О стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка Лагранжа с жидкостью
Розглянуто задачу про стійкість та стабілізацію нестійкого обертання вільного вовчка Лагранжа з довільною осесиметричною порожниною, що містить ідеальну рідину. В рамках необхідних умов стійкості аналітично показано можливість стабілізації за допомогою твердих тіл, що обертаються. Числові розрахунки...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141026 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка Лагранжа с жидкостью / Т.В. Хомяк // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 119-127. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-141026 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1410262018-07-22T01:23:15Z О стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка Лагранжа с жидкостью Хомяк, Т.В. Розглянуто задачу про стійкість та стабілізацію нестійкого обертання вільного вовчка Лагранжа з довільною осесиметричною порожниною, що містить ідеальну рідину. В рамках необхідних умов стійкості аналітично показано можливість стабілізації за допомогою твердих тіл, що обертаються. Числові розрахунки підтвердили результати аналітичних досліджень для вовчка з еліпсоідальною та циліндричною порожнинами. A problem on stability and stabilization of unstable rotation of the Lagrange free top with arbitrary axisymmetric cavity filled by an ideal fluid is considered. Within the framework of necessary conditions of stability, a possibility is shown to stabilize using the rotating rigid bodies. The numerical calculations endorse the analytical results for the top with ellipsoidal and cylindrical cavity 2015 Article О стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка Лагранжа с жидкостью / Т.В. Хомяк // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 119-127. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141026 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглянуто задачу про стійкість та стабілізацію нестійкого обертання вільного вовчка Лагранжа з довільною осесиметричною порожниною, що містить ідеальну рідину. В рамках необхідних умов стійкості аналітично показано можливість стабілізації за допомогою твердих тіл, що обертаються. Числові розрахунки підтвердили результати аналітичних досліджень для вовчка з еліпсоідальною та циліндричною порожнинами. |
| format |
Article |
| author |
Хомяк, Т.В. |
| spellingShingle |
Хомяк, Т.В. О стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка Лагранжа с жидкостью Прикладная механика |
| author_facet |
Хомяк, Т.В. |
| author_sort |
Хомяк, Т.В. |
| title |
О стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка Лагранжа с жидкостью |
| title_short |
О стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка Лагранжа с жидкостью |
| title_full |
О стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка Лагранжа с жидкостью |
| title_fullStr |
О стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка Лагранжа с жидкостью |
| title_full_unstemmed |
О стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка Лагранжа с жидкостью |
| title_sort |
о стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка лагранжа с жидкостью |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141026 |
| citation_txt |
О стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка Лагранжа с жидкостью / Т.В. Хомяк // Прикладная механика. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 119-127. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT homâktv ostabilizaciineustojčivogovraŝeniâsvobodnogovolčkalagranžasžidkostʹû |
| first_indexed |
2025-07-10T11:46:51Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:46:51Z |
| _version_ |
1837260357074157568 |
| fulltext |
2015 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 51, № 6
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2015, 51, № 6 119
Т .В .Х о м я к
О СТАБИЛИЗАЦИИ НЕУСТОЙЧИВОГО ВРАЩЕНИЯ
СВОБОДНОГО ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА С ЖИДКОСТЬЮ
Национальный горный университет;
пр. Карла Маркса, 19, 49600, г. Днепропетровск, Украина
e-mail: khomyak-tanya@rambler.ru
Abstract. A problem on stability and stabilization of unstable rotation of the Lagrange
free top with arbitrary axisymmetric cavity filled by an ideal fluid is considered. Within the
framework of necessary conditions of stability, a possibility is shown to stabilize using the
rotating rigid bodies. The numerical calculations endorse the analytical results for the top
with ellipsoidal and cylindrical cavity
Key words: Lagrange free top, ideal fluid, stability, passive stabilization..
Введение.
Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения твердых тел с жид-
костью являются актуальными как с теоретической точки зрения, так и с практиче-
ской [17 – 19]. Эти задачи возникают в теории движения космических аппаратов, тан-
керов, железнодорожных цистерн и т. д., где запас жидкого топлива, имеющийся на
борту, оказывает существенное влияние на их движение. Такие задачи актуальны и
при проектировании быстровращающихся роторов, а также гироскопов, имеющих
внутри себя полости, заполненные жидкостью. Во всех случаях относительное дви-
жение жидкости оказывает дестабилизирующее влияние на движение твердого тела
[13]. В этой связи возникает задача о поиске возможностей стабилизации неустойчи-
вого движения твердого тела с жидкостью.
Одной из возможностей стабилизации является ограничение подвижности жидко-
сти путем введения в полость различных перегородок [3, 5], а в случае частичного
заполнения – ограничение подвижности свободной поверхности жидкости. Однако на
практике это не всегда удобно. Другой возможностью стабилизации является исполь-
зование гироскопических сил [14]. Так, в работах [11, 12] был обнаружен эффект ста-
билизации неуравновешенного гироскопа Лагранжа вторым вращающимся. В работах
[6, 7, 15] аналитически показана возможность стабилизации неустойчивого вращения
твердого тела с жидкостью одним вращающимся твердым телом, а в работах [8, 16]
рассмотрена задача о возможности стабилизации двумя твердыми телами.
В данной статье обобщeны результаты работы [8] на случай вырождения сфери-
ческих шарниров в цилиндрические, сравнения областей устойчивости для эллипсои-
дальной и цилиндрической полостей.
1. Постановка задачи.
Рассмотрим свободное движение (движение по инерции) вращающегося волчка
Лагранжа S , состоящего из твердого тела 0S и осесимметричной полости, целиком
заполненной идеальной однородной и несжимаемой жидкостью плотности . Пусть
в невозмущенном движении он равномерно вращается с угловой скоростью 0 вок-
руг оси симметрии (рис. 1). Из работ [1, 9, 13] следует, что такое движение является
довольно неустойчивым.
120
Для поиска возможностей стабилизации неустой-
чивого вращения такого волчка представим твердое
тело 0S в виде системы трех твердых тел 0
1S , 0
2S и 0
3S
(рис. 2). В точках 2O и 3O твердые тела соединены
при помощи сферических шарниров с коэффициента-
ми упругости соответственно 1k и 2k . Возможно также
использование цилиндрических шарниров или комбина-
ция цилиндрического и сферического шарниров в ука-
занных точках.
Пусть в невозмущенном движении твердые тела 0
1S
и 0
3S вращаются с угловыми скоростями 01 и 03
( 01 0 , 03 0 ), соответственно, вокруг общей
оси симметрии в одном направлении ( 01 03 0 ) или
в разных направлениях ( 01 03 0 ). Таким образом,
исходная механическая система представлена в виде
системы трех твердых тел, связанных упругими сфе-
рическими или цилиндрическими шарнирами.
Поставим задачу о возможности стабилизации не-
устойчивого вращения волчка Лагранжа при помощи
вращающихся твердых тел 0
1S и 0
3S . В основе уравне-
ний движения такой системы лежат известные урав-
нения движения n гиростатов, полученные Харламо-
вым П.В. и исследованные его учениками [11]. Урав-
нения возмущенного движения вращающейся идеаль-
ной жидкости приняты согласно работам [1, 4, 9].
Уравнения возмущенного движения свободной
системы трех упруго связанных волчков Лагранжа,
один из которых содержит полость с жидкостью,
имеют вид
1 1 1 01 1 1 2 2 3 3 1 1( ) ;A iC s a a k
2 2 2 02 2 2 1 2 2 3 3A iC a s s a
1 2 2
1
2 ( ) ;n n
n
a S k k
3 3 3 03 3 3 1 2 3( )A iC a s s
2 3 1 1 2 2 3 3, ; ; ;k (1)
02 2 02 22
( ) 0 ( 1, 2...)n
n n n
n
a
S i S i n
N
( 02
13 23, e ,i t j j
j j j n n jq ip S S i , 1j j js O O , 1 2 1,c O C j j jc O C ),
где jp , jq проекции возмущенной угловой скорости j -го тела; jA и jC − соответ-
ственно, экваториальный и осевой моменты инерции тел 0
1S , 2S и 0
3S относительно
их центров масс; jm масса тела jS ( , 1,3i j ); nS коэффициенты разложения воз-
мущенной относительной скорости жидкости; 13
j и 13
j − направляющие косинусы
j -го тела.
Рис. 1
Рис. 2
121
Соответствующее частотное уравнение имеет следующий вид [4, 8]:
2 2
21 2 2 1
1 2 3 2 1 3 2 2 1 3 3 12 2 2 2
2 0
k k k k
F F F F F F
(2)
0 1
0 32
( 1,3), 0;i i i i
i i
C k k
F A i k k
2 02 1 2
2 2 02 022
1
( ) ; 1 2 / ;n
n n
n n
C Ek k
F A
2 2 21 23
1 1 1 2 2 2 31 2 2 3 2 2 3 12 2
1
; ( 2 );
m m
A A c A A m m c m m c s m m s
m m
(3)
23 12 1 31 1
3 3 3 1 2 2 3 2 2 1 3; ( ); ;
m m m mm c
A A c m c m s c c
m m m
3 3
3 1 2 2 2 2 1 2 3[ ( )]; ; .ij i j
m c
m s m s c m m m m m m m
m
Если упругие сферические шарниры вырождаются в цилиндрические 1 2k k ,
то уравнение (2) существенно упрощается
1 2 3 1 2 32 0F F F (4)
022
2 2 02
1 2
( ) ; j jn
j j
n n
CEC
F A F A
;
2
, ( 1,3)j
j
k
K j
.
Как известно, в большинстве случаев основной эффект влияния жидкости на дви-
жение твердого тела можно учесть, рассматривая только основной тон колебания
жидкости ( 1n ). В работе [1] оценено влияние более высоких тонов на устойчивость
вращения твердого тела на примере цилиндрической полости. Показано, что добавле-
ние новых тонов колебаний жидкости приводит к появлению дополнительной облас-
ти неустойчивости. В случае эллипсоидальных полостей и полостей, образованных
софокусными эллипсоидами из бесконечного спектра собственных частот n на дви-
жение волчка оказывает влияние только основная частота n ( 0nE при 1n ).
Так, с учетом основного тона колебания жидкости ( 1n ) уравнение (2) записы-
вается в виде полинома 6-ой степени
6 5 4 3 2
0 1 2 3 4 5 6 0b b b b b b b (5)
* * * 2 * 2 2
0 0 1 0 1 1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3( ); ( ) 2 ;b b E b E A A A A A A
* * * * 2 2 * * 2
1 1 1 1 2 3 3 1 1 3 2 2 1 2 1 3(0) ( 1, 6); ( ) ( ) ( ) ( ) ;j j jb b b j b E A A C A A C A A C
* 2 * 2 *
2 1 2 3 1 2 1 3 1 1 2 2 3 3 1 2( ) [( ) ( 2 ) ] [( ) ( 2 ) ]b E A A A k A A A k
* * * * * * *
1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 1 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 1; ( ) [( 2 ) ( ) ]C C A C C A C C A b E C C C A A C C C A k
122
* * * *
2 3 3 1 2 3 1 2 4 1 1 2 3 1 2[( 2 ) ( ) ] ; ( ) ( 2 2A A C C C A k b E A A A (6)
* * * *
3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 5 1 1 2 3 1 22 ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ;k k C C C k C C C k b E C C C k k
* * *
6 1 1 1 01 2 2 1 2 2 1 0( ) 0; ; ; ; ( 1, 3) .j j jb E E E A A E C C E C C j
2. Метод исследования.
Необходимым условием устойчивости и пассивной стабилизации механической
системы является условие действительности всех корней полученных уравнений. В
настоящее время известен ряд критериев действительности всех корней уравнений n -
ой степени [2, 10, 20]. Однако для поставленной задачи стабилизации из-за многопа-
раметричности и сложности коэффициентов характеристических уравнений наиболее
удобным является критерий, предложенный в работе [2].
Стабилизировать неустойчивое вращение волчка Лагранжа с жидкостью можно
при помощи угловых скоростей вращающихся твердых тел 01 и 03 , параметров
твердих тел 1C , 3C , 1m , 3m , 1c , 3c , а также при помощи коэффициентов упругости
шарниров 1 2,k k [8, 16].
Стабилизация при помощи угловой скорости вращения и осевого момента
инерции твердых тел. Так как данные величины в коэффициенты уравнения (5) вхо-
дят в виде произведения (кинетического момента), то для простоты записи введем
следующие обозначения: 10 1 01C , 30 3 03C . Для исследования влияния основ-
ных параметров 10 и 30 на возможность стабилизации представим коэффициенты
(6) в виде
1 11 10 13 30 1b a a b ; 2 21 10 23 30b a a 213 10 30 2a b ;
3 31 10 33 30 313 10 30 3b a a a b ; 4 41 10 43 30 413 10 30 4b a a a b ;
5 51 10 53 30 513 10 30 5b a a a b ; 6 61 10 63 30 6b a a b .
Подставив эти соотношения в условия для уравнения 6-ой степени [2], получим сис-
тему пяти неравенств 2-ой, 4-ой, 6-ой, 8-ой и 10-ой степеней относительно 10 и 30 .
Ввиду громоздкости полученных неравенств рассмотрим частный случай, когда
10 30 0 , 1 2k k k , тогда условия устойчивости принимают вид
2
12 0 11 0 10
6 5
26 0 25 0 21 0 20
10 9
310 0 39 0 31 0 30
14 13
414 0 413 0 41 0 40
18 17
518 0 517 0 51 0 50
0;
... 0;
... 0;
... 0;
... 0
d d d
d d d d
d d d d
d d d d
d d d d
(7)
2 2 2
12 11 22 0 26 22 11 22 0 310 31 30 31 22 265 12 ; 24 ( 4 ); , 24 ;d a a b d a a a b d d k d d a d
3 2 *
414 43 42 41 40 43 22 26 22 2; 576 ; ;d d k d k d k d d a d a A
5 4 2
518 55 54 51 50 55 22 1 26... ; 6912 ;d d k d k d k d d a d
* 2 * 2 2 * 2 * 2
0 1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3 11 2 3 3 1 2 12 ; .b A A A A A A a A A A A
123
В обозначении ijd индексы имеют следующий смысл: i номер неравенства; j
степень параметра 0 ( 1, 5; 1, 18i j ). Коэффициенты 12d и 26d будут положи-
тельными при выполнении неравенств
2 2
11 22 0 11 22 05 12 0; 4 0.a a b a a b (9)
Из второго неравенства (9) следует выполнение первого. Подставив во второе нера-
венство (9) значения 11 22 0, ,a a b из соотношений (8), получим неравенство
* 2 * 2 2 * 2 * 2 2 *
2 3 3 1 2 1 1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3 2( ) 4( 2 ) 0,A A A A A A A A A A A (10)
которое с учетом значений *
1 2 3 1 2 3, , , , ,A A A из формул (3) принимает вид
*2 *
2 2 2 1 0
2
1 2 3
0
( )
A u A u u
m m m
(11)
2 2 2
2 2 2 2 4 2
2 2 1 2 0 1 2 3 2 5 2 6 0 0 2 6 2 7; 2 ( ); ( 2 );u y m y m y u c y y m y m y u c y m y m y
2 2 2 2
2 1 3 1 1 3 3 1 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3; 2 ; ( )( ) ( );y A A m c m c y y y y A A m m m m c c
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 1 3 1 3 1 3 1 3 4 4 1 3 1 3 1 3 1 3( ) ( ) ( ) ; 2 ( )( )( );y A A m m m m c c y y m m m m c c A A
2 2 2 2 2
5 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3( ) ( 6 ) 2 ( 3 )( )( )y A A m m m m m m c c m m A A
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 6 1 3 1 3 3 7 1 3 1 3( 2 )( 2 ); 4 ( ) ; 16 ( ) .m m c c c c c c c c y m m A A y y m m A A
При 1 3c c c , 1 3m m m и 1 3A A A неравенство (11) справедливо, так как
4 4 2 2
2 1 2 2
2
2
4 ( )
0
(2 )
m c A E m c
m m
, (12)
и в этом случае неравенства (9) выполнены.
Коэффициенты 310d , 414d и 518d являются многочленами относительно параметра
k с положительными коэффициентами при старшей степени, так как 22 0a и нера-
венства (9) выполнены. При достаточно больших значениях k коэффициенты 310d ,
414d и 518d будут положительными. Таким образом, все коэффициенты при старших
степенях в системе неравенств (7) положительные, откуда следует, что при достаточ-
но больших 0 эти неравенства всегда будут верными.
Следовательно, при достаточно больших значениях 0 и k аналитически показа-
на возможность стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с жидко-
стью при помощи двух вращающихся твердых тел. Количественная оценка величин
0 и k , при которых наблюдается эффект стабилизации, будет определена при чис-
ленных расчетах.
Влияние коэффициентов упругости сферических шарниров на возможность
стабилизации. Для исследования влияния коэффициентов упругости шарниров 1k и
2k на возможность стабилизации неустойчивого вращения свободного волчка Ла-
гранжа с жидкостью представим коэффициенты уравнения (5) следующим образом:
2 21 1 22 2 2b a k a k b ; 3 31 1 32 2 3b a k a k b ; 4 41 1 42 2 412 1 2 4b a k a k a k k b ; 5 51 1b a k
52 2 512 1 2a k a k k ; 6 612 1 2b a k k . Подставив эти соотношения в условия действитель-
124
ности корней для уравнения 6-ой степени [2], получим систему пяти неравенств 1-ой,
3-й, 5-ой, 7-ой и 9-ой степени относительно 1k и 2k . Ввиду громоздкости полученных
неравенств рассмотрим частный случай, когда 1 2k k k и 10 30 0 ; тогда
условия устойчивости принимают вид
11 10
3 2
23 22 21 20
6 5
36 35 31 30
10 9
410 49 41 40
14 13
514 513 51 50
0;
0;
... 0;
... 0;
... 0
d k d
d k d k d k d
d k d k d k d
d k d k d k d
d k d k d k d
(13)
2 2 2
11 21 0 23 21 0 21 0 42 36 42 0 21 0 42 21 0 4212 ; 96 ( 3 ); 1152 ( 4 )( 3 );d a b d a b a b a d a b a b a a b a
3 2 2 2 3 2 2
410 42 0 21 0 42 514 52 0 51 0 50 52 42 0 21 0 426912 ( 4 ) ; ; 82944 ( 4 ) ;d a b a b a d d d d d a b a b a
* 2 * 2
21 1 2 1 3 2 3 2 3 3 1 1 2[( 2 ) ( ) ] [( 2 ) ( ) ];a A A A A A A
*
42 1 2 3 1 2 32 2 2a A A A .
Так как 21 0a и 42 0a , то коэффициенты 11 0d и 410 0d , а 23d и 36d будут
положительными при выполнении неравенств
2 2
21 0 42 21 0 423 0, 4 0.a b a a b a (14)
Выполнение первого неравенства следует из второго неравенства (14), которое, в
свою очередь, эквивалентно следующему:
* 2 * 2 2
1 2 1 3 2 3 2 3 3 1 1 2(( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) )A A A A A A
* * 2 * 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 34( 2 2 2 )( 2 ) 0.A A A A A A A A A
(15)
С учетом значений *
1 2 3 1 2 3, , , , ,A A A из формул (3) неравенство (15) прини-
мает вид неравенства (11), которое выполнено, так как его числитель является квад-
ратным многочленом с положительным старшим коэффициентом и отрицательным
дискриминантом. Таким образом, неравенства (14) выполнены. Коэффициент 514d
является квадратным многочленом относительно 0 с положительным коэффициен-
том при старшей степени и при достаточно больших значениях 0 будет положи-
тельным. Таким образом, согласно рассуждениям, аналогичным приведенным ранее,
аналитически устанавливаем возможность стабилизации.
Случай цилиндрических шарниров. При вырождении двух сферических шарни-
ров в цилиндрические ( 1k , 2k ) уравнение (4) записываем в виде
2
0 1 2 0b b b (16)
*
0 1 2 3 1 2 32 2 2 ;b A A A
*
1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 1[ 2 2 2 ] ; [ ] .b A A A C C C b C C C
Условие действительности корней уравнения (16) определяет положительность дис-
криминанта
125
* 2
1 2 3 1 2 3 1 1 2 3([ 2 2 2 ] )A A A C C C
*
1 2 3 1 2 3 1 2 3 14( 2 2 2 )( ) 0.A A A C C C
(17)
Левая часть неравенства (17) представляет собой квадратный многочлен относитель-
но параметров 10 и 30 ( 10 1 1 01C C , 30 3 3 03C C ) с положительными коэф-
фициентами при старших степенях. При вращении твердых тел в сторону, противопо-
ложную вращению волчка ( 10 1 1 01C C , 30 3 3 03C C ) или в разные сто-
роны ( 10 30 0 ) неравенство (17) также записывается в виде квадратного многоч-
лена относительно параметров 10 и 30 с положительными коэффициентами при
старших степенях. Таким образом, при достаточно больших 10 и 30 стабилизация
будет возможна. При проведении численных исследований будет показано при каком
направлении вращения твердых тел быстрее наступает эффект стабилизации.
Аналогично утверждается возможность стабилизации при наличии сферического
и цилиндрического шарниров.
4. Численные расчеты.
Аналитические исследования свидетельствуют, что при достаточно больших зна-
чениях k и 0 стабилизация волчка Лагранжа с жидкостью возможна. Однако пред-
ставляет интерес проведение количественных оценок этого качественного результата
для конкретних полостей. В качестве примера рассмотрим случаи эллипсоидальной и
цилиндрической полостей. Твердое тело 0
2S представим безмассовой ( 20 0m ) и без-
инерционной оболочкой ( 20 20 0A C ), а вращающиеся твердые тела выберем в виде
тонких круговых дисков с центром масс, совпадающим с общими точками
( 1 3 0c c ). Области устойчивости представлены для эллипсоидальной полости за-
висимостью параметров 02 и ( /c a , где a и c полуоси эллипсоидальной
полости, причем c величина полуоси, направленной вдоль оси вращения твердого
тела с жидкостью), а для цилиндрической полости − 02 и H ( /H h r , где 2h и r –
высота и радиус цилиндрической полости). На рис. 3 и 4 показаны области устойчивости
для волчка с эллипсоидальной и цилиндрической полостями, соответственно
( 2
1 2 10k k ) (области устойчивости затемнены).
Рис. 3
Рис. 4
126
Из рис. 3 и 4 следует, что для волчка с эллипсоидальной и цилиндрической полос-
тями с одновременным увеличением угловой скорости вращения твердых тел
( 01 03 0 ) и коэффициентов упругости в шарнирах ( 2
1 2 10k k ) область ус-
тойчивости увеличивается.
При замене сферических шарниров на цилиндрические ( 1 2k k ) увеличение
угловой скорости вращения твердых тел ( 3
0 0,..., 10 ) приводит к смещению облас-
ти неустойчивости вправо и вверх (рис. 5, 6), а при 4
0 10 к ее полному исчезно-
вению. На рис. 5 и 6 показаны области устойчивости для волчка с эллипсоидальной и
цилиндрической полостями, соответственно.
Рис. 5
Рис. 6
Вращение твердых тел в разные стороны ( 5
01 03 0,..., 10 ) не приводит к
уменьшению и смещению области неустойчивости. Область неустойчивости в этом
случае будет аналогичной области, показанной на рис. 5, а, 6, а. При вырождении
сферических шарниров в цилиндрические и вращении твердых тел в сторону, проти-
воположную вращению волчка с жидкостью, область неустойчивости смещается вер-
тикально вверх. При 0 360 область неустойчивости полностью исчезает и система
стабилизируется. Таким образом, при использовании цилиндрических шарниров эф-
фективность стабилизации повышается.
Заключение.
В работе получены необходимые условия устойчивости равномерного вращения
свободной системы трех волчков Лагранжа, один из которых содержит идеальную
жидкость. Аналитически показана возможность стабилизации при помощи вращаю-
щихся твердых тел неустойчивого вращения свободного волчка Лагранжа с произ-
вольной осесимметричной полостью, содержащей идеальную жидкость. Результаты
аналитических исследований подтверждены проведенными численными расчетами
для эллипсоидальной и цилиндрической полостей, что дало возможность более точно
оценить влияние основных параметров вращающихся твердых тел на стабилизацию
волчка Лагранжа с жидкостью. Установлено, что эффективность стабилизации воз-
растает при замене сферических шарниров на цилиндрические, а также в случае вра-
щения волчка с жидкостью и твердых тел в противоположные стороны.
127
Р Е ЗЮМ Е . Розглянуто задачу про стійкість та стабілізацію нестійкого обертання вільного
вовчка Лагранжа з довільною осесиметричною порожниною, що містить ідеальну рідину. В рамках
необхідних умов стійкості аналітично показано можливість стабілізації за допомогою твердих тіл, що
обертаються. Числові розрахунки підтвердили результати аналітичних досліджень для вовчка з
еліпсоідальною та циліндричною порожнинами.
1. Докучаев Л.В., Рвалов Р.В. Об устойчивости стационарного вращения твердого тела с полостью,
содержащей жидкость // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1973. № 2. C. 6 – 14.
2. Коваль В.И. О действительности всех корней характеристического многочлена уравнений первого при-
ближения в динамике твердого тела // Механика твердого тела. 1999. 28. С. 130 – 145.
3. Кононов Ю.Н. О влиянии перегородок в цилиндрической полости на устойчивость равномерного
вращения волчка Лагранжа // Матем. физ. и нелин. механика. – 1992. – 17 (51). – С. 33 – 37.
4. Кононов Ю.Н. О движении системы связанных твердых тел с полостями, содержащими жидкость
// Механика твердого тела. 2000. 30. С. 207 – 216.
5. Кононов Ю.Н., Дрынь С.В. Об устойчивости вращения волчка Лагранжа с многослойной жидко-
стью, разделенной цилиндрическими перегородками // Вісн. Донецьк. ун-ту. Сер. А: Природничі
науки. – 2001. – № 1. – С. 34 – 39.
6. Кононов Ю.Н., Хомяк Т.В. Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жид-
костью вращающимся твердым телом // Механика твердого тела. 2004. 34. С. 161 – 169.
7. Кононов Ю.Н., Хомяк Т.В. О стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью
вращающимся твердым телом // Вісн. Донецьк. ун-ту. Сер. А. – 2003. – 2. С. 180 – 185.
8. Кононов Ю.Н., Хомяк Т.В. Стабилизация неустойчивого движения по инерции твердого тела с
жидкостью вращающимися твердыми телами // Механика-2007, Научн. труды III Беларус. конгр.
по теор. и прикл. механике (16 18 октября 2007 г.). Минск: ОИМ НАН Беларуси, 2007.
С. 332 – 337.
9. Рвалов Р.В., Роговой В.М. О вращательном движении тела с полостью, содержащей жидкость
// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1972. № 3. С. 15 – 20.
10. Ручкин К.А. Устойчивость равномерных вращений и стабилизация движений системы двух твер-
дых тел // Дис… канд. физ.-матем. наук: 01.02.01. Донецк, 1999. 146 с.
11. Савченко А.Я. Устойчивость стационарных движений механических систем. К.: Наук. думка,
1977. 160 с.
12. Светличная Н.В. Об эффекте стабилизации покоящегося неуравновешенного гироскопа вторым
вращающимся / Н. В. Светличная // Механика твердого тела. – 1989. – 21. – С. 74 – 76.
13. Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью // Журн.
прикл. механики и техн. физики. 1960. № 3. С. 20 – 55.
14. El-Gohary A. Optimal stabilization of a rigid body motion using rotors systems // Appl. Math. and Comput.
2003. 136, N 2 – 3. P. 229 – 239.
15. Kononov Y.N., Khomyak T.V. On the rotation stabilization of the unstable gyroscope containing fluid by
rotating the rigid body // Facta Universitatis. Ser. Mechanics, Automatic Control and Robotics. 2005.
4, N 17. P. 195 – 201.
16. Kononov Y.N., Khomyak T.V. Stabilization by Rotating Rigid Bodies for Unstable Rotation of a Rigid Body
with Cavities Containing a Fluid // Abstract and CD-ROM Proc. 21-st Int. Congr. of Theor. and Appl.
Mech. (ICTAM04). – Warsawа: Poland. Published by IPPT PAN, 2004. P. 320.
17. Koval’chuk P.S., Kruk L.A., Pelykh V.A. Stability of Composite Cylindrical Shells with Added Mass
Interacting with the Internal Fluid Flow // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 5. – P. 566 – 575.
18. Koval’chuk P.S., Kruk L.A., Pelykh V.A. Stability of Differently Fixed Composite Cylindrical Shells
Interacting with Fluid Flow // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 6. – P. 664 – 676.
19. Sil’chenko L.G., Movchan A.A., Sil’chenk O.L. Stability of a Cylindrical Shell Made of a Shape-Memory
Alloy // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 2. – P. 171 – 178.
20. Yang L. Recent Advances on Determining the Number of Real Roots of Parametric Polynomials
// J. Symb. Comput. 1999. 28. P. 225 – 242.
Поступила 27.02.2013 Утверждена в печать 19.02. 2015
|