Модель волокон конечных размеров в трёхмерной теории устойчивости композитных материалов (обзор)
Статтю присвячено огляду та аналізу результатів, що отримано в рамках тривимірної лінеаризованої теорії стійкості деформівних тіл (ТЛТСДТ) та нової моделі (так звана модель «волокон скінченних розмірів») стосовно теорії стійкості волокнистих і шаруватих композитних матеріалів, в порівнянні з поперед...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2016
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141030 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Модель волокон конечных размеров в трёхмерной теории устойчивости композитных материалов (обзор) / А.Н. Гузь, В.А. Декрет // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 3-77. — Бібліогр.: 74 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-141030 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1410302018-07-22T01:23:27Z Модель волокон конечных размеров в трёхмерной теории устойчивости композитных материалов (обзор) Гузь, А.Н. Декрет, В.А. Статтю присвячено огляду та аналізу результатів, що отримано в рамках тривимірної лінеаризованої теорії стійкості деформівних тіл (ТЛТСДТ) та нової моделі (так звана модель «волокон скінченних розмірів») стосовно теорії стійкості волокнистих і шаруватих композитних матеріалів, в порівнянні з попередніми результатами, що були отримані в рамках відомої моделі (так званої моделі «нескінченно довгих волокон»). This article is devoted to review and analysis of results obtained in the framework of the three-dimensional linearized theory of deformed bodies stability (TLTDBS) and the new model (the so-called «finite size fibers» model) as applied to the theory of stability of fibrous and laminated composite materials, in comparison with the previous results that were obtained in the framework of the well-known model (the so-called «infinitely long fibers» model). 2016 Article Модель волокон конечных размеров в трёхмерной теории устойчивости композитных материалов (обзор) / А.Н. Гузь, В.А. Декрет // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 3-77. — Бібліогр.: 74 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141030 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Статтю присвячено огляду та аналізу результатів, що отримано в рамках тривимірної лінеаризованої теорії стійкості деформівних тіл (ТЛТСДТ) та нової моделі (так звана модель «волокон скінченних розмірів») стосовно теорії стійкості волокнистих і шаруватих композитних матеріалів, в порівнянні з попередніми результатами, що були отримані в рамках відомої моделі (так званої моделі «нескінченно довгих волокон»). |
| format |
Article |
| author |
Гузь, А.Н. Декрет, В.А. |
| spellingShingle |
Гузь, А.Н. Декрет, В.А. Модель волокон конечных размеров в трёхмерной теории устойчивости композитных материалов (обзор) Прикладная механика |
| author_facet |
Гузь, А.Н. Декрет, В.А. |
| author_sort |
Гузь, А.Н. |
| title |
Модель волокон конечных размеров в трёхмерной теории устойчивости композитных материалов (обзор) |
| title_short |
Модель волокон конечных размеров в трёхмерной теории устойчивости композитных материалов (обзор) |
| title_full |
Модель волокон конечных размеров в трёхмерной теории устойчивости композитных материалов (обзор) |
| title_fullStr |
Модель волокон конечных размеров в трёхмерной теории устойчивости композитных материалов (обзор) |
| title_full_unstemmed |
Модель волокон конечных размеров в трёхмерной теории устойчивости композитных материалов (обзор) |
| title_sort |
модель волокон конечных размеров в трёхмерной теории устойчивости композитных материалов (обзор) |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141030 |
| citation_txt |
Модель волокон конечных размеров в трёхмерной теории устойчивости композитных материалов (обзор) / А.Н. Гузь, В.А. Декрет // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 3-77. — Бібліогр.: 74 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT guzʹan modelʹvolokonkonečnyhrazmerovvtrëhmernojteoriiustojčivostikompozitnyhmaterialovobzor AT dekretva modelʹvolokonkonečnyhrazmerovvtrëhmernojteoriiustojčivostikompozitnyhmaterialovobzor |
| first_indexed |
2025-07-10T11:47:25Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:47:25Z |
| _version_ |
1837260394459037696 |
| fulltext |
2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 1
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, № 1 3
А .Н . Г у з ь , В .А .Д е к р е т
МОДЕЛЬ ВОЛОКОН КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ В ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ
УСТОЙЧИВОСТИ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ (ОБЗОР)
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. П.Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: guz@carrier.kiev.ua
Abstract. This article is devoted to review and analysis of results obtained in the frame-
work of the three-dimensional linearized theory of deformed bodies stability (TLTDBS) and
the new model (the so-called «finite size fibers» model) as applied to the theory of stability
of fibrous and laminated composite materials, in comparison with the previous results that
were obtained in the framework of the well-known model (the so-called «infinitely long
fibers» model). The article consists of two parts.
The first part includes a short historical sketch of experimental and theoretical investigations
as applied to the following two problems: 1. The first problem – the stability loss in an inner struc-
ture of composites. 2. The second problem – the next failure or fracture of composites when the
above mentioned stability loss is an initial stage (start) of failure or fracture. An applicability of the
«infinitely long fibers» and «finite size fibers» models as applied to the stability loss of different
composites is proved basing on analysis of experimental results of various authors. A specific
character of failure or fracture of composites caused by stability loss in the inner structure is pre-
sented taking into account the experimental investigations of various authors. A short review of
theoretical investigations as applied to the theory of stability of fibrous and laminated composites
is presented in the framework of the following two approaches: 1. The first approach is based on
application of the two-dimensional and uni-dimensional approximate theories of stability of thin-
walled plates and rods (beams). 2. The second approach is based on application of the three-
dimensional linearized theory of deformed bodies stability (TLTDBS). The results of above men-
tioned review of theoretical investigations are presented for the «infinitely long fibers» model.
The second part is devoted to the short representation and review of results of the theo-
retical investigations obtained in the framework of the TLTDBS and the «finite size fibers»
model as applied to the theory of stability of fibrous and laminated composites. These re-
sults are obtained as applied to the plane problem, where the «finite size fibers» model al-
lows to take into account the finite size of reinforcing elements (fillers) under the plane
strain conditions. The strict mathematical formulation of this problem is presented in the
framework of TLTDBS and the piecewise-homogeneous medium model. The method of
constructing of the discrete problems is considered using the method of finite differences
and the software technology automate construction of discrete models. The results of solu-
tion are presented for the problems of composites stability in the cases of one and two short
fibers, the periodic series of short fibers and the short fibers near a free boundary surface.
An influence of the mechanical and geometrical parameters of composite components on
critical strain and buckling of reinforcing elements (fillers) in composite structure is consid-
ered. It must be underlined that the above mentioned results for the «finite size fibers»
model are obtained in the framework of plane problem with allowance for the perspective
consideration of corresponding spatial problem what is highly topical.
Key words: composite material, stability loss, inner structure, compression, «infinitely
long fibers» model, «finite size fibers» model, failure or fracture, approximate theories of
stability of thin-walled plates and rods, three-dimensional linearized theory of deformed
bodies stability, fibrous and laminated composites, critical strain, finite differences method,
basic scheme, software technology, discrete models, one and two short fibers, periodic se-
ries of short fibers, short fibers near surface.
4
Введение.
В настоящее время в научной литературе по механике композитных материалов и
по механике разрушения общепринято, что впервые явление микровыпучивания воло-
кон как форма разрушения однонаправленного композитного материала при сжатии
описано в работе [39], опубликованной в 1960 г. Таким образом, потеря устойчивости
во внутренней структуре композита при сжатии является начальным этапом (стартом)
разрушения композита. В последующие годы явление потери устойчивости во внут-
ренней структуре слоистых и волокнистых композитов при сжатии вдоль армирую-
щих элементов (наполнителя) рассмотрено в многочисленных исследованиях и ре-
зультаты представлены в многочисленных публикациях.
Для теоретических исследований был предложен ряд моделей (расчетных схем)
различного уровня строгости и последовательности, которые построены в рамках об-
щей модели «бесконечно длинных волокон». В модели «бесконечно длинных воло-
кон» рассматривается периодическая (вдоль оси армирующих элементов) форма по-
тери устойчивости, что позволяет проводить исследования для материалов бесконеч-
ных размеров (матрицы), в которой расположены бесконечно длинные армирующие
элементы (волокна), и таким образом не учитывать влияние граничных условий на
торцах армирующих элементов (волокон). Эта модель получила экспериментальное
обоснование (подтверждение) для ряда конкретных композитных материалов и, есте-
ственно, она применима для сравнительно длинных армирующих элементов (напол-
нителя). Более подробное обсуждение модели «бесконечно длинных волокон» пред-
ставлено в разделе 1 настоящей статьи; необходимо отметить, что эта модель практи-
чески исключительно применялась во всех исследованиях по анализу потери устой-
чивости во внутренней структуре композитов, начиная с публикации [41] за 1965 г.
Для сравнительно более коротких (вдоль оси армирующих элементов) армирую-
щих элементов (волокон), когда на формы потери устойчивости оказывают влияние
граничные условия на торцах армирующих элементов (волокон), модель «бесконечно
длинных волокон» уже неприменима. В этом случае уже необходимо применить мо-
дель «волокон конечных размеров» (вдоль оси армирующих элементов) и рассматри-
вать при этом конкретные граничные условия сопряжения с матрицей на торцах ар-
мирующих элементов (волокон). При этом в модели «волокон конечных размеров»,
естественно, уже не предполагается периодическая (вдоль оси армирующих элемен-
тов) форма потери устойчивости и определяется она (форма потери устойчивости) из
решения соответствующей строго сформулированной задачи с учетом граничных ус-
ловий на торцах армирующих элементов (волокон). Модель «волокон конечных раз-
меров» в вышеизложенной трактовке применительно к плоской задаче предложена в
публикациях [9, 52] за 2000 г.; такой подход в последующие годы применялся к ис-
следованию потери устойчивости во внутренней структуре композита применительно
к одному, двум и периодическому ряду волокон, а также к волокнам вблизи границы
материала. Достаточно подробное изложение результатов, полученных с привлечени-
ем модели «волокон конечных размеров», представлено в разделе 2 настоящей статьи.
Дополнительно целесообразно отметить некоторые вопросы терминологического
характера. Так, в настоящей статье применяются названия модель «бесконечно длин-
ных волокон» и модель «волокон конечных размеров». Исследования предназначены
в то же время для волокнистых однонаправленных и слоистых композитных материа-
лов. Таким образом, применительно к слоистым материалам (относительно размеров
слоев в направлении нагружения) целесообразно было бы применять названия модель
«бесконечно длинных слоев» и модель «слоев конечных размеров». Следовательно, в
общем виде для волокнистых однонаправленных и слоистых композитов оправданно
было бы применять названия для рассматриваемых моделей следующим образом:
модель «бесконечно длинных армирующих элементов» и модель «армирующих эле-
ментов конечных размеров». Все же по представлению авторов статьи терминология
– модель «бесконечно длинных волокон» и модель «волокон конечных размеров» яв-
ляется более информативной для специалистов по композитам; в связи с этим в на-
стоящей статье вышеуказанная терминология будет применяться для однонаправлен-
ных волокнистых и слоистых композитов.
5
Также отметим, что в настоящей статье (наряду с вопросами о потере устойчивости
во внутренней структуре волокнистых однонаправленных и слоистых композитов) также
обсуждаются вопросы механики разрушения вышеуказанных композитов при сжатии.
В связи с этим отметим некоторые особенности терминологии, которые используются
в механике разрушения применительно к исследованию явлений разрушения мате-
риалов и элементов конструкций. Так, под «fracture» обычно понимается разрушение,
которое определяется распространением одной или нескольких трещин; при этом
«fracture mechanics» занимается исследованием разрушения материалов и элементов
конструкций, которое также определяется распространением одной или нескольких
трещин. Под «failure» понимается разрушение, которое определяется исчерпанием
несущей способности материала или элемента конструкции и, в основном, проявляется
не только распространением одиночных трещин или системы трещин, но и других ме-
ханизмов; при этом «failure mechanics» занимается исследованием вышеотмеченной
ситуации. Под «damage» понимается разрушением, которое проявляется в накоплении
повреждений в виде диффузно расположенных развивающихся или зарождающихся
трещин или других повреждений; при этом «damage mechanics» занимается исследо-
ванием закономерностей (кинетики) накопления повреждений, в основном, в рамках
континуальных представлений с привлечением определенным образом выбранного
«damage indicator». Безусловно, вышеизложенная классификация является достаточно
условной и в то же время достаточно полезной и информативной при анализе различ-
ных результатов в механике разрушения в широком смысле этого термина.
Информацию о характерных механизмах разрушения во внутренней структуре
композитного материала при различных нагрузках можно получить из [8, т. 1, с. 46,
рис. 0.1]; при этом в списке литературы к [8] указаны соответствующие публикации.
Характерные механизмы разрушения во внутренней структуре однонаправленных
композитных материалов также при различных нагрузках схематически показаны на
[8, т. 1, с. 47, рис. 0.2].
В случае сжатия композитных материалов вдоль армирующих элементов (вдоль во-
локон) информацию о характерных механизмах разрушения можно получить из сведе-
ний, представленных на снимках в монографии [8]; эти же снимки, наряду с другими
снимками, представлены в разделе 1 настоящей статьи. Из вышеотмеченной информа-
ции следует, что в рассматриваемом случае сжатия композитов разрушение локализует-
ся в достаточно узких зонах, которые можно моделировать трещинами; причем в этих
зонах происходит смятие и разрушение волокон. Таким образом, в рассматриваемой
ситуации происходит как бы взаимодействие нескольких механизмов разрушения. Учи-
тывая вышеизложенную терминологию, относящуюся к различным видам разрушения,
и сведения, относящиеся к разрушению при сжатии композитов вдоль армирующих
элементов (волокон), обоснованно можно считать, что в рассматриваемом случае имеет
место явление «failure» и, следовательно, исследования проводятся в рамках «failure
mechanics». Следует отметить, что для полноты информации в обсуждаемом случае
можно также применять названия «failure or fracture» и «failure or fracture mechanics».
Вышеизложенными сведениями, имеющими вводный характер, ограничимся во
Введении. Таким образом, настоящая статья состоит из введения, раздела 1 и раздела 2.
В первом разделе приведен анализ характерных экспериментальных исследова-
ний, относящихся к потере устойчивости во внутренней структуре композита при
сжатии вдоль армирующих элементов (волокон) и к последующему разрушению ма-
териала, в котором потеря устойчивости в структуре композита является начальным
этапом (стартом) разрушения. Также, в первом разделе приведены краткий анализ
подходов, постановка задач, моделей и расчетных схем, методов решения задач и кон-
кретных результатов; при этом отмеченный анализ построен на полученных результа-
тах в рамках модели «бесконечно длинных волокон».
Во втором разделе представлены в краткой форме основные результаты теорети-
ческих исследований по теории устойчивости во внутренней структуре композитных
материалов при сжатии вдоль армирующих элементов, полученных в рамках модели
«волокон конечных размеров». Указанные результаты получены в рамках плоской
задачи с привлечением основных соотношений трехмерной линеаризированной тео-
рии устойчивости деформируемых тел (ТЛТУДТ).
6
1. Анализ экспериментальных и теоретических результатов.
Рассматривается анализ экспериментальных результатов по устойчивости во внут-
ренней структуре композита при сжатии и по дальнейшему разрушению. Рассматри-
вается также анализ теоретических результатов, полученных в рамках модели «беско-
нечно длинных волокон».
1.1. Анализ экспериментальных результатов. Отдельно рассмотрим анализ экс-
периментальных исследований, свидетельствующих о существовании явлений потери
устойчивости во внутренней структуре композитов при сжатии, а также результатов
по экспериментальному исследованию характера разрушения композитов при сжатии.
1.1.1. Экспериментальные результаты по потере устойчивости во внутренней
структуре композитов при сжатии. Прежде всего, необходимо отметить, что анали-
зируемое явление (потеря устойчивости во внутренней структуре) не наблюдается для
однородных материалов; оно характерно только для композитных материалов (как
для структурно-неоднородных материалов, в которых наличие внутренней структуры
учитывается на различных уровнях при их анализе). При этом целесообразно отме-
тить, что структурная однородность или неоднородность конкретного материала в
значительной мере определяется уровнем рассмотрения (исследования) процессов,
который, в основном, определяется показателями изменяемости полей механических
величин (напряжения, деформации, …) по пространственным переменным.
При анализе экспериментальных результатов по потере устойчивости во внутрен-
ней структуре композитных материалов необходимо учитывать следующую ситуа-
цию. При сжатии вдоль армирующих элементов (волокон, наполнителя) композитных
материалов в случае экспериментальных исследований наблюдать (фиксировать) по-
терю устойчивости во внутренней структуре «в чистом виде» весьма затруднительно,
так как с самого начала процесса потери устойчивости возникает незначительное или
значительное разрушение. В связи с этим для доказательства возможности существо-
вания явления потери устойчивости во внутренней структуре композитного материа-
ла при сжатии обычно приводят результаты специально поставленных эксперимен-
тов, которые заключаются в следующем.
Волокна (наполнитель композита) помещают в эпоксидную (или иную) смолу и
производят полимеризацию при определенной температуре; после этого осуществляют-
ся процессы охлаждения до определенной температуры и отверждения. Практически во
всех случаях рассматриваемых экспериментальных исследований нагружение сжатием
осуществляется за счет усадки (shrinkage) матрицы (смолы, связующего) при ее отвер-
ждении или остывании блока композитного материала. В этом случае за счет разности
коэффициентов теплового расширения волокон и матрицы, соединенных между собой,
на волокна действуют сжимающие нагрузки.
Вышеуказанные экспериментальные исследования проводились в различных на-
учных центрах в различное время. Результаты таких экспериментальных исследова-
ний представлены в соответствующих публикациях.
По-видимому, впервые обсуждаемые результаты экспериментальных исследова-
ний представлены на русском языке в публикации [26] за 1967 г., которая является
переводом публикации [67] за 1965 г. на английском языке; в связи с этим ниже при-
ведем некоторые результаты, соответствующие [26, 67]. Так, на рис. 1.1 приведена
фотоупругая картина для трех отдельных волокон из Е-стекла (диаметром 0,13; 0,09 и
0,013 мм) в матрице из эпоксидной
смолы, заполимеризированной при
температуре 120°С. Периодическая
(с большим числом периодов) фо-
тоупругая картина на рис. 1.1 для
всех трех волокон свидетельствует
о синусоидальной (вдоль направле-
ния волокон) форме потери устой-
чивости. Заметим, что рис. 1.1 со-
ответствует [26, фиг. 3.20]; эти ре-
зультаты, как уже отмечалось, по-
лучены методом фотоупругости.
Рис. 1.1
7
В последующие годы родст-
венные результаты эксперимен-
тальных исследований были полу-
чены во многих научных центрах, в
том числе и при других методах
отверждения смолы (связующего).
Ниже в качестве примера при-
ведены результаты эксперимен-
тальных исследований при термо-
химическом отверждении смолы
(связующего), при этом до термо-
химического отверждения смолы
волокна стекла и их пряди свободно плавали в связующем. Результаты указанных
экспериментальных исследований опубликованы в статье [41] за 1982 г.; при исследо-
ваниях применялись волокна стекла диаметром 0,01 мм. На рис. 1.2, соответствую-
щем публикации [41], представлены результаты (при увеличении в 50 раз) для от-
дельных волокон и пряди волокон после отверждения смолы (связующего) термохи-
мическим методом. Из рис. 1.2 видно, что вся прядь волокон и отдельные волокна
после отверждения смолы (связующего) приобретают явно выраженную периодиче-
скую синусоидальную (вдоль направления волокон) форму потери устойчивости.
Следует отметить, что результаты, представленные на рис. 1.1 и 1.2, относятся к
потере устойчивости во внутренней структуре композитных материалов, в которых
армирующими элементами являются волокна стекла диаметром 0,13; 0,09; 0,013 и
0,01 мм; вышеуказанные результаты экспериментальных исследований опубликованы
во второй половине ХХ века. Родственные экспериментальные исследования проводятся
и в настоящее время (в начале XXI века) применительно к случаям, когда армирую-
щими элементами (наполнителем) являются волокна из других материалов; при этом
во всех случаях сжатие реализуется за счет усадки (shrinkage) смолы (связующего) при
ее отверждении или остывании.
Примером результатов экспериментальных исследований, опубликованных в начале
настоящего XXI века, является статья [60],которая опубликована в 2004 г.; результаты
этой статьи, которые получены по вышеуказанной методике, относятся к исследова-
нию устойчивости углеродного волокна в полимерной матрице (эпоксидная смола).
На рис. 1.3, соответствующем статье [60], представлена периодическая синусоидаль-
ная форма потери устойчивости с большим количеством периодов. Форма потери ус-
тойчивости, представленная на рис. 1.3, получена при остывании полимерной матри-
цы и зафиксирована согласно [60] на 68-ой секунде после начала процесса остывания;
при этом в левом нижнем углу на рис. 1.3 указан масштаб изображения в микронах.
Наряду с результатами, представленными на рис. 1.1 – 1.3 и относящимися к во-
локнам стекла и углеродным волокнам, в настоящее время опубликован ряд статей с
результатами экспериментальных исследований по рассматриваемому явлению при-
менительно к различным композитным материалам.
Таким образом, вышеприведенные и родственные результаты экспериментальных
исследований, относящиеся к достаточно длинным армирующим элементам (волокнам,
наполнителю) в матрице (связующем), подтверждают существование явления потери
устойчивости во внутренней структуре композитного материала. Обнаруженные
при экспериментальных исследова-
ниях формы потери устойчивости
(рис. 1.1 – 1.3) являются периоди-
ческими (вдоль армирующих эле-
ментов, вдоль волокон) синусои-
дальными формами потери устой-
чивости во внутренней структуре
композита с большим числом перио-
дов; в связи с вышеуказанным гра-
ничные условия на торцах армирую-
щих элементов (волокон) не могут
оказывать существенного влияния
Рис. 1.2
Рис. 1.3
8
на формы потери устойчивости и на величины критиче-
ских нагрузок и укорочений. Вышеизложенные сведения
фактически являются экспериментальным обосновани-
ем модели «бесконечно длинных волокон».
Как уже неоднократно отмечалось выше, модель
«бесконечно длинных волокон», очевидно, применима к
сравнительно длинным волокнам (армирующим элемен-
там). A priori можно ожидать, что в случае сравнительно
коротких армирующих элементов (волокон) формы по-
тери устойчивости во внутренней структуре композита
могут существенно отличаться от форм потери устойчи-
вости, представленных на рис. 1.1 – 1.3 и соответствую-
щих модели «бесконечно длинных волокон». В качестве
примера рассмотрим результаты экспериментальных
исследований, опубликованных в статье [69] в 2004 г. и
относящихся к устойчивости достаточно коротких угле-
родных нановолокон в полимерной матрице. На рис. 1.4,
соответствующем публикации [69], показаны формы
потери устойчивости двух коротких углеродных нановоло-
кон; причем в левом нижнем углу рис. 1.4 указан масштаб
изображения в нанометрах. Формы потери устойчивости
на рис. 1.4 не имеют ничего общего с формами потери
устойчивости, которые представлены на рис. 1.1 – 1.3.
Так на рис. 1.1 – 1.3 формы потери устойчивости явля-
ются периодическими синусоидальными (вдоль волокон)
формами с достаточно большим числом периодов; на
рис. 1.4 формы потери устойчивости коротких нановоло-
кон приближенно могут быть аппроксимированы сину-
соидальными формами с одним полупериодом, в этом
случае величины критических значений нагрузок и укорочений существенно зависят
от граничных условий на торцах армирующих элементов (волокон).
Таким образом, можно считать, что вышеприведенные сведения, относящиеся к
рис. 1.4, являются экспериментальным обоснованием модели «волокон конечных
размеров».
Учитывая вышеизложенные сведения и соображения, относящиеся к рис. 1.1 – 1.4,
можно считать, что модель «бесконечно длинных волокон» и модель «волокон конеч-
ных размеров» имеют экспериментальное обоснование, но они применимы к различ-
ного типа композитам. Так, модель «бесконечно длинных волокон» применима к
композитам со сравнительно длинными армирующими элементами (волокнами); мо-
дель же «волокон конечных размеров» применима к композитам с достаточно коротки-
ми армирующими элементами (волокнами); заметим, что отмеченные соображения,
следующие из экспериментальных результатов на рис. 1.1 – 1.4, относятся лишь к
исследованию явления потери устойчивости во внутренней структуре композита.
В заключительной части настоящего пункта сформулируем некоторые соображе-
ния в виде следующих двух примечаний.
Примечание 1.1. Экспериментальные исследования, результаты которых пред-
ставлены на снимках рис. 1.1 – 1.4, являются специально поставленными, можно ска-
зать «модельного характера», которые позволили доказать возможность существова-
ния явления потери устойчивости во внутренней структуре композитных материалов.
При внимательном анализе снимков на рис. 1.1 – 1.4 получаем, что представленная на
них потеря устойчивости во внутренней структуре композитов зафиксирована «в чис-
том виде» – без признаков явления разрушения, так как на указанных снимках визу-
ально не фиксируется отделение матрицы (связующего) от волокон (наполнителя).
Указанная ситуация представляется достаточно существенной, так как соответствую-
щее внимание целесообразно уделить при анализе результатов экспериментальных
исследований по разрушению композитных материалов при сжатии, который прово-
дится в следующем пункте.
Рис. 1.4
9
Примечание 1.2. Можно считать, что в настоящей обзорной статье рассматрива-
ются различные процессы в композитных материалах при сжатии, в основном, вдоль
армирующих элементов (волокон) – вдоль направления преимущественного армиро-
вания применительно, в основном, к однонаправленным композитным материалам.
Вышеуказанные композитные материалы в континуальном приближении моделиру-
ются ортотропными однородными материалами; к последним материалам также от-
носятся композитные материалы с армированием во взаимноперпендикулярных на-
правлениях. Таким образом, применительно к модели ортотропных материалов рас-
сматривается сжатие вдоль направлений осей симметрии свойств материала. Родст-
венная ситуация также имеет место и при других видах нагружения; например, в сжа-
тых зонах при изгибе различных элементов конструкций и в других случаях. При
сжатии различных элементов конструкций (стержни, пластины и оболочки) вдоль
направлений симметрии (геометрической формы и свойств материала) основным ме-
ханизмом исчерпания несущей способности элементов конструкций является потеря
устойчивости.
Учитывая вышеизложенные сведения, применительно к сжатию композитных ма-
териалов вдоль армирующих элементов (волокон) или, в более общем случае, вдоль
направления преимущественного армирования a priori можно ожидать, что начало
(старт) разрушения композитных материалов (как и исчерпание несущей способно-
сти элементов конструкций при аналогичном нагружении) определяется потерей
устойчивости во внутренней структуре. Вышеотмеченную ситуацию можно рас-
сматривать как основную концепцию, которую целесообразно принимать во внима-
ние при анализе экспериментальных исследований применительно к разрушению
композитных материалов при сжатии вдоль осей симметрии свойств материалов, ко-
торому посвящен следующий пункт.
1.1.2. Экспериментальные результаты по разрушению композитов при сжатии.
Прежде всего, необходимо отметить, что в настоящем пункте рассматривается анализ
экспериментальных исследований по разрушению композитных материалов при сжатии,
когда уже произошло разрушение композита; таким образом, по существу, анализи-
руются снимки уже разрушенного материала, начальный этап (старт) разрушения,
естественно, не фиксируется в таких экспериментах. Следовательно, в настоящее
время отсутствуют экспериментальные исследования разрушения композитов при
сжатии, в которых фиксируется процесс разрушения, начиная с начального этапа
(старта) разрушения, соответствующего потере устойчивости во внутренней структу-
ре композита, и заканчивая заключительным этапом разрушения, соответствующего
разделению рассматриваемого блока материала на отдельные части. Целесообразно
отметить, что экспериментальные исследования разрушения вышеуказанного типа
отсутствуют и применительно к большинству процессов разрушения для других ма-
териалов при других нагрузках.
Таким образом, в настоящем пункте рассматривается анализ характера разруше-
ния композитных материалов при сжатии, ориентируясь на снимки (при различном
увеличении), по существу, уже разрушенного композитного материала. Эксперимен-
тальные исследования относятся к сжатию композитных материалов вдоль осей сим-
метрии свойств материала (вдоль армирующих элементов – вдоль волокон в случае
однонаправленных композитов; вдоль направления преимущественного армирования
в случае композита с армированием во взаимно-перпендикулярных направлениях; в
перпендикулярном направлении к плоскости преимущественного армирования в слу-
чае композитов с армированием во взаимно-перпендикулярных направлениях). При
анализе вышеотмеченных экспериментальных исследований рассматривается влияние
специфических особенностей характера разрушения при изучаемом виде нагружения.
Прежде всего, необходимо отметить, что специфические особенности характера
разрушения фиксируются не только при сжатии вдоль направления преимуществен-
ного армирования, но и при сжатии в перпендикулярном направлении. С целью ил-
люстрации вышеуказанной ситуации приведем результаты статьи [1], опубликован-
ной в 1968 г.; так, на рис. 1.5 приведен снимок разрушенного образца, соответствую-
щий статье [1], который представлен в книге [21, с. 110]. В [1] рассматривалось одно-
осное сжатие стеклотекстолита перпендикулярно к армирующим элементам (перпен-
дикулярно к плоскости армирования). Из снимка на рис. 1.5 видно, что разрушение
10
произошло по плоскостям, перпендикулярным к направлению действия нагрузки, и
материал разделился на части. Разрушение рассматриваемых композитов по плоско-
стям, почти перпендикулярным действию одноосной сжимающей нагрузки, является
характерной особенностью рассматриваемого вида разрушения.
Рис. 1.5 Рис. 1.6
В работе [57], опубликованной в 1969 г., представлены результаты по исследова-
нию характера разрушения образцов из однонаправленного стеклопластика при сжа-
тии вдоль армирующих элементов (волокон); эти результаты получены в Институте
механики АН УССР (ныне – Институте механики им. С.П.Тимошенко НАНУ). Ци-
линдрические образцы диаметром 10 и высотой 45 мм и призматические образцы
размером 15х15х70 мм (рис. 1.6) вырезались из стеклопластиковых пластин, изготов-
ленных методом намотки на металлическую оправку с последующим отверждением
под прессом при удельном давлении 1МПа. В качестве армирующих элементов (на-
полнителя) использовалась безщелочная стеклонить марки НС55/6 с замасливателем
– парафиновой эмульсией, в качестве матрицы (связующего) использовалось эпок-
сиднофенольное связующее ЭФБ-4. Содержание связующего в стеклопластике по
весу составляло 26,6% со степенью полимеризации 89,9%. Более подробно сведения
по технологии изготовления образцов и по испытаниям образцов приведены в статье
[57] и в монографии [8, т. 1, с. 189 – 191].
Необходимо только отметить следующую ситуацию. Чтобы избежать смятия торцов
образца при сжатии на его концы надевались металлические обоймы, которые заливались
эпоксидной смолой холодного отверждения; в результате длина открытой части образца
составляла 1,5 – 2 линейного размера поперечного сечения. На снимке (рис. 1.8) показан
характер разрушения образца квадратного поперечного сечения и на снимке (рис. 1.7)
показан характер разрушения образца кругового поперечного сечения; после разрушения
образцы легко разделялись на две представленные на снимках части. Отметим, что раз-
рушение, как правило, происходило возле металлической обоймы; отмеченная ситуация
свидетельствует, вероятно, о возникновении в указанных местах первоначального ло-
кального разрушения, вызванного срезом крайних волокон.
Рис. 1.7 Рис. 1.8
11
Все же разрушение при сжатии образцов (рис. 1.6) из однонаправленного стекло-
пластика при сжатии вдоль армирующих элементов (волокон) распространяется по плос-
костям, почти перпендикулярным к волокнам и к направлению сжимающей нагрузки.
Таким образом, как при сжатии однонаправленного стеклопластика вдоль воло-
кон, так и при сжатии стеклотекстолита в перпендикулярном направлении к плоско-
стям армирования разрушение рассматриваемых образцов распространялось по плос-
костям, почти перпендикулярным направлению действия одноосной сжимающей на-
грузки. Вышеуказанная ситуация является характерной особенностью рассматри-
ваемого вида разрушения; отметим, что в вышеотмеченных двух случаях (рис. 1.5 – 1.8)
сжатие осуществляется вдоль осей симметрии свойств материала. Дополнительные
соображения, относящиеся к обсуждаемому процессу разрушения, представлены в
монографии [8, т. 1, с. 191].
Целесообразно отметить, что результаты экспериментальных исследований, ин-
формация о которых представлена на рис. 1.5 – 1.8, относятся к стеклопластикам с
полимерной матрицей. Родственные экспериментальные исследования проводились и
для других композитных материалов.
В статье [71], опубликованной
в 1985 г., представлены результаты
экспериментальных исследований
для композитного материала с ме-
таллической матрицей, в котором
наполнителем (армирующими эле-
ментами) являются однонаправлен-
ные волокна сапфира и связующим
(матрицей) является алюминий. Экс-
периментальные исследования в [71]
проводились при одноосном сжатии
вдоль системы однонаправленных
волокон сапфира (вдоль системы ар-
мирующих элементов). На рис. 1.9,
соответствующем [71], представ-
лен снимок (при соответствующем
увеличении) разрушений в рас-
сматриваемом металлокомпозите (волокна сапфира + алюминий) при одноосном сжа-
тии вдоль однонаправленных волокон сапфира. Разрушения локализованы в сравни-
тельно узкой зоне; если провести плоскость по средней части разрушенной зоны на
рис. 1.9, то эта плоскость будет почти перпендикулярна направлению действия сжи-
мающей нагрузки.
Таким образом, при сжатии однонаправленных композитов вдоль армирующих
элементов (вдоль волокон) как в случае стеклопластиков с полимерной матрицей
(рис. 1.6 – 1.8), так и в случае металлокомпозитов (рис. 1.9) имеет место характер-
ная особенность рассматриваемого вида разрушения – разрушение происходит или
распространяется почти перпендикулярно к направлению действия сжимающей на-
грузки. Все же рассматриваемый вид разрушения, очевидно, не должен возникать
мгновенно во всей толще материала, хотя и его началом (стартом) является потеря
устойчивости во внутренней структуре композита. Вполне естественно, что рассмат-
риваемый вид разрушения может
возникать возле какой-либо мик-
ронеоднородности (нарушений, в
том числе и сплошности) во внут-
ренней структуре; дальнейшее же
распространение разрушения соот-
ветствует вышеизложенной харак-
терной особенности. В связи с этим
представляется интересным иссле-
дование закономерностей распро-
странения разрушений возле мак-
ронеоднородности в композите при
Рис. 1.9
Рис. 1.10
12
сжатии вдоль армирующих эле-
ментов (волокон); ниже рассмот-
рим такого типа эксперименталь-
ные исследования.
В статье [72], опубликованной
в 1991 г., представлены результаты
экспериментальных исследований
по распространению разрушений
от кругового отверстия в пластине
из композитного материала при
сжатии в направлении армирова-
ния, результаты исследований по-
казаны на снимках рис. 1.10 – 1.13,
соответствующих [72].
На рис. 1.12 представлена расчетная схема с указанием направления осей координат;
в соответствии с обозначениями на рис. 1.12 сжатие осуществлялось вдоль вертикальной
оси (вдоль оси 0y ). Пластины были изготовлены из слоистого композита, каждый из
слоев которого представлял собой однонаправленный во-
локнистый материал (наполнитель – углеродные волокна,
матрица – эпоксидная смола). Слои по толщине (вдоль оси
0z на рис. 1.12) укладывались таким образом, что оси 0x
и 0y (рис. 1.12) являлись осями симметрии свойств ком-
позитного слоистого материала (осуществлялась продоль-
но-поперечная укладка слоев вдоль осей 0x и 0y ).
Следовательно, в континуальном приближении рассмат-
риваемый материал можно считать ортотропным, где оси
0x , 0y и 0z (рис. 1.12) являются осями симметрии свойств
материала; при этом сжатие осуществлялось вдоль оси 0y
(вдоль оси симметрии свойств материала). При продольно-
поперечной укладке в большинстве слоев однонаправленные
волокна были ориентированы вдоль оси 0y (рис. 1.12); в
связи с этим полученные слоистые пластины можно считать
пластинами с преимущественным армированием вдоль оси
0y , вдоль которой и осуществлялось сжатие.
При рассматриваемых экспериментальных исследованиях разрушение начиналось
с двух точек на контуре отверстия, которые указаны значками «×» на рис. 1.12, т.е. с
точек с максимальным коэффициентом концентрации сжимающих макронапряжений
(напряжений в рамках континуальной мо-
дели ортотропного материала). Дальнейшее
развитие разрушения осуществлялось в ви-
де формирования двух практически прямо-
линейных трещин, которые выходят с кон-
тура отверстия из точек со значками «×»
(рис. 1.12) и которые распространяются
почти перпендикулярно к направлению дей-
ствия сжимающей нагрузки; указанные
трещины при этом заполнены разрушенным
материалом. Информация о характере рас-
пространения трещин (разрушения) пред-
ставлена на микрофотографиях на рис. 1.10,
1.11 и 1.13, полученных на электронном мик-
роскопе и соответствующих [72]; при этом
на каждом снимке (рис. 1.10, 1.11 и 1.13) в
правом нижнем углу указан масштаб изо-
бражения (в микронах). Снимки на рис. 1.10,
1.11 и 1.13 относятся к разрушению, распро-
страняющемуся от правой точки со значком
«×» на рис. 1.12. Так, на снимке рис. 1.10
показана трещина, распространяющаяся от
Рис. 1.11
Рис. 1.12
Рис. 1.13
13
контура отверстия в направлении, которое почти перпендикулярно действию сжи-
мающей нагрузки. На снимке рис. 1.11 при значительно большем увеличении (почти в
20 раз) показана разрушенная часть материала внутри распространяющейся узкой
полосы, которую можно моделировать заполненной трещиной. Результаты на сним-
ках (рис. 1.10 и 1.11) соответствуют значениям сжимающей нагрузки порядка 95% от
значений общей разрушающей нагрузки для всей пластины с отверстием. На снимке
рис. 1.13 представлена по толщине пластины (вдоль оси 0z на рис. 1.12) структура
разрушенной части материала по краю отверстия; на этом снимке четко видны сле-
дующие виды разрушения: разрушение (излом) волокон, изгиб разрушенных волокон
в сторону отверстия и расслоение слоистого материала. Результаты на рис. 1.13 соот-
ветствуют значениям сжимающей нагрузки порядка 80 – 85% от значений общей раз-
рушающей нагрузки для всей пластины с отверстием.
Целесообразно отметить, что многие авторы при анализе разрушений во внутренней
структуре композитов (типа разрушений на снимках рис. 1.6 – 1.12 и 1.13) отмечают
только microbuckling (микровыпучивание при локальной потере устойчивости) и delami-
nation (расслоение слоистого композита). В действительности, как это видно на снимке
рис. 1.11 например, проявляется значительно больше механизмов разрушения в мик-
роструктуре композитного материала при сжатии; дополнительно можно отметить
следующие механизмы разрушения: разрушение (излом) волокна в пределах трещины;
изгиб разрушенного волокна; разрушение волокна за пределами трещины; отделение
(отслоение) волокна от матрицы; разрушение матрицы и т.п. Все же вышеотмеченные
и подобные механизмы разрушения в микроструктуре композита при сжатии вдоль
осей симметрии свойств проявляются лишь на последующих этапах разрушения; пер-
воначальный же этап разрушения (старт) возникает, по-видимому, в указанной си-
туации только за счет потери устойчивости во внутренней структуре композита.
Вышеуказанный старт разрушения, естественно, может возникать как возле ло-
кальных неоднородностей во внутренней структуре композита (при срезе, например,
крайних волокон металлической обоймой на рис. 1.6 – 1.8), так и возле макронеодно-
родностей (возле отверстия, например, на рис. 1.10 – 1.13). Все же возникшее локаль-
ное разрушение во всех снимках на рис. 1.5 – 1.13 потом распространяется по плос-
костям и поверхностям, которые почти перпендикулярные к направлению сжимаю-
щей нагрузки; как уже неоднократно отмечалось, вышеуказанная ситуация является
характерной особенностью рассматриваемого вида разрушения.
Результаты экспериментальных исследований, представленные на снимках
рис. 1.5 – 1.13, и им родственные были опубликованы во второй половине ХХ века в
1968 – 1991 гг.; подобного рода экспериментальные исследования продолжаются и в
настоящем XXI веке, в качестве примера ниже рассмотрим экспериментальные ре-
зультаты статьи [74] за 2004 г. В [74] приведены результаты экспериментальных ис-
следований для случая сжатия вдоль слоев слоистого композитного материала, со-
стоящего из 628 слоев; наличие столь большого числа слоев дает возможность ожи-
дать, что полученные экспериментальные результаты как бы относятся к материалу,
состоящему из «бесконечного» числа слоев. В связи с этим условно можно считать,
что результаты [74] как бы относятся к явлениям, которые происходят во внутренней
структуре слоистого композита и не зависят от граничных условий на граничных по-
верхностях всего пакета; все же полностью исключать влияние граничных условий,
особенно граничных условий на торцах пакета, на все явления, по-видимому, нельзя.
Поскольку в [74] сжатие осуществлялось вдоль слоев, то в континуальном приближе-
нии можно считать, что сжатие осуществлялось вдоль осей симметрии свойств орто-
тропного материала. На рис. 1.14, соответствующем [74, с. 1074, fig. 2], приведены
формы слоев, которые они приобретают при соответствующем значении сжимающей
нагрузки. Из анализа результатов, представленных на рис. 1.14, следует, что появля-
ются как бы узкие полосы разрушенного материала (условно на рис. 1.14 показанные
наклонными сплошными линиями); причем указанные полосы как бы периодически
повторяются вдоль горизонтальной оси. Обсуждение экспериментальных результатов
[74], представленных на рис. 1.14, будет проведено в второй части первого раздела
14
настоящей обзорной статьи при анализе
так называемого явления «kinking»; ука-
занное название получило распростране-
ние в англоязычной литературе по меха-
нике разрушения композитных материа-
лов при сжатии.
1.1.3. Экспериментальные резуль-
таты для нанокомпозитов при сжатии.
В несколько последних десятилетий XX-
го и XXI-го веков в связи с активным раз-
витием нанотехнологий существенное
развитие получила механика нанокомпо-
зитов, так как в конструкционных мате-
риалах применение нанотрубок, по-
видимому, четко представляется только в
виде наполнителей (армирующих элемен-
тов) в нанокомпозитах. Определенное первоначальное представление о развитии ме-
ханики нанокомпозитов можно получить из монографии [12]; целесообразно отме-
тить, что в настоящее время рассматриваются, в основном, нанокомпозиты с поли-
мерной матрицей (связующим). В связи с развитием механики нанокомпозитов воз-
ник вопрос о возможности существования потери устойчивости во внутренней струк-
туре нанокомпозитов, который, как и в п. 1.1.1 настоящей статьи для традиционных
композитов, исследуется посредством специально поставленных экспериментов.
Рис. 1.15
В статье [73], опубликованной в 2004 г., получена потеря устойчивости прямоли-
нейной многослойной углеродной нанотрубки (MWCNT) в полимерной матрице. На
снимке на Рис. 1.15, соответствующем [73], приведена многократная потеря устойчи-
вости (потеря устойчивости по совокупности нескольких волн) отдельных MWCNT в
полимерной матрице, где в левом нижнем углу указан масштаб изображения в нано-
метрах; по-видимому, можно считать, что зафиксированные на снимке формы потери
устойчивости имеют достаточно сложный характер и не имеют простой интерпрета-
ции. При внимательном анализе снимков на рис. 1.15 не удается четко обнаружить
отрыв отдельных нанотрубок (в рассматриваемом случае MWCNT) от полимерной
матрицы; в связи с этим, по-видимому, можно считать, что результаты эксперимен-
тальных исследований [73], представленные на снимках рис. 1.15, свидетельствуют о
возможности существования явления потери устойчивости во внутренней структуре
нанокомпозитов с полимерной матрицей. Заметим, что обсуждаемое явление в выше-
изложенных исследованиях [73] зафиксировано в «чистом виде» без отдельных раз-
рушений, что родственно результатам в п. 1.1.1 настоящей статьи применительно к
более традиционным композитам.
Рис. 1.14
15
Несколько отличная ситуации была зафиксирована в экспериментальных иссле-
дованиях статьи [64], опубликованной в 1998 г., применительно к потере устойчиво-
сти MWCNT в полимерной матрице; заметим, что в [64] сжатие, как и в эксперимен-
тальных исследованиях в п. 1.1.1 настоящей статьи, осуществлялось за счет усадки
(shrinkage) полимерной матрицы. Результаты [64] представлены в виде ТЕМ микро-
снимков на рис. 1.16 и 1.17 (в виде микроснимков на трансмиссионном электронном
микроскопе), которые относятся к ситуации с отдельными MWCNT после усадки
(shrinkage) эпоксидной смолы (матрицы).
На ТЕМ микроснимках рис. 1.16 и 1.17, соответствующих [64], в верхних левых
углах указаны масштабы изображений в нанометрах, в правых нижних углах показаны
схематически геометрические формы отдельных частей отдельных MWCNT, которые
они принимают после усадки связующего (полимерной матрицы). При этом на снимке
рис. 1.16 зафиксирована как бы изгибная форма деформированной отдельной MWCNT
и на снимке рис. 1.17 зафиксирована
как бы петлеобразная форма дефор-
мированной отдельной MWCNT;
отмеченные формы показаны на
левой нижней и правой верхней
частях каждого из рис. 1.16 и 1.17.
По терминологии [64] вышеуказан-
ные деформированные части от-
дельных MWCNT на рис. 1.16 и 1.17,
вернее их появление, интерпрети-
руется как следствие процессов
«buckling» (потеря устойчивости) и
«collapse» (разрушение вследствие
потери устойчивости). При внима-
тельном рассмотрении ТЕМ мик-
роснимков на рис. 1.16 и 1.17 легко
можно обнаружить, что в местах
изгибного и петлеобразного де-
формирования отдельных частей
MWCNT произошло отделение
матрицы от нанотрубок; этот вы-
вод следует из того факта, что под
каждой «выпучиной» нанотрубки
(левые нижние и правые верхние
углы рис. 1.16 и 1.17) более свет-
лым фоном отмечены места, где
ранее находились эти части нано-
трубок.
Таким образом, в [64] представ-
лены экспериментальные результа-
ты, соответствующие рис. 1.16 и
1.17, которые относятся к процессу
локального разрушения, исходным
или начальным (стартовым) этапом
которого может быть и потеря ус-
тойчивости. Следовательно, экспе-
риментальные результаты [64] для
MWCNT в силу вышеизложенного
соображения, в основном, относят-
ся к экспериментальным результа-
там по разрушению композитов, в
данном случае нанокомпозитов,
при сжатии; родственные резуль-
таты для традиционных компози-
тов изложены в п. 1.1.2 настоящей
Рис. 1.16
Рис. 1.17
16
статьи. Также в силу вышеизложенного соображения обсуждаемые эксперименталь-
ные результаты [64] для MWCNT, по-видимому, не относятся к экспериментальным
результатам, свидетельствующим о возможности существования явления потери
устойчивости во внутренней структуре нанокомпозитов; экспериментальные ре-
зультаты, свидетельствующие о возможности существования явления потери устой-
чивости во внутренней структуре традиционных композитов изложены в п.1.1.1 на-
стоящей статьи. Вышеотмеченные особенности экспериментальных результатов [64]
были указаны в статье [47], где также было замечено, что эта ситуация не нашла от-
ражения в последующих обзорных статьях других авторов. Вышеприведенный анализ
результатов, представленных на ТЕМ микроснимках рис. 1.16 и 1.17, также был из-
ложен в монографии [8].
В заключение к обсуждению экспериментальных результатов статьи [64] целесо-
образно присоединить следующие соображения физического характера применитель-
но к петлеобразной форме деформирования, представленной на рис. 1.17. По-видимому,
реализация петлеобразной формы деформирования невозможна без разрушения. Дело
в том, что при реализации такой формы деформирования MWCNT без разрушения
(без отрыва матрицы от нанотрубки) для матрицы привело бы к неоднозначности пе-
ремещений.
1.1.4. Общая характеристика обсуждаемых экспериментальных результатов.
В настоящем пункте в краткой форме рассмотрим общую характеристику направле-
ний и результатов экспериментальных исследований, относящихся к объединенному
анализу проблемы явлений потери устойчивости во внутренней структуре композит-
ных материалов и следующей за ней проблемы разрушения (failure or fracture) компо-
зитных материалов при сжатии вдоль направлений симметрии свойств материала,
когда явление потери устойчивости во внутренней структуре композитов определяет
начало (старт) разрушения при рассматриваемом нагружении.
Направления и результаты экспериментальных исследований, относящихся к рас-
сматриваемому вопросу, условно можно разделить на следующие три группы.
Первая группа. К ней можно отнести экспериментальные исследования, резуль-
таты которых свидетельствуют о возможности существования явления потери устой-
чивости во внутренней структуре композитного материала при сжатии вдоль направ-
лений симметрии свойств материала. Для получения надлежащей информации о воз-
можности существования явления потери устойчивости во внутренней структуре
композита с различными наполнителями (волокнами) в «чистом виде» (без проявле-
ния разрушений) обычно проводят специально поставленные экспериментальные ис-
следования, когда нагружение систем волокон реализуется при усадке (shrinkage) по-
лимерной матрицы; указанный вид нагружения, как правило, применяется исключи-
тельно во всех (известных авторам настоящей статьи) исследованиях. В п. 1.1.1 на-
стоящей статьи представлены результаты экспериментальных исследований, относя-
щиеся к рассматриваемой первой группе, применительно к композитным материалам
с различными наполнителями; в случае нанокомпозитов аналогичные результаты
представлены в п. 1.1.3 на микроснимках рис. 1.15. Вышеотмеченные результаты,
можно считать, доказывают возможность возникновения явления потери устойчиво-
сти во внутренней структуре композитных материалов при сжатии вдоль арми-
рующих элементов (наполнителя, волокон) применительно к композитам с различны-
ми наполнителями, включая и нанокомпозиты, как для модели «бесконечно длинных
волокон», так и для модели «волокон конечных размеров». Потеря устойчивости во
внутренней структуре композитов при сжатии является, очевидно, наиболее вероят-
ным механизмом начала (старта) разрушения по аналогии со случаем сжатия элемен-
тов конструкций (стержни, пластины и оболочки) вдоль осей симметрии геометриче-
ской формы и свойств, когда потеря устойчивости является началом (стартом) исчер-
пания несущей способности элементов конструкций.
Вторая группа. К ней можно отнести экспериментальные исследования по раз-
рушению композитных материалов при сжатии вдоль осей симметрии свойств компо-
зитных материалов, которые в континуальном приближении моделируются ортотроп-
ными материалами; при этом существенное внимание уделяется анализу характера
разрушения, свойственного рассматриваемому виду разрушения. В п. 1.1.2 настоящей
статьи представлены результаты экспериментальных исследований, относящихся к
17
рассматриваемой второй группе, применительно к композитным материалам с поли-
мерной и металлической матрицами (связующим). Следует отметить, что информа-
ция, представленная на снимках рис. 1.5 – 1.13 п.1.1.2 и иллюстрирующая особенно-
сти характера рассматриваемого вида разрушения, безусловно не является исчерпы-
вающей; в п. 1.1.2 настоящей статьи приведены лишь известные авторам статьи при-
меры результатов, относящихся к экспериментальным исследованиям второй группы.
Из снимков, представленных на рис. 1.5 – 1.11 и 1.13, следует, что характерной осо-
бенностью разрушения композитных материалов, представляющих собой в контину-
альном приближении ортотропные материалы, при сжатии вдоль осей симметрии
свойств материалов является распространение разрушения в достаточно узких зо-
нах, расположенных почти перпендикулярно направлению сжимающей нагрузки.
Вышеуказанный характер распространения разрушения свойственный композитным
материалам как с полимерной, так и с металлической матрицами (связующими).
Третья группа. К ней можно отнести экспериментальные исследования по раз-
рушению композитных материалов, представляющих собой в континуальном при-
ближении ортотропные материалы, при сжатии вдоль осей симметрии свойств мате-
риала с определением экспериментальных значений пределов прочности и предельных
значений укорочений в случае рассматриваемого вида нагружения. Безусловно, после
получения вышеуказанной информации из экспериментальных исследований пред-
ставляется естественным проведение сравнения с соответствующими результатами
(теоретический предел прочности, теоретическое значение предельного укорочения)
для соответствующих теорий.
Примечание 1.3. Целесообразно отметить, что в настоящее время уже предложе-
но и разработано сравнительно большое количество подходов и теорий, позволяющих
исследовать явление потери устойчивости во внутренней структуре композитных ма-
териалов и, следовательно, анализировать рассматриваемый механизм разрушения
при сжатии. Достаточную популярность приобрела разработка весьма приближенных
подходов и теорий, основанных на приближенных и не всегда логически обоснован-
ных допущениях и гипотезах; объяснение отмеченной популярности, возможно, за-
ключается в том, что в указанной ситуации небольшие изменения в приближенных
допущениях и гипотезах приводят к формулировке «новых» подходов и теорий, что в
ряде случаев является приятным моментом для отдельных авторов. В связи с вышеиз-
ложенной ситуацией авторы настоящей обзорной статьи не ставили цель – провести
сравнение экспериментальных результатов с теоретическими результатами отмечен-
ных различных приближенных подходов и теорий, что на первый взгляд, казалось бы
входит в предмет анализа результатов, относящихся к третьей группе эксперимен-
тальных исследований. Все же в п. 1.2 настоящей обзорной статьи проведено сравне-
ние экспериментальных результатов по механике разрушения композитов при сжатии
с теоретическими результатами, по-видимому, наиболее строгой и последовательной
теории [7, 8], основанной на ТЛТУДТ (трехмерной линеаризированной теории устойчи-
вости деформируемых тел, например, монографии [4 – 6, 43]); дополнительную инфор-
мацию, относящуюся к отмеченному сравнению, можно получить из монографии [8].
В заключение к п. 1.1, посвященному анализу результатов экспериментальных ис-
следований по отдельному направлению механики разрушения композитных мате-
риалов, необходимо отметить следующее: эти результаты доказывают существование
явления потери устойчивости во внутренней структуре композитов; эти результаты
показывают специфическую особенность характера разрушения композитов при сжа-
тии, для которого потеря устойчивости во внутренней структуре композита является
начальным этапом (стартом) разрушения. Вышеуказанные экспериментальные ре-
зультаты обосновывают актуальность рассматриваемых проблем и необходимость
развития теоретических исследований, предусматривающих разработку соответст-
вующих подходов, моделей и методов анализа, а также получение конкретных ре-
зультатов для конкретных композитных материалов. Анализ полученных результатов
при проведении теоретических и экспериментальных исследований, как правило, рас-
сматривается в обобщающих обзорных статьях. В качестве примера можно указать
опубликованные в последние два года обзорные статьи по различным проблемам ме-
ханики разрушения [45, 61, 62].
18
1.2. Анализ теоретических результатов. В настоящем пункте в весьма краткой
форме излагается Основная концепция, определяющая направления теоретических
исследований по рассматриваемой проблеме. Также в настоящем пункте проведен
краткий анализ теоретических результатов (подходы, модели, методы решения от-
дельных классов задач и конкретные результаты), полученных применительно к во-
локнистым и слоистым композитным материалам при сжатии в рамках модели «бес-
конечно длинных волокон».
1.2.1. Формирование Основной концепции. Прежде всего, целесообразно отме-
тить, что формирование Основной концепции, на которой построены рассматриваемые
ниже теоретические исследования, осуществлено на базе анализа результатов экспе-
риментальных исследований, изложенных в п. 1.1 настоящей обзорной статьи.
Таким образом, рассматриваются композитные материалы, которые в контину-
альном приближении моделируются ортотропными материалами, при одноосном,
двухосном или трехосном сжатии вдоль осей симметрии свойств материала.
К рассматриваемым материалам относятся од-
нонаправленные волокнистые композиты, пример
которых схематически представлен на рис. 1.18, где
указано сжатие вдоль армирующих элементов (на-
полнителя, волокон). К таким материалам также
относятся волокнистые композиты с армированием
однонаправленными волокнами во взаимно-
перпендикулярных направлениях; пример рассмат-
риваемого композита можно получить из материала
на рис. 1.18, если дополнительно провести армиро-
вание однонаправленными волокнами, ориентиро-
ванными вдоль горизонтальной оси.
К рассматриваемым материалам относятся сло-
истые материалы, составленные из чередующихся
вдоль оси 20x (рис. 1.19) слоев двух различных ма-
териалов, где показано сжатие вдоль слоев. В пред-
ставленном схематически на рис. 1.19 слоистом
композитном материале могут применяться слои из
различных материалов, в частности, слои могут
быть из различных изотропных материалов. Кроме
того, к рассматриваемым слоистым композитам относятся материалы, составленные
из однонаправленных волокнистых материалов, когда в двух соседних слоях на
рис. 1.19 однонаправленные волокна укладываются во взаимно перпендикулярных на-
правлениях (применяется продольно-поперечная намотка или укладка слоев). Необхо-
димо отметить, что можно существенно расширить перечень приемов формирования
слоистого композитного материала, которые в континуальном приближении моделиру-
ется ортотропным материалом.
Рис. 1.19
Рис. 1.18
19
Безусловно, можно продолжить примеры композитных материалов, которые в
континуальном приближении моделируются ортотропными материалами; приведен-
ные на рис. 1.18 и 1.19 схематические композитные материалы следует рассматривать
как примеры конкретных структур анализируемых композитов.
Таким образом, учитывая все предыдущие сведения и соображения, представлен-
ные в настоящей обзорной статье, Основную концепцию, определяющую направления
теоретических исследований по рассматриваемой проблеме, можно сформулировать
следующим образом.
Основная концепция. В случае композитных материалов, которые моделируются
в континуальном приближении ортотропными материалами, при сжатии вдоль осей
симметрии свойств материалов начальным этапом (стартом) разрушения является
потеря устойчивости во внутренней структуре композитов. Распространение раз-
рушения при этом определяется поведением возмущений в рамках применяемой
(сравнительно приближенной или достаточно строгой) теории устойчивости; рас-
пространение разрушения начинается возле макро- и микронеоднородностей. Теоре-
тическим пределом прочности при сжатии и теоретическим значением предельного
укорочения являются величина критической нагрузки и величина критического укоро-
чения, вычисленные в рамках применяемой теории устойчивости.
Вышесформулированная Основная концепция в механике разрушения композит-
ных материалов при сжатии является полным аналогом ситуации в механике элемен-
тов конструкций (стержни, пластины и оболочки), когда при сжатии вдоль осей сим-
метрии начальным этапом исчерпания несущей способности элементов конструкций
является потеря устойчивости.
В связи с вышеприведенной последовательной формулировкой Основной концепции
также целесообразно последовательно определить понятие о «потере устойчивости во
внутренней структуре композита» или о «внутренней неустойчивости композита»,
которое применяется в формулировке Основной концепции. Указанное понятие можно
строго и последовательно ввести в рамках модели кусочно-однородной среды для
композита, следуя, например, монографии [8, т. 1, с. 293 – 295]. Таким образом, при
применении модели кусочно-однородной среды для композита под потерей устойчи-
вости во внутренней структуре композита (под внутренней неустойчивостью ком-
позита) будем понимать явление потери устойчивости в композите, которое возни-
кает при определенных соотношениях между жесткостными характеристиками и
концентрациями наполнителя и связующего, позволяющими определить величину
критической нагрузки и форму потери устойчивости независимо от формы всего
элемента конструкции и вида граничных условий для всего элемента конструкции.
Учитывая вышеизложенные определения, можно сформулировать условие суще-
ствования явления потери устойчивости во внутренней структуре (внутренней неус-
тойчивости) композита применительно к рассматриваемому элементу конструкций
из конкретного композитного материала. С этой целью введем следующие обозна-
чения: крp – критическая нагрузка, соответствующая потере устойчивости во внут-
ренней структуре (внутренней неустойчивости) композита; эк
крp – критическая на-
грузка, соответствующая потере устойчивости рассматриваемого элемента конструк-
ций; L – характерный (минимальный) размер рассматриваемого элемента конструк-
ций; крl – длина полуволны формы потери устойчивости во внутренней структуре
(внутренняя неустойчивость) композита. Учитывая введенные обозначения, условия
существования потери устойчивости во внутренней структуре (внутренней неустой-
чивости) композита применительно к рассматриваемому элементу конструкций из
данного композита можно представить в следующем виде:
; .эк
кр кр крp p l L (1.1)
Условия (1.1) отмечают, что при непрерывном увеличении сжимающей нагрузки яв-
ление потери устойчивости во внутренней структуре (внутренняя неустойчивость)
композита для рассматриваемого элемента конструкций может возникать при выпол-
нении следующих двух условий:
20
первое условие – величина критической нагрузки, соответствующей потере ус-
тойчивости во внутренней структуре (внутренняя неустойчивость) композита, меньше
величины критической нагрузки, соответствующей потере устойчивости рассматри-
ваемого элемента конструкций;
второе условие – длина волны формы потери устойчивости во внутренней струк-
туре (внутренняя неустойчивость) композита значительно меньше характерного (ми-
нимального) размера рассматриваемого элемента конструкций.
При определении критической нагрузки и форм потери устойчивости, соответст-
вующих потере устойчивости во внутренней структуре (внутренней неустойчивости)
конкретных композитных материалов, обычно, учитывая второе неравенство (1.1),
анализируют для композита конкретной структуры, который занимает бесконечное
пространство. В этом случае в результате решения соответствующих задач для ком-
позита конкретной структуры (композит занимает бесконечное пространство) полу-
чают зависимость параметра нагружения p от параметра волнообразования в виде
( ); .
h
p p
l
(1.2)
В (1.2) введены обозначения: h – характерный геометрический параметр структуры
композита ( h – минимальная толщина слоев в слоистом композите (рис. 1.19); h ~ R
– радиус волокна в однонаправленном волокнистом композита (рис. 1.18)); l – длина
полуволны (вдоль слоев или волокон) формы потери устойчивости во внутренней
структуре (внутренняя неустойчивость) композита.
Учитывая вышеизложенные определения и соображения, приходим к выводу, что
явление потери устойчивости во внутренней структуре (внутренняя неустойчивость)
композита существует не при произвольной зависимости (1.2). Для наглядности можно
представить два типа зависимости (1.2), соответствующие кривым A и B на рис. 1.20.
Кривая A на рис. 1.20 имеет четко выра-
женный минимум; в связи с этим величина
крp определяется посредством минимизации
первого выражения (1.2) и имеет место сле-
дующее выражение: ( )кр крp p . Таким об-
разом, для случая зависимости (1.1) в виде
кривой A на рис. 1.20 определяется величина
критической нагрузки крp и форма потери
устойчивости, соответствующая параметру вол-
нообразования в виде 1
кр крh l . Заметим,
что для случая кривой A также имеют место
соотношения
0; .кр крl (1.3)
В связи с наличием соотношений (1.3) в слу-
чае зависимости (1.2) в виде кривой A на рис.
1.20 отмеченные ранее условия (1.1) служат для определения тех элементов конст-
рукций из конкретного композитного материала, для которых реализуется потеря ус-
тойчивости во внутренней структуре (внутренняя неустойчивость) композита.
Кривая B на рис. 1.20 является монотонной кривой; в связи с этим критическое
значение крp в результате минимизации выражения (1.2) определяется соотношением
(0)крp p , следовательно, в рассматриваемом случае получаем
0; .кр крl (1.4)
Из выражений (1.4) следует, что в случае зависимости (1.2) в виде кривой типа B на
рис. 1.20 невозможно определить форму потери устойчивости во внутренней структуре
(внутренняя неустойчивость) композита. Таким образом, в соответствии с принятым
Рис. 1.20
21
определением не существует явления потери устойчивости во внутренней структуре
(внутренняя неустойчивость) композита в случае зависимости (1.2) в виде кривой ти-
па B на рис. 1.20. Также отметим, что в соответствии со вторым выражением (1.4) в
рассматриваемом случае кривой B на рис. 1.20 для любого элемента конструкций не
может выполняться второе условие (1.1); следовательно, в рассматриваемом случае
может реализоваться только потеря устойчивости всего элемента конструкций.
Таким образом, можно считать, что явление потери устойчивости во внутренней
структуре (внутренняя неустойчивость) композита не возникает, если зависимость
параметра нагружения p от параметра волнообразования (первое выражение (1.2 ))
представляется кривой типа B на рис. 1.20. В случае кривых типа A на рис. 1.20,
когда кр незначительно отличается от нуля, явление потери устойчивости во внут-
ренней структуре (внутренняя неустойчивость) композита в элементах конструкций
конкретной формы также практически не возникает вследствие второго условия (1.1),
так как при этом крl ; отмеченную ситуацию применительно к зависимости (1.2)
в виде кривой типа A на рис. 1.20 необходимо учитывать при анализе рассматривае-
мого явления для конкретных композитов.
Изложенная в настоящем пункте (п. 1.2.1) Основная концепция и приведенные
после нее подходы применяются в последующих пунктах (пп. 1.2.2 – 1.2.4) при анали-
зе теоретических результатов, полученных в рамках модели «бесконечно длинных
волокон», когда исследуются периодические вдоль армирующих элементов (волокна,
слои) формы потери устойчивости.
В настоящее время в исследованиях проблем устойчивости композитных материа-
лов и механики разрушения композитов при сжатии сформировалось два направления.
Первое направление, имеющее весьма приближенный характер, основано на введе-
нии различных приближенных расчетных схем и допущений; принято считать, что в
этом направлении первой была статья [16], опубликованная на русском языке в 1967 г.
В последующие годы такой подход получил дальнейшее развитие; основные публи-
кации в рамках первого направления частично приведены в списке литературы к мо-
нографии [8].
Второе направление, имеющее достаточно строгий и последовательный характер,
основано на применении трехмерной линеаризированной теории устойчивости де-
формируемых тел (ТЛТУДТ), изложенной, например, в монографиях [4 – 6, 43], к ис-
следованию вышеуказанных проблем; такой подход был впервые предложен в статьях
[2, 3, 30], опубликованных в 1969 г. В последующие годы такой подход получил
дальнейшее развитие; основные публикации в рамках второго направления наиболее
подробно приведены в списке литературы к монографии [8].
Следует отметить, что второе направление, основанное на публикациях [2, 30],
соответствует наиболее точному, строгому и последовательному подходу, который
принят в рамках механики деформируемых тел.
Ниже изложены результаты анализа подходов, моделей, методов решения отдель-
ных классов задач и конкретных задач раздельно применительно к первому (п. 1.2.2) и
второму (п. 1.2.3) вышеуказанным направлениям.
1.2.2. Анализ теоретических результатов. Первое направление (весьма при-
ближенные подходы). Подходы, модели и конкретные результаты рассматриваемого
первого направления развиты и получены с привлечением Основной концепции, из-
ложенной в предыдущем пункте (п. 1.2.1).
1.2.2.1. Общие вопросы. Характерной особенностью первого направления явля-
ется применение различных приближенных допущений при исследовании явления
внутренней неустойчивости (потери устойчивости во внутренней структуре) компо-
зитных материалов, определяющих начальный этап (старт) разрушения композитов
при сжатии. В настоящее время в научной литературе по механике композитных ма-
териалов и по механике разрушения опубликовано сравнительно большое количество
статей, результаты которых получены в рамках первого направления; в связи с этим
авторы настоящей обзорной статьи не ставили своей целью дать систематический
обзор и анализ всех соответствующих публикаций.
22
Целью настоящего пункта (п. 1.2.2) является: классификация обсуждаемых результа-
тов как первого направления в рассматриваемых исследованиях; формулировка основ-
ных приближенных допущений, характерных для первого направления; рассмотрение
первых в историческом аспекте публикаций в первом направлении и их результатов.
Характерные приближенные допущения, широко применяемые при проведении
исследований в рамках рассматриваемого первого направления, можно достаточно
условно объединить в следующие четыре группы.
1. При анализе устойчивости армирующих элементов (волокна, слои) широко
применяются одномерные и двухмерные прикладные теории устойчивости тонко-
стенных систем (стержни, пластины), построенных с привлечением гипотез плоских
сечений, Кирхгофа – Лява и т.п.; как общеизвестно, такого типа теории применимы
только для описания сравнительно длинноволновых форм потери устойчивости.
2. Как правило, не учитывается, что матрица (связующее) воспринимает также
сжимающую нагрузку. Такое допущение обосновывается тем, что материал матрицы
имеет значительно меньшую жесткость по сравнению с материалом наполнителя; как
следствие при исследовании принимается, что матрица является незагруженной.
3. При исследованиях приближенно учитывается взаимодействие матрицы (свя-
зующего) и наполнителя (волокна, слои). Достаточно часто взаимодействие волокна с
матрицей моделируется взаимодействием волокна с коаксиальным цилиндром (ча-
стью матрицы). Также достаточно часто при анализе взаимодействия наполнителя
(волокно, слой) и матрицы (связующего) применяется моделирование матрицы одно-
мерной моделью.
4. На границах раздела (interface) наполнителя и матрицы приближенно удовле-
творяются граничные условия, достаточно часто даже не комментируя указанную
ситуацию.
Целесообразно отметить, что при введении допущений по одной из указанных групп
автоматически вводятся допущения и по другой группе; для иллюстрации вышеизло-
женной ситуации рассмотрим следующий пример. Так, принимая допущение, что при
сжатии композита в матрице не возникают напряжения, а в наполнителе – волокнах
возникают напряжения (вторая группа допущений), автоматически вводятся допущения
о приближенных граничных условиях на границе раздела (interface) матрицы и на-
полнителя (четвертая группа допущений). Дело в том, что исходное допущение авто-
матически приводит к тому, что в докритическом состоянии (до потери устойчивости)
матрица и наполнитель свободно проскальзывают друг относительно друга вдоль оси
волокон, а в момент потери устойчивости для матрицы и наполнителя выполняются
условия полного контакта. Безусловно, анализ допущений, входящих в указанные
выше четыре группы, и других допущений первого направления можно продолжить,
однако такой анализ не является предметом настоящей статьи; к тому же следующий
пункт статьи (п. 1.2.3) посвящен анализу второго направления, для получения резуль-
татов которого не применяются допущения рассмотренных четырех групп.
1.2.2.2. Анализ первой в историческом аспекте публикации [26, 67]. В качестве
примера анализа результатов первого направления ниже проведем анализ результатов
в историческом аспекте первой публикации [26] в рамках первого направления, по-
священной теоретическим исследованиям; как уже неоднократно отмечалось выше,
эта статья на русском языке опубликована в 1967 г. и соответствует статье [67] на
английском языке, опубликованной в 1965 г. Так, на рис. 1.21 представлены основные
результаты статьи [26]; информация на рис 1.21 соответствует фиг. 3.22 – 3.24 ука-
занной статьи. Прежде всего, необходимо отметить, что все результаты в [26] полу-
чены в рамках плоской деформации в плоскости xy на рис. 1.21 (фиг. 3.22); таким
образом, все результаты [26], строго говоря, получены для слоистого композита,
слои которого бесконечны в направлении оси 0z (перпендикулярно к плоскости рис. 1.21).
Следовательно, в [26] однонаправленный волокнистый материал моделируется пло-
ской задачей (плоская деформация) для слоистого материала в плоскости, которая
проходит вдоль волокон однонаправленного волокнистого материала. Учитывая вы-
шеизложенные соображения, по-видимому, можно сформулировать следующим обра-
зом основное допущение [26].
23
Основное допущение [26]. При исследовании потери устойчивости во внутрен-
ней структуре (внутренней неустойчивости) композита однонаправленный волокни-
стый композит можно моделировать плоской задачей для слоистого композита.
Таким образом, в [26] рассматривается слоистый композит и результаты молчали-
во, без формулировки вышеизложенного Основного допущения и каких-либо ком-
ментариев, переносятся на однонаправленный волокнистый композит; в дальнейшем,
каждый раз не отмечая указанное моделирование, в краткой форме рассмотрим ос-
новные результаты [26] – результаты для слоистого композита (при последовательном
применении общепринятой терминологии).
В [26] конкретные результаты получены для форм потери устойчивости: мода
«растяжения» (рис. 1.21, фиг. 3.22, а) – соседние слои наполнителя теряют устойчи-
вость в противофазе; сдвиговая мода (рис. 1.21, фиг. 3.22, б) – все слои наполнителя и
матрицы теряют устойчивость по одинаковой изгибной форме; заметим, что при этом
применяется модель «бесконечно длинных волокон» и исследуются периодические
(синусоидальные) вдоль оси 0x (рис. 1.21, фиг. 3.22) формы потери устойчивости.
Также в [26] принимаются следующие допущения:
Рис. 1.21
24
для наполнителя применяется прикладная одномерная теория устойчивости тон-
ких стержней, построенная с привлечением гипотезы плоских сечений;
матрица не воспринимает сжимающую нагрузку, так на рис. 1.21 (фиг. 3.22) на-
гружается только наполнитель, где нагрузка указана стрелочками;
при описании взаимодействия матрицы и наполнителя для матрицы применяется
одномерная модель;
на границах раздела (interface) наполнителя и матрицы приближенно удовлетво-
ряются граничные условия в таком же смысле, как и в вышеуказанной четвертой
группе допущений.
Принимая во внимание вышеизложенные допущения, в [26] получены конкрет-
ные результаты в виде зависимости основных величин для композита от величины B
объемной доли (концентрации) волокон в композите; эти результаты представлены на
рис. 1.21: на фиг. 3.23 – для теоретического предела прочности на сжатие и на фиг. 3.24 –
для теоретического значения предельного укорочения (в %).
Результаты статей [26, 67] ([67] на английском языке опубликована в 1965 г., [26]
на русском языке опубликована в 1967 г.) в виде рис. 1.21 (фиг. 3.22 – 3.24) являются
общеизвестными и общепризнанными в мировой научной литературе по механике
композитных материалов и по механике разрушения. Так, указанные результаты вошли
в семитомный трактат [25] энциклопедического характера по разрушению (в виде
статьи [27] первой части седьмого тома). Кроме того, эти результаты вошли в восьми-
томный трактат [19] энциклопедического характера по композитным материалам (в
статье [20], посвященной исключительно композитным материалам с металлической
матрицей, в первом томе и в статье [28], посвященной материалам с металлической и
полимерной матрицами, в пятом томе).
Необходимо отметить, что в публикациях [20, 27, 28] указаны также многочис-
ленные работы других авторов, выполненные в первом направлении; частично в спи-
сках литературы к монографиям [7, 8] также указаны отдельные публикации, относя-
щиеся к первому направлению. Среди такого типа публикаций, являющихся одними
из первых в историческом аспекте в рамках первого направления, можно, в качестве
примера, отметить статью [70], опубликованную на английском языке в 1966 г., и ста-
тью [68], опубликованную на английском языке в 1967 г.
Таким образом, теоретические исследования и количественные результаты [26,
67], полученные в рамках первого направления и являющиеся, по-видимому, первыми
в этом направлении, нашли повсеместное признание и отражение во всех общеизве-
стных обобщающих публикациях. Материал, кратко изложенный в настоящем пункте
(п. 1.2.2.2), получил название теории Дау – Грунфеста – Розена – Шурца (как авторов
публикаций [39, 67, 70]); такое название применяется, например, в монографии [29] со
ссылкой на [27].
1.2.2.3. Сравнительный анализ (анализ достоверности) результатов [26, 67].
Несмотря на популярность и общепризнанность теории Дау – Грунфеста – Розена –
Шурца и соответствующих количественных результатов, представленных на рис. 1.21
(фиг. 3.23 и 3.24), все же необходимо отметить, что указанные теория и результаты
построены с привлечением весьма приближенных допущений, указанных в п. 1.2.2.1
для всего первого направления (первого – по терминологии заключительной части
п. 1.2.1, а также монографий [7, 8] и конкретизированных в п. 1.2.2.2 для [26, 67]).
Заметим, что обсуждаемые весьма приближенные допущения приняты в [26, 67] при
составлении расчетных схем и моделей; в связи с этим для обоснования результатов
(рис. 1.21, фиг. 3.23 и 3.24) [26, 67] и установления степени их достоверности необхо-
димо провести сравнение с соответствующими результатами (применительно к одной
и той же задаче), полученными в рамках более строгих и обоснованных допущений.
Как уже неоднократно отмечалось, в том числе и в заключительной части п. 1.2.1,
второе направление (второе – по терминологии заключительной части п. 1.2.1, а так-
же монографий [7, 8]), основанное на монографиях [6, 43] по ТЛТУДТ (трехмерной
линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел), соответствует наибо-
25
лее точному, строгому и последовательному подходу, который возможен в рамках
механики деформируемых тел. Естественно, что при получении конкретных результа-
тов в рамках второго направления не применяются весьма приближенные допуще-
ния, характерные для первого направления. Таким образом, для установления (обос-
нования) степени достоверности результатов (рис. 1.21, фиг. 3.23 и 3.24) [26, 67] целе-
сообразно провести их сравнение с соответствующими результатами (применительно
к одной и той же задаче) второго направления.
Последовательный сравнительный анализ результатов теории Дау – Грунфеста –
Розена – Шурца в виде рис. 1.21 (фиг. 3.23 и 3.24) [26, 67], полученных в рамках пер-
вого направления, с точки зрения результатов второго подхода (для соответствующей
[26, 67] задачи) представлен в монографии [7, с. 206 – 214] и потом частично воспро-
изведен в монографии [8, т. 1, с. 187 – 189]. Следует обратить внимание при ознаком-
лении с результатами вышеуказанного сравнительного анализа, что в публикации [26]
и в монографиях [7, 8] при этом применяются различные обозначения для одних и тех
же параметров. Так, в публикации [26] применяются обозначения: BE и ME , BG и
MG , B и M – для модуля Юнга, модуля сдвига и объемных концентраций (долей)
материалов волокна (наполнителя, армирующих элементов) и матрицы (связующего);
в монографиях [7, 8] для соответствующих параметров применяются обозначения: aE
и mE , aG и mG , aS и mS . Таким образом, имеется следующее соответствие в обо-
значениях:
~ , ~ ; ~ , ~ ; ~ , ~ .B a M m B a M m B a M mE E E E G G G G S S (1.5)
Таким образом, интересующиеся читатели, учитывая соответствие (1.5), могут полу-
чить полную информацию о результатах вышеуказанного сравнительного анализа и о
процедуре такого анализа из монографий [7, 8].
Ниже в настоящем пункте (п. 1.2.2.3) приведем лишь отдельные сведения о качест-
венных противоречиях и количественных погрешностях теории Дау – Грунфта –
Розена – Шурца (результаты на рис. 1.21, фиг. 3.23 и 3.24), построенной в рамках первого
направления, по сравнению с соответствующими результатами второго направления,
представленного в монографиях [7, 8], в котором, как уже неоднократно отмечалось,
не принимаются приближенные допущения, характерные для первого направления.
Качественные противоречия. Ограничимся формулировкой двух позиций.
1. Теория [26, 67] не допускает возникновения потери устойчивости во внутренней
структуре (внутренней неустойчивости) по «сдвиговой» моде для любого композита
(ни при каких соотношениях между жесткостными и геометрическими параметрами
композита). Это заключение следует при строгом анализе (в соответствии с подходами,
изложенными возле рис. 1.20) из выражения [6, с. 96; В. 26], которое свидетельствует
о том, что зависимость типа ( )p p (1.2) для рассматриваемого случая имеет моно-
тонный характер – типа кривой B на рис. 1.20. В монографии [7] сформулированное
заключение фактически изложено в более подробном виде [7, с. 207 – 209].
В рамках второго направления строго доказано, что потеря устойчивости во
внутренней структуре (внутренняя неустойчивость) по «сдвиговой» моде может воз-
никать или не возникать в зависимости от соотношений между жесткостными и
геометрическими параметрами композита. В частности, эта неустойчивость по
«сдвиговой» моде возникает при малых концентрациях наполнителя (армирующих
элементов, волокон), что отмечено в монографии [7, с. 209].
Таким образом, в вышеизложенном заключается первое качественное противо-
речие теории [26, 67].
2. Теория [26, 67] при больших концентрациях наполнителя (армирующих эле-
ментов, волокон) приводит к физически некорректному результату для «сдвиговой
моды». Так, из выражения [26, с. 82, (3.29)] следует, что теоретический предел проч-
ности при сжатии при 1Bv или, что эквивалентно, 0mv .
26
В рамках второго направления строго доказано, что в вышеизложенной ситуа-
ции теоретический предел прочности при сжатии стремится к конечной величине, что
представлено выражениями [8, т. 1, с. 189, (2.71)].
Таким образом, в вышеизложенном заключается второе качественное противо-
речие теории [26, 67].
Количественные погрешности. Ограничимся формулировкой двух позиций.
1. Результаты теории [26, 67] и соответствующие результаты второго направле-
ния существенно отличаются друг от друга при малых и больших концентрациях
(долях) наполнителя (армирующих элементов, волокон). Это заключение представле-
но в монографии [7, с. 210].
2. Результаты теории [26, 67] и соответствующие результаты второго направле-
ния при довольно малых концентрациях наполнителя (армирующих элементов, воло-
кон) могут отличаться друг от друга в три раза и более. Это заключение представ-
лено в верхней части [7, с. 211].
Таким образом, в вышеизложенном заключаются количественные погрешности
теории [26, 67].
Выводы. Приведенные в настоящем пункте (п. 1.2.2.3) сведения позволяют сфор-
мулировать следующие выводы, относящиеся к теории Дау – Грунфеста – Розена –
Шурца и ее результатам [26, 67].
1. Указанная теория и ее количественные результаты [26, 67] имеют существен-
ные качественные противоречия и количественные погрешности по отношению к
теории и результатам, построенным с обычно принятой точностью в механике де-
формируемого тела (второе направление, в соответствии с терминологией моногра-
фий [7, 8] и указанной, например, в заключительной части п. 1.2.1).
2. В связи с Выводом 1 теорию Дау – Грунфеста – Розена – Шурца и ее количест-
венные результаты [16, 41] нельзя считать достоверными.
3. Для определения достоверности отдельных конкретных результатов, получен-
ных в рамках теории Дау – Грунфеста – Розена – Шурца, необходимо проводить до-
полнительные исследования.
4. Изложенные выше Выводы 1 – 3 в равной мере относятся и ко всем другим
теориям и результатам, полученным в рамках первого направления (первое направле-
ние, в соответствии с терминологией монографий [7, 8] и указанной, например, в за-
ключительной части п. 1.2.1), поскольку в первом направлении принимаются при-
ближенные допущения 1 – 4, указанные в п. 1.2.2.1, которые соответствуют прибли-
женным допущениям теории Дау – Грунфеста – Розена – Шурца (п. 1.2.2.2).
Примечание 1.4. Безусловно, при определении степени достоверности теории
Дау – Грунфеста – Розена – Шурца и ее количественных результатов в [26, рис. 1.21
(фиг. 3.23 и 3.24)], в равной мере как и других теорий и их результатов в рамках первого
направления, можно было ориентироваться на сравнение с результатами, полученными
при экспериментальных исследованиях. Все же, по мнению авторов настоящей обзор-
ной статьи, исключительно вышеуказанный подход представляется сложно осущест-
вимым и не совсем рациональным ввиду следующих двух позиций.
Первая позиция – достаточно сложно осуществить специально поставленный экс-
перимент, соответствующий приближенной расчетной схеме, например, соответст-
вующий ситуации [26, рис. 1.21 (фиг. 3.22)].
Вторая позиция – при развитии теорий в рамках первого направления (типа тео-
рии [26, 67]) вводятся многочисленные приближенные теоретические допущения при
создании приближенных моделей и расчетных схем. В связи с этим возникает, по-
видимому, первоочередная задача – оценить достоверность вышеуказанных прибли-
женных теоретических допущений с точки зрения теорий, построенных с общеприня-
той в механике деформируемых тел точностью.
Вторая из вышеуказанных позиций и определила целесообразность приведения
сравнительного анализа, который в сравнительно краткой форме изложен в настоя-
щем пункте (п. 1.2.2.3).
27
1.2.3. Анализ теоретических результатов. Второе направление (строгие по-
следовательные подходы). Подходы, модели и конкретные результаты рассматри-
ваемого второго направления развиты и получены с привлечением Основной кон-
цепции, изложенной в п. 1.2.1. Во втором направлении (в отличие от первого направ-
ления, рассмотренного в п. 1.2.2) не вводятся различные приближенные допущения, в
кратком виде изложенные в п. 1.2.2.1.
1.2.3.1. Общее описание. Характерной особенностью второго направления является
то, что при исследовании явления внутренней неустойчивости (потери устойчивости во
внутренней структуре) композитных материалов, определяющих начальный этап
(старт) разрушения композитов при сжатии, последовательно применяется трехмер-
ная линеаризированная теория устойчивости деформируемых тел (ТЛТУДТ), изло-
женная, например, в монографиях [4 – 6, 43]. При этом применяются теория больших
(конечных) докритических деформаций и также первый и второй варианты теории
малых докритических деформаций в соответствии с терминологией монографий [6,
43]; основные результаты, соответствующие второму направлению, представлены в
монографиях [4, 5, 7, 8], где [5] посвящено исключительно теории больших (конеч-
ных) докритических деформаций.
Как уже неоднократно отмечалось, подходы второго направления, по-видимому,
впервые были предложены в статьях [2, 3, 30], опубликованных в 1969 г.; в настоящее
время наиболее полно результаты второго направления, полученные до 2008 г., пред-
ставлены в 2-х томной монографии [8], в список литературы которой включены основ-
ные публикации по второму направлению. В рамках второго направления развиты: кон-
тинуальная теория разрушения композитов, основанная на модели однородной среды с
усредненными параметрами; трехмерная теория устойчивости волокнистых и слоистых
композитов при сжатии, основанная на модели кусочно-однородной среды при точных
граничных условиях на границах раздела (interface). Результаты второго направления в
рамках модели кусочно-однородной среды, первые публикации которых представлены
статьями [2, 30], соответствуют наиболее точному, строгому и последовательному под-
ходу, который принят в рамках механики деформируемого твердого тела; в связи с этим
отмеченные результаты второго направления можно применять для оценки результатов
первого направления , что и реализовано в качестве примера в п. 1.2.2.3.
Следует отметить, что внутреннее разрушение исследуется как в рамках второго
направления, так и в рамках первого направления. Кроме того, в рамках второго на-
правления (дополнительно к первому направлению) анализируется приповерхностное
разрушение, соответствующее приповерхностной потере устойчивости при сжатии
вдоль армирующих элементов (наполнителя), и разрушение при смятии торцов, соот-
ветствующее приповерхностной потере устойчивости возле загруженных торцов.
Исследования, относящиеся ко второму направлению, проведены для упругих и уп-
руго-пластических моделей сжимаемых и несжимаемых изотропных, трансверсально-
изотропных и ортотропных материалов при сжатии вдоль осей симметрии свойств
материалов (в случае трансверсально-изотропных и ортотропных материалов). Резуль-
таты общего характера получены в случае упругих моделей – для гиперупругих мате-
риалов с произвольной структурой упругого потенциала и в случае упруго-пластических
моделей – для материалов с определяющими уравнениями достаточно общего вида;
результаты конкретного характера получены для упругих и упруго-пластических мо-
делей материалов с определяющими соотношениями простейшей структуры.
Для упруго-пластических моделей материалов (применительно к связующему и
наполнителю) применяется обобщенная концепция продолжающегося нагружения,
изложенная, например, в монографиях [6, 43]. В связи с этим сформулированные за-
дачи устойчивости деформирования рассматриваются в единой общей форме для уп-
ругих и упруго-пластических моделей материалов.
Во втором направлении проводится исследование явления потери устойчивости
во внутренней структуре (внутренней неустойчивости) композитных материалов при
действии внешней «мертвой» нагрузки, что характерно практически для всех публи-
каций по механике разрушения. Применительно к исследованиям второго направле-
ния в случае упругих моделей и упруго-пластических моделей (с учетом обобщенной
концепции продолжающегося нагружения) строго доказано выполнение достаточ-
28
ных условий применимости статического метода исследования устойчивости [6, 43]
и, таким образом, рассматриваемые задачи сводятся к задачам на собственные значе-
ния, т.е. применяется метод Эйлера. Вышеуказанное доказательство также отно-
сится к приповерхностной неустойчивости при сжатии вдоль армирующих элемен-
тов и приповерхностной неустойчивости возле загруженных торцов. Таким образом,
исследования в рамках второго подхода полностью соответствуют общепринятому и
строгому методу исследования явления потери устойчивости – анализу поведения
малых возмущений в рамках линеаризированных трехмерных динамических задач.
Результаты второго направления предназначены для композитных материалов с
полимерной и металлической матрицами. Для композитов с полимерной матрицей
анализируется хрупкое разрушение; при этом матрица моделируется упругим телом,
что характерно для композитов при умеренных температурах и при сравнительно не-
длительном действии нагрузки, так как в этом случае не учитываются эффекты вязко-
сти. Для композитов с металлической матрицей анализируется пластическое разру-
шение (с учетом обобщенной концепции продолжающегося нагружения); при этом
рассматривается этап нагружения, когда вся матрица находится в состоянии пласти-
ческого деформирования.
Примечание 1.5. В рамках второго направления при исследовании потери устой-
чивости во внутренней структуре (внутренней неустойчивости) композита и припо-
верхностной потери устойчивости (приповерхностная неустойчивость) композита
предусматривается одинаковое укорочение наполнителя и матрицы вдоль направле-
ния сжатия (вдоль волокон на рис. 1.18 для однонаправленного волокнистого компо-
зита, вдоль слоев в направлении оси 10x на рис. 1.19 для слоистого композита). Вы-
шеуказанное условие является, по-видимому, единственно возможным условием, по-
зволяющим анализировать явления внутри композитного материала. При эксперимен-
тальных исследованиях вышеуказанные условия выполняются при сжатии достаточно
жесткими дисками (вдоль горизонтальной оси на рис. 1.19), когда вдоль вертикальной
оси на рис. 1.19 обеспечивается минимальное трение. При теоретических исследова-
ниях вдоль оси 10x задается одинаковое перемещение (вдоль оси 10x ) в наполнителе
и матрице, а вдоль оси 20x задаются нулевые касательные напряжения.
Вышеизложенными сведениями ограничимся при весьма кратком описании под-
хода второго направления в механике разрушения композитных материалов при
сжатии вдоль осей симметрии свойств композита, рассматриваемого как ортотроп-
ный материал в континуальном приближении. Такой подход применяется при иссле-
довании потери устойчивости во внутренней структуре (внутренней неустойчивости)
композита, определяющей начало (старт) внутреннего разрушения композита (всего
материала), и при исследовании приповерхностной неустойчивости (при сжатии
вдоль армирующих элементов, включая сжатие торца материала), определяющей на-
чало (старт) приповерхностного разрушения композита.
В дальнейшем в настоящем пункте (п. 1.2.3) в весьма краткой форме приведем инфор-
мацию о разработанных методах и полученных конкретных результатах применительно к
модели однородного материала с усредненными параметрами (континуальная теория) и
применительно к модели кусочно-однородной среды (наиболее точное рассмотрение).
1.2.3.2. Континуальная теория разрушения. В настоящем пункте (п. 1.2.3.2) в
краткой форме рассмотрим основные элементы континуальной теории разрушения
композитных материалов при сжатии, которая основана на континуальной модели
композитных материалов с усредненными параметрами. Основные результаты полу-
чены для хрупкого и пластического разрушения, в последнем случае предварительно
применяется обобщенная концепция продолжающегося нагружения, изложенная, на-
пример, в монографиях [6, 43]. В соответствии с основным подходом, изложенным в
п. 1.2.3.1, в рассматриваемом случае приходим к анализу статических уравнений и
соответствующих граничных условий ТЛТУДТ [6, 43]. Основные результаты получе-
ны для потери устойчивости во внутренней структуре (внутренняя неустойчивость,
внутреннее разрушение) и для приповерхностной потери устойчивости (приповерхно-
стное разрушение); эти результаты в достаточно подробной форме представлены в
монографии [8, т. 1, глава 2].
29
1.2.3.2.1. Внутреннее разрушение. При исследовании внутреннего разрушения
следует рассматривать композит, который занимает бесконечное пространство; само
же разрушение и его распространение описывается системой статических уравнений
ТЛТУДТ [6, 43], в незагруженном состоянии указанная система уравнений для сжи-
маемого материала является системой уравнений эллиптического типа. Сжимаемость
композита в континуальном приближении обеспечивается сжимаемостью наполните-
ля или связующего.
В силу рассмотрения бесконечного материала при анализе внутреннего разрушения
исследуется как бы потеря устойчивости в микрообъеме. Таким образом, при рас-
сматриваемом механизме разрушения изменения в микрообъеме должны каким-то
образом проявляться и в макрообъеме, причем в последнем случае они не должны
иметь локального характера, так как только в этом случае будет наблюдаться разру-
шение всего образца (макроразрушение). Указанное изменение в микрообъеме долж-
но проявляться в свойствах, не зависящих от граничных условий, так как исследуется
процесс разрушения материала (внутреннее разрушение соответствует «бесконечному»
материалу), а не влияние захватов испытательных машин, формы поперечного сечения
и т.д. Очевидно, что изменения в макрообъеме определяются возмущениями переме-
щений, которые описываются системой статических уравнений ТЛТУДТ [6, 43].
Таким образом, можно считать, что начало разрушения соответствует появлению
решений системы статических уравнений ТЛТУДТ [6, 43] для сжимаемого материала,
которые не зависят от граничных условий (рассматривается случай бесконечного ма-
териала) и не имеют локального характера; при этом, безусловно, следует отбросить
решения типа однородных напряженно-деформированных состояний. Вышеприве-
денное условие для системы статических уравнений ТЛТУДТ [6, 43] может выпол-
няться лишь в том случае, когда указанная система уравнений становится системой
гиперболического типа.
Учитывая вышеизложенное, Основную концепцию построения континуальной
теории внутреннего разрушения композитных материалов при сжатии можно сфор-
мулировать следующим образом.
Начало процесса разрушения можно отождествлять с тем моментом в исто-
рии нагружения, когда система статических уравнений ТЛТУДТ (для сжимаемых
материалов) из эллиптической системы переходит в гиперболическую, т.е. указанная
система теряет свойство эллиптичности. Теоретические пределы прочности при
этом определяются из того же условия. Разрушение композитных материалов при
сжатии происходит вдоль характеристических плоскостей и поверхностей.
Дополнительные сведения по излагаемому вопросу представлены в монографии
[8, т. 1, глава 2]; ниже рассмотрим лишь отдельные результаты.
Следуя Основной концепции, введено понятие о поверхности ТП − поверхно-
сти теоретических пределов прочности при сжатии, которое вводится в трехмерном
пространстве сжимающих главных напряжений тензора напряжений. В случае хруп-
кого разрушения (композиты с полимерной матрицей) поверхность ТП построена в
явном виде для пространственной и плоской задач. Также в случае хрупкого разруше-
ния строго доказано, что разрушение распространяется по плоскостям, перпендику-
лярным к действию сжимающих нагрузок; экспериментальным подтверждением тео-
ретической закономерности являются результаты на снимках рис. 1.5 – 1.8 и 1.10.
Ниже приведем сведения о сравнении величин теоретических пределов прочности
на сжатие и теоретических значений предельных укорочений, вычисленных в рамках
континуальной теории внутреннего разрушения (п. 1.2.3.2.1), со значениями соответ-
ствующих величин, определенных из экспериментальных исследований; при этом
будем ориентироваться на сведения из монографии [8, т. 1, глава 2], представленные
отдельно для хрупкого и пластического разрушения. По классификации п. 1.1.4 рас-
сматриваемые экспериментальные исследования относятся к третьей группе экспери-
ментальных исследований, целью которых является определение экспериментальных
значений пределов прочности и предельных укорочений.
Хрупкое разрушение. Вышеуказанное сравнение проведем для однонаправлен-
ных волокнистых композитов с полимерной матрицей в виде эпоксидной смолы в
случае весьма жестких волокон, для которых
30
.a mE E (1.6)
Также введем следующие обозначения: 3( )ТП − теоретический предел прочности
при сжатии вдоль одной оси (в данном случае – вдоль оси 30x ); 3( )экП − экспери-
ментальный предел прочности при одноосном сжатии вдоль этой же оси. В случае
(1.6) для композита с 50%-ой концентрацией (долей) однонаправленных волокон
( 0,5a mS S ) теоретический предел прочности на сжатие (в рамках континуальной
теории разрушения) приведен в монографии [8, т. 1, с. 192]
3( ) 2,09 3,00 ГПаТП (1.7)
с учетом разброса свойств эпоксидной смолы, указанного в табл. 0.1 [8] (т. 1, стр. 67).
В справочном издании [24], опубликованном на русском языке в 1981 г. (на англий-
ском языке это издание [59] опубликовано в 1978 г.), на стр. 656 [24] представлены
экспериментальные пределы прочности для различных композитов (различные во-
локна при a mS S ); эти результаты представлены также в [8, т. 1, с. 192] и имеют вид
3
3,10ГПа в случае волокон бора;
( ) 1,38 ГПа в случае высокопрочных углеродных волокон;
1,03 ГПа в случае высокомодульных углеродных волокон .
экП
(1.8)
Из сравнения результатов (1.7) и (1.8) следует, что применительно к рассматри-
ваемым композитам с полимерной матрицей наблюдается неплохое соответствие ме-
жду теоретическими пределами прочности на сжатие и экспериментальными преде-
лами прочности при одноосном сжатии.
Пластическое разрушение. Вышеуказанное сравнение проведем для однонаправ-
ленного волокнистого материала с металлической матрицей, используя эксперимен-
тальные результаты статьи [66]; в [66] приведены экспериментальные результаты для
металлокомпозита (наполнитель – проволока из нержавеющей стали, матрица – чис-
тый алюминий). Теоретический предел прочности и теоретическое значение предель-
ного укорочения при одноосном сжатии (в рамках континуальной теории внутреннего
разрушения, рассматриваемой в настоящем п. 1.2.3.2.1) определены в первом при-
ближении в монографии [8, т. 1, глава 2, с. 193 – 202], где наполнитель моделировался
линейным упругим изотропным сжимаемым телом и матрица моделировалась упруго-
пластическим изотропным несжимаемым телом со степенной зависимостью между
интенсивностями напряжений и деформаций
в следующем виде:
; , const.mmkm
u m u m mA A k (1.9)
В [66] приведены экспериментальные ре-
зультаты для различной концентрации напол-
нителя в % ( aS =4,1; 11; 15,3; 21,2; 24,8; 32,8);
для сокращения обсуждений, приведенных в
монографии [8, т. 1, глава 2, стр. 204 – 205],
на рис. 1.22, в отличие от рис. 2.9 в моногра-
фии [8, т. 1, глава 2, стр. 206], результаты
приведены лишь для значений aS (%): 15,3;
21,2; 24,8 и 32,8. Следует отметить, что на
рис. 1.22 устранена неточность в обозначе-
ниях, допущенная на рис. 2.9 монографии [8,
т. 1, глава 2, с. 206], где пропущен множитель
1
aE ( aE − модуль Юнга армирующих эле-
ментов в соответствии с обозначениями (1.5),
в данном случае – проволоки из нержавею-
щей стали).
Рис. 1.22
31
При вышеуказанных теоретических исследованиях при описании пластического
деформирования чистого алюминия с привлечением соотношения (1.9) применялись сле-
дующие три аппроксимации для величин mA и mk в (1.9):
1 ~ 100МПа, 0,1;
2 ~ 100МПа, 0,25;
3 ~ 68МПа, 0,25.
m m
m m
m m
A k
A k
A k
(1.10)
В монографии [8, т. 1, глава 2, с. 207] указаны авторы, в публикациях которых
применялись аппроксимации (1.10).
Учитывая вышеизложенное, на рис. 1.22 представлены зависимости от aS (кон-
центрации наполнителя, в данном случае – проволоки из нержавеющей стали) для
следующих величин:
сплошными линиями для величины 1 1 3
3( ) 10aТП E – безразмерного нормиро-
ванного значения теоретического предела прочности при сжатии вдоль одной оси,
вычисленного в первом приближении;
штриховыми линиями для величины 1
Т в % – теоретического значения предель-
ного укорочения, вычисленного в первом приближении.
При этом на рис. 1.22 кривые, соответствующие аппроксимациям (1.10), отмече-
ны значками 1, 2 и 3. Экспериментальные результаты [50] представлены на рис. 1.22:
темными кружочками – для экспериментального предела прочности и светлыми кру-
жочками – для экспериментального значения предельного укорочения; заметим, что в
[50] применялась аппроксимация 2.
Из анализа результатов, представленных на рис. 1.22, следует, что удовлетвори-
тельное соответствие теоретических и экспериментальных результатов наблюдается
для пределов прочности при применении аппроксимации 3 из (1.10) и для предельных
укорочений при применении аппроксимации 2 из (1.10).
Вышеизложенными сведениями ограничимся при обсуждении механики внутрен-
него разрушения в рамках рассматриваемой континуальной теории разрушения: как
уже неоднократно отмечалось, достаточно подробные сведения по этому вопросу
приведены в монографии [8, т. 1, глава 2].
1.2.3.2.2. Приповерхностное разрушение. Континуальная теория приповерхно-
стного разрушения построена на исследовании приповерхностной формы потери ус-
тойчивости, перемещения и напряжения в которой затухают при удалении от гранич-
ной поверхности; при этом при исследовании применяются основные соотношения
ТЛТУДТ [6, 30]. В соответствии с основным подходом, изложенным в п. 1.2.3.1, в
рассматриваемом случае (п. 1.2.3.2.2) приходим к статическим задачам ТЛТУДТ [6,
30] для полуограниченных областей (к задачам на собственные значения, в которых
собственные функции затухают при удалении от граничной поверхности).
Как уже отмечалось в п. 1.2.3.1, в обсуждаемой континуальной теории припо-
верхностного разрушения рассматриваются два типа такого разрушения: первый тип
относится к приповерхностному разрушению, соответствующему приповерхностной
потере устойчивости при сжатии вдоль армирующих элементов (наполнителя); вто-
рой тип относится к приповерхностному разрушению при смятии торцов, соответст-
вующему приповерхностной потере устойчивости возле загруженных торцов.
Континуальная теория приповерхностного разрушения, относящаяся к первому ти-
пу, достаточно подробно изложена в монографии [8, т. 1, глава 2, §2, стр. 209 – 224].
Для примера, расчетная схема применительно к плоской задаче для первого типа пред-
ставлена на рис. 1.23, где 2 0x является свободной поверхностью и армирующие
элементы (наполнитель) направлены вдоль оси 10x .
32
Континуальная теория приповерхностного разрушения, относящаяся ко второму
типу, достаточно подробно изложена в монографии [7, глава 7, §4, с. 568 – 589]. Для
примера, на рис. 1.24 представлено экспериментальное подтверждение существования
явления смятия торцов для образцов из однонаправленного бороалюминиевого ком-
позита; соответствующие результаты опубликованы в статье [13, рис. 1.24] соответст-
вует рис. 4.30 монографии [8, т. 1, глава 4, с. 486].
Таким образом, на вышеуказанных страницах монографий [7, 8] достаточно под-
робно изложена континуальная теория приповерхностного разрушения, соответству-
ющая приповерхностной потере устойчивости (возле свободной поверхности) при
сжатии вдоль армирующих элементов (наполнителя), а также континуальная теория
приповерхностного разрушения, соответствующая приповерхностной потере устой-
чивости загруженного торца (явление смятия торцов). Результаты представлены для
композитов с полимерной матрицей (хрупкое разрушение) и для композитов с метал-
лической матрицей (пластическое разрушение). Дополнительно следует отметить, что
в монографии [8, т. 1, глава 2, §2] также изложена двухуровневая континуальная ме-
зомеханика разрушения композитов с трещинами возле отверстий при сжатии.
В заключение лишь отметим, что на указанных страницах монографий [7, 8] для
композитов с полимерной и металлической матрицами строго доказано выполнение
следующих условий:
3 3 3 3; .
СМ П
Т Т Т Т
П П П П (1.11)
В (1.11) дополнительно к 3( )ТП (теоретический предел прочности при одноос-
ном сжатии в случае внутреннего разрушения) введены следующие обозначения:
3( )ПТП – теоретический предел прочности при одноосном сжатии в случае первого
типа разрушения; 3( )СМТП – теоретический предел прочности при одноосном сжатии
в случае второго типа разрушения (при смятии торцов). Условия (1.11) соответству-
ют обычно принятому положению – разрушение материала начинается с поверхности.
Примечание 1.6. Необходимо отметить, что в п. 1.2.3.2.1 применительно к внут-
реннему разрушению представлено достаточно хорошее совпадение пределов проч-
ности при одноосном сжатии, полученных при экспериментальных исследованиях, с
соответствующими теоретическими пределами прочности рассматриваемой контину-
альной теории разрушения как применительно к хрупкому разрушению (композиты с
полимерной матрицей), так и применительно к пластическому разрушению (компози-
ты с металлической матрицей). Отмеченное хорошее совпадение, по-видимому, объ-
ясняется тем, что в анализируемых примерах рассматривались композиты, в которых
материалы наполнителя и матрицы существенно отличаются по жесткости (вы-
полняются условия (1.6)); для других композитов, по-видимому, не следует ожидать
такого хорошего совпадения. В целом же целесообразно отметить, что рассматри-
ваемая континуальная теория разрушения является наиболее негромоздкой и удоб-
ной при исследованиях по сравнению с любыми теориями, построенными в рамках
модели кусочно-однородной среды, как в первом направлении, так и во втором на-
правлении; в то же время континуальная теория в ряде случаев дает результаты, соот-
Рис. 1.24
Рис. 1.23
33
ветствующие экспериментам. В историческом аспекте, по-видимому, первой публика-
цией по построению рассматриваемой континуальной теории разрушения была статья
[3], опубликованная в 1969 г.
1.2.3.3. Слоистые композиты. Модель кусочно-однородной среды. В настоя-
щем пункте (п. 1.2.3.3) в весьма краткой форме приведена информация о механике
разрушения при сжатии слоистых композитов с полимерной и металлической матри-
цами, которая построена на основе модели кусочно-однородной среды. В этом случае
отдельно для материалов каждого слоя наполнителя и связующего принимаются ос-
новные соотношения ТЛТУДТ [6, 43] и на границах раздела (interface) принимаются
определенные условия непрерывности напряжений и перемещений. Исследования
проводятся для хрупкого и пластического разрушения; в последнем случае предваритель-
но принимается обобщенная концепция продолжающегося нагружения, изложенная в
монографиях [6, 43]. В соответствии с основным подходом, изложенным в п. 1.2.3.1, в
рассматриваемом случае исследований приходим к анализу статических уравнений и
соответствующих граничных условий ТЛТУДТ [6, 43] для кусочно-однородной среды
(задачи на собственные значения). Основные результаты получены для потери устой-
чивости во внутренней структуре (внутренняя неустойчивость, внутреннее разруше-
ние), результаты для которой изложены в монографии [8, т. 1, глава 3], и для припо-
верхностной потери устойчивости (приповерхностное разрушение), результаты для
которой изложены в монографии [8, т. 1, глава 5]. В списке литературы к монографии
[8] представлены основные публикации по устойчивости слоистых композитных ма-
териалов в рамках второго направления (в соответствии с терминологией, указанной в
заключительной части п. 1.2.1 и в п. 1.2.3.1 и также принятой в монографиях [7, 8].
1.2.3.3.1. Внутреннее разрушение. При исследовании внутренней неустойчиво-
сти рассматривается слоистый композит, который занимает бесконечное пространст-
во (рис. 1.19), применяются общие решения статических уравнений ТЛТУДТ [6, 43] и
анализ проводится в соответствии с процедурой, изложенной в п. 1.2.1, с учетом под-
хода, соответствующего рис. 1.20. Необходимо отметить, что в настоящем пункте (п.
1.2.3.3.1) приводится информация только о результатах, полученных для композитов,
в поверхностях раздела (interface) которых отсутствуют дефекты (на поверхностях
раздела выполняются условия непрерывности напряжений и перемещений); инфор-
мация о результатах для композитов с дефектами в поверхностях раздела представле-
на в п. 1.2.3.3.3).
Рис. 1.25 Рис. 1.26
Исследованы плоские и пространственные задачи для слоистых композитов с по-
лимерной и металлической матрицами, состоящих из слоев наполнителя (одинаковой
толщины) и слоев матрицы (одинаковой толщины), которые периодически чередуют-
ся вдоль оси 20x (рис. 1.25) в случае плоских задач и вдоль оси 30x (рис. 1.26) в слу-
чае пространственных задач; в случае пространственных задач рис. 1.26 соответствует
плоскости в сечении 2 0x . На рис. 1.25 и 1.26, как и в обозначениях (1.5), индексом
« a » отмечены все величины, относящиеся к армирующим элементам (наполнителю,
слоям), и индексом « m » отмечены все величины, относящиеся к матрице (связующе-
му, слоям). В случае плоских задач рассматриваются слои ортотропных материалов
34
(в частном случае – изотропных материалов), в случае пространственных задач рас-
сматриваются слои трансверсально-изотропных материалов с плоскостью изотропии
3 constx (рис. 1.26) (в частном случае – изотропные материалы); при этом характе-
ристические определители во всех случаях получены для материалов с определяю-
щими уравнениями достаточно общей структуры. Учитывая периодичность структу-
ры вдоль вертикальной оси на рис. 1.25 и 1.26 с периодом 2 a mh h , анализирова-
лись моды потери устойчивости с периодом вдоль вертикальной оси, кратным перио-
ду структуры, т.е. с периодом kT ,
2 ; 1, 2, ... .k a mT k h h k (1.12)
Были исследованы первые четыре моды, которые названы модами первого, второго,
третьего и четвертого рода; указанные моды схематически показаны на рис. 1.27 – 1.30.
Форма потери устойчивости первого рода имеет период, равный периоду структуры
(в (1.12) 1k ), и представлена на рис. 1.27; на рис. 1.21 (фиг. 3.22) эта мода соответ-
ствует сдвиговой моде.
Рис. 1.27 Рис. 1.28
Форма потери устойчивости второго рода имеет вдоль вертикальной оси период,
равный удвоенному периоду структуры (в (1.12) 2k ), и представлена на рис. 1.28;
на рис. 1.21 (фиг. 3.22) эта мода соответствует моде растяжения.
Форма потери устойчивости третьего рода имеет вдоль вертикальной оси период,
равный периоду структуры (в (1.12) 1k ), и представлена на рис. 1.29.
Форма потери устойчивости четвертого рода имеет вдоль вертикальной оси период,
равный удвоенному периоду структуры (в (1.12) 2k ), и представлена на рис. 1.30.
Рис. 1.29 Рис. 1.30
Для слоистых композитов с полимерной и металлической матрицами в случае
плоских и пространственных задач получены характеристические определители в
замкнутой форме для материалов наполнителя и связующего с определяющими урав-
нениями достаточно общего вида; критические значения параметров нагружения по-
лучены в результате минимизации корней характеристических определителей, при
этом корни определены с привлечением численных методов. При таком подходе по-
лучены многочисленные результаты для конкретных слоистых композитов с поли-
мерной и металлической матрицами.
35
В качестве примера вышеотмеченных ре-
зультатов для конкретных слоистых композитов
ниже в весьма краткой форме приведем отдель-
ные результаты для слоистого композита, со-
ставленного из изотропных слоев, когда матери-
ал каждого из слоев моделируется линейным
упругим телом. Эти результаты подробно пред-
ставлены в монографии [8, т. 1, стр. 297 – 299];
представленный здесь рис. 1.31 соответствует
рис. 3.9 указанной монографии. На рис. 1.31 пред-
ставлена зависимость параметра нагружения от
параметра волнообразования a (типа параметров
(1.2)) для слоистого композита со следующими
параметрами: 1 500;a mE E 1 1; 5;10; 20;m ah h
30; 40; 50 применительно к плоской задаче, где
обозначения соответствуют рис. 1.25. Цифрами 1,
2, 3, 4, 5, 6 и 7 на рис. 1.31 отмечены кривые, соответствующие вышеуказанным значе-
ниям параметра 1
m ah h . Сплошными линиями на рис. 1.31 показаны результаты, от-
носящиеся к изгибной моде (форме потери устойчивости первого рода, рис. 1.27);
штрихпунктирными линиями на рис. 1.31 показаны результаты, относящиеся к моде
растяжения (форме потери устойчивости второго рода, рис. 1.28).
Весьма кратко рассмотрим анализ результатов, представленных на рис. 1.31 при-
менительно к изгибной моде (форме потери устойчивости первого рода, рис. 1.27),
которые изображены сплошными линиями. Из рис. 1.31 следует, что сплошные кри-
вые с цифрами 1 и 3 ( 1
m ah h =1 и 10) являются кривыми типа B на рис. 1.20; таким
образом, для рассматриваемого композита при компоновках слоев 1
m ah h =1 и 20
внутренняя потеря устойчивости (потеря устойчивости во внутренней структуре) не
возникает по изгибной моде (форме потери устойчивости первого рода). Из рис. 1.31
следует, что сплошные кривые с цифрами 4, 5, 6 и 7 1( 20, 30, 40 и 50)m ah h являют-
ся кривыми типа A на рис. 1.20; таким образом, согласно похода п. 1.2.1 для рассмат-
риваемого композита при компоновках слоев 1 20, 30, 40 и 50m ah h внутренняя по-
теря устойчивости (потеря устойчивости во внутренней структуре) возникает по из-
гибной моде (форме потери устойчивости первого рода). Таким образом, строго дока-
зано существование следующего явления – в зависимости от структуры слоистого
композита может возникать или не возникать потеря устойчивости во внутренней
структуре (внутренняя неустойчивость) по изгибной моде (форме потери устойчи-
вости первого рода, рис. 1.27). Как уже отмечалось в п. 1.2.2.3 (качественное противо-
речие 1) приближенные теории, построенные в рамках первого направления, не опи-
сывают вышеизложенное явление.
Интересным также представляется следующий результат. В монографии [8, т. 1,
глава 3] строго доказано, что континуальная теория разрушения, кратко рассмотрен-
ная в п. 1.2.3.2, следует в виде длинноволнового приближения (при стремлении длины
волны формы потери устойчивости к бесконечности) из изгибной моды (формы потери
устойчивости первого рода, рис. 1.27) теории в рамках модели кусочно-однородной
среды (настоящий п. 1.2.3.3).
Дополнительную информацию о результатах по внутреннему разрушению сло-
истых композитов, обсуждаемых в настоящем п. 1.2.3.3.1, можно получить из моно-
графии [8, т. 1, глава 3].
1.2.3.3.2. Приповерхностное разрушение. Рассмотрим в весьма краткой форме
информацию о результатах по приповерхностному разрушению слоистых компози-
тов, полученную в рамках модели кусочно-однородной среды; достаточно подробная
информация по этому вопросу содержится в монографии [8, т. 1, глава 5].
Рис. 1.31
36
При исследовании поверхностной неустойчивости рассматривается слоистый
композит, занимающий нижнее полупространство 2const x в случае плоских
задач согласно рис. 1.25 и нижнее полупространство 3const x в случае простран-
ственных задач согласно рис. 1.26. Все обозначения и соображения, изложенные в на-
чале п. 1.2.3.3.1 до выражения (1.12), остаются в силе и для приповерхностного разру-
шения (приповерхностной неустойчивости), анализируемой в настоящем п. 1.2.3.3.2.
Конкретные результаты получены для слоистых композитов с полимерной и металли-
ческой матрицей (хрупкое и пластическое разрушение).
Для исследования плоских и пространственных задач о приповерхностном раз-
рушении (приповерхностной потере устойчивости) разработаны два метода: первый
метод, являющийся практически точным методом, основан на сведении рассматри-
ваемых задач к бесконечным системам алгебраических уравнений с последующим их
тщательным анализом; второй метод, являющийся сугубо приближенным методом,
основан на применении вариационных принципов ТЛТУДТ [6, 43].
В дальнейшем в этой статье не будем приводить примеры анализа полученных
результатов для конкретных слоистых композитов с полимерной и металлической
матрицами применительно к приповерхностной неустойчивости. Ограничимся лишь
информацией о качественно новом явлении, которое описано в монографии [8, т. 1,
глава 5, с. 513] и заключается в следующем. Не при всех концентрациях наполнителя и
не при всех относительных жесткостных параметрах наблюдается (существует)
явление поверхностной неустойчивости. Так, при непрерывном увеличении внешней
сжимающей нагрузки вначале может возникать внутренняя неустойчивость или крити-
ческие нагрузки для внутренней и поверхностной неустойчивостей могут совпадать.
Вышеизложенной информацией ограничимся при весьма кратком обсуждении
приповерхностного разрушения (приповерхностной неустойчивости) в слоистых ком-
позитах с полимерной и металлической матрицами, полученных в рамках модели ку-
сочно-однородной среды. Достаточно подробное изложение результатов по рассмат-
риваемой проблеме представлено в монографии [8, т. 1, глава 5].
1.2.3.3.3. Слоистые композиты с дефектами в границах раздела (interface).
С привлечением основных соотношений ТЛТУДТ [6, 43] в рамках модели кусочно-
однородной среды исследованы задачи механики разрушения при сжатии слоистых
композитов (задачи потери устойчивости во внутренней структуре композита) с де-
фектами в границах раздела (interface) применительно к двум типам дефектов.
Применительно к дефектам первого типа их наличие моделируется отсутствием
трения или соответствующего соединения на всей поверхности раздела. В этом слу-
чае соблюдается лишь непрерывность нормальных напряжений и перемещений на
границах раздела; также принимается, что касательные напряжения на границах раз-
дела равны нулю. Для решения такого типа задач применяются общие решения стати-
ческих уравнений ТЛТУДТ [6, 43] и характеристические определители строятся в
явном замкнутом виде; для определения корней указанных характеристических урав-
нений применяются численные методы.
Применительно к дефектам второго типа их наличие моделируется трещинами
в границах раздела; расчетная схема для такого типа задач, в виде примера, представ-
лена на рис. 1.32, где в общем случае учитывается взаимодействие трещин (макро-
трещин), расположенных в различных поверхностях раздела.
Рис. 1.32
37
Исследование задач для слоистых композитов с дефектами второго типа (рис. 1.32)
в границах раздела проводится исключительно численными методами (метод конеч-
ных разностей, метод конечного элемента).
По-видимому, исключение представляет случай микротрещин, расположенных в
одной поверхности раздела; заметим, что микротрещины определяются тем условием,
что они не взаимодействуют с микротрещинами, расположенными в соседних парал-
лельных плоскостях раздела. Для микротрещин, расположенных в одной поверхности
раздела, получено точное решение в замкнутом виде; соответствующая расчетная
схема представлена на рис. 1.33. Достаточно подробная информация о вышеотмечен-
ном точном решении приведена в монографии [8, т. 2, глава 8, с. 168 – 199]. Построе-
ние точного решения основано на представлении общего решения через функции
комплексных переменных, на введении комплексных переменных, в которые входят
сжимающие напряжения, и на сведении к задаче сопряжения для двух голоморфных
функций, заданных во всей плоскости.
Рис. 1.33
Дополнительные сведения о результатах по механике разрушения при сжатии
слоистых композитов, которые получены в рамках модели кусочно-однородной среды
и которые весьма кратко рассмотрены в настоящем пункте (п. 1.2.3.3), можно полу-
чить из монографии [8, т. 1, главы 3 и 5; т. 2, глава 8, §2].
1.2.3.4. Волокнистые однонаправленные композиты. Модель кусочно-однород-
ной среды. В настоящем пункте (п. 1.2.3.4) в весьма краткой форме приведена ин-
формация о механике разрушения при сжатии волокнистых однонаправленных ком-
позитов (рис. 1.18) с полимерной и металлической матрицами, которая построена на
основе модели кусочно-однородной среды. В этом случае отдельно для каждого во-
локна и матрицы принимаются основные соотношения ТЛТУДТ [6, 43] и на границах
раздела (interface) принимаются определенные (также в рамках ТЛТУДТ) условия
непрерывности напряжений и перемещений. Исследования проводятся для хрупкого и
пластического разрушения; в последнем случае предварительно принимается обоб-
щенная концепция продолжающегося нагружения, изложенная в монографиях [6, 43].
В соответствии с основным подходом, изложенным в п. 1.2.3.1, в рассматриваемом
случае исследований приходим к анализу статических уравнений и соответствующих
граничных условий ТЛТУДТ [6, 43] для кусочно-однородной среды (задачи на собст-
венные значения). Основные результаты получены для потери устойчивости во внут-
ренней структуре (внутренняя неустойчивость, внутреннее разрушение), результаты
для которой изложены в монографии [8, т. 1, глава 4], и для приповерхностной потери
устойчивости (приповерхностное разрушение), результаты для которой изложены в
монографии [8, т. 1, глава 6]. В списке литературы к монографии [8] представлены
основные публикации по устойчивости волокнистых однонаправленных композитных
материалов в рамках второго направления (в соответствии с терминологией, указанной
в заключительной части п. 1.2.1 и в п. 1.2.3.1 и также принятой в монографиях [7, 8]).
38
1.2.3.4.1. Внутреннее разрушение. При исследовании внутренней неустойчиво-
сти рассматривается волокнистый однонаправленный композит, который занимает
бесконечное пространство (рис. 1.18), применяются общие решения статических урав-
нений ТЛТУДТ [6, 43] и анализ проводится в соответствии с процедурой, изложенной
в п. 1.2.1, с учетом подхода, соответствующего рис. 1.20. Отметим, что в настоящем
пункте (п. 1.2.3.4.1) приводится информация только о результатах, полученных для
композитов, в поверхностях раздела (interface) которых отсутствуют дефекты (на по-
верхностях раздела выполняются условия непрерывности напряжений и перемеще-
ний); информация о результатах для композитов с дефектами в поверхностях раздела
представлена в п. 1.2.3.4.3. Как и в обозначениях (1.5), все величины с индексом « a »
относятся к армирующим элементам (наполнителю, однонаправленным волокнам) и
все величины с индексом « m » относятся к матрице (связующему).
Для волокнистых однонаправлен-
ных композитов при сжатии вдоль
волокон (рис. 1.18) возникают различ-
ные задачи в зависимости от структу-
ры композита в плоскости поперечно-
го сечения и рассматриваемых расчет-
ных схем. На рис. 1.34 (в плоскости
поперечного сечения) показаны сле-
дующие расчетные схемы.
1. Одно волокно (рис. 1.34, а) –
для волокнистых композитов с малой
концентрацией наполнителя, когда
соседние волокна не взаимодействуют
между собой.
2. Два волокна (рис. 1.34, б) – для волокнистых композитов с малой концентраци-
ей наполнителя, когда вследствие нерегулярности структуры при потере устойчиво-
сти могут взаимодействовать два соседних волокна.
3. Один периодический ряд волокон (рис. 1.34, в) – для волокнистых композитов
периодической структуры, когда при потере устойчивости волокна в пределах одного
ряда взаимодействуют между собой, а соседние ряды волокон не взаимодействуют
между собой (весьма малые расстояния между волокнами в одном ряду, весьма боль-
шие расстояния между соседними рядами).
4. Несколько периодических рядов волокон (рис. 1.34, г) – для волокнистых ком-
позитов периодической структуры, когда при потере устойчивости волокна в преде-
лах каждого ряда взаимодействуют между собой, ряды волокон в пределах группы
рядов взаимодействуют между собой и различные группы рядов не взаимодействуют
между собой.
5. Двоякопериодическая структура волокон (рис. 1.34, д) – для волокнистых ком-
позитов двоякопериодической структуры при весьма малых расстояниях между со-
седними волокнами, когда при потере устойчивости необходимо учитывать взаимо-
действие в рамках модели двоякопериодической структуры.
Количество вариантов исследований для во-
локнистых однонаправленных композитов опреде-
ляется не только количеством расчетных схем, при-
веденных на рис. 1.34 (всего 5 расчетных схем), но
и тем, что для каждой расчетной схемы необходимо
исследовать различные формы (или типы форм)
потери устойчивости, определяемые свойствами
симметрии в плоскости поперечного сечения. Без-
условно, после проведения исследований по раз-
личным формам потери устойчивости необходимо
проводить минимизацию полученных всех собст-
венных чисел (обычно первых собственных чисел
для каждого типа форм потери устойчивости) с це-
лью определения критического значения укорочения
вдоль оси волокон.
Рис. 1.34
Рис. 1.35
39
Для примера на рис. 1.35 показаны (в плоскости поперечного сечения) различные ти-
пы форм потери устойчивости для двух волокон (рис. 1.34, б). Так, рис. 1.35, а соответст-
вует формам потери устойчивости в одной фазе из плоскости волокон; рис. 1.35, б соот-
ветствует формам потери устойчивости в противофазе из плоскости волокон; рис. 1.35, в
соответствует формам потери устойчивости в противофазе в плоскости волокон; рис. 1.35, г
соответствует формам потери устойчивости в одной фазе в плоскости волокон.
Общий метод решения вышесформулированных задач, который применялся при
исследовании всех задач по механике внутреннего разрушения при осевом сжатии во-
локнистых однонаправленных композитов в рамках второго направления, включает
следующие составные элементы. Применение для волокон и матрицы общих решений
статических уравнений ТЛТУДТ [6, 43] в круговых цилиндрических координатах.
Представление решения в виде суммы решений в локальных цилиндрических коорди-
натах в форме рядов Фурье с неопределенными коэффициентами, включающих специ-
альные функции кругового цилиндра. Получение характеристических уравнений в виде
бесконечных характеристических определителей с вычислением элементов в явном
виде. Доказательство, что указанные бесконечные характеристические определители
для несоприкасающихся волокон являются определителями нормального типа. Отме-
ченное доказательство обосновывает при приближенном определении корней замену
бесконечных определителей конечными определителями, т.е. применять метод усече-
ния. Обоснование практической сходимости указанного метода посредством сравнения
значений корней, получающихся при увеличении порядка усеченных определителей.
Вышеуказанным методом получены многочисленные результаты по внутреннему
разрушению при сжатии волокнистых однонаправленных композитов с полимерной и
металлической матрицами; достаточно подробное и последовательное изложение этих
результатов представлено в монографии [8, т. 1, глава 4]. По-видимому, отмеченные
результаты являются в настоящее время наиболее точными и строгими; кроме того,
метод позволяет уточнять полученные результаты для несоприкасающихся волокон.
Ниже в качестве примеров весьма кратко рассмотрим два результата из моногра-
фии [8, т. 1, глава 4].
Пример 1. Подавляющее число результатов в [8, т. 1, глава 4] получены при усло-
вии однородных докритических состояний при нагружении в виде рис. 1.18. Указан-
ное условие выполняется точно в двух случаях: первый – материалы волокон и мат-
рицы являются несжимаемыми; второй – материалы волокон и матрицы имеют оди-
наковые коэффициенты Пуассона ( a m ). Указанное условие не выполняется, ко-
гда коэффициенты Пуассона материалов волокна не равны ( a m ); в этом случае
получаем неоднородное докритическое состояние. В связи с этим возникает вопрос о
необходимости учитывать (в задачах устойчивости волокнистых однонаправленных
композитов) неоднородность докритического состояния для случая a m . В моно-
графии [8, т. 1, глава 4, §1, с. 391 – 396] на примере одного волокна (расчетная схема
рис. 1.34, а) исследован этот вопрос; при этом для неоднородного докритического состоя-
ния достаточно точные результаты получены численным методом. Так, на рис. 1.36
представлена зависимость величин 10Т ( Т − теоретическое значение предельного
укорочения) и /кр крR l (критическое значение параметра волнообразования
/ ,R l R − радиус поперечного сечения волокна, l − длина полуволны (вдоль оси
волокна) формы потери) от параметра 1lg( )a mE E . Кривые для величины кр отмечены
цифрами 1, кривые для величины 10Т отмечены цифрами 2; сплошные кривые отно-
сятся к случаю 0,2a и 0,4m (докритическое состояние неоднородное), штрихо-
вые кривые относятся к случаю 0,2a m (докритическое состояние однородное) и
штрихпунктирные кривые относятся к случаю 0,4a m (докритическое состояние
однородное). Отметим, что на рис. 1.36 для величины 10Т сплошные и штрих-
пунктирные линии практически совпадают. Также отметим, что случай 0,2a и
40
0,4m согласно табл. 0.1 и табл. 0.2 [8,
т. 1, с. 67 и с. 68] соответствует наиболь-
шему отличию в коэффициентах Пуассона
для типичных наполнителей и связующих.
Из анализа результатов на рис. 1.36 и
табл. 4.1 [8, т. 1, с. 395] сделан следую-
щий вывод: при 1 20a mE E , выполняя
исследования с точностью до 5%, можно
не учитывать неоднородность докрити-
ческого состояния, вызванную различием
в значениях коэффициентов Пуассона для
наполнителя и связующего, и проводить
исследования при равных значениях ко-
эффициента Пуассона 0,3a m .
Пример 2. Весьма кратко рассмотрим определение экспериментальных и теорети-
ческих пределов прочности для металлокомпозита (однонаправленный волокнистый
бороалюминиевый композит с 50% содержанием волокон бора, 0,5a mS S ) ВКА-1 с
волокнами бора диаметром 140 мкм; общий вид образцов из бороалюминия представ-
лена на рис. 1.24. Обсуждаемые результаты опубликованы в статье [52] и представлены
в монографии [8, т. 1, глава 4, с. 486 – 488]; заметим, что рассматривалось пластическое
разрушение и для алюминиевой матрицы были использованы соотношения (1.9). Также
отметим, что по существу рассматривались два металлокомпозита (отожженный и не-
отожженный); при экспериментальных исследованиях было разрушено 32 отожженных
и 14 неотожженных образца, для которых были определены экспериментальные преде-
лы прочности. Теоретические пределы прочности были определены в рамках контину-
альной теории разрушения (п. 1.2.3.2) и в рамках модели кусочно-однородной среды
для волокнистых однонаправленных композитов (п. 1.2.3.4) при расчетной схеме ком-
позита двоякопериодической структуры (рис. 1.34, д). Вышеуказанные результаты
представлены в табл. 1.1, которая соответствует табл. 4.10 [8, т. 1, глава 4, с. 487]. Из
анализа результатов, представленных в табл. 1.1, следует, что континуальная теория
разрушения дает результаты, весьма близкие к средним экспериментальным результа-
там, а механика разрушения в рамках модели кусочно-однородной среды дает результа-
ты, весьма близкие к максимальным экспериментальным результатам.
Таблица 1.1
3( )эк
, МПа 3( )Т
, МПа
Материал
2 min Среднее
Континуальная
теория
Модель кусочно-
однородной среды
Отожженный 965 501 665 736 958
Неотожженный 1716 1049 1282 1467 1972
Дополнительную информацию о результатах по внутреннему разрушению волок-
нистых однонаправленных композитов, обсуждаемых в настоящем п. 1.2.3.4.1, можно
получить из монографии [8, т. 1, глава 4].
1.2.3.4.2. Приповерхностное разрушение. Рассмотрим в весьма краткой форме
информацию о результатах о приповерхностном разрушении волокнистых однонаправ-
ленных композитов, полученных в рамках модели кусочно-однородной среды; достаточ-
но подробная информация по этому вопросу содержится в монографии [8, т. 1, глава 6].
При исследовании поверхностной неустойчивости рассматривается волокнистый од-
нонаправленный композит (рис. 1.18), который занимает полупространство; при этом
граничной поверхностью является плоскость, проходящая параллельно однонаправлен-
Рис. 1.36
41
ным волокнам (рис. 1.18). В связи с выше-
изложенным в плоскости поперечного
сечения волокнистого однонаправленного
композита (рис. 1.18) при исследовании
поверхностной неустойчивости рассмат-
ривается полуплоскость (рис. 1.37) с раз-
личными структурами, соответствующи-
ми характерным расчетным схемам. На
рис. 1.37 изображено 5 характерных рас-
четных схем, описание которых можно
провести по аналогии с описанием пре-
дыдущего п. 1.2.3.4.1, где это описание
приведено применительно к внутреннему
разрушению. Отметим, что на рис. 1.37, как и на рис. 1.34 и 1.35, темными кружочками
изображены поперечные сечения волокон. При исследовании поверхностной неустой-
чивости волокнистых однонаправленных композитов анализируются формы потери
устойчивости, которые затухают при удалении от границы нижнего полупространства
на рис. 1.37, что определяется дополнительным условием. При формировании струк-
туры решения дополнительно к структуре решения предыдущего пункта 1.2.3.4.1
вводится дополнительное слагаемое в виде интегрального преобразования Фурье,
обеспечивающее удовлетворение граничным условиям на плоской границе нижнего
полупространства. С учетом вышеуказанной структуры представления решения в
дальнейшем применялся метод решения, информация о котором представлена перед
Примером 1 предыдущего п. 1.2.3.4.1.
Конкретные результаты получены о приповерхностном разрушении однонаправ-
ленных волокнистых композитов с полимерной и металлической матрицами. Доста-
точно подробное изложение результатов по рассматриваемой проблеме представлено
в монографии [8, т. 1, глава 6].
1.2.3.4.3. Волокнистые однонаправленные композиты с дефектами в грани-
цах раздела (interface). В весьма краткой форме рассмотрим информацию о резуль-
татах по механике разрушения при сжатии волокнистых однонаправленных компози-
тов с дефектами первого и второго типов в границах раздела (interface) применитель-
но к внутреннему и приповерхностному разрушению. При анализе будем учитывать
определение дефектов первого и второго типов, введенное в п. 1.2.3.3.3.
В случае дефектов первого типа результаты получены для одного волокна и пред-
ставлены в соответствующих публикациях в периодических изданиях; эти результаты
также представлены в монографии [8, т. 1]. Для внутреннего разрушения результаты
получены в рамках расчетной схемы (рис. 1.34, а) и представлены в [8, т. 1, с. 415 –
417]. Для приповерхностного разрушения результаты получены в рамках расчетной
схемы (рис. 1.37, а) и представлены в [8, т. 1, с. 561 – 563].
В случае дефектов второго типа (волокнистые однонаправленные композиты с
трещинами в цилиндрических поверхностях раздела) результаты в законченном виде
еще не опубликованы.
Дополнительные сведения о результатах по механике разрушения при сжатии во-
локнистых однонаправленных композитов, которые получены в рамках модели ку-
сочно-однородной среды и которые весьма кратко рассмотрены в настоящем пункте
(п. 1.2.3.4), можно получить из монографии [8, т. 1, главы 4 и 6].
1.2.3.5. Более общие формы потери устойчивости. Модель кусочно-однород-
ной среды. В настоящем пункте (п. 1.2.3.5) рассмотрим общие сведения и конкретные
результаты по анализу более общих форм потери устойчивости (во внутренней струк-
туре слоистых и волокнистых однонаправленных композитов) по сравнению с фор-
мами потери устойчивости, которые исследованы в пп. 1.2.3.3 и 1.2.3.4.
1.2.3.5.1. Общие сведения. При исследовании устойчивости слоистых (п.1.2.3.3)
и волокнистых однонаправленных (п. 1.2.3.4) композитов в рамках модели кусочно-
однородной среды на основе ТЛТУДТ [6, 43] во всех анализируемых формах потери
Рис. 1.37
42
устойчивости выделялся множитель 1
3sin l x , где координата 3x отсчитывается
вдоль волокон или вдоль слоев и l – длина полуволны формы потери устойчивости
также вдоль волокон или вдоль слоев. Таким образом, в рамках модели «бесконечно
длинных волокон» принималось, что каждый из армирующих элементов (волокна,
слои) теряет устойчивость по одинаковой периодической форме потери устойчивости
вдоль волокон и слоев. В определенном смысле подтверждением реализации выше-
указанных форм потери устойчивости являются результаты экспериментальных ис-
следований для композитов с полимерной (эпоксидная смола) матрицей; результаты
таких экспериментов представлены на рис. 1.2 – для композита со стеклянными во-
локнами и на рис. 1.3 – для композита с углеродными волокнами.
При рассматриваемых формах потери устойчивости плоскости с одинаковой фа-
зой в форме потери устойчивости (вдоль координаты 3x , вдоль волокон или слоев) в
композите расположены перпендикулярно оси 30x (перпендикулярно волокнам или
слоям); в связи с этим, по-видимому, можно считать, что разрушение распространяет-
ся по указанным плоскостям. В определенном смысле подтверждением вышеуказан-
ной процедуры относительно форм потери устойчивости является строгое доказа-
тельство (п. 1.2.3.2.1) в рамках континуальной теории разрушения (п. 1.2.3.2) того,
что (при хрупком разрушении) разрушение распространяется по плоскостям, которые
являются перпендикулярными направлению действия сжимающих нагрузок. Отме-
тим, что в континуальной теории разрушения (п. 1.2.3.2) рассматривается сжатие
вдоль направления преимущественного армирования (в данном случае – вдоль воло-
кон и слоев). Все же приведенные рассуждения с привлечением результатов контину-
альной теории для обоснования одного из составляющих моментов теории в рамках
модели кусочно-однородной среды являются недостаточно логичными и последова-
тельными, поскольку континуальная теория разрушения является приближенной и
менее строгой по сравнению с теорией на базе модели кусочно-однородной среды.
В связи с вышеизложенным представляется достаточно целесообразным разра-
ботка метода исследования в теории устойчивости слоистых и волокнистых однона-
правленных композитов, позволяющего анализировать более общие формы потери
устойчивости по сравнению с формами потери устойчивости, которые рассмотрены в
пп. 1.2.3.3 и 1.2.3.4. Безусловно, наряду с разработкой метода исследования также
весьма необходимыми является анализ конкретных классов задач для формирования
общих выводов.
В статье [42] для волокнистых однонаправленных композитов (рис. 1.18) для слу-
чая наиболее сложной двоякопериодической структуры (рис. 1.34, д) и в статье [46]
для слоистых композитов (рис. 1.19) предложен метод исследования для более общих
форм потери устойчивости. Метод [42, 46] предназначен для исследований в рамках
модели «бесконечно длинных волокон или слоев» (бесконечно длинных в направле-
нии оси 30x , когда сжатие осуществляется также вдоль оси 30x ), когда формы потери
устойчивости вдоль оси 30x также являются периодическими. Необходимо отметить,
что в пп. 1.2.3.3 и 1.2.3.4 (для слоистых и волокнистых композитов) дополнительно
принималось, что все армирующие элементы теряют устойчивость в одной фазе или
что соседние армирующие элементы теряют устойчивость в противофазе. В методе
статей [42, 46] вышеуказанное допущение пп. 1.2.3.3 и 1.2.3.4 не принимается; в этом
заключается большая общность рассматриваемых в [42, 46] форм потери устойчивости.
Для более четкой характеристики форм потери устойчивости, рассматриваемых в
[42, 46] и являющихся периодическими вдоль оси 30x , введено понятие о плоскости
, которая состоит из точек композита, имеющих одинаковую фазу вдоль оси 30x в
форме потери устойчивости. В первом октанте плоскость на рис. 1.38 заштрихова-
на и определяется ортом n с составляющими
2 2 2
1 2 3 1 2 3, , ; 1.n n n n n n (1.13)
43
В [42, 46] в явном виде построены решения
системы статических уравнений ТЛТУДТ [6,
43], которые соответствуют произвольному
положению плоскости (рис. 1.38), опреде-
ляемому ортом n ; эти решения построены
для волокнистых однонаправленных компози-
тов в случае наиболее сложной двоякоперио-
дической структуры (рис. 1.34, д), которые,
безусловно, позволяют осуществить переход
к более простым структурам (рис. 1.34, а – г),
а также решения построены для слоистых
композитов (рис. 1.19, 1.25 и 1.26). В [42] для
волокнистых однонаправленных композитов
отмечено, что для произвольного положения
плоскости получаем характеристическое
уравнение в виде бесконечного определителя; при этом доказывается, что бесконеч-
ный определитель является определителем нормального типа для несоприкасающихся
волокон, что обосновывает возможность определения корней методом усечения опре-
делителя при численном исследовании, практическая же сходимость достигается пу-
тем сравнения результатов при увеличении порядка усеченного определителя. В [46]
для слоистого композита отмечено, что получаем конечного порядка характеристиче-
ский определитель, элементы которого представляются в замкнутом виде.
Необходимо отметить, что из методов [42, 46] следуют методы пп. 1.2.3.3 и
1.2.3.4, если в (1.13) принять
1 2 30, 0, 1;n n n (1.14)
в этом случае плоскость направлена перпендикулярно оси 30x (перпендикулярно
сжимающей нагрузке).
После вычисления корней характеристических определителей, построенных со-
гласно [42, 46], необходимо провести минимизацию этих корней (с целью определе-
ния критических значений) по параметрам: l – длина полуволны вдоль оси 30x в
форме потери устойчивости; 1 2,n n и 3n – параметры, определяющие положение
плоскости . При практическом проведении указанной минимизации можно вначале
определить крl при значениях (1.14), потом можно провести анализ изменения инте-
ресующих величин ( 3( ) ,Т Т
) при крl l и различных значениях параметров 1 2,n n
и 3n (1.13).
1.2.3.5.2. Результаты для волокнистого однонаправленного композита. В на-
стоящее время в статьях [55, 56, 58] опубликованы конкретные результаты для волок-
нистого однонаправленного композита применительно к расчетной схеме на рис. 2.34, в
(один бесконечный периодический ряд волокон); при произвольном положении плос-
кости расчетная схема для этого случая представлена на рис. 1.39.
В нижней части рис. 1.39 представлено поперечное сечение композита с одним
периодическим рядом волокон. Верхняя часть рис. 1.39 соответствует плоскости, ко-
торая проходит через оси волокон бесконечного периодического ряда волокон; в силу
симметрии задачи относительно этой плоскости можно рассматривать все изображе-
ния и обозначения применительно к этой плоскости. Таким образом, на рис. 1.39 вве-
дены обозначения: R – радиус волокна; – расстояние между осями двух соседних
волокон; d – сдвиг по фазе вдоль волокон в форме потери устойчивости; l – длина
полуволны вдоль оси волокон в форме потери устойчивости. Заметим, что при 0d на
рис. 1.39 получен случай (1.14), когда плоскость перпендикулярна волокнам, что
принимается в исследованиях п. 1.2.3.4.
Рис. 1.38
44
В статье [58] также приведены кон-
кретные результаты при моделирова-
нии свойств волокон и матрицы ли-
нейно-упругими телами при a m и
также отмечено, что исследования про-
водились при следующих значениях
других параметров:
1
1
1
50; 100; 200; 500; 1000;
2,5; 3; 4; 5; 7; 15;
0; 0,25; 0,5; 0,75; 1.
a mE E
R
d l
(1.15)
На рис. 1.40 приведена зависимость
величины кр (критическое значение
укорочения вдоль волокон для рассмат-
риваемой формы потери устойчивости)
от 1d l (относительного отклонения
плоскости от перпендикулярной к
волокнам плоскости) для различных
расстояний между осями соседних во-
локон, определяемых значениями пара-
метра 1R , при 1 200a mE E . При этом рис. 1.40, а относится к потере устойчивос-
ти в плоскости волокон типа рис. 1.35, в и г; рис. 1.40, б относится к потере устойчивос-
ти из плоскости волокон типа рис. 1.35, а и б.
а б
Рис. 1.40
При минимизации величины кр на рис. 1.40 по параметру 1d l для случаев по-
тери устойчивости в плоскости волокон (рис. 1.40, а) и потери устойчивости из плос-
кости волокон (рис. 1.40, б) для Т – теоретического значения предельного укороче-
ния получаем
Т кр при 1 0.d l (1.16)
Таким образом, из рассмотренного примера следует, что плоскость (рис. 1.38) на-
правлена перпендикулярно волокнам, что и принималось в исследованиях п. 1.2.3.4,
т.е. подтверждается общность метода решения, который принят в пп. 1.2.3.3 и 1.2.3.4.
Необходимо отметить, что вышеизложенное доказательство получено при анализе
лишь одного примера; в связи с этим вышеизложенный вывод целесообразно прове-
рить при рассмотрении других задач для волокнистых однонаправленных и слоистых
композитов применительно к внутреннему и приповерхностному разрушению.
Рис. 1.39
45
С целью иллюстрации влияния изменения относительной жесткости волокон и
матрицы рассматриваемого волокнистого однонаправленного композита (при a m )
на величину кр (критического значения укорочения применительно к анализируемой
форме потери устойчивости) на рис. 1.41 приведена зависимость 1( )кр кр а mE E ,
полученная в [58] для случая 1 0,5d l и различных значений параметра 1R при
обозначениях рис. 1.39.
а б
Рис. 1.41
При этом рис. 1.41, а относится к потере устойчивости в плоскости волокон типа
рис. 1.35, в, г и рис. 1.41, б относится к потере устойчивости из плоскости волокон
типа рис. 1.35, а, б; также на рис. 1.41 сплошные кривые соответствуют значениям
параметра 1 2,5;3;4;5R и штриховая кривая относится к случаю 1R (од-
но волокно, расчетная схема на рис. 1.34, а), а на оси 1
a mE E принята логарифмиче-
ская шкала. Из результатов, представленных на рис. 1.41, а, б следует, что влияние
параметра 1
a mE E на величину кр достаточно существенное.
Необходимо отметить, что метод, предложенный в [42] и предназначенный для
исследования внутренней неустойчивости волокнистых однонаправленных компози-
тов, приводит к определению корней бесконечных определителей. В [42] отмечено,
что получаемые бесконечные определители являются определителями нормального
типа (для несоприкасающихся волокон); отмеченное доказательство обосновывает
применения метода усечения при численном определении корней бесконечных опре-
делителей. В связи с этим для доказательства практической сходимости рассматри-
ваемого метода обычно приводят информацию об изменении значений корней при
увеличении порядка характеристических определителей, которые получаются из бес-
конечных характеристических определителей при применении метода усечения.
В [58] приведена соответствующая информация применительно к случаю одного
бесконечного периодического ряда волокон, расчетная схема для которого показана
на рис. 1.39; числовые результаты при этом получены при принятом в п. 1.2.3.5.2 мо-
делировании свойств материалов волокон и матрицы для случая a m . В табл. 1.2,
следуя [58], приведены значения 410кр ( кр – критическое значение укорочения
вдоль волокон для рассматриваемой формы потери устойчивости) при 1 0,5d l
(величина d указана на рис. 1.39, l – длина полуволны вдоль волокон в форме поте-
ри устойчивости) для различных значений параметров 1R и 1
a mE E . Значения
46
величины 410кр , приведенные в табл. 1.2, вычислены при различном числе уравне-
ний, также указанных в табл. 1.2; заметим, что число уравнений соответствует поряд-
ку усеченного характеристического определителя.
Таблица 1.2
В плоскости волокон Из плоскости волокон
/ R / R /a mE E к-во урав-
нений 2,5 4
к-во урав-
нений 2,5 4
50
22
34
1740
1750
1346
1346
20
32
1450
1452
1275
1275
200
10
22
34
820
972
981
671
693
694
8
20
32
718
756
757
624
628
627
1000
10
22
34
377
465
469
300
315
315
8
20
32
328
347
348
273
274
274
Из анализа результатов, представленных в табл. 1.2, следует, что для рассматри-
ваемых значений жесткостных и геометрических параметров с достаточной степенью
точности можно ограничиться исследованием определителя 22-го порядка для случая
потери устойчивости в плоскости волокон и определителя 20-го порядка для потери
устойчивости из плоскости волокон, так как исследование, соответственно, определи-
телей 34-го и 32-го порядков приводит к уточнениям в третьей цифре. Следует отме-
тить, что случай 1 2,5R , рассмотренный в табл. 1.2, соответствует весьма близко
расположенным волокнам; в этом случае перемычка между волокнами (матрица) со-
ставляет полрадиуса волокна.
В заключение целесообразно отметить, что в настоящем пункте (п. 1.2.3.5) проведен
сравнительно более подробный анализ результатов по сравнению, например, с пп. 1.2.3.3
и 1.2.3.4; отмеченная ситуация связана с тем, что результаты настоящего пункта не
были включены в монографию [8].
1.2.4. Анализ теоретических результатов. Об исследовании явления «kinking».
В настоящем пункте в весьма краткой форме приведем информацию об исследовании
явления «kinking», которое является одной из достаточно популярных концепций,
особенно среди англоязычных исследователей; при этом будем следовать изложению
этого вопроса, рассмотренного в монографии [8, т. 1, с. 72 – 74].
Первоначально явление «kinking» рассматривалось в статье [31], опубликованной в
1983 г., и в ряде других публикаций. В настоящее время уже опубликован ряд обзоров по
исследованию явления «kinking», например, [32, 33, 40]; причем [40] опубликовано в 1997 г.
в широко известной серии изданий (Advances in Applied Mechanics, vol. 33, pp. 43 – 119),
которая издается в США. Кроме того, обзор [33] опубликован в 1994 г. в специализиро-
ванном журнале (Applied Mechanics Reviews), который издается в США. Следует отме-
тить, что обзор результатов, частично изложенных в пп. 1.2.3.3 и 1.2.3.4, также опублико-
ван в специальном выпуске журнала (Applied Mechanics Reviews) [65] в 1992 г.
Явление «kinking» заключается в появлении (при сжатии композита вдоль арми-
рующих элементов) достаточно узких полос «kinking» (kink band) уже разрушенного
материала; схематически явление «kinking» показано на рис. 1.42, который соответст-
вует Fig. 2 на стр. S247 статьи [33], где через
W обозначена ширина зоны «kinking». При
проведении исследований зона «kinking» ана-
лизируется на основе весьма приближенных
соотношений.
Прежде всего, целесообразно отметить,
что схема разрушения, представленная на рис.
1.42, относится к уже разрушенному образцу;
при этом начало (старт) процесса разрушения
не определяется, в этом случае нельзя исклю-
Рис. 1.42
47
чить, что начало (старт) процесса разрушения также определяется потерей устойчиво-
сти во внутренней структуре композита. Также следует отметить, что для явления
«kinking» при сжатии вдоль горизонтальной оси (рис. 1.42) характерным является
смещение вдоль вертикальной оси частей материала слева и справа от полосы «kink-
ing» (рис. 1.42); отмеченная ситуация, по-видимому, также является характерной для
явления «kinking».
В статье [47] и в монографии [8, т. 1, с. 73 – 74] рассмотрен ряд соображений, от-
носящихся к возможности возникновения явления «kinking»; ниже рассмотрим неко-
торые из указанных соображений, следуя, в основном, монографии [8].
1. Явление «kinking» в образцах (рис. 1.42) может возникать, если при сжатии
вдоль горизонтальной оси граничные условия для образца позволяют возникать сме-
щениям вдоль вертикальной оси.
2. При внутреннем разрушении (для «бесконечного» материала) явление «kinking»
не может, по-видимому, возникать в виде отдельной изолированной полосы «kinking»
(в виде отдельной изолированной kink band) при сжатии вдоль осей симметрии свойств
материала (в континуальном приближении). Внутри композита при сжатии вдоль осей
симметрии свойств материала явление «kinking» может существовать лишь в виде
чередующихся полос «kinking», чтобы возникающее при этом возмущение напряжен-
но-деформированного состояния было сбалансированным.
3. Исследование явления «kinking» не может, по-видимому, однозначно устано-
вить механизмы, определяющие начало (старт) процесса разрушения. Одним из меха-
низмов, определяющих начало (старт) процесса разрушения, может быть в этом слу-
чае и механизм потери устойчивости во внутренней структуре (внутренняя неустой-
чивость) композита, который может быть исследован в рамках ТЛТУДТ [6, 43].
Как уже отмечалось в [8, т. 1, стр. 73], вышеизложенные соображения лишь отра-
жают точку зрения авторов [8, 47]; в связи с этим возможны и другие соображения,
отражающие точки зрения других авторов.
В определенном смысле подтверждением второго из вышепредложенных сообра-
жений являются результаты экспериментальных исследований, которые опубликованы
в статье [74] и представленные на рис. 1.14. Обсуждение экспериментальных резуль-
татов [74] проведено в п. 1.1.2 возле рис. 1.14.
Вышеизложенными весьма краткими сведениями ограничимся при рассмотрении
явления «kinking» и его исследований.
1.3. Заключение к Разделу 1. Таким образом, в Разделе 1 приведен краткий исто-
рический очерк развития экспериментальных и теоретических исследований по поте-
ре устойчивости во внутренней структуре композитных материалов при сжатии и по
последующему процессу разрушения; при этом теоретические исследования рассмот-
рены только применительно к модели «бесконечно длинных волокон». Целесообразно
отметить следующие основные моменты, относящиеся к Разделу 1.
1. Приведенные результаты экспериментальных исследований доказывают возмож-
ность возникновения явления потери устойчивости во внутренней структуре компози-
тов как применительно к композитам с достаточно длинными армирующими элемента-
ми, для исследования которых применяется модель «бесконечно длинных волокон», так и
применительно к композитам со сравнительно короткими армирующими элементами, для
исследования которых применяется модель «волокон конечных размеров».
2. Представленный краткий анализ теоретических исследований проведен только
для результатов, полученных в рамках модели «бесконечно длинных волокон». При
этом указанный анализ проведен как для результатов, полученных с привлечением
различных приближенных допущений, так и для результатов, полученных с привле-
чением трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел
(сокращенно – ТЛТУДТ, изложенной, например, в монографиях [6, 43]).
3. Изложение краткого исторического очерка в Разделе 1 реализовано без привле-
чения математического аппарата, который применяется для исследования конкрет-
ных классов задач рассматриваемой проблемы. Такой стиль изложения предоставляет
возможность достаточно широким кругам исследователей познакомиться с различ-
ными аспектами рассматриваемой проблемы.
Вышеизложенными соображениями, по мнению авторов настоящей обзорной ста-
тьи, можно завершить краткий исторический очерк и соответствующий анализ.
48
2. Модель «волокон конечных размеров» в трехмерной теории устойчивости
композитов. Анализ подходов и результатов.
Рассматриваются результаты по теории устойчивости во внутренней структуре
(внутренняя неустойчивость) композитов и по теории приповерхностной неустойчи-
вости композитов при сжатии вдоль армирующих элементов; указанные результаты
получены в рамках модели «волокон конечных размеров» с привлечением основных
соотношений ТЛТУДТ [6, 43]. Исследования проведены в рамках модели плоской
задачи (плоская деформация); в связи с этим при строгом рассмотрении обсуждаемые
результаты относятся к устойчивости бесконечно длинных полос (бесконечных в на-
правлении перпендикуляра к рассматриваемой плоскости) конечной ширины, т.е. к
слоистым композитам с наполнителем ленточной структуры. В силу применения мо-
дели «волокон конечных размеров» в задачах Раздела 2 (в отличие от задач Раздела 1
п. 1.2) возникает неоднородное докритическое состояние, в связи с чем исследование
задач Раздела 2 возможно исключительно с привлечением численных методов.
В соответствии с Основным допущением приближенного подхода [26, 67],
сформулированным в начале п. 1.2.2.2, волокнистый однонаправленный композит в
задачах устойчивости моделируется плоской задачей (плоская деформация) для слоистого
композита; в связи с этим для результатов, полученных при указанном моделировании,
применяется терминология, соответствующая теории устойчивости волокнистого од-
нонаправленного композита. Такие результаты (при вышеуказанных моделировании и
терминологии) включены в общеизвестные многотомные монографии фундаменталь-
ного характера по разрушению [25] и по композитным материалам [19] и повсеместно
цитируются в последующих публикациях без каких-либо комментариев; более под-
робно обсуждаемая ситуация рассмотрена в п. 1.2.2.2 настоящей обзорной статьи.
Вышеотмеченные моделирование и терминология будут применяться при изло-
жении результатов в Разделе 2. Следует отметить, что обсуждаемые моделирование и
терминология применяются только при интерпретации полученных результатов; сами
же результаты определены с привлечением модели кусочно-однородной среды и ос-
новных соотношений ТЛТУДТ [6, 43] применительно к композитам, исследование
устойчивости которых во внутренней структуре осуществляется в рамках модели
«волокон конечных размеров».
2.1. Основные положения модели «волокон конечных размеров».
В настоящем пункте в весьма краткой форме излагается основные положения теории
устойчивости, которая позволяют адекватно описывать явление потери устойчивости
композитных материалов, армированных волокнами конечных размеров в направле-
нии армирования при сжатии; представлены основные уравнения и соотношения
трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел при малых
начальных деформациях, подходы к выбору моделей для описания механических
свойств композитов, математической постановке соответствующих дифференциаль-
ных задач, формулированию критериев потери устойчивости в структуре композита.
Основные положения теории устойчивости волокон конечных размеров в матри-
це, которые определяют постановку задач, а также пределы ее применимости, можно
сформулировать следующим образом.
1. Материалы волокон и матрицы моделируются линейно-упругими изотропными
телами; такое моделирование можно считать приемлемым при сравнительно кратко-
срочном действии внешнего нагружения при умеренных температурах.
2. Применяется второй вариант теории малых докритических деформаций трех-
мерной линеаризированной теории устойчивости, когда начальное состояние опреде-
ляется по геометрически линейной теории; такой подход считается приемлемым для
сравнительно жестких волокнистых композитных материалов, которые преимущест-
венно разрушаются при сравнительно малых деформациях.
3. Рассматривается нагружение внешними «мертвыми» нагрузками, в связи с этим
выполняются достаточные условия применимости статического метода ТЛТУДТ; все
исследования выполняются с применением статического метода.
4. На границах раздела наполнителя и матрицы принимаются условия полного
контакта непрерывности векторов напряжений и перемещений как при определении
докритического состояния, так и при исследовании задач устойчивости.
49
5. В случае конечного числа волокон принимаются условия затухания «на беско-
нечности»; для периодической системы волокон дополнительно принимаются соот-
ветствующие условия периодичности.
6. Все исследования выполняются в рамках плоской деформации: рассматривает-
ся продольное сечение волокнистых материалов, проходящее через ось волокон, ко-
торые лежат в одной плоскости.
2.1.1. Постановка задач. Таким образом, исследование выполняется в рамках плос-
кой деформации в плоскости 1 20x x с применением основных соотношений ТЛТУДТ
для малых докритических деформаций, а также модели упругого изотропного тела
для армирующих элементов и матрицы. Исследование проводится в лагранжевых ко-
ординатах, которые в недеформированном состоянии совпадают с декартовыми коор-
динатами. На рис. 2.1 приведена расчетная схема для простейшего случая, когда во-
локна не взаимодействуют через матрицу между собой как в докритическом состоя-
нии, так и при потере устойчивости; указанная ситуация возникает в случае компо-
зитных материалов с достаточно малой концентрацией наполнителя.
Рис. 2.1
Рассматривается продольное сечение волокнистых материалов, которое проходит
через ось волокон, лежащих в одной плоскости; таким образом, фактически, прово-
дится замена пространственной задачи (для цилиндрических волокон конечных раз-
меров) плоской задачей (для слоев конечных размеров). Отмеченная процедура, как
уже отмечалось выше, соответствует Основному допущению приближенного подхо-
да [26, 67], которое сформулировано в начале п.1.2.2.2. Эту процедуру можно считать
лишь приближенным приемом при интерпретации полученных результатов, так как
никакие критерии рассматриваемого моделирования или подобия не применялись и
не анализировались уже в течении полувека (статья [67] на английском языке опубли-
кована в 1965г.); при этом результаты [26, 67] включены в общеизвестные моногра-
фии энциклопедического характера по композитным материалам и разрушению.
Исследование докритического состояния выполняется в рамках классической линей-
ной теории упругости изотропного тела, уравнения равновесия и соотношения упругости
которой можно представить в следующем виде (при этом индексом «нуль» обознача-
ются величины, относящиеся к начальному (докритическому) состоянию, индексами
«a» и «m» – величины, относящиеся к материалу волокна и матрицы, соответственно):
0 0;ij
ix
0 0 02 ;ij ij nn ij
00
02 .ji
ij
j i
uu
x x
(2.1)
Поскольку для матрицы исследование проводится для бесконечной области, напря-
жения и перемещения в матрице удобно представить в виде суммы компонентов на-
пряжений и перемещений, соответствующих внешней нагрузке, заданной для матрицы
«на бесконечности», и компонентов, соответствующих возмущениям напряженно-
деформированного состояния, обусловленными наличием волокна конечных размеров
50
0 10 ;m m
ij ij ij 0 10 ,m m
j j ju u u (2.2)
где величины определяются следующими выражениями:
11 ;P 22 0; 12 0; 1 1 1;u A x 2 2 2.u A x (2.3)
Определение докритического состояния проводится с использованием указанных
величин и основных соотношений, которые включают следующие условия непрерыв-
ности векторов напряжений и перемещений на границах раздела компонентов компо-
зита:
10 0
11 11 11 ;m a 10 0
12 12 ;m a 10 0 ;m a
j j ju u u 1 2;x L 2 2;x D (2.4)
10 0
22 22 ;m a 10 0
12 12 ;m a 10 0 ;m a
j j ju u u 1 2;x L 2 2 ,x D (2.5)
а также условия затухания «на бесконечности»
10 0;m
ij 10 0;m
ju при 2 2
1 2 .x x (2.6)
Исследование задачи устойчивости выполняется с применением статического ме-
тода ТЛТУДТ в рамках второго варианта теории малых докритических деформаций
при моделировании наполнителя и матрицы линейно-упругим изотропным телом, что
согласовано с постановкой задачи определения докритического напряженно-дефор-
мированного состояния. Таким образом, уравнения устойчивости и составляющие
несимметричного тензора напряжений можно представить в следующем виде:
0;ij
i
u
x x
;ij ijt u
x
, , , 1, 2;i j (2.7)
для компонентов тензора используются следующие выражения:
0( ) ;ij ij i j i j j i 0 0 ,i i (2.8)
где введены общеизвестные обозначения: и – постоянные Ляме.
При исследовании задачи устойчивости основные соотношения (2.7) следует
применять отдельно для матрицы, записав их относительно величин 1m
ij , 1m
ij и 1m
ju ,
а также 1 m
ij , m и m . Также соотношения (2.7) следует отдельно применять к во-
локну, записав их относительно величин a
ij , a
ij и
a
ju , а также a
ij , a и a .
Таким образом, в соответствии с (2.2), (2.3), (2.8) имеют место следующие выражения
для матрицы и волокна, соответственно:
1 0( ) ;m m
ij ij m i j i j m j i 0 10
1 ;m m
i i iP (2.9)
0( ) .a a
ij ij a i j i j a j i (2.10)
Полная формулировка задачи устойчивости также включает условия непрерывно-
сти векторов напряжений и перемещений на границах раздела, которые для описан-
ной расчетной схемы можно представить в следующем виде:
1
11 11 ;m at t 1
12 12 ;m at t 1
1 1 ;m au u 1
2 2
m au u ; 1 2;x L 2 2;x D (2.11)
1
22 22 ;m at t 1
21 21 ;m at t 1
1 1 ;m au u 1
2 2 ;m au u 1 2;x L 1 2 ,x D (2.12)
а также условия затухания «на бесконечности», которые для описанной расчетной
схемы имеют следующий вид:
51
1 0m
ju , при 2 2
1 2x x . (2.13)
Следует отметить, что докритическое состояние в ситуации, представленной на
рис. 2.1, соответствует задаче о концентрации напряжений (при осевом нагружении)
возле прямоугольного включения, который заполнен материалом с отличными харак-
теристиками. В этом случае докритическое состояние будет существенно неоднород-
ным, зависящим от двух переменных 1x и 2x .
Таким образом, при исследовании задачи устойчивости с применением основных
соотношений ТЛТУДТ (в рамках второго варианта теории малых докритических де-
формаций) для плоской деформации получаем задачу на собственные значения для
системы уравнений в частных производных с существенно переменными коэффициен-
тами, которые зависят от двух переменных 1x и 2x . В таком случае получить решение
соответствующей задачи на собственные значения с использованием аналитических
методов невозможно, что обусловливает необходимость применения численных методов.
2.1.2. Метод численного исследования задач. Численное решение сформулиро-
ванных задач выполняется методом конечных разниц с применением вариационно-
разностного подхода и использованием концепции базовых схем. Указанный подход
подробно изложен в обзорной публикации применительно к широким классам задач
механики композитных материалов [63].
Принимая во внимание обозначения, введенные на рис. 2.1, рассмотрим основные
этапы реализации численного метода, применительно к указанному классу задач. Для
этого вместо бесконечной расчетной области вводится конечная область, ограничен-
ная внешним прямоугольником с размерами 1 2l l . Для определения докритического
состояния и исследования задачи устойчивости условия затухания «на бесконечности»
заменяются аналогичными условиями затухания на внешней границе прямоугольника.
При этом размеры внешнего прямоугольника 1 2l l выбираются такими, чтобы их
дальнейшее увеличение не влияло на конечные результаты (величину критического
нагружения), что определяется в результате вычислительного эксперимента.
Рис. 2.2
При помощи прямых параллельных координатным осям 1 constx и 2 const ,x в
расчетной области (внешнего прямоугольника размерами 1 2l l ) вводится неравно-
мерная по каждому из направлений разностная сетка , где – множество
внутренних и – граничных узлов (рис. 2.2). При этом сетка вводится так, чтобы в
52
пределах каждой ячейки материал был однородным; кроме того, предполагается воз-
можность уплотнения сетки в окрестностях резкого изменения свойств материала,
например, вдоль линий разделения компонентов композитного материала. Таким об-
разом, сеточная область, которая состоит из множества внутренних и граничных уз-
лов, представляет собой совокупность прямоугольных ячеек; каждая ячейка сетки
имеет механические и геометрические характеристики компонента композита, кото-
рый содержится в данной ячейке.
Дискретные задачи на сетке получаются вариационно-разностным способом с
применением концепции базовых схем. Компоненты базовых схем определяются пу-
тем аппроксимации и минимизации соответствующего функционала на шаблоне
ячейки сетки. Следует отметить, что при реализации указанной процедуры примени-
тельно к исследованию задачи устойчивости используются вариационные принципы
ТЛТУДТ. Путем суммирования значений базовых схем в каждом узле сеточной об-
ласти получаются разностные задачи, являющиеся дискретными аналогами соответ-
ствующих континуальных задач. Таким образом, операторную форму разностной за-
дачи определения докритического напряженно-деформированного состояния, которая
соответствует задаче линейной теории упругости (2.1) – (2.6), можно записать в сле-
дующем виде:
; A u Φ x или ; .i iA u x (2.14)
Выражения разностных операторов получаются путем суммирования значений
базовых схем в каждом узле сеточной области
; ; .i i i iA a
ξ ξ
u ξ u ξ x
x x
(2.15)
Выражения базовых операторов, полученные на шаблоне ячейки сетки, имеют
следующий вид:
( ) ; ;
j
j
ji ji
ia H
ξ u x 1
2
( ) ; ,
j
i
H
P
ξ x (2.16)
где 21hhH – площадь ячейки сетки, sign 0.
ii ih
Здесь и далее знак суммы означает, что в узле x суммируются значения ба-
зового оператора для тех параметров ξ , которые соответствуют узлу x во всех
смежных ячейках.
Следует отметить, что разностный оператор задачи (2.14) сохраняет свойства самосо-
пряженности и положительной определенности соответствующего дифференциального
оператора. Таким образом, задача определения докритического напряженно-деформиро-
ванного состояния сводится к решению сеточных уравнений (2.14), которые могут
быть представлены в виде системы линейных уравнений с симметричной матрицей.
Операторная форма разностной задачи, соответствующая дифференциальной за-
даче устойчивости (2.7) – (2.13), может быть представлена в следующем виде:
,p A u B u x или , .i iA p B u u x (2.17)
Выражения разностных операторов получаются путем суммирования значений
базовых схем в каждом узле сеточной области
, , .i i i iA a B b
ξ ξ
u ξ u u ξ u x
x x
(2.18)
Выражения базовых операторов, полученные на шаблоне ячейки сетки, имеют
следующий вид:
0 0
, ,( )
( ) ; ( ) ; ,
jj
k k
j j
jk i jk iji ji
i i
u u
a H b H
ξ u ξ u x (2.19)
где 21hhH – площадь ячейки сетки, sign 0.
ii ih
53
Разностные операторы задачи (2.17) сохраняют свойства самосопряженности и
положительной определенности соответствующих дифференциальных операторов.
Таким образом, задача устойчивости сводится к решению сеточных уравнений (2.17),
которые также могут быть представлены в виде алгебраической обобщенной задачи
на собственные значения.
Изложенный подход к построению разностных задач существенно упрощает проце-
дуру численного решения поставленных задач, поскольку позволяет использовать
общие выражения базовых операторов для всех задач рассматриваемого класса. Кро-
ме того, описанный способ суммирования значений базовых операторов, полученных
на шаблоне ячейки сетки, является общим для всех классов задач и позволяет легко
автоматизировать процесс построения алгебраических задач. Для получения числен-
ных результатов решения алгебраических задач используются известные в теории
разностных схем прямые и итерационные методы: метод Холецкого, метод сопряжен-
ных градиентов, метод итерирования подпространств, метод градиентного спуска.
2.1.3. Асимптотический переход к модели «бесконечно длинных волокон».
Проведем сравнительный анализ результатов исследования устойчивости композит-
ных материалов, полученных с применением моделей «волокон конечных размеров»
(расчетная схема Рис.2.1) и модели «бесконечно длинных волокон» (расчетная схема
рис. 1.19) применительно к композитным материалам с полимерной матрицей. Рас-
смотрим результаты, полученные в рамках плоской деформации в плоскости 1 20x x
(рис. 2.1 и 1.19); при этом в случае модели «волокон конечных размеров» будем ис-
пользовать результаты, полученные численными методами, в соответствии с [9, 52]; в
случае модели «бесконечно длинных волокон» будем использовать результаты, пред-
ставленные в монографии [8]. Все результаты получены в рамках второго варианта
трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел [6, 43] при
малых докритических деформациях, когда начальное состояние определяется по гео-
метрически линейной теории); при этом армирующие элементы (волокна) и матрица
моделируются линейно упругими сжимаемыми изотропными материалами.
Результаты сравнительного анализа представлены в виде зависимости величины
11| |крa от геометрического параметра 1LD . В случае модели «бесконечно длинных
волокон» эта величина соответствует критическому значению деформации вдоль оси
10x как для армирующих элементов, так и для матрицы. В случае модели «волокон
конечных размеров» введена следующая величина:
1 211 11 ( , )крa крa x x при 01 x и 2 0.x (2.20)
В этом случае величина (2.20) соответствует критическому значению деформации
вдоль оси 10x в средней точке армирующего элемента, которая характеризует только
критическое значение деформации волокна и не характеризует критическое значение
деформации матрицы. При этом критическое значение деформации вдоль оси 10x для
матрицы, которое определяется «на бесконечности», может достигать существенно от-
личных значений. Указанную ситуацию следует обязательно принимать во внимание
при сравнении результатов, полученных с применением представленных моделей.
На рис. 2.3 и рис. 2.4 представлены результаты, которые относятся к микро- и на-
нокомпозитам, соответственно, с полимерной матрицей со следующими механиче-
скими параметрами: 2,68 ГПаmE , 4,0m . Для микрокомпозитов вычисления
проводились при следующих значениях механических параметров 1 10; 30; 50;a mE E
100;150 , где aE и mE – модули Юнга для волокна и матрицы, соответственно, в ин-
тервале изменения геометрического параметра 110 1510LD . Для нанокомпозитов
вычисления проводились при более высоких значениях отношения механических па-
раметров 1 285; 373; 448; 500;1000a mE E и в более широком интервале изменения
54
геометрического параметра 110 2310LD . Последние два значения параметра
1
ma EE соответствуют ситуациям, которые могут возникать в технологических про-
цессах создания нанокомпозитов в связи с существенной зависимостью свойств мат-
рицы от температуры. Сплошными линиями показаны результаты, которые относятся
к модели «волокон конечных размеров», пунктирными линиями показаны результаты,
относящиеся к модели «бесконечно длинных волокон».
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Из результатов, представленных на рис. 2.3 и рис. 2.4, следует, что для всех зна-
чений параметра 1
ma EE при увеличении геометрического параметра 1LD в указан-
ном интервале критические значения деформации вдоль оси 10x , вычисленные в рам-
ках модели «волокон конечных размеров», асимптотически приближаются к критиче-
ским значениям, полученным в рамках модели «бесконечно длинных волокон»; при
55
этом для верхних значений рассматриваемых интервалов изменения геометрического
параметра, критические значения указанных деформаций практически совпадают.
Таким образом, все результаты для микрокомпозитов и нанокомпозитов с полимер-
ной матрицей, полученные в рамках моделей «волокон конечных размеров» и «беско-
нечно длинных волокон», являются согласованными.
Кроме того, из представленных результатов также следует, что для сравнительно
коротких волокон получены существенные отличия критических значений деформации,
вычисленных в рамках моделей «волокон конечных размеров» и «бесконечно длинных
волокон». Так, в интервале изменения геометрического параметра 110 100LD
критические значения деформации вдоль оси 10x , вычисленные в рамках модели «во-
локон конечных размеров», в несколько раз меньше соответствующих значений, вы-
численных в рамках модели «бесконечно длинных волокон»; в случае же наиболее
коротких волокон (при 1 10LD ), критические значения деформации вдоль оси 10x ,
вычисленные в рамках модели «волокон конечных размеров», почти на порядок мень-
ше соответствующих значений, вычисленных в рамках модели «бесконечно длинных
волокон». Таким образом, микро- и нанокомпозиты с геометрическими параметрами
армирующих элементов в интервале 110 100LD являются достаточно короткими
волокнами, для которых исследование устойчивости в рамках модели «бесконечно
длинных волокон», по мнению авторов, является неприменимым.
Указанная ситуация, очевидно, может иметь следующее объяснение: в результате
исследования форм потери устойчивости волокна в матрице, результаты которого
более подробно изложены ниже, было установлено, что сравнительно короткие во-
локна теряют устойчивость по формам (модам), которые не имеют ничего общего с
периодическими (вдоль волокна) формами потери устойчивости, что является харак-
терным для модели «бесконечно длинных волокон» и определяется выделением пе-
риодических множителей. В частности, для сравнительно коротких и достаточно же-
стких армирующих элементов в рамках модели «волокон конечных размеров» были
получены формы потери устойчивости, которые свидетельствуют о как бы повороте
волокна как абсолютно жесткого тела. Естественно, что подобные формы потери ус-
тойчивости не описываются в рамках модели «бесконечно длинных волокон» с выде-
ленным периодическим множителем. Именно поэтому критические значения дефор-
маций, которые соответствуют указанному явлению, в рамках модели «бесконечно
длинных волокон» вычислены быть не могут.
Вышеизложенными сведениями ограничимся при сравнительном анализе резуль-
татов для нанокомпозитов с полимерной матрицей, которые получаются для нано-
композитов с полимерной матрицей в задачах устойчивости с применением двух рас-
сматриваемых моделей. Ниже рассмотрим два примечания, которые в равной мере
относятся к микрокомпозитам и нанокомпозитам с полимерными матрицами.
Примечание 1. На первый взгляд значение геометрического параметра 1 100LD ,
являющееся верхней границей интервала, для которого модель «бесконечно длинных
волокон» неприменима, как бы соответствует достаточно длинным волокнам. Допол-
нительные сведения в этом вопросе можно получить используя шкалу уровней, пред-
ложенную в [12, 48]. В соответствии с указанной шкалой уровней для диаметров во-
локон получаем применительно к микрокомпозитам 4 8(10 10 )мD и примени-
тельно к нанокомпозитам 7 9(10 10 )мD . Учитывая вышеизложенные сведения,
получаем, что для физических объемов материала с линейными размерами вдоль во-
локон, которые равны или меньше для микрокомпозитов (порядка 1см 1мкм ) и на-
нокомпозитов (порядка 10мкм 0,1мкм ), неприменима модель «бесконечно длинных
волокон» при исследовании задач устойчивости. Из вышеприведенных оценок следу-
ет, что полученные длины волокон, когда неприменима модель «бесконечно длинных
волокон», не являются очевидно большими.
56
Примечание 2. Необходимо отметить, что результаты сравнительного анализа для
моделей «бесконечно длинных волокон» и «волокон конечных размеров» существенным
образом зависят от выбранных величин, по которым проводится сравнение. В настоя-
щей статье в качестве такой величины выбрано критическое укорочение вдоль волокна,
для которого имеет место выражение (2.20) в случае модели «волокон конечных раз-
меров» (рис. 2.1), и в случае модели «бесконечно длинных волокон» (рис. 1.19) имеет
место выражение
0 ( ) 0 ( ) 0
11 11 11 const.a m (2.21)
Указанный выбор величин, по мнению авторов, является достаточно обоснованным,
исходя из соображений физического характера. По-видимому, совершенно другие
результаты были бы получены, если бы в качестве величины сравнения выбрать кри-
тические значения укорочения вдоль оси 10x для матрицы «на бесконечности». В
этом случае для модели «бесконечно длинных волокон» в силу выражений (2.21)
сравнение проводилось бы для такой же величины. Для матрицы же при вычислении
укорочения «на бесконечности», применительно к модели «волокон конечных разме-
ров», получили бы существенно большие значения, так как матрица существенно ме-
нее жесткая по сравнению с волокнами.
Следует отметить, что в публикациях [9 – 11, 14 – 18, 36 – 38, 48 – 54], посвящен-
ных исследованию исключительно в рамках модели «волокон конечных размеров»,
применялась величина 11 11| | | |кр крm (критическое укорочение для матрицы «на бес-
конечности» в соответствии с рис. 2.1)
mкрmкр
1111
при 1x . (2.22)
В связи с этим (в отличие от рис. 2.3, 2.4) величина (2.22) получается существенно
больше 11| |крa и приближается асимптотически сверху к результатам в рамках модели
«бесконечно длинных волокон»; об этом свидетельствует рис. 3 из статьи [9].
Соображения, приведенные в Примечаниях 1 и 2, целесообразно учитывать при
проведении сравнительного анализа результатов исследования задач устойчивости
композитных материалов, которые получены в рамках моделей «бесконечно длинных
волокон» и «волокон конечных размеров». Более подробно результаты сравнительно-
го анализа моделей «волокон конечных размеров» и «бесконечно длинных волокон»,
а также пределов их применимости, представлены в статье [48].
2.2. Анализ внутренней неустойчивости. В настоящем пункте в краткой форме
представлены результаты исследования внутренней неустойчивости композитных ма-
териалов, армированных короткими волокнами, под действием сжимающей нагрузки,
направленной вдоль оси волокон, с применением модели «волокон конечных размеров»;
выполнен анализ численных результатов, полученных на основании изложенной ме-
тодики, исследовано влияния механических и геометрических параметров на величи-
ну критической деформации композитного материала, а также формы потери устой-
чивости наполнителя в структуре материала.
Примечание. Распределение напряжений, деформаций и перемещений в формах по-
тери устойчивости, полученных в рамках модели «волокон конечных размеров», имеет
сложный характер; в связи с этим целесообразно ввести достаточно условные величины,
которые определяют отмеченные формы потери устойчивости. В качестве таких величин
во втором разделе настоящей статьи вводятся «мысленные» формы потери устойчивости,
которые характеризуют общую картину деформирования матрицы и волокна примени-
тельно к рассматриваемой форме потери устойчивости и представляют собой форму го-
ризонтальной средней линии волокна после потери устойчивости. Следует отметить, что
«мысленные» формы потери устойчивости, базируются на соображениях физического
характера и вводятся с целью применения их к описанию форм потери устойчивости в
процессе интерпретации полученных конкретных численных результатов решения и не
используются непосредственно при решении задач.
57
2.2.1. Одно волокно в матрице. Исследована потеря устойчивости композитного
материала, слабоармированного волокнами конечных размеров, под действием сжи-
мающей нагрузки вдоль оси волокон в направлении 10x в условиях плоской дефор-
мации, что обеспечивается действием нагрузки постоянной интенсивности P на бес-
конечности (рис. 2.5). Указанная ситуация соответствует композитному материалу с
достаточно малой концентрацией армирующих элементов (волокон), когда можно не
учитывать взаимодействие соседних армирующих элементов ни при определении
докритического состояния, ни при исследовании потери устойчивости. Задачи такого
типа можно рассматривать как «модельные» или «эталонные» в механике композит-
ных материалов.
Рис. 2.5
На рис. 2.5, a – d представлены «мысленные» формы потери устойчивости с уче-
том симметрии относительно средины армирующего элемента (волокна), где сплош-
ными линиями показаны положения горизонтальной средней линии волокна после
потери устойчивости; так, формы потери устойчивости a) и b) можно назвать симмет-
ричными формами потери устойчивости, а формы с) и d) можно назвать антисиммет-
ричными формами потери устойчивости относительно вертикальной оси 20x .
Симметричные формы потери устойчивости можно назвать изгибными формами,
что соответствуют форме потери устойчивости полосы при осевом сжатии. Антисим-
метричная форма потери устойчивости соответствует как бы «жесткому» повороту ар-
мирующего элемента (волокна), когда материал матрицы не обеспечивает достаточного
«поддерживающего» действия, вследствие чего при потере устойчивости поблизости
торцов волокна как бы образуется «шарнир», близкий к пластическому шарниру; оче-
видно, такая форма потери устойчивости может иметь место, когда армирующие эле-
менты и матрица значительно отличаются по жесткости, что характерно для технологи-
ческих процессов создания композитных материалов. Антисимметричная форма потери
устойчивости d) соответствует как бы повороту армирующего элемента с изгибом.
Полученные результаты численного решения задач устойчивости представлены
на рис. 2.6 в виде зависимости величины 11| |кр (2.22), которая характеризует критичес-
58
кое значение деформации вдоль оси 10x для матрицы на бесконечности от значения
коэффициента формы армирующего элемента, который определяется как отношение
длины волокна к его диаметру 1 1
1 2( ).k m m LD
Вычисления выполнены при следующих значениях механических параметров ком-
понентов композита: 1 100; 200, 300, 500,1000a mE E , 2,76 ГПаmE , 0,35m a ;
значения коэффициента формы армирующего элемента последовательно изменялись
в интервале 100 500k .
Рис. 2.6
В результате проведенных расчетов было установлено, что все полученные значения
критической деформации значительно ниже, чем предельное значение 0,028 , соот-
ветствующее пределу прочности материала матрицы (полиамид литьевой). Это свиде-
тельствует о возможности разрушения композитного материала, слабоармированного
волокнами конечного размера, вследствие потери устойчивости в структуре компози-
та, прежде чем будет достигнут предел прочности матрицы.
Далее рассмотрим некоторые результаты, относящиеся к определению форм потери
устойчивости. При этом форма потери устойчивости характеризуется безразмерным
перемещением 2u вдоль вертикальной оси, отнесенной к амплитудному множителю
2 2
1
*
2 1 2 1 2 2 1 20 0
( ) ( , ) max ( , ) .
x x
u x u x x u x x
(2.23)
Так, на рис. 2.7 представлены формы потери устойчивости для некоторых значе-
ний коэффициента формы армирующего элемента, при этом кривая 1 соответствует
значению 10k , кривая 2 соответствует значению 30k .
Рис. 2.7
59
Из полученных результатов можно сделать вывод, что в случае сравнительно ко-
ротких волокон потеря устойчивости реализуется по форме потери устойчивости, ко-
торая соответствует «мысленной» антисимметричной форме (рис. 2.5, с) – как бы
«жесткому» повороту армирующего элемента (волокна), когда матрица не обеспечи-
вает достаточного поддерживающего действия и при потере устойчивости поблизости
торцов волокна как бы образуется «шарнир», близкий к пластическому шарниру.
Для всех значений 30k , при фиксированных значениях модулей упругости
компонентов композитного материала, наблюдается «изгибная» форма потери устой-
чивости наполнителя в структуре композита (рис. 2.5, а).
Более подробно результаты исследования устойчивости композитных материалов,
слабоармированных волокнами конечных размеров, опубликованы в работах [9, 10,
52, 53], в том числе представлены зависимости величины критических деформаций от
механических и геометрических параметров композита, а также исследованы возмож-
ные формы потери устойчивости наполнителя в структуре композитного материала.
2.2.2. Два волокна вдоль сжимающей нагрузки. Ситуация, представленная на
рис. 2.8, соответствует композитному материалу с армирующими элементами (волок-
нами) конечных размеров в случае малой концентрации волокон, когда вследствие
нерегулярности внутренней структуры возможно взаимодействие между отдельными
армирующими элементами. Сначала рассмотрим взаимодействие между двумя одина-
ковыми волокнами конечных размеров, которые размещены вдоль сжимающей на-
грузки параллельно между собой; при этом рассматривается случай взаимодействия
как в докритическом состоянии, так и при потере устойчивости. Исследование вы-
полнено в рамках плоской деформации в плоскости 1 20x x .
Рис. 2.8
В данном случае размещения волокон конечных размеров введем дополнитель-
ный параметр r , который характеризует расстояние между соседними параллельны-
ми волокнами; для представления результатов расчетов используется соответствую-
щий безразмерный параметр * 1
2 1r r m (рис. 2.8).
Для получения конкретных результатов в случае двух параллельных волокон ко-
нечных размеров проводились вычислительные эксперименты с целью определения
размеров внешнего прямоугольника 1 2l l таким образом, чтобы в него включались
два параллельных армирующих элемента и выполнялись соответствующие условия
затухания на границе.
60
На рис. 2.9 представлены результаты расчетов в виде зависимости величи-
ны 11| |кр , которая характеризует критическое значение деформации вдоль оси 10x для
матрицы на бесконечности от безразмерного параметра *
2r , соответствующего отно-
сительному расстоянию между волокнами. Расчеты были выполнены для следующих
значений параметров компонентов композита: отношения модулей Юнга 1 1000a mE E ;
коэффициенты Пуассона a m ; коэффициент формы наполнителя 1 2/ 100k m m .
Безразмерное расстояние между волокнами последовательно изменялось в интервале
*
20,001 32r .
Рис. 2.9
Следует отметить, что уменьшение критического значения деформации 11| |кр при
увеличении безразмерного параметра *
2r , который характеризует относительное рас-
стояние между волокнами, от значения *
2 0,001r до *
2 2r , соответствует соображе-
ниям инженерного характера. Так, при *
2 0,001r волокна размещены почти вплот-
ную один к одному; в таком случае два волокна при потере устойчивости деформи-
руются почти как одно целое волокно с той же длинной и удвоенной толщиной. При
увеличении расстояния между волокнами до значения *
2 2r наблюдается тенденция,
что два волокна при потере устойчивости в значительной мере деформируются неза-
висимо. Таким образом, при увеличении параметра *
2r происходит как бы увеличение
параметра k для одного волокна и, по аналогии с результатами на рис. 2.6 для одного
волокна, при увеличении параметра k наблюдается уменьшение величины 11| |кр
(критического значения деформации вдоль оси 10x ).
Ситуация, представленная на рис. 2.10, соответствует композитному материалу с
армирующими элементами (волокнами) конечных размеров в случае малой концен-
трации волокон, когда вследствие нерегулярности внутренней структуры возможно
взаимодействие между двумя соседними последовательно размещенными вдоль сжи-
мающей нагрузки одинаковыми армирующими элементами.
При этом взаимодействие рассматривается как в докритическом состоянии, так и
при потере устойчивости. Исследование выполнено в рамках плоской деформации в
плоскости 1 20x x .
Как и в случае одного армирующего элемента относительно ситуации, представ-
ленной на рис. 2.10 для двух последовательно размещенных волокон, можно предпо-
ложить четыре «мысленные» формы потери устойчивости, которые изображены на
рис. 2.10 (a – d) в виде сплошных линий под каждым из волокон, что соответствуют
средней линии волокна после потери устойчивости.
61
Изгибная форма потери устойчивости а) соответствует случаю, когда каждый ар-
мирующий элемент теряет устойчивость как бы почти без взаимодействия с другим
армирующим элементом. Форма потери устойчивости b) соответствует случаю, когда
возникает почти жесткий поворот каждого волокна; такой случай реализуется для
достаточно жесткого материала волокон, когда матрица не обеспечивает надлежащего
поддерживающего действия и при потере устойчивости на торцах как бы образуется
«шарнир», близкий к пластическому шарниру. Схема с) соответствует случаю, когда
два волокна теряют устойчивость как бы по «одной изгибной форме» (общая изгибная
форма потери устойчивости). Схема d) соответствует случаю, когда два волокна те-
ряют устойчивость как бы при сравнительно жестком взаимном повороте соседних
волокон с некоторым изгибом; такой случай реализуется для достаточно жесткого
материала волокон, когда матрица между волокнами не обеспечивает надлежащего
поддерживающего действия и при потере устойчивости между волокнами как бы воз-
никает «шарнир», близкий до пластического шарнира. Построение «мысленных»
форм можно продолжить, рассматривая формы потери устойчивости, представленные
на рис. 2.10 (а – d), как первые «мысленные» формы.
Рис. 2.10
Следует отметить, что построение первых «мысленных» форм потери устойчиво-
сти, которые представлены на рис. 2.10 (а – d) для случая двух армирующих элемен-
тов конечных размеров при их последовательном размещении, как и первых «мыс-
ленных» форм потери устойчивости, представленных на рис. 2.5 (а – d) для случая
одного волокна конечных размеров, реализуется до проведения численного решения
соответствующих задач исключительно с целью проведения анализа полученных чис-
ленных результатов и не используется непосредственно при решении задач.
При получении конкретных результатов в случае двух последовательно разме-
щенных волокон конечных размеров проводились вычислительные эксперименты с
62
целью определения размеров внешнего прямоугольника 1 2l l таким образом, чтобы в
него включались два последовательно размещенных армирующих элемента и выпол-
нялись соответствующие условия затухания на границе. Также проводились вычисли-
тельные эксперименты для выбора неравномерного шага сетки в области контакта
компонентов композита.
Дополнительно вводится безразмерный параметр *
1r , характеризующий относи-
тельное расстояние между двумя соседними волокнами при их последовательном
размещении следующим образом: * 1
1 1r r m (рис. 2.10). Расчеты были выполнены
при следующих значениях параметров компонентов композита: отношения модулей
Юнга 1 1000a mE E ; коэффициенты Пуассона a m ; коэффициент формы напол-
нителя 1 2/ 100k m m . Безразмерное расстояние между волокнами *
1r последова-
тельно изменялось в интервале *
10,001 32r .
На рис. 2.11 представлено распределение вдоль оси 10x безразмерного перемеще-
ния (2.23) для некоторых значений относительного расстояния между соседними во-
локнами *
1r , когда расстояние между торцами волокон равно длине волокна *
1 1r
(рис. 2.11, а) и одной тысячной части длинны волокна *
1 0,001r (рис. 2.11, б).
Рис. 2.11
Из представленных результатов можно сделать вывод, что при *
1 1r , с учетом зна-
чений k и 1
a mE E , происходит потеря устойчивости по форме, которая достаточно близка
к «мысленной» форме потери устойчивости, которая представлена на рис. 2.10, с) как
«общая изгибная форма потери устойчивости»; при *
1 0,001r , с учетом значений k и
1
a mE E , потеря устойчивости происходит по форме, достаточно близкой к «мыслен-
ной» форме, представленной на рис. 2.10, d) как «взаимный поворот с изгибом при
наличии шарнира между торцами волокон».
Результаты исследования вопроса о влиянии взаимодействия двух армирующих
элементов конечных размеров при их последовательном размещении на величину кри-
тической деформации представлены на рис. 2.12 в виде зависимости величины 11| |кр
вдоль оси 10x от величины безразмерного параметра *
1r – относительного расстояния
между торцами цилиндров; причем интервал изменения *
1r разделен на две части
*
1(0,001 0,01r и *
10,1 32)r , для которых приняты разные масштабы по оси *
1Or .
63
Рис. 2.12
Из анализа представленных результатов можно сформулировать следующие вы-
воды: при достаточно больших расстояниях между волокнами конечных размеров
( *
1 30r ) величина критической деформации 11| |кр приближается к значению, соот-
ветствующему случаю одного волокна в матрице; при этом реализуется форма потери
устойчивости, близкая к «мысленной» форме, когда каждый армирующий элемент
теряет устойчивость почти без взаимодействия с другим армирующим элементом
(рис. 2.10, а). С уменьшением расстояния *
1r степень взаимодействия волокон увели-
чивается; так, в интервале *
10,005 30r реализуется форма потери устойчивости,
соответствующая «общей изгибной форме» (рис. 2.10, с), а величина 11| |кр достигает
максимального значения (при *
1 8r для принятых значений параметров композита);
в интервале *
10,001 0,005r реализуется форма потери устойчивости с «взаимным
поворотом с изгибом при наличии шарнира между торцами волокон» (рис. 2.10, d) и
наблюдается резкое уменьшение величины критической деформации 11| |кр .
Таким образом, в результате численного исследования обнаружено, что зависи-
мость величины критической деформации от значения расстояния между торцами
волокон (при их последовательно размещении) имеет немонотонный характер. Этот
механический эффект в представленной работе обнаружен впервые. Объяснение
обнаруженного механического эффекта, по-видимому, может базироваться на том,
что в указанном диапазоне изменения расстояния между торцами волокон (при их
последовательном размещении) происходит замена форм потери устойчивости.
Дополнительные результаты исследования устойчивости композитных материа-
лов, армированных волокнами конечных размеров, с учетом взаимодействия между
соседними волокнами, представлены в работах [11, 14, 15, 49, 54].
2.2.3. Периодический ряд волокон вдоль сжимающей нагрузки. Рассмотрим
композитный материал с армирующими элементами (волокнами) конечных размеров,
имеющий регулярную структуру в виде отдельных периодических рядов одинаковых
волокон, которые в пределах каждого ряда взаимодействуют между собой. При этом
периодические ряды волокон являются параллельными и размещены на таком рас-
стоянии между собой, что они не взаимодействуют ни в докритическом состоянии, ни
при потере устойчивости.
Ситуация представленная на рис. 2.13 соответствует случаю композитных мате-
риалов, в которых общая концентрация волокон позволяет исследовать только один
отдельный периодический вдоль оси 20x ряд параллельных одинаковых армирующих
элементов (волокон) конечных размеров, которые взаимодействуют между собой (в пре-
делах периодического ряда) в докритическом состоянии и при потере устойчивости.
64
Дополнительно введен параметр r , характеризующий расстояние между соседними
параллельными волокнами; для представления результатов расчетов также использу-
ется соответствующий безразмерный параметр * 1
1r r m (рис. 2.13).
P
P
1x
2x
2l
1m
2m
1l
r
Рис. 2.13
Для решения задач выделяется внешний прямоугольник, размеры которого 1 2l l
определяются в результате вычислительных экспериментов, которые обеспечивают
независимость конечного результата от величин 1 2l l . В данном случае периодиче-
ского вдоль оси 20x ряда одинаковых волокон размеры указанного внешнего прямо-
угольника 2l вдоль оси 20x выбираются из условия периодичности. Если исследовать
форму потери устойчивости вдоль оси 20x с периодом, который равняется периоду
структуры, то для величины 2l получим следующее выражение: 2 2l m r , где в пра-
вой части указан период структуры в соответствии с обозначениями на
рис. 2.13. Таким образом, внешний прямоугольник 1 2l l на рис. 2.13 показан пунк-
тирной линией, при этом, в данном случае, только значение параметра 1l определяет-
ся путем вычислительного эксперимента.
Следует отметить, что в случае периодической структуры (рис. 2.13) с периодом
2T m r можно рассматривать формы потери устойчивости вдоль оси 20x с перио-
дом, кратным периоду структуры 2( )N m r , где N – целое число. В этом случае для
определения размера 2( )N m r внешнего прямоугольника 1 2l l имеет место выраже-
ние 2 2( )l N m r .
На рис. 2.14 представлены результаты расчетов в виде зависимости величины
11| |кр , характеризующей критическое значение деформации вдоль оси 10x «на беско-
нечности», от безразмерного параметра *r , который соответствует относительному
расстоянию между соседними волокнами в периодическом ряду. Расчеты были вы-
полнены при следующих значениях параметров компонентов композита: отношения
модулей Юнга 1 500a mE E ; коэффициенты Пуассона a m ; коэффициент формы
наполнителя 1 2/ 10,20,50,100,500k m m . Безразмерное расстояние между волок-
нами последовательно изменялось в интервале *0,02 5r .
65
Рис. 2.14
Из результатов, представленных на рис. 2.14, можно сделать вывод, что с увели-
чением расстояния между соседними волокнами, величина которого превышает дли-
ну волокна ( * 1r ), значения критической деформации периодического вдоль оси
20x ряда параллельных волокон конечных размеров практически не изменяется, а ее
значение соответствует результатам, полученным для случая одного волокна в матри-
це, которые изображены на рис. 2.14 пунктирными линиями для соответствующих
значений геометрических параметров наполнителя. С уменьшением расстояния меж-
ду соседними волокнами в ряду параллельных волокон ( * 1r ) величина критической
деформации увеличивается.
Рис. 2.15
Ситуация, представленная на рис. 2.15, соответствует случаю композитных мате-
риалов, в которых общая концентрация волокон позволяет исследовать только один от-
дельный периодический вдоль оси 10x ряд последовательно размещенных одинаковых
армирующих элементов (волокон) конечных размеров, которые взаимодействуют между
собой (в пределах периодического ряда) как в докритическом состоянии, так и при потере
устойчивости.
Дополнительно введен параметр r , характеризующий расстояние между сосед-
ними параллельными волокнами; для представления результатов расчетов также ис-
пользуется соответствующий безразмерный параметр * 1
1r r m (рис. 2.15).
66
Для решения задач выделяется внешний прямоугольник, размеры которого 1 2l l
определяются в результате вычислительного эксперимента, что обеспечивает незави-
симость конечных результатов от величин 1 2l l . В данном случае периодического
вдоль оси 10x ряда одинаковых волокон размеры указанного внешнего прямоуголь-
ника 1l вдоль оси 10x выбираются из условия периодичности. Если исследовать фор-
му потери устойчивости вдоль оси 10x с периодом, который равняется периоду
структуры, то для величины 1l получим следующее выражение: 1 1l m r , где в пра-
вой части указан период структуры в соответствии с обозначениями на рис. 2.15. Та-
ким образом, внешний прямоугольник 1 2l l на рис. 2.15 показан пунктирной линией,
при этом, в данном случае, только значения параметра 2l определяются путем вычис-
лительного эксперимента.
Следует отметить, что в случае периодической структуры (рис. 2.15) с периодом
rmT 1 можно рассматривать формы потери устойчивости вдоль оси 10x с пе-
риодом, кратным периоду структуры 1( )N m r , где N – целое число. В этом случае
для определения размера 1( )N m r внешнего прямоугольника 1 2l l имеет место вы-
ражение 1 1( )l N m r .
По аналогии с анализом результатов для одного и двух волокон при последова-
тельном размещении, в данном случае периодического ряда последовательно разме-
щенных волокон конечных размеров, целесообразно рассмотреть «мысленные» фор-
мы потери устойчивости. Так, на рис. 2.16, а – в показаны «мысленные» формы поте-
ри устойчивости, являющиеся симметричными относительно вертикальных линий,
проведенных через средины отрезков между торцами соседних волокон; аналогично
на рис. 2.17, а – в показаны «мысленные» формы потери устойчивости, которые яв-
ляются антисимметричными относительно этих вертикальных линий. «Мысленные»
формы потери устойчивости, представленные на рис. 2.16 и рис. 2.17, можно еще оха-
рактеризовать тем, что форма на рис. 2.16, а и формы на рис. 2.17, б, в являются пе-
риодичными вдоль оси 10x с периодом, равным периоду структуры T , а формы на
рис. 2.16, б, в и форма на рис. 2.17, а являются периодичными вдоль оси 10x з перио-
дом, равным удвоенному периоду структуры T2 .
Рис. 2.16 Рис. 2.17
«Мысленную» форму потери устойчивости на рис. 2.16, а можно назвать близкой
к изогнутой форме потери устойчивости, которая реализуется в случае достаточно
отдаленных волокон при практически отсутствующем взаимном влиянии. «Мыслен-
ную» форму потери устойчивости на рис. 2.16, б можно назвать близкой к жесткому
повороту близко размещенных волокон, которая реализуется для достаточно жестких
материалов волокон при их сравнительно близком размещении, когда матрица не
обеспечивает надлежащего поддерживающего влияния и между торцами волокон
67
возникает как бы «пластический шарнир». «Мысленную» форму потери устойчивости
на рис. 2.16, в можно назвать близкой к повороту с изгибом, который реализуется для
относительно жестких материалов волокон и соответствует форме потери устойчиво-
сти на рис. 2.16, б, дополненной некоторым изгибом волокон. Приведенные сообра-
жения о «мысленных» формах потери устойчивости удобно использовать при интер-
претации отдельных конкретных результатов к описанию форм потери устойчивости,
полученных путем численного решения задач.
Для изучения форм потери устойчивости на рис. 2.18 представлено распределение
безразмерного перемещения (2.23) вдоль оси 10x для некоторых значений относи-
тельного расстояния между соседними волокнами *r , когда расстояние между торца-
ми волокон равно длине волокна * 1r (кривая 1) и двум десятым длины волокна
* 0,2r (кривая 2).
Рис. 2.18
Форма потери устойчивости 1 на рис. 2.18 практически совпадает с «мысленной»
формой на рис. 2.16, а и рис. 2.17, а, названными «изгибной» формой потери устой-
чивости, которая реализуется при отсутствии взаимодействия между волокнами и
соответствует случаю одного изолированного волокна в матрице. Форма потери ус-
тойчивости 2 на рис. 2.18 практически совпадает с «мысленной» формой на рис. 2.16,
в и рис. 2.17, в, названными поворотом с изгибом. Следует отметить, что такая форма
потери устойчивости, соответствующая повороту с изгибом, реализуется когда между
торцами соседних волокон как бы возникает «пластический шарнир». Таким образом,
при сближении последовательно размещенных волокон в периодическом ряду проис-
ходит смена форм потери устойчивости; аналогичная ситуация имела место в случае
двух волокон при их последовательном размещении.
Результаты расчетов представлены на рис. 2.19 в виде зависимости величины
критической деформации 11| |кр от безразмерной величины *r , характеризующей отно-
сительное расстояние между соседними волокнами. Расчеты были выполнены для сле-
дующих значений параметров компонентов композита: отношения модулей Юнга
1 1000a mE E ; коэффициенты Пуассона a m ; коэффициент формы наполнителя
1 2/ 100, 200, 300, 500k m m (кривые 1, 2, 3, 4, соответственно); штрих-пунктирные
линии соответствуют значениям 11| |кр для одного волокна при тех же значениях k .
Безразмерное расстояние между волокнами последовательно изменялось в интервале
*0,2 4,5r .
68
Из результатов, показанных на
рис. 2.19, можно сделать вывод,
что при расстояниях между торца-
ми соседних волокон, превышаю-
щих длину волокна ( * 1r ), вели-
чина критической деформации 11| |кр
для периодического ряда последова-
тельно размещенных волокон ко-
нечных размеров практически сов-
падает со значениями 11| |кр для од-
ного изолированного волокна конеч-
ных размеров в матрице, при соот-
ветствующих параметрах компонентов композита, показаны на рис. 2.19 пунктирными
линиями.
Дополнительные результаты исследования устойчивости композитных материа-
лов, армированных периодическими рядами волокон конечных размеров, с учетом
взаимодействия между соседними волокнами в пределах ряда, представлены в рабо-
тах [16, 17, 36, 37, 50].
2.3. Анализ приповерхностной неустойчивости.
В настоящем пункте в краткой форме представлены результаты исследования за-
дач устойчивости композитного материала, слабоармированного короткими волокна-
ми вблизи плоской свободной граничной поверхности, под действием сжимающего
нагружения, направленного вдоль волокон параллельно поверхности (рис. 2.20).
P
P
1x
2x
2l
1m
2m
1l
r
Рис. 2.20
В связи с малой концентрацией наполнителя взаимодействие между волокнами не
учитывается, поэтому композитный материал в условиях плоской деформации, в де-
картовых координатах 1 20x x , моделируется полубесконечной матрицей, наполненной
одним коротким волокном, направленным вдоль оси 10x , которая совпадает со сво-
бодной граничной поверхностью.
2.3.1. Специфические особенности приповерхностной неустойчивости. Следует
отметить, что в результате исследования докритического напряженно-деформированного
состояния была обнаружена следующая ситуация: под действием сжимающей нагрузки
в композитном материале, армированном коротким волокном возле свободной гранич-
ной поверхности, возникает несимметричное докритическое состояние, которое при-
водит к начальному искривлению волокна.
Рассмотрим сначала некоторые результаты исследования докритического напря-
женно-деформированного состояния. Расчеты были выполнены для следующих зна-
чений параметров компонентов композитного материала: отношения модулей Юнга
* 1 343a mE E E ; коэффициенты Пуассона 1 2 0,4 ; коэффициент формы арми-
рующего элемента (волокна) 1
1 2/ 1000LD m m . Безразмерное расстояние между
Рис. 2.19
69
волокном и поверхностью *
1/r r m последовательно изменялось в интервале
*0 15r .
С целью исследования формы начального искривления волокна рассмотрим рас-
пределение вертикальных перемещений 2 1( )u x вдоль оси 10x в диапазоне 1 1x m ,
где интервал 1 1 2x m соответствует материалу волокна, для линий 2 2 2,x r m
2 ,r m r , которые проходят через горизонтальную ось волокна, линию нижнего и
верхнего контакта компонентов для значения * 0.r
В случае, когда расстояние от поверхности до волокна достаточно велико
( * 15r ), характер распределения перемещений материала волокна относительно соб-
ственной оси является симметричным, в то время как искривление самой оси волокна
практически отсутствует. В том случае, когда волокно находится на поверхности
( * 0r ), происходит искривление волокна вместе с граничной поверхностью, при
этом наблюдается искривление оси волокна в сторону области, не заполненной мате-
риалом матрицы. Очевидно, несимметричность начального напряженно-деформиро-
ванного состояния обусловлена взаимным влиянием волокна и свободной граничной
поверхности под действием сжимающей нагрузки.
Далее рассмотрим изменение характера искривления волокна в зависимости от
расстояния до граничной поверхности *r . На рис. 2.21 и рис. 2.22 представлен характер
распределения вертикальных перемещений 2 1( )u x в интервале 11 mx для выбран-
ных линий 2 2, 2x r r m (кривые 2, 3), которые проходят через горизонтальную ось
волокна и верхний контакт компонентов, который находится ближе к граничной по-
верхности, а также линии граничной поверхности 2 0x (кривая 1) для следующих
значений безразмерного расстояния волокна от поверхности: * 0,1r (рис. 2.21) и
* 0,2r (рис. 2.22).
Рис. 2.21 Рис. 2.22
Из представленных результатов следует, что с увеличением расстояния между
волокном и граничной поверхностью происходит изменение направления изгиба во-
локна. Так, на рис. 2.23 показана зависимость от расстояния *r величины смещения
1 1 1
0 0 0
*
2 2 2
0 2x x m
u u u
для центра симметрии волокна 2 2 2x r m относительно
торцов (кривая 1), а также его проекции 02 x на граничную поверхность (кривая 2).
70
Рис. 2.23
Как следует из результатов, представленных на рис. 2.23, для значения расстояния
* 0r , когда волокно находится на поверхности, средняя линия волокна смещается в
область, не заполненную материалом матрицы, в то время как торцы волокна удержи-
ваются в матрице. При удалении от поверхности материал матрицы, который нахо-
дится между волокном и граничной поверхностью, как бы «вдавливает» волокно в
матрицу и лишь на достаточно большом расстоянии * 15r взаимное влияние волок-
на от поверхности нейтрализуется.
2.3.2. Анализ численных результатов задачи устойчивости. Для решения по-
ставленных задач в полубесконечной матрице выделяется прямоугольная расчетная
область, содержащая материал наполнителя, одна из сторон которой совпадает со
свободной граничной поверхностью. Размеры расчетной области il определяются в
результате вычислительного эксперимента так, чтобы на сторонах прямоугольника,
которые не совпадают с граничной поверхностью, выполнялись условия затухания
возмущений, обусловленные концентрацией напряжений вокруг волокна.
Рис. 2.24
71
Расчеты были выполнены для следующих параметров компонентов композита:
отношения модулей Юнга * 343,1000a mE E E ; коэффициент Пуассона a m ;
коэффициент формы наполнителя 1 2/ 200,1000k m m . Безразмерное расстояние
между волокном и поверхностью *
1/r r m последовательно изменялось в интервале
*0 15r . На рис. 2.24 представлены результаты расчетов в виде зависимости абсо-
лютной величины критической деформации 11
кр от безразмерной величины *r , харак-
теризующей расстояние между волокном и граничной поверхностью, для некоторых
значений параметров ( * 1000E , 1000k – кривая 1; * 343E , -1 200LD – кривая 2;
* 1000E , 1 200LD – кривая 3). Пунктирными линиями показаны значения крити-
ческой деформации для случая внутренней потери устойчивости одного волокна в
матрице при соответствующих значениях геометрических и механических параметров
компонентов композита.
На основании представленных результатов исследования устойчивости компо-
зитного материала, слабоармированного короткими волокнами возле плоской свобод-
ной граничной поверхности можно сделать вывод о возможной потере устойчивости
под действием сжатия, направленного вдоль волокон, параллельно граничной поверх-
ности. При этом, для величины расстояния между волокном и поверхностью, превы-
шающую длину волокна, имеет место явление внутренней потери устойчивости, тогда
как с уменьшением расстояния возникает явление приповерхностной неустойчивости
композитного материала.
Более подробно результаты исследования устойчивости композитных материалов,
слабоармированных волокнами конечных размеров, возле плоской свободной гранич-
ной поверхности, представлены в работах [18, 38].
2.4. Заключение к Разделу 2. Таким образом, в Разделе 2 приведены результаты
исследований потери устойчивости в структуре композитных материалов при сжатии
применительно к модели «волокон конечных размеров». Целесообразно отметить
следующие основные моменты, относящиеся к Разделу 2.
Предложенная модель «волокон конечных размеров» при исследовании устойчивости
композитных материалов, армированных короткими волокнами, позволяет учитывать
конечность размеров армирующих элементов. В результате сравнения результатов
указанных исследований с результатами, полученными в рамках модели «бесконечно
длинных волокон», обнаружена согласованность результатов двух указанных моделей.
Путем анализа результатов решения задач устойчивости композитных материалов
для случаев одного, двух волокон конечных размеров, периодических рядов одинако-
вых волокон, а также для случая короткого волокна возле свободной граничной по-
верхности, исследовано влияние механических и геометрических параметров компо-
нентов композита на величину критической деформации и формы потери устойчивос-
ти армирующих элементов в структуре композитного материала с учетом взаимодей-
ствия. В результате анализа были обнаружены новые механические эффекты.
1. В случае одного волокна для сравнительно коротких армирующих элементов
обнаружена форма потери устойчивости, соответствующая как бы «жесткому» пово-
роту волокна, когда матрица не обеспечивает достаточного поддерживающего дейст-
вия и при потере устойчивости возле торцов волокна как бы образуется «шарнир,
близкий к пластическому шарниру».
2. В случае двух последовательно размещенных волокон конечных размеров об-
наружены новые формы потери устойчивости, названные «общей изгибной формой»,
когда два армирующих элемента теряют устойчивость как бы по «одной изгибной
форме», и «поворот с изгибом», когда материал матрицы между волокнами не обес-
печивает достаточной поддержки и при потере устойчивости между волокнами как
бы образуется «шарнир, близкий к пластическому шарниру».
72
3. В случае двух последовательно размещенных волокон конечных размеров зави-
симость критической деформации от величины расстояния между торцами волокон
имеет немонотонный характер, что обусловлено заменой форм потери устойчивости
при соответствующем расстоянии между волокнами.
Путем сравнительного анализа результатов расчетов, полученных с применением
модели «бесконечно длинных волокон» и модели «волокон конечных размеров» вы-
полнена оценка достоверности результатов исследования устойчивости композитных
материалов в рамках модели «бесконечно длинных волокон» и установлены следую-
щие пределы применимости указанных моделей:
в интервале изменения геометрического параметра 110 100LD , критические
значения деформации вдоль оси 10x , вычисленные в рамках модели «волокон конеч-
ных размеров», в несколько раз меньше соответствующих значений, полученных в
рамках модели «бесконечно длинных волокон»;
в случае наиболее коротких волокон (при 1 10LD ) критические значения де-
формации вдоль оси 10x , вычисленные в рамках модели «волокон конечных разме-
ров», почти на порядок меньше соответствующих значений, полученных в рамках
модели «бесконечно длинных волокон».
Таким образом, в интервале изменения геометрического параметра 110 100LD ,
модель «бесконечно длинных волокон» неприменима. Соответственно, армирующие
элементы с геометрическим параметром 1 100LD являются уже достаточно корот-
кими волокнами, что не допускает исследования устойчивости в рамках модели «бес-
конечно длинных волокон».
Р Е ЗЮМ Е . Статтю присвячено огляду та аналізу результатів, що отримано в рамках тривимі-
рної лінеаризованої теорії стійкості деформівних тіл (ТЛТСДТ) та нової моделі (так звана модель
«волокон скінченних розмірів») стосовно теорії стійкості волокнистих і шаруватих композитних
матеріалів, в порівнянні з попередніми результатами, що були отримані в рамках відомої моделі (так
званої моделі «нескінченно довгих волокон»). Стаття складається з двох частин.
Перша частина присвячена короткому історичному огляду експериментальних і теоретичних до-
сліджень наступних двох проблем: перша проблема – втрата стійкості у внутрішній структурі компо-
зитів, друга проблема – послідовне руйнування композитів, коли вищевказана втрата стійкості – це
початковий етап руйнування. Застосовність моделі «нескінченно довгих волокон» і моделі «волокон
скінченних розмірів» стосовно втрати стійкості різних композитів доведено на основі аналізу експе-
риментальних результатів різних авторів.
Друга частина цієї статті присвячена короткому представленню та розгляду результатів теорети-
чних досліджень, що отримані в рамках ТЛТСДТ і моделі «волокон скінченних розмірів» стосовно
теорії стійкості волокнистих та шаруватих композитів. Представлено результати розв’язання задач
стійкості композитів для наступних випадків: одного і двох коротких волокон, періодичного ряду
коротких волокон і коротких волокон поблизу вільної поверхні кордону. Розглянуто вплив механіч-
них і геометричних параметрів компонентів композита на критичні деформації та викривлення ар-
муючих елементів (наповнювачів) в структурі композита. Слід підкреслити, що зазначені результати
для моделі «волокон скінченних розмірів» отримано в рамках плоскої задачі з врахуванням перспек-
тивного розгляду відповідних просторових задач, що є актуальними.
1. Гольдман А.Я., Савельева Н.Ф., Смирнов В.И. Исследование механических свойств тканевых
стеклопластиков при растяжении и сжатии нормально к плоскости армирования // Механи-
ка полимеров. – 1968. – № 5. – С. 803 – 809.
2. Гузь А.Н. О построении теории устойчивости однонаправленных волокнистых материалов //
Прикл. механика. – 1969. – 5, № 2. – С. 62 – 70.
3. Гузь А.Н. Об определении теоретического предела прочности на сжатие армированных мате-
риалов // Докл. АН УССР, сер. А. – 1969. – № 3. – С. 236 – 238.
4. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. – К.: Наук. думка, 1971. – 276 с.
73
5. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. – К.: Наук. думка, 1973. –
272 с.
6. Гузь А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. – К.: Вища шк.,
1986. – 512 с.
7. Гузь А.Н. Механика разрушения композитных материалов при сжатии. – К.: Наук. думка,
1990. – 632 с.
8. Гузь А.Н. Основы механики разрушения композитов при сжатии: в 2 томах. – К.: Литера,
2008.
Т. 1. Разрушение в структуре материала. – 592 с.
Т. 2. Родственные механизмы разрушения. – 736 с.
9. Гузь А.Н., Декрет В.А., Коханенко Ю.В. Плоские задачи устойчивости композитных материа-
лов для случая наполнителя конечных размеров // Механика композитных материалов. –
2000. – 36, № 1 – С. 77 – 86.
10. Гузь А.Н., Декрет В.А., Коханенко Ю.В. Устойчивость композитных материалов, армиро-
ванных наполнителем конечных размеров в условиях плоской деформации // Известия
высших учебных заведений. Северокавказский регион. – 2001. – Спецвыпуск. – С. 60 – 63.
11. Гузь А.Н., Декрет В.А., Коханенко Ю.В. Взаимодействие коротких волокон в матрице при
потере устойчивости. Плоская задача // «Проблемы механики» / Сборник статей к 90-
летию со дня рождения А.Ю.Ишлинского. – М.: Физматлит, 2003. – С. 331 – 341.
12. Гузь А.Н., Рущицкий Я.Я., Гузь И.А. Введение в механику нанокомпозитов. – К.: Академпе-
риодика, 2010. – 398 с.
13. Гузь А.Н., Черевко М.А., Марголин Г.Г., Ромашко И.М. О разрушении однонаправленных бо-
роалюминиевых композитов при сжатии // Мех. композитных материалов. – 1986. – № 2. –
С. 226 – 230.
14. Декрет В.А. Розв’язання плоскої задачі стійкості композитного матеріалу, армованого двома
короткими волокнами // Доп. НАНУ. – 2003. – № 8. – С. 37 – 40.
15. Декрет В.А. Плоска задача стійкості композита, армованого двома паралельними короткими
волокнами // Доп. НАНУ. – 2003. – № 12. – С. 38 – 41.
16. Декрет В.А. Про стійкість композитного матеріалу, армованого періодичним рядом послі-
довно розміщених коротких волокон // Доп. НАНУ. – 2004. – № 11. – С. 47 – 50.
17. Декрет В.А. Про стійкість композитного матеріалу, армованого періодичним рядом пара-
лельно розміщених коротких волокон // Доп. НАНУ. – 2004. – № 12. – С. 41 – 44.
18. Декрет В.А. Про стійкість композитного матеріалу, слабкоармованого короткими волокна-
ми поблизу вільної поверхні // Доп. НАНУ. – 2006. – № 10 – С. 49 – 51.
19. Композитные материалы: в 8-ми томах / Под общей ред. Л. Браутмана и Д. Крока (Перевод
с англ.). – М.: Мир (Т. 1, 2, 5 и 6); Машиностроение (Т. 3, 4, 7 и 8). – 1978 – 1979.
Т. 1. Поверхности раздела в металлических композитах. – 1978. – 511 с.
Т. 2. Механика композитных материалов. – 1978. – 564 с.
Т. 3. Применение композитных материалов в технике. – 1979. – 511 с.
Т. 4. Композитные материалы с металлической матрицей. – 1978. – 508 с.
Т. 5. Разрушение и усталость. – 1978. – 484 с.
Т. 6. Поверхности раздела в полимерных композитах. – 1978. – 294 с.
Т. 7. Анализ и проектирование конструкций. Ч. 1. – 1979. – 300 с.
Т. 8. Анализ и проектирование конструкций. Ч. 2. – 1979. – 264 с.
74
20. Лоули А., Козак М.Дж. Влияние поверхности раздела на характеристики композита в упру-
го-пластической области / «Композитные материалы, Т.1. Поверхности раздела в металли-
ческих композитах. – М.: Мир, 1978». – С. 231 – 365.
21. Методы статических испытаний армированных пластиков. – Рига: Зинатне, 1972. – 228 с.
22. Механика разрушения и прочность конструкций. Справочное пособие: в 4 томах / Под об-
щей ред. В.В. Панасюка. – К.: Наук. думка, 1988 – 1990.
Т. 1. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В.З. Основы механики разрушения материа-
лов, 1988. – 488 с.
Т. 2. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами, 1988. –
616 с.
Т. 3. Ковчик С.Е., Морозов Е.М. Характеристики кратковременной трещиностойкости ма-
териалов и методы их определения, 1988. – 434 с.
Т. 4. Романив О.Н., Ярема С.Я., Никифорчин Г.Н., Махутов Н.А., Стадник М.М. Усталость
и циклическая трещиностойкость конструкционных материалов, 1990. – 680 с.
23. Механика композитов: в 12 томах / Под общей ред. А.Н.Гузя. – К.: Т. 1 – 4 Наук. думка;
Т. 5 – 12 «А.С.К.». – 1993 – 2003.
Т. 1. Статика материалов / Под ред. В.Т. Головчана, 1993. – 434 с.
Т. 2. Динамика и устойчивость материалов / Под ред. Н.А. Шульги, 1993. – 430 с.
Т. 3. Статистическая механики и эффективные свойства материалов / Под ред. Л.П. Хоро-
шуна, 1993. – 390 с.
Т. 4. Механика материалов с искривленными структурами / Под ред. А.Н.Гузя и С.Д. Акба-
рова, 1995. – 320 с.
Т. 5. Механика разрушения / Под ред. А.А. Каминского, 1996. – 340 с.
Т. 6. Технологические напряжения и деформации в материалах / Под ред. Н.А. Шульги и
В.Т.Томашевского, 1997. – 396 с.
Т. 7. Концентрация напряжений / Под ред. А.Н. Гузя, А.С. Космодамианского и В.П. Шев-
ченко, 1998. – 388 с.
Т. 8. Статика элементов конструкций / Под ред. Я.М. Григоренко, 1999. – 384 с.
Т. 9. Динамика элементов конструкций / Под ред. В.Д. Кубенко, 1999. – 384 с.
Т. 10. Устойчивость элементов конструкций / Под ред. И.Ю. Бабича, 2001. – 376 с.
Т. 11. Численные методы / Под ред. Я.М. Григоренко и Ю.Н. Шевченко, 2002. – 448 с.
Т. 12. Прикладные исследования (Под ред. А.Н. Гузя и Л.П. Хорошуна), 2003. – 400 с.
24. Наполнители для полимерных композитных материалов / Под ред. Г.С. Каца и Д.В. Милев-
ски. Справочное пособие (перевод с англ.). – М.: Химия, 1981. – 738 с.
25. Разрушение: в 7 томах / Под ред. Г. Либовица. (Перевод с англ.). – М.: Мир (Т. 1, 2, 3, 7 ч. 1
и 7 ч. 2); Машиностроение (Т. 4 и 5); Металлургия (Т. 6). – 1973 – 1977.
Т. 1. Микроскопические и макроскопические основы механики разрушения. – 1973. – 616 с.
Т. 2. Математические основы механики разрушения. – 1975. – 764 с.
Т. 3. Инженерные основы и воздействие внешней среды. – 1976. – 796 с.
Т. 4. Исследование разрушения для инженерных расчетов. – 1977. – 400 с.
Т. 5. Расчет конструкций на хрупкую прочность. – 1977. – 464 с.
Т. 6. Разрушение металлов. – 1976. – 496 с.
Т. 7, ч. 1. Разрушение неметаллов и композитных материалов. Неорганические материалы
(стекла, горные породы, композиты, керамики, лед). – 1976. – 634 с.
Т. 7, ч. 2. Разрушение неметаллов и композитных материалов. Органические материалы
(стеклообразные полимеры, эластомеры, кость). – 1976. – 470 с.
75
26. Розен Б.У. Механика упрочнения композитов. В: «Волокнистые композитные материалы. –
М.: Мир, 1967». – С. 54 – 94.
27. Розен Б.У., Дау Н.Ф. Механика разрушения волокнистых композитов. В: «Разрушение, т. 7,
ч. 1. Разрушение неметаллов и композитных материалов. Неорганические материалы
(стекла, горные породы, композиты, керамики, лед). – М.: Мир, 1976». – С. 300 – 366.
28. Чамис К. Микроскопические теории прочности. В: «Композитные материалы, т. 5. Разру-
шение и усталость. – М.: Мир, 1978». – С. 106 – 166.
29. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. – М.: Наука, 1983. – 298 с.
30. Babich I.Yu. and Guz A.N. Deformation instability of laminated materials // Sov. Appl. Mech. –
1969. – 5, N 5. – P. 488 – 491.
31. Budiansky H. Micromechanics // Composites and Structures. – 1983. – 16, N 1. – P. 3 – 13.
32. Budiansky H., Fleck N.A. Compressive failure of fibre composites // J. Mech. Phys. Solids. – 1993.
– 41, N 1. – P. 183 – 211.
33. Budiansky H., Fleck N.A. Compressive kinking of fibre composites: a topical review // Applied
Mechanics Review. – 1994. – 47, N 6, Part 2. – P. 246 – 250.
34. Comprehensive Composite Materials: In 6 volumes / Editor-in-Chief: A.Kelly, C. Zweben. – El-
sevier. – 2006.
Vol.1. Fiber reinforcements and general theory of composites / Editor: Tsu-Wei Chou. – 802 p.
Vol. 2. Polymer matrix composites. (Editors: R. Talreja, J.-A.E. Manson). – 669 p.
Vol. 3. Metal matrix composites / Editor: T.W. Clyne. – 669 p.
Vol. 4. Carbon/ Carbon, Cement and Ceramic Composites / Editor: R. Warren. – 697 p.
Vol. 5. Test methods, nondestructive evaluation and smart materials / Editors: L. Carlson, R.L.
Crane, K. Uchino. – 632 p.
Vol. 6. Design and applications / Editors: W.G. Bader, K. Kedsvard, Y.Sawada. – 809 p.
35. Comprehensive Structural Integrity: In 10 volumes / Int. Advisory Board: Ian Milne, R.O.Ritchie,
B.Karihaloo. – Elsevier. – 2006.
Vol. 1. Structural integrity assessment – example and case studies / Editors: Ian Milne,
R.O.Ritchie, B.Karihaloo.
Vol. 2. Fundamental theories and mechanisms of failure / Editors: B.Karihaloo, W.G.Knauss.
Vol. 3. Numerical and computational methods / Editors: R. de Borst, H.A.Mang.
Vol. 4. Cyclic loading and fatigue / Editors: R.O.Ritchie, Y.Murakami.
Vol. 5. Creep and high-temperature failure /Editor: A.Saxena.
Vol. 6. Environmentally-assisted fracture / Editors: J.Petit, Peter Scott.
Vol. 7. Practical failure assessment methods / Editors: R.A.Ainsworth, R.H.Schwalbe.
Vol. 8. Interfacial and nanoscale failure / Editors: W.Gerberich, Wei Yang.
Vol. 9. Bioengineering / Editors: Yin-Wing Mai, Swee-Hin Teoh.
Vol. 10. Indexes.
36. Dekret V.A. Two-dimensional buckling problem for a composite reinforced with a periodic row of
collinear short fibers // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 6. – P. 684 – 691.
37. Dekret V.A. Plane stability problem for a composite reinforced with a periodic row of parallel fi-
bers // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 5. – P. 498–504.
38. Dekret V.A. Near-surface instability of composites weakly reinforced with short fibers //Int. Appl.
Mech. – 2008. – 44, N 6. – P. 619 – 625.
76
39. Dow N.F., Gruntfest I.J. Determination of most needed potentially possible improvements in mate-
rials for ballistic and space vehicles // General Electric Co., Space Sci. Lab., TIRS 60 SD 389,
June 1960.
40. Fleck N.A. Compressive failure of fiber composites. In: «Advances in Applied Mechanics, vol. 33.
– New York: Academic Press, 1997». – P. 43 – 119.
41. Guz A.N. Mechanics of composite-material failure under axial compression (brittle failure) // Sov.
Appl. Mech. – 1982. – 18, N 10. – P. 863 – 872.
42. Guz A.N. Stability theory for unidirectional fiber-reinforced composites // Int. Appl. Mech. – 1996.
– 32, N 8. – P. 577 – 586.
43. Guz A.N. Fundamentals of the three-dimensional theory of stability of deformable bodies. – Berlin:
Springer-Verlag, 1999. – 556 p.
44. Guz A.N. On one two-level model in the mesomechanics of compression fracture of cracked com-
posites // Int. Appl. Mech. – 2003. – 39, N 3. – P. 274 – 285.
45. Guz A.N. Establishing the foundations of the mechanics of fracture of materials compressed along
cracks (Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 1 – P. 1 – 57.
46. Guz A.N. and Guz I.A. On the theory of stability of laminated composites // Int. Appl. Mech. –
1999. – 35, N 4. – P. 323 – 329.
47. Guz A.N. and Guz I.A. On models in the theory of stability of multi-walled carbon nanotubes // Int.
Appl. Mech. – 2006, – 40, N 1. – P. 1 – 29.
48. Guz A.N., Dekret V.A. On two models in the three-dimensional theory of stability of composites //
Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 8. – P. 839 – 854.
49. Guz A.N., Dekret V.A. Interaction of Two Parallel Short Fibers in the Matrix at Loss of Stability //
Computer Modeling in Engineering & Sciences. – 2006. – 13, N 3. – P. 165 – 170.
50. Guz A.N., Dekret V.A. Stability problem of composite material reinforced by periodical row of
short fibers // Computer Modeling in Engineering & Sciences. – 2009. – 42, N 3. – P. 177 – 186.
51. Guz A.N., Dekret V.A. Stability Loss in Nanotube Reinforced Composites // Computer Modeling in
Engineering & Sciences. – 2009. – 49, N 1. – P.69 – 80.
52. Guz A.N., Dekret V.A., Kokhanenko Yu.V. Solution of plane problems of the three-dimension prob-
lems stability of a ribbon-reinforced composite // Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N 10. – P. 1317 –
1328.
53. Guz A.N., Dekret V.A., Kokhanenko Yu.V. Planar Stability Problem of Composite Weakly Rein-
forced by Short Fibers // Mechanics of Composite Materials and Structures. – 2005. – N 12. – P.
313 – 317.
54. Guz A.N., Dekret V.A., Kokhanenko Yu.V. Two-dimensional stability problem for interacting short
fibers in a composite: in-line arrangement // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 9. – P. 994 – 1001.
55. Guz A.N., Lapusta Yu.N. and Samborskaya A.N. A micromechanics solutions of a 3D internal in-
stability problem for a fiber series on an infinite matrix // Int. Journal of Fracture. – 2002. – 116, N 3. –
P. L55 – L60.
56. Guz A.N., Lapusta Yu.N., Samborskaya A.N. 3D model and estimation of fiber interaction effects
during internal instability in non-linear composites // Int. Journal of Fracture. – 2005. – 134, N 3 – 4. –
P. L45 – L51.
57. Guz A.N., Kritsuk A.A., Emel’yanov R.F. Character of the failure of unidirectional glass-reinforced
plastic in compression // Sov. Appl. Mech. – 1969. – 5, N 9. – P. 997 – 999.
58. Guz A.N., Samborskaya A.N. General stability problem of a series of fibers in an elastic matrix //
Sov. Appl. Mech. – 1991. – 27, N 3. – P. 223 – 230.
59. Handbook of Fillers and Reinforcements for Plastics (Eds Katz H., Milevski J.V.) – New York:
Van Nostrand Reinhold Company, 1978. 652 p.
77
60. Jochum Ch., Grandidier J.-C. Microbuckling elastic modeling approach of a single carbon fiber em-
bedded in an epoxy matrix // Composites Science and Technology. – 2004. – 64. – P. 2441 – 2449.
61. Kaminsky A.A. Mechanics of long-time fracture of viscoelastic bodies with cracks: theory, experi-
ment (Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 5. – P. 3 – 79.
62. Khoroshun L.P., Nazarenko L.V. Deformation and damage of composites with anisotropic compo-
nents (Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 4. – P. 388 – 455.
63. Kokhanenko Yu.V. Numerical study of three-dimensional stability problems for laminated and
ribbon-reinforced composites // Int. Appl. Mech. – 2001, – 37, N 3. – P. 317 – 345.
64. Lourie O., Cox D.M. and Wagner H.D. Buckling and collapse of embedded carbon nanotubes //
Phys. Rev. Letters. – 1998. – 81, N 8. – P. 1638 – 1641.
65. Micromechanics of composite materials: Focus on Ukrainian research, Special Issue // Appl.
Mech. Rev. – 1992. – 45. – P. 13 – 101.
66. Pinnel M.R., Lawley F. Correlation on uniaxial yielding and substructure in aluminium – stainless
steel composites // Metall. Trans. – 1970. – 1, N 5. – P. 929 – 933.
67. Rosen B.W. Mechanics of Composite Strengthening. In: «Fiber Composite Materials, American
Society for Metals, Metals Park, Ohio. – 1965». – P. 37 – 75.
68. Sadovsky M.A., Pu S.L., Hussain M.A. Buckling of microfibers // J. Appl. Mech. – 1967. – 34, N 4.
– P. 295 – 302.
69. Satish Kumar, Tensuya Uchida, Thuy Dang, Xiefei Zhang, Young-Bin Park. Polymer / Carbon
Nano Fiber Composite Fibers // SAMPE – 2004. – Long Beach, CA May 16 – 20, 2004. – P. 1 – 12.
70. Schuerch H. Prediction of compressive strength in uniaxial boron fiber metal matrix composite
material // AIAA Journal. – 1966. – 4, N 1. – P. 102 – 106.
71. Shetty H.R., Chou T.W. Mechanical-properties and failure characteristics of FP-aluminum and W-
aluminum composites // Metall. Trans. A. – 1985. – 16, N 5. – P. 853 – 864.
72. Soutis C., Flek N.A. and Smith P.A. Failure prediction technique for compression loaded carbon
fibre-epoxy laminate with open holes // J. Comp. Mat. – 1991. – 25. – P. 1476 – 1498.
73. Thostenson E.T., Chou T.W. Nanotube buckling in aligned multi-wall carbon nanotube composites
// Carbon. – 2004. – 42, N 14. – P. 3015 – 3018.
74. Wadee M.A., Hunt G.W., Peletier M.A. Kink band instability in layered structures // J. Mech. Phys.
Solids. – 2004. – 52. – P. 1071 – 1091.
Поступила 17.10.2014 Утверждена в печать 22.12.2015
|