Упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей

Методом граничних елементів розв’язана тривимірна задача теорії пружності про передачу зусиль із безмежної матриці у включення довільної форми за неідеального ковзного контакту між ними. Специфічні умови контакту враховуються неявно у отриманій системі шести граничних інтегральних рівнянь, які надал...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Михаськив, В.В., Стасюк, Б.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2015
Schriftenreihe:	Прикладная механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141018
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей / В.В. Михаськив, Б.М. Стасюк // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 42-51. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-141018
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1410182018-07-22T01:23:23Z Упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей Михаськив, В.В. Стасюк, Б.М. Методом граничних елементів розв’язана тривимірна задача теорії пружності про передачу зусиль із безмежної матриці у включення довільної форми за неідеального ковзного контакту між ними. Специфічні умови контакту враховуються неявно у отриманій системі шести граничних інтегральних рівнянь, які надалі регуляризуються та дискретизуються на введеній сітці граничних елементів. На прикладі включення у вигляді скінченного волокна із заокругленими торцями досліджено контактні зусилля на його поверхні, а також переміщення і напруження всередині неоднорідності при всесторонньому стиску матриці на безмежності. By the boundary element method, a three-dimensional problem of the theory of elasticity on transferring the loads from an infinite matrix to an inclusion of arbitrary shape is solved when the imperfect sliding contact between them exists. The specific contact conditions are taken into account indirectly in the system of six boundary integral equations. These equations are further regularized and discretized on the introduced mesh of boundary elements. En example of inclusion in the form of short cylindrical fiber with rounded ends is considered. Here the contact forces on the fiber surface, displacements and stresses in the fiber are studied under omni-directional compression of matrix at infinity. 2015 Article Упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей / В.В. Михаськив, Б.М. Стасюк // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 42-51. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141018 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Методом граничних елементів розв’язана тривимірна задача теорії пружності про передачу зусиль із безмежної матриці у включення довільної форми за неідеального ковзного контакту між ними. Специфічні умови контакту враховуються неявно у отриманій системі шести граничних інтегральних рівнянь, які надалі регуляризуються та дискретизуються на введеній сітці граничних елементів. На прикладі включення у вигляді скінченного волокна із заокругленими торцями досліджено контактні зусилля на його поверхні, а також переміщення і напруження всередині неоднорідності при всесторонньому стиску матриці на безмежності.
format	Article
author	Михаськив, В.В. Стасюк, Б.М.
spellingShingle	Михаськив, В.В. Стасюк, Б.М. Упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей Прикладная механика
author_facet	Михаськив, В.В. Стасюк, Б.М.
author_sort	Михаськив, В.В.
title	Упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей
title_short	Упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей
title_full	Упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей
title_fullStr	Упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей
title_full_unstemmed	Упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей
title_sort	упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141018
citation_txt	Упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей / В.В. Михаськив, Б.М. Стасюк // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 42-51. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT mihasʹkivvv uprugoesostoânievklûčeniâvformekorotkogovoloknapriskolʹzâŝemkontaktestrehmernojmatricej AT stasûkbm uprugoesostoânievklûčeniâvformekorotkogovoloknapriskolʹzâŝemkontaktestrehmernojmatricej
first_indexed	2025-07-10T11:45:46Z
last_indexed	2025-07-10T11:45:46Z
_version_	1837260289321467904
fulltext	2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 6 42 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, №6 В .В .Ми х а с ь к и в , Б . М .С т а с ю к УПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ В ФОРМЕ КОРОТКОГО ВОЛОКНА ПРИ СКОЛЬЗЯЩЕМ КОНТАКТЕ С ТРЕХМЕРНОЙ МАТРИЦЕЙ Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, ул. Научная, 3б, Львов, Украина; e-mail: tex@iapmm.lviv.ua, stasyuk.bohdan.m@gmail.com Abstract. By the boundary element method, a three-dimensional problem of the theory of elasticity on transferring the loads from an infinite matrix to an inclusion of arbitrary shape is solved when the imperfect sliding contact between them exists. The specific contact conditions are taken into account indirectly in the system of six boundary integral equations. These equations are further regularized and discretized on the introduced mesh of boundary elements. En example of inclusion in the form of short cylindrical fiber with rounded ends is considered. Here the contact forces on the fiber surface, displacements and stresses in the fiber are studied under omni-directional compression of matrix at infinity. Key words: three-dimensional elastic matrix, elastic inclusion, noncanonical shape, sliding contact, stress-strain state, boundary element method. §1. Введение. Идеальный механический контакт является наиболее распространенной в механи- ке математической моделью межфазного соединения включения с матрицей, когда предусматривается непрерывность перемещений и усилий на поверхности раздела сред. Разного рода ослабления этого соединения могут вносить существенные изме- нения в возникающие в композите упругие поля. Во многих практических случаях между включением и матрицей реализуется скользящий или гладкий контакт, сопро- вождающийся отсутствием касательных усилий на поверхности соединения. Как ука- зано в [4], по сравнению с моделью гладкого контакта включения с матрицей, все межфазные дефекты можно считать укрепляющим фактором, положительно влияю- щим на свойства композита. Таким образом, исследования гладкого контакта объем- ного включения сложной формы с трехмерной матрицей наравне с задачами об их идеальном контакте [8] являются актуальными и важными для практических инже- нерных расчетов конструкций из композитных материалов. По разным аспектам этой проблемы в трехмерном случае опубликован ряд работ [5 – 11], касающихся изучения классических (сферических, эллипсоидальных) форм включений. При рассмотрении неоднородностей с усложненной топологией необходимо привлечение численных методов анализа, в этом смысле преимущества метода граничных элементов опреде- ляются дискретизацией только двумерной поверхности раздела сред. Ниже предложен алгоритм указанного метода для определения напряженного со- стояния включения произвольной формы, в частности, в виде характерного для нано- композитов короткого цилиндрического волокна, при условии его гладкого сцепления с бесконечной упругой матрицей. Отметим, что влияние таких форм наполнителей на устойчивость материала исследовано в работе [3]. 43 §2. Гранично-интегральная формулировка задачи. Рассмотрим трехмерное упругое изотропное включение  2 (упругое волокно), граничащее с бесконечной упругой средой  1 . Граница контакта матрицы и вклю- чения является произвольной гладкой поверхностью S с наружной нормалью  1 2 3, ,n n nn . Механические свойства составляющих неоднородного тела определяют- ся модулями сдвига  iG и коэффициентами Пуассона  i (i = 1, 2; здесь и в даль- нейшем все величины, относящиеся к матрице, обозначим верхним индексом "1", а к включению – индексом "2" в круглых скобках). На тело действует статическая на- грузка, обусловливающая поле перемещений         0 0 00 1 2 3, ,u u uu в однородной упру- гой среде с механическими характеристиками матрицы, через    0 , 1,3ij i j  обозна- чим связанные с этим полем законом Гука напряжения. Между составными частями тела реализуется гладкий контакт, т. е. обеспечивается непрерывность нормальных к поверхности раздела фаз перемещений и усилий, а также отсутствие касательных уси- лий на поверхности S :          1 2 n n nu x u x u x  ;          1 1 n n nt x t x t x   ; x S ;        1 2 0r rt x t x  ;        1 2 0t x t x   . (2.1) Здесь  1 2 3, ,r r rr и  1 2 3, ,  τ – касательные к поверхности S ортогональные век- торы единичной длины. Интегральные представления Сомильяны для решений внешней  1k  и внут- ренней  2k  задач теории упругости в перемещениях позволяют определить пере- мещения в теле в глобальной системе координат в [4]                           3 0 1 1 1 , , ; kk k k k k i i k ij j ij j j S S u x u x U x t d S T x u d S                    (2.2)  kx ; 1,2k  ; 1,3i  , где    k jt x ,    k ju x  x S – контактные значения компонент усилий и перемеще- ний на поверхности S со стороны нормали, когда 1k  , и с противоположной сторо- ны, когда 2k  ; ij – символ Кронекера; ядра  k ijU и  k ijT записываем следующим образом:                2 1 , 3 4 ; 16 1 i i j jk k ij ijk k x x U x xG x                            2 1 , 8 1 k ij k T x x                   3 2 1 1 2 3 i i j jk m m ij m m x x x n xx                     44           1 2 ( , 1,3; j jk i i j i xx n n i j x x                  1,2)k  . (2.3) Для получения системы граничных интегральных уравнений (ГИУ) осуществим в (2.2) граничный переход к поверхности S , учитывая свойства упругих потенциалов простого и двойного слоев. Тогда имеем равенства                           3 1 1 1 1 1 0 1 , ,i ij j i ij j i j S S u x T x u u x d S U x t d S u x                    ;                   3 2 2 2 2 1 , , 0ij j i ij j j S S T x u u x d S U x t d S                   ( x S ; 1,3i  ). (2.4) Здесь применена процедура первичной регуляризации интегралов с сингулярным ядром  k ijT с целью преобразования их к слабосингулярным в таком виде:        ,k k ij j S T x u d S  =                    , ,k k k k k j ij ij j j S S u x T x d S T x u u x d S          =                1 , 2 k k k k j ij j j S u x T x u u x d S        . Проблема несоответствия количества искомых неизвестных и полученных ГИУ может быть решена двумя путями. Первый из них предполагает явное включение в систему решаемых уравнений граничных условий. Этот подход, после регуляризации сингулярных интегралов, позволяет свести задачу к решению девяти уравнений отно- сительно контактных величин    k iu x ,  it x  1,2; 1,3k i  . Более предпочтитель- ным является подход, связанный с возможностью избавиться от «лишних» неизвест- ных путем преобразования ГИУ (2.4) в локальной системе координат, ориентирован- ной на нормаль к поверхности S в точке интегрирования, и предполагающий неявное удовлетворение контактных условий. Сначала введем функции скачков граничных значений перемещений на поверхно- сти S как          1 2 i i iu x u x u x   . Тогда ГИУ (2.4) можно записать следующим образом:      2 i iu x u x  –                     3 1 2 2 1 1 , ,ij j i ij j i j S S T x u u x d S T x u u x d S                                  1 0, ;ij j i S U x t d S u x       45                   3 2 2 2 2 1 , , 0ij j i ij j j S S T x u u x d S U x t d S                   ; x S , 1,3i  . (2.5) Далее перейдем к новым искомым функциям, осуществляя преобразование от системы координат 1 2 3O x x x к локальной системе координат 0x r n . На основании условий гладкости контакта соотношения между поверхностными перемещениями и усилиями в разных системах координат приобретают форму i i r iu r u u     ; i i nt n t . С учетом изложенного систему ГИУ можно представить в виде            2 i i r iu x r x u x x u x    –                1 2 2,ij j j j r S T x u u x dS r x u x                             1 1, ,j ij ij j r j S S x u x T x dS T x r u u dS                                 1 0,ij j n i S U x n t dS u x    ;                     3 2 2 2 2 1 , , 0ij j i ij j n j S S T x u u x d S U x n t d S                    ; x S , 1,3i  . (2.6) В замкнутой системе шести скалярных ГИУ (2.6) относительно трех компонент поверхностных перемещений включения  2 iu , нормальных контактных усилий nt и двух скачков поверхностных касательных перемещений ,ru u  автоматически удовлетворены условия скользящего контакта между включением и матрицей. §3. Граничноэлементное решение системы ГИУ. Для построения дискретного аналога ГИУ межфазная поверхность S покрываем компактной непрерывной сетью N четырехугольных восьмиузловых и треугольных шестиузловых суперпараметрических криволинейных элементов qS  1,q N . Дис- кретизация системы уравнений (2.6) осуществляем путем замены интегралов по меж- фазной поверхности S суммой интегралов по граничным элементам qS , отображен- ным на плоскую область квадратной или треугольной формы в зависимости от типа элемента с использованием аппроксимации по всем его узлам. При этом координаты произвольной точки поверхности граничного элемента выражаются через координаты узлов граничного элемента и его функции формы зависимостями       8 , 1 2 1 2 1 , , , 1,3,v q nq q j j j n n x f x N j x S         , (3.1) где  ,v q n – глобальный номер узла, имеющего n -ный локальный номер в q -ом граничном элементе;  1 2,nN   – функции формы, а именно: 46      1 1 2 1 2 1 2 1 , 1 1 1 4 N            ;     2 2 1 2 1 2 1 , 1 1 2 N       ;      3 1 2 1 2 1 2 1 , 1 1 1 4 N           ;     2 4 1 2 2 1 1 , 1 1 2 N       ;      5 1 2 1 2 1 2 1 , 1 1 1 4 N           ;     2 6 1 2 1 2 1 , 1 1 2 N       ;      7 1 2 1 2 1 2 1 , 1 1 1 4 N            ;     2 8 1 2 2 1 1 , 1 1 2 N       . Компоненты векторов перемещений и усилий в точках поверхности включения билинейно интерполируются через их значения в угловых (нечетных) узлах элемента таким образом:           4 2 2 ,2 1 1 2 1 2 1 , ,v q n j j n n u u M       , 1,3i  ;       4 ,2 1 1 2 1 2 1 , ,v q n r r n n u u M        ;       4 ,2 1 1 2 1 2 1 , ,v q n n n u u M         ;       4 ,2 1 1 2 1 2 1 , ,v q n n n n n p p M       ; (3.2)     1 1 2 1 2 1 , 1 1 4 M       ;     2 1 2 1 2 1 , 1 1 4 M       ;     3 1 2 1 2 1 , 1 1 4 M       ;     4 1 2 1 2 1 , 1 1 4 M       . Таким образом, порядок топологической интерполяции на единицу выше порядка интерполяции искомых функций, что позволяет построить оптимальный по размерно- сти дискретный аналог системы ГИУР для включений сложной топологической фор- мы. Определяющие соотношения для треугольных шестиузловых граничных элемен- тов можно получить из (3.1) и (3.2), предполагая вырождение элемента путем слияния 1, 7 и 8-го узлов. Если точка x S не относятся к области граничного элемента, по которому ве- дется интегрирование, то интегралы в уравнениях (2.6) являются регулярными и мо- гут быть вычислены с помощью формул Гаусса – Лежандра. Числовой эксперимент, проведенный в работе, показал удовлетворительную точность вычислений уже при втором порядке квадратур. При наличии сингулярных интегралов необходимо пред- варительно провести процедуру их численной регуляризации методом отображений, который заключается в разбиении области интегрирования на треугольные подобла- сти и применения к ним отображений, якобиан которых обращается в нуль в сингу- лярных точках. Более подробно процедура дискретизации уравнений такого типа из- ложена в работе [8]. Следует заметить, что в данном случае имеет место усложнение, связанное с определением ориентации единичных касательных векторов в узлах гра- ничных элементов, явным образом входящих в систему уравнений (2.6). Определение 47 координат этих векторов методом дифференцирования функций формы граничного элемента зависит от внутренней нумерации узлов в элементе (рис. 1) и осуществляет- ся по формулам:       8 , 1 2 ,1 1 2 11 , , q q iq v q n iq i nS nS x r x N           ;       8 , 1 2 ,2 1 2 12 , , q q iq v q n iq i nS nS x x N            . Здесь запятая в выражении ,n iN обозначает производную от функции nN по пере- менной i ;  ,v q n ix  1,3i  – координаты n -го узла q -го граничного элемента. Тогда компоненты вектора нормали в точке  принимают вид       3 3 1 1 iq ijm jq mq j m n r       ξ ξ , где ijm – символы Леви – Чивита. Поскольку один и тот же узел принадлежит к раз- ным граничным элементам и ему автоматически присваиваются разные порядковые номера, то и ориентация единичных касательных векторов в одном и том же узле для разных граничных эле- ментов будет разной. Поэтому, в дополнение к изложенной в [8] численной процедуре дискрети- зации системы ГИУ, необходимо применять алго- ритм автоматического переориентирования еди- ничных касательных векторов в узлах сетки в за- висимости от их локального номера в каждом гра- ничном элементе. Удовлетворяя ГИУ (2.6) в угловых узлах гра- ничных элементов, придем к следующему дис- кретному аналогу ГИУ в виде системы линейных алгебраических уравнений:        4 3 2 1 2 ,2 1 1 1 1 N w qnw v q nw w w w i i r i ij j q n j u r u u A u                               1 ,2 1 ,2 1 1 ,2 1 0,2 1 ,2 1 ,2 1qnw v q n v q n qnw v q nv q n v q n v q n w ij i r i ij j n iA r u u B n t u x           ,        4 3 2 ,2 1 2 ,2 1 1 1 1 0 N qnw v q n qnw v q n ij j ij j n q n j A u B n t         , 1,3, , 1,wi x S w V   , (3.3) где V – общее количество угловых узлов сетки граничных элементов;  k qnw ijA и  k qnw ijB – коэффициенты, определяемые как  k qnw ijA                  1 1 1 2 1 2 1 2 1 2, , 1 1 , , , 1 ,k q qw ij n w v q nT x f M J d d             ; Рис. 1 48  k qnw ijB               1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 -1-1 , , , ,k q qw ij nU x f M J d d         ; qJ – якобиан преобразования (3.1) на q-том элементе. Располагая дискретными значениями перемещений поверхности включения, а также нормальных усилий и скачков касательных перемещений на поверхности раз- дела сред, можно вычислить компоненты тензора напряжений в матрице и включе- нии. Для этого необходимо подставить представления перемещений (2.2) с учетом введения новых контактных величин в закон Гука и соотношения Коши. Тогда имеем:              1 10 1 1 - , 1- ij ij k nijk S x x D x n t d S       +               1 1 2 1 , , 1 kijk k S G S x u u d S            1x ;                         2 2 2 2 2 2 2 1 , , ; 1 1 ij k nijk ijk k S S G x D x n t d S S x u d S               2x ; , 1,3i j  . (3.4) Здесь ядра  k ijmD с порядком особенности 2 x   и ядра  k ijmS с порядком особенности 3 x   являются линейными комбинациями производных от функций  k ijU и  k ijT и приведены в [2]. §4. Численные результаты. В качестве примера рассмотрим всестороннее сжатие усилиями 0 матрицы с включением в форме короткого цилиндрического волокна, ограниченного элементами сферических и цилиндрической поверхностей (рис. 2) с радиусом R , полной длиной 2H ; тогда длина цилиндрической его части будет 2 2 2L H R  . В рассмотренной системе координат поверхность S представляем так:   2 2 2 1 2 3 22 2 2 1 2 3 3 , ; , . x x R x H R S x x x H R R H R x H                Для всестороннего сжатия основное поле перемещений  0 iu или правая часть ГИУ (2.6) принимает такой вид:            1 0 0 1 1 1 2 2 1 iu x G        . При вычислениях полагаем  1   2 0,45  . Удовлетворительной точности рас- четов в пределах одного процента расхождения результатов при сгущении дискрети- зационной сетки удалось достичь, используя покрытие поверхности S 96 граничны- ми элементами. В таблице при различных количествах используемых граничных эле- ментов приведены значения нормальных напряжений  0 33  и  0 11  в центре 49 включения с геометрическим параметром 2H R  и жесткостью    2 1 10G G  для иллюстрации сходимости полученных результатов. К-во элем. 480 360 288 216 192 144 96  0 33  -1.192369 -1.189312 -1.198138 -1.187521 -1.201534 -1.186677 -1.203319  0 11  -1.081506 -1.086179 -1.079360 -1.088751 -1.076674 -1.091078 -1.073166 ru R 0.0000093 0.0000138 0.0000307 0.0000593 0.0000723 0.0001388 0.0003373 С целью контроля точности удовлетворения граничных условий, приведены так- же относительные значения скачка перемещений на полюсе этого включения, кото- рые вследствие симметрии в этой точке должны равняться нулю. Рис. 2 Рис. 3 Достоверность предложенного метода проверена также на двух модельных задачах: 1) решение задачи о всестороннем сжатии упругого пространства с шарообразным включением, когда H R , дает результат, совпадающий с известным аналитическим решением Эшелби аналогичной задачи при условии идеального механического контак- та между матрицей и включением [1]; 2) случай чистого кручения относительно оси 3Ox упругого пространства с рассмотренным цилиндрическим включением, когда вследствие проскальзывания на включение не передаются усилия. Численные результа- ты также подтверждают отсутствие деформирования включения в этом случае. На рис. 3 – 5 показано изменение нормированных значений контактных усилий (рис. 3) и скачков полярных (рис. 4) и азимутальных (рис. 5) касательных перемеще- ний на межфазной поверхности вдоль высоты включения для соотношений 2H R  и 3H R  . На рис. 6 приведены зависимости нормальных напряжений  0 33  в попереч- ном сечении включения  3 0x  вдоль оси 1O x . Сплошные кривые соответствуют случаю гладкого контакта между включением и матрицей, а штриховые – идеального механического межфазного контакта. 50 Рис. 4 Рис. 5 На рис. 7 показаны зависимости максимальных нормированных значений этих же напряжений от нормированной длины включения H R для включений разной жест- кости     2 1 10G G  и     2 1 50G G  . Рис. 6 Рис. 7 Нормальные усилия на цилиндрической части межфазной поверхности практиче- ски не зависят от характера контакта включения с матрицей (рис. 4). К увеличению относительной длины включения эти величины также нечуствительны. Значительное увеличение нормального давления матрицы на включение по сравнению со случаем идеального механического контакта наблюдается лишь в районе полусферических торцов. Как видно из представленных результатов на рис. 6 и 7, при гладком контакте матрицы с включением абсолютные значения напряжения 33 в его срединном попе- речном сечении значительно меньше по сравнению с аналогом для случая идеального механического контакта. Причем указанное различие возрастает как с удлинением рассматриваемого волокна, так и с увеличением его относительной жесткости. Лишь при всестороннем сжатии шарообразного включения  1H R  напряжения внутри включения при гладком и идеальном механическом контакте совпадают. Как видно из рис. 6, распределение напряжений внутри включения при условии гладкого межфаз- 51 ного контакта имеет более равномерный характер по сравнению со случаем идеально- го механического контакта. Из рис. 5 следует, что независимо от относительной длины включения, скачки по- лярных касательных перемещений на его поверхности достигают максимума примерно в зоне перехода от цилиндрической части поверхности включения в сферическую. От- носительно зависимости скачков азимутальных касательных перемещений заметим, что, как видно из рис. 6, в цилиндрической части поверхности включения они изменя- ются незначительно и резко уменьшаются на торцевых частях его поверхности. §5. Заключение. В работе показано, что численно-аналитический метод граничных элементов яв- ляется эффективным инструментом решения трехмерных задач теории упругости для тел с включениями, которые характеризуются как сложной геометрической формой, так и условиями скользящего контакта с окружающей средой. В частности, он позво- ляет непосредственное включение таких условий в гранично-интегральную формули- ровку задач, приводя к уменьшению количества решаемых уравнений. На примере гладкого контакта конечного цилиндрического волокна с матрицей при всестороннем сжатии установлено качественные и количественные различия в распределениях параметров напряженно-деформированного состояния структуры сравнительно со случаем идеального контакта. Этот фактор следует учитывать при моделировании эффективных механических свойств гранулированных и волокнистых композитов, допускающих нарушения сцепления наполнителя с матрицей. Р Е ЗЮМ Е . Методом граничних елементів розв’язана тривимірна задача теорії пружності про передачу зусиль із безмежної матриці у включення довільної форми за неідеального ковзного кон- такту між ними. Специфічні умови контакту враховуються неявно у отриманій системі шести гра- ничних інтегральних рівнянь, які надалі регуляризуються та дискретизуються на введеній сітці гра- ничних елементів. На прикладі включення у вигляді скінченного волокна із заокругленими торцями досліджено контактні зусилля на його поверхні, а також переміщення і напруження всередині неоднорідності при всесторонньому стиску матриці на безмежності. 1. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. – М.: Изд. иностр. лит., 1963. – 247 с. 2. Balas J., Sladek J., Sladek V. Stress Analysis by Boundary Element Methods. – Amsterdam: Elsevier, 1989. – 686 p. 3. Guz A.N. Three-Dimensional Theory of Stability of a Carbon Nanotube in a Matrix // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 1. – P. 19 – 31. 4. Guz A.N., Rushchitsky J.J. Analys of Structurally Complex Nanocomposites (Review) // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 4. – P. 351 – 409. 5. Jasiuk I., Chen J., Thorpe M.F. Elastic moduli of composites with rigid sliding inclusions // J. Mech. Phys. Solids. – 1992. – 40, N 2. – P. 373 – 391. 6. Kushch V.I. Multipole expansion method in micromechanics of composites // Effective Properties of Het- erogeneous Materials (Kachanov M., Sevostianov I., eds.). – Dordrecht: Springer, 2013. – P. 97 – 197. 7. Lutz M.P., Zimmerman R.W. Effect of an inhomogeneous interphase zone on the bulk modulus and con- ductivity of a particulate composite // Int. J. Solids Struct. – 2005. – 42. – P. 429 – 437. 8. Mikhas’kiv V.V., Stasyuk B.M. Numerical Solution of Three-Dimentional Static Problems of Elasticity for a Body with a Noncanonical Inclusion // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 4. – P. 380 – 387. 9. Mura T., Jasiuk I., Tsuchida B. The stress field of a sliding inclusion // Int. J. Solids Struct. – 1985. – 21, N 12. – P. 1165 – 1179. 10. Zhong Z., Yu X.B., Meguid S.A. 3D micromechanical modeling of particulate composite materials with imperfect interface // Int. J. Multiscale Comp. Eng. – 2004. – 2, N 1. – P. 79 – 94. 11. Zhou K., Hoh H.J., Wang X., Keer L.M., Pang J.H.L., Song B.,Wang Q.J. A review of recent works on inclusions // Mech. Mater. – 2013. – 60, N 1. – P. 144 – 158. Поступила 16.09.2013 Утверждена в печать 26.05.2015

Упругое состояние включения в форме короткого волокна при скользящем контакте с трехмерной матрицей

Institution

Ähnliche Einträge