О взаимодействии поперечных плоских волн в нанокомпозитных материалах
Представлено теоретичне дослідження взаємодії кубічно нелінійних пружних плоских гармонічних хвиль в матеріалі, нелінійні властивості якого описуються пружним потенціалом Мурнагана. Розв’язок, що описує взаємодію поперечних горизонтально та вертикально поляризованих хвиль, отримано за допомогою мето...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141021 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О взаимодействии поперечных плоских волн в нанокомпозитных материалах / Е.В. Савельева // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 72-79. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-141021 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1410212018-07-22T01:23:09Z О взаимодействии поперечных плоских волн в нанокомпозитных материалах Савельева, Е.В. Представлено теоретичне дослідження взаємодії кубічно нелінійних пружних плоских гармонічних хвиль в матеріалі, нелінійні властивості якого описуються пружним потенціалом Мурнагана. Розв’язок, що описує взаємодію поперечних горизонтально та вертикально поляризованих хвиль, отримано за допомогою методу збурень. Описано перепомпування енергії між різними типами поперечних хвиль. Представлено результати чисельного аналізу для п'яти типів нанокомпозитних матеріалів. The theoretical study of cubically nonlinear elastic plane harmonic waves interaction is carried out for the material, nonlinear properties of which are described by Murnaghan elastic potential. The interaction of transverse horizontal and transverse vertical harmonic waves is studied by means of perturbing method. Pumping of the energy between different types of transverse waves is described. Results of a numerical analysis for five types of nanocomposite materials are presented. 2015 Article О взаимодействии поперечных плоских волн в нанокомпозитных материалах / Е.В. Савельева // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 72-79. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141021 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Представлено теоретичне дослідження взаємодії кубічно нелінійних пружних плоских гармонічних хвиль в матеріалі, нелінійні властивості якого описуються пружним потенціалом Мурнагана. Розв’язок, що описує взаємодію поперечних горизонтально та вертикально поляризованих хвиль, отримано за допомогою методу збурень. Описано перепомпування енергії між різними типами поперечних хвиль. Представлено результати чисельного аналізу для п'яти типів нанокомпозитних матеріалів. |
| format |
Article |
| author |
Савельева, Е.В. |
| spellingShingle |
Савельева, Е.В. О взаимодействии поперечных плоских волн в нанокомпозитных материалах Прикладная механика |
| author_facet |
Савельева, Е.В. |
| author_sort |
Савельева, Е.В. |
| title |
О взаимодействии поперечных плоских волн в нанокомпозитных материалах |
| title_short |
О взаимодействии поперечных плоских волн в нанокомпозитных материалах |
| title_full |
О взаимодействии поперечных плоских волн в нанокомпозитных материалах |
| title_fullStr |
О взаимодействии поперечных плоских волн в нанокомпозитных материалах |
| title_full_unstemmed |
О взаимодействии поперечных плоских волн в нанокомпозитных материалах |
| title_sort |
о взаимодействии поперечных плоских волн в нанокомпозитных материалах |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141021 |
| citation_txt |
О взаимодействии поперечных плоских волн в нанокомпозитных материалах / Е.В. Савельева // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 72-79. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT savelʹevaev ovzaimodejstviipoperečnyhploskihvolnvnanokompozitnyhmaterialah |
| first_indexed |
2025-07-10T11:46:10Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:46:10Z |
| _version_ |
1837260317106634752 |
| fulltext |
2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 6
72 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 6
Е .В .С а в е л ь е в а
О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНЫХ ПЛОСКИХ ВОЛН
В НАНОКОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: ksav@hotmai.ru
Abstract. The theoretical study of cubically nonlinear elastic plane harmonic waves in-
teraction is carried out for the material, nonlinear properties of which are described by Mur-
naghan elastic potential. The interaction of transverse horizontal and transverse vertical
harmonic waves is studied by means of perturbing method. Pumping of the energy between
different types of transverse waves is described. Results of a numerical analysis for five
types of nanocomposite materials are presented.
Key words: cubic nonlinearity, elastic plane wave, transverse harmonic wave, trans-
verse horizontal harmonic wave, transverse vertical harmonic wave, perturbing method, two
waves interaction, nanocomposite materials.
Введение.
Предметом публикации являются результаты исследования взаимодействия гори-
зонтально и вертикально поляризованных поперечных упругих плоских волн при их
распространении в гиперупругом материале. Деформирование материала описывается
нелинейной моделью Мурнагана [3, 6, 10]. Представление упругого потенциала
2 2 2
1,1 2,1 3,1
1 1
2 ( ) ( ) ( )
2 2
W u u u
3 2 2
1,1 1,1 2,1 3,1
1 1 1 1
( ) ( ) ( )
2 3 3 2
A B C u B u u u
22 2 2
1,1 2,1 3,1
1
2 2 ( ) ( ) ( )
8
A B u u u
2 2 2 2
1,1 1,1 2,1 3,1
1
3 10 4 ( ) ( ) ( ) ( )
8
A B C u u u u (0.1)
позволяет исследовать квадратично и кубически нелинейные волновые эффекты в
гиперупругом материале [8, 9]. Зависимость вектора перемещений 1( , ) ( , ),u x t u x t
2 3( , ), ( , )u x t u x t только от одной пространственной переменной дает возможность
последующей записи полной системы уравнений для распространяющихся вдоль оси
x плоских волн. В рамках учета квадратичной и кубической нелинейностей в опреде-
ляющих уравнениях нелинейные волновые уравнения имеют вид
1, 1, 1 1, 1, 2 2, 2, 3, 3,( 2 ) ( )tt xx xx x xx x xx xu u N u u N u u u u
2
3 1, 1, 4 2, 2, 1, 3, 3, 1,( ) ( ) ;xx x xx x x xx x xN u u N u u u u u u (0.2)
73
2 2 2
2, 2, 2 2, 1, 1, 2, 4 2, 2, 5 2, 1, 6 2, 3,( ) ( ) ( ) ( ) ;tt xx xx x xx x xx x xx x xx xu u N u u u u N u u N u u N u u
(0.3)
2 2 2
3, 3, 2 3, 1, 1, 3, 4 3, 3, 5 3, 1, 6 3, 2,( ) ( ) ( ) ( ) .tt xx xx x xx x xx x xx x xx xu u N u u u u N u u N u u N u u (0.4)
В (0.1) – (0.4) использованы стандартные обозначения: – плотность; , – уп-
ругие постоянные второго порядка (постоянные Ламе); , ,A B C – упругие постоянные
третьего порядка (постоянные Мурнагана),
1 3 ( 2 ) 2( 3 ) ;N A B C 2
1
2 ;
2
N A B
3
3
2 6 3 ;
2
N A B C 4
1
2 2 5 14 4 ;
2
N A B C
5
3
2 2
2
N A B , 6 3 10 4N A B C .
Квадратично нелинейные слагаемые в правой части уравнений (0.2) – (0.4) ис-
пользовались при постановке и решении трех стандартных задач нелинейной акусти-
ки, давших возможность исследования нелинейных эффектов, возникающих при рас-
пространении плоских волн [2, 5, 14, 16].
§1. Постановка задачи.
Наличие в правой части уравнений (0.2) – (0.4) кубически нелинейных слагаемых
создает новые, прокомментированные в работе [14], возможности для описания вол-
новой картины. В частности, может быть решена, сформулированная в [14], «новая
четвертая стандартная задача. Она состоит в задании на входе в среду одной из попе-
речных волн и выявлении генерирования другой поперечной волны. Это обеспечива-
ют составляющие с коэффициентом 6 3 10 4N A B C ».
Далее решаем задачу, в которой принимается условие: первоначально на входе в
среду возбуждаются только поперечные волны; продольные перемещения отсутствуют.
Уравнение (0.2), следовательно, далее не рассматриваем, так как возбуждением попе-
речными волнами продольной волны далее интересоваться не будем: эта задача уже
была исследована ранее [6, 12, 13]. Уравнения (0.3), (0.4), таким образом, представим
в виде
2 2
2, 2, 4 2, 2, 6 2, 3,( ) ( ) ;tt xx xx x xx xu u N u u N u u (1.1)
2 2
3, 3, 4 3, 3, 6 3, 2,( ) ( ) .tt xx xx x xx xu u N u u N u u (1.2)
Отметим, что правые части обоих уравнений кубически нелинейны, а сами уравнения
симметричны. Таким образом, на их основании можно исследовать задачу об одно-
временном распространении поперечных волн двух видов: горизонтально и верти-
кально поляризованных. В случае возбуждения на границе среды двух волн одинако-
вой частоты начальные и граничные условия будут иметь вид
2 3( , 0) ( , 0) 0;u x u x 0
2 2(0, ) cos ;u t u t 0
3 3(0, ) cos .u t u t (1.3)
На основании (1.1) – (1.3) исследуем теоретически взаимодействие этих волн.
§2. Решение уравнений движения.
Для решения уравнений (1.5), (1.6) воспользуемся методом возмущений [3,7,17].
Согласно методу, перемещения представляются в виде
( ) ( ) ( ) .Iu u u u
(2.1)
Первое приближение – линейное. Это решение линейных волновых уравнений,
соответствующих (1.1), (1.2),
74
( ) 2 ( )
2, 2, 0;tt xxu u
( ) 2 ( )
3, 3, 0tt xxu u
(2.2)
в виде гармонических волн
( ) 0( , ) cos ;n nu x t u kx t 2, 3.n (2.3)
Здесь – частота; k – волновое число поперечной волны; – ее фазо-
вая скорость; 0
nu ( 2, 3n ) – начальные постоянные амплитуды соответствующих пе-
ремещений.
Уравнения во втором приближении примет вид
( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2
2, 2, 4 2, 2, 6 2, 3,
1
( ) ( ) ;tt xx xx x xx xu u N u u N u u
(2.4)
( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2
3, 3, 4 3, 3, 6 3, 2,
1
( ) ( ) .tt xx xx x xx xu u N u u N u u
(2.5)
Для решения этих уравнений следует: вычислить их правые части, исходя из фор-
мул (2.3); по известным правым частям найти частное решение уравнений (2.4), (2.5)
– оно и будет решением второго приближения; суммируя решения первого и второго
приближений, получить решение уравнений (1.1), (1.2) с точностью до третьего при-
ближения.
Решения уравнений второго приближения получаем в таком виде:
0 3 0 0 2
( ) 3 4 3 2 6
2
( ) ( )1
, sin 3 ,
6
u N u u N
u x t x kx t
(2.6)
0 3 0 0 2
( ) 2 4 2 3 6
3
( ) ( )1
, sin 3 .
6
u N u u N
u x t x kx t
(2.7)
И для SH-, и для SV- волны, это – чистые третьи гармоники, амплитуды которых
зависят линейно от физических постоянных, кубически нелинейно от амплитуд, а
также от пройденного волной расстояния х. Следует отметить, что в случае начально-
го возбуждения импульса с одинаковой амплитудой для обеих волн эти решения сов-
падают: при
0 0
2 3 0u u u (2.8)
имеем
( ) ( ) 34 6
2 3 0
1
, , ( ) sin 3 .
3
N N
u x t u x t u x kx t
(2.9)
Суммируя решения первого и второго приближений, получаем решение уравне-
ний (1.5), (1.6) с точностью до третьего приближения в виде
3
0 0 0 2 0 2
2 2 2 2 4 3 6, cos ( ) ( ) sin 3 ;
6
k
u x t u kx t u u N u N x kx t
(2.10)
3
0 0 0 2 0 2
3 3 3 3 4 2 6, cos ( ) ( ) sin 3 .
6
k
u x t u kx t u u N u N x kx t
(2.11)
В случае же (2.8) –
3
3
2 3 0 4 6 0, , cos ( ) sin 3 .
3
k
u x t u x t u kx t N N u x kx t
(2.12)
75
§3. Числовой анализ полученного решения.
Числовое исследование проводилось с помощью пакета математических про-
грамм MAPLE 10.0. Для вычислений были использованы значения эффективных по-
стоянных для четырех типов нанокомпозитных материалов, соответствующих модели
3 nano (из публикации [14]). Составляющими указанных нанокомпозитов являются:
матрица, представленная в двух вариантах (N1 – смесь смолы ЭПОН-828 и полисти-
рола, с мягкой характеристикой нелинейности; N2 – смесь смолы ЭПОН-828 и стекла-
пирекс, с жесткой характеристикой нелинейности) и наполнитель – углеродные на-
нотрубки двух различных типов (N1 – зигзагообразные углеродные нанотрубки; N2–
хиральные углеродные нанотрубки). Характеристики и свойства материалов и их со-
ставляющих представлены и подробно описаны в публикации [14], а также в книге [4].
В таблице представлены необходимые параметры для четырех вариантов нано-
композитов: первая строка каждой ячейки содержит значение, соответствующее ком-
позиту, состоящему из матрицы N1 и наполнителя N1; вторая строка – матрицы N1 и
наполнителя N2, третья – N2 и N1, четвертая – N2 и N2, соответственно. Пять столб-
цов таблицы соответствуют пяти вариантам объемного содержания наполнителя на-
нокомпозита.
Объемные содержания
Постоянные
(1) 0,02c (1) 0,04c (1) 0,06c (1) 0,08c (1) 0,10c
4N (ГПа)
–0,319
–0,367
–57,325
–59,644
0,2155
0,1515
–55,716
–58,079
0,775
0,674
–53,977
–56,368
1,3285
1,1715
–52,37
–54,755
1,921
1,703
–50,704
–53,094
6N (ГПа)
–13,022
–13,022
–64,85
–64,85
–12,753
–12,753
–63,59
–63,59
–12,488
–12,488
–62,17
–62,17
–12,223
–12,223
–60,87
–60,87
–11,954
–11,954
–59,55
–59,55
(ГПа)
1,621
1,634
1,558
1,571
1,7
1,714
1,634
1,648
1,785
1,801
1,717
1,732
1,87
1,888
1,799
1,816
1,963
1,983
1,888
1,907
Волновые параметры: 1,0 МГц; 0 7
2 0 1 10u u м; 60,5 10k 1/м были выбра-
ны одинаковыми для всех рассматриваемых вариантов нанокомпозита. Обоснование
выбора значений этих величин также изложено в работе [14].
На представленных ниже графиках ось ординат соответствует амплитудам попе-
речных волн, а ось абсцисс – пройденному волной расстоянию, при фиксированном
значении переменной t . При этом рассмотрены следующие варианты задания началь-
ных амплитуд.
Вариант 1 ( 0 0
2 3 0u u u ) соответствует условию (2.8). Как было показано выше, в
этом случае решения для обеих поперечных волн совпадают. Соответственно, совпа-
дают и их графики (рис. 1).
Графики такого вида удобны для анализа изменений формы волнового профиля в
зависимости от физических параметров материала, например, от объемного содержания
наполнителя нанокомпозита. Числовое исследование проведено для всех двадцати вари-
антов нанокомпозитов, свойства которых представлены в табл. 1. На рис. 1 представлены
наиболее характерные графики для случаев (1) 0,02c (рис. 1, a), (1) 0,04c (рис. 1, б),
(1) 0,08c (рис. 1, в). Из них можно видеть, что характер распространения поперечной
волны изменяется в зависимости от значения концентрации волокон в нанокомпозите.
76
Рис. 1
Взаимодействие волн одинаковой амплитуды проявляется в искажении начально-
го профиля за счет изменения амплитуды, ее возрастания и увеличения частоты вол-
ны. При этом скорость и характер этого процесса зависит от выбора определенного
композитного материала как среды распространения волн.
77
Вариант 2 0 0
3 2 0( 2 2 )u u u , (рис. 2).
Рис. 2
Вариант 3 0 0
3 2 0( 5 5 )u u u , (рис. 3).
Рис. 3
Вариант 4 0 0
3 2 0( 10 10 )u u u , (рис. 4).
Рис. 4
78
Вариант 5 0 0
3 2 0( 40 40 )u u u , (рис. 5).
Рис. 5
На рис. 2 – 5 показаны графики изменения профиля волны в зависимости от про-
странственной координаты x : линиями 1 – для горизонтально поляризованной попе-
речной волны 2 ( , )u x t , согласно формуле (2.10); линиями 2 – для вертикально поляри-
зованной поперечной волны 3( , )u x t , согласно формуле (2.11). Как можно видеть из
представленных на рис. 2 – 4 графиков, амплитуда горизонтально поляризованной
волны, заданная изначально малой по сравнению с амплитудой вертикально поляри-
зованной волны, по мере распространения волн увеличивается.
Следует отметить, что этот процесс в материалах со слабой нелинейностью (низ-
кой концентрацией наполнителя нанокомпозита) происходит заметно медленнее, чем
в материалах с нелинейностью более сильной.
На рис. 5 представлены фрагменты графиков, построенных для случая (1) 0,08c .
Здесь можно видеть момент «обгона» размерами амплитуды горизонтально поляризо-
ванной волны размеров изначально большей амплитуды волны вертикально поляри-
зованной. Рисунок может служить иллюстрацией процесса перекачки энергии из
мощной вертикально поляризованной волны в слабую горизонтально поляризован-
ную волну.
Заключение.
Таким образом, проанализирован процесс одновременного распространения двух
поперечных волн различной (горизонтальной и вертикальной) поляризации в нано-
композитных материалах. Общий вывод из анализа может быть сформулирован сле-
дующим образом. При одновременном распространении указанных волн в нелиней-
ном нанокомпозитном материале происходит искажение их профилей. Вследствие
нелинейного волнового взаимодействия, волны постепенно трансформируются в свои
третьи гармоники. При условии различной изначальной интенсивности волн разной
поляризации происходит перекачка энергии из мощной волны в слабую. Причем ука-
занные процессы в материалах со слабой нелинейностью происходят заметно медлен-
нее, чем в материалах с нелинейностью более сильной.
Р Е ЗЮМ Е . Представлено теоретичне дослідження взаємодії кубічно нелінійних пружних
плоских гармонічних хвиль в матеріалі, нелінійні властивості якого описуються пружним потенціа-
лом Мурнагана. Розв’язок, що описує взаємодію поперечних горизонтально та вертикально поляри-
зованих хвиль, отримано за допомогою методу збурень. Описано перепомпування енергії між різни-
ми типами поперечних хвиль. Представлено результати чисельного аналізу для п'яти типів наноком-
позитних матеріалів.
79
1. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. – М.: Наука, 1990. – 432 с.
2. Гольдберг З.А. О взаимодействии плоских продольных и поперечных волн // Акуст. журн. – 1960. –
6, № 2. – С. 307 – 310.
3. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями: В 2-х т. – К.: Наук. думка, 1986. –
376 с. ( т. 1); 536 с. (т. 2).
4. Гузь А.Н., Рущицкий Я.Я., Гузь И.А. Введение в механику нанокомпозитов. – К.: Академпериодика,
2010. – 398 с.
5. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. – М.: Наука, 1966. – 529 с.
6. Рущицький Я.Я., Цурпал С.І. Хвилі в матеріалах з мікроструктурою. – К.: Ін-т механіки НАНУ
ім. С.П. Тимошенка, 1998. – 377 с.
7. Hahn H.G. Elastizitätstheorie. Grundlagen der linearen Theorie and Anwendungen auf eindimensionale,
ebene und raumliche Probleme. – Stuttgart: B.G.Teubner, 1985. – 340 р.
8. Khotenko E.A. Numerical Analysis of a Nonlinear Elastic Rayleigh Wave // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48,
N 6. – Р. 719 – 726.
9. Leipholz H.E. Theory of Elasticity. – Amsterdam: Nordhoof International Press, 1974. – 320 p.
10. Murnaghan F.D. Finite deformations in an Elastic Solids. – New York: Wiley, 1951. – 140 p.
11. Nowacki W. Theoria sprężystośći. – Warszawa: PWN, 1970. – 769 c.
12. Rushchitsky J.J. Self–switching of displacement waves in elastic nonlinearly deformed materials //
Comptes Rendus de l’ Académie des Sciences, Series IIb Mecanique. – 2002. – 330, N 3, – Р. 175 – 180.
13. Rushchitsky J.J. Self–Switching of Waves in Materials // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, N 11. –
Р. 1492 – 1498.
14. Rushchitsky J.J. On the Self–Switching Hypersonic Waves in Cubic Nonlinear Hyperelastic Nanocom-
posites // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 1. – Р. 73 – 93.
15. Rushchitsky J.J. Analysis of Quadratically Nonlinear Hyperelastic Plane Longitudinal Wave // Int. Appl.
Mech. – 2009. – 45, N 2. – Р. 148 – 158.
16. Rushchitsky J.J. Theory of Waves in Materials. – Copenhagen: Ventus Publishing ApS, 2011. – 270 р.
(free e-book, bookboon.com)
17. Rushchitsky J.J. Nonlinear Elastic Waves in Materials. – Berlin-Heidelberg: Springer, 2014. – 580 p.
18. Rushchitsky J.J. On a Nonlinear Description of Love Waves // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. –
Р. – 629 – 640.
19. Rushchitsky J.J., Savel`eva E.V. On Interaction of Transverse Cubically Nonlinear Plane Waves in an
Elastic Material // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 6, – Р. 661 – 668.
20. Rushchitsky J.J., Sinchilo S.V., Khotenko I.N. On Generation of the Second, Fourth, Eight and Next Har-
monics by the Quadratically Nonlinear Hyperelastic Plane Waves // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 6.
– Р. 649 – 659.
21. Sneddon I.N., Berry D.S. The Classical Theory of Elasticity. Flügge Encyclopedia of Physics, 3/VI. –
Berlin: Springer Verlag, 1951. – P. 1 – 126.
Поступила 11.02.2014 Утверждена в печать 26.05.2015
|