Об идентификации отказов навигационных датчиков
Наведено алгоритми ідентифікації датчика, що відмовив. Показана можливість використання для ідентифікації такого датчика обчислювальних процедур, аналогічних процедурам фільтру Калмана. Розглянуто випадок, коли для вимірювання кутової швидкості об'єкту використано п’ять датчиків. Показано, що в...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2015
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141025 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об идентификации отказов навигационных датчиков / В.Б. Ларин // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 112-118. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-141025 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1410252018-07-22T01:23:15Z Об идентификации отказов навигационных датчиков Ларин, В.Б. Наведено алгоритми ідентифікації датчика, що відмовив. Показана можливість використання для ідентифікації такого датчика обчислювальних процедур, аналогічних процедурам фільтру Калмана. Розглянуто випадок, коли для вимірювання кутової швидкості об'єкту використано п’ять датчиків. Показано, що в цьому випадку можна спростити обчислювальні процедури ідентифікації датчика, що відмовив. Ефективність запропонованих алгоритмів ілюструється прикладами. The algorithms of identification of faults of navigation measuring elements (sensor) are given. A possibility is shown for using purposely the identification of such a sensor the computing procedures similar to the Kalman filter procedures. The case is considered when five sensors are used to measuring the angular velocity. It is shown that here the computing procedures of sensor fault identification can be simplified. An efficiency of offered algorithms is illustrated by examples. 2015 Article Об идентификации отказов навигационных датчиков / В.Б. Ларин // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 112-118. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141025 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Наведено алгоритми ідентифікації датчика, що відмовив. Показана можливість використання для ідентифікації такого датчика обчислювальних процедур, аналогічних процедурам фільтру Калмана. Розглянуто випадок, коли для вимірювання кутової швидкості об'єкту використано п’ять датчиків. Показано, що в цьому випадку можна спростити обчислювальні процедури ідентифікації датчика, що відмовив. Ефективність запропонованих алгоритмів ілюструється прикладами. |
| format |
Article |
| author |
Ларин, В.Б. |
| spellingShingle |
Ларин, В.Б. Об идентификации отказов навигационных датчиков Прикладная механика |
| author_facet |
Ларин, В.Б. |
| author_sort |
Ларин, В.Б. |
| title |
Об идентификации отказов навигационных датчиков |
| title_short |
Об идентификации отказов навигационных датчиков |
| title_full |
Об идентификации отказов навигационных датчиков |
| title_fullStr |
Об идентификации отказов навигационных датчиков |
| title_full_unstemmed |
Об идентификации отказов навигационных датчиков |
| title_sort |
об идентификации отказов навигационных датчиков |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141025 |
| citation_txt |
Об идентификации отказов навигационных датчиков / В.Б. Ларин // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 112-118. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT larinvb obidentifikaciiotkazovnavigacionnyhdatčikov |
| first_indexed |
2025-07-10T11:46:43Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:46:43Z |
| _version_ |
1837260348707569664 |
| fulltext |
2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 6
112 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 6
В . Б . Л а р и н
ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОТКАЗОВ НАВИГАЦИОННЫХ ДАТЧИКОВ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3,
03057, Киев, Украина; e-mail: model@inmech.kiev.ua
Abstract. The algorithms of identification of faults of navigation measuring elements
(sensor) are given. A possibility is shown for using purposely the identification of such a
sensor the computing procedures similar to the Kalman filter procedures. The case is con-
sidered when five sensors are used to measuring the angular velocity. It is shown that here
the computing procedures of sensor fault identification can be simplified. An efficiency of
offered algorithms is illustrated by examples.
Key words: identification of faults of navigation measuring elements, Kalman filter,
singular value decomposition.
Введение.
Задачи определения нарушений функционирования элементов той или иной сис-
темы (отказы, повреждаемость и т. п.) привлекали и продолжают привлекать внима-
ние исследователей [2, 4, 6, 9, 13]. Важное место занимают эти вопросы и в навигаци-
онных задачах [4, 8, 10, 11]. В частности, в задаче идентификации отказавшего датчи-
ка угловой скорости (ДУС) в навигационной системе [4, 6]. Ниже, базируясь на ре-
зультатах [7], показана возможность использования для идентификации отказавшего-
ся ДУС’а вычислительных процедур, аналогичных процедурам фильтра Калмана [12].
Далее подробно рассматривается случай, когда для измерения угловой скорости объ-
екта используются 5 ДУС’ов [6]. Показано, что в этом случае можно упростить вы-
числительные процедуры (использовать только процедуры вычисления детерминанта
матрицы 4х4 или ее числа обусловленности).
§1. Задача идентификации отказов датчиков [4].
Выход у измерительного блока связан с измеряемой величиной и вектором
ошибок e следующим линейным стационарным соотношением:
y A e . (1.1)
Здесь векторы , ny e R , n mR , постоянная матрица n mA R , т. е. m – число из-
быточных датчиков. Принимаем, что в случае отказа i -го датчика ошибка ie имеет
следующий вид:
[0 0 0 0]i ie . (1.2)
Здесь и далее штрих означает транспонирование. Вводим матрицу V (размера m n ),
удовлетворяющую условию
0VA . (1.3)
Строим ортогональный проектор G , проектирующий вектор произвольной по-
грешности e в соответствующий вектор минимальной нормы 0e , т. е.
0e Ge . (1.4)
113
Учитывая, что вектор ошибки имеет структуру (1.2), предложим следующий
алгоритм определения i -го номера отказавшего датчика. Столбцы матрицы G
обозначим 1, ,k n , т. е. 1 nG g g . Находим минимальное значение
функционала
2
( ) kJ k q ; 0k k kq g e ; (1.5)
0
2
k
k
k
g e
g
. (1.6)
Здесь и далее – норма вектора, т. е.
2
x x x . Значение k k , для которого вы-
полняется условие arg min ( )k J k , соответствует номеру отказавшего датчика,
ошибка которого k определяется (1.6). Реализация алгоритма предполагает получе-
ние одного из возможных вариантов вектора погрешности e (1.2), для определения
которого используется значение вектора
p Vy . (1.7)
Эту задачу в [4] предлагаем сводить к задаче линейного программирования.
§2. Алгоритм, основанный на сингулярном разложении [3].
Пусть сингулярное разложение [1] матрицы A в (1.1) имеет вид
0
A U W
. (2.1)
Здесь ,U W – ортогональные матрицы, соответственно, размеров n n и ( )n m
( );n m – диагональная матрица размера ( ) ( )n m n m , диагональные элементы
которой больше нуля. Разобьем матрицу U на блоки 1 2U U U , причем размер блока
2U равен n m . Приняв во внимание ортогональность матрицы U , т. е.
1
1 2
2
0
0
U E
U U U U
U E
, (2.2)
после умножения слева матрицы A в (2.1) на 2U получим аналог (1.3)
2 0U A . (2.3)
В (2.2) и далее E – единичная матрица соответствующего размера. Умножив левую и
правую части уравнения (1.1) на 2U и приняв во внимание (2.3), получим аналог (1.7)
2 2p U y U e . (2.4)
Вектор 0e , имеющий минимальную норму и удовлетворяющий (2.4), выражается
следующим образом через векторы ,y e [5]:
0 2 2 2 2e U U y U U e . (2.5)
Согласно (2.5), проектор G , фигурирующий в (1.4), имеет вид
2 2G U U . (2.6)
114
Если обозначить 2 , 1,kU k n , столбцы матрицы 2U , т.е. 2 21 22 2nU U U U , то
столбцы проектора G в (2.6) можно записать так:
2 2k kg U U . (2.7)
Следовательно,
2
2 2 2 2 2 2k k k k kg U U U U U U и далее получим
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
k k
k
k k k k
U U U U y U U y
U U U U
. (2.8)
Таким образом, после подстановки выражений (2.5), (2.7), (2.8) в (1.5) имеем
2 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ,k k k k k k k k k kJ k g y U U U E U y y U E U U U y U U . (2.9)
Использование сингулярного разложения (2.1) позволяет в соответствии с соот-
ношениями (2.8), (2.9) выразить в явном виде (через результаты наблюдения – y )
функционал (1.5) и оценку погрешности датчика (1.6).
Таким образом, использование сингулярного разложения матрицы существенно
упрощает вычислительную процедуру идентификации отказов.
Отметим, что для получения ортогональной матрицы U можно использовать не
только сингулярное разложение (2.1), но и более простую вычислительную процеду-
ру, а именно QR-разложение [5].
§3. Фильтр Калмана.
Обратимся к системе (1.1), однако примем, как и в [6], что измерения угловой ско-
рости сопровождаются случайными помехами w , а именно:
y A e w , (3.1)
где вектор w является вектором случайных величин с такими характеристиками:
20,w ww E . Здесь и далее – символ математического ожидания.
Таким образом, вектор y можно рассматривать как доступный вектор фактиче-
ских (содержащих ошибки) измерений.
Известно, что решение переопределенной системы
Ax b (3.2)
можно записать в виде
1( )x A A A b . (3.3)
Рассмотрим рекуррентную схему построения решений (3.3) системы (3.2). Пусть в ре-
зультате использования первых k уравнений системы (3.2) получена оценка решения kx :
1( )k k k k kx A A A b ,
где матрицы kA и вектор kb определяются первыми k уравнениями (3.2).
В данном случае для получения последовательности решений kx можно исполь-
зовать рекуррентную процедуру [12].
Рассмотрим задачу получения 1k оценки вектора x , следуя [12, п. 3]. Итак,
предположим, что доступно новое 1k измерение сигнала, т. е. система пополнится
еще одним уравнением
1 1,k kA x b 1
k
k
A
A
, 1
1
k
k
k
b
b
z
.
115
Согласно [12, ур-я (3.45), (3.46), (3.48)] оптимальная оценка 1kx вектора x , по-
лученная в результате 1k измерения сигнала, связана с оптимальной оценкой kx ,
полученной в результате использования k измерений, следующим образом:
2 1
1 1( ) ( )k k k k k kx x P P z x
;
2 1
1 ( )k k k k kP P P P P
, (3.4)
где 1( )k k k k kx A A A b , 1( )k k kP A A , 2
k kP P .
Отметим, что эти соотношения, по сути, описывают алгоритм фильтра Калмана.
Как отмечено в [7, п. 8.3.1.2], рассмотренный выше фильтр Калмана позволяет вы-
числить и такие параметры, которые дают возможность выявить «отказ». Обозначим
2 1( )k kY P , 1k k kz x .
Здесь обозначения совпадают с принятыми в (3.4).
В этом случае функция правдоподобия имеет вид (соотношение [7, ф-ла (8.25)]:
1
( ) exp
2k k k kS Y
.
Этой функции сопоставляется статистика (соотношение [7, ур-е (8.27)]):
k k k
s
Y
k
. (3.5)
В (3.5) – размерность вектора k . В [7] отмечено, что если в алгоритме фильтрации
правильно выбраны модели, помехи являются центрированными нормальными слу-
чайными процессами, то sk имеет 2 -распределение.
В связи с тем, что на практике эти предположения не всегда выполняются, для
определения отказов в [7] предлагаем следующую процедуру. Выбираем некоторое
значение maxsk , которое определяет интервал изменения sk , отвечающий нормальной
работе системы. Если maxs sk k , то принимаем, что в системе произошел отказ.
Покажем, каким образом соотношение (3.5) можно использовать в задаче опреде-
ления номера отказавшего ДУС’а, т.е. в случае, когда в (1.1) 3n m . Пополним
процедуру (3.4) вычислением (определяемой (3.5)) величины sk . Таким образом, по-
лучим последовательность значений 1 2 , 3, , ,s s s nk k k . Эта последовательность позво-
ляет определить значения 1 2 1s sk k , 2 3 2 ,s sk k . Для демонстрации сути под-
хода предположим, что в соотношении (1.2), i n , т.е. уравнение, соответствующее
отказавшему ДУС’у, стоит на последнем месте в системе (3.1). Очевидно, что в этом
случае, при достаточно малом уровне шума w в (3.1) последнее значение в последо-
вательности j будет максимальным. В свою очередь это будет указывать на то, что
отказавший ДУС имеет номер n . В общем случае, когда номер отказавшего ДУС’а
есть ( )i i n , можно обобщить описанную выше процедуру, включив в нее следую-
щие шаги. На каждом шаге выполняется циклическая перестановка уравнений в сис-
теме (3.1): последнее уравнение становится первым, первое вторым и т.д. После этой
перестановки, на этом же шаге (номер которого (0 1)r r n ) вычисляется соответ-
ствующее значение последовательности j . Последнее значение в этой последова-
116
тельности обозначим r
. Номер шага r , на котором получено максимальное значе-
ние r
, связан с номером i отказавшего ДУС’а следующим образом:
i n r . (3.6)
Проиллюстрируем на примере эту процедуру.
Пример 1 [6]. Матрица A в (1.1) имеет вид
0,97204 0,60075 0 0 0,60075
0 0,77653 0,47992 0,47992 0,77653
0,23482 0,18997 0,87731 0,87731 0,18997
A
.
Угловая скорость 1 2 3 , величина i в (1.2) принята равной 1. Для генера-
ции вектора w в (3.1) используется процедура rand.m пакета MATLAB, величина
0,1 . Результаты моделирования приведены в табл. 1.
Таблица 1
i 0
1
2
3
4
1 0,2849 0,0303 0,3440 1,4821 367,6578
2 0,0091 0,2664 1,1265 24,3626 0,6189
3 0,6098 3,5288 5,7698 0,0232 0,1194
4 2,8948 10,2930 0,0438 0,0988 0,5483
5 58,3723 0,1144 0,0634 0,4445 2,0705
Как следует из табл. 1, результаты эксперимента подтверждают соотношения
(3.6), т.е. рассмотренный выше алгоритм, базирующийся на вычислительных проце-
дурах фильтра Калмана, позволяет указать номер отказавшего ДУС’а. Так, например,
в случае отказа первого ДУС’а ( 1)i максимальное из чисел, стоящих в первой стро-
ке табл. 1, соответствует столбцу 4
. Следовательно, полученное значение 4r и,
согласно (3.6), 1i .
§4. Случай 5 ДУС’ов.
Рассмотрим более подробно случай, когда для измерения угловой скорости ис-
пользуются 5 ДУС’ов, т.е., когда в системе (1.1) 5, 2n m . При такой избыточно-
сти измерительной системы ( 2)m можно существенно упростить процедуру опре-
деления отказавшего датчика. Так, рассмотрим соответствующую системе (1.1) мат-
рицу размера 5 4
A y e A . (4.1)
Если в матрице A вычеркнуть одну строку, то ранг полученной матрицы будет
равен 4, если номер вычеркнутой строки не равен i и будет равен 3, если вычеркнута
строка с номером i , т.е. содержащая i
согласно (1.2). Приняв это во внимание, рас-
смотрим соответствующую процедуру. Так, вычеркивая поочередно строки матрицы
A , получим s матриц , 2, ,5jA j , размера, 4 4 . Детерминанты этих матриц обо-
значим det( )j jD A . Очевидно, что если j i , то 0jD ; в противном случае,
0jD . Если рассматривается не система (1.1), а система (3.1), то при достаточно
малой величине , можно утверждать, что среди последовательности j jd D ми-
117
нимальное значение jd будет при j i . Таким образом, в рассматриваемом случае 5
датчиков; процедура определения номера отказавшего датчика сводится к построению
последовательности , 1, , 5jd j , и определения минимального члена этой последова-
тельности jd . Значения индекса этого члена соответствует номеру отказавшего датчика.
В общем, можно построить аналогичный алгоритм, в котором для определения
номера отказавшего датчика используется последовательность не детерминантов мат-
риц, а чисел обусловленности матриц jA (эти числа можно определить, используя
сингулярное разложение [5, ф-ла (2.1)]). Однако, представляется, что такая процедура,
связанная с вычислением сингулярного разложения каждой из матриц jA , будет более
трудоемкой, чем описанная выше процедура, связанная с вычислением определителей.
Проиллюстрируем описанную процедуру на примере.
Пример 2. Исходные данные совпадают с принятыми в примере 1. Результаты
численного моделирования описанной выше процедуры сведены в табл. 2.
Таблица 2
j
i
1 2 3 4 5
1 0,0814 0,6730 1,0075 0,9572 0,5413
2 0,4245 0,1671 0,6949 0,9572 0,8539
3 0,7371 0,3388 0,1890 0,6446 0,8539
4 0,8999 0,9857 0,6949 0,1387 0,4705
5 0,5873 0,9857 1,0075 0,6446 0,0354
В этой таблице приведены значения jd , номер строки ( )i , как и в табл. 1, соот-
ветствует номеру отказавшего датчика. Номера столбцов ( )j соответствует номеру
вычеркнутой строки в матрице A , определяемой (4.1). Как видно, минимальное (в ка-
ждой строке) значение элементов этой таблицы расположено на диагонали, т.е., когда
j i . Другими словами, минимальное значение jd имеет место при i j . Таким обра-
зом, описанный выше алгоритм позволяет определить номер отказавшего датчика.
Отметим, что, как и в примере 1, в этом примере результаты измерений полезного
сигнала сопровождаются случайными погрешностями (вектор 0w в (3.1)).
Заключение.
Приведены алгоритмы идентификации отказавшего датчика. Показана возмож-
ность использования для идентификации отказавшего датчика вычислительных про-
цедур, аналогичных процедурам фильтра Калмана. Рассмотрен случай, когда для из-
мерения угловой скорости объекта используются 5 датчиков. Показано, что в этом
случае можно упростить вычислительные процедуры идентификации отказавшего
датчика. Эффективность предлагаемых алгоритмов иллюстрируется примерами.
Р Е ЗЮМ Е . Наведено алгоритми ідентифікації датчика, що відмовив. Показана можливість
використання для ідентифікації такого датчика обчислювальних процедур, аналогічних процедурам
фільтру Калмана. Розглянуто випадок, коли для вимірювання кутової швидкості об'єкту використано
п’ять датчиків. Показано, що в цьому випадку можна спростити обчислювальні процедури ідентифі-
кації датчика, що відмовив. Ефективність запропонованих алгоритмів ілюструється прикладами.
118
1. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984. – 318 с.
2. Кузнецов Н.Ю., Шумская А.А. Оценка опасности отказа резервированной системы методом уско-
ренного моделирования // Проблемы управления и информатики. – 2013. – № 3. – С. 50 – 62.
3. Ларин В.Б. Сингулярное разложение матрицы в задаче определения отказов // Кибернетика и вы-
числительная техника. – 1994. – Вып. 101. – С. 86 – 88.
4. Лебедев Д. В. Идентификация отказов в блоке чувствительных элементов инерциальной навигаци-
онной системы // Автоматика. – 1992. – № 2. – С. 39 – 44.
5. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. – М.: Наука,
1986. – 230 с.
6. Deyst J.J., Harrison J.V., Gai E., Daly K.C. Fault Detection, Identification and Reconfiguration for Space-
craft Systems // J. Astron. Sci. – 1981. – 29, N 2. – P. 113 – 126.
7. Grewal M.S., Weill L.R., Andrews A.P. Global Positioning Systems, Inertial Navigation and Integration.
– New York: John Wiley&Sons, Inc., 2001. – 392 p.
8. Grip H.F., Fossen T.I., Johansen T.A., Saberi A. Attitude Estimation Using Biased Gyro and Vector
Measurements With Time-Varying Reference Vectors // IEEE Trans. on Automat. Control. – 2012.
– 57, N 5. – P. 1332 – 1338.
9. Khoroshun A.S., Nazarenko L.V. Deformation and Damage of Composites with Anisotropic (Review) // Int.
Appl. Mech. – 2013. – 49, N 4. – P. 388 – 455.
10. Larin V.B., Tunik A.A. On Inertial Navigation System Error Correction // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48,
N 2. – P. 213 – 223.
11. Larin V.B., Tunik A.A.. On Inertial Navigation System without Angular-Rate Sensors // Int. Appl. Mech.
– 2013. – 49, N 4. – P. 488 – 500.
12. Lee R.C.K. Optimal Estimation, Identification, and Control. – Cambridge: The M.I.T. Press. – 1964. –
N 28. – 176 p.
13. Tanaka S., Muller J, С. Fault detection in linear discrete dynamic systems by a pattern recognation of
generalized-likelihood-ratio // Trans. ASME. J. Dynamic Systems. Measurement and Control. – 1990.
– 112. – P. 276 – 292.
Поступила 16.03.2014 Утверждена в печать 26.05.2015
|