия на боковых поверхностях примут вид: для задачи I 1 1 0, 0 w u        , (1.4) для задачи II 1 1 0, 0 b b w w u u                ; 0 1/ 1.b a a  (1.5) Решения поставленных краевых задач удобней строить в виде                    0 0, , , , , , ,u u u w w w                , где    ,u    и    ,w    – решение неоднородной системы уравнений Ламе (1.1) при однородных краевых условиях (1.2) – (1.5) (при P = Q = 0), а    0 ,u   и    0 ,w   – решение однородной системы уравнений Ламе (1.1) (при 0  ), удовле- творяющее краевым условиям (1.2) – (1.5). Непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции    , 0u     и         2 0 , 2 2 1 h w G          удовлетворяют требуемым условиям. При этом для напряжений в цилиндре, вызы- ваемых удельным весом цилиндра, имеем формулы 34                , 1 ; , 1 , , 0 1 h h                        . (1.6) Для случая, когда к верхнему основанию 1  приложена только равномерно распределенная нормальная нагрузка    * const; 0P P Q    , функции           * 0 0 0 , 0, , 1 hP u w G          (1.7) будут решениями поставленной выше задачи, в чем несложно убедиться непосредст- венной проверкой. Причина, почему сформулированные задачи допускают элемен- тарное решение, объяснена в работе [7]. Таким образом, для рассматриваемого частного случая загружения цилиндра ре- шение задачи определим формулами         * 0 , 0, , 2 2 ; 2 1 h u w h P G                       * , 1 , , 1 , , 0 1 h P h P                          . §2. Методика решения задачи. Для общего случая загружения следует определить решение    0 ,u   и    0 ,w   однородной системы уравнений Ламе (1.1). Учитывая краевые условия скользящей заделки (1.4) и (1.5), воспользуемся конечными интегральными преобра- зованиями Ханкеля (они выписаны в форме, вытекающей из метода работы [6]). Для задачи I имеем:                       1 0 00 0 1 1 2 10 1 , ; , k kk k k k J u u J d u u J                    ; (2.1)                       1 00 00 0 0 2 00 0 , ; , k kk k k k J w w J d w w J                    , (2.2) где  0 0, 1,2,...k k   – положительные корни уравнения  1 0;J   содержащиеся здесь квадраты норм функций  f  определены формулой     1 2 2 0 f f d       и поэтому имеем      2 2 2 1 0 0 1 ; 2k k kJ J J       0 0 1J    и   2 0 0 1 2 J    . Для задачи II:                       1 0 00 0 1 1 2 1 1 ; , ; ; , ; k kk k kb k y u u y d u u y                   ; (2.3)                       1 0 00 0 0 0 2 0 0 ; , ; ; , , ; k kk k kb k y w w y d w w y                     , (2.4) 35 где          1 1 1 1 1, k k k k ky J N N J       ;            0 0 1 0 1 0 0 2; , 1,2,..., ;k k k k ky J N N J k y            ,  0 0, 1,2,...k k   – положительные корни уравнения        1 1 1 1 0J b N N b J     , (2.5)           2 2 1 12 2 0 1 2 2 2 1 2 ; ; ( 1,2,...); k k k k k k J b J y y k J b                 2 2 0 0 2 2 ; 1y b     . Здесь  mJ z и  mN z – функции Бесселя и Неймана. Для интегральных преобразований (2.2) и (2.4) 0 0  является собственным чис- лом, т.е. решением уравнений  1 0J   и        1 1 1 1 0,J b N N b J        соот- ветственно. Ему отвечают собственные функции 1 и 2  , получаемые предельным переходом при 0  из функций  0J  и  0 ;y   . Применяя указанные интегральные преобразования к однородной системе урав- нений Ламе (1.1) и краевым условиям (1.2) и (1.3) (краевые условия (1.4) и (1.5) при этом будут удовлетворены), приходим к одномерной краевой задаче. При k = 0 она имеет вид    0 " 0 0, 0 1w     ;           0 0 ' 1 0 0 0 0 0 0, 1 1 a P w w G      , где   1 0 0 P P d    – для задачи I и   1 0 2 b P P d      – для задачи II. Ее решением будет функция       0 0 0 01 h P w G      . Отметим, что соответствующее ей слагаемое в формулах обращения (2.2) и (2.4) при   P P  дает элементарное решение (1.7). При k = 1,2,… для обеих задач получаем одномерную краевую задачу                             0 " 0 0 '2 0 0 0 ' 0 " 02 2 0 0 1 0; 1 0; k kk k k k kk k k u u w u w w                         (2.6)        0 ' 00 0; 0 0;k ku w  36                  0 0 ' 0 ' 01 1 0 1 1 1 ; 1 1 , 2k k k kk k k k a a u w P u w Q G G              (2.7) где для задачи I имеем         1 1 0 1 0 0 ,k k k kP P J d Q Q J d            , а для зада- чи II –         1 1 0 1; , ;k k k k b b P P J d Q Q y d            . Решение полученной краевой задачи строим по схеме [17, §3]. Запишем систему (2.6) в векторном виде        " ' 0k k k kL A B C      y y y y , (2.8) где             0 2 20 0 0 , , 0 1 k k k u A w                    y   2 0 0 2 0 0 1 0 , . 0 0 k k k k B C                       Для получения решения уравнения (2.8), следует построить решение матричного уравнения   0LY   . (2.9) Для этого сформируем матрицу       2 2 2 0 02 2 2 2 0 0 1 1 k k k k s s M s As Bs C s s                        . Тогда решение матричного уравнения (2.9) имеют вид    11 2 s c Y e M s ds i     , где матрица  1M s – обратная к матрице  M s , а С – замкнутый контур, охваты- вающий полюсы матрицы  1M s . Определив          2 2 2 0 01 2 2 22 2 2 0 00 11 11 k k k kk s s M s s ss                          и вычисляя контурный интеграл при помощи теоремы о вычетах с учетом того, что подынтегральная функция имеет полюсы второй кратности в точках ks    , полу- чим решения         2 3 4 8 1 3 4 k k k e Y                               ; 37         2 3 4 8 1 3 4 k k k e Y                                , первое из которых растет на бесконечности, а второе убывает там. Тогда общее реше- ние векторного уравнения (2.8) будет определяться формулой      1 3 2 4 k C C Y Y C C                 y , где  1,4kC k  – произвольные постоянные. Определив их из краевых условий (2.7), получим выражения для трансформант смещений в виде        0 1 2 k k k kk a u P A Q A G       ;        0 1 * , 1,2,...; 2 k k kk a w P B Q B k G              1 1 2k k k k k k k k k A ch ch sh sh sh ch                               ;             * 1 1 2 1 ; 2 1 ; k k k k k k k k k k k k k k k k k k A sh ch ch sh ch ch B ch sh sh ch sh sh                                                              (2.10)      * 1 1 2 ;k k k k k k k k k B sh sh ch ch ch sh                                 .k k k k ch sh          Воспользовавшись формулами обращения (2.1) – (2.2) для задачи I и (2.3) – (2.4) для задачи II, получим выражение для смещений    0 ,u   и    0 ,w   . Так, например, для задачи II получим равенства               0 0 0 1 22 10 0 ; , 21 1 , k k k k k k k yh P a w P B Q B GG b y                    . §3. Анализ решения задачи I и числовые результаты. Для анализа построенного решения необходимо задать конкретный вид прило- женной нагрузки. Примем для задачи I:      2 2 1 1 ; 0 (P P a Q P     – const). (3.1) 38 Их трансформанты Ханкеля –   2 2 1 1 0 * 02 2 ; ; 0; 1,2,... 4 k k k k a a P P P P J Q k       . Тогда получим равенства             3 0 1 01 * 2 21 1 , ;k k k k k k J Ja P u A G J                             2 3 0 0 01 * 1 * 2 210 0 , . 2 1 k k k k k k J Jha P a P w B G G J                 (3.2) Используя известную асимптотику функций Бесселя для больших значений аргу- мента [10], можно показать, что    2 2 1 0 1 k k k J J       при k  , откуда следует, что величины       1 0 2 1 k k k J J J      и       0 0 2 0 k k k J J J      ограничены по модулю при всех значениях [0,1] . Далее из выражений (2.10) можно получить, что при k        11 1 1 2 ; k k k A e                          11 1 2 1 . k k k B e                    (3.3) Таким образом, ряды в формулах (3.2) ведут себя как    1 2 1 1 1 2 k k kk e                и    1 2 1 1 2 1 2 , k k kk e                (3.4) откуда следует их абсолютная и равномерная сходимость при всех  0,1  . Выражения для нормальных напряжений для этой задачи имеют вид              0 0 0 0 12 1 0 2 1 2 , 1 1 k k k k k k k P P J J A J                                ' 0 k kJ B      ; (3.5)              0 0 ' 0 0 2 1 0 , 2 1k k k k k k k P J P A B J                        . Наибольший интерес представляет нормальное напряжение на цилиндрической поверхности 1  : 39        0 0 0 21 1 0 2 , 1 k k k k k k J P P D J                 (3.6) где    1 k k k k k k k k k D ch ch sh sh sh ch                              . Проведя аналогичные рассуждения относительно сходимости ряда в формуле (3.6), получим, что он ведет себя, как  11 1 k k k k e               , (3.7) т.е. сходится равномерно при всех  0,1  . На верхнем основании 1  выражение для нормального напряжения       2 0 021 * 1 * 21 1 0 4 2 k k k k Ja P a P J               есть не что иное, как принятое со знаком «минус» разложение в ряд Фурье – Бесселя приложенной нагрузки (3.1), что свидетельствует о выполнении краевого условия. При определении трансформанты внешней нагрузки использовано интегральное пре- образование (2.2),в котором в формуле обращения будет [6] обеспечена (согласно теоремы разложения Стеклова) равномерная сходимость ряда для функций, у которых производная обращается в ноль при 1  . Внешняя нагрузка (3.1) не удовлетворяет условию  ' 1 0P  . Несмотря на это, численные результаты дают хорошее совпадение напряжения  0 1     с приложенной нагрузкой. Для сравнения была рассмотрена внешняя нагрузка    22 * 1 1 ,P P a P   – const, которая удовлетворяет уже ука- занному требованию и при вычислении напряжения  0 1     оно полностью совпадает с приложенной внешней нагрузкой. Для учета напряжений, возникающих из-за удельного веса цилиндра, к выраже- ниям (3.5) и (3.6) следует присоединить выражения (1.6). Рис. 1 Вычисления проведены для стального цилиндра ( 0,28;  4 37,65 10 H / м ;   1 1м;a  5 2 10 H /мP  ). На рис. 1 приведены значения напряжения  0 1 * 1 P        , 40 т.е. без учета веса цилиндра, для значений h = 2, 4, 8 м (кривые 1, 2 и 3) в зависимости от безразмерной координаты ж для внешней нагрузки (3.1). Во всех трех случаях при приближении к верхнему основанию возникают зоны положительных нормальных напряжений, размер которых уменьшается с увеличением h. На рис. 2 приведены напряжения 1 1 P        для случая учета удельного веса при тех же исходных данных. Зоны положительных нормальных напряжений, как видно, уменьшились и в нижней половине цилиндра определяющими являются ли- нейные по  напряжения (1.6), вызванные удельным весом. Рис. 2 При вычислениях значения корней k были приняты согласно [9,10]. §4. Анализ решения задачи II и числовые результаты. Для задачи II внешнюю нагрузку примем в виде       2 1 1 ; 0;P P a b Q P       – const; (4.1) ее трансформанта   2 31 0 1 2 2 ; 6 a P P b b b                    2 1 11 1,1 1,13 1 1 2 2 1 1 ; ( ) k k k k k k kk J Ja P P b b S S b J b J b                          0, 1,2,...kQ k  , где  1,1S x – функция Ломмеля [11]. Ее значение при малых аргументах вычислены при помощи квадратурных формул из пакета Matlab, а при больших аргументах – при помощи асимптотической формулы [11]  1,1 2 4 6 8 1 3 3 15 3 15 35 1 ...S x x x x x          . Для данной нагрузки выражения для смещения имеют вид          0 11 2 1 1 ; , ; 2 ; k k k k k ya u P A G y                        0 00 1 22 10 0 ; , . 21 1 ; k k k k k yh P a w P B GG b y                 (4.2) 41 Проводя рассуждения, аналогичные задаче I, можно показать, что      2 2 0 1 2 2 2 1 ; ;k k k b y y         при k  , откуда следует ограниченность по модулю величин     1 2 1 ; ; k k k y y      и     0 2 0 ; ; k k k y y      при k  . Далее, учитывая соотношения (3.3) и то, что  31/k kP O  , получим, что поведе- ние рядов в формулах (4.2) имеет тот же вид (3.4), что и для задачи I, а значит, они сходятся абсолютно и равномерно. Выражения для нормальных напряжений для задачи II имеют вид        0 0 02 , 1 1 P b                      0 12 1 0 1 2 1 ; ; ; k k k k k k k P y y A y                         ' 0 ; k ky B      ; (4.3)              0 0 '0 02 2 1 0 ; , 1 . 1 ; k k k k k k k P yP A B b y                         На цилиндрических поверхностях b  и 1  нормальные напряжения равны         0 0 221 1 0 2 ; 1 1 ; k k k k P P D b y                             0 10 22 1 0 1 2 , 1 1 ; k k k b k k k P JP D bb y J b                  (4.4) где  kD  то же, что и в формуле (3.6). Поведение рядов в формуле (4.3) такое же, как и в задаче I, и описывается форму- лой (3.7), а значит, они сходятся равномерно. Для учета напряжений, возникающих при учете собственного веса цилиндра, к выражениям (4.3) и (4.4) следует добавить выражения (1.6). На верхнем основании       0 00 2 21 1 0 ; , 1 ; k k k k P JP b y               т.е. равно (взятому со знаком «минус» разложению в ряд Фурье – Бесселя) приложен- ной нагрузке (4.1), что также хорошо подтверждается численными результатами. 42 Рис. 3 Рис. 4 При тех же исходных данных, что и для задачи І, были определены напряжения (4.4) в зависимости от параметров h и 0 1/b a a . На рис. 3 приведены значения на- пряжения  0 1 1 P        для значений h = 2 ,4, 8 м (кривые 1, 2, 3) при 1 / 2b  . На рис. 4 приведены значения того же напряжения при h=2м и 1/ 3; 1/ 2b b  и 5 / 6b  (кривые 1, 2, 3). Поведение этих напряжений на цилиндрической поверхности b  такое же, как и при 1  . При учете удельного веса приведенные напряжения изме- нятся аналогично задаче І за счет линейной по  добавки (1.6). Из приведенных рисунков видно, что для обеих задач в окрестности верхнего ос- нования 1  цилиндра появляется зона растягивающих нормальных напряжений. Ее появление обусловлено видом приложенной нагрузки, которая обращается в ноль на цилиндрических поверхностях и максимально – посередине между ними. Для сравнения были вычислены напряжения для задачи ІІ на цилиндрических по- верхностях для внешней нагрузки    2 3 2 * 1 1,5 1 3P P a b b         , которая удовлетворяет условиям    ' ' 1 0,P b P  налагаемым теоремой Стеклова и уже не является симметричной относительно точки  0,5 1b   . Полученные значения  0 1 * 1 P        и  0 1 * b P        приведены на рис. 5 и 6 для значений h=2, 4, 8 м (кривые 1, 2, 3) при 1 / 2b  . В этом случае участки растягивающих нормальных напряжений отсутствуют. При вычислениях первые шесть корней k уравнения (2.5) приняты из таблиц в [9]. При этом следует учесть, что там приведены корни kx уравнения        1 1 1 1 0J x N kx J kx N x  при k>1, но тогда корни уравнения (2.5) получаем простой заменой kx  и 1 /k b , т.е. /k kx b  . 43 Рис. 5 Рис. 6 Отметим, что при подсчете значений корней k при больших значениях k исполь- зована асимптотическая формула [8]     3 2 3 3 3 3 1 7 13 73 1 . 1 8 128 k b b bbk b bk b k           Заключение. При помощи конечного интегрального преобразования Ханкеля построены точ- ные решения двух осесимметричных задач теории упругости для сплошного и полого цилиндров конечной длины с учетом удельного веса материала цилиндров. На ниж- нем основании и боковых поверхностях цилиндров заданы условия скользящей за- делки, а к верхнему основанию приложены осесимметричные нормальная и касатель- ная нагрузки. Получены выражения для смещений и напряжений. Результаты вычис- лений нормальных напряжений на цилиндрических поверхностях при различных со- отношениях высоты, внешнего и внутреннего радиусов цилиндров представлены в виде графиков. Р Е ЗЮМ Е . За допомогою скінченого інтегрального перетворення Ханкеля побудовано точ- ний розв’язок двох осeсиметричних задач теорії пружності для суцільного та порожнистого цилінд- рів скінченої довжини з урахуванням їх питомої ваги. На нижній основі та на бічних поверхнях зада- но умови ковзного закріплення, до верхньої основи прикладено осесиметричне нормальне та дотичне навантаження. Отримано зображення переміщень та напружень. Результати розрахунків нормованих напружень на циліндричних поверхнях для різних співвідношень висоти, зовнішніх та внутрішніх циліндрів подано у вигляді графіків. 44 1. Абрамян Б.Л., Александров А.Я. Осесимметричная задача теории упругости // Тр. II Всесоюз. съез- да по теорет. и прикл. механике. – Вып. 3. – М.: Наука, 1966. – C.7 – 37. 2. Бухаринов Г.Н. К задаче о равновесии упругого круглого цилиндра // Вестн. Ленинград. ун-та. – 1952. – № 2. – С.3 – 23. 3. Гузь А.Н., Немиш Ю.И. Статика упругих тел неканонической формы. – К.: Наук. думка, 1984, 301с. – (Пространственные задачи теории упругости и пластичности: B 6-ти т.; T. 2). 4. Капшивый О.О. О применении р-аналитических функций в осесимметричной задаче теории упру- гости // Вісн. Київ. ун-та. Сер. математика и механіка. – 1962. – № 5. – Вып.1. – С.76 – 89. 5. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А. Упругость и прочность цилиндрических тел. – М.: Высш. шк., 1975. – 516 с. 6. Попов Г.Я. Об одном методе получения интегральных преобразований с применением к построе- нию точных решений краевых задач математической физики // Мат. методы и физ.-мат. поля. – 2003. – 46, № 3. – C. 74 – 89. 7. Попов Г.Я. Осесимметричные краевые задачи теории упругости для цилиндров и конусов конеч- ной длины // Докл. АН . – 2011. – 439, № 2. – С. 1 – 6. 8. Попов Г.Я., Процеров Ю.С. Осесимметричная задача для упругого цилиндра конечной длины с защемленной боковой поверхностью и с учетом собственного веса // Мат. методы и физ.-мат. поля. – 2014. – 57, № 1. – С. 57 – 68. 9. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с. 10. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. – М.: Наука, 1977. – 344 с. 11. Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions. – Vol. 2: Bessel functions, parabolic cylinder functions and orthogonal polynomials. – New York: McGraw – Hill, 1953. – 396 p. 12. Chau K.T., Wei X.X. Finite solid circular cylinders subjected to arbitrary surface load. Part I. Analytic solution. // Int. J. Solids Struct. – 2000. – 37, N 40. – P. 5707 – 5732. 13. Conte S.D., Miller K.Z., Sensenig C.B. The numerical solution of axisymmetric problems in elasticity // Ballistic missile and space technol. – 1969. – N 4. – P. 173 – 202. 14. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya. Static and Dynamic Problems for Anisotropic Inhomogeneous Shells with Variable Parameters and Their Numerical Solution (Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 2. – Р. 123 – 197. 15. Grigorenko Ya.M., Rozhok L.S. Application of the Fourier Discrete Series to Solving of Problem on the Stress State of Hollow Cylinder with Noncircular Cross Section // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 2. – Р. 3 – 26. 16. Meleshko V.V. Equilibrium of an elastic finite cylinder. Filon’s problem revisited // J. Eng. Math. – 2003. – 40 – P. 355 – 376. 17. Popov G. Ya. New Transforms for the Resolving Equations in Elastic Theory and New Integral Trans- forms, with Applications to Boundary – Value Problems of Mechanics // Int. Appl. Mech. – 2003. – 39, N 12. – Р. 1400 – 1424. 18. Revenko V.P. Investigation of the stress – strain state of a finite cylinder under the action of compressive forces // Mater. Scie. – 2010. – 46, N 3. – P. 330 – 335. 19. Vasiliev T.A., Shaldyrvan V.A. Study of Local Singularities of a Stress Field in the Mixed Axisymmetric Problems of Bending of Circular Cylinders // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 2. – Р. 74 – 86. 20. Wei X.X., Chan K.T. Three – dimensional analytical solution for finite circular cylinders subjected to indirect tensile test // Int. J. Solids Struct. – 2000. – 50, N 14. – P. 2395 – 2406. Поступила 06.07.2012 Утверждена в печать 19.02.2015

Точное решение некоторых осесимметричных задач для упругих цилиндров конечной длины с учетом удельного веса

Institution

Similar Items