Деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле

Получено решение нелинейной задачи магнитоупругости для осесимметричной ортотропной усеченной сферической оболочки переменной жесткости с учетом ортотропной электропроводности. Представлена разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая напряженно-деформированное состояние ги...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Мольченко, Л.В., Лоос, И.И., Федорченко, Л.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2016
Schriftenreihe:	Прикладная механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141032
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос, Л.Н. Федорченко // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 86-94. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-141032
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1410322018-07-22T01:23:26Z Деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле Мольченко, Л.В. Лоос, И.И. Федорченко, Л.Н. Получено решение нелинейной задачи магнитоупругости для осесимметричной ортотропной усеченной сферической оболочки переменной жесткости с учетом ортотропной электропроводности. Представлена разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая напряженно-деформированное состояние гибкой ортотропной сферической оболочки переменной толщины. На основе результатов числового примера проведен анализ напряженного состояния гибкой сферической ортотропной оболочки переменной толщины, находящейся под действием переменной по времени механической силы, переменного по времени магнитного поля и стороннего электрического тока, с учетом механической и электромагнитной ортотропий. В осесиметричній постановці отримано розв’язок нелінійної задачі магнітопружності для ортотропної сферичної оболонки змінної жорсткості з ортотропною електропровідністю. Приведено розв’язувальну систему нелінійних диференціальних рівнянь, яка описує напружено-деформований стан гнучких ортотропних оболонок змінної жорсткості в механічному та магнітному полях. Наведено числовий приклад. Проведено аналіз напруженого стану ортотропної сферичної оболонки в залежності від зовнішнього струму та механічної сили. In the axisymmetric statement, a solution is obtained for one nonlinear problem of magnetoelasticity, namely, for an orthotropic spherical shell of variable stiffness with orthotropic electrical conduction. The system of nonlinear differential equations is shown that describes the stress-strain state of flexible orthotropic shells of variable stiffness in mechanical and magnetic fields. A numerical example is given. An analysis of the stress state of orthotropic spherical shell is carried out in dependence on the external current and mechanical force. 2016 Article Деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос, Л.Н. Федорченко // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 86-94. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141032 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Получено решение нелинейной задачи магнитоупругости для осесимметричной ортотропной усеченной сферической оболочки переменной жесткости с учетом ортотропной электропроводности. Представлена разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая напряженно-деформированное состояние гибкой ортотропной сферической оболочки переменной толщины. На основе результатов числового примера проведен анализ напряженного состояния гибкой сферической ортотропной оболочки переменной толщины, находящейся под действием переменной по времени механической силы, переменного по времени магнитного поля и стороннего электрического тока, с учетом механической и электромагнитной ортотропий.
format	Article
author	Мольченко, Л.В. Лоос, И.И. Федорченко, Л.Н.
spellingShingle	Мольченко, Л.В. Лоос, И.И. Федорченко, Л.Н. Деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле Прикладная механика
author_facet	Мольченко, Л.В. Лоос, И.И. Федорченко, Л.Н.
author_sort	Мольченко, Л.В.
title	Деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле
title_short	Деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле
title_full	Деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле
title_fullStr	Деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле
title_full_unstemmed	Деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле
title_sort	деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141032
citation_txt	Деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос, Л.Н. Федорченко // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 86-94. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT molʹčenkolv deformirovaniegibkojortotropnojsferičeskojoboločkiperemennojžestkostivmagnitnompole AT loosii deformirovaniegibkojortotropnojsferičeskojoboločkiperemennojžestkostivmagnitnompole AT fedorčenkoln deformirovaniegibkojortotropnojsferičeskojoboločkiperemennojžestkostivmagnitnompole
first_indexed	2025-07-10T11:47:42Z
last_indexed	2025-07-10T11:47:42Z
_version_	1837260412110766080
fulltext	2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 1 86 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, №1 Л .В .Мо л ь ч е н к о 1 , И .И .Л о о с 2 , Л .Н .Ф е д о р ч е н к о ДЕФОРМИРОВАНИЕ ГИБКОЙ ОРТОТРОПНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, пр. Глушкова, 4-е, 03127, Киев, Украина; e-mail: 1 Mol_lv@univ.kiev.ua, 2 Loiri@ univ.kiev.ua Abstract. In the axisymmetric statement, a solution is obtained for one nonlinear prob- lem of magnetoelasticity, namely, for an orthotropic spherical shell of variable stiffness with orthotropic electrical conduction. The system of nonlinear differential equations is shown that describes the stress-strain state of flexible orthotropic shells of variable stiffness in me- chanical and magnetic fields. A numerical example is given. An analysis of the stress state of orthotropic spherical shell is carried out in dependence on the external current and me- chanical force. Key words: orthotropic spherical shell, magnetic field, magnetoelasticity. Введение. Тонкие оболочки широко используются в качестве элементов конструкций совре- менной техники. С учетом возрастающих требований, предъявляемых к условиям работы таких конструкций, наряду с жесткими оболочками необходимо применять и гибкие [2, 6, 7, 25]. В современной технике все чаще имеют место проблемы взаимо- действия электромагнитных полей с твердыми деформированными телами. Развитие теории сопряженных полей и теории электромагнитного взаимодействия с телами, которые деформируются, является одним из главных направлений развития современной механики твердого тела [8, 10, 11, 14 – 18, 23, 24]. Наряду с развитием теории гибких оболочек, необходимо создание и разработка теории гибких оболочек, находящихся в нестационарном магнитном поле, с учетом анизотропии их материала [3, 19, 20, 24]. В данной работе проведен анализ деформированного состояния усеченной орто- тропной гибкой сферической оболочки переменной толщины, находящейся в магнит- ном поле под воздействием внешнего электрического поля, в осесимметричной по- становке. При построении геометрически нелинейных уравнений ортотропной сфери- ческой оболочки, учитывается также ортотропная электропроводность. 1. Постановка задачи. Основные нелинейные уравнения. Рассмотрим гибкую ортотропную сферическую оболочку переменной толщины в лагранжевых переменных. Такой подход позволяет учитывать нелинейность в соот- ношениях для деформаций и кривизн. При этом метрика оболочки практически оста- ется недеформированной, так как радиус кривизны и параметры Ламе соответствуют недеформированному состоянию оболочки. Пренебрегаем влиянием процессов поля- ризации и намагничивания, а также температурными напряжениями. Принимаем, что к оболочке подводится переменный электрический ток. Упругие свойства материала 87 оболочки являются ортотропными, главные направления упругости совпадают с на- правлениями соответствующих координатных линий. Электромагнитные свойства материала характеризуются тензорами электрической проводимости ij , магнитной проницаемости ij и диэлектрической проницаемости  , 1, 2, 3ij i j  . При этом, согласно [4] и следуя работе [22], для рассматриваемого класса проводящих орто- тропных тел с ромбической кристаллической структурой имеем, что тензора ij , ij , ij принимают диагональный вид. Координатную поверхность в недеформированном состоянии относим к криволи- нейной ортогональной системе координат s и  , где s – длина дуги меридиана,  – центральный угол. Координатные линии consts  и const  являются линиями главных кривизн координатной поверхности. С учетом диагонального вида тензоров ij , ij , ij и согласно работам [2, 5, 14 – 17], учитывая геометрию оболочки, полная система уравнений осесимметричных ор- тотропных оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке состоит из: уравнений магнитоупругости –     2 2 coss s s s s rN r u N Q r P F r h s R t            ;     2 2 sins s s rQ N w r N r P F r h s R r t                  ; (1)   sin cos 0s s s s rM M rQ r N M s r              ; cosBE E s t r         ;  2 0,5 s s B w u E B B B s t t                  s sB B h    ; выражений для деформаций – 21 2s s s u w s R       ; cos sin u w r r     ; (2) s s s     ; 2cos sin 1 2s sr r r      , соотношений упругости –   1 s s s s e h N            ;   1 s s s e h N             ; (3)   3 12(1 ) s s s s e h M            ;   3 12(1 ) s s s e h M             , s s  , s   , s se e   . 88 Компоненты силы Лоренца имеют такой вид:  2 1 0,5s CT s s u w F hJ B h E B B B B B t t                  ;     20,5 0,5CT s s s sF hJ B B h E B B             (4)      2 21 0,25 0,5 12s s s s s s w w u B B B B B B B t t t                    . В (1) – (4) принято: ,sN N – нормальные усилия; ,sQ Q – поперечные усилия; ,sM M – изгибающие моменты; ,u w – компоненты перемещений; ,s   , ,s   – компоненты тензора деформаций; s – угол поворота нормали; ,se e – модули Юнга; ,s   – коэффициенты Пуассона; E – компонента напряженности электрического поля; B – нормальная составляющая магнитной индукции; sB , sB – известные составляющие магнитной индукции на поверхностях оболочки; CT J – составляющая плотности электрического тока от внешнего источника; ( )h h s – толщина оболочки. Для построения разрешающей системы дифференциальных уравнений гибкой ор- тотропной усеченной сферической оболочки радиуса R , в качестве разрешающих функций выбираем , , , , , , , s s s su w N Q M B E  . Исходя из геометрии сферической оболочки, полагаем, что sR R R  ( R – радиус оболочки); sin ; sin / ; cos cos /r r s R s R     . В этом случае разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений магнитоупругости имеет такой вид [3, 12, 13]:   21(1 ) 0,5s s s s ctgu N u w s e h R R              ; s w u s R      ;  2 3 12(1 ) ctg 0,5s s s s s s M s Re h             ;  ctg 1s s s s CT N Q N P hJ B s R R             2 1 0,5 s s u w h E B B B B B t t                 2 2 2 ctg ctg e hu h u w t R      ;    2 ctgctg 1 1 ctgs s s Q e h Q N u w s R R R                   2 20,5 0,5 0,25CT s s s s s s w P hJ B B h E B B B B t                    22 2 1 0,5 12 s s s s w u w B B B B B h t t t              ; (5) 89   3 2 3 2 2 2 ctg ctgctg 1 12 8 s s s s M e h e h M s R R R               s s s s sQ N M R    ;  2 0,5 s s s s B B Bw u E B B B s t t h                     ; ctgBE E s t R         . Краевые условия для электромагнитных параметров задаем через компоненты электрического поля или через комбинацию компонент магнитного и электрического полей. При этом начальные условия задаем в классическом виде. Приведенная система дифференциальных уравнений магнитоупругости отвечает геометрически нелинейной в квадратичном приближении теории тонких ортотропных сферических оболочек переменной жесткости с учетом ортотропной электропровод- ности. Составляющие силы Лоренца (4) учитывают скорость деформирования обо- лочки, внешнее магнитное поле, величину и напряженность тока проводимости отно- сительно внешнего магнитного поля. Учет нелинейности в уравнениях движения вы- зывает нелинейность в пондеромоторных силах. 2. Методика решения нелинейной задачи. Методика решения задачи магнитоупругости усеченной ортотропной сфериче- ской оболочки переменной толщины в осесимметричной постановке основана на по- следовательном использовании метода квазилинеаризации и метода дискретной орто- гонализации [2, 3]. Для разделения переменных по временной координате применяем неявную схему Ньюмарка интегрирования уравнений магнитоупругости [21]. Следующий этап решения нелинейной краевой задачи магнитоупругости основан на применении метода квазилинеаризации [1], с помощью которого нелинейную кра- евую задачу сводим к решению последовательности линейных краевых задач на каж- дом временном шаге. Далее каждую из линейных краевых задач последовательности на соответствующем временном интервале решаем численно с помощью устойчивого метода дискретной ортогонализации. 3. Числовые результаты и их анализ. Исследуем напряженно-деформированное состояние металлической (бороалюми- ний) усеченной ортотропной сферической оболочки радиуса 0,5мR  , переменной толщины  25 10 1 0,3sin / мh x l   ( l – длина оболочки). Оболочка находится под воздействием нормальной составляющей механической нагрузки 0 sinP P t  и кру- говой составляющей внешнего электрического тока 0 sinCTJ J t  . Контура оболочки закреплены следующим образом: 0su w    ; 0,3sinB t  при 0s s ; 0su w M   ; 0E  при Ns s . Параметры оболочки и материала приняты в таком виде: 0 0,4мs  ; 0,78мNs  ; 61,256 10 Гн / м   ; 10 222,9 10 Н / мse   ; 10 210,7 10 Н / мe   ; 90 0,262s  ; 0,32  ; 32600кг / м  ; 1314,16с  ;   18 1 0,454 10 Ом м    ;   18 2 0,454 10 Ом м    ; 0,5TsB  . Решение задачи получено на интервале времени 21 10t с  , шаг интегрирования по времени 31 10t c   . При исследовании напряженного состояния оболочки рассмотрены следующие варианты изменения механической нагрузки и стороннего тока: 1) 21,3 10 sinP t   ; 35 10 sinCTJ t   ; 2) 21,3 10 sinP t    ; 35 10 sinCTJ t    ; 3) 21,3 10 sinP t    ; 35 10 sinCTJ t   ; На рис. 1 – 3 (для вариантов нагружения 1 – 3) приведено распределение прогиба ( )w s при 32 10t c  ; 37 10t c  ; 39 10t c  , соответственно. Исходя из представ- ленных результатов, можно исследовать влияние комбинированного нагружения на напряженное состояние ортотропной оболочки переменной толщины. Максимальная нелинейность / 4,5w h  имеет место в точке 0,628мs  для варианта нагружения 3 (рис. 2), т. е. при отрицательном значении механической силы и положительном на- правлении протекания стороннего тока. Значения прогиба для вариантов нагружения 1 и 2 близки к нулю. Рис. 1 На рис. 1 максимальная нелинейность / 2,1w h  имеет место в точке 0,628мs  для варианта нагружения 1. Для остальных вариантов нагружения значения прогиба близки к нулю. Из анализа результатов, представленных на рис. 3, следует, что значения проги- бов для всех вариантов нагружения близки. Нелинейность, по сравнению с результа- тами, представленными на рис. 1, увеличивается и достигает / 3w h  для варианта нагружения 2. 91 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 На рис. 4 представлено распределение прогиба от времени ( )w t при 0,628мs  . Максимальное значение / 4,5w h  имеет место при 37 10t c  , что согласуется с результатами, приведенными выше. 92 Для вариантов нагружения оболочки, рассмотренных выше, на рис. 5 показано распределение по верхней поверхности оболочки напряжений Максвелла   2H / мsT t и механических напряжений   2H / мs t , представленных на рис. 6 в точке 0,628мs  . Рис. 5 Рис. 6 Из анализа графиков (рис. 5 и 6) следует вывод о подтверждении результатов, приведенных выше. Также необходимо отметить, что напряжения Максвелла превосходят по величи- не механические напряжения. Это свидетельствует о существенном влиянии электро- магнитного поля на напряженно-деформированное состояние оболочки согласно ре- шению задач в нелинейной постановке. 93 Заключение. В работе получено решение нелинейной задачи магнитоупругости для осесим- метричной ортотропной усеченной сферической оболочки переменной жесткости с учетом ортотропной электропроводности. Представлена разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая напряженно-деформированное состояние гибкой ортотропной сфери- ческой оболочки переменной толщины. На основе результатов числового примера проведен анализ напряженного состояния гибкой сферической ортотропной оболочки переменной толщины, находящейся под действием переменной по времени механиче- ской силы, переменного по времени магнитного поля и стороннего электрического тока, с учетом механической и электромагнитной ортотропий. Р Е ЗЮМ Е . В осесиметричній постановці отримано розв’язок нелінійної задачі магнітопруж- ності для ортотропної сферичної оболонки змінної жорсткості з ортотропною електропровідністю. Приведено розв’язувальну систему нелінійних диференціальних рівнянь, яка описує напружено-де- формований стан гнучких ортотропних оболонок змінної жорсткості в механічному та магнітному полях. Наведено числовий приклад. Проведено аналіз напруженого стану ортотропної сферичної оболонки в залежності від зовнішнього струму та механічної сили. 1. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. – М.: Мир, 1968. – 184 с. 2. Григоренко Я.М., Мольченко Л.В. Основы теории пластин и оболочек. – К.: Либидь, 1993. – 231с. 3. Григоренко Я.М., Мольченко Л.В. Основы теории пластин и оболочек с элементами магнитоупру- гости. Учебник. – К.: ИПЦ «Киевский университет», 2010. – 403с. 4. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. – М.: Наука, 1979. – 639с. 5. Улитко А.Ф., Мольченко Л.В., КовальчукВ.Ф. Магнитоупругость при динамическом нагружении. Учеб. пособие. – К.: Либiдь, 1994. – 154 с. 6. Flugge W. Stresses in shells. – Berlin: Springer-Verlag, 1973. – 525 p. 7. Hussain M.A., Pu S.L. Dinamic stress intensity factors for anunbounded plate having collinear cracks // Eng. Fact. Mech. – 1972. – 4, N 4. – P. 865 – 876. 8. Lippmann H.G. Principle de la conservation de l’electricite // Ann. Chim. – 1976. – N 2. – P. 17 – 35. 9. Maugin G. A. Nonlinear electromechanical effects and applications. – Singapore: World Scientific, 1985. – 168 p. 10. Mol’chenko L.V., Loos I.I. Effect of Conicity on Axisymmetrical Strain State of Flexible Orthotropic Conical Shell in Non-stationary Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 11. – P. 1261 – 1267. 11. Mol’chenko L. V., Loos I. I. Influence of the Boundary Conditions on the Stress State of a Flexible Cy- lindrical Shell of Variable Stiffness in a Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 1. – P. 94 – 100. 12. Mol’chenko L. V., Loos I. I. The Stress State of a Flexible Orthotropic Spherical Shell Subject to External Current and Mechanical Force in a Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 5. – P. 528 – 533. 13. Mol’chenko L. V., Loos I. I., Fedorchenko L. M. Axisymmetric Magnetoelastic Deformation of a Flexi- ble Orthotropic Ring with Orthotropic Conductivity // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 3. – P. 322 – 327. 14. Mol’chenko L.V., Loos I.I., Indiaminov R.Sh. Nonlinear Deformation of Conical Shells in Magnetic Fields // Int. Appl. Mech. – 1997. – 33, N 3. – P. 221 – 226. 15. Mol’chenko L.V., Loos I.I., Indiaminov R.Sh. Determining the Stress State of Flexible Orthotropic Shell of Revolution in Magnetic Field // Int. Appl. Mech. –2008. – 44, N 8. – P. 882 – 891. 16. Mol’chenko L. V., Loos I. I. Indiaminov R. Sh. Stress-Strain State of Flexible Ring Plates of Variable Stiffness in a Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 11. – P. 1236 – 1242. 17. Mol’chenko L. V., Loos I. I., Plyas I.V. Stress Analysis of a Flexible Ring Plate with Circumferentially Varying Stiffness in a Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 5. – P. 567 – 573. 18. Mol’chenko L. V., Loos I. I., Plyas I.V. Effect of the Tangential Components of Magnetic-Flux Density on the Stress State of a Flexible Circular Cylinder with Variable Stiffness // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 3. – P. 313 – 319. 94 19. Moon F. C. Magneto-solid mechanics. – N.-Y.: John Wiley & Sons Inc., 1984. – 448 p. 20. Moon F. C., Chattopadhyay S. Magnetically induced stress waves in a conducting solid-theory and ex- periment // J. Appl.Mech. Trans. ASME. – 1974. – 41, N 3. – P. 641 – 646. 21. Newmark N.M. A Method of Computation for Structural Dynamics // J. Eng. Mech. Div., ASCE. – 1959. – 85, N 7. – P. 67 – 97. 22. Nye J. F. Physical properties of crystals. – Oxford: Clarendon Press, 1964. – 329 p. 23. Pao Y.-H., Hutter K. Electrodynamis for moving elastic solids and viscous fluids // Proc. IEEE. – 1975. – 63, N 7. – P. 1011 – 1021. 24. Smith R. T. Stress-induced anisotropy in solids – the acousto-elastic effect // Ultrasonics. – 1963. – 1, N 3. – P. 135 – 147. 25. Truesdeil C., Noll W. The nonlinear field theorie of mechanics / in S. Flugges Handbuch der Physic. – 1960. – III/3. – Berlin:Springer-Verlag. – P. 1 – 602. Поступила 03.06.2014 Утверждена в печать 22.12.2015

Деформирование гибкой ортотропной сферической оболочки переменной жесткости в магнитном поле

Institution

Ähnliche Einträge