Пространственные задачи механики разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий (обзор)
В даній оглядовій статті виконано аналіз результатів дослідження просторових задач про руйнування матеріалів з тріщинами в умовах дії зусиль, спрямованих вздовж тріщин. З використанням об‘єднаного підходу, що базується на співвідношеннях тривимірної лінеаризованої механіки деформівних тіл, розглянут...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2015
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141007 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Пространственные задачи механики разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий (обзор) / В.Л. Богданов, А.Н. Гузь, В.М. Назаренко // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 3-89. — Бібліогр.: 149 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-141007 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1410072018-07-22T01:23:13Z Пространственные задачи механики разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий (обзор) Богданов, В.Л. Гузь, А.Н. Назаренко, В.М. В даній оглядовій статті виконано аналіз результатів дослідження просторових задач про руйнування матеріалів з тріщинами в умовах дії зусиль, спрямованих вздовж тріщин. З використанням об‘єднаного підходу, що базується на співвідношеннях тривимірної лінеаризованої механіки деформівних тіл, розглянуто два некласичних механізми крихкого руйнування: руйнування матеріалів з початковими напруженнями, що діють вздовж тріщин, та руйнування тіл при стиску вздовж паралельних тріщин. Узагальнено результати дослідження неосесиметричних та осесиметричних задач для найбільш характерних геометричних схем розташування тріщин в попередньо напружених матеріалах з точки зору їх взаємодії між собою та з граничними поверхнями. При дослідженні використовуються представлення напружень та переміщень лінеаризованої теорії через гармонічні потенціальні функції. Шляхом застосування інтегральних перетворень Ханкеля задачі для взаємодіючих тріщин зводяться до розв‘язуючих інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Підхід дозволяє проводити дослідження задач в єдиній загальній формі для стисливих та нестисливих однорідних ізотропних чи трансверсально-ізотропних пружних тіл з довільною структурою пружного потенціалу стосовно до теорій скінченних та малих початкових деформацій, а конкретизація моделі матеріалу здійснюється лише на етапі чисельного розрахунку отриманих в загальному вигляді розв‘язуючих рівнянь. Виконано аналіз нових механічних ефектів, пов’язаних з впливом початкових напружень та взаємодії тріщин на асимптотичний розподіл напружень і переміщень біля кінчиків тріщин. Виявлено ефекти «резонансного» характеру при наближенні стискаючих початкових напружень до значень, що відповідають локальній втраті стійкості матеріалу в околі тріщин, що відповідно до зазначеного об‘єднаного підходу дозволяє визначати критичні (граничні) параметри навантаження при стиску тіл вздовж тріщин. Зроблено висновки по характер залежностей коефіцієнтів інтенсивності напружень та критичних (граничних) параметрів стиску від геометричних параметрів задач та фізико-механічних характеристик матеріалів. This review article analyzes the results of investigation of the spatial problems on fracture of cracked materials under action of loads directed along the cracks. Using the combined approach that is based on relations of the three-dimensional linearized mechanics of deformable solids, two non-classical brittle fracture mechanisms are considered: the fracture of materials with initial stresses acting along the cracks and the fracture under compression along the parallel cracks. The results of studying of non-axisymmetric and axisymmetric problems for the most typical crack geometrical placements in materials are generalized in terms of interaction of the cracks among themselves and their interaction with the boundary surfaces. This study relies on representation of stresses and displacements of the linearized theory through the harmonic potential functions. By using the integral Hankel transforms, the problems for interacting cracks are reduced to the Fredholm resolving integral equations of the second kind. This approach allows to investigate the problems in a unified general form for compressive and noncompressive homogeneous isotropic or transversally isotropic elastic bodies with an arbitrary structure of elastic potential as applied to the theories of finite and small initial strains. The model of material model is specified only at the stage of numerical calculation of the obtained in the general form resolvent equations. An analysis of new mechanical effects related to influence of the initial stresses and of the crack interactions on the asymptotic distribution of stresses and displacements near the crack tips is carried out. The «resonance-like» effects are found when the compressive initial stresses becomoe close to the values that correspond to the local loss of material stability in the crack vicinity, which allows one, according to the combined approach mentioned, to determine the critical (limiting) load parameters under body compression along cracks. The conclusions are drawn on character of dependencies of the stress intensity factors and critical (limiting) parameters of compression on the geometrical parameters of problems and physical and mechanical characteristics of materials. 2015 Article Пространственные задачи механики разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий (обзор) / В.Л. Богданов, А.Н. Гузь, В.М. Назаренко // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 3-89. — Бібліогр.: 149 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141007 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В даній оглядовій статті виконано аналіз результатів дослідження просторових задач про руйнування матеріалів з тріщинами в умовах дії зусиль, спрямованих вздовж тріщин. З використанням об‘єднаного підходу, що базується на співвідношеннях тривимірної лінеаризованої механіки деформівних тіл, розглянуто два некласичних механізми крихкого руйнування: руйнування матеріалів з початковими напруженнями, що діють вздовж тріщин, та руйнування тіл при стиску вздовж паралельних тріщин. Узагальнено результати дослідження неосесиметричних та осесиметричних задач для найбільш характерних геометричних схем розташування тріщин в попередньо напружених матеріалах з точки зору їх взаємодії між собою та з граничними поверхнями. При дослідженні використовуються представлення напружень та переміщень лінеаризованої теорії через гармонічні потенціальні функції. Шляхом застосування інтегральних перетворень Ханкеля задачі для взаємодіючих тріщин зводяться до розв‘язуючих інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Підхід дозволяє проводити дослідження задач в єдиній загальній формі для стисливих та нестисливих однорідних ізотропних чи трансверсально-ізотропних пружних тіл з довільною структурою пружного потенціалу стосовно до теорій скінченних та малих початкових деформацій, а конкретизація моделі матеріалу здійснюється лише на етапі чисельного розрахунку отриманих в загальному вигляді розв‘язуючих рівнянь. Виконано аналіз нових механічних ефектів, пов’язаних з впливом початкових напружень та взаємодії тріщин на асимптотичний розподіл напружень і переміщень біля кінчиків тріщин. Виявлено ефекти «резонансного» характеру при наближенні стискаючих початкових напружень до значень, що відповідають локальній втраті стійкості матеріалу в околі тріщин, що відповідно до зазначеного об‘єднаного підходу дозволяє визначати критичні (граничні) параметри навантаження при стиску тіл вздовж тріщин. Зроблено висновки по характер залежностей коефіцієнтів інтенсивності напружень та критичних (граничних) параметрів стиску від геометричних параметрів задач та фізико-механічних характеристик матеріалів. |
| format |
Article |
| author |
Богданов, В.Л. Гузь, А.Н. Назаренко, В.М. |
| spellingShingle |
Богданов, В.Л. Гузь, А.Н. Назаренко, В.М. Пространственные задачи механики разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий (обзор) Прикладная механика |
| author_facet |
Богданов, В.Л. Гузь, А.Н. Назаренко, В.М. |
| author_sort |
Богданов, В.Л. |
| title |
Пространственные задачи механики разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий (обзор) |
| title_short |
Пространственные задачи механики разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий (обзор) |
| title_full |
Пространственные задачи механики разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий (обзор) |
| title_fullStr |
Пространственные задачи механики разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий (обзор) |
| title_full_unstemmed |
Пространственные задачи механики разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий (обзор) |
| title_sort |
пространственные задачи механики разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий (обзор) |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141007 |
| citation_txt |
Пространственные задачи механики разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий (обзор) / В.Л. Богданов, А.Н. Гузь, В.М. Назаренко // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 3-89. — Бібліогр.: 149 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT bogdanovvl prostranstvennyezadačimehanikirazrušeniâmaterialovpridejstviinapravlennyhvdolʹtreŝinusilijobzor AT guzʹan prostranstvennyezadačimehanikirazrušeniâmaterialovpridejstviinapravlennyhvdolʹtreŝinusilijobzor AT nazarenkovm prostranstvennyezadačimehanikirazrušeniâmaterialovpridejstviinapravlennyhvdolʹtreŝinusilijobzor |
| first_indexed |
2025-07-10T11:44:20Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:44:20Z |
| _version_ |
1837260197496619008 |
| fulltext |
2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 5
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 5 3
В .Л . Б о г д а н о в 1 , A .Н . Г у з ь 2 , В .М .Н а з а р е н к о 3
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
МАТЕРИАЛОВ ПРИ ДЕЙСТВИИ НАПРАВЛЕННЫХ
ВДОЛЬ ТРЕЩИН УСИЛИЙ (ОБЗОР)
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины,
ул. Нестерова, 3, 03057 Киев, Украина;
e-mail: 1bogdanov@nas.gov.ua; 2 guz@carier.kiev.ua; 3nazvm1@gmail.com
Abstract. This review article analyzes the results of investigation of the spatial problems
on fracture of cracked materials under action of loads directed along the cracks. Using the com-
bined approach that is based on relations of the three-dimensional linearized mechanics of de-
formable solids, two non-classical brittle fracture mechanisms are considered: the fracture of
materials with initial stresses acting along the cracks and the fracture under compression along
the parallel cracks. The results of studying of non-axisymmetric and axisymmetric problems for
the most typical crack geometrical placements in materials are generalized in terms of interac-
tion of the cracks among themselves and their interaction with the boundary surfaces. This
study relies on representation of stresses and displacements of the linearized theory through the
harmonic potential functions. By using the integral Hankel transforms, the problems for inter-
acting cracks are reduced to the Fredholm resolving integral equations of the second kind. This
approach allows to investigate the problems in a unified general form for compressive and non-
compressive homogeneous isotropic or transversally isotropic elastic bodies with an arbitrary
structure of elastic potential as applied to the theories of finite and small initial strains. The
model of material model is specified only at the stage of numerical calculation of the obtained
in the general form resolvent equations. An analysis of new mechanical effects related to influ-
ence of the initial stresses and of the crack interactions on the asymptotic distribution of stresses
and displacements near the crack tips is carried out. The «resonance-like» effects are found
when the compressive initial stresses becomoe close to the values that correspond to the local
loss of material stability in the crack vicinity, which allows one, according to the combined ap-
proach mentioned, to determine the critical (limiting) load parameters under body compression
along cracks. The conclusions are drawn on character of dependencies of the stress intensity
factors and critical (limiting) parameters of compression on the geometrical parameters of prob-
lems and physical and mechanical characteristics of materials.
Key words: initial (residual) stresses, compression along cracks, local stability loss,
Griffith-Irwin type fracture criteria, linearized solid mechanics, isolated cracks, interacted
cracks, isotropic highly-elastic materials, transversally-isotropic elastic materials, analysis of
main mechanical effects.
1. Введение.
Механика разрушения в последние десятилетия является одним из наиболее ин-
тенсивно развивающихся направлений механики деформируемого твердого тела. Это
обусловлено, с одной стороны, сложностью процесса разрушения, что требует разработки
все новых более уточненных моделей и подходов к его исследованию на макро-, мезо-
и микроуровнях, а также формулировки адекватных этому явлению критериев разру-
шения, а с другой – большим значением получаемых в рамках механики разрушения
результатов для оценки и прогнозирования прочности, долговечности и остаточного
ресурса ответственных конструкций, сооружений, машин и механизмов.
4
Несмотря на указанное активное развитие классической механики разрушения,
начавшееся с основополагающих работ А.А. Гриффитса, Е.О. Орована, Дж.Р. Ирвина
[80, 129 – 131, 141], существует целый ряд теоретических и практических проблем,
которые не могут быть адекватно описаны в рамках ее подходов. К ним, в частности,
относятся вопросы исследования влияния на напряженно-деформированное состоя-
ние тел с трещинами начальных (или остаточных) напряжений, действующих вдоль
поверхностей расположения трещин, а также определения критических значений сжи-
мающих нагрузок, направленных параллельно трещинам. Анализ отмеченных проблем
требует разработки новых подходов и критериев разрушения, адекватных изучаемым
неклассическим механизмам разрушения. Следует при этом отметить, что хотя по пред-
мету исследования задачи о разрушении предварительно напряженных тел в условиях
действия начальных напряжений вдоль трещин и задачи о сжатии материалов вдоль
трещин являются различными, но в постановке этих задач есть существенный общий
момент, а именно, наличие компонент нагрузок, направленных параллельно трещинам,
влияние которых, собственно, и не может быть учтено методами классической меха-
ники разрушения. Это обстоятельство, по-видимому, позволяет объединить указанные
группы задач и рассматривать их как задачи механики разрушения материалов при
действии направленных вдоль трещин усилий. Целесообразность такого объединение
обосновывается также тем, что указанные группы задач являются родственными с
точки зрения применяемого к их исследованию математического аппарата в рамках
строгой трехмерной линеаризированной механики деформируемых тел (ТЛМДТ) [11,
12, 24, 97].
Настоящая обзорная статья посвящена обобщению и анализу полученных с привле-
чением предложенного в [68, 69, 63, 123] объединенного подхода в рамках ТЛМДТ
результатов исследования отдельных классов пространственных осесимметричных и
неосесимметричных задач для различных геометрических схем размещения трещин в
материале.
Во введении представлена аннотированная информация о подходах и результатах,
являющихся предметом рассмотрения настоящей статьи, включая классификацию про-
блем механики разрушения (классические и неклассические проблемы), краткое обсуж-
дение результатов по двум неклассическим проблемам механики разрушения – механики
разрушения материалов с начальными напряжениями, действующими вдоль расположен-
ных в материале трещин, и механики разрушения тел при сжатии усилиями, направлен-
ными параллельно плоскостям расположения трещин, а также изложение в концептуаль-
ном виде объединенного подхода к исследованию двух указанных неклассических про-
блем в рамках ТЛМДТ.
Во втором разделе в сжатой форме выполнен анализ результатов, касающихся поста-
новок задач в рамках трехмерной линеаризированной механики деформируемых тел,
описания используемых в работе моделей деформируемых тел, методов решения отдель-
ных задач о разрушении материалов при действии направленных вдоль трещин уси-
лий, формулировки критериев разрушения материалов с начальными напряжениями,
действующими вдоль трещин, и критериев разрушения тел при сжатии вдоль трещин.
В третьем разделе приводится информация о результатах, полученных в рамках
предложенного авторами объединенного подхода к исследованию задач механики раз-
рушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий применитель-
но к конкретным классам пространственных задач. Представлены результаты иссле-
дования неосесимметричных и осесимметричных задач для наиболее характерных
геометрических схем размещения трещин в материалах с точки зрения их взаимодей-
ствия между собой и с границами тел. Конкретные числовые результаты приведены
для изотропных гиперупругих сжимаемых и несжимаемых материалов и некоторых
типов композиционных материалов (в рамках континуального подхода). Проанализи-
рованы механические эффекты, обусловленные влиянием начальных напряжений,
геометрических параметров задач и физико-механических характеристик материалов
на коэффициенты интенсивности напряжений и критические параметры сжатия.
1.1. О классификации проблем механики разрушения тел с трещинами. К на-
стоящему времени теория распространения трещин под действием усилий растяжения
и сдвига является уже сформировавшейся отраслью механики разрушения, базирую-
щейся на концепциях и подходах, основными из которых являются фундаментальная
5
теория хрупкого разрушения А. Гриффитса [80]; концепция квазихрупкого разрушения
Е. Орована – Дж. Ирвина [129, 141], позволившая обобщить теорию А. Гриффитса на
неупругие конструкционные материалы; энергетический критерий разрушения, осно-
ванный на понятиях скорости освобождения упругой энергии и удельной поверхност-
ной энергии как постоянной материала [80, 130] или эквивалентный ему силовой кри-
терий разрушения Дж. Ирвина [131]; концепция инвариантного (не зависящего от
контура интегрирования) интеграла Дж. Эшелби, Г.П. Черепанова, Дж. Райса [53, 79, 144];
критерий критического раскрытия трещины М.Я. Леонова, В.В. Панасюка, А. Уэллса
[42, 148]. В последующем был предложен ряд обобщений этих концепций и подходов
на случаи сложных напряженных состояний и тел сложной формы, нестационарного
и циклического нагружений, действия тепловых и электромагнитных полей, для вяз-
коупругих, композиционных и других моделей материалов (см., например, обзоры в
[53, 59, 74, 78, 133, 134]). Следует отметить, что в настоящее время подавляющее число
исследований по механике разрушения основывается на пяти указанных основных под-
ходах, в связи с чем рассматриваемые при проведении указанных исследований про-
блемы можно условно определить как классические проблемы механики разрушения.
Вместе с тем, ряд проблем этой области остаются исследованными далеко не в
полной мере. К ним относятся, в частности, изучение новых механизмов разрушения,
которые не могут быть описаны в рамках пяти вышеуказанных концепций и подхо-
дов, формулировка соответствующих этим механизмам новых критериев разрушения,
а также исследование отдельных классов задач для материалов и элементов конструк-
ций применительно к изучаемым новым механизмам разрушения. Указанные пробле-
мы можно условно определить как неклассические проблемы механики разрушения.
Отметим, что указанное разделение проблем механики разрушения на классиче-
ские и неклассические впервые было предложено вторым автором настоящей статьи в
предисловии к многотомной монографии [46] и, очевидно, является достаточно ус-
ловным и не всегда однозначным. Вместе с тем предложенная классификация позво-
ляет сравнительно четко оценивать направления исследований в области механики
разрушения как с точки зрения степени их новизны, так и адекватности применяемых
в их рамках моделей и подходов изучаемым новым механизмам разрушения. Так, с
использованием вышеотмеченной классификации ранее в работах [29, 30, 70, 73, 92,
98, 108, 109, 112, 118, 133] были обобщены и проанализированы новые результаты
исследований по ряду неклассических проблем разрушения.
К проблемам механики разрушения, которые нельзя исследовать в рамках класси-
ческих в вышеуказанном значении подходов, относятся, в частности, вопросы разруше-
ния с учетом внутренней микроструктуры композитных материалов (разрушение при
сжатии вдоль армирующих элементов в композитах, когда начало разрушения опреде-
ляется потерей устойчивости во внутренней структуре материала, разрушение в виде
смятия торцов при сжатии композитов вследствие локальной потери устойчивости воз-
ле торца композита, разрушение в виде «размочаливания» при растяжении или сжатии
композита с искривлениями во внутренней структуре); хрупкого разрушения материа-
лов, содержащих трещины, с учетом действия начальных (остаточных) напряжений;
хрупкого и пластического разрушения тел при сжатии вдоль трещин, расположенных в
параллельных плоскостях, когда начало разрушения определяется локальной потерей
устойчивости материала в окрестности трещины; разрушения тонкостенных тел с тре-
щинами при растяжении в случае реализации предварительной потери устойчивости;
механики движущихся трещин в материалах с начальными (остаточными) напряжения-
ми; хрупкого разрушения материалов с трещинами при действии динамических нагру-
зок с учетом контактного взаимодействия берегов трещин; длительного разрушения
вязкоупругих тел, при котором происходит докритический рост трещин.
Количество результатов, полученных при исследовании указанных неклассиче-
ских проблем механики разрушения, значительно уступает числу результатов, полу-
ченных с применением классических подходов, причем достаточно характерным для
таких исследований является применение сугубо приближенных расчетных схем и
моделей. В частности, приближенные расчетные схемы и модели начиная с работы
[49] достаточно широко применялись для анализа разрушения в микроструктуре ком-
позита (подробный анализ таких работ приведен в [30, п. 0.4 введения], а также для
исследования разрушения однородных и композитных материалов при сжатии вдоль
6
трещин [112] (краткое описание соответствующих расчетных схем в виде примеров
приведено в п. 1.3. настоящей статьи). Отметим, что применение приближенных рас-
четных схем и моделей вносит в получаемые результаты существенные количествен-
ные погрешности, а во многих случаях приводит и к качественным отличиям от экс-
периментальных данных [112]. Следовательно, при помощи приближенных расчет-
ных схем и моделей весьма затруднительно выполнить надежный анализ неклассиче-
ских проблем и механизмов механики разрушения.
Поэтому существенное значение в механике разрушения имеют результаты по ис-
следованию указанных неклассических проблем и механизмов разрушения, получен-
ные с использованием достаточно строгих постановок задач, математических моделей
и методов исследования. Именно такие исследования были выполнены в работах [23,
24, 27, 28, 31, 32, 34, 36, 37, 46, 58, 90, 98, 99, 107, 114, 122] с привлечением наиболее
строгих и точных постановок в рамках механики деформируемого твердого тела. Так,
при исследовании неклассических проблем, когда начало разрушения обусловлено
потерей устойчивости, применялась подходы трехмерной линеаризированной теории
устойчивости деформируемых тел, изложенной, например, в монографиях [11, 12, 24,
97], или двумерной линеаризированной теории устойчивости тонкостенных элемен-
тов конструкций [32], а при исследовании напряженно-деформированного состояния
применялись трехмерные уравнения статики деформируемых тел.
Ниже приводится краткий обзор работ по двум важным в теоретическом и прак-
тическом плане неклассическим проблемам механики разрушения, а именно, механи-
ки разрушения материалов с начальными (остаточными) напряжениями и разрушения
тел при сжатии вдоль трещин.
1.2. Проблемы механики разрушения материалов с начальными (остаточны-
ми) напряжениями, действующими вдоль трещин. Начальные (или остаточные,
технологические) напряжения возникают на практике вследствие неоднородности ли-
нейных или объемных деформаций в смежных областях материала. Такие напряжения
практически всегда присутствуют в реальных конструкционных материалах и элемен-
тах конструкций вследствие технологических процессов их изготовления (что осо-
бенно характерно для композитных материалов [54, 55, 77] и полимеров), соединения
(в частности, с применением сварочных технологий [43]), обработки поверхности [44,
76], эксплуатации и существенно влияют на процессы разрушения тел с трещинами. Та-
кие проблемы являются также достаточно типичными и в биомеханике (при модели-
ровании кровеносных сосудов и тканей живых организмов), геофизике, сейсмологии
и других научных направлениях как фундаментального научного, так и прикладного
характера.
Особый интерес представляют собой проблемы, в которых начальные (остаточ-
ные) напряжения в предварительно напряженных материалах действуют вдоль по-
верхностей расположения трещин (на рис. 1 и далее 11
0S – начальные или остаточные
напряжения, действующие вдоль трещины; 22Q – дополнительные (действующие или
эксплуатационные) напряжения (здесь для примера приведены нормальные напряжения)).
Неклассичность задач механики хрупкого разрушения предварительно напряженных
материалов, когда начальные (остаточные) напряжения направлены параллельно по-
верхностям расположения трещин, обусловлена тем, что из решения соответствую-
щих задач линейной теории упругости (см., например, [135]) получаем, что начальные
напряжения 11
0S , направленные вдоль трещин, не входят в выражения для коэффици-
ентов интенсивности напряжений и величин раскрытия трещин и, следовательно, не
могут быть учтены в классических критериях разрушения Гриффитса – Ирвина, кри-
тического раскрытия трещины или их обобщений. Отметим при этом, что влияние
начальных напряжений может быть косвенно учтено через величину удельной по-
верхностной энергии . Однако такой подход является труднореализуемым, посколь-
ку в этом случае величина должна зависеть как от значений начальных напряже-
ний, так и от класса задач, которые исследуются.
7
Рис.1 Рис. 2
В работах второго автора настоящей статьи [13 – 15, 19, 22, 23, 28, 81, 89], опуб-
ликованных начиная с 1980 года, для исследования проблем механики разрушения
материалов с начальными напряжениями был предложен и стал последовательно при-
меняться подход в рамках трехмерной линеаризированной механики деформируемых
тел, основные положения которой и состояние исследований с использованием ее
соотношений изложены в монографиях [11, 24, 97] и обзорных статьях [99, 101, 110].
В указанных работах были развиты методы решения плоских, антиплоских и про-
странственных задач механики разрушения предварительно напряженных тел с тре-
щинами, когда значения начальных напряжений существенно превосходят величины
дополнительных полей напряжений и деформаций и в связи с этим исследования
можно проводить с использованием линеаризированных соотношений. Отметим, что
такая постановка задач вполне очевидна и логична, например, для композитных мате-
риалов с преимущественным армированием в одном направлении, когда трещины
расположены вдоль армирующих материалов [54]. Для таких композитов разрушаю-
щие напряжения 22Q (рис. 1) могут быть на порядок меньше начальных напряжений
11
0S , направленных вдоль армирующих элементов. Также были сформулированы кри-
терии хрупкого разрушения материалов с начальными (остаточными) напряжениями
[87, 88], которые являются аналогами классических критериев разрушения Гриффитса
– Ирвина и переходят в них при стремлении начальных напряжений к нулю (более
подробно о критериях разрушения предварительно напряженных материалов с тре-
щинами см. в п. 2.5). Ключевым в обосновании этого подхода является тот факт, что
использование линеаризированных соотношений для исследования указанного класса
задач механики разрушения, в отличие от подходов классической механики разруше-
ния, позволяет описать основное явление, связанное с влиянием компонент усилий,
действующих вдоль поверхностей трещин, на параметры разрушения материалов.
Следует отметить, что указанный подход позволяет проводить исследования в
единой общей форме для сжимаемых и несжимаемых изотропных и ортотропных (для
плоских задач) или трансверсально-изотропных (для пространственных задач) упру-
гих тел с произвольной структурой упругого потенциала применительно к теории
конечных (больших) начальных деформаций, а также к первому и второму вариантам
теории малых начальных деформаций. При этом конкретизация модели материала
(например, использование упругого потенциала того или иного вида) проводится лишь
на заключительной стадии исследования – при численном анализе полученных в общем
виде характеристических уравнений, разрешающих интегральных уравнений и т.п.
Необходимо также отметить, что указанный общий подход к исследованию задач ме-
ханики хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями может быть
обобщен и на неупругие модели материалов. При этом, однако, следует учесть, что в
случае упругопластических материалов при приложении к телу дополнительных к
начальным полей напряжений и деформаций соответствующие им возмущения на-
8
пряженно-деформированного состояния будут приводить к изменениям зон разгруз-
ки, что существенно усложнит исследования.
С использованием указанного общего подхода получены решения отдельных
классов статических плоских задач для изолированных трещин нормального отрыва
(Mode I), поперечного (Mode II) и продольного (Mode III) сдвигов, а также для трещи-
ны расклинивания в виде неограниченной в одном направлении полосы конечной
ширины [16 – 18, 23, 28, 81, 89]. Пространственные осесимметричные задачи для изо-
лированных внутренних и внешних дискообразных трещин нормального отрыва, ра-
диального сдвига и кручения в неограниченном материале с начальными напряже-
ниями, а также общая пространственная задача для внутренней дискообразной тре-
щины рассмотрены в [19 – 21, 23, 28, 40, 82]. В [28, 35] получены результаты исследо-
вания пространственных задач для неограниченных предварительно напряженных
тел, содержащих эллиптические трещины нормального отрыва и сдвига.
В исследованных задачах обнаружены новые механические эффекты, связанные с
влиянием начальных (остаточных) напряжений. Так, было показано, что в случае изо-
лированных «свободных» трещин (т.е. трещин, на берегах которых заданы только
напряжения) напряжения на линии трещины возле ее кончика не зависят от начальных
напряжений и полностью совпадают с соответствующими значениями, полученными
в рамках механики хрупкого разрушения материалов без начальных напряжений. Рас-
крытия же берегов трещин существенно зависит от начальных напряжений. В то же
время в плоских задачах расклинивания и в общей пространственной задаче сдвига
для «свободных» трещин коэффициенты интенсивности напряжений существенно
зависят от начальных напряжений и не совпадают с соответствующими результатами
механики хрупкого разрушения материалов без начальных напряжений. Также было
обнаружено, что при приближении значений начальных напряжений к величинам,
соответствующим поверхностной неустойчивости полуплоскости или полупростран-
ства, происходит резкое «резонансоподобное» изменение основных величин, когда
напряжения и перемещения в окрестности вершины трещины стремятся к «бесконеч-
ности», а соответствующие значения разрушающих нагрузок в рамках линеаризиро-
ванной теории стремятся к нулю (более подробно этот механический эффект анализи-
руется в п. 1.4).
Следует отметить, что вышеуказанные результаты для плоских и пространствен-
ных статических задач применительно к одной трещине с исследованием закономер-
ностей влияния начальных (остаточных) напряжений имеют законченный характер в
рамках общей постановки (для различных моделей материалов) и обобщены в моно-
графиях [23, 27 (гл. 6, §1), 28, 30 (т. 2, гл. 7)], в списках литературы к которым приве-
дена подробная библиография соответствующих работ в периодических изданиях и в
трудах конференций. Отметим также, что в работах [23, 25 – 28, 91] был исследован
вопрос о порядке особенности в кончике трещины в рамках механики хрупкого раз-
рушения материалов с начальными (остаточными) напряжениями, которые действуют
вдоль трещин, и доказано, что порядок этой особенности совпадает с порядком анало-
гичной особенности в задачах механики хрупкого разрушения тел без начальных на-
пряжений, т.е. имеет корневую особенность.
В последующем в указанной общей постановке был исследован ряд задач о раз-
рушении материалов с начальными напряжениями, содержащих взаимодействующие
трещины. Так, в [2, 4 – 6, 38, 48, 60 – 62, 70, 72, 139] были рассмотрены отдельные
пространственные задачи для круговых трещин в полупространстве и в слое с на-
чальными напряжениями, а также для систем параллельных трещин в неограничен-
ных предварительно напряженных телах. При этом исследовано влияние начальных
напряжений, а также взаимодействие трещин между собой и с границами тел на ко-
эффициенты интенсивности напряжений в окрестностях контуров трещин. Так, было
показано, что в отличие от задач для изолированных «свободных» трещин в задачах
для взаимодействующих «свободных» трещин распределение и напряжений, и пере-
мещений на линии трещины возле ее кончика существенно зависит от начальных на-
пряжений. Достаточно подробно исследования для предварительно напряженных ма-
териалов со взаимодействующими трещинами проанализированы в статьях [114, 122],
которые носят характер обзорных.
9
В работах [23, 28, 85, 93 – 96, 100] рассмотрены отдельные классы задач механики
движущихся трещин в материалах с начальными (остаточными) напряжениями, на-
правленными вдоль плоскостей расположения трещин. В [102 – 105] проведен анализ
влияния начальных напряжений на параметры разрушения при движении трещины в
границе раздела двух материалов с начальными (остаточными) напряжениями. При
исследовании задач о движении трещин в предварительно напряженных материалах
(в том числе и в границе раздела) были проанализированы возможности возникнове-
ния критических явлений. Так, было показано, что при стремлении скорости движе-
ния трещины к значению, соответствующему скорости поверхностной волны Рэлея в
рассматриваемом материале с начальными напряжениями, возникают эффекты «резо-
нансного» характера, состоящие в резком изменении значений напряжений и переме-
щений возле трещин и стремлении этих значений к «бесконечности». Здесь подробно
на таких исследованиях останавливаться не будем, поскольку их детальный анализ
выполнен в обзорной статье [110], а также представлен в главе 10 второго тома моно-
графии [30].
Указанные выше статические и динамические задачи механики разрушения мате-
риалов с начальными (остаточными) напряжениями, действующими вдоль трещин,
получены в единой общей форме для всех моделей и постановок задач в соответствии
с подходом, указанным в первой части настоящего пункта. Вместе с тем среди иссле-
дователей получил достаточную популярность и часто реализуется другой подход в
рамках трехмерной линеаризированной механики деформируемого твердого тела,
когда для каждой постановки задачи исследования с самого начала проводятся в рам-
ках конкретной модели материала (например, для материала с упругим потенциалом
конкретной структуры). В качестве примеров таких работ можно указать публикации
[1, 51, 75, 127, 136, 137, 143, 145]. Отметим, что существенным недостатком такого
подхода является то, что для получения родственных результатов в той же задаче, но
для другой конкретной модели материала, необходимо проводить все исследование
снова с самого начала. При этом достаточно часто возникает возможность повторения
полученных и опубликованных результатов, в том числе результатов, которые уже были
получены при применении единого подхода для различных моделей материалов.
Примеры таких публикаций приведены и проанализированы в работах [106, 110, 116].
Заметим, что анализ такого рода публикаций не является предметом настоящей статьи.
1.3. Проблемы механики разрушения материалов при сжатии вдоль плоско-
стей расположения трещин. Актуальность исследования явления разрушения тел с
трещинами при сжатии обусловлена потребностями в решении практических проблем
и технических задач в ряде областей науки и техники. Так, в механике композитов (в осо-
бенности слоистых) и механике материалов с покрытием (теплоизоляционным, антикор-
розионным и т.п.) распространены явления приповерхностного выпучивания (отслаи-
вания) в окрестности расслоений при действии сжимающих напряжений различной
природы. К силовой схеме сжатия вдоль трещиноподобных дефектов сводятся многие
технические задачи, связанные с расчетом изделий с конструктивно задаваемыми де-
фектами. Такого рода проблемы являются достаточно типичными в геомеханике при
моделировании действия тектонических сил в условиях гористого рельефа (модель тре-
щиновато-слоистого массива), строительстве (при расчете разнообразных опор) и т.п.
Неклассичность задач механики разрушения при сжатии тел вдоль трещин связа-
на с тем, что при равномерном сжатии строго вдоль плоскостей, в которых располо-
жены трещины (рис. 2), в изотропном и ортотропном материалах (для ортотропных
тел принимается, что трещины расположены в плоскостях, которые параллельны од-
ной из плоскостей симметрии свойств материала) возникает однородное напряженно-
деформированное состояние при произвольных упруго-вязко-пластических моделях,
что обусловливает отсутствие в соответствующих решениях особенностей (сингуляр-
ностей) в вершинах трещин. Следовательно, при указанной схеме нагружения коэф-
фициенты интенсивности напряжений и раскрытие берегов трещин равны нулю и
поэтому здесь неприменимы подходы, основанные на классической теории Гриффит-
са – Ирвина, критерии критического раскрытия трещин или их обобщениях.
10
В рассматриваемой проблеме наиболее вероятным механизмом начала процесса
разрушения, по аналогии с проблемой сжатия элементов конструкций вдоль осей
симметрии, является локальная потеря устойчивости состояния равновесия материа-
ла, который окружает трещину [27, 30, 33, 112]. Реализация рассматриваемого меха-
низма разрушения при сжатии вдоль трещин возможна по двум следующим схемам в
зависимости от конфигурации образца и схемы расположения в нем трещин [112].
При первой схеме первоначальный этап разрушения (локальная потеря устойчи-
вости состояния равновесия возле трещин) совпадает с общим разрушением образца,
т.е. после потери устойчивости материал уже «не держит» и разрушается, так как ок-
ружающая его часть не оказывает достаточного «поддерживающего» воздействия на
ту часть, которая потеряла устойчивость. Очевидно, что по первой схеме будет раз-
рушаться, например, материал с трещинами, расположенными в параллельных плос-
костях и образующими периодическую (вдоль оси, перпендикулярной направлению
действия сжимающей нагрузки) систему трещин, проходящую через всю толщину
образца. Это связано с тем, что при потере устойчивости состояния равновесия возле
периодической системы параллельных соосных трещин возникает явление, аналогич-
ное появлению пластического шарнира по всей толщине материала при изгибе балки.
При второй схеме локальная потеря устойчивости материала приводит не к его
общему разрушению, а к переходу материала к смежной равновесной форме возле
трещин и материал при дальнейшем увеличении внешней нагрузки еще не разрушает-
ся вследствие «поддерживающего» воздействия окружающей его части.
В первой ситуации исследование процесса разрушения заканчивается определе-
нием величины критической нагрузки, соответствующей локальной потере устойчи-
вости материала возле трещин. Во второй ситуации исследование процесса разруше-
ния необходимо продолжить, исходя из распределения напряжений и деформаций в
состоянии смежной равновесной формы материала возле трещин. При этом в смеж-
ном равновесном состоянии конфигурация трещин изменяется и уже не все коэффи-
циенты интенсивности напряжений будут равны нулю, поскольку сжатие уже проис-
ходит не только вдоль трещин, так как вследствие несимметрии появляются изгибные
напряжения. Вследствие этого к механизму разрушения за счет потери устойчивости
могут подключаться и другие механизмы разрушения, описываемые, например, кри-
териями разрушения Гриффитса – Ирвина.
Отметим, что согласно классификации, введенной в работе [112], исследование ло-
кальной потери устойчивости состояния равновесия части материала, окружающего тре-
щину, которая определяет начало (старт) разрушения, составляет предмет первой основ-
ной задачи механики разрушения тел при сжатии вдоль трещин. Предметом второй ос-
новной задачи механики разрушения тел при сжатии вдоль трещин является исследование
послекритического деформирования материала с трещинами с учетом изменения конфи-
гурации тела, возникшей за счет первоначальной потери устойчивости. С учетом указан-
ной классификации следует подчеркнуть, что в настоящей статье анализируются работы,
посвященные решению первой основной задачи механики разрушения при сжатии.
Таким образом, общим для обоих возможных механизмов разрушения при сжатии
тел вдоль содержащихся в них трещин является первоначальный этап разрушения,
заключающийся в локальной потере устойчивости состояния равновесия сжатой час-
ти материала возле трещин. Направления исследований указанного этапа разрушения
при сжатии тел вдоль трещин и подходов к определению значений соответствующих
критических нагрузок можно классифицировать следующим образом [112].
В рамках первого направления часть материала (на рис. 3 а, б – заштрихованные
области) между параллельными трещинами или между трещиной и граничной по-
верхностью заменяется балкой (для плоской задачи) или пластиной либо оболочкой (в
случае пространственной задачи). Такой подход, который широко применялся, начи-
ная со статьи [140], получил в литературе название «балочное приближение». Выде-
ленные указанным образом балки, пластины и оболочки исследуют в рамках различ-
ных прикладных теорий устойчивости тонкостенных систем (с привлечением гипотез
плоских сечений, Кирхгоффа – Лява, Тимошенко и т.д.), задавая при этом разные типы
граничных условий на торцах выделенных тонкостенных элементов (как правило, это
жесткое защемление или шарнирное опирание, хотя в действительности реализуются
условия как бы «упругой заделки»).
11
а б
Рис. 3
Указанное «балочное приближение» достаточно широко развивалось в многочислен-
ных публикациях, примерами которых могут служить работы [10, 45, 47, 73, 128, 147].
Следует при этом отметить, что, несмотря на возможную полезность для инженерных
применений и относительную простоту реализации, «балочное приближение» имеет
ряд принципиальных недостатков. В частности, такой подход применим далеко не ко
всем геометрическим и силовым схемам задач. Так, в случае одной трещины в беско-
нечном материале невозможно обоснованно указать толщину вычленяемой балки;
также прикладные теории устойчивости тонкостенных систем не могут быть исполь-
зованы при значительных относительных расстояниях между трещинами. Наконец,
«балочное приближение» вносит неустранимую погрешность в полученные с его
применением результаты, поскольку существенное изменение энергии, которое имеет
место в кончике трещины, определяется характером особенности в распределении
напряжений вблизи этого кончика; при применении же прикладных теорий для опи-
сания деформирования выделенных балок, пластин или оболочек нельзя получить
порядок указанной особенности, соответствующий точному (трехмерному) описанию.
Отметим, что подробный анализ исследований с применением «балочного приближе-
ния» с указанием присущих этому подходу недостатков и вносимых им неустрани-
мых погрешностей в исследуемые явления выполнен в обзорной статье [112].
Приведенные соображения свидетельствуют о необходимости привлечения к рас-
сматриваемой проблеме более строгих подходов, которые адекватно описывают ис-
следуемые явления. Именно такие строгие подходы используются в рамках второго
направления исследований, когда к анализу разрушения материалов при сжатии с уче-
том локальной потери устойчивости материала в области трещины привлекаются со-
отношения и методы трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформи-
руемых тел [11, 12, 24, 97]. Так, в работе [83] для двумерных задач и в работе [84] для
трехмерных задач вторым автором настоящей статьи был предложен критерий раз-
рушения в виде величины критической нагрузки, соответствующей локальной потере
устойчивости возле трещин и вычисленной из решения соответствующих задач на
собственные значения в рамках трехмерной линеаризированной теории устойчивости
деформируемых тел. При этом постановки задач, основные соотношения и получен-
ные конкретные результаты представлены в единой общей форме для сжимаемых и
несжимаемых изотропных и ортотропных (для плоских задач) или трансверсально-
изотропных (для пространственных задач) упругих материалов с произвольной струк-
турой упругого потенциала и упругопластических тел применительно к теории ко-
нечных (больших) докритических деформаций, а также к первому и второму вариан-
там теории малых докритических деформаций. Для упругопластических моделей ма-
териалов дополнительно принимается обобщенная концепция продолжающегося на-
гружения [24, 97], в силу чего не учитывается изменение зон разгрузки в процессе
потери устойчивости. Указанный подход не имеет принципиальных погрешностей,
характерных для «балочного приближения», и позволяет получать результаты с при-
нятой в механике деформируемых тел точностью.
Основываясь на указанном общем подходе, в работах [23, 33, 83, 84, 86] были по-
лучены точные решения плоских и пространственных задач о сжатии однородных тел
и композитов (в континуальной постановке) вдоль изолированных трещин и вдоль
12
произвольного числа компланарных трещин, расположенных в одной плоскости. Было
показано, что при такой схеме нагружения величины критических нагрузок, при кото-
рых происходит потеря устойчивости состояния равновесия материала возле трещин,
совпадают со значениями усилий сжатия, реализующими поверхностную неустойчи-
вость полупространства без трещин.
В дальнейшем в рамках линеаризированного подхода также были исследованы
плоские и пространственные задачи о сжатии упругих и упругопластических
однородных тел вдоль содержащихся в них систем взаимодействующих параллель-
ных трещин (см., например, работы [9, 67, 71, 119 – 121, 124, 138]) и показано, что
взаимовлияние трещин между собой и со свободной поверхностью образца приводят
к значительному снижению (на порядок и более) критических напряжений сжатия по
сравнению со значениями, полученными в задачах о сжатии бесконечного материала
вдоль изолированной трещины или системы компланарных трещин, расположенных в
одной плоскости. Детальный анализ таких исследований приведен в обзорных статьях
[36, 37, 109, 112, 114, 122], а также в монографиях [30, 33]. Следует отметить, что в
последнее время были изучены предельные переходы при стремлении к нулю
расстояния между параллельными соосными трещинами или между трещиной и
границей полупространства (см., например, статью [113]), которые, в частности,
позволили оценить границы применимости «балочного приближения».
Отметим также, что в рамках модели кусочно-однородных сред были получены
результаты по механике хрупкого и пластического разрушения при сжатии тел вдоль
плоских микро- и макротрещин, которые расположены в границе раздела разных ма-
териалов [30, 39, 115, 117, 125, 126, 149]. В работах [56, 57] обобщены результаты
исследований в рамках ТЛТУДТ задач механики разрушения композитных материа-
лов и соответствующих элементов конструкций при сжатии вдоль трещин примени-
тельно к вязкоупругому разрушению.
Вышеприведенными весьма краткими сведениями ограничимся при обсуждении
работ, посвященных исследованию разрушения упругих, упругопластических и вяз-
коупругих материалов с трещинами при сжатии вдоль трещин. Подробный анализ
результатов по разработке основ механики разрушения материалов при сжатии вдоль
трещин, включая соответствующие концепции, подходы, обзор исследований кон-
кретных задач по указанной проблематике и обсуждение выявленных новых механи-
ческих эффектов выполнен в статье [112].
1.4. Объединенный подход к исследованию проблем механики разрушения ма-
териалов под действием направленных вдоль трещин нагрузок. Следует отметить,
что ранее указанные две неклассические проблемы механики разрушения, а именно,
разрушение тел с начальными (остаточными) напряжениями, которые действуют
вдоль трещины, и разрушение материалов с параллельными трещинами при сжатии
вдоль плоскостей расположения трещин, рассматривались отдельно. Это было обу-
словлено как логикой развития этих различных по предмету исследования групп не-
классических проблем, так и достаточной сложностью применяемых при их решении
математических методов.
В то же время, еще в первых работах по механике хрупкого разрушения материа-
лов с начальными напряжениями [13, 14, 19, 22, 23] при исследовании плоских и про-
странственных задач для бесконечного предварительно напряженного материала с
изолированной невзаимодействующей трещиной был указан новый механический
эффект, связанный с влиянием начальных напряжений на распределение полей на-
пряжений и деформаций в окрестностях контура трещины, и, соответственно, на зна-
чения разрушающих нагрузок. Так, было показано, что при стремлении начальных
(остаточных) напряжений к значениям, соответствующим поверхностной неустойчи-
вости полуплоскости (для плоских задач) или полупространства (для пространствен-
ных задач), вблизи кончика трещины возникают явления «резонансного» характера,
состоящие в резком стремлении к «бесконечности» части напряжений и перемеще-
ний, определяемых из линеаризированных соотношений. Соответственно, в случае
«свободной» трещины в телах с начальными напряжениями значения разрушающих
нагрузок в рамках линеаризированной теории стремятся к нулю при приближении
начальных (остаточных) сжимающих напряжений к значениям, соответствующим
поверхностной неустойчивости полуплоскости или полупространства.
13
В качестве иллюстрации приве-
дем результаты для сжимаемого изо-
тропного тела с трещиной в виде
кругового диска радиуса a , которая
расположена в плоскости 3 0y , при
условии, что вдоль осей 1Oy и 2Oy
действуют одинаковые растягиваю-
щие (или сжимающие) начальные
напряжения 11 22
0 0S S , которые ха-
рактеризуются коэффициентами уд-
линения (или укорочения) вдоль ко-
ординатных осей 1 2 (заметим,
что значения 1 1 соответствуют начальному растяжению, 1 1 – начальному сжа-
тию; при 1 1 начальные напряжения отсутствуют). Рассмотрим случай общей зада-
чи о сдвиге, когда к нижней и верхней поверхностям трещины (рис. 4) приложены
равномерные напряжения сдвига интенсивности q под углом к оси 1Oy . В соот-
ветствии с точным решением [23, 28] в рассматриваемом случае отличными от нуля
будут коэффициенты интенсивности IIK поперечного и IIIK продольного сдвигов,
которые определяются из выражений: ( ) 0II
II IIK K K ; ( ) 0III
III IIIK K K , где IIK , IIIK –
коэффициенты интенсивности напряжений поперечного и продольного сдвигов в ма-
териале с начальными напряжениями 11 22
0 0S S при заданной внешней сдвиговой на-
грузке; 0
IIK , 0
IIIK – коэффициенты интенсивности напряжений поперечного и про-
дольного сдвигов в материале без начальных напряжений при той же заданной внеш-
ней нагрузке; ( )IIK , ( )IIIK – безразмерные коэффициенты для поперечного и продоль-
ного сдвигов, которые характеризуют влияние начальных напряжений.
На рис. 5 для сжимаемого изотропного материала с упругим потенциалом гармо-
нического типа [132] показана зависимость безразмерных коэффициентов ( )IIK (кривые
с номерами 1, 2, 3) и ( )IIIK (кривые с
номерами 1', 2' и 3') от коэффициента
удлинения (укорочения) 1 (кривые
1 – 3 соответствуют значениям коэф-
фициента Пуассона 0,2; 0,3; 0,5 ).
Как видим из рисунка, кривые имеют
вертикальные асимптоты, соответст-
вующие поверхностной неустойчи-
вости полупространства, которая для
рассматриваемого материала определя-
ется значением коэффициента укоро-
чения 1 (1 ) / 2 . Таким образом,
при стремлении начальных напряже-
ний к значениям, соответствующим
поверхностной неустойчивости по-
лупространства, возникают явления
«резонансного» характера.
С другой стороны, как было от-
мечено в п. 1.3, при изучении задач о
сжатии неограниченных материалов
вдоль изолированной трещины, когда
механизм разрушения связывается с
Рис. 4
Рис. 5
14
локальной потерей устойчивости состояния равновесия возле трещины, был установ-
лен механических эффект [23, 33], состоящий в том, что критические (предельные)
нагрузки при сжатии вдоль трещины совпадают со значениями нагрузок, реализую-
щих поверхностную неустойчивость полупространства. При этом потеря устойчиво-
сти материала в локальной области возле контура трещины носит характер поверхно-
стной неустойчивости.
Вышеуказанные два эффекта механического характера свидетельствуют о том,
что как в механике хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями,
действующими вдоль трещин, так и в механике разрушения материалов при сжатии
вдоль трещин явление поверхностной неустойчивости имеет фундаментальный ха-
рактер. Указанную ситуацию можно объяснить, исходя из следующих соображений
физического характера. При достижении начальными напряжениями, действующими
вдоль трещины, значений, соответствующих поверхностной неустойчивости полу-
пространства, вблизи кончика трещины возникает состояние нейтрального равнове-
сия. В этой ситуации достаточно незначительного увеличения внешней нагрузки, что-
бы нарушилось нейтральное равновесие и начался процесс разрушения, характери-
зующийся локальной потерей устойчивости материала возле трещины.
Учитывая отмеченную физическую интерпретацию, можно предположить, что и
для других геометрических схем расположения трещин в предварительно напряжен-
ных материалах будут обнаруживаться аналогичные эффекты «резонансного» харак-
тера, когда при приближении начальных сжимающих напряжений к значениям, соот-
ветствующим локальной потере устойчивости материала в соответствующих задачах
о сжатии тел вдоль параллельных трещин, напряжения и перемещения возле контуров
трещин будут резко «резонансоподобно» изменяться. Это предположение было под-
тверждено, например, для случая полуограниченного тела с начальными напряже-
ниями, содержащего приповерхностную трещину, в [139]. Так, на рис. 6 а, б для не-
сжимаемого высокоэластичного материала с потенциалом Трелоара [146], содержа-
щего приповерхностную трещину радиального сдвига, параллельную свободной по-
верхности материала, приведена зависимость отношений /II IIK K и /I IIK K (здесь
IK , IIK – коэффициенты интенсивности напряжений для приповерхностной трещины
в предварительно напряженном полупространстве; IIK – КИН для случая изолиро-
ванной трещины в бесконечном материале, который не зависит от начальных напря-
жений) от параметра начальных напряжений 1 для разных значений безразмерного
расстояния между трещиной и свободной поверхностью материала, нормированного
на радиус трещины. Как видим из рисунка, кривые имеют вертикальные асимптоты,
отражающие стремление значений /II IIK K и /I IIK K к «бесконечности» при при-
ближении начальных сжимающих напряжений к значениям, соответствующим ло-
кальной потери устойчивости данного материала при сжатии вдоль приповерхност-
ной трещины (см., например, [36, 120]).
Рис. 6
15
Следует также отметить, что общим моментом при исследовании двух указанных
выше неклассических проблем механики разрушения является использование родст-
венных математических аппаратов в рамках трехмерной линеаризированной механи-
ки деформируемых твердых тел. При этом линеаризированные уравнения равновесия
и уравнения состояния для обоих классов задач являются одинаковыми, общими в
рамках соответствующих расчетных схем являются и рассматриваемые конфигурации
тел и схемы расположения дефектов. В то же время существенное отличие в поста-
новке и решении задач механики хрупкого разрушения материалов с начальными на-
пряжениями, которые действуют вдоль трещин, и задач механики хрупкого и пласти-
ческого разрушения материалов при сжатии вдоль системы трещин, расположенных в
параллельных плоскостях, состоит в том, что в первом случае, как и в линейной меха-
нике хрупкого разрушения, приходим к исследованию краевых задач (с ненулевыми
граничными условиями на берегах трещин), а во втором – к исследованию задач на
собственные значения (с нулевыми граничными условиями на берегах трещин).
Учитывая вышеизложенное, представляется вполне целесообразным как с точки
зрения существенного сокращения сложных математических расчетов, так и для бо-
лее полного учета и правильной интерпретации всех механических эффектов, связан-
ных с действием направленных вдоль трещин усилий, проводить объединенное рас-
смотрение задач механики разрушения тел с начальными напряжениями и задач о
разрушении материалов с трещинами при сжатии вдоль трещин, в рамках трехмерной
линеаризированной механики деформируемых твердых тел.
Исходя из вышеизложенного, в [68, 69, 63, 123] в рамках трехмерной линеаризи-
рованной механики деформируемого твердого тела был предложен объединенный
подход к исследованию задач механики разрушения тел с начальными напряжениями
и задач о разрушении материалов с трещинами при сжатии вдоль трещин. При таком
интегрированном подходе разработан новый, более простой и эффективный для прак-
тического использования метод определения критических (предельных) параметров
нагружения в задачах о сжатии тел вдоль расположенных в них трещин, когда для
этого не требуется проводить отдельные исследования задач на собственные значения
в рамках трехмерной линеаризированной теории устойчивости. Указанные параметры
рассчитываются при решении соответствующих краевых задач механики разрушения
предварительно напряженных материалов, когда при непрерывном изменении пара-
метров нагружения определяются такие значения начальных сжимающих усилий, при
достижении которых происходит резкое «резонансное» изменение амплитудных ве-
личин (напряжений и перемещений) возле кончиков трещин. Определенные таким
образом значения параметров начального нагружения будут соответствовать собст-
венным числам соответствующих задач на собственные значения при сжатии тел
вдоль трещин. Очевидно также, что при исследовании задач о разрушении материа-
лов с начальными напряжениями возникает естественное ограничение на значение
сжимающих начальных напряжений, при котором они не могут превышать значений,
вызывающих локальную потерю устойчивости материала в окрестности трещин.
Заметим, что подобный в математическом плане подход встречается и в некоторых
других разделах механики. Так, хорошо известно, что при исследовании вынужденных
колебаний линейных механических систем с заданной частотой внешней нагрузки
происходит резонансное изменение амплитуды колебаний при стремлении частоты
внешней нагрузки к частоте собственных (свободных) колебаний системы. На этом
явлении основывается один из широко применяемых на практике подходов определе-
ния частот (мод) собственных колебаний линейных систем.
1.5. О рассматриваемых классах задач механики разрушения материалов при
действии усилий, направленных вдоль трещин. Настоящая обзорная статья посвя-
щена анализу результатов исследования по двум группам неклассических проблем
механики разрушения – хрупкого разрушения материалов с начальными (остаточны-
ми) напряжениями, действующими параллельно плоскостям расположения трещин, и
разрушения тел при сжатии вдоль параллельных трещин, вызванного локальной поте-
рей устойчивости состояния равновесия материала возле трещин. При этом анализи-
руются работы, выполненные с применением объединенного подхода к исследованию
двух указанных групп неклассических проблем механики разрушения, концептуаль-
ные моменты которого указаны в п. 1.4. данной статьи.
16
В статье рассмотрены пространственные задачи, к исследованию которых приме-
нен подход в рамках ТЛМДТ [11, 24, 97], позволяющий проводить постановку задач и
получение результатов в единой общей форме для сжимаемых и несжимаемых упру-
гих тел с произвольными видами упругого потенциала применительно к теории ко-
нечных (больших) начальных деформаций, а также к первому и второму вариантам
теории малых начальных деформаций. Результаты получены для однородных изо-
тропных высокоэластических материалов и композитов с упругими компонентами,
причем при исследовании композиционных материалов использована известная кон-
тинуальная модель композита [30, 41, 52, 77] с приведенными (усредненными) харак-
теристиками трансверсально-изотропного тела, плоскости изотропии которого парал-
лельны плоскостям расположения трещин.
Отметим, что задачи механики разрушения однородных материалов и композитов
с трещинами при действии направленных вдоль трещин усилий можно условно разделить
на три класса в зависимости от геометрических схем расположения дефектов в теле.
а б в
Рис. 7
В первый класс задач можно включить задачи, относящиеся к исследованию случая,
когда трещины расположены в нескольких (конечное число) параллельных плоско-
стях и эти плоскости расположены вдали от граничной поверхности, таким образом,
при исследовании можно не учитывать влияние свободной (либо подкрепленной) по-
верхности материала (рис. 7, а). Во второй класс можно отнести задачи, исследующие
случай, когда трещины, расположенные в параллельных плоскостях, также образуют
периодическую (вдоль оси, перпендикулярной направлению действия нагрузки) систему
трещин и, таким образом, фактически проходят через всю толщину образца (рис. 7, б).
Третий класс составляют задачи, относящиеся к исследованию ситуации, когда тре-
щины, расположенные в параллельных плоскостях, находятся вблизи граничной по-
верхности материала; таким образом, при исследовании разрушения необходимо учи-
тывать влияние свободной (или подкрепленной) поверхности (рис. 7, в). В этом слу-
чае мы приходим к задачам о приповерхностном разрушении материала.
Вследствие сложности и недостаточной разработки указанных неклассических про-
блем механики разрушения до настоящего времени получены и включены в обзор ре-
зультаты исследования задач о разрушении предварительно напряженных материалов и
сжатии тел вдоль трещин для таких характерных (эталонных) схем размещения трещин:
а) изолированная внутренняя невзаимодействующая трещина в неограниченном теле;
б) приповерхностная трещина, параллельная границе полупространства;
в) две внутренние параллельные соосные (т.е. с совпадающими проекциями, не
смещенные друг относительно друга) трещины в неограниченном теле;
г) периодическая система параллельных соосных трещин в неограниченном теле.
При этом приводятся результаты для круговых в плане (дискообразных) трещин,
поскольку эта конфигурация трещин является наиболее характерной для хрупких ма-
териалов [135].
Постановка и решение задач для таких геометрических схем размещения дефек-
тов позволяют как бы в «чистом» виде выделить и исследовать основные закономер-
ности взаимодействия (взаимовлияния) трещин между собой и с границами тел в ус-
ловиях действия усилий, направленных вдоль плоскостей расположения трещин. Так,
случай изолированной трещины является предельным для выделенных основных ча-
17
стных случаев геометрических схем размещения взаимодействующих трещин при
стремлении расстояния между трещинами или между трещиной и поверхностью ма-
териала к бесконечности. Таким образом, полученные для изолированной трещины
результаты могут рассматриваться как тестовые при больших расстояниях между
трещинами. Задача для приповерхностной трещины, параллельной поверхности мате-
риала, позволяет оценить влияние на параметры разрушения взаимодействия трещи-
ны и границы тела. Случай двух параллельных соосных трещин и периодической сис-
темы соосных параллельных трещин позволяет оценить влияние на параметры раз-
рушения взаимодействия трещин между собой и являются граничными случаями для
задач о разрушении материалов с произвольным конечным числом соосных парал-
лельных трещин. Следует при этом также отметить, что в математическом плане за-
дача о теле, содержащем периодическую систему соосных параллельных трещин,
сводится к задаче для слоя с одной трещиной, параллельной граням слоя, и поэтому
методика ее решения может быть применена к исследованию задач о трещине в пред-
варительно напряженном слое со свободными или подкрепленными гранями.
Для каждой из указанных выше геометрической схемы размещения трещин в ма-
териале приведены результаты исследований при разных силовых схемах на берегах
трещин, соответствующих трещинам нормального отрыва (Mode I cracks), радиально-
го сдвига (Mode II cracks) и кручения (Mode III cracks). Также приведены результаты
расчетов значений критических параметров, соответствующих локальной потере ус-
тойчивости материала, окружающего трещины, при сжатии вдоль плоскостей распо-
ложения трещины, которые проведены в рамках объединенного подхода к исследова-
нию проблем разрушения материалов с начальными напряжениями, действующими
вдоль трещин, и разрушения тел с трещинами при сжатии вдоль трещин.
2. Общая постановка линеаризированных пространственных задач механики
разрушения материалов при действии направленных вдоль трещин усилий.
В настоящем разделе в краткой форме приведен анализ результатов, касающихся
постановок задач в рамках ТЛМДТ, включая изложение линеаризированных уравне-
ний равновесия и представление их решений через потенциальные функции; описание
моделей исследуемых деформируемых тел; приведение методов решения отдельных
задач о разрушении материалов при действии направленных вдоль трещин усилий;
формулировку критериев разрушения материалов с начальными напряжениями, дей-
ствующими вдоль трещин, и разрушения тел при сжатии вдоль трещин. При изложе-
нии основных результатов будем следовать в основном терминологии и обозначени-
ям, которые применяются в монографиях [23, 28, 30].
2.1. Основные соотношения трехмерной линеаризированной механики дефор-
мируемых твердых тел. Как было указано во введении, исследование проблем меха-
ники разрушения материалов при действии усилий, направленных вдоль трещин, в
рамках объединенного подхода базируется на применении соотношений ТЛМДТ. При
этом становление основных положений ТЛМДТ исторически происходило в рамках
трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел и в рамках
теории распространения волн в материалах с начальными (остаточными) напряже-
ниями, детальный исторический очерк развития которых приведен в обобщающих
обзорных статьях [99, 101, 111]. Отметим при этом, что в наиболее общей форме со-
отношения ТЛМДТ получают путем строгой и последовательной линеаризации урав-
нений нелинейной теории упругости. Поэтому ниже в очень краткой форме приведем
некоторые соотношения нелинейной теории упругости, укажем на общие принципы
их линеаризации и изложим линеаризированные уравнения равновесия, граничные
условия и выражения для тензора деформаций Грина.
Будем описывать деформированное состояние тела в лагранжевых координатах
j
jx x ( 1, 3j ), которые в естественном (недеформированном) состоянии совпада-
ют с декартовыми с ортами jg
, поскольку при применении декартовых координат
ковариантные jg
и контравариантные jg
базисные векторы совпадают.
18
Для метрического тензора получаем
;nm n n
mn m m nmg g g 1det det 1rs
rsg g g g . (2.1)
Каждой точке (частице) среды ставится в соответствие тройка параметров mx ,
причем взаимно-однозначное соответствие сохраняется в любой момент времени .
Введем следующие обозначения: r
– радиус-вектор точки до деформации (в естест-
венном состоянии); *r
– радиус-вектор той же точки после деформации; u
– вектор
перемещения этой же точки; координаты n
nx x будем считать «вмороженными в
тело; все величины в деформированном состоянии будем отмечать звездочкой. В этом
случае можем записать следующие выражения:
* , , ;m m mr x r x u x
n nr g x
, n nu g u
. (2.2)
Пусть *
mg
и *
mg
– ковариантные и контравариантные базисные векторы в дефор-
мированном состоянии; *
nmg , *
nmg и *
n n
m mg – ковариантные, контравариантные и
смешанные составляющие метрического тензора в деформированном состоянии. Из
(2.2) в этом случае получаем следующие выражения
**
* ;m m
mm
r
d r dx g dx
x
* * n
m m nm m
ur
g g g
x x
.
Образуем разность квадратов дуг бесконечно малого элемента в деформирован-
ном и недеформированном состояниях. После преобразований получаем
2 2 ** * * ( ) ;n m
nm nmds ds d r d r d r d r g g dx dx
* 2nm nm nmg . (2.3)
В (2.3) через nm обозначены компоненты тензора деформации Грина, которые
определяются соотношениями
2 n m k k
nm
m n n m
u u u u
x x x x
( , , 1, 3n m k ). (2.4)
Приведенные выше соотношения дают возможность определить изменения гео-
метрических объектов при деформировании. Так, например, обозначая величины, от-
носящиеся к деформированному состоянию, индексом «звездочка», имеем:
изменение длины линейного элемента (коэффициент удлинения), направленного
вдоль координатной линии nx ,
*
( ) 1 2n
n nn
n
ds
ds
; (2.5)
изменение угла ( *
nm nm nm , *
nm – угол после деформации) между коорди-
натными линиями nx и mx
2
2 1 2
sin 1
1 2 1 21 2 1 2
nm nm nm nm nm
nm nm
nn mmnn mm
; (2.6)
изменение элемента площади поверхности constnx
*
2(1 2 )(1 2 ) ( 2 )n
mm kk mk mk
n
dS
dS
, n m k n ; (2.7)
изменение элемента объема, образованного координатными поверхностями,
*
det 2rs rs
dV
dV
. (2.8)
19
Из выражения (2.4) следует, что тензор деформации Грина является симметричным
тензором второго ранга, алгебраические инварианты которого имеют следующий вид:
1 ;nnA 2 ;nm mnA 3 nm mk knA . (2.9)
Для тензора деформации Грина можно образовать и другие системы инвариантов,
которые выражаются через алгебраические инварианты (2.9). Так, часто применяется
следующая система инвариантов [12]:
1 13 2 3 2 ;nnI A 2
2 1 1 23 4 2 3 4 2( );nn nn mm nm mnI A A A
2 3
3 1 1 2 3 1 2 1
4
det 2 1 2 2( ) (2 3 ).
3rs rsI A A A A A A A (2.10)
Если упругое тело несжимаемое, то из последнего выражения (2.10) и из (2.8)
следует, что 3 1I .
Рассмотрим главные значения тензора деформаций Грина, обозначив их через 1 ,
2 и 3 . Кроме того, примем, что направления координатных линий nx совпадают с
главными направлениями тензора деформаций Грина. В этом случае коэффициенты
удлинения (2.5) обозначим n и введем относительные коэффициенты удлинения n .
Тогда из (2.5) при принятых допущениях получаем
1 2n n , 1 1 2 1n n n , 22 1n n , 2
2 1 1n n . (2.11)
В рассматриваемом случае можно ввести еще одну систему инвариантов следую-
щим образом
1 1 2 3 1 2 31 1 1 ;s
2 2 2 2 2 2
2 1 2 3 1 2 31 1 1 ;s (2.12)
3 3 3 3 3 3
3 1 2 3 1 2 31 1 1s .
Заметим также, что в рассматриваемом случае из (2.9) выводим следующие выраже-
ния:
1 1 2 3;A 2 2 2
2 1 2 3 ;A 3 3 3
3 1 2 3 .A (2.13)
Для характеристики напряженного состояния в теории конечных деформаций
применяют разные тензоры напряжений, детальную информацию о которых можно
получить, например, из [12, 97]. Так, рассматривая вектор напряжения ( )it
, который
приложен в деформированном состоянии к площадке constix и измеряется на еди-
ницу площади этой площадки в недеформированном состоянии, вводят симметрич-
ный тензор напряжений S и несимметричный тензор напряжений Пиолы – Кирхгоф-
фа t выражениями
*i ij ij
j jt t g S g
. (2.14)
Из второго выражения (2.3) и (2.14) получаем связь между составляющими тензо-
ров S и t в виде:
jij in
nj
n
u
t S
x
. (2.15)
Из (2.1), (2.14) имеем равенство
;i ij j
j ijt t g t g
j
jg g
. (2.16)
20
Тогда запишем уравнения равновесия (при отсутствии массовых сил), граничные
условия в напряжениях на части поверхности 1S и граничные условия в перемещени-
ях на части поверхности 2S [24] в виде составляющих относительно ковариантных
базисных векторов в недеформированном состоянии jg
:
0jin
ij jn
i i n
u
t S
x x x
;
1 1
1
;jin
i ij i jn j jS S
n S
u
N t N S Q P
x
2
; ,jin
j i jn j jS
n
u
Q N S u f
x
(2.17)
где jP – составляющие (относительно jg
) вектора внешнего нагружения, повязанные
с поверхностью тела в деформированном состоянии, но измеряемые на единицу по-
верхности в недеформированном состоянии; iN – составляющие орта нормали к по-
верхности тела в недеформированном состоянии; jf – составляющие правых частей
граничных условий в перемещениях.
Систему уравнений геометрически нелинейной теории (2.17) необходимо допол-
нить определяющими соотношениями, которые для отдельных моделей материалов
будут приведены в п. 2.2.
Ниже кратко изложим основные принципы построения линеаризированных соот-
ношений. Рассматриваются три состояния равновесия упругого тела. Первое состоя-
ние называется естественным (недеформированным) состоянием, в котором отсутст-
вуют напряжения и деформации. Второе состояние является начальным напряженно-
деформированным состоянием; все величины, относящиеся к этому состоянию, будем
отмечать индексом «нуль». Второе (начальное или остаточное) напряженно-деформи-
рованное состояние еще называют невозмущенным состоянием. Отметим, что при
исследовании задач механики разрушения материалов с начальными напряжениями
второе (начальное) состояние вызывается действием начальных (остаточных) напря-
жений, направленных вдоль плоскостей расположения трещин. Третье состояние
называется возмущенным напряженно-деформированным состоянием; причем все
величины, относящиеся к третьему состоянию, представляются в виде суммы вели-
чин, относящихся ко второму состоянию, и возмущений соответствующих величин.
При исследовании задач механики разрушения материалов с начальными напряже-
ниями возмущения напряженно-деформированного состояния возникают из-за до-
полнительных нагрузок, приложенных к берегам трещин. Возмущения считаются ма-
лыми величинами по сравнению с соответствующими величинами второго (невозму-
щенного) состояния; величины возмущений не будем отмечать никаким индексом в
отличие от величин второго (невозмущенного) состояния. С учетом вышеизложенно-
го подхода по умолчанию предполагается, что второе и третье состояния описывают-
ся одними и теми же соотношениями нелинейной теории упругости. Таким образом,
рассматриваются лишь такие начальные или остаточные напряженно-деформирован-
ные состояния, переход к которым из начального состояния может осуществляться
лишь за счет упругого деформирования. Все же следует отметить, что «упругие» на-
чальные или остаточные напряжения в рассматриваемой части сплошного тела могут
быть вызваны «неупругим» деформированием весьма сложной физической природы в
другой части сплошного тела.
В дальнейшем для получения основных соотношений ТЛМДТ с учетом вышеиз-
ложенных соображений применяется принцип линеаризации. Проиллюстрируем вы-
шеизложенное простейшим примером. Пусть в рамках рассматриваемого варианта
нелинейной теории упругости имеет место следующее соотношение:
y f x , (2.18)
отсчет в котором ведется от естественного (недеформированного, первого) состояния.
Рассмотрим соотношение (2.18) применительно ко второму (начальному, невозму-
21
щенному) и третьему (возмущенному) состояниям с учетом вышеизложенных обо-
значений, в результате можем записать
0 0y f x , 0 0y y f x x , (2.19)
где y и x – возмущения соответствующих величин. Учитывая малость возмущений
( 0x x ), проведем линеаризацию соотношения (2.19), в результате получим:
00 0( ) x x
df
y y f x x
dx
. (2.20)
Вычитая из линеаризированного соотношения (2.20) для третьего состояния соот-
ветствующее выражение (2.19) для второго (начального) состояния, получаем соот-
ношение
0x x
df
y x
dx
. (2.21)
В дальнейшем рассмотрим линеаризированную теорию упругости для тел с на-
чальными (остаточными) напряжениями, под основными соотношениями которой
будем понимать соотношения типа (2.21), т.е. соотношения между возмущениями,
причем в выражениях типа (2.21) приближенно будем принимать знак равенства.
Так, проведя последовательную линеаризацию нелинейных геометрических соот-
ношений (более подробно см. [24, 97], из (2.2), (2.4), (2.5), (2.7), (2.8) получим линеа-
ризированные выражения:
для ковариантных базисных векторов в деформированном состоянии
* n
m n
m
u
g g
x
; (2.22)
для тензора деформаций Грина:
0 0
2 j j
nm mj nj j
m n n m
u u
u
x x x x
, * 2nm nmg ; (2.23)
для других геометрических объектов:
01
0 2
( ) 1 2 j j
n nn jn
n n
u u
x x
; (2.24)
0* *
0
*0 *0 *0 *0
*0
j jnn mk nm nkn
mjnn
n m k
u udS g
g g g g
dS g x x
, n m k n ; (2.25)
0*
*
0 *0
j jnm
jm
m n
u udV
g g
dV x x
. (2.26)
Из (2.9), (2.10) с учетом (2.23) получаем линеаризированные соотношения для оп-
ределения инвариантов тензора деформаций Грина:
0
1 ;j j
jn
n n
u u
A
x x
0
0
2 2 ;j j
nm jm
m n
u u
A
x x
0
0 0
3 3 ;j j
im ni jm
mn n
u u
A
x x
(2.27)
0
1 2 ;j j
jn
n n
u u
I
x x
0
0 0
2 4 j j
nm nm ii nm jm
m n
u u
I
x x
. (2.28)
22
Условие несжимаемости принимает вид
0
*0 *0 0j jnm nm
nm im
m n
u u
g g
x x
. (2.29)
В соответствии с (2.17) получаем такие линеаризированные уравнения равновесия
и граничные условия:
уравнения равновесия
0
0 0j jin in
nj
i n n
u u
S S
x x x
, (2.30)
где тензоры напряжений t и S связаны такими линеаризированными соотношениями
0
0
j jin in
ij nj
n n
u u
t S S
x x
; (2.31)
граничные условия
1
1
0
0 ;j jin in
i ij nj jS
n n
S
u u
N t S S P
x x
2
.i
jS
u f (2.32)
Отметим, что в граничных условиях (2.32) jP – компоненты (относительно ig
)
возмущений правых частей граничных условий в напряжениях; jf – возмущения
правых частей граничных условий в перемещениях; iN – составляющие орта норма-
ли к поверхности тела в недеформированном состоянии.
Выше приведены основные линеаризированные соотношения для теории конеч-
ных (больших) начальных деформаций. Указанные соотношения могут быть также
переформулированы для двух вариантов теории малых начальных деформаций (более
подробно см. [24, 97, 99].
Так, в первом варианте теории малых начальных деформаций принимается, что
удлинения и сдвиги являются малыми величинами и ими можно пренебречь по срав-
нению с единицей. В рамках этого варианта теории основные соотношения имеют вид
уравнения равновесия
0
0 0j jin in
nj
i n n
u u
x x x
, (2.33)
где соотношения между составляющими несимметричного тензора напряжений Пио-
лы – Кирхгоффа t и составляющими обычно применяемого симметричного тензора
напряжений выражаются таким образом:
0
0
j jin in
ij nj
n n
u u
t
x x
, (2.34)
граничные условия имеют вид (2.32) при обозначениях (2.34), а условие несжимаемо-
сти принимает вид
0
0.j jnm
im
m n
u u
g
x x
(2.35)
Во втором варианте теории малых начальных деформаций дополнительно к ос-
новному допущению первого варианта принимается, что начальное состояние может
быть определено в рамках геометрически линейной теории. При этом условии, в ча-
23
стности, компоненты тензора деформации Грина для начального состояния принима-
ют вид
0 0
02 n m
nm
m n
u u
x x
. (2.36)
В рамках этого варианта теории основные соотношения приобретают вид
уравнения равновесия
0 0jij in
i n
u
x x
, (2.37)
где соотношения между составляющими несимметричного тензора напряжений Пио-
лы – Кирхгоффа t и составляющими обычно применяемого симметричного тензора
напряжений выражаются таким образом
0
jij in
ij
n
u
t
x
, (2.38)
граничные условия имеют вид (2.32) при обозначениях (2.37), а условие несжимаемо-
сти принимает вид:
0.jnj
n
u
g
x
(2.39)
2.2. Об исследуемых моделях деформируемых тел. Далее в краткой форме при-
водятся основные соотношения упругости в рамках нелинейной и линеаризированной
теорий для упругих сжимаемых и несжимаемых тел, которые в дальнейшем будут
использоваться в статье.
Для гиперупругих тел предполагается существование упругого потенциала как функ-
ции, характеризующей потенциальную энергию упругой деформации вида [24, 97, 99]
ij
ijS . (2.40)
В общем виде для теории конечных (больших) деформаций из (2.40) получаем
выражения для компонент тензора напряжений:
для сжимаемых тел
1
2
ij
ij ji
S
; (2.41)
для несжимаемых тел *
1
2
ij ij
ij ji
S pg
, (2.42)
где скалярная функция p в (2.42) связана с гидростатическим давлением.
Далее будут использоваться как наиболее типичные и важные с теоретической и
практической точек зрения модель изотропного высокоэластического материала с
разными формами упругого потенциала и модель широко распространенных конст-
рукционных материалов – композитов.
Изотропные высокоэластичные материалы. Для сжимаемых гиперупругих мате-
риалов удобно использовать упругие потенциалы, построенные на основе базовых
алгебраических инвариантов (2.9), (2.27) тензора деформаций Грина (2.4), (2.23) в виде
1 2 3
, ,
;i j k
ijk
i j k
c A A A const .ijkc (2.43)
Ограничиваясь в выражении (2.43) конечным числом членов, можно получать уп-
ругие потенциалы различной структуры. В частности, ограничиваясь квадратным
приближением, получаем упругий потенциал вида [23]
24
2
1 2
1
2
A A , (2.44)
который при переходе к классической линейной теории упругости переходит в потен-
циал линейной теории, а параметры и при этом являются постоянными Ляме.
Если в выражении (2.43) ограничиться кубическим приближением, то будем
иметь упругий потенциал типа Мурнагана [23]
2 3
1 2 1 1 2 3
1
2 3 3
a c
A A A bA A A . (2.45)
Используя систему инвариантов тензора деформаций Грина 1s , 2s , 3s в виде
(2.12) и представляя упругий потенциал для сжимаемых материалов через эти инва-
рианты в виде, аналогичном (2.43)
1 2 3
, ,
;s s i j k
ijk
i j k
c s s s const,s
ijkc (2.46)
а также ограничиваясь в ряде (2.46) конечным числом членов, можно получать упру-
гие потенциалы конкретной структуры на основе указанных базовых инвариантов.
Так, оставляя два члена в (2.46) и вводя новые обозначения для постоянных, получаем
упругий потенциал гармонического типа [132]
2
1 2
1
2
s s s . (2.47)
Аналогично строятся упругие потенциалы для несжимаемых гиперупругих мате-
риалов. Так, используя систему инвариантов (2.12) и ограничиваясь в ряде типа (2.46)
одним членом ряда, получаем упругий потенциал для несжимаемого материала про-
стейшей структуры – потенциал Бартенева – Хазановича – в виде [3]
12 ;s s const . (2.48)
Пользуясь системой инвариантов 1I , 2I , 3I (2.10), (2.28) и ограничиваясь конеч-
ным числом членов соответствующего ряда, можно получить потенциал Трелоара
[146]
10 1 3c I ; 10 const .c (2.49)
Отметим, что упругий несжимаемый изотропный материал, который описывается
потенциалом Трелоара, в литературе получил название материала «неогуковского» типа.
Более подробная информация о других типах упругих потенциалов приведена в
[24, 97].
Композитные материалы. При исследовании композитных материалов в данной
работе будем предполагать, что размеры трещин существенно превышают размеры
структурных элементов композитов (т.е. рассматриваются макротрещины), а также
будем рассматривать только процессы разрушения, при которых не проявляются
свойства композита как кусочно-однородной среды (типа разрушения на границе раз-
дела сред и т.п.). При таких предположениях, следуя [30, 41, 52, 77], будем применять
континуальную модель композита с приведенными характеристиками анизотропного
тела (в частности, трансверсально-изотропного тела, плоскости изотропии которого
параллельны плоскостям расположения трещин 3 constx ).
Упругий потенциал для анизотропного сжимаемого тела можно представить в
следующем общем виде [30]:
...ijnm ijnmpq
ij nm ij nm pqE E . (2.50)
25
Ограничиваясь в (2.50) квадратичной частью и применяя второй вариант теории ма-
лых деформаций (для которых ij
ijS ), получаем следующие соотношения упругости:
ij ijnm nmA ; nm nmij ija . (2.51)
В частности, для трансверсально-изотропного тела с осью изотропии 3Ox получа-
ем соотношения упругости в виде
11 11 11 12 22 13 33A A A ; 12 11 12 12A A ; 22 12 11 11 22 13 33 ;A A A
13 44 132A ; 23 44 232A ; 33 13 11 13 22 33 33 .A A A (2.52)
С использованием пяти независимых технических постоянных – модулей упруго-
сти jE , модулей сдвига ijG и коэффициентов Пуассона ij – соотношения упругости
для трансверсально-изотропного тела (2.52) можно переписать в виде
3112
11 11 22 33
1 1 3
1
E E E
; 12 12
12
1
2G
; 3112
22 11 22 33
1 1 3
1
E E E
;
13 13
13
1
2G
; 23 23
13
1
2G
; 31 31
33 11 22 33
3 3 3
1
E E E
; (2.53)
1
12
122(1 )
E
G
.
В частности, трансверсально-изотропными средами с приведенными макрохарак-
теристиками моделируются такие композитные материалы, которые будут использо-
ваться в дальнейшем в этой работе, как слоистый композит с изотропными слоями и
волокнистый композит со стохастическим армированием в плоскости 3 constx ко-
роткими эллипсоидальными волокнами [52]. Приведенные макрохарактеристики этих
композитных материалов определяются упругими характеристиками компонентов и
их объемной концентрацией в композите. Так, например, для слоистого композита с
изотропными слоями макрохарактеристики определяются следующим образом [52]:
*
* 12
1 * *
12 33
4
2
G
E
G
; *
3 * *
11 12
E
;
*
* 13
31 * *
11 12
;
*
* 1
12 *
12
1
2
E
G
;
* *
13 44G ; * *
12 66G ; * * * * 2
33 11 12 13( ) 2 ;
*
13 1 2 1 2 1 1 2 2( )( 2 2 ) ;c c z
* * 2
11 12 1 2 1 2
1
( ) ( )
2
c c z ;
*
33 1 2 1 2 1 22 ( 2 2 )c c z ; (2.54)
* 1
44 1 2 4 ; *
66 ; 1
4 42z ; 4 1 2 2 1c c ; 4 1 2 2 1c c ;
1 1 2 2c c
(слои уложены в плоскости 1 2x x ; , – постоянные Ляме -того слоя ( 1, 2 ); c
– объемная концентрация слоев с упругими свойствами , ). В частности, для
композитного материала из слоев алюмоборосиликатного стекла в композиции со
слоями эпоксидномалеиновой смолы постоянные Ляме, фигурирующие в (2.54), име-
ют следующие значения [52]:
26
для стекла 4 4
1 11,94 10 MPa, 2,92 10 MPa; для смолы 3
2 3,69 10 MPa,
3
2 1,14 10 MPa .
Для углепластика, стохастично армированного в плоскости изотропии 3 constx
короткими углеродными волокнами эллипсоидальной формы (с объемной концентра-
цией волокон, равной 0,7), приведенные макрохарактеристики являются такими [52]:
4
1 1 10 MPa ;E 4
3 3 10 MPa ;E 4
13 1 10 MPa ;G 12 0,125; 31 0,09.
С использованием общего подхода к линеаризации нелинейных соотношений по-
лучаются такие линеаризованные соотношения упругости [24, 97]:
для сжимаемых тел ij ij
u
t
x
; in
in
u
S
x
; (2.55)
где составляющие тензоров и определяются соотношениями
0
0
0 0 0 0
1
4ij m
m m m in ni
u
x
;
0 0
0
00 0 0 0
1
4
j i
ij nj m j
n m m m in ni
u u
S
x x
; (2.56)
0
0 0 0
1
2
i
i i
S
; 0 0 0
11 33( , ... , );
для несжимаемых тел ij
ij ij
u
t q p
x
; *0
in in
in
u
S g p
x
, (2.57)
где составляющие тензоров , , q определяются соотношениями
0 0
0
0 0 0 0
1
4
j
ij nj m
n m m m in ni
u u
x x
0
*0 *0 *0 *0 0
i mn im n i
jp g g g g S
;
0
0 0
*0 *0 *0 *00 0 0 0
1
;
4
i mn im n
ij m
m m m in ni
u
p g g g g
x
(2.58)
0
*0
jij im
mj
m
u
q g
x
; 0 0
0 *0 0 0
1
2
i i
i i
S p g
.
В соотношениях (2.55) – (2.58) *0
ijq – контравариантные составляющие метриче-
ского тензора в начальном напряженном состоянии. Кроме того, между тензорами
и , и существует связь
0
0
j i
ij nj in j
n
u
S
x
;
0
0 .j i
ij nj in j
n
u
S
x
(2.59)
Для сжимаемого анизотропного (в частности, трансверсально-изотропного мате-
риала) для второго варианта теории малых начальных деформаций
27
0
i
ij ij jS
; (1 ) ( );ij ij i ij ij i j i jA G
3
0 0
0
1
2(1 ) .i
i ik kk i i i
k
S A G
(2.60)
2.3. Общие решения линеаризированных уравнений при однородных начальных
состояниях. В настоящем пункте кратко излагаются основные соотношения трех-
мерной линеаризированной механики деформируемого твердого тела для сжимаемых и
несжимаемых тел при однородных начальных напряженно-деформированных состоя-
ниях и приводится представления общих решений линеаризированных уравнений
равновесия для таких состояний через потенциальные функции.
Исследование задач механики разрушения материалов с начальными напряже-
ниями, действующими вдоль трещин, и механики разрушения материалов при сжатии
вдоль параллельных трещин удобно проводить в координатах, введенных в началь-
ном (втором) состоянии. Поэтому наряду с лагранжевыми координатами j
jx x , ко-
торые в естественном (недеформированном) состоянии совпадают с декартовыми,
будем использовать декартовые координаты j
jy y ( 1, 3j ), которые связаны с началь-
ным (вторым) напряженно-деформированным состоянием. При этом связь между ко-
ординатами jx и jy одной и той же материальной точки тела имеет следующий вид:
;j j jy x const ;j 1, 3j , (2.61)
где j – коэффициенты удлинения (или укорочения) вдоль координатных осей jOy
( jOx ), связанные с начальными напряжениями.
При действии на тело нагрузок, направленных строго вдоль плоскостей располо-
жения трещин, в материале реализуется однородное начальное (второе) напряженно-
деформированное состояние, которое характеризуется такими соотношениями для
компонент вектора перемещений:
0 1 ( 1)m m m mu y . (2.62)
Введем также основные величины, отнесенные к геометрическим объектам в на-
чальном (втором) состоянии, обозначая их при этом значком «штрих», а именно: ijQ –
составляющие несимметричного тензора напряжений, отнесенные к единице площади
координатных площадок в начальном состоянии; jP – составляющие вектора поверх-
ностной нагрузки на площадке с ортом нормали N
. При этом получаем соотношения
[24, 97]:
1 2 3
;i
ij ijQ t
1
1 2 3
.i i
j j
N
P P
(2.63)
При однородном начальном напряженно-деформированном состоянии, опреде-
ляемом соотношениями (2.62), определяющие соотношения (2.55), (2.57) с учетом
(2.63) принимают вид:
для сжимаемых тел ij ij
u
Q
y
; (2.64)
для несжимаемых тел ij ij ij
u
Q p
y
(2.65)
0
1 2 3 1 2 3 1 2 3
(1 )( ) ;i i j i
ij ij ij i ij i j i j ijA S
28
0(1 )( ) ,ij i ij i j ij i ij i j i j ij i i jA S
а величины iA , ij , 0S определяются выбором модели материала (в частности, ви-
дом упругого потенциала).
Линеаризированные уравнения равновесия (2.30) с учетом (2.31) в координатах
jy приобретают вид
0ij
j
Q
y
. (2.66)
С учетом (2.64), (2.65) эти уравнения равновесия можно записать в перемещениях:
для сжимаемых тел 0mL u ;
2
m ij
i
L
y y
( , , , 1, 3);m i (2.67)
для несжимаемых тел 0mN u ; 4u p , (2.68)
где
2
4 4 4 4 4 41 1 1 1m im m m m
i m
N
y y y y
;
( , , , 1, 3).m i
Как видим, при однородном начальном состоянии (2.62) линеаризированные
уравнения равновесия в перемещениях (2.67), (2.68) представляют собой системы
уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. В [24, 97] опера-
торным методом построены представления общих решений этих уравнений в виде
одной из следующих форм (или их линейной комбинации):
сжимаемые тела
det rsj j
i
m
L
u
L
, det 0j
rsL ( 1,3j ); (2.69)
несжимаемые тела
det rsm m
m
N
u
N
, det 0m
rsN ( 1,4m ). (2.70)
Дальнейшее упрощение представлений общих решений линеаризированных урав-
нений равновесия в случае пространственных задач возможно для одного частного слу-
чая однородного начального состояния, когда начальные напряжения вдоль осей 1Oy и
2Oy являются одинаковыми. Так, будем предполагать, что однородное начальное со-
стояние (2.62) обеспечивает для изотропных тел и трансверсально-изотропных тел с
осью изотропии 3Oy также выполнение условий
11 22
0 0 0;S S 33
0 0;S 1 2 3 ; 0 0
11 22 . (2.71)
Рассмотрим произвольную цилиндрическую систему координат, ось которой на-
правлена вдоль оси 3Oy , а в плоскости 1 2y Oy – произвольную кривую (в начальном
деформированном состоянии) с ортами нормали N
и касательной S
; 1N и 2N – со-
ставляющие орта N
по осям 1Oy и 2Oy . При начальном напряженно-деформирован-
ном состоянии, задаваемом соотношениями (2.62), (2.71) представление составляю-
щих вектора перемещений Nu и Su вдоль нормали и касательной можно выразить
через две потенциальные функции и в виде [24, 97]
29
для сжимаемых тел
2
3
;Nu
S N y
2
3
;Su
N S y
2
31131111
3 1 2
1133 1313 1111 3
u
y
; (2.72)
для несжимаемых тел
2
3
;Nu
S N y
2
3
;Su
N S y
1 1
3 1 1 3 3 1 ;u q q
2
1 1 1 1
1 1 1111 1 1 3 3 1133 1313 1 3113 2
3 3
,p q q q
y y
(2.73)
где
2 2
1 2 2
1 2y y
, а
N
и
S
– соответственно, производные по нормали и каса-
тельной.
При этом потенциальные функции и удовлетворяют уравнениям
2
1 3 2
3
0;n
y
2 2
1 1 1 22 2
3 3
0,n n
y y
(2.74)
где , 1, 3jn j – корни алгебраических (характеристических) уравнений, соответст-
вующих дифференциальным уравнениям (2.74) и имеющие вид:
для сжимаемых тел 2 1 1 1 2
1,2 3113 3333 1331 1111( ) ,n c c 1
3 3113 3113 ;n (2.75)
2
1111 1331 1331 3113 1111 3333 1133 13132 ( ) ;c
для несжимаемых тел 2 2 2 1 1 2
1,2 33 11 3113 1331( )n c c q q , 1
3 3113 3113n ; (2.76)
2 2 1
1331 3333 11 33 1111 11 33 1133 13132 2c q q q q .
Дальнейшее упрощение представлений общих решений связано с возможностью
определения функции , удовлетворяющей уравнению четвертого порядка (2.74),
через две функции, удовлетворяющие уравнениям второго порядка [24, 97].
Так, в случае неравных корней характеристического уравнения ( 1 2n n ), вводя новые
функции 3 , 3 1 2( )y , удовлетворяющие уравнениям 2 2
1 3( ( ))z
0;j 1 2
3j jz n y ( 1,3j ), получаем такие выражения для определения переме-
щений:
3
1 2 ;Nu
N S
3
1 2Su
S N
; 1 2 1 21 1
3 1 1 2 2
1 2
.u m n m n
z z
Для несжимаемых тел получаем выражение для определения скалярной величины p :
2
1 1 1 1
1 1 1111 1 1 3 3 1133 1313 1 3113 1 22
3
.p q q q
y
Для случая равных корней характеристического уравнения ( 1 2n n ), вводя новые
функции 3; 32 3 ;y 3 12 ;y 23 ; 1 2 :
30
2 1 ;F z 1z , получаем такие выражения для определения перемеще-
ний:
3
1 ;N
F
u z
N N S
3
1 ;S
F
u z
S S N
1 2 1 2 1 2
3 1 1 2 1 1 1 1 1
1 1
1
F
u n m m F m n m n z
z z
(функции , F , , 3 являются гармоническими).
В случае круговой цилиндрической системы координат 3, ,r y представления об-
щих решений для неравных корней характеристического уравнения имеют вид:
1 2 31
;ru
r r
31 21 ( )
;u
r r
2 1 2 2
3
1 21 2
;
m m
u
z zn n
2 2
33 44 1 1 1 2 2 22 2
1 2
;Q C d l d l
z z
(2.77)
2 2 2
1 2 1 2 1 2
3 44 1 1 1 2 2 2 3 3
1 2 3
1
;rQ C d n d n n
r z r z r z
2 2 2
1 2 1 2 1 2
3 44 1 1 1 2 2 2 3 3
1 2 3
1 1
.Q C d n d n n
r z r z r z
Параметры, входящие в (2.77), определяются соотношениями:
для сжимаемых тел 44 1313 ,C 1
1111 3113 1133 1313( )( ) ,j jm n 1 ,j jd m (2.78)
1 1
3333 1133 1313( ) (1 ) ,j j j j jl m n n m 1, 2j ;
для несжимаемых тел 44 1313C , 1 1
1 1 3 3j jm q q n , 1j jd m , (2.79)
1 1 1 1 1 1 1
1313 3333 1 1 3 3 1111 1313 1133 1 1 3 3 3113(1 ) ( 2 ) ;j j j j jl n m m n q q q q
1, 2.j
Представления общих решений для равных корней характеристического уравне-
ния имеют вид:
3
1
1
;r
F
u z
r r r
3
1
1 1
;
F
u z
r r r
1 2 1 2 1 2
3 1 2 1 1 1 1 1
1
( 1) ;
F
u m m n F m n m n
z
2
33 44 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2
1 1 1
;
F F
Q C d l d l d l d l z
z z z
(2.80)
22
1 2 1 2 1 2 3
3 44 1 1 2 1 1 1 1 3
1 3
1
;r
F
Q C n d d F d n d z n
r r z r z
22
1 2 1 2 1 2 3
3 44 1 1 2 1 1 1 1 3
1 3
1 1
.
F
Q C n d d F d n d z n
r r z r z
31
Параметры 44C , 1m , 1l , jd , 1,2j , фигурирующие в (2.80), определяются для
сжимаемых и несжимаемых тел, соответственно, из (2.78), (2.79), а параметры 2m и
2l имеют вид:
для сжимаемых тел
1
2 1133 1313 1133 1313m ;
11 1
2 3333 1 2 1133 1 1 2 13131 1 ;l m m n n m (2.81)
для несжимаемых тел
2 1m ; 1 1 1 1 1
2 1 1313 3333 1 1 1 1 3 3 1111 1313 1133 1 1 3 3 3113(2 ) ( 2 ) 3 .l n m n q q q q
(2.82)
Ниже приведены значения параметров, фигурирующих в представлениях (2.77),
(2.80), для некоторых типов материалов:
материал с потенциалом гармонического типа (2.47) (сжимаемое тело, случай
равных корней)
1
3 1 2 (1 ) ; 2 2
1 2 3 1 ;n n 2 1 1
3 3 1 3 1 32 (2 ) ( ) ;n 1 3 1 ;m
1 3
2
1 3
(3 1)
;
(1 )
m
1
1
3
;l
(2.83)
1
2
3
1 ( 2)
;
2
l
3
1
1
1 ;d
1 3
2
1 3
2 ( )
;
(1 )
d
3
44
1 1 3
2
( )
C
;
2( ) – коэффициент Пуассона);
материал с потенциалом Бартенева – Хазановича (2.48) (несжимаемое тело, слу-
чай равных корней)
2
3 1 ; 3
1 2 1 ;n n 6 3 1
3 1 12 ( 1) ;n 3
1 1 ;m 2 1;m
3
1 1 ;l 3
2 1(1 ) 2;l 3
1 1 1;d 2 1;d 2 3 1
44 1 12 (1 ) ,C (2.84)
материал с потенциалом Трелоара (2.49) (несжимаемое тело, случай неравных
корней)
2
3 1 ; 6
1 1 ;n 2 1;n 6
3 1 ;n 6
1 1 ;m 2 1;m
6
1
1 6
1
2
;
1
l
6
2 1
1
(1 );
2
l 6
1 11 ;d 2 2;d 4
44 10 12C c ; (2.85)
композитные материалы, которые моделируются трансверсально-изотропным
телом, (2.52) – (2.54)
0 1 0 1 0 0 2
1,2 13 11 11 11 11 33 11 33 11 13 13 13 13
1
( ) ( ) ( 2 )
2
n A A A A A A
0 0 2 2 0 0
11 33 11 33 11 13 13 13 13 11 11 13 11 13 33( 2 ) 4( )( ) ;A A A A A A A
0 1
3 13 12 11( ) ;n 0 1
11 11 13 13 13( ) ( ) ;j jm A n A 1 ;j jd m (2.86)
10 2 0 1 1
11 33 11 33 13 13 13 33 13 11 11 13 13( ) ( ) ;j j j jl n A A A A A A n A A n
32
44 13C ( 1, 2j )
1
11 1 13 31(1 ) ;A E A 1
13 1 31 12(1 ) ;A E A 2 1
33 3 12(1 ) ;A E A 12 12 ;G
13 13;G 2
12 13 31 12 13 311 2 2 ;A 0 1 1
11 1 1 12 13( 1)(1 ) .E G
2.4. Постановка пространственных линеаризированных задач механики разру-
шения материалов при действии усилий вдоль трещин и общие методы их решения.
Формулировка задач проводится в координатах начального напряженно-деформирован-
ного состояния jy , 1,3j , которые связаны с декартовыми координатами недефор-
мированного состояния соотношениями (2.61). Трещины, как и в классической меха-
нике разрушения [135], моделируются математическими разрезами нулевой толщины.
Рассматриваются два класса задач: об определении и исследовании напряженно-
деформированного состояния предварительно напряженного упругого тела с трещи-
нами, когда начальные напряжения 11 22
0 0S S действуют параллельно плоскостям рас-
положения трещин (рис. 8, а) и об определении критических параметров разрушения
материала с параллельными трещинами в условиях сжатия усилиями, направленными
вдоль трещин (рис. 8, б).
а б
Рис. 8
Общая постановка задач сводится к следующему. Рассматриваются упругие изо-
тропные материалы с произвольной формой упругого потенциала или композицион-
ные материалы с упругими компонентами, содержащие систему трещин, расположен-
ных в параллельных плоскостях 3 consty . В случае композиционного материала
предполагается, что размеры трещин существенно больше, чем размеры структурных
элементов композита, и исследуются только процессы разрушения, при которых не
проявляются свойства композита как кусочно-однородной среды. При таких предпо-
ложениях можно применять континуальную модель композита с приведенными ха-
рактеристиками трансверсально-изотропного тела, плоскости изотропии которого
параллельны плоскостями расположения трещин (см. п. 2.2).
Начальные нормальные напряжения действуют вдоль плоскостей, в которых рас-
положены трещины; на плоскостях, в которых расположены трещины, начальные на-
пряжения отсутствуют. В этом случае в материале возникает однородное начальное
напряженно-деформированное состояние, которое характеризуется соотношениями
(2.62), (2.71). При приложении к телу дополнительных (по отношению к начальному
напряженно-деформированного состояния) усилий (на рис. 8, а для примера приведены
33
нормальные напряжения 33Q ) возмущения напряженно-деформированного состояния,
вызванные действием указанных дополнительных нагрузок, предполагаются значительно
меньшими, чем соответствующие величины начального напряженно-деформирован-
ного состояния, что позволяет применять для решения поставленных задач соотношения
ТЛМДТ.
Таким образом, в точной постановке необходимо решать линеаризированные
уравнения равновесия в перемещениях (2.67), (2.68). Граничные условия на берегах
трещин в общем случае имеют вид
3 ;j jQ P 1ky S , (2.87)
где через 1S обозначены области тела, занимаемые трещинами. При этом для задач о
сжатии вдоль трещин в граничных условиях (2.87) следует положить 0jP . Эти условия
необходимо дополнить граничными условиями в напряжениях и/или перемещениях
на поверхности материала (для ограниченных тел) и условиями регулярности (затухания)
полей напряжений и перемещений на бесконечности (для неограниченных тел). Общая,
приведенная выше, постановка задачи уточняется в каждом конкретном случае со-
гласно схеме силовой нагрузки и геометрического расположения трещин в материале.
Исследование поставленных пространственных линеаризированных задач будут
проводиться согласно следующей методике. Граничные условия задач, сформулиро-
ванные первоначально в напряжениях и перемещениях, с помощью общих представ-
лений решений линеаризированных уравнений равновесия в виде (2.77), (2.80) пере-
формулируются в граничные задачи для неизвестных потенциальных гармонических
функций ( 1 2 3, , – для неравных и 3, , ,F – для равных корней характеристиче-
ского уравнения). Далее неизвестные потенциальные гармонические функции для
неосесимметричных задач представляются в виде рядов Фурье по окружной коорди-
нате с коэффициентами в виде интегральных преобразований Ханкеля по радиальной
координате соответствующего гармонике порядке, а в случае осесимметричных задач
– в виде интегральных преобразований Ханкеля по радиальной координате нулевого
порядка. При этом граничные условия, заданные на всей плоскости 3 consty , позво-
ляют сократить количество неизвестных функций, входящих в интегральные преобра-
зования Ханкеля, на число указанных условий. Оставшиеся граничные условия при-
водят к системе парных интегральных уравнений относительно неизвестных функ-
ций, входящих в интегральные преобразования Ханкеля.
Следующий этап заключается в решении системы парных интегральных уравне-
ний методом подстановки [50], согласно которому парные уравнения приводятся к
интегральным уравнениям Шлемильха. Решения интегральных уравнений Шлемиль-
ха приводят к замкнутому решению задачи в терминах потенциальных функций (для
изолированных трещин в неограниченном теле) или к разрешающим неоднородным
интегральным уравнениям Фредгольма второго рода (для взаимодействующих тре-
щин). Вся указанная процедура реализуется отдельно для случаев равных и неравных
корней характеристического уравнения.
Используя полученные решения для потенциальных гармонических функций, мож-
но получить распределение напряжений и перемещений в материале и на основе анали-
за асимптотического распределения напряжений в окрестности контура трещины полу-
чить выражения для коэффициентов интенсивности напряжений и величин раскрытия
трещин. При этом значения коэффициентов интенсивности напряжений, как и в класси-
ческой механике разрушения без начальных напряжений [135], определяются как коэф-
фициенты при сингулярностях в распределении компонент напряжений в окрестности
контура трещины
1
1 33
0
lim 2I
r
K r Q
;
1
1 3
0
lim 2II r
r
K r Q
;
1
1 3
0
lim 2III
r
K r Q
, (2.88)
где 1r – расстояние от кончика трещины.
34
Согласно описанному в п. 1.4. объединенному подходу к исследованию задач ме-
ханики разрушения материалов с начальными напряжениями и задач о сжатии тел
усилиями, направленными вдоль плоскостей трещин, критические параметры сжатия,
соответствующие локальной потере устойчивости материала в окрестности трещины,
определяются из численного решения вышеупомянутых неоднородных линеаризиро-
ванных задач механики разрушения тел с начальными напряжениями как значения
начальных сжимающих напряжений, при приближении к которым происходит резкое
«резонансоподобное» изменение основных параметров напряженно-деформирован-
ного состояния в окрестности трещины, в частности, значений коэффициентов интен-
сивности напряжений. При этом, соответственно, отпадает необходимость проводить
дополнительные исследования задач на собственные значения в рамках трехмерной
линеаризированной теории устойчивости.
Общность приведенной выше постановки линеаризированных задач применительно
к различным моделям материалов определяется следующими моментами [24, 28]. На-
чальное напряженно-деформированное состояние является статически определимым
однородным. Общие решения линеаризированных уравнений равновесия (2.77), (2.80)
при однородных начальных состояниях формально представляются в единой форме
для различных моделей материалов (сжимаемых и несжимаемых высокоэластических
материалов с произвольным видом упругого потенциала, композитных материалов).
При этом входящие в представления общих решений коэффициенты определяются
выбором модели материала, и необходимую конкретизацию применительно к вы-
бранной модели материала следует проводить лишь на заключительной стадии иссле-
дования – при решении получаемых в общем виде разрешающих уравнений. Отме-
тим, что исследования для высокоэластических тел будут проводиться в рамках тео-
рии конечных (больших) начальных деформаций, а исследования для композитов, в
связи с их достаточной жесткостью, – в рамках второго варианта теории малых на-
чальных деформаций, когда начальное напряженно-деформированное состояние оп-
ределяется по геометрически линейной теории.
Таким образом, исследование линеаризированных краевых задач механики раз-
рушения материалов при наличии начальных (остаточных) напряжений, действую-
щих параллельно плоскостям расположения трещин, и механики разрушения тел при
сжатии усилиями, направленными вдоль трещин, для различных моделей материалов
может проводиться в рамках единого общего подхода.
2.5. Критерии разрушения материалов при действии усилий вдоль трещин.
Ниже, основываясь на [23, 28, 34], приведем краткую информацию о критериях хруп-
кого разрушения материалов с начальными напряжениями, которые учитывают спе-
цифику влияния начальных (остаточных) напряжений, действующих вдоль трещин,
на значения допустимых нагрузок и являются обобщениями энергетического крите-
рия Гриффитса и силового критерия Ирвина, а также о критерии разрушения при сжа-
тии тел усилиями, направленными параллельно плоскостям трещин.
Критерии разрушения тел с начальными напряжениями, действующими вдоль тре-
щин. Для определения критических нагрузок для тел с начальными напряжениями в [23,
28, 87, 88] предложен энергетический критерий разрушения, который соответствует энер-
гетическому критерию разрушения материалов без начальных напряжений Гриффитса
[80] с применением формул Ирвина [130], и силовой критерий, который соответствует
силовому критерию разрушения материалов без начальных напряжений Ирвина [131].
Рассмотрим трещину, расположенную в
плоскости 1 3y Oy ( , 1,3jy j – декартовы коор-
динаты начального состояния, вызванного дей-
ствием начальных напряжений), которая за-
нимает область ( 1 2 3, 0,y a y y )
(рис. 9). В соответствии с энергетическим
критерием [80], разрушение начинается, ко-
гда выполняется условие
( )
0 0eU A , (2.89)
Рис. 9
35
где 2 l – изменение площади поверхности трещины, отнесенное к единице
длины вдоль оси 3Oy ; 0U – внутренняя энергия, которая определяется поверхностной
энергией; ( )eA – поток энергии в вершину трещины, связанный с уменьшением по-
тенциальной энергии деформации при продвижении трещины на величину l (вели-
чины 0U и ( )eA отнесены к единице длины вдоль оси 3Oy ).
При этом для изменения величины поверхностной энергии принимается следую-
щее выражение:
0 2U d l ,
где – удельная плотность поверхностной энергии. Отметим, что в классической
механике разрушения материалов без начальных напряжений обычно принимается
[53, 80], что const . В механике хрупкого разрушения материалов с начальными
напряжениями следует, по-видимому, полагать, что в общем случае величина зави-
сит от начальных напряжений.
Величина потока энергии в вершину трещины ( )eA определяется напряжениями,
которые приложены вдоль воображаемого продолжения трещины. Например, в слу-
чае одноосного растяжения на бесконечности вдоль оси 2Oy будем иметь [23, 28]
( )
22 2 21 1 23 3
0
l
eA Q u Q u Q u dx
,
где ijQ , ju определяются начальными и дополнительными нагрузками в результате
решения линеаризированных задач. При этом на линии трещины
22
1
1
2
IQ K
r
; 21
1
1
2
IIQ K
r
; 23
1
1
,
2
IIIQ K
r
(2.90)
где 1r – расстояние от кончика трещины; , ,I II IIIK K K – коэффициенты интенсивности
напряжений, которые получаются из решения линеаризированных задач. Таким образом,
критерий (2.89) связывается с величинами , ,I II IIIK K K и удельной плотностью по-
верхностной энергии . Ниже, с учетом (2.90) приведем вид критериального выраже-
ния (2.89) для некоторых типов материалов для рассматриваемой постановки задачи.
Материал с потенциалом Бартенева – Хазановича (несжимаемое тело, парамет-
ры определяются из (2.48), (2.84)). Для этого материала из (2.89), (2.90) получаем та-
кой критерий разрушения [23, 28]:
2
2 2 2 21 1
1 2
1 1
1
( ) 4
3 1 2I II IIIK K K
. (2.91)
В случае отсутствия начальных напряжений ( 1 1 ) выражение (2.91) переходит
в выражение:
2 2 22 8I II IIIK K K , (2.92)
которое полностью совпадает с классическим критерием разрушения Гриффитса –
Ирвина для материалов без начальных напряжений [53], если положить 3E и
учесть, что для несжимаемого тела 1 2 .
Материал с потенциалом Трелоара (несжимаемое тело, параметры определяются
из (2.49), (2.85)). Для этого материала имеем такое критериальное выражение [23, 28]:
2 2
2 2 2 21 1
1 106 4 2
1 1 1
( 1)
( ) 8
3 1I II IIIK K K c
, (2.93)
которое в случае отсутствия начальных напряжений переходит в критериальное вы-
ражение классической механики разрушения (2.92), если положить 102 3c E .
36
Для различных типов трещин силовые критерии разрушения материалов с началь-
ными напряжениями в их простейшем варианте можно представить в виде [23, 28]:
;I IcK K ;II IIcK K III IIIcK K , (2.94)
где через , ,Ic IIc IIIcK K K обозначены коэффициенты вязкости разрушения (характери-
стики трещиностойкости) для материалов с начальными напряжениями, которые оп-
ределяются из экспериментальных исследований и, в общем случае, должны зависеть
от начальных напряжений.
Критерий разрушения материалов при сжатии вдоль трещин. В случае сжатия тел
усилиями, направленными вдоль трещин, классические критерии разрушения Гриф-
фитса – Ирвина являются неприменимыми (см. п. 1.3). В этом случае, согласно пред-
ложенному в [23, 33, 83, 84] критерию в рамках трехмерной линеаризированной тео-
рии устойчивости деформируемых тел, начало разрушения тела с трещинами связыва-
ется с локальной потерей устойчивости материала в окрестности контуров трещин.
Учитывая изложенное, применительно к рассматриваемому механизму разруше-
ния в качестве теоретического предела прочности на сжатие принимаются напряже-
ния (или укорочения вдоль координатных осей), соответствующие критическому зна-
чению сжимающей нагрузки и определяющие локальную потерю устойчивости со-
стояния равновесия материала возле трещин [112].
3. Результаты исследования конкретных классов пространственных задач.
В настоящем разделе приводится информация о результатах, полученных изложен-
ным в предыдущем разделе общим методом решения задач, применительно к конкрет-
ным классам пространственных задач механики разрушения материалов при действии
направленных вдоль трещин усилий. Представлены результаты исследования неосесим-
метричных и осесимметричных пространственных задач для таких геометрических
схем расположения трещин в материале: изолированная внутренняя невзаимодейст-
вующая трещина в неограниченном теле; внутренняя приповерхностная трещина,
параллельная границе полупространства; две внутренние параллельные трещины в
неограниченном теле; периодическая система внутренних параллельных соосных
трещин в неограниченном теле.
На основании полученных решений выполнен анализ асимптотического распределе-
ния напряжений вблизи кончиков трещин и получены выражения коэффициентов интен-
сивности напряжений для отдельных моделей материалов – высокоэластических тел с уп-
ругими потенциалами Бартенева – Хазановича, Трелоара и гармонического типа, а также
отдельных композитных материалов (слоистых композитов с изотропными слоями и ком-
позитов, армированных короткими волокнами эллипсоидальной формы). Основываясь на
указанном в п. 1.4 объединенном подходе к исследованию задач механики разрушения при
действии направленных вдоль трещин усилий, для отмеченных материалов определены
значения критических параметров сжатия, при достижении которых происходит потеря
устойчивости материала в областях, примыкающих к контурам трещин. Проанализирова-
ны механические эффекты, обусловленные влиянием начальных напряжений, геометриче-
ских параметров задач (радиусов трещин и расстояния между ними или между трещиной и
поверхностью материала) и физико-механических характеристик материалов на коэффи-
циенты интенсивности напряжений и критические параметры сжатия.
3.1. Изолированная дискообразная трещина в неограниченном материале.
В настоящем пункте приводятся результаты исследования пространственных задач
для бесконечного тела, содержащего одну плоскую круговую в плане трещину радиу-
са a . В теле действуют одинаковые начальные (остаточные) напряжения 11 22
0 0S S
вдоль осей 1Oy и 2Oy (рис. 10), реализующие однородное начальное напряженно-
деформированное состояние вида ((2.62), (2.71) (здесь и в последующих пунктах ис-
следования проводятся в лагранжевых координатах
j
y , 1,3j начального напря-
женно-деформированного состояния и получаемых их них круговых цилиндрических
координатах 3, ,r y или , , jr z , где 1 2
3j jz n y , 1,3j ).
37
а б
Рис. 10
Будем отдельно рассматривать неосесимметричные и осесимметричные задачи
для трещин нормального отрыва (Mode I cracks) и сдвига (Mode II, Mode III cracks).
В качестве примера более подробно изложена методика исследования неосесиммет-
ричной задачи для трещины нормального отрыва; исследования для других постано-
вок задач проводятся аналогично.
3.1.1. Неосесимметричная задача для трещины нормального отрыва. Трещиной
нормального отрыва, как и в механике разрушения материалов без начальных напря-
жений [53, 135], будем считать трещину, к берегам которой симметрично относитель-
но плоскости 3 0y приложена нормальная нагрузка интенсивности ( , )r . В силу
симметрии силовой и геометрической схем задачи для верхнего полупространства
3 0y на его границе 3 0y получают следующие граничные условия:
33( , , 0) ( , );Q r r 3 3( , , 0) ( , , 0) 0rQ r Q r (0 )r a ; (3.1)
3( , , 0) 0;u r 3 3( , , 0) ( , , 0) 0rQ r Q r ( ),a r
(здесь и далее 0 2 ).
Заметим, что в случае задачи о сжатии неограниченного тела вдоль внутренней
круговой трещины (рис. 10, б) граничные условия на берегах трещины (первая строка
в (3.1)) имеют вид:
33( , , 0) 0;Q r 3 3( , , 0) ( , , 0) 0rQ r Q r (0 )r a .
Дальнейшее исследование выполняется раздельно для случаев равных и неравных
корней характеристического уравнения (см. п. 2.3) в общем виде для сжимаемых и
несжимаемых тел. Используя представление общих решений линеаризированных
уравнений равновесия через гармонические потенциальные функции в виде (2.77),
(2.80), граничные условия (3.1) переформулируются в терминах потенциальных
функций. При этом учитывается, что согласно (3.1) компоненты тензора напряжений
3rQ , 3Q равны нулю во всей плоскости 3 0y ( 0, 1, 3jz j ). Имеем:
для неравных корней
2 2
1 2
44 1 1 2 22 2
1 2
,C d l d l r
z z
( );r a
22 2
1 2 1 2 1 2 31 2
44 1 1 2 2 3
1 2 3
1
0C d n d n n
r z r z r r z
(0 );r (3.2)
38
22 2
1 2 1 2 1 2 31 2
44 1 1 2 2 3
1 2 3
1 1
0C d n d n n
r z r z r z
(0 );r
1 2 1 21 1
1 1 2 2
1 2
0m n m n
z z
( );r a
для равных корней
44 1 1 2 2 1 1
1 2
,
F
C d l d l d l r
z z
( );r a
2
1 2 1 2 3
44 1 1 2 1 3
3
1
0C n d d F d n
r r z
(0 );r (3.3)
2
1 2 1 2 3
44 1 1 2 1 3
3
1 1
0C n d d F d n
r r r z
(0 );r
1 2 1 2
1 2 1 1 11 0m m n F m n , ( )r a .
Дальнейшие выкладки будут приводиться только для случая неравных корней ха-
рактеристического уравнения; в случае равных корней выкладки производятся анало-
гично.
Нормальная нагрузка на берегах трещины ( , )r представляется в виде ряда
Фурье по окружной координате :
( )
1
0
, ( ) cos ;n
n
r r n
(0)
1
0
1
( ) , ;r r d
( )
1
0
2
( ) , cos .n r r n d
(3.4)
Отметим, что выражения (3.4) соответствуют случаю, когда функция ( , )r является
четной по координате . В случае, когда эта функция является нечетной по окружной
координате, представление (3.4) следует заменить представлением
( )
2
1
, ( )sin ;n
n
r r n
( )
2
0
2
( ) , sin ;n r r n d
(3.5)
в этом случае все последующие выкладки будут полностью аналогичными. В общем
случае следует использовать суперпозицию представлений (3.4), (3.5).
Гармонические потенциальные функции , 1, 3j j , фигурирующие в (3.2), так-
же представляются в виде рядов Фурье по координате с коэффициентами в виде
интегральных разложений Ханкеля по радиальной координате r порядка, соответст-
вующего порядку гармонике по окружной координате:
1
1 1
0 0
, , cos ;z
n n
n
d
r z n A e J r
2
2 2
0 0
, , cos ;z
n n
n
d
r z n B e J r
(3.6)
3
3 3
0 0
, , sin .z
n n
n
d
r z n C e J r
39
Следует отметить, что в представлении (3.6) учтено условие затухания возмуще-
ний напряжений и перемещений при удалении от трещины.
Подставив (3.6) во второе и третье уравнения в (3.2), заданные на всей плоскости
3 0y , получаем
1 2
2 2
1 2
1 1
;n n
d n
A B
d n
0nC . (3.7)
Из первого и четвертого уравнений в (3.2) с учетом (3.7) получаем соотношения
(1) ( )
1
0 0
cos ( ) ( ) 0n
n n
n
n D B J r d r
;r a
(2)
0 0
cos ( ) 0n n
n
n D B J r d
r a (3.8)
(1)
44 2 1 ;D C kd n (2) 1 2 1 1
2 2 1 1 2 2( ) ;D d n m d m d
1 2 ;k k k 1 2
1 1 2 ;k l n 1 2
2 2 1 .k l n (3.9)
Приравнивая нулю выражения при гармониках cosn , заключаем, что соотноше-
ния (3.8) распадаются на отдельные парные интегральные уравнения, соответствую-
щие каждой n -й гармонике по переменной :
(1) ( )
1
0
( ) ( )n
n nD B J r d r
, r a , 0,1, 2, ... ;n
(2)
0
( ) 0n nD B J r d
, r a , 0,1, 2, ... .n (3.10)
Систему парных интегральных уравнений (3.10) целесообразно решать методом
подстановки [50], представляя неизвестные функции ( )nB ( 0,1, 2, ...n ) в виде
1 2
0
( ) 2 ( ) ( ) ,
a
n n nB t t J t dt (3.11)
где ( )n t ( 0,1, 2, ...n ) – новые неизвестные функции, непрерывные вместе со свои-
ми первыми производными на отрезке 0,a .
С учетом значения разрывного интеграла Вебера-Шафхейтлина
1 2
0
1 2 2 2
0, 0 ;
( ) 2
, 0
n
n n
n
t r
J r J t d r
r t
t t r
(3.12)
второе уравнение в (3.10) (справедливое для области r a ) удовлетворяется тождест-
венно.
Далее, подставляя выражение (3.11) в первое уравнение (3.10) и используя соот-
ношения
1 1
1 ;n n
n n
d
J r r r J r
dr
40
1 21 1 2
0
1 2 2
0, 0
( ) 2
, 0
nn n
n
r t
J r J t d t
t r
r r t
, (3.13)
получаем уравнение
1 ( )
1 1
(1)2 2
0
( )
( ) .
r n n
n
n
d t r
t dt r
dr Dr t
Интегрируя последнее уравнение по r от 0 до r , а также делая подстановку
sint r , приходим к интегральному уравнению Шлемильха
2
11 1 ( )
1(1)
0 0
1
sin ( sin ) ( )
r
nn n n
nr r d d
D
,
которое имеет решение [50]:
2
1 ( )
1(1)
0
2
( ) sin ( sin ) .
n n
n
x
x x d
D
(3.14)
Подставив (3.14) в (3.11) с учетом (3.7), получаем такие выражения для функций
nA , nB , nC , фигурирующих в представлениях (3.6):
1
1
1 2 1 2 2 2
0 044 1 2
2
;
nna t
n n n
x x dxdt
A J t
tC kd n t x
1
1
1 2 1 2 2 2
0 044 2 1
2
;
nna t
n n n
x x dxdt
B J t
tC kd n t x
0nC . (3.15)
Используя выражения (3.15), из (3.6) можно определить значения потенциальных
гармонических функций , 1, 3j j , и далее, из представлений (2.77) получить рас-
пределение компонент напряжений и перемещений в материале. Так, в плоскости
3 0y получаем
1 31
2 2
33 1 12 2
0 20 0 0
2
, , 0 cos ;
a t n nn
n
n
n
x
Q r n x dx t J t dt J r d
t x
3 , , 0 0;rQ r 3 , , 0 0;Q r (3.16)
3 , , 0u r
1 1
1 112 2
1 2 1 2 2 2
1 12 2
044 1 2 20 0 0
2 ( )
cos ;
a t n nn
n
n
n
n n m m x
n x dx t J t dt J r d
C d d k t x
, , 0ru r
1 1
1 112 2
1 1 2 2 2 2
1 12 2
044 1 2 20 0 0
2
cos ;
a t n nn
n
n
n
d n d n x
n x dx t J t dt J r d
C d d k r t x
41
, , 0u r
1 1
1 112 2
1 1 2 2 2 2
1 12 2
044 1 2 20 0 0
2
sin .
a t n nn
n
n
n
d n d n n x
n x dx t J t dt J r d
C d d k r t x
Проведя аналогичные выкладки для случая равных корней, получим такие значе-
ния компонент тензора напряжений и вектора перемещений в плоскости 3 0y :
1
1 2 3 2
33 1 12 2
0 20 0 0
2
, , 0 cos ;
a t n
n n
n
n
n
x
Q r n x dx t J t dt J r d
t x
3 , , 0 0;rQ r 3 , , 0 0;Q r (3.17)
3 , , 0u r
1
1 112
1 1 2 2 2
1 12 2
044 1 2 1 2 20 0 0
2 12
cos ;
a t n nn
n
n
n
n m m x
n x dx t J t dt J r d
C d d l l t x
, , 0ru r
1 11
1 2 2 2
1 12 2
044 1 2 1 2 20 0 0
2
cos ;
a t n nn
n
n
n
m m x
n x dx t J t dt J r d
C d d l l r t x
, , 0u r
1 11
1 2 2 2
1 12 2
044 1 2 1 2 20 0 0
2
sin .
a t n nn
n
n
n
m m n x
n x dx t J t dt J r d
C d d l l r t x
Как видим из выражений (3.16), (3.17), значения компонент тензора напряжений в
плоскости расположения трещины для случаев неравных и равных корней характери-
стического уравнения совпадают и не зависят от начальных напряжений. В тоже вре-
мя компоненты вектора перемещений для случаев неравных и равных корней отлич-
ны и зависят от начальных напряжений, поскольку параметры материала 44C , k , id ,
il , in ( 1, 2i ) зависят от коэффициента начального удлинения (укорочения) 1 .
Сравнивая выражения для компонент вектора перемещений в (3.16), (3.17) с соответ-
ствующими выражениями работы [135, с. 10 – 11] для линейно-упругого тела без на-
чальных напряжений, можем представить указанные компоненты при 3 0y в виде:
(3) (0)
3 3( , , 0) ( , , 0);u r K u r ( ) (0)( , , 0) ( , , 0);r
r ru r K u r ( ) (0)( , , 0) ( , , 0)u r K u r
,
(3.18)
где 3( , , 0)u r , ( , , 0)ru r , ( , , 0)u r – компоненты вектора перемещений в упругом
теле с начальными напряжениями; (0)
3 ( , , 0)u r , (0) ( , , 0)ru r , (0) ( , , 0)u r – соответст-
вующие компоненты вектора перемещений в линейно-упругом теле без начальных
напряжений; (3)K , ( )rK , ( )K – коэффициенты, характеризующие влияние начальных
напряжений. При этом имеем:
для неравных корней
(3) 1 2
44 1 2 1 1 2 2
2 ;
2 ( )
d d
K
C d d l n l n
1 2 2 1( ) ( )
44 1 2 1 1 2 2
2 ;
( )
r d n d n
K K
C d d l n l n
(3.19)
42
для равных корней
(3) 1 2
44 1 2 1 1 2
2
2 ;
2 ( )
d d
K
C d d n l l
( ) ( ) 1 2
44 1 2 1 2
2 .r d d
K K
C d d l l
(3.20)
Рассмотрим асимптотическое распределение напряжений и перемещений вблизи
края трещины в плоскости ее расположения 3 0y . Введем следующие обозначения:
1;r a r 1 0;r 1 ;r a 2 ;r a r 2 0;r 2 .r a (3.21)
Из первого соотношения (3.16), используя формулу 1 2
1 2 ( ) n
nJ t t
1 2
1 2 ( )n
n
d
t J t
dt
, разрывный интеграл (3.13) и произведя интегрирование по час-
тям, с учетом первого соотношения (3.21) получаем выражение:
1 ( )
01
33 11 2 2 2
0 01
2 cos ( )
( , , 0) ( ) ,
a n n
n
n
n x x
Q r dx O r
ar a x
(3.22)
где под 0
1( )O r обозначены слагаемые, которые не имеют особенностей при 1 0r .
Тогда из формул для коэффициентов интенсивности напряжений (2.88) с учетом
(3.22), а также второго и третьего соотношений в (3.16) получаем
1 ( )
1
1 2 2 2
0 0
2 cos ( )
;
a n n
I n
n
n x x
K dx
a a x
0;IIK 0IIIK , (3.23)
где коэффициенты Фурье ( )
1 ( )n x ( 0,1, 2, ...n ) определяются через нормальную на-
грузку, приложенную к берегам трещины, из второго и третьего соотношения в (3.4).
Из первого, второго и третьего соотношений в (3.17) видим, что КИН для случая рав-
ных корней также выражаются соотношениями (3.23).
Таким образом, для неосесимметричной задачи о круговой трещине нормального
отрыва в неограниченном предварительно напряженном теле значения коэффициен-
тов интенсивности напряжений в окрестности края трещины не зависят от начальных
напряжений и полностью совпадают (с учетом обозначений) со значениями, получен-
ными при решении неосесимметричной задачи о круговой трещине нормального от-
рыва в линейно-упругом теле без начальных напряжений (см. формулу (1.44) в [135]).
Отметим, что в случае, когда нагрузка на берегах трещины ( , )r является не-
четной функцией по координате , следует использовать ее представление в виде
ряда Фурье (3.5). В этом случае, произведя аналогичные выкладки, получим такие
выражение для КИН:
1 ( )
2
1 2 2 2
1 0
2 sin ( )
;
a n n
I n
n
n x x
K dx
a a x
0;IIK 0.IIIK (3.24)
В общем случае произвольной нормальной нагрузки на берегах трещины ( , )r
значения КИН представляются в виде
1 ( ) 1 ( )
1 2
2 2 2 2
0 0 0
2 cos ( ) sin ( )
;
a an n n n
I n n
n
n x x n x x
K dx dx
a aa a x a x
0;IIK 0.IIIK (3.25)
Далее определим раскрытие берегов трещины вблизи ее края при 3 0y . С уче-
том (3.18), (3.19) имеем для случая неравных корней
(3) (0) (3)2 2
3 2 3
2
2 ( , , 0) 2 2 2 ,
2 2 ( ) 2I I
r r
u r K u K K K K
(3.26)
43
1 2 1 2
44 1 2 1 1 2 2 44 1 2 1 1 2 2
.
( ) (1 )(1 )( )
d d m m
K
C d d l n l n C m m l n l n
(3.27)
Аналогично, из (3.18), (3.20) для случая равных корней имеем значение раскрытия
берегов трещины вблизи ее края при 3 0y в виде (3.26), где коэффициент K , харак-
теризующий влияние начальных напряжений определяется выражением
1 2 1 2
44 1 2 1 1 2 44 1 2 1 1 2
2 1 2
(1 )(1 )
d d m m
K
C d d n l l C m m n l l
. (3.28)
Таким образом, как следует из (3.26) – (3.28), раскрытие берегов трещины нормаль-
ного отрыва в материале с начальными напряжениями, в отличие от коэффициентов
интенсивности напряжений, существенно зависит от начальных напряжений. Проана-
лизируем эту зависимость на примере высокоэластических материалов с конкретны-
ми видами упругих потенциалов.
Материал с потенциалом Трелоара (несжимаемое тело, случай неравных корней)
[146]. Параметры, входящие в (3.27) для этого потенциала определяются из (2.85).
Подставляя эти параметры в (3.27), получим
4 3
1 1
9 6 3
10 1 1 1
( 1)
2 ( 3 1)
K
c
. (3.29)
Рис. 11 Рис. 12
На рис. 11 приведен график зависимости величины 104c K от 1 для этого потен-
циала. Как видно из рисунка, кривая имеет вертикальную асимптоту, соответствую-
щую стремлению к «бесконечности» значения K (и, соответственно, резкому «резо-
нансоподобному» увеличению раскрытия берегов трещины 3 22 ( , ,0)u r ) при дос-
тижении параметром начального укорочения значения *
1 0,666 , при котором вы-
ражение, заключенное в скобки в знаменателе (3.29), обращается в ноль, т.е. когда
выполняется условие
9 6 3
1 1 13 1 0. (3.30)
В соответствии с подходом, описанным в п. 1.4, указанное явление «резонансно-
го» характера определяет критическое значение параметра 1 , соответствующее ло-
кальной потере устойчивости (по симметричной форме) при сжатии неограниченного
упругого тела с потенциалом Трелоара усилиями, направленными вдоль изолированной
дискообразной трещины. Действительно, критическое значение *
1 0,666 соответ-
ствует значению, полученному в [33] при решении пространственной неосесиммет-
ричной задачи механики разрушения о сжатии вдоль внутренней круговой трещины
для материала с потенциалом Трелоара. Отметим также, что значение *
1 0,666 со-
ответствует поверхностной неустойчивости тела с потенциалом Трелоара [23, 24].
44
Материал с потенциалом Бартенева – Хазановича (несжимаемое тело, случай
равных корней) [3]. Параметры, входящие в (3.28) для этого потенциала определяются
из (2.84). Подставляя эти параметры в (3.28), получим
7 2
1
3
1
.
(3 1)
K
(3.31)
График зависимости K от 1 для этого материала приведен на рис. 12. Из
(3.31) следует, что K обращается в бесконечность, когда параметр начального укоро-
чения достигает критического значения
* 3
1 1 3 0,693, (3.32)
соответствующего локальной потери устойчивости материала с потенциалом Барте-
нева – Хазановича при сжатии тела вдоль внутренней круговой трещины [33] и по-
верхностной неустойчивости указанного материала.
3.1.2. Общая неосесимметричная задача для трещины сдвига. К трещине радиуса
a , размещенной в плоскости 3 0y , приложены касательные усилия антисимметрич-
но относительно плоскости расположения трещины (рис. 4). С учетом симметрии за-
дачи, для верхнего полупространства 3 0y на его границе 3 0y получают сле-
дующие граничные условия:
33( , , 0) 0;Q r 3 1( , , 0) ( , ) ;rQ r q r 3 2( , , 0) ( , )Q r q r (0 )r a ; (3.33)
( , , 0) ( , , 0) 0;ru r u r 33( , , 0) 0Q r ( )a r , 0 2 .
Предполагаем, что правые части в граничных условиях (3.33) можно представить
в виде рядов Фурье
( )
1
0
, cos ;n
n
q r a r n
( )
2
1
, sin .n
n
q r b r n
(3.34)
С использованием процедуры, аналогичной примененной в предыдущем под-
пункте, для данной задачи получаются такие выражения для коэффициентов интен-
сивности напряжений в окрестностях кончиков трещины [28]:
0IK ;
2
0
1 1 22 2
10
2 1 2 2
cos ;
a
II
n
r dr
K a r a a n
a aa aa r
1 1 1 2
1
2 2
1 sin .III
n
K a a n
aa
(3.35)
В (3.35) функции 1( )a , 2 ( )a определяются из выражений:
3 2
1 2 2
01 1
;
2 2
tn n
n nt x dx
t a x b x
t x
(3.36)
1
2 12
t t
3 2
1 2 2
2 2
1 0 01
1 2
.
22 2
t tn n
n n n nnnt x dx
x a x b x t x dx a x b x
t x
Параметры 1 , 1 , входящие в (3.35), (3.36), зависят от начальных напряжений и
определяются из выражений:
45
для неравных корней
2 2 1 1
1 44
1 2 1 2
2 ;
l n l n
C
l l n n
2 2 1 11 2
1
3 2 2 1 1 1 2
1 1
1 ;
1 1
l m l mn n
n l n l n m m
для равных корней 2 1
1 44
1 2 1
2
l l
C
l l n
,
2 2 1 11
1
3 2 1 1 2
1 1
1
1 1
l m l mn
n l l m m
.
Таким образом, в пространственной неосесимметричной задаче о трещине сдвига
коэффициенты интенсивности напряжений поперечного IIK и продольного IIIK
сдвигов зависят от начальных напряжений. В этом проявляется отличие неосесиммет-
ричной задачи о трещине сдвига от неосесимметричной задачи о трещине нормально-
го отрыва, для которой КИН не зависят от начальных напряжений.
Характер указанной зависимости КИН от начальных напряжений для сжимаемого
изотропного материала с упругим потенциалом гармонического типа (сжимаемое
тело, случай равных корней) [132] продемонстрирован в п. 1.4 на рис. 5; там же при-
ведены соответствующие комментарии, в том числе, о наблюдаемых явлениях «резо-
нансного» характера при стремлении начальных напряжений к значениям, соответст-
вующим локальной потере устойчивости (по изгибной форме) при сжатии неограни-
ченного тела с круговой трещиной.
3.1.3. Осесимметричная задача о трещине нормального отрыва. Граничные ус-
ловия данной задачи имеют вид:
33( , 0) ( ) ;Q r r 3 ( , 0) 0rQ r (0 );r a (3.37)
3( , 0) 0;u r 3 ( , 0) 0rQ r ( ).a r
Решение данной задачи можно получить как частный случай решения неосесим-
метричной задачи о трещине нормального отрыва (подпункт 3.1.1) при 0n . Так, из
(3.25) с учетом второго соотношения в (3.4) получаем выражения для коэффициентов
интенсивности напряжений
2 2
0
2 ( )
;
a
I
x x
K dx
a a x
0;IIK 0,IIIK (3.38)
которые при принятых обозначениях полностью совпадают с соответствующими ко-
эффициентами интенсивности напряжений в теле без начальных напряжений [135].
Из (3.38) следует, что как и в неосесимметричной задаче о трещине нормального от-
рыва в предварительно напряженном теле, в данной осесимметричной задаче распре-
деление напряжений в материале в плоскости трещины 3 0y вблизи ее края не зави-
сит от начальных напряжений и полностью совпадает с соответствующим распреде-
лением в линейно-упругом теле без начальных напряжений.
Компоненты вектора перемещений при 3 0y представляются в виде
(3) (0)
3 3( , 0) ( , 0);u r K u r ( ) (0)( , 0) ( , 0) ,r
r ru r K u r (3.39)
где (0)
3 ( ,0)u r , (0) ( ,0)ru r – соответствующие компоненты вектора перемещений в ли-
нейно-упругом теле без начальных напряжений, а коэффициенты (3)K и ( )rK , харак-
теризующие влияние начальных напряжений, определяются соотношениями (3.19)
для неравных корней и (3.20) для равных корней. Раскрытие берегов трещины вблизи
ее края при 3 0y , 2r a r имеет вид
22
2 I
r
K K
, (3.40)
46
где КИН IK определяется из (3.38), а значения коэффициента K имеет вид (3.27) –
для случая неравных корней и (3.28) для случая равных корней.
Выводы о влиянии начальных напряжений на распределение перемещений у края
трещины и о явлениях «резонансного» характера при стремлении начальных напряже-
ний к значениям, соответствующим локальной потере устойчивости материала при сжа-
тии вдоль трещины, в данной осесимметричной задаче полностью совпадают с таковыми
для неосесимметричной задачи о трещине нормального отрыва (подпункт 3.1.1).
3.1.4. Осесимметричная задача о трещине радиального сдвига. Под трещиной ра-
диального сдвига, как и в механике хрупкого разрушения материалов без начальных
напряжений [53, 135], понимается трещина, к берегам которой антисимметрично от-
носительно плоскости ее расположения приложена радиальная касательная нагрузка.
В силу указанной симметрии для верхнего полупространства 3 0y на его границе
3 0y получают следующие граничные условия:
33( , 0) 0;Q r 3 ( , 0) ( )rQ r r (0 )r a ; (3.41)
3( , 0) 0;u r 3 ( , 0) 0rQ r ( )a r .
Решение этой задачи подробно изложено, например, в [23, 28]. Так, коэффициен-
ты интенсивности напряжений для данной задачи имеют вид
0;IK
2
3 2 2 2
0
2 ( )
;
a
II
x x
K dx
a a x
0IIIK (3.42)
и при принятых обозначениях полностью совпадают с соответствующими коэффици-
ентами интенсивности напряжений в теле без начальных напряжений [135]. Как сле-
дует из (3.42), распределение напряжений в предварительно напряженном материале
в плоскости расположения трещины радиального сдвига вблизи ее края не зависит от
начальных напряжений и полностью совпадает с соответствующим распределением в
линейно-упругом теле без начальных напряжений.
Компоненты вектора перемещений при 3 0y представляются в виде
(3) (0)
3 3( , 0) ( , 0);u r K u r ( ) (0)( , 0) ( , 0),r
r ru r K u r (3.43)
где (0)
3 ( ,0)u r , (0) ( ,0)ru r – соответствующие компоненты вектора перемещений в ли-
нейно-упругом теле без начальных напряжений, а коэффициенты (3)K и ( )rK , харак-
теризующие влияние начальных напряжений, определяются соотношениями:
для неравных корней
1 2 2 2 2 1 1 1(3)
44 1 2 1 1 2 2
2 ;
( )
m n l d m n l d
K
C d d l n l n
1 2 1 1 2 2( )
44 1 2 1 1 2 2
( )
2 ;
2 ( )
r n n d l d l
K
C d d l n l n
(3.44)
для равных корней
(3) 1 2 2 1 1 1
44 1 2 1 1 2
( 1)
2 ;
m l d m l d
K
C d d n l l
1 1 2 2 1( )
44 1 2 1 2
( )
2 .
2
r d l d l n
K
C d d l l
(3.45)
Материал с потенциалом Трелоара. Для этого материала имеем:
4 3
(3) 1 1
9 6 3
10 1 1 1
(1 )
;
3 1
K
c
4 3
( ) 1 1
9 6 3
10 1 1 1
( ) (1 )
.
( 2 ) 3 1
rK
c
(3.46)
Из (3.46) следует, что величины (3)K , ( )rK обращаются в бесконечность и, соот-
ветственно, перемещения «резонансоподобно» увеличиваются, когда параметр на-
чального укорочения достигает критического значения *
1 0,666 , при котором вы-
47
полняется условие (3.30). Как было указано в подпункте 3.1.1, это значение параметра
1 соответствует локальной потери устойчивости материала в области, охватываю-
щей внутреннюю круговую трещину, при сжатии вдоль трещины.
Материал с потенциалом Бартенева – Хазановича. Для этого материала имеем
2 3
(3) 1 1
3
1
(1 )
;
3 1
K
13 2
( ) 1
3
1
2 .
2 3 1
rK
(3.47)
Из (3.47) следует, что величины (3)K , ( )rK обращаются в бесконечность и, соответ-
ственно, перемещения «резонансоподобно» увеличиваются, когда параметр начального
укорочения достигает критического значения (3.32), соответствующего локальной по-
тери устойчивости материала с потенциалом Бартенева – Хазановича при сжатии тела
вдоль внутренней круговой и поверхностной неустойчивости указанного материала.
Таким образом, выводы о влиянии начальных напряжений на распределение пе-
ремещений у края трещины и о явлениях «резонансного» характера при стремлении
начальных напряжений к значениям, соответствующим локальной потере устойчиво-
сти материала при сжатии вдоль трещины, в данной задаче о трещине радиального
сдвига полностью совпадают с таковыми для задачи о трещине нормального отрыва.
3.1.5. Задача о кручении. К поверхности трещины приложена антисимметрично
относительно плоскости ее расположения касательная окружная нагрузка, вследствие
чего для верхнего полупространства 3 0y на его границе 3 0y получают следую-
щие граничные условия:
3 ( , 0) ( )Q r r (0 );r a ( , 0) 0u r ( ).a r (3.48)
Решение этой задачи получено в [23, 28]. Так, коэффициенты интенсивности на-
пряжений для данной задачи имеют вид:
0;IK 0;IIK
2
3 2 2 2
0
( )2 a
III
x x
K dx
a a x
(3.49)
и при принятых обозначениях полностью совпадают с соответствующими коэффици-
ентами интенсивности напряжений в теле без начальных напряжений [135]. Как сле-
дует из (3.49), распределение напряжений в предварительно напряженном материале
в плоскости расположения трещины при кручении не зависит от начальных напряже-
ний и полностью совпадает с соответствующим распределением в линейно-упругом
теле без начальных напряжений.
Перемещение при 3 0y представляется в виде
( ) (0)( , 0) ( , 0);u r K u r
3( )
44
n
K
C
. (3.50)
Учитывая (2.78), (2.79), можно показать [23, 28], что значение ( )K , определяемое
из (3.50), не может обратиться в бесконечность в рассматриваемых пределах измене-
ния начальных напряжений (до появления внутренней неустойчивости материала).
Таким образом, для трещины в пространственной задаче кручения эффекты «резо-
нансного» характера отсутствуют и, следовательно, отсутствуют формы потери ус-
тойчивости при сжатии вдоль трещины, соответствующие трещине кручения.
3.1.6. Выводы. На основании приведенных в этом разделе результатов исследова-
ния задач для изолированных трещин в неограниченном материале с начальными (ос-
таточными) напряжениями можно сделать следующие основные выводы:
для всех рассмотренных постановок задач в случае «свободных» трещин (т. е.
трещин, на берегах которых заданы только напряжения), кроме общей неосесиммет-
ричной задачи о трещине сдвига, установлено, что коэффициенты интенсивности на-
пряжений не зависят от начальных напряжений и полностью совпадают с выраже-
ниями для КИН, получаемыми в рамках классической механики хрупкого разрушения
материалов без начальных напряжений. В то же время влияние начальных напряже-
48
ний на распределение напряженно-деформированного состояния возле трещин прояв-
ляется в существенной зависимости от них величин раскрытия трещин;
при рассмотрении общей неосесимметричной задачи о дискообразной трещине
сдвига установлено, что коэффициенты интенсивности напряжений поперечного IIK
и продольного IIIK сдвигов даже в случае «свободной» трещины зависят от началь-
ных напряжений;
при стремлении начальных сжимающих напряжений к величинам, соответствую-
щим поверхностной неустойчивости полупространства, для трещин нормального от-
рыва и радиального сдвига вблизи кончика трещины проявляются эффекты «резо-
нансного» характера, заключающиеся в резком изменении части напряжений и пере-
мещений. Для трещины в задаче кручения указанные эффекты «резонансного» харак-
тера отсутствуют.
3.2. Приповерхностная круговая трещина в полупространстве. Рассматривается
упругое тело, занимающее полупространство 3y h с начальными напряжениями
11 22
0 0S S , действующими вдоль приповерхностной трещины радиуса a , расположенной
в плоскости 3 0y с центром на оси 3Oy : {0 r a , 0 2 , 3 0}y (рис. 13).
а б
Рис. 13
Результаты приводятся отдельно для общей неосесимметричной задачи и осесим-
метричных задач в случаях трещин нормального отрыва (Mode I cracks) и сдвига
(Mode II, Mode III cracks). Решения указанных задач приведены в [2, 5, 38, 60 – 63, 66,
123, 139]
3.2.1. Общая неосесимметричная задача [63]. На берегах трещины заданы дополни-
тельные (по отношению к начальным напряжениям) поля нормальных растягивающих
и сдвиговых усилий, а граница полупространства свободна от усилий (рис. 13, а).
Граничные условия задачи имеют вид
33 ( , );Q r 3 ( , ) ;rQ r 3 ( , )Q r 30 , 0 ;r a y (3.51)
33 0;Q 3 0;rQ 3 0Q 30 ,r y h
(здесь и в дальнейшем 0 2 ).
Отметим, что в случае задачи о сжатии полупространства вдоль приповерхност-
ной трещины (рис. 13 б) граничные условия на берегах трещины (первая строчка в
(3.51)) имеют вид
33 0;Q 3 0;rQ 3 0Q 3(0 , 0).r a y
Дальнейшие выкладки будут приводиться только для случая равных корней ха-
рактеристического уравнения; в случае неравных корней выкладки производятся ана-
логично. Правые части в граничных условиях (3.51) представляются в виде рядов Фу-
рье по окружной координате
49
( )
0
, ( ) cos ;n
n
r r n
( )
0
, ( ) cos ;n
n
r r n
( )
1
, ( ) sinn
n
r r n
.
(3.52)
Используя представления общих решений линеаризированных уравнений равно-
весия через гармоничные потенциальные функции в виде (2.80), а также представляя
указанные потенциальные функции в ряды Фурье по окружной координате с коэффи-
циентами в виде интегральных разложений Ханкеля по радиальной координате, сво-
дим поставленную задачу отдельно для каждой гармоники по координате к шести
парным интегральным уравнениям (более подробно см. в [63])
1 2 11 2 1 2 ( ) ( )
1 1 1 1 1 3 1
440
1
,n n
n n n nn d A k cth A n C J r d r r
C
r a ;
1 2 11 2 1 2 ( ) ( )
1 1 1 1 1 3 1
440
1
,n n
n n n nn d A k cth A n C J r d r r
C
r a ;
( )
1 2
1 1 1
44 1 10
n
n n n
r
k cth A A J r d
C d l
, r a ; (3.53)
1 1
0
0nX J r d
, r a ; 2 1
0
0nX J r d
, r a ; 3
0
0nX J r d
,
r a
1 2 1
1 2 2 1 1 1 1 1 31 ( ) ( ) 1 cth ( ) 1 1 cth ;n n nX d l d l k A k A C
1 2 1
2 2 2 1 1 1 1 1 31 ( ) ( ) 1 cth 1 1 cth ;n n nX d l d l k A k A C (3.54)
1 2
3 2 2 1 1 1 1 12 1 ( ) ( ) 1 1 cth ;n nX d l d l k A k A 1 2
1 1n h ;
1 2 2 1 1( ) ( ) .k l l d d l
В дальнейшем предполагается, что 1n , поскольку осесимметричный случай
0n является особенным (для него количество парных уравнений сокращается до
четырех) и этот случай рассматривается в последующих подпунктах.
Используя метод подстановки [50], систему парных уравнений (3.53) сводим к
разрешающей системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода
1 1
1 2 1 11 2 12
0 0
1 1 2 2
, ,
2 2
sk q f sk q f f K d f K d
21
3 13 1
0 0
2 4
, sin ;f K d v d
0 , 1;
1 1
1 2 1 21 2 22
0 0
1 1 2 2
, ,
2 2
sk q f sk q f f K d f K d
21
3 23 2
0 0
2 4
, sin ,f K d v d
0 , 1; (3.55)
50
1 1
3 1 31 2 32
0 0
1 2 2
sk , ,
2
f f K d f K d
21
3 33
0 0
2 4
, sin ,f K d u d
0 , 1
2
1
44 0
1
( ) ;n nn nv a a d
C
2
44 0
1
( ) ( ) ;n nnv a a
C
(3.56)
1 2
11 2 1 21
1 1 2 2 1 1 3
44 1
( ) ; 1 ( ) ( ) ; .nnn
u a s n d d l d l q n
C l
Ядра интегральных уравнений (3.55) имеют вид
12 ,K
1 2 2
3 1
1 11 1 11 111 22 2
1111
8
sk 1 6 6
2 11
n n
n nn n
s b
nb S z nb n n z S z
k zz
2
2 1 11
11 11
4
1 3 1 n
b z
n z P z
2 2 1
21 11
1 11 1 11 3 132 2 1
11
2
sn 1
1
n n
n n nn n
b z
b S z b n P z qnb S z
z
2
1 1 1 1
1
, , 1 2 2 , 3 ,
1 2
n
n n
n s
skR b B b n n B b R b
n k
1 1 31 2 1 , , ,n ns n B b R b qR b и т.д.
1 2 2 2 2 2 2
11 1 21 12 ( 1, 3); ; ( ) 2 ; ( 1 ) 2 ;j jb n j h a z b z b
2 2 2 2 2 1 2
1( , ) ( ); , 2( ) ; ( ) ( 1) 4[ ( ) ( )];n
n n n nB b t b b t R b t b b t S z z Q z zQ z
2 1
1( ) ( 1) 4 ( ); ( ) функции Лежандра второго рода .n n nP z z Q z Q z
Из решения системы интегральных уравнений (3.55) можно получить выражения
для потенциальных функций, входящих в представления (2.80), и, следовательно, по-
лучить распределение напряжений и перемещений в материале. Анализируя асимпто-
тическое распределение напряжений в плоскости расположения трещины 3 0y , с
учетом выражений (2.88), получаем такие значения коэффициентов интенсивности
напряжений рассматриваемой неосесимметричной задачи:
1
44 1 1 3
1 0
1
sk cos ;
4I
n
K C l n a n f d
44 1 2
1
1
sk cos 1 1 ;
4II
n
K C a n f f
44 1 2
1
1
sin 1 1 ,
4III
n
K C q a n f f
(3.57)
где функции 1f , 2f , 3f определяются из решения системы (3.55).
51
Из (3.57) следует, что взаимное влияние трещины и свободной поверхности мате-
риала приводит к качественным изменений в асимптотическом распределении напря-
жений возле кончика трещины по сравнению со случаем изолированной трещины в
неограниченном материале. А именно, это приводит к ненулевым значениям коэффи-
циентов интенсивности напряжений IIK и IIIK при нагружении приповерхностной
трещины только нормальными растягивающими усилиями (т.е., когда ( , ) 0r ,
( , ) 0r , ( , ) 0)r (для изолированной трещины нормального отрыва в неогра-
ниченном теле имели (см. п.3.1.1) 0IK , 0IIK , 0IIIK ) и ненулевых значений IK
в случае, когда на берегах трещины действуют только касательные усилия
( ( , ) 0r , ( , ) 0r , ( , ) 0r ) (для такой силовой схемы в случае изолирован-
ной трещины в неограниченном теле имели (см. п. 3.1.2) 0IK , 0IIK , 0IIIK ).
Кроме того, из (3.57) следует, что все три коэффициента интенсивности напряжений
зависят от начальных напряжений, поскольку параметры 44 , , , , , ,i i iC s q k k l n , 1,2i ,
входящие в выражения (3.57) и в интегральные уравнения Фредгольма (3.55), зависят
от параметра начального удлинения (или укорочения) 1 , обусловленного действием
начальных напряжений 11 22
0 0S S .
Рассмотрим предельный случай расположения трещины, когда расстояние между
ней и границей полупространства стремится к бесконечности h ( ). Из
анализа выражений для ядер интегральных уравнений Фредгольма (3.55) следует, что
lim , 0ijK
.
Ограничимся случаем, когда трещина нагружена нормальными усилиями 1 1
( ( , ) 0,r ( , ) 0r ). Тогда из (3.55) имеем
1 2 0;f f
2
3
0
1 4
sk sin ;
2
f u d
lim .j jf f
Вводя замену переменных sin , получаем
2
3
0
8 1
sinf u d
sk
2
11 2 1 2
1 1
2 22
44 1 44 10 0
8 8 1 n
nn
n
a an d d n d
a a d
C l d sk C l d
.
Тогда из (3.57) получаем
1 11
2 2 2
0 00 0
2 cos
lim 2 cos ;
1
n na
I I n
n n
a t ta n
K K n d dt
aa a t
0;IIK 0IIIK .
Таким образом, при бесконечном удалении трещины от свободной поверхности
материала в пределе получаем значения КИН, которые полностью совпадают со зна-
чениями, полученными в неосесимметричной задаче о разрушении неограниченного
тела с начальными напряжениями, ослабленного изолированной дискообразной тре-
щиной (п. 3.1.1, формулы (3.23)).
Ниже приведены результаты численного расчета для некоторых высокоэластичес-
ких материалов [63]. Результаты даны для случая загружения берегов трещины нор-
мальной растягивающей нагрузкой вида
1( , ) cos .r (3.58)
52
Материал с потенциалом гармонического типа. На рис. 14, 15 и 16 приведены,
соответственно, зависимости отношений коэффициентов интенсивности напряжений
/I IK K , /II IK K и /III IK K от параметра 1 для разных значений относительного
расстояния между трещиной и границей полупространства /h a для значения
коэффициента Пуассона 0,3 . При этом IK – КИН, получаемый в неосесиммет-
ричной задаче о трещине нормального отрыва в бесконечном теле и определяемый из
выражения (3.23) с учетом (3.58), а именно:
1
1
cos
2IK a .
Рис. 14 Рис. 15
Как следует из рисунков, коэффициенты интен-
сивности напряжений существенно зависят от на-
чальных напряжений, причем влияние сжимающих
начальных напряжений выше, чем растягивающих.
Кривые имеют вертикальные асимптоты, соответст-
вующее эффекту «резонансного» характера, имею-
щему место при достижении начальными сжимаю-
щими напряжениями значений, при которых проис-
ходит локальная потеря устойчивости материала в
окрестности приповерхностной трещины (по сим-
метричной относительно плоскости расположения
трещины форме).
На рис. 17 для этого же материала приведена зависимость соотношения /I IK K
от безразмерного расстояния между трещиной и границей полупространства /h a
при 0,3 . Зависимости приведены для
значений 1 0,9 (начальное сжатие),
1 1,2 (начальное растяжение) и 1 1,0
(начальные напряжения отсутствуют). Ви-
дим, что взаимодействие трещины и свобод-
ной границы тела существенно возрастает
при уменьшении расстояния между ними.
Так, например, для 1 0,9 значение /I IK K
при 0,5 превышает соответствующее зна-
чение /I IK K при 2,0 в 1,7 раза. С дру-
гой стороны, при возрастании расстояния
между трещиной и границей полупростран-
Рис. 16
Рис. 17
53
ства указанное взаимное влияние быстро ослабевает, а соответствующие значения КИН
стремятся к значениям, получаемым для изолированной трещины в бесконечном теле.
С точностью, приемлемой для практических расчетов, взаимовлиянием между трещиной
и свободной поверхностью можно пренебрегать при расстоянии между ними, превы-
шающем 2 радиуса трещины.
Рис. 18 иллюстрирует зависимость /I IK K от па-
раметра начальных напряжений 1 для разных значе-
ний коэффициента Пуассона при 0,5 . Как вид-
но из рисунка, сжимаемость материала с потенциалом
гармонического типа, характеризуемая коэффициен-
том Пуассона, заметно влияет на значения КИН. На-
пример, при 1 0,95 , 0,5 значение /I IK K для
0,5 превышает значение /I IK K для 0,1 на
12%, а при 1 0,9 , 0,5 указанные величины от-
личаются в 2,2 раза.
Материал с потенциалом Бартенева – Хазановича.
На рис. 19 для этого материала приведена зависимость
0/I IK K ( 0
IK – коэффициент интенсивности напряжений
для трещины нормального отрыва при отсутствии на-
чальных напряжений), а на рис. 20, а, б, соответствен-
но, зависимости /I IK K и /III IK K от параметра 1
для разных значений относительного расстояния между
трещиной и свободной границей /h a . Как видно
из рисунков, для этого потенциала коэффициенты ин-
тенсивности напряжений также существенно зависят от
начальных напряжений и геометрических параметров
задачи (расстояния между трещиной и границей и ра-
диуса трещины). Приведенные на рис. 19, 20 кривые имеют вертикальные асимптоты,
которые соответствуют резкому возрастанию КИН при достижении начальными сжи-
мающими напряжениями значений, соответствующих потере устойчивости материала
в локальной области возле трещины при сжатии вдоль трещины.
а б
Рис. 20
Рис. 18
Рис. 19
54
3.2.2. Осесимметричная задача о трещине нормального отрыва [2, 5, 61, 123]. На
берегах трещины симметрично относительно плоскости ее расположения 3 0y прило-
жены нормальные напряжения интенсивности ( )r . Значения коэффициентов интен-
сивности напряжений, получаемых в этой задаче, для случая равных корней имеют вид
44 1 1 1 ;
2I
k
K C d l a f
1
1/2
44 1 1
0
;
2II
k
K C n d a g d 0,IIIK (3.59)
где функции f и g определяются из решения системы интегральных уравнений
Фредгольма:
1 1 /2
11 12
0 0 0
4 4 4
, , sin ;f f K d g K d s d
k k k
(3.60)
1 1
21 22
0 0
4 4
, , 0;g f K d g K d
k k
44 1 1
( )
.
a
s
C d l
Ядра интегральных уравнений (3.60) имеют вид
2
1
11 1 1 1 2 1 3 1, 2 , 2 , 2 , ;
2
k
K I I I
k
2
11
12 2 1 2 1, 2 , 2 ,1 ;K I I
k
2
1
21 4 1, 2 , ;K I
k
(3.61)
1 1
22 1 1 1 1 1 2 1 2 1, 2 , 2 ,1 2 , 2 ,1
2
k
K I I I I
2
11
3 1 3 12 , 2 , 1 ,I I
k
где
12
1 , 2 ( 1) ;I
1
2 1 1, , 4 , ;I I I
2 2 1
3 1 1, 4 , 2 3 1 , 3 ;I I I
2 2 2 2 2
4 1 1 1
4
, 12 , 16 ( 1) , (3 1) , ;I I I I
12 2 2( ) 2 ; 1 2
1 1n .
Из (3.60) видим, что взаимодействие трещины со свободной поверхностью мате-
риала приводит к ненулевому значению IIK в задаче о трещине нормального отрыва
(для неограниченного тела с начальными напряжениями, содержащего изолирован-
ную трещину нормального отрыва, как следует из (3.38), 0IIK ). Следует отметить,
что аналогичный механический эффект был установлен и в соответствующей задаче
механики разрушения материалов без начальных напряжений [135]. Кроме того, оба
КИН IK и IIK зависят от начальных напряжений и от расстояния между трещиной и
границей полупространства, поскольку значения функций ( )f и ( )g , получаемые
из уравнений (3.60), зависят от этих параметров.
55
Характер указанных зависимостей продемонстрируем на примере численных рас-
четов для конкретных материалов. Результаты приводятся для случая равномерного
нормального нагружения на берегах трещины ( ) const .r
Материал с потенциалом Трелоара. На рис. 21, а, б приведены, соответственно,
зависимости отношений /I IK K и /II IK K ( IK – КИН для трещины нормального
отрыва в бесконечном теле, который не зависит от начальных напряжений) от пара-
метра 1 для разных значений безразмерного расстояния между трещиной и границей
тела /h a . Из рисунков видно, что КИН IK и IIK существенно зависят от на-
чальных напряжений. Приведенные кривые в области сжимающих начальных напря-
жений ( 1 1 ) имеют вертикальные асимптоты, соответствующие эффекту «резо-
нансного» характера, имеющему место при достижении начальными сжимающими
напряжениями (и, соответственно, параметром начального сжатия 1 1 ) критиче-
ских значений, при которых происходит локальная потеря устойчивости при сжатии
(по симметричной относительно плоскости расположения трещины форме). Это явле-
ние позволяет в соответствии с объединенным подходом определять указанные кри-
тические параметры сжатия.
а б
Рис. 21
Таблица 1
/h a
0,1 0,25 0,5 0,75 1,0 2,0 5,0 10,0
1 0,9
–
–
–
–
–
–
3,0238
1,5481
1,7378
0,4526
1,1332
0,0485
1,0115
0,0018
1,0015
0,0001
1 1,0
8,4045
5,1692
3,0817
1,2098
1,7374
0,3609
1,3770
0,1592
1,2223
0,0816
1,0482
0,0109
1,0040
0,0004
1,0005
0,0000
1 1,2
2,2809
0,2219
1,5696
0,1186
1,2459
0,0523
1,1288
0,0248
1,0744
0,0125
1,0146
0,0015
1,0011
0,0001
1,0001
0,0000
В табл. 1 приведены значения /I IK K (верхние числа в ячейках) и /II IK K
(нижние числа в ячейках) для разных значений безразмерного расстояния между тре-
щиной и границей полупространства, нормированного на радиус трещины, и для зна-
чений параметра 1 0,9 (начальные сжимающие напряжения), 1 1,0 (начальные
напряжения отсутствуют) и 1 1,2 (начальные растягивающие напряжения). Как
видим, взаимовлияние трещины и свободной границы приводит к увеличению значе-
ний КИН по сравнению со значениями, получаемыми для трещины нормального от-
рыва в неограниченном теле. В то же время, при возрастании указанного расстояния
взаимное влияние трещины и границы тела достаточно быстро ослабевает , а значения
56
КИН стремятся к значениям, полученным в задаче для тела с изолированной трещи-
ной. Отметим, что указанные зависимости аналогичны полученным при исследовании
задачи о приповерхностной трещине, параллельной свободной поверхности полуог-
раниченного материала без начальных напряжений (см. стр. 225, 226 в [135]).
Слоистый двухкомпонентный композит с изотропными шарами. Как было указано
в п. 2.2, при континуальном подходе такой композит моделируется трансверсально-
изотропной средой с приведенными макрохарактеристиками. Зависимости соотноше-
ния КИН /I IK K от отношения приведенных модулей упругости слоев (1) (2)/E E с
одинаковыми коэффициентами Пуассона (1) (2) 0,3 и при коэффициенте объемной
концентрации компонента с модулем упругости (1)E 1 0,3c приведены на рис. 22, а.
Линии 1, 2 и 3 (а также 1', 2' и 3') построены, соответственно, для значений 1 0,99
(сжимающие начальные напряжения), 1 1,0 (отсутствие начальных напряжений) и
1 1,05 (растягивающие начальные напряжения). При этом сплошные линии соот-
ветствуют значению 0,25 , а штриховые – 0,5 . Значения /I IK K монотонно
уменьшаются при возрастании отношения (1) (2)/E E , причем это уменьшение является
весьма существенным. Так, например, изменение отношения модулей упругости слоев
от 1 до 30 (при 1 1,05 и 0,25 ) приводит к уменьшению отношения /I IK K на
34 %. Кроме того, из рисунка следует, что меньшему значению расстояния между
трещиной и границей соответствует большее значение /I IK K .
а б
Рис. 22
Для композита с одинаковыми коэффициентами Пуассона материалов слоев
(1) (2) зависимости /I IK K от приведены на рис. 22 б (при (1) (2)/ 3E E и
1 0,3c ). Сплошные линии 1, 2 и 3 соответствуют 0,25 , а штриховые линии 1', 2'
и 3' – 0,5 . При этом линии 1 и 1' соответствуют значениям 1 0,99 , линии 2 и 2'
– 1 1,0 , линии 3 и 3' – 1 1,1 .
3.2.3. Осесимметричная задача о трещине радиального сдвига [60 – 62, 122, 123,
139]. На берегах трещины антисимметрично относительно плоскости ее расположения
3 0y приложены касательные радиальные напряжения интенсивности ( )r . Коэф-
фициенты интенсивности напряжений в этом случае представляются выражениями
(3.59), а функции f и g определяются из решения системы интегральных уравнений
вида
57
1 1
11 12
0 0
4 4
, , 0;f f K d g K d
k k
(3.62)
1 1 /2
21 22
0 0 0
4 4 4
, , sing f K d g K d q d
k k k
,
где 1/2
44 1 1( ) ( )q a C n d , а ядра имеют вид (3.61).
В этой задаче эффект взаимовлияния трещины и свободной поверхности материала
также приводит к новому механическому эффекту – ненулевому значению коэффици-
ента интенсивности напряжений IK (в задаче об изолированной трещине радиального
сдвига в предварительно напряженном неограниченном теле имели ((3.42)) 0IK ).
Ниже приведены результаты расчетов для неко-
торых типов материалов в случае действия на бере-
гах трещины равномерной сдвиговой нагрузки
( ) constr . Отметим, что в п. 1.4 для данной
задачи приведены (рис. 6) и проанализированы за-
висимости коэффициентов интенсивности напря-
жений от параметров начальных напряжений для
материала с потенциалом Трелоара. На рис. 23 для
этого же материала показана зависимость отноше-
ния /II IIK K (где IIK КИН, соответствующий изо-
лированной трещине радиального сдвига в предва-
рительно напряженном неограниченном теле и оп-
ределяемый из (3.42)) от нормированного расстоя-
ния между трещиной и границей полупространства для разных значений 1 . Как
видим, влияние свободной поверхности материала обусловливает возрастание значе-
ний КИН по сравнению со случаем трещины радиального сдвига в бесконечном мате-
риале как в случае наличия в материале начальных сжимающих ( 1 0,9 ) и растяги-
вающих ( 1 1,1 ) напряжений, так и в случае отсутствия начальных напряжений
( 1 1,0 ).
Материал с потенциалом Бартенева – Хазано-
вича. На рис. 24 для этого потенциала приведена
зависимость отношения /II IIK K от параметра 1
для разных значений , подтверждающая сущест-
венное влияние начальных напряжений на асим-
птотическое распределение напряжений в окрест-
ности трещины. Кривые имеют вертикальные
асимптоты, соответствующие эффекту «резонанс-
ного» характера, имеющему место при достижении
начальными сжимающими напряжениями значе-
ний, при которых происходит локальная потеря
устойчивости материала возле трещины (по анти-
симметричной или изгибной относительно плоскости расположения трещины форме).
Следует при этом заметить, что для указанного материала, а также для материала с
потенциалом Трелоара критические значения сжимающих усилий для изгибной фор-
мы потери устойчивости, получаемые из решения задачи о трещине радиального от-
рыва, совпадают с критическими значениями сжимающих усилий для симметричной
формы потери устойчивости, получаемыми из решения задачи о трещине нормально-
го отрыва (см. п. 3.2.2).
Рис. 23
Рис. 24
58
Композит со стохастическим армированием
в плоскости 3 consty короткими волокнами эл-
липсоидальной формы. При континуальном под-
ходе такой композит моделируется трансверсаль-
но-изотропным телом с приведенными макроха-
рактеристиками (см. п. 2.2). Результаты на рис. 25
даны для углепластикового связующего со стохас-
тическим армированием эллиптическими угле-
родными волокнами при объемной концентрации
волокон 1 0,7c . Как видно из рисунка, значения
/II IIK K существенно зависят от начальных на-
пряжений и асимптотически стремятся к бесконечности при приближении параметра
1 к значениям, соответствующим локальной потери устойчивости полупространства
с приповерхностной трещиной для этого материала. Кроме того, на значения КИН
заметно влияет расстояние между трещиной и свободной границей. Так, для значений
1 0,98 величины /II IIK K отличаются для 0,25 и 1,0 почти в два раза.
3.2.4. Трещина кручения [38, 66, 123]. К поверхности трещины приложена анти-
симметрично относительно плоскости 3 0y касательная окружная нагрузка интен-
сивности ( )r . Коэффициенты интенсивности напряжений в этом случае определя-
ются выражениями
0;IK 0;IIK
1
1 2
44 3
0
1
( ) ,
2IIIK C n a f d (3.63)
при этом функция f определяется из решения интегрального уравнение Фредгольма
второго рода вида
1 /2
0 0
1 4
, ( sin ) ;f f K d q d
1 2
44 3
a
q
C n
(3.64)
с ядром 1
1 3 1 3, 2 (2 , ) (2 ,1)K I I , где 1 2
3 3n , а выражение для 1I
дано в (3.61).
В предельном случае расположения трещины кручения, когда расстояние между
ней и границей полупространства стремится к бесконечности, из (3.63) с учетом (3.64)
получаем такое выражения для IIIK :
2
2 2
0
( )2 a
III
t t dt
K
a a a t
, (3.65)
которое совпадает с результатом, полученным в [135] для линейно-упругого тела без
начальных напряжений.
Ниже приведены результаты для некоторых типов материалов при действии на
берегах трещины нагрузки вида ( ) constr .
Материал с потенциалом Бартенева – Хазановича. На рис. 26, а, б приведены за-
висимости отношения /III IIIK K (где IIIK определяется из (3.65)), соответственно от
параметра 1 и от безразмерного расстояния между трещиной и границей /h a .
Как видно из этих рисунков, начальные напряжения существенно влияют на зна-
чения КИН продольного сдвига. В то же время, в отличие от случаев трещин нор-
мального отрыва и радиального сдвига, рассмотренных выше, в случае трещины кру-
чения отсутствуют эффекты «резонансного» характера. Это свидетельствует об отсут-
Рис. 25
59
а б
Рис. 26
ствии форм локальной потери устойчивости материала с потенциалом Бартенева –
Хазановича в окрестности трещины при сжатии, соответствующих трещине кручения.
Также влияние близко расположенной свободной границы тела обуславливает возрас-
тание значений КИН по сравнению со случаем изолированной трещины. Так, для
1 0,9 при расстоянии между трещиной и границей полупространства, составляю-
щем 1/16 радиуса трещины, соответствующее значение IIIK превышает значении
IIIK в 1,92 раза. С другой стороны, при возрастании расстояния между трещиной и
границей полупространства указанное взаимовлияние быстро ослабевает и при рас-
стояниях, составляющих более 2 радиусов трещины, им при инженерных расчетах
можно пренебрегать.
а б
Рис. 27
Слоистый двухкомпонентный композит с изотропными слоями. На рис. 27, а
приведены зависимости /III IIIK K от параметра начальных напряжений 1 для разных
значений /h a при соотношении модулей упругости слоев (1) (2)/ 4E E с одина-
ковыми коэффициентами Пуассона (1) (2) 0,3 и при коэффициенте концентра-
ции слоя с модулем упругости (1)E , равном 1 0,3c . Характер указанной зависимости
аналогичен полученному для материала с потенциалом Бартенева – Хазановича. На
рис. 27 б для этого материала приведены зависимости /III IIIK K от отношения моду-
лей упругости слоев (1) (2)/E E для значений 1 0,97 , 1 1,0 и 1 1,1 . При этом
сплошные линии соответствуют значению 0,25 , а штриховые – 0,5 .
60
3.2.5. Критические параметры нагружения при сжатии вдоль приповерхностной
трещины. В подпунктах 3.2.1 – 3.2.3 на примере материалов с различными видами
упругих потенциалов и композитов показано, что в случае неосесимметричного и осе-
симметричного нагружения приповерхностных трещин нормального отрыва и ради-
ального сдвига при достижении начальными сжимающими напряжениями определен-
ных критических значений наблюдаются эффекты «резонансного» характера в асим-
птотическом распределении напряжений в окрестности трещин, приводящие к резко-
му возрастанию значений коэффициентов интенсивности напряжений. При этом зна-
чения параметров начального сжатия, при которых наблюдается указанный «резонан-
соподобный» рост значений КИН, для случаев трещин нормального отрыва и ради-
ального сдвига совпадают. Это явление, согласно объединенному подходу, изложен-
ному в п. 1.4, позволяет определять критические (предельные) значения сжимающих
усилий, при которых происходит локальная потеря устойчивости материала (по не-
осесимметричной или осесимметричной моде) в окрестности приповерхностной тре-
щины в условиях сжатия вдоль трещин (рис. 13, б). В то же время в задаче о кручении
тела с приповерхностной трещиной указанные «резонансоподобные» явления не на-
блюдаются, что свидетельствует об отсутствии формы потери устойчивости материа-
ла при сжатии, которая бы соответствовала задаче о трещине кручения.
На рис. 28 и 29 приведены зависимости получен-
ных по указанной методике относительных критиче-
ских (предельных) параметров укорочения 1 11
от относительного расстояния между трещиной и
границей полупространства , соответственно, для
материалов с потенциалом Бартенева – Хазановича и
гармонического типа.
Сплошными линиями показаны результаты для
осесимметричной моды потери устойчивости ( 0n ),
а штриховыми – для неосесимметричной моды потери
устойчивости материала в окрестности приповерхно-
стной трещины (первая гармоника по угловой коорди-
нате, 1n ). Из рисунков следует, что взаимное влия-
ние трещины и границы полупространства приводит к
существенному уменьшению значений критических
(предельных) параметров укорочения и, соответствен-
но, критических (предельных) напряжений сжатия по
сравнению со случаем одной изолированной трещины
в бесконечном материале (см. п. 3.1) (для этого случая
для потенциала Бартенева – Хазановича критические
параметры сжатия составляют *
1 0,307 , а для по-
тенциала гармонического типа вычисляются по фор-
муле *
1 1 2 (осесимметричная мода потери ус-
тойчивости) и *
1 (1 ) / 2 (неосесимметричная мода
потери устойчивости)). В то же время при росте рас-
стояния между трещиной и границей полупространст-
ва это влияние ослабевает, а соответствующие крити-
ческие параметры стремятся к значениям, полученным
для случая одной трещины в пространстве.
На рис. 30 показано влияние объемной концентра-
ции стекла 1c на критическое значение напряжения
сжатия, отнесенного к приведенному модулю упруго-
сти E , для слоистого двухкомпонентного композита с
изотропными слоями (композиция слоев алюмоборо-
Рис. 28
Рис. 29
Рис. 30
61
силикатного стекла и эпоксидномалеиновой смолы)
для значения 0,25 . На рис. 31 приведены зависи-
мости относительных критических параметров укоро-
чения 1 11 от для композитного материала со
стохастическим армированием в плоскости изотро-
пии короткими волокнами эллипсоидальной формы
(углепластик, армированный углеродными волокнами
с концентрацией волокон 1 0,7c ).
Из анализа полученных результатов следует, что
для всех рассмотренных материалов, кроме материала
с потенциалом гармонического типа, реализуется осе-
симметричная мода потеря устойчивости ( 0n ). Для
материала с гармоничным потенциалом при 1,5 реализуется неосесимметричная
мода потери устойчивости, что может быть объяснено тем, что, как известно [24], для
этого потенциала реализуется неосесимметричная мода поверхностной неустойчивости,
а при больших значениях критические (предельные) параметры сжатия в задаче о
приповерхностной трещине переходят в значения, соответствующие поверхностной
потере устойчивости полупространства без трещины. Также из приведенных результа-
тов численных расчетов видим, что критические (предельные) параметры сжатия зави-
сят от механических характеристик материала и геометрических параметров задачи.
3.2.6. Выводы. Из исследования задачи о приповерхностной круговой трещине в
предварительно напряженном материале следует, что взаимовлияние трещины и сво-
бодной поверхности материала приводит к ряду новых механических эффектов. В
частности, для всех рассмотренных типов трещин (трещина нормального отрыва, ра-
диального сдвига и кручения) для неосесимметричных и осесимметричных постано-
вок задач коэффициенты интенсивности напряжений существенно зависят от началь-
ных напряжений. В этом проявляется отличие рассмотренных в разделе задач для по-
луограниченного тела с приповерхностной трещиной от задач для неограниченного
тела с изолированной трещиной (п. 3.1.1), в которых коэффициенты интенсивности
напряжений не зависели от начальных напряжений (за исключением общей неосе-
симметричной задачи о трещине сдвига), а влияние этих напряжений проявлялось в
зависимости от них величин раскрытия трещин.
При этом в случае действия на берегах трещины нормальной и радиальной сдви-
говой нагрузок происходит «резонансоподобное» изменение значений коэффициен-
тов интенсивности напряжений при приближении начальных сжимающих усилий к
значениям, соответствующим локальной потере устойчивости материала в окрестно-
сти трещины. Вместе с тем, в случае нагрузки берегов трещины усилиями кручения,
указанные «резонансоподобные» явления не наблюдаются, что свидетельствует об
отсутствии форм потери устойчивости, соответствующих задаче кручения.
Кроме того, взаимодействие трещины и границы полупространства обуславливает
отличие от нуля КИН поперечного сдвига в задачах о трещине под действием нор-
мальной нагрузки, а также ненулевые значения КИН нормального отрыва в задаче о
трещине под действием радиальной сдвиговой нагрузки. Следует отметить, что по-
следний эффект является аналогичным обнаруженному при исследовании задачи о
полупространстве с приповерхностной трещиной в рамках классической механики
разрушения материалов без начальных напряжений [135].
При малых относительных расстояниях между трещиной и границей полупро-
странства количественно взаимовлияние трещины и свободной границы проявляется
в увеличении значений коэффициентов интенсивности напряжений по сравнению со
значениями КИН для изолированной трещины в неограниченном теле. При увеличе-
нии относительного расстояния между трещинами взаимное влияние трещины и гра-
ницы тела достаточно быстро ослабевает, а соответствующие значения КИН стремят-
ся к значениям, полученным в задаче для тела с изолированной трещиной. Отметим,
что эти эффекты также аналогичны полученным в соответствующих задачах для ма-
териалов без начальных напряжений [135].
Рис. 31
62
На основе анализа «резонансоподобного» изменения коэффициентов интенсивно-
сти напряжений, полученных при решении задач механики разрушения материалов с
начальными напряжениями для трещины нормального отрыва и поперечного сдвига,
при приближении начальных сжимающих усилий к значениям, соответствующим
локальной потере устойчивости материала в окрестности трещины, для отдельных
моделей материалов определены критические (предельные) параметры сжатия при
сжатии полупространства усилиями, направленными вдоль приповерхностной тре-
щины. Показано, что для всех рассмотренных материалов, кроме материала с упругим
потенциалом гармонического типа, потеря устойчивости при сжатии происходит по
осесимметричной моде.
3.3. Две параллельные соосные дискообразные трещины в неограниченном теле.
Рассматривается неограниченное предварительно напряженное упругое тело с двумя
круговыми трещинами одинакового радиуса a , размещенными в параллельных плос-
костях 3 0y и 3 2y h с центрами на оси 3Oy (рис. 32). Поверхности трещин за-
гружены дополнительными (по отношению к начальным напряжениям 11 22
0 0S S )
взаимоуравновешенными усилиями, соответствующими трещинам мод I, II или III,
(рис. 32, а), либо свободны от напряжений (для задачи о сжатии материала вдоль трещин,
рис. 32, б). В силу симметрии (антисимметрии) геометрической и силовой схем задач
относительно плоскости 3y h , являющейся равноудаленной от трещин, постанов-
ку задач можно переформулировать для полупространства 3y h с одной трещи-
ной; однако в этом случае, в отличие от задач, рассмотренных в п. 3.2, на границе по-
лупространства формулируются соответствующие смешанные граничные условия.
а б
Рис. 32
Решению задач для двух параллельных соосных трещин в телах с начальными на-
пряжениями посвящены публикации [4, 7, 8, 62, 72, 123].
3.3.1. Неосесимметричная задача [8]. Поверхности трещин загружены нормаль-
ными растягивающими усилиями одинаковой интенсивности ( , )r . Как было ука-
зано выше, в этом случае постановку задачи переформулируют к эквивалентной по-
становке для полупространства 3y h с трещиной, расположенной в плоскости
3 0y . Смешанные граничные условия на берегах трещины и границе полупростран-
ства имеют вид:
33 ( , ) ;Q r 3 0;rQ 3 0Q 3(0 , 0);r a y
3 0;u 3 0;rQ 3 0Q 30 ,r y h .
63
С использованием представлений общих решений линеаризированных уравнений
равновесия через гармоничные потенциальные функции в виде (2.77), (2.80), а также
представляя указанные потенциальные функции в ряды Фурье по окружной коорди-
нате с коэффициентами в виде интегральных разложений Ханкеля по радиальной ко-
ординате и разложение функции ( , )r в ряд Фурье вида (3.52), поставленную зада-
чу отдельно для каждой гармоники по координате приводят к системе парных ин-
тегральных уравнений, а затем к системе интегральных уравнений Фредгольма второ-
го рода (более подробно см. в [8]), которые для случая неравных корней в безразмер-
ной форме (когда все величины нормированы на радиус трещин a ) имеют вид:
1
1 1 1 2 1 11
0
1 1 2
,
2 2
sk k q f sk k q f f K d
1 1
2 12 3 13
0 0
2 2
, , 0;f K d f K d
1 1 1 2
1 1
2 2
sk k q f sk k q f
1 1 1
1 21 2 22 3 23
0 0 0
2 2 2
, , , 0;f K d f K d f K d
1
2 3 1 31
0
1 2
,
2
sk k f f K d
21 1
2 32 3 33
0 0 0
2 2 4
, , sinf K d f K d u d
1 44 2( ) ( ) ( ) ,nnu k C k a 11 2
2 2 2 2 1 11 ( ) ( )s n d d l d l
, 1 2
3q n , а 1k , 2k и k
определяются из (3.9) .
При этом коэффициенты интенсивности напряжений определяются соотноше-
ниями
1
44 3
01 0
1
cos ;
4I
n
k
K C s a n f d
k
44 1 2
01
1
cos 1 1
4II
n
k
K C s a n f f
k
;
(3.66)
44 1 2
0
1
sin 1 1
4III
n
K C q a n f f
.
Как следует из (3.66), взаимовлияние двух параллельных трещин приводит к ка-
чественным изменений в асимптотическом распределении напряжений возле кончика
трещины по сравнению со случаем изолированной трещины в неограниченном мате-
риале, а именно, к ненулевым значениям коэффициентов интенсивности напряжений
IIK и IIIK при нагружении приповерхностной трещины только нормальными растя-
гивающими усилиями. Кроме того, все три КИН зависят от начальных напряжений,
поскольку параметры, входящие в выражения (3.66) и в интегральные уравнения
Фредгольма, зависят от параметра начального удлинения (или укорочения) 1 , обу-
словленного действием начальных напряжений 11 22
0 0S S .
64
3.3.2. Осесимметричная задача о трещинах нормального отрыва [4, 62, 72, 123].
На берегах трещин симметрично относительно плоскостей их расположения прило-
жены нормальные напряжения интенсивности ( )r . Значения коэффициентов интен-
сивности напряжений, получаемых в этой задаче, для случая неравных корней имеют
вид
44 2 2
1
(1);
2IK C d l a f
1
1 2
44 2 2
0
1
;
2IIK C d n a g d 0IIIK , (3.67)
где функции f и g определяются из системы интегральных уравнений Фредгольма
второго рода
1 1 /2
11 12
0 0 0
2 2 4
, , sin ;f f K d g K d s d
k k
1 1
21 22
0 0
2 2
, , 0;g f K d g K d
k k
44 2 2
;
a
s
C d l
(3.68)
с ядрами
11 1 1 1 2 1 2, 2 , 2 , ;K k I k I
1
12 1 0 1 0 2 0 1 0 2, (2 ,1) (2 ,1) (2 , ) (2 , ) ;K k I I I I
21 2 2 1 2 2, 2 , 2 , ;K k I I (3.69)
1
22 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1, (2 , 1) (2 , 1) (2 , ) (2 , )K k I k I k I k I
1 2
i in ( 1, 2);i 0 0,25ln ( 1) ( 1)I , а , 1I , 2 определяются из (3.61) .I
Из (3.67) видим, что взаимодействие трещин между собой приводит к ненулевому
значению IIK в задаче о трещинах нормального отрыва (для неограниченного тела с
начальными напряжениями, содержащего изолированную трещину нормального от-
рыва, как следует из (3.38), 0IIK ) (отметим, что аналогичный эффект был установ-
лен и при исследовании осесимметричной задачи о двух параллельных соосных тре-
щинах нормального отрыва в теле без начальных напряжений [135]). Кроме того, оба
КИН IK и IIK зависят от начальных напряжений и от расстояния между трещинами,
поскольку значения функций ( )f и ( )g , получаемые из уравнений (3.68), зависят
от этих параметров.
Характер указанных зависимостей продемонстрируем на примере численных рас-
четов для конкретных материалов. Результаты приводятся для случая равномерного
нормального нагружения на берегах трещин ( ) const .r
Материал с потенциалом Бартенева – Хазановича. На рис. 33, а, б приведены,
соответственно, зависимости отношений /I IK K и /II IK K (где IK – КИН для
трещины нормального отрыва в бесконечном теле, который не зависит от начальных
напряжений) от параметра 1 для разных значений безразмерного полурасстояния
между трещинами /h a . Из рисунков видно, что КИН IK и IIK существенно за-
висят от начальных напряжений. Приведенные на рис. 33, б кривые имеют вертикаль-
ные асимптоты, соответствующие эффекту «резонансного» характера, имеющему
место при достижении начальными сжимающими напряжениями (и, соответственно,
параметром начального сжатия 1 1 ) значений, при которых происходит локальная
потеря устойчивости материала (по симметричной относительно равноудаленной от
трещин плоскости 3y h форме) в окрестности трещин при сжатии вдоль трещин.
65
а б
Рис. 33
а б
Рис. 34
Материал с потенциалом Трелоара. Рис. 34 иллюстрирует зависимость, соответ-
ственно, отношений /I IK K и /II IK K от безразмерного полурасстояния между
трещинами и свидетельствует о том, что взаимовлияние трещин между собой приво-
дит к заметному уменьшению значений КИН по сравнению со случаем трещины нор-
мального отрыва в бесконечном теле как при наличии в материале начальных сжи-
мающих ( 1 0,8 , 1 0,9 ) или растягивающих ( 1 1,1 , 1 1,2 ) напряжений, так и
при отсутствии начальных напряжений ( 1 1,0 ). Так, например, для 1 0,8 значе-
ние IK для случая двух параллельных трещин при расстоянии между ними, состав-
ляющем четверть радиуса трещин, меньше значения IK на 40%. В то же время с уве-
личением расстояния между трещинами их взаимовлияние достаточно быстро осла-
бевает и при 4 (т.е. при расстоянии между трещинами, превышающем 8 радиусов
трещин) им можно при практических расчетах пренебрегать, поскольку при этом зна-
чения IK отличаются для всех исследованных значений 1 от значений IK менее,
чем на 2%, а значения IIK практически равны нулю. Заметим, что аналогичный эф-
фект снижения значения IK вследствие взаимо-
влияния трещин был установлен и при рассмотре-
нии задач для двух параллельных соосных трещин
в материале без начальных напряжений [50].
Слоистый двухкомпонентный композит с изо-
тропными слоями. Для композиции слоев алюмо-
боросиликатного стекла со слоями эпоксидномалеи-
новой смолы (см. п. 2.2) на рис. 35 дана зависимость
отношения /I IK K от коэффициента концентрации
стекла 1c для разных значений параметра началь-
Рис. 35
66
ных напряжений 1 , свидетельствующая о влиянии начальных напряжений и физико-
механических характеристик композита на значения КИН.
3.3.3. Осесимметричная задача о трещинах радиального сдвига [62, 123]. На бе-
регах трещин антисимметрично относительно плоскостей их расположения 3 0y и
3 2y h приложены касательные радиальные напряжения интенсивности ( )r . Ко-
эффициенты интенсивности напряжений в этом случае имеют вид (3.67), а функции
f и g определяются из решения системы интегральных уравнений вида:
1 1
11 12
0 0
2 2
, , 0;f f K d g K d
k k
1 1 /2
21 22
0 0 0
2 2 4
, , ( sin ) ;g f K d g K d p d
k k
1 2
44 2 2
,
a
p
C n d
(3.70)
где ядра имеют вид (3.69).
В этой задаче эффект взаимовлияния трещин между собой также приводит к но-
вому механическому эффекту – ненулевому значению коэффициента интенсивности
напряжений IK (в задаче об изолированной трещине радиального сдвига в предвари-
тельно напряженном неограниченном теле имели (см. (3.42)) 0IK ).
а б
Рис. 36
В качестве примера приводятся результаты расчетов для материала с упругим
потенциалом Бартенева – Хазановича при действии на берегах трещин равномерной
сдвиговой нагрузки ( ) constr . На рис. 36, а, б приведены, соответственно, зави-
симости отношений /II IIK K и /I IIK K (где IIK – КИН для трещины радиального
сдвига в неограниченном теле, не зависящий от начальных напряжений) от параметра
1 для разных значений безразмерного полурасстояния между трещинами /h a .
Рисунки демонстрируют существенное влияние начальных напряжений на величины
КИН. При этом в области сжимающих начальных напряжений ( 1 0 ) кривые имеют
вертикальные асимптоты, соответствующие эффекту «резонансного» характера,
имеющему место при стремлении величин начальных сжимающих напряжений к зна-
чениям, при которых происходит локальная потеря устойчивости материала в окрест-
ности трещин (по антисимметричной относительно плоскости 3y h или изгибной
форме) при сжатии направленными вдоль трещин усилиями. Отметим при этом, что
полученные таким образом критические (предельные) значения параметров сжатия
67
1 1 для антисимметричной (изгибной) формы потери устойчивости являются
большими (а критические (предельные) сжимающие напряжения, соответственно,
меньшими), чем полученные в п. 3.3.2 (см. рис. 33) критические значения для сим-
метричной формы потери устойчивости.
Аналогичные зависимости отношений коэффициентов интенсивности напряжений
/II IIK K и /I IIK K от параметра начальных напряжений 1 были получены в [123] и
для материала с потенциалом Трелоара.
3.3.4. Трещины под действием усилий кручения [7, 123]. К поверхностям трещин
приложены антисимметрично относительно плоскостей их расположения тангенци-
альные крутящие напряжения интенсивности ( )r . Коэффициенты интенсивности
напряжений в этом случае определяются выражениями
0;IK 0;IIK
1
1 2
44 3
0
1
( )
2IIIK C n a f d , (3.71)
при этом функция f вычисляется из решения интегрального уравнение Фредгольма
второго рода в виде:
1 /2
0 0
1 4
, ( sin ) ,f f K d q d
(3.72)
где
1 2
44 3
a
q
C n
с ядром
2
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
1 1
, 8 ;
(4 ) 4 (4 1) 4
K
1 2
3 3 .n
Ниже приведены результаты численных расчетов для некоторых типов материа-
лов при действии на берегах трещины нагрузки вида ( ) const .r
Материал с потенциалом Бартенева – Хазано-
вича. На рис. 37 даны зависимости соотношений
КИН /III IIIK K от параметра начальных напряжений
1 для разных значений , свидетельствующие о
существенном влиянии начальных напряжений на
коэффициент интенсивности напряжений IIIK . Од-
нако при этом эффектов «резонансоподобного»
изменения КИН, в отличие от задач для трещин нор-
мального отрыва и радиального сдвига, не проис-
ходит, поскольку, очевидно, при сжатии материала
с двумя параллельными трещинами отсутствует
форма потери устойчивости, соответствующая за-
даче кручения.
Материал с потенциалом Трелоара. Рис. 38 ил-
люстрирует для этого материала влияние на величи-
ну КИН относительного полурасстояния между тре-
щинами, нормированного на радиус трещин. Из ри-
сунка видим, что взаимодействие двух параллельных
соосных трещин кручения приводит к уменьшению
IIIK по сравнению со значением IIIK для случая
наличия в теле одной изолированной трещины, т.е. к
определенному «упрочнению» тела. Следует отме-
тить, что подобный характер взаимного влияния
Рис. 37
Рис. 38
68
двух трещин кручения был обнаружен ранее [142] при исследовании аналогичной зада-
чи для материала без начальных напряжений. При возрастании расстояния между тре-
щинами указанное взаимовлияние постепенно уменьшается и при расстояниях между
трещинами, составляющих восемь и более радиусов трещин, при практических расче-
тах можно пренебрегать.
3.3.5. Критические параметры нагружения при сжатии вдоль двух параллельных
соосных трещин. Согласно объединенному подходу, изложенному в п. 1.4, критические
(предельные) параметры сжатия, соответствующие локальной потере устойчивости
материала при сжатии вдоль двух параллельных соосных трещин (рис. 32, б), опреде-
ляются из решений рассмотренных выше неоднородных задач для материала с на-
чальными напряжениями, содержащего две параллельные соосные трещины, как зна-
чения начальных сжимающих напряжений, при достижении которых происходит рез-
кое «резонансное» изменение значений коэффициентов интенсивности напряжений.
Так, из результатов, полученных в п. 3.3.2 при исследовании задачи для тела с
трещинами нормального отрыва, можно определить критические параметры сжатия,
соответствующие симметричной форме потери устойчивости материала в локальной
области возле трещин. Аналогично, из численных результатов, полученных в п. 3.3.3
при исследовании задачи для тела с трещинами радиального сдвига, определяются
критические параметры сжатия, соответствующие антисимметричной (изгибной)
форме локальной потери устойчивости материала при сжатии вдоль двух параллель-
ных трещин. Вместе с тем, в п. 3.3.4 было показано отсутствие «резонансных» эффек-
тов при исследовании задачи о двух трещинах кручения, что свидетельствует об от-
сутствии на практике для указанной геометрической схемы размещения трещин фор-
мы потери устойчивости, соответствующей задаче кручения.
В табл. 2 для материала с потенциалом Бартенева – Хазановича приведены зна-
чения относительных критических (предельных) параметров укорочения 1 11 ,
при которых происходит локальная потеря устойчивости материала при сжатии вдоль
двух параллельных соосных трещин, для разных значений нормированного на радиус
трещин полурасстояния между трещинами (верхним индексом «(1)» обозначены
критические значении для симметричной формы потери устойчивости, а индексом
«(2)» – для антисимметричной (изгибной) формы потери устойчивости. Как видим, на
всем диапазоне изменения значения (2) (1)
1 1 , т. е. потеря устойчивости для этого
материала происходит по изгибной форме. Также видим, что при малых расстояниях
между трещинами их взаимовлияние приводит к существенному уменьшению значе-
ний критических параметров сжатия. В то же время, при увеличении расстояния меж-
ду трещинами значения относительных критических параметров укорочения стремят-
ся к значению *
1 0,307 , соответствующему для потенциала Бартенева-Хазановича
критическому (предельному) параметру сжатия для случая одной изолированной
трещины в бесконечном теле (см. п. 3.1.1).
Таблица 2
0,0625 0,125 0,25 0,5 1,0 2,0 5,0 10,0
(1)
1 0,2643 0,3035 0,3070 0,3074 0,3069 0,3076 0,3067 0,3066
(2)
1 0,0080 0,0354 0,0894 0,1675 0,2420 0,2877 0,3048 0,3064
Отметим, что из полученных в [4, 62, 123] результатов следует, что и для других
моделей высокоэластических материалов (в частности, с потенциалом Трелоара) и
композитов потеря устойчивости также происходит по изгибной форме. Поэтому ни-
же будем приводить зависимости критических параметров сжатия для изгибной фор-
мы потери устойчивости, опуская при этом верхний индекс «(2)».
69
На рис. 39 для материала с потенциалом Тре-
лоара проиллюстрирована зависимость относитель-
ного критического параметра укорочения 1 11
от значений . Из рисунка можно сделать выводы
о характере указанной зависимости, аналогичные
тем, которые были сделаны для материала с потен-
циалом Бартенева – Хазановича.
На рис. 40 для слоистого композитного мате-
риала (слои алюмоборосиликатного стекла в ком-
позиции со слоями эпоксидномалеиновой смолы)
дана зависимость критических значений напряже-
ний сжатия, отнесенных к приведенному модулю
упругости композита, 11
0 /S E от коэффициента
объемной концентрации стекла 1c для разных зна-
чений . Как видим, соотношения объемных кон-
центраций компонент слоистого композита сущест-
венно влияют на критические (предельные) пара-
метры сжатия.
Зависимость относительных критических пара-
метров сжатия 1 от значений безразмерного полу-
расстояния между трещинами для композита,
состоящего из углепластика, стохастически арми-
рованного в плоскостях 3 consty короткими уг-
леродными волокнами эллипсоидальной формы,
приведена на рис. 41. При малых расстояниях меж-
ду трещинами их взаимовлияние приводит к суще-
ственному снижению критических параметров сжа-
тия. Так, 1 для 1 /16 почти в 15 раз ниже, чем
для случая сжатия материала вдоль одной изолиро-
ванной трещины.
3.3.6. Выводы. На основании приведенных в настоящем разделе результатов ис-
следования задач о двух параллельных соосных круговых трещинах в предварительно
напряженном материале можно сделать следующие выводы:
для всех рассмотренных типов трещин (трещины нормального отрыва, радиаль-
ного сдвига и кручения) для неосесимметричных и осесимметричных постановок за-
дач коэффициенты интенсивности напряжений существенно зависят от начальных
напряжений. В этом проявляется отличие рассмотренных в разделе задач для двух
параллельных соосных трещин от задач для неограниченного тела с одной изолиро-
ванной трещиной (п. 3.1.1), в которых коэффициенты интенсивности напряжений не
зависели от начальных напряжений (за исключением общей неосесимметричной за-
дачи о трещине сдвига), а влияние этих напряжений проявлялось в зависимости от
них величин раскрытия трещин;
при действии на берегах трещин нормальной нагрузки и радиальной сдвиговой
нагрузки обнаруживаются эффекты «резонансного» характера, состоящие в резком
изменении значений коэффициентов интенсивности напряжений при приближении
начальных сжимающих усилий к значениям, соответствующим локальной потере ус-
тойчивости материала в окрестности трещин. Вместе с тем, в случае нагрузки берегов
трещин усилиями кручения, указанные «резонансоподобные» явления не наблюдают-
ся, что свидетельствует об отсутствии на практике форм потери устойчивости в усло-
виях сжатия вдоль двух параллельных трещин, соответствующих задаче кручения;
взаимодействие трещин обусловливает отличие от нуля КИН поперечного сдвига
в задачах о трещине под действием нормальной нагрузки, а также ненулевые значе-
Рис. 39
Рис. 40
Рис. 41
70
ния КИН нормального отрыва в задаче о трещине под действием радиальной сдвиго-
вой нагрузки. Следует отметить, что последний эффект является аналогичным обна-
руженному при исследовании задачи о двух параллельных соосных трещинах в рам-
ках классической механики разрушения материалов без начальных напряжений [135];
при малых относительных расстояниях между трещинами количественно взаимо-
влияние трещин проявляется в: снижении значения IK при действии на поверхностях
трещин нормальных усилий по сравнению с КИН для одной изолированной трещины
нормального отрыва; увеличении значения IIK при действии на берегах трещин ради-
альных сдвиговых усилий по сравнению со значением КИН для одной изолированной
трещины радиального сдвига; уменьшении значения IIIK при действии на берегах
трещин нагрузки кручения по сравнению с КИН для одной изолированной трещины
кручения. Указанные эффекты взаимного влияния трещин в предварительно напря-
женных материала аналогичны установленным при исследовании соответствующих
задач в рамках классической механики разрушения материалов без начальных напря-
жений [50, 135, 142];
при увеличении относительного расстояния между трещинами взаимовлияние
трещин постепенно ослабевает, а соответствующие значении КИН стремятся к значе-
ниям, полученным в задачах для тела с одной изолированной трещиной. При этом при
практических расчетах взаимным влиянием двух параллельных трещин можно пре-
небрегать, когда расстояние между ними превышает восьми радиусов трещин;
на основе анализа эффекта «резонансного» изменения коэффициентов интенсив-
ности напряжений, полученных при решении задач для трещин нормального отрыва и
радиального сдвига, при приближении начальных сжимающих усилий к значениям,
соответствующим локальной потере устойчивости материала в окрестности трещин,
для отдельных моделей материалов определены критические (предельные) параметры
при сжатии вдоль двух параллельных соосных трещин. Показано, что для всех рас-
смотренных моделей материалов потеря устойчивости при сжатии происходит по ан-
тисимметричной (изгибной) форме;
значения коэффициентов интенсивности напряжений и критических (предельных)
параметров сжатия существенно зависят от геометрических параметров задач (рас-
стояния между трещинами и радиуса трещин) и физико-механических характеристик
материалов.
3.4. Периодическая система параллельных соосных круговых трещин в про-
странстве. Рассматривается неограниченное упругое тело с начальными напряже-
ниями 11 22
0 0S S , действующими вдоль бесконечного ряда соосных круговых трещин
а б
Рис. 42
71
одинакового радиуса a , размещенных в параллельных плоскостях 3 consty :
3{ , 0 2 , 2 ; 0, 1, 2, ...}r a y hn n (рис. 42). Поверхности трещин загружены
дополнительными (по отношению к начальным напряжениям 11 22
0 0S S ) взаимоурав-
новешенными усилиями, соответствующими трещинам нормального отрыва, ради-
ального сдвига или кручения, (рис. 42, а), либо свободны от напряжений (для задачи о
сжатии материала вдоль трещин, рис. 42, б).
Учитывая симметрию геометрической и силовой схем задачи относительно плос-
кости 3 0y , а также периодичность компонент тензора напряжений и вектора пере-
мещений (с периодом 2h ) по переменной 3y , исходную линеаризированную задачу
для тела с периодической системой соосных трещин можно свести к смешанной крае-
вой задаче для слоя 30 y h .
Задачи для периодической системы параллельных соосных трещин в предваритель-
но напряженных материалах были рассмотрены в публикациях [6, 64, 65, 68, 69, 123].
3.4.1. Неосесимметричная задача [6]. Поверхности трещин загружены нормаль-
ными растягивающими усилиями одинаковой интенсивности ( , )r . Как было ука-
зано выше, в этом случае постановку задачи переформулируют к эквивалентной по-
становке для слоя 30 y h с трещиной, расположенной в плоскости 3 0y . Гранич-
ные условия на берегах трещины и границе полупространства имеют вид (здесь и да-
лее 0 2 ):
3 0u 3( 0, ) ;y r a
33 ( , )Q r 3( 0, ) ;y r a
3 30; 0rQ Q 3( 0, 0 );y r (3.73)
3 3 30; 0; 0ru Q Q 3( , 0 )y h r .
Для задачи о сжатии материала вдоль плоскостей расположения трещин (рис. 42, б)
второе граничное условие в (3.73) следует заменить условием 33 0Q 3( 0, )y r a .
С использованием представлений общих решений линеаризированных уравнений
равновесия через гармоничные потенциальные функции в виде (2.77), (2.80), а также
представляя указанные потенциальные функции в ряды Фурье по окружной коорди-
нате с коэффициентами в виде интегральных разложений Ханкеля по радиальной ко-
ординате и разложение функции ( , )r в ряд Фурье вида (3.52), поставленную зада-
чу отдельно для каждой гармоники по координате приводят к системе парных ин-
тегральных уравнений, а затем к интегральному уравнению Фредгольма второго рода
(более подробно см. в [6]), которое для случая неравных корней имеет вид:
2
0
0
2 2
, sin ;
a
n n n nx t K x t dt x x d
0 , 0,1, 2, 3 ... ;x a n (3.74)
1
44 1 1
1
( ) ( )n
n n
k
x x x
C d l k
с ядром
,nK x t
1 21 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 20
( ) ( )
n
n n
n n n n
x e e
t J t J x a J a J x k k d
k sh sh
,
где 1 2
i in h ( 1,2i ), а 1k , 2k и k определяются из (3.9).
72
Из анализа асимптотического распределения напряжений в области трещины, по-
лучаем такие выражения для коэффициентов интенсивности напряжений:
1 2
44 1 1
11 0
cos ( ) ;
a
n
I n
n
k
K C d l n a t dt
k
0;IIK 0,IIIK (3.75)
где ( )n t определяются из (3.74).
Очевидно, что IK зависит от начальных напряжений, поскольку параметры, вхо-
дящие в выражения (3.75) и в интегральное уравнение Фредгольма (3.74), зависят от
параметра начального удлинения (или укорочения) 1 , обусловленного действием
начальных напряжений 11 22
0 0S S .
В предельном случае расположения трещин, когда расстояние между ними стре-
мится к бесконечности, из (3.75) с учетом (3.74) получаем такое значение IK :
1
1 2 2 2
1 0
cos2
lim ( ) .
a n
I I nnh
n
n t
K K t dt
a a t
(3.76)
В случае, когда нагрузка на берегах трещин имеет вид 1( , ) ( ) cosr r , вводя
нормированные на радиус трещин переменные и функции вида 1 1, ,a x a t
1 1
1 1 1( ) ( )f a a a x , получаем интегральное уравнение Фредгольма в безраз-
мерном виде:
21
1 1 1 1
0 0
2 2
( ) , sin ,f f K d d
0 1 (3.77)
с ядром 1
1( , ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ;K R R R R где
1 2
1 1 2 2
1
( ) Re 1 Re 1
2 2
k iz k iz
R z
k
, (3.78)
а Re (1 2 ), 1, 2jiz j – действительная часть от пси-функции ( )z
ln ( )d z dz ( ( )z – гамма-функция).
В этом случае КИН IK принимает вид:
1
44 1 1 1
1 0
( ) cosI
k
K aC d l f d
k
.
Ниже приведены результаты численного расчета для некоторых высокоэластиче-
ских материалов в случае загружения берегов трещины нормальной растягивающей
нагрузкой вида 1( , ) ( ) cosr r , где 1( ) const .r
Так, для материала с упругим потенциалом Бартенева – Хазановича на рис. 43, а
приведены зависимости отношения /I IK K (де IK – КИН, получаемый для задачи
об изолированной трещине нормального отрыва и определяемый из (3.76)) от пара-
метра начальных напряжений 1 для разных значений нормированного на радиус
трещин полурасстояния между трещинам /h a . Как видим, начальные напряже-
ния оказывают весьма существенное влияние на КИН, особенно в области сжимаю-
щих начальных напряжений.
На рис. 43, б для этого же материала приведены зависимости /I IK K от безраз-
мерного полурасстояния между трещинами . Как видим, взаимовлияние трещин в
теле с начальными напряжениями приводит к уменьшению (особенно существенному
73
а б
Рис. 43
при малых расстояниях между трещинами) коэф-
фициента интенсивности напряжений IK по срав-
нению с IK . Так, например, для 1 0,9 значение
IK при 0,25 в 2,2 раза меньше, чем IK . При
возрастании расстояния между трещинами их вза-
имное влияние ослабевает, а соответствующие зна-
чения КИН стремятся к значению IK .
На рис. 44 и 45 проиллюстрирована зависи-
мость отношений КИН I IK K от параметра 1 ,
соответственно, для материала с потенциалом Тре-
лоара (при разных значениях ) и материала с по-
тенциалом гармонического типа (при разных зна-
чениях коэффициента Пуассона при 0,25 ).
Как видно из последнего рисунка, сжимаемость
материала заметно влияет на значения коэффици-
ентов интенсивности напряжений. Так, при 1 0,7
значение IK для материала с потенциалом гармо-
нического типа и коэффициентом Пуассона 0,1
превышает значение IK для этого же материала
при 0,5 на 20%.
3.4.2. Осесимметричная задача о трещинах нормального отрыва [64, 68, 123]. На
берегах трещин симметрично относительно плоскостей их расположения приложены
нормальные напряжения интенсивности ( )r . В этом случае постановку задачи мож-
но переформулировать для слоя 30 y h с трещиной, расположенной в плоскости
3 0y с граничными условиями на гранях указанного слоя, аналогичными (3.73).
С использованием интегральных преобразования Ханкеля для потенциальных гар-
монических функций задачу можно свести сначала к парным интегральным уравнени-
ям, а затем к интегральному уравнению Фредгольма второго рода (более подробно см.,
например, в [68]), которое для случая неравных корней в безразмерной форме имеет
вид:
21
0 0
1 2
( ) ( ) ( , ) ( sin )sin ;f f K d s d
1
44 1 1
( )
( )
k a
s
kC d l
(3.79)
с ядром ( , ) ( ) ( )K R R , где ( )R z имеет вид (3.78).
Значения КИН определяются соотношениями
Рис. 44
Рис. 45
74
44 1 1
1
(1);I
k
K C d l a f
k
0;IIK , 0,IIIK (3.80)
где f определяется из решения интегрального уравнения (3.79).
Как следует из (3.80), коэффициент интенсивности напряжений IK зависит от на-
чальных напряжений. Характер указанной зависимости продемонстрируем на приме-
ре численных расчетов для конкретных материалов в случае действия на берегах тре-
щин равномерного нормального нагружения ( ) const .r
Материал с потенциалом Бартенева – Хазановича. Зависимости отношения ко-
эффициентов интенсивности напряжений I IK K от параметра начальных удлинений
(укорочений) 1 отражены на рис. 46, а для значений 0,25 и 1,0 . Здесь и в
дальнейшем сплошные линии соответствуют случаю периодической системы парал-
лельных соосных трещин, а штриховыми линиями приведены для сравнения соответ-
ствующие зависимости для случая двух параллельных соосных трещин, полученные в
п. 3.3. Как видим, коэффициенты интенсивности напряжений существенно зависят от
значений параметра 1 . Кроме того, для случая периодической системы трещин зна-
чения I IK K оказываются меньшими, чем для случая двух параллельных соосных
трещин (для одних и тех же значений ).
а б
Рис. 46
На рис. 46, б даны зависимости I IK K от безразмерного расстояния между трещи-
нами для 1 1,2 (растягивающие начальные напряжения), 1 0,8 (сжимающие
начальные напряжения), 1 1,0 (начальные напряжения отсутствуют). Приведенные
данные показывают, что взаимодействие трещин в задаче о периодической системе со-
осных трещин нормального отрыва, как и в случае двух параллельных соосных трещин
нормального отрыва, приводят к снижению величин IK по сравнению с величиной IK
для одной изолированной трещины в бесконечном материале. С другой стороны, при
возрастании расстояния между трещинами их
взаимное влияние быстро ослабевает и соответ-
ствующие значения КИН стремятся к значениям,
получаемым для одной изолированной трещины
в бесконечном материале.
Аналогичные зависимости получены в [68]
для материалов с потенциалами Трелоара и гар-
монического типа.
Слоистый двухкомпонентный композит с
изотропными слоями. Рис. 47 для случаев дей-
ствия в материале начальных растягивающих
( 1 1,05 ) и начальных сжимающих ( 1 0,99 )
Рис. 47
75
напряжений показывает существенную зависимость соотношений КИН /I IK K от
соотношения модулей упругости слоев (при этом предполагается, что коэффициенты
Пуассона материалов слоев (1) (2) 0,3 , а объемная концентрация материала пер-
вого слоя 1 0,3c ). Результаты даны для задач о периодической системе трещин
(сплошные линии), о двух параллельных трещинах (штриховые линии), и о припо-
верхностной трещине (штрих-пунктирные линии), находящихся под действием рав-
номерной нормальной нагрузки, для одинаковых относительных полурасстояний ме-
жду трещинами (периодическая система трещин, две параллельные трещины) или
расстояния между трещиной и свободной границей материала (приповерхностная
трещина) 0,5 .
3.4.3. Осесимметричная задача для трещин радиального сдвига [65, 69, 123]. На
берегах трещин антисимметрично относительно плоскостей их расположения прило-
жены касательные радиальные напряжения интенсивности ( )r . Эквивалентные гра-
ничные условия для слоя 30 y h с трещиной, расположенной в плоскости 3 0y ,
имеют вид:
3 ( )rQ r 3( 0, 0 )y r a , 330, 0ru Q 3( , 0 );y h r
0ru 3( 0, )y a r , 33 0Q 3( 0, 0 )y r .
Поставленная задача сводится к разрешающему интегральному уравнению Фред-
гольма второго рода [69], которое для случая неравных корней в безразмерной форме
имеет вид:
21
0 0
1 2
, sin ;f f K d p d
2
1 2
44 1 1
( )
( )
k a
p
kC n d
(3.81)
с ядром 1
1 1 1 1, 1 1K R R R R , где
1 2
1
2 2 1 1
1
Re 1 Re 1
2 2
k iz k iz
R z
k
.
Значения КИН определяются соотношениями
0;IK
1
1 2
44 1 1
2 0
;II
k
K C d n a f d
k
0IIIK , (3.82)
где f определяется из решения уравнения (3.81).
Как следует из (3.82), коэффициент интенсивности напряжений IIK зависит от
начальных напряжений. Характер указанной зависимости приведен ниже на примере
некоторых материалов в случае загрузки берегов трещин равномерными сдвиговыми
усилиями ( ) constr .
На рис. 48 для материала с потенциалом Барте-
нева – Хазановича дана зависимость отношения ко-
эффициентов интенсивности напряжений /II IIK K от
параметра начальных напряжений 1 для отдельных
значений нормированного на радиус трещин полурас-
стояния между трещинами (как и ранее, сплошные
линии соответствуют задаче о периодической системе
трещин, а штриховые – задаче для двух параллельных
трещин). Как видим, коэффициенты интенсивности
Рис. 48
76
напряжений существенно зависят от значений параметра 1 . Кроме того, для случая
периодической системы трещин значения I IK K оказываются большими, чем для
случая двух параллельных соосных трещин (для одних и тех же значений ). Пред-
ставленные зависимости в области сжимающих начальных напряжений ( 1 1 ) име-
ют вертикальные асимптоты, соответствующие «резонансному» эффекту, который
имеет место при достижении начальными сжимающими напряжениями значений, при
которых происходит локальная потеря устойчивости материала (по изгибной относи-
тельно плоскостей трещин форме) в окрестности трещин.
В [69, 123] получены аналогичные закономерности влияния начальных напряже-
ний на КИН и для других моделей высокоэластических материалов – материала с по-
тенциалом Трелоара и потенциалом гармонического типа.
На рис. 49 для материала с потенциалом Тре-
лоара проиллюстрирована зависимость II IIK K от
безразмерного полурасстояния между трещинами
для разных значений параметра 1 . Видим, что
взаимовлияние трещин радиального сдвига приво-
дит к увеличению значения коэффициента интен-
сивности напряжений IIK по сравнению со случаем
изолированной трещины в неограниченном теле.
При увеличении расстояния между трещинами зна-
чения IIK уменьшаются и стремятся к значениям
IIK . При этом при значениях 3 взаимным влиянием трещин для практических
расчетов можно пренебрегать, поскольку в этом случае отличие значений коэффици-
ентов интенсивности напряжений в окрестности трещин для случая периодической
системы трещин отличается от значений КИН для одной трещины в бесконечном теле
менее, чем на 3%.
3.4.4. Трещины под действием усилий кручения [123]. К поверхностям трещин
приложена антисимметрично относительно плоскостей их расположения касательная
окружная нагрузка ( )r . Коэффициенты интенсивности напряжений в этом случае
определяются выражениями
0;IK 0;IIK
1
1 2
44 3
0
IIIK C n a f d , (3.83)
а функция f определяется из решения интегрального уравнения Фредгольма вида:
21
0 0
1 2
( ) ( ) ( , ) ( sin ) ;f f K d q d
1 2
44 3
( )
( ) .
a
q
C n
При этом ядро имеет вид
3 3 3 3
3
1
( , ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ;K R R R R
3 3( ) Re 1 (2 ) .R z iz
Ниже приведены результаты расчета для некоторых типов материалов при дейст-
вии на берегах трещины нагрузки вида ( ) const .r
Материал с потенциалом Трелоара. На рис. 50, а, б даны, соответственно, зави-
симости отношений /III IIIK K от параметра начальных напряжений 1 и от обезраз-
Рис. 49
77
меренного полурасстояния между трещинами (на первом рисунке сплошные линии
соответствуют задаче о периодической системе трещин, а штриховыми – задаче для
двух параллельных трещин).
а б
Рис. 50
Как видно из рис. 50, а, начальные напряжения заметно влияют на значения ко-
эффициентов интенсивности напряжений, однако, в отличие от вышерассмотренных
задач о предварительно напряженном теле с периодической системой трещин нор-
мального отрыва и радиального сдвига, в задаче о трещинах под действием усилий
кручения эффект «резонансного» изменения КИН не обнаруживается.
Зависимости, приведенные на рис. 50, б, показывают, что взаимовлияние трещин
приводит к уменьшению (особенно существенному при малых значениях ) КИН
IIIK по сравнению с коэффициентом интенсивности напряжений IIIK , который был
получен в задаче о неограниченном теле с изолированной трещиной под действием
крутящей нагрузки. При увеличении расстояния между трещинами величина IIIK
стремится к значению IIIK и при расстоянии между трещинами, превышающем 6 ра-
диусов трещин, различием между указанными величинами КИН можно пренебрегать
в виду их малости.
а б
Рис. 51
Слоистый двухкомпонентный композит с изотропными слоями. На рис. 51, а
проиллюстрирована зависимость отношения /III IIIK K от отношения модулей слоев
(1) (2)/E E при значении 0,25 . Зависимости приведены для разных значений пара-
метров начального удлинения (укорочения) 1 . Как видим, значения /III IIIK K моно-
тонно возрастают с возрастанием значения (1) (2)/E E . На рис. 51, б даны зависимости
/III IIIK K от параметра начальных напряжений 1 для разных значений при соот-
78
ношении модулей упругости слоев (1) (2)/ 4E E . Как видим, для этого материала
эффекты «резонансоподобного» изменения КИН также отсутствуют, поскольку, оче-
видно, при сжатии материала с периодической системой соосных круговых трещин
отсутствует форма потери устойчивости, соответствующая задаче кручения.
3.4.5. Критические параметры нагружения при сжатии вдоль периодической сис-
темы параллельных соосных трещин. Изложенный в п. 1.4 подход позволяет опреде-
лить критические (предельные) параметры сжатия, соответствующие локальной поте-
ре устойчивости материала при сжатии вдоль периодической системы параллельных
соосных трещин (рис. 42, б), непосредственно из решений рассмотренных выше не-
однородных задач о напряженно-деформированном состоянии материала с началь-
ными напряжениями, ослабленного периодическим рядом параллельных соосных
трещин, как значения начальных сжимающих напряжений, при достижении которых
происходит резкое «резонансное» изменение значений коэффициентов интенсивности
напряжений.
Так, из результатов, полученных в п. 3.4.3 при исследовании задачи для тела с
трещинами радиального сдвига, определяются критические (предельные) параметры
сжатия, соответствующие антисимметричной (изгибной) форме локальной потери
устойчивости материала при сжатии вдоль периодической системы параллельных
трещин. Вместе с тем, в п. 3.4.4 было показано отсутствие «резонансных» эффектов
при исследовании задачи о периодической системе трещин под действием усилий
кручения, что свидетельствует об отсутствии для указанной геометрической схемы
размещения трещин формы потери устойчивости, соответствующей задачи кручения.
На рис. 52 представлены результаты вычис-
ления по указанной выше методике относитель-
ных критических (предельных) параметров уко-
рочения 1 11 для материала с потенциа-
лом Бартенева – Хазановича. Рисунок иллюст-
рирует зависимость 1 от значений параметра
/h a , характеризующего относительные
размеры трещин, для периодической системы
параллельных трещин (рис. 42, б) (сплошная
линия), двух параллельных соосных трещин
(рис. 32, б) (штриховая линия), приповерхност-
ной трещины, параллельной свободной поверх-
ности материала, (рис. 13, б) (штрих-пунктирная линия) и одной изолированной тре-
щины (рис. 10, б) (пунктирная линия). При этом для периодической системы трещин
и двух трещин параметр представляет собой нормированное на радиус трещин
полурасстояние между трещинами, а для приповерхностной трещины – нормирован-
ное на радиус трещины расстояние между ней и границей тела. Отметим также, что
результаты для периодической системы трещин и двух трещин приведены для изгиб-
ной формы потери устойчивости, поскольку для симметричной формы критические
(предельные) значения 1 существенно превышают критические значения 1 для из-
гибной формы [33, 68, 69]; в случае приповерхностной трещины значения 1 для из-
гибной и симметричной форм совпадают (см. п. 3.2).
Из рисунка следует, что взаимовлияние трещин между собой (для периодической
системы параллельных трещин и двух параллельных трещин) или со свободной грани-
цей материала (для приповерхностной трещины) приводит к существенному снижению
значения критического (предельного) укорочения 1 (и, соответственно, к снижению
значения критической сжимающей нагрузки) по сравнению со случаем одной изоли-
рованной трещины в неограниченном теле (для такой геометрической схемы распо-
ложения трещины критическое (предельное) укорочение равно *
1 0,307 ). Кроме
Рис. 52
79
того, на всем диапазоне изменения параметра значения 1 в случае периодической
системы трещин оказываются более высокими, чем для случаев двух параллельных
трещин и приповерхностной трещины, но ниже, чем для случая одной изолированной
трещины, что соответствует соображениям физического характера.
В [123] показано, что аналогичные зависимости критических параметров 1 от
наблюдаются и для материала с потенциалом Трелоара.
В табл. 3 для материала с потенциалом гармонического типа для изгибной формы
потери устойчивости приведены значения 1 для разных значений безразмерного рас-
стояния между трещинами и коэффициента Пуассона , характеризирующего
сжимаемость материала. При достаточно больших значениях получаем значения
1 , совпадающие с критическими значениями * 1
1 (2 ) , получаемые в задаче об
изолированной трещине в бесконечном теле.
Таблица 3
0,0625 0,125 0,25 0,50 0,75 1,00 2,00 5,00 10,00
0,1 0,0159 0,0529 0,1377 0,2631 0,338 0,3842 0,4565 0,4756 0,4762
0,2 0,0145 0,0481 0,1247 0,2399 0,3107 0,3562 0,4312 0,4538 0,4545
0,3 0,0133 0,0439 0,113 0,2182 0,2849 0,3291 0,4067 0,4337 0,4347
0,4 0,0123 0,0401 0,102 0,1974 0,2597 0,3023 0,3822 0,4151 0,4166
0,5 0,0114 0,0365 0,0916 0,1769 0,2343 0,2749 0,3567 0,3975 0,3999
На рис. 53 для слоистого двухкомпонент-
ного композита с изотропными слоями приве-
дена зависимость критических безразмерных
напряжений сжатия 11
0 /S E (напряжений,
отнесенных к приведенному модулю упругос-
ти рассматриваемого композита) от соотноше-
ния модулей упругости слоев (сплошная линия
– для задачи о периодической системе тре-
щин). Здесь же для сравнения приведены зави-
симости от (1) (2)/E E для двух параллель-
ных трещин (штриховая линия) и приповерх-
ностной трещины (штрих-пунктирная линия).
Отметим, что приведенные значения критиче-
ских напряжений сжатия для периодической системы трещин и для двух параллельных
трещин соответствуют изгибной форме потери устойчивости (определялись из решения
задач для трещин радиального сдвига), поскольку значения , соответствующие сим-
метричной форме потери устойчивости (определялись из решения задач для трещин
нормального отрыва), оказались, как и для высокоэластических материалов, существен-
но выше критических значений для изгибной формы [33, 64, 65].
3.4.6. Выводы. На основании приведенных в настоящем разделе результатов ис-
следования задач о периодической системе параллельных соосных круговых трещин в
предварительно напряженном материале можно сделать следующие выводы:
для всех рассмотренных типов трещин (трещины нормального отрыва, радиаль-
ного сдвига и кручения) для неосесимметричных и осесимметричных постановок за-
дач коэффициенты интенсивности напряжений существенно зависят от начальных
напряжений;
Рис. 53
80
при действии на берегах трещин радиальной сдвиговой нагрузки обнаруживаются
эффекты «резонансного» характера, состоящие в резком стремлении значений коэффи-
циентов интенсивности напряжений к «бесконечности» при приближении начальных
сжимающих усилий к значениям, соответствующим локальной потере устойчивости
материала в окрестности трещин. Вместе с тем, в случае нагрузки берегов трещин
усилиями кручения, указанные «резонансоподобные» явления не наблюдаются, что
свидетельствует об отсутствии форм потери устойчивости в условиях сжатия вдоль
периодической системы параллельных трещин, соответствующих задаче кручения;
при малых относительных расстояниях между трещинами количественно взаимо-
влияние трещин проявляется в: снижении значения IK при действии на поверхностях
трещин нормальных напряжений по сравнению с КИН для одной изолированной тре-
щины нормального отрыва; увеличении значения IIK при действии на берегах тре-
щин радиальных сдвиговых напряжений по сравнению со значением КИН для одной
изолированной трещины радиального сдвига; уменьшении значения IIIK при дейст-
вии на берегах трещин нагрузки кручения по сравнению с КИН для одной изолиро-
ванной трещины кручения;
при увеличении относительного расстояния между трещинами взаимовлияние
трещин постепенно ослабевает, а соответствующие значении КИН стремятся к значе-
ниям, полученным в задачах для тела с одной изолированной трещиной. При этом при
практических расчетах взаимным влиянием системы параллельных трещин можно
пренебрегать, когда расстояние между трещинами превышает 6 радиусов трещин;
на основе анализа эффекта «резонансного» увеличения значений коэффициентов
интенсивности напряжений, полученных при решении задач для трещин радиального
сдвига, при приближении начальных сжимающих усилий к значениям, соответствую-
щим локальной потере устойчивости материала (по изгибной форме) в окрестности
трещин, для отдельных моделей материалов определены критические (предельные)
параметры при сжатии вдоль периодической системы параллельных соосных трещин;
значения коэффициентов интенсивности напряжений и критических (предельных)
параметров сжатия существенно зависят от геометрических параметров задач (рас-
стояния между трещинами и радиуса трещин) и физико-механических характеристик
материалов.
4. Заключение.
В статье выполнен обзор работ по исследованию пространственных задач меха-
ники хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями, действующими
параллельно плоскостям расположения трещин, и разрушению тел при сжатии вдоль
трещин, выполненных с использованием предложенного авторами настоящей статьи
объединенного подхода в рамках трехмерной линеаризированной механики деформи-
руемых тел. При этом основные соотношения, постановки задач и полученные разре-
шающие уравнения представлены в единой общей форме для сжимаемых и несжи-
маемых изотропных упругих тел с произвольной структурой упругого потенциала и
композитов при их моделировании в рамках континуального подхода как трансвер-
сально-изотропных сред.
С использованием указанного подхода рассмотрены неосесимметричные и осе-
симметричные задачи для изолированных и взаимодействующих трещин в предвари-
тельно напряженных телах и исследовано влияние начальных напряжений, механиче-
ских характеристик материалов и геометрических параметров задач на распределение
напряженно-деформированного состояния возле краев трещин. Их анализа эффектов
«резонансного» характера, связанных с влиянием начальных напряжений и заклю-
чающихся в резком увеличении значений коэффициентов интенсивности напряжений
и/или величин раскрытия трещин, определяемых из линеаризированных соотноше-
ний, при достижении начальными сжимающими напряжениями значений, соответст-
вующих локальной потере устойчивости материала возле трещин, определены значе-
ния критических (предельных) параметров (коэффициентов укорочения вдоль коор-
динатных осей и сжимающих напряжений) для задач о сжатии тел вдоль трещин.
81
Анализ полученных результатов позволяет сделать такие основные выводы.
1. При исследовании задач для изолированных свободных трещин установлено,
что для всех силовых схем (за исключением общей неосесимметричной задачи о круго-
вой трещине сдвига) параметры начального напряженно-деформированного состояния
не входят в выражения для коэффициентов интенсивности напряжений, но сущест-
венно влияют на величины раскрытия трещин. В то же время для всех рассмотренных
постановок задач о предварительно напряженных телах, содержащих взаимодейст-
вующие трещины, установлено, что действующие вдоль трещин начальные напряже-
ния оказывают существенное влияние на коэффициенты интенсивности напряжений в
окрестностях кончиков трещин.
2. Во всех рассмотренных задачах (за исключением задач кручения) обнаруживается
резкое «резонансоподобное» изменение полей напряжений и перемещений при прибли-
жении начальных сжимающих усилий к значениям, соответствующим локальной потере
устойчивости материала в окрестностях трещин, что позволяет определять критические
(предельные) параметры сжатия непосредственно из решения соответствующих неодно-
родных задач механики разрушения материалов с начальными напряжениями.
3. Взаимовлияние трещин между собой (периодическая система трещин, две па-
раллельные трещины) или между трещиной и свободной границей полупространства
(приповерхностная трещина) приводит к количественному изменению (особенно су-
щественному для малых значений расстояния между трещинами или между трещиной
и границей полупространства) значений коэффициентов интенсивности напряжений
по сравнению со значениями КИН, получаемыми для изолированной трещины в бес-
конечном материале. С другой стороны, при увеличении расстояния между трещина-
ми (или между трещиной и свободной границей полупространства) указанное взаимо-
влияние постепенно ослабевает, а значения коэффициентов интенсивности напряже-
ний в окрестностях краев трещин стремятся к соответствующим значениям, получен-
ным в случае изолированной трещины в бесконечном материале.
4. В задачах механики разрушения предварительно напряженных материалов
взаимовлияние двух параллельных соосных трещин, а также взаимовлияние припо-
верхностной трещины со свободной поверхностью тела приводит к изменениям каче-
ственного характера в распределении напряжений в окрестностях краев трещин, а
именно, к ненулевым значениям КИН IIK в случаях трещин, находящихся под дейст-
вием нормальных нагрузок, и к ненулевым значениям КИН IK при действии на тре-
щины радиальных сдвиговых нагрузок. Эти эффекты аналогичны тем, которые были
обнаружены в подобных задачах механики разрушения тел без начальных напряже-
ний, содержащих взаимодействующие трещины.
5. Механические характеристики материалов оказывают существенное влияние на
значения коэффициентов интенсивности напряжений.
6. Значения критических (предельных) параметров сжатия, соответствующих ло-
кальной потери устойчивости материала в окрестностях трещин, существенно зависят от
геометрических параметров задач (радиусов трещин, расстояний между трещинами или
между трещиной и границей материала) и от механических характеристик материалов.
Дальнейшие исследования по проблемам хрупкого разрушения материалов с на-
чальными напряжениями, действующими параллельно трещинам, и разрушения тел
при сжатии вдоль трещин в рамках проанализированного в данной статье объединенного
подхода могут, по мнению авторов, развиваться по таким актуальным направлениям:
постановка и решение задач для более сложных схем расположения трещин в ма-
териалах с начальными напряжениями, в частности, для тел с системами трещин, ко-
торые смещены в параллельных плоскостях друг относительно друга (до настоящего
времени исследованы задачи для тел с начальными напряжениями, содержащих изо-
лированные трещины, одну приповерхностную трещину, две и периодическую систе-
мы параллельных соосных внутренних трещин). Отметим, что в последние годы были
исследованы задачи о сжатии слоистых композитов с трещинами, расположенными
на границах раздела разных слоев и смещенными друг относительно друга (см., на-
пример, [149]);
82
исследование задач механики разрушения предварительно напряженных материа-
лов с трещинами и задач о разрушении тел при сжатии вдоль трещин, когда трещины
имеют усложненные (некруговые) в плане контуры;
постановка и решение задач механики разрушения материалов с начальными на-
пряжениями с применением кусочно-однородных моделей композитных материалов,
что является важным для более полного учета их структуры;
постановка и решение пространственных задач с учетом несимметричности на-
чального напряженно-деформированного состояния, обусловленного действием на-
чальных напряжений (до настоящего времени рассмотрены случаи одинаковых на-
чальных напряжений вдоль осей 1Oy и 2Oy , рис. 8);
постановка и решение задач при неоднородных начальных напряженно-
деформированных состояниях;
анализ асимптотики решений задач для предварительно напряженных тел с тре-
щинами при стремлении к нулю расстояния между параллельными соосными трещи-
нами или между трещиной и поверхностью тела (отметим, что исследование указан-
ной асимптотики для пространственных задач о сжатии тел с взаимодействующими
трещинами проведено, например, в [113]).
Р Е ЗЮМ Е . В даній оглядовій статті виконано аналіз результатів дослідження просторових за-
дач про руйнування матеріалів з тріщинами в умовах дії зусиль, спрямованих вздовж тріщин. З викори-
станням об‘єднаного підходу, що базується на співвідношеннях тривимірної лінеаризованої механіки
деформівних тіл, розглянуто два некласичних механізми крихкого руйнування: руйнування матеріалів з
початковими напруженнями, що діють вздовж тріщин, та руйнування тіл при стиску вздовж паралель-
них тріщин. Узагальнено результати дослідження неосесиметричних та осесиметричних задач для
найбільш характерних геометричних схем розташування тріщин в попередньо напружених матеріалах з
точки зору їх взаємодії між собою та з граничними поверхнями. При дослідженні використовуються
представлення напружень та переміщень лінеаризованої теорії через гармонічні потенціальні функції.
Шляхом застосування інтегральних перетворень Ханкеля задачі для взаємодіючих тріщин зводяться до
розв‘язуючих інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Підхід дозволяє проводити дослідження
задач в єдиній загальній формі для стисливих та нестисливих однорідних ізотропних чи трансверсаль-
но-ізотропних пружних тіл з довільною структурою пружного потенціалу стосовно до теорій скінчен-
них та малих початкових деформацій, а конкретизація моделі матеріалу здійснюється лише на етапі
чисельного розрахунку отриманих в загальному вигляді розв‘язуючих рівнянь. Виконано аналіз нових
механічних ефектів, пов’язаних з впливом початкових напружень та взаємодії тріщин на асимптотич-
ний розподіл напружень і переміщень біля кінчиків тріщин. Виявлено ефекти «резонансного» характеру
при наближенні стискаючих початкових напружень до значень, що відповідають локальній втраті
стійкості матеріалу в околі тріщин, що відповідно до зазначеного об‘єднаного підходу дозволяє визна-
чати критичні (граничні) параметри навантаження при стиску тіл вздовж тріщин. Зроблено висновки по
характер залежностей коефіцієнтів інтенсивності напружень та критичних (граничних) параметрів сти-
ску від геометричних параметрів задач та фізико-механічних характеристик матеріалів.
1. Александров В.М., Соболь Б.В. Равновесие предварительно напряженного упругого тела, ослаблен-
ного плоской эллиптической трещиной // Прикл. математика и механика. – 1985. – 49, № 2. –
С. 348 – 352.
2. Бабич В.М., Гузь А.Н., Назаренко В.М. Приповерхностная дискообразная трещина нормального
отрыва в полубесконечном теле с начальными напряжениями // Прикл. механика. – 1991. – 27,
№ 7. – С. 18 – 25.
3. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров //
Высокомолекулярные соединения. – 1960. – 2, № 1. – С. 21 – 28.
4. Богданов В.Л. Об исследовании осесимметричных задач линеаризированной механики разрушения
для тела с двумя параллельными трещинами // Матем. методи та фіз. – мех. поля. – 2006. – 49,
№ 1. – С. 146 – 158.
83
5. Богданов В.Л. Осесиметрична задача про приповерхневу тріщину нормального відриву в компо-
зитному матеріалі з залишковими напруженнями // Матем. методи та фіз. – мех. поля. – 2007. –
50, № 2. – С. 45 – 54.
6. Богданов В.Л. Неосесимметричная задача о периодической системе дискообразных трещин нор-
мального отрыва в теле с начальными напряжениями // Матем. методи та фіз. – мех. поля. –
2007. – 50, № 4. – С. 149 – 159.
7. Богданов В.Л. О кручении предварительно напряженого материала с двумя параллельными соос-
ными трещинами // Доповіді НАН України. – 2008. – № 11. – С. 59 – 66.
8. Богданов В.Л. Неосесиметрична задача про дві паралельні співвісні тріщини нормального відриву
в матеріалі з початковими напруженнями // Доп. НАН України. – 2010. – № 8. – С. 49 – 59.
9. Богданов В.Л., Назаренко В.М. Сжатие композитного материала вдоль приповерхностной макро-
трещины // Механика композитных материалов. – 1994. – 30, № 3. – С. 352 – 358
10. Болотин В.В. Повреждение и разрушение композитов по типу расслоений // Механика композит.
материалов. – 1987. – № 3. – С. 424 – 432.
11. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. – К.: Наук. думка, 1971. – 276 с.
12. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. – К.: Наук. думка, 1973. – 272 с.
13. Гузь А.Н. К линеаризированной теории разрушения хрупких тел с начальными напряжениями //
Докл. АН СССР. – 1980. – 252, № 5. – С. 1085 – 1088.
14. Гузь А.Н. Теория трещин в упругих телах с начальными напряжениями (постановка задач, трещи-
ны отрыва) // Прикл. механика. – 1980. – 16, № 12. – С. 3 – 14.
15. Гузь А.Н. Теория трещин в упругих телах с начальными напряжениями (трещины сдвига, пре-
дельные случаи) // Прикл. механика. – 1981. – 17, № 1. – С. 3 – 13.
16. Гузь А.Н. Теория трещин в упругих телах с начальными напряжениями (высокоэластические ма-
териалы) // Прикл. механика. – 1981. – 17, № 2. – С. 11 – 21.
17. Гузь А.Н. Теория трещин в упругих телах с начальными напряжениями (жесткие материалы) //
Прикл. механика. – 1981. – 17, № 4. – С. 3 – 9.
18. Гузь А.Н. Теория трещин в упругих телах с начальными напряжениями (задачи расклинивания) //
Прикл. механика. – 1981. – 17, № 5. – С. 3 – 12.
19. Гузь А.Н. Теория трещин в упругих телах с начальными напряжениями (пространственные стати-
ческие задачи) // Прикл. механика. – 1981. – 17, № 6. – С. 3 – 20.
20. Гузь А.Н. Пространственные задачи для дискообразной трещины в упругом теле с начальными
напряжениями // Прикл. механика. – 1981. – 17, № 11. – С. 21 – 30.
21. Гузь А.Н. Общая пространственная задача для трещины в упругом теле с начальными напряже-
ниями // Прикл. механика. – 1981. – 17, № 12. – С. 3 – 12.
22. Гузь А.Н. О построении основ механики хрупкого разрушения материалов с начальными напря-
жениями // Прикл. механика. – 1983. – 19, № 4. – С. 3 – 23.
23. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. – К.: Наук.
думка, 1983. – 296 с.
24. Гузь А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. – К.: Вища школа, 1986.
– 512 с.
25. Гузь А.Н. Порядок особенности в вершине трещины в задачах механики хрупкого разрушения
материалов // Физ – хим. механика материалов. – 1986. – 22, № 1. – С. 24 – 29.
26. Гузь А.Н. О порядке особенности в кончике трещины в материалах с начальными напряжениями
// Докл. АН СССР. – 1986. – 289, № 2. – С. 310 – 312.
27. Гузь А.Н. Механика разрушения композитных материалов при сжатии. – К.: Наук. думка, 1990. –
630 с.
28. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов с начальными напряжениями. – К.: Наук. думка, 1991.
– 288 с. – (Неклассические проблемы механики разрушения: В 4 – х т., 5 – ти кн. / Под общ. ред.
А.Н.Гузя.; Т.2).
84
29. Гузь А.Н. О неклассических проблемах механики разрушения // Физ. – хим. мех. мат. – 1993. – 29,
№ 3.–С.86 – 97.
30. Гузь А.Н. Основы механики разрушения композитов при сжатии: В 2 – х т. – К.: Литера, 2008.
Т.1. Разрушение в структуре материала. – 592 с.
Т.2. Родственные механизмы разрушения. – 736 с.
31. Гузь А.Н., Бабич И.Ю. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек – К.: Наук.
думка, 1980. – 167 с.
32. Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Кулиев Г.Г., Милованова О.Б. Разрушение и устойчивость тонких тел с
трещинами. – К.: Наук. думка, 1981. – 184 с.
33. Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Назаренко В.М. Разрушение и устойчивость материалов с трещинами. –
К.: Наук. думка, 1992. – 456 с. – (Неклассические проблемы механики разрушения: В 4 – х т., 5 –
ти кн. / Под общ. ред. А.Н.Гузя.; Т.4, Кн.1).
34. Гузь А.Н., Каминский А.А., Назаренко В.М. и др. Механика разрушения. – К.: А.С.К., 1996.342 с. –
(Механика композитов: В 12 т. / Под общ. ред. А.Н.Гузя.; Т.5).
35. Гузь А.Н., Ключников Ю.В. Пространственная статическая задача для эллиптической трещины в
упругом теле с начальными напряжениями. – Прикл. механика. – 1984. – 20, № 10. – С. 22 – 31.
36. Гузь А.Н., Назаренко В.М. Механика разрушения материалов при сжатии вдоль трещин (Обзор).
Высокоэластические материалы // Прикл. механика. – 1989. – 25, № 9. – С. 3 – 22.
37. Гузь А.Н., Назаренко В.М. Механика разрушения материалов при сжатии вдоль трещин (Обзор).
Конструкционные материалы // Прикл. механика. – 1989. – 25, № 10. – С. 3 – 19.
38. Гузь А.Н., Назаренко В.М., Никонов В.А. Кручение полупространства с начальными напряжения-
ми, содержащего приповерхностную дискообразную трещину // Прикл. механика. – 1991. – 27. –
№ 10. – С. 24 – 30.
39. Гузь И.А. Устойчивость композита при сжатии вдоль трещины на границе раздела слоев // ДАН
СССР. – 1992. – 325, № 3. – С. 455 – 458.
40. Ключников Ю.В. Пространственная статическая задача для внешней дискообразной трещины в
упругом теле с начальными напряжениями. – Прикл. механика. – 1984. – 20. – № 2. – С. 8 – 15.
41. Композиционные материалы. В 8 – и т. Т.2. Механика композиционных материалов / Под ред. Дж.
Сендецки. – М.: Мир, 1978. – 565 с.
42. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Розвиток найдрібніших тріщин в твердому тілі // Прикл. механика. –
1959. – 5. – № 4. – С. 391 – 401.
43. Махненко В.И. Ресурс безопасной эксплуатации сварных соединений и узлов современных конст-
рукций. – К.: Наук. думка, 2006. – 619 с.
44. Махненко В.И., Шекера В.М., Кравцов Т.Г., Севрюков В.В. Влияние последующей механической
обработки на перераспределение остаточных напряжений в наплавленных валах // Автомат.
сварка. – 2001. – № 7. – С. 3 – 6.
45. Михайлов А.М. Обобщение балочного подхода к задачам теории трещин // Журн. прикл. механики
и техн. физики – 1969. – № 3. – С. 171 – 174.
46. Неклассические проблемы механики разрушения: в 4 – х томах, 5 – и книгах. / Под общ. ред.
А.Н.Гузя. – К.: Наук. думка, 1990 – 1993.
Т.1. Каминский А.А. Разрушение вязкоупругих тел с трещинами, 1990. – 312 с.
Т.2. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов с начальными напряжениями, 1991. – 288 с.
Т.3. Каминский А.А., Гаврилов Д.А. Длительное разрушение полимерных и композитных мате-
риалов с трещинами, 1992. – 248 с.
Т.4, кн. 1. Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Назаренко В.М. Разрушение и устойчивость материалов с
трещинами, 1992. – 396 с.
Т.4, кн. 2. Гузь А.Н., Зозуля В.В. Хрупкое разрушение материалов при динамических нагрузках,
1993. – 240 с.
85
47. Полилов А.Н., Работнов Ю.Н. Развитие расслоений при сжатии композитов // Изв. АН СССР.
Механика твердого тела. – 1983. – № 4. – С. 166 – 171.
48. Примаченко О.В., Бабич С.Ю. Осесимметричная задача для трещины нормального отрыва в пред-
варительно напряженном слое // Прикл. механика. – 1992. – 28. – № 7. – С. 18 – 24.
49. Розен Б.У. Механика упрочнения композитов. В: «Волокнистые композиционные материалы. –
Москва: Мир, 1967». – С. 54 – 96.
50. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – Л.: Наука, 1967. – 404 с.
51. Филиппова Л.М. О влиянии начальных напряжений на раскрытие круговой трещины // Прикл.
математика и механика. – 1983. – 47. – № 2. – С. 286 – 290.
52. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Е.Н.Шикула, Назаренко Л.В. Статистическая механика и эффектив-
ные свойства материалов. – К.: Наук. думка, 1993.390 с. – (Механика композитов: В 12 т. / Под
общ. ред. А.Н.Гузя.; Т.3).
53. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения – М.: Наука, 1974. – 640 с.
54. Шульга Н.А., Томашевский В.Т. Технологические напряжения и деформации в материалах. – К.:
«А.С.К», 1997. – 394 с. – (Механика композитов: В 12 т. / Под общ. ред. А.Н.Гузя.; Т. 6).
55. Ainsworth R.A., Sharples J.K., Smith S.D. Effects of residual stresses on fracture behaviour – experimen-
tal results and assessment methods // J. of Strain Analysis for Engineering Design. – 2000. – 35, N 4. –
P. 307 – 316.
56. Akbarov S.D. Three – Dimensional Stability Loss Problems of Viscoelastic Composite Materials and
Structural Members // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 10. – P. 3 – 27.
57. Akbarov S.D. Stability loss and buckling delamination. – Berlin: Springer, 2012. – 450 p.
58. Akbarov S.D., Guz A.N. Mechanics of curved composites. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers,
2000. – 464 p.
59. Atkinson C., Craster R.V. Theoretical aspects of fracture mechanics // Prog. Aerospace Sci. – 1995. – 31.
– P. 1 – 83.
60. Bogdanov V.L. On a circular shear crack in a semi-infinite composite with initial stresses // Material
Science. – 2007. – 43, N 3. – P. 321 – 330.
61. Bogdanov V.L. Effect of residual stresses on fracture of semi – infinite composites with cracks // Me-
chanics of Advanced Materials and Structures. – 2008. – 15, N 6. – P. 453 – 460.
62. Bogdanov V.L. Influence of initial stresses on fracture of composite materials containing interacting
cracks // J. of Math. Sci. – 2010. – 165, N 3. – P. 371 – 384.
63. Bogdanov V.L. Nonaxisymmetric problem of the stress – strain state of an elastic half – space with a near
– surface circular crack under the action of loads along it // J. of Math. Sci. – 2011. – 174, N 3. –
P. 341 – 366.
64. Bogdanov V.L. Influence of initial stresses on the stressed state of a composite with a periodic system of
parallel coaxial normal tensile cracks // J. of Math. Sci. – 2012. – 186, N 1. – P. 1 – 13.
65. Bogdanov V.L. On the interaction of a periodic system of parallel coaxial radial – shear cracks in a
prestressed composite // J. of Math. Sci. – 2012. – 187, N 5. – P. 606 – 618.
66. Bogdanov V.L. Influence of initial stresses on the fracture of a composite material with a near – surface
mode III crack // J. of Math. Sci. – 2014. – 174, N3. – P. 1 – 14.
67. Bogdanov V.L., Guz A.N., Nazarenko V.M. Fracture of Semi-infinite Material with a Circular Surface
Crack in Compression Along the Crack Plane // Int. Appl. Mech. – 1992. – 28, N 11. – P. 687 – 704.
68. Bogdanov V.L., Guz A. N., Nazarenko V. M. Fracture of a Body with a Periodic Set of Coaxial Cracks
under Forces Directed Along them: an Axisymmetric Problem // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 2. –
P. 111 – 124.
69. Bogdanov V.L., Guz A. N., Nazarenko V. M. Stress-strain State of a Material under Forces Acting Along
a Periodic Set of Coaxial Mode II Penny-Shaped Cracks // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 12. –
P. 1339 – 1350.
86
70. Bogdanov V.L., Guz A. N., Nazarenko V. M. Nonclassical Problems in the Fracture Mechanics of Com-
posites with Interacting Cracks // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 1. –P. 64 –84.
71. Bogdanov V.L., Nazarenko V.M. Study of the Compressive Failure of a Semi-Infinite Elastic Material
with a Harmonic Potential // Int. Appl. Mech. – 1994. – 30, N 10. – P.760 – 765.
72. Bogdanov V.L. Mutual influence of two parallel coaxial cracks in a composite material with initial
stresses // Materials Science. – 2008. – 44, N 4. – P. 530 – 540.
73. Bolotin V.V. Stability problems in fracture mechanics. – New York: John Wiley and Sons, 1994. – 183 p.
74. Cotterell B. The past, present, and future of fracture mechanics // Eng. Fract. Mech. – 2002. – 69. –
P. 533 – 553.
75. Dhaliwal R.S., Singh B.M., Rokne J.G. Axisymmetric contact and crack problems for an initially stressed
neo – Hookean elastic layer // Int. J. Eng. Sci. – 1980. – 18, N 1. – P.169 – 179.
76. Dewald A.T., Hill M.R. Eigenstrain – based model for prediction of laser peening residual stresses in
arbitrary three – dimensional bodies. Part 1: model description // J. Strain Analysis. – 2009. – 44. – P. 1 – 11.
77. Dvorak G.J. Composite materials: Inelastic behavior, damage, fatigue and fracture // Int. J. of Solids
Struct. – 2000. – 37, N 1 – 2. – P. 155 – 170.
78. Erdogan F. Fracture mechanics // Int. J. of Solids Struct. – 2000. – 37, N 1 – 2. – P. 171 – 183.
79. Eshelby J.D. The force on the elastic singularity // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. – 1951. –244.
– P. 87 – 112.
80. Griffith A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. –
1920. – 221. – P. 163 – 198.
81. Guz A.N. Breakaway cracks in elastic bodies with initial stresses // Doklady Akademii Nauk SSSR –
1980. – 254, N 3. – P. 571 – 574.
82. Guz A.N. Spatial problem for shear cracks in elastic bodies with initial stresses // Doklady Akademii
Nauk SSSR. – 1981. – 257, N 3. – P. 562 – 565.
83. Guz A.N. A criterion of solid body destruction during compression along cracks (Two – dimensional
problem) // Doklady Akademii Nauk SSSR. – 1981. – 259, N 6. – P. 1315 – 1318.
84. Guz A.N. A criterion of solid body destruction under compression along cracks (A 3 – dimensional prob-
lem) // Doklady Akademii Nauk SSSR. – 1981. – 261, N 1. – P. 42 – 45.
85. Guz A.N. Moving cracks in elastic bodies with initial stresses // Sov. Appl. Mech. – 1982. – 18, N 2. –
P. 132 – 136.
86. Guz A.N. Fracture mechanics of composites in compression along cracks // Sov. Appl. Mech. – 1982. –
18, N 6. – P. 489 – 493.
87. Guz A.N. Energy criteria of the brittle fracture of materials with initial stresses // Sov. Appl. Mech. –
1982. – 18, N 9. – P. 771 – 775.
88. Guz A.N. On the criterion of brittle fracture of materials with initial stresses // Doklady Akademii Nauk
SSSR. – 1982. – 262, N. 2. – P. 285 – 288.
89. Guz A.N. On the Development of Brittle – Fracture Mechanics of Material with Initial Stresses // Int.
Appl. Mech. – 1996. – 32, N 4. – P. 316 – 323.
90. Guz A.N. On Non – Classical Problems and Mechanisms of Fracture Mechanics and its Description // Int.
Appl. Mech. – 1996. –32, N 11. – P. 827 – 844.
91. Guz A.N. Order of Singularity in Problems of Mechanics of Brittle Fracture of Materials with Initial
Stresses // Int. Appl. Mech. – 1998. – 34, N 2. – P. 103 – 107.
92. Guz A.N. Some modern problems of physical mechanics of fracture. In: “Fracture. A Topical Encyclope-
dia of Current Knowledge. Ed. by Gennady P. Cherepanov”.–Krieger Publ. Company, Florida, USA. –
1998. – P. 709 – 720.
93. Guz A.N. Dynamic Problems of the Mechanics of the Brittle Fracture Materials with Initial Stresses for
Moving Cracks. 1. Problem Statement and General Relations Ships // Int. Appl. Mech. –1998. – 34, N
12. – P. 1175 – 1186.
87
94. Guz A.N. Dynamic Problems of the Mechanics of the Brittle Fracture Materials with Initial Stresses for Moving
Cracks. 2. Cracks of Normal Separation (Mode I) // Int. Appl. Mech. –1999. – 35, N 1. – P. 1 – 12.
95. Guz A.N. Dynamic Problems of the Mechanics of the Brittle Fracture Materials with Initial Stresses for
Moving Cracks. 3. Transverse – Shear (Mode II) and Longitudinal – Shear (Mode III) Cracks // Int.
Appl. Mech. –1999. – 35, N 2. – P. 109 – 119.
96. Guz A.N. Dynamic Problems of the Mechanics of the Brittle Fracture Materials with Initial Stresses for
Moving Cracks. 4. Wedge Problems // Int. Appl. Mech. –1999. – 35, N 3. – P. 225 – 232.
97. Guz A.N. Fundamentals of the Three – Dimensional Theory of Stability of Deformable Bodies. – Berlin:
Springer – Verlag, 1999. – 555 p.
98. Guz A.N. Description and Study of Some Nonclassical Problems of Fracture Mechanics and Related
Mechanisms // Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N 12. – P. 1537 – 1564.
99. Guz A.N. Constructing the Three – Dimensional Theory of Stability of Deformable Bodies // Int. Appl.
Mech. – 2001. – 37, N 1. – P. 1 – 37.
100. Guz A.N. Moving cracks in composite materials with initial stresses // Mech. Compos. Materials. –
2001. – 37, N 5/6. – P. 695 – 708.
101. Guz A.N. Elastic Waves in Bodies with Initial (Residual) Stresses // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 1.
– P. 23 – 59.
102. Guz A.N. Critical Phenomena in Cracking of the Interface Between two Prestressed Materials. 1. Prob-
lem Formulation and Basic Relations // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 4. – P. 423 – 431.
103. Guz A.N. Critical Phenomena in Cracking of the Interface Between Two Prestressed Materials. 2. Exact
Solution. The Case of Unequal Roots // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 5. – P. 548 – 555.
104. Guz A.N. Critical Phenomena in Cracking of the Interface Between Two Prestressed Materials. 3. Exact
Solution. The Case of Equal Roots // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 6. – P. 693 – 700.
105. Guz A.N. Critical Phenomena in Cracking of the Interface Between Two Prestressed Materials. 4. Exact
Solution. The Case of Unequal and Equal Roots // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 7. – P. 806 – 814.
106. Guz A.N. Comments on “Effects of prestresses on crack – tip fields in elastic incompressible solids” //
Int. J. Solids Struct. – 2003. – 40, N 5. – P. 1333 – 1334.
107. Guz A.N. On Some Nonclassical Problems of Fracture Mechanics Taking into Account the Stresses
along Cracks // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 8. – P. 937 – 942.
108. Guz A.N. On study of nonclassical problems of fracture and failure mechanics and related mechanisms
// ANNALS of the European Academy of Sciences. – 2006 – 2007. – P. 35 – 68.
109. Guz A.N. On Study of Nonclassical Problems of Fracture and Failure Mechanics and Related Mecha-
nisms // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 1. – P. 3 – 40.
110. Guz A.N. Mechanics of Crack Propagation in Materials with Initial (Residual) Stresses (Review) // Int.
Appl. Mech. – 2011. – 47, N 2. – P. 121 – 169.
111. Guz A.N. Stability of Elastic Bodies under Uniform Compression (Review) // Int. Appl. Mech. – 2012.
– 48, N 3. – P. 241 – 293.
112. Guz A.N. Establishing the Foundations of the Mechanics of Fracture of Materials Compressed along
Cracks (Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 1. – P. 1 – 57.
113. Guz A.N., Dovzhik M.V., Nazarenko V.M. Fracture of a Material Compressed along a Crack Located at
a Short Distance from the Free Surface // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 6. – P. 627 – 635.
114. Guz A.N., Dyshel’ M.Sh., Nazarenko V.M. Fracture and Stability of Materials and Structural Members
with Cracks: Approaches and Results // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 12. – P. 1323 – 1359.
115. Guz A.N., Guz I.A. Analytical solution of stability problem for two composite halfplane compressed
along interacting cracks // Composites, Part B. – 2000. – 31, N 5. – P. 405 – 411.
116. Guz A.N., Guz I.A. On the Publications on the Brittle Fracture Mechanics of Prestressed Materials // Int.
Appl. Mech. – 2003. – 29, N 7. – P. 797 – 801.
117. Guz A.N., Guz I.A. Mixed Plane Problems of Linearized Solid Mechanics. Exact Solutions // Int. Appl.
Mech. – 2004. – 40, N 1. – P. 1 – 29.
88
118. Guz A.N., Guz I.A., Menshikov A.V., Menshikov V.A. Three – Dimensional Problems in the Dynamic
Fracture Mechanics of Materials with Interface Cracks (Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 1.
– P. 1 – 61.
119. Guz A.N., Knukh V.I., Nazarenko V.M. Compressive failure of materials with two parallel cracks: small
and large deformation // Theor. Appl. Fract. Mech. – 1989. – 11. – P. 213 – 223.
120. Guz A.N., Nazarenko V.M. Symmetric failure of the half – space with penny – shaped cracks in com-
pression // Theor. Appl. Fract. Mech. – 1985. – 3, N 3. – P. 233 – 245.
121. Guz A.N., Nazarenko V.M., Bogdanov V.L. Nonaxisymmetric compressive failure of a circular crack
parallel to a surface of halfspace // Theor. Appl. Fract. Mech. – 1995. – 22. – P. 239 – 247.
122. Guz A.N., Nazarenko V.M., Bogdanov V.L. Fracture under initial stresses acting along cracks: Ap-
proach, concept and results // Theor. Appl. Fract. Mech. – 2007. – 48. – P. 285 – 303.
123. Guz A.N., Nazarenko V.M., Bogdanov V.L. Combined analysis of fracture under stresses acting along
cracks // Archive of Appl. Mechanics – 2013. – 83, N 9. – P. 1273 – 1293.
124. Guz A.N., Nazarenko V.M., Starodubtsev I.P. On problems of fracture of materials in compression
along two unternal parallel cracks // Appl. Math. Mech. – 1997. – 18, N 6. – P. 517 – 528.
125. Guz I.A. On modelling of a failure mechanism for layered composites with interfacial cracks // ZAMM
– 1998. – 78, Sub. N 1. – P. S429 – S430.
126. Guz I.A., Guz A.N. Stability of Two Different Half – Planes in Compression Along Interfacial Cracks:
Analytical Solution // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, N 7. – P. 906 – 912.
127. Haughton D.M. Penny – shaped cracks in a finitely deformed elastic solid // Int. J. Solids Struct. –
1982. – 18, N 8. – P. 699 – 704.
128. Horii H., Nemat – Nasser S. Brittle failure in compression: splitting, faulting and brittle – ductile transi-
tion // Phil. Trans. Roy. Soc. London. – 1986. – A3I9, N 1549. – P. 337 – 374.
129. Irwin G.R. Fracture dynamics // Fracturing of Metals. – Cleveland: Amer. Soc. for Metals, 1948. –P.
147 – 166.
130. Irwin G.R. Onset of fast crack propagation in high strength steel and aluminium alloys // Proc. of the
2nd Sagamore Ordinance Materials Conference. – 1956. – 2. – P. 289 – 305.
131. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate //J. of Appl. Me-
chanics. – 1957. – 24. – P. 361 – 364.
132. John F. Plane strain problems for a perfectly elastic material of harmonic type // Commun. Pure and
Appl. Math. – 1960. – 13, N 2. – P. 239 – 296.
133. Kaminsky A.A. Mechanics of Long – Term Fracture of Viscoelastic Bodies with Cracks: Theory, Ex-
periment (Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 5. – P. 3 – 79.
134. Karihaloo B., Xiao Q.Z. Linear and nonlinear fracture mechanics. – New York: Elsevier Science, 2003.
– P. 81 – 212. – (Comprehensive Structural Integrity: In 10 vol. / Int. Adv. Board: Milne J., Ritchie
R.O., Karihaloo B.; Vol. 2).
135. Kassir M.K., Sih G.C. Mechanics of Fracture. – Vol. 2. Three dimensional crack problems. – Leyden:
Noordhoff Int. Publ., 1975. – 452 p.
136. Kurashige M. Circular crack problem for initially stressed neo – Hookean solid // ZAMM. – 1969. – 49,
N 2. – P. 671 – 678.
137. Murphy J.G, Destade M. Surface waves and surface stability for pre – stretched, unconstrained, non –
lineary elastic half – space // Int. J. of Non – Linear Mechanics – 2009. – 44. – P. 545 – 551.
138. Nazarenko V.M. Fracture of plastic masses with translational straine – hardening in compression along
near – surface cracks // Sov. Appl. Mech. – 1987. – 23, N 1. – P.61 – 64.
139. Nazarenko V.M., Bogdanov V.L., Altenbach H. Influence of initial stress on fracture of a halfspace
containing a penny – shaped crack under radial shear // Int. J. of Fracture. – 2000. – 104. – P. 275 – 289.
140. Obreimoff I.W. The splitting strength of mica // Proc. Roy. Soc. of London. – 1930. – 127A. – P. 290 – 297.
141. Orowan E.O. Fundamentals of brittle behavior of metals // Fatigue and Fracture of Metals / Ed.
W.M.Murray. – London: Willey, 1950. – P. 139 – 167.
89
142. Pasha M.L. Axially symmetric stress distributions in elastic solids containing penny – shaped cracks
under torsion // J. Appl. Mech. – 1975. – 42, N 4. – P. 896 – 897.
143. Rajit S, Dhaliwal R.S., Singh R.M, Rokhe I.G. Axisymmetric contact and crack problems for initially
stressed Neo – Hookean layer // Int. J. Eng. Sci. – 1980. – 18. N 1. – P. 169 – 179.
144. Rice J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches
and cracks // J. Appl. Mech. – 1968. – 35, N 4. – P. 379 – 386.
145. Selvadurai A.P.S. The penny – shaped crack problem for a finitely deformed incompressible elastic
solid // Int. J. Fract. – 1980. – 16, N4. – P. 327 – 333.
146. Treloar L.R.G. Large elastic deformations in rubber – like materials // IUTAM Colloquium. – Madrid,
1955. – P. 208 – 217.
147. Wang E.Z., Shrive N.G Brittle fracture in compression: mechanisms, models and criteria // Eng. Fract.
Mech. – 1995. – 52, N 6. – P. 1107 – 1126.
148. Wells A.A. Application of fracture mechanics at and beyond general yielding // Brit. Weld. J. – 1963. –
10, N 11. – P. 563 – 570.
149. Winiarsky B., Guz I.A. The effect of cracks interaction in orthotropic layered materials under compres-
sive loading // Phil. Trans. Roy. Soc. Series A. – 2008. – 366, N 1871. – P. 1835 – 1839.
Поступила 10.09.2014 Утверждена в печать 26.05.2015
|