К устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок

Предложена методика исследования нелинейного деформирования слоистых углеродных нанотрубок при осевом сжатии, в том числе расчета критических значений нагрузки, при которой нанотрубка теряет устойчивость. Методика основана на континуальной модели, в которой каждая трубка DWCNT рассматривается как ор...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автор:	Семенюк, Н.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2016
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141034
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок / Н.П. Семенюк // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 108-116. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-141034
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1410342018-07-22T01:23:39Z К устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок Семенюк, Н.П. Предложена методика исследования нелинейного деформирования слоистых углеродных нанотрубок при осевом сжатии, в том числе расчета критических значений нагрузки, при которой нанотрубка теряет устойчивость. Методика основана на континуальной модели, в которой каждая трубка DWCNT рассматривается как ортотропная оболочка при наличии в промежутках между слоями сил Ван дер Ваальса. С использованием потенциала Леннарда - Джонса построена также континуальная модель промежуточного слоя. В теории многослойных оболочек дискретного строения такой слой именуется "мягким". Уравнения этой теории использованы для построения разрешающей системы дифференциальных уравнений нормального вида. Численная реализация изложенной методики выполнена для двухслойной оболочки с промежуточным мягким слоем. Выполнен расчет критических нагрузок 3-х типов оболочек с креслоподобной структурой, механические характеристики которых определены с помощью методов молекулярной динамики. Сравнение критических нагрузок данной работы и работы [14] при граничных условиях S3 показало существенное влияние нелинейности докритического состояния, а также точности используемой теории в случае характерных для нанотрубок геометрических размеров. Получены числовые данные о влиянии граничных условий S1 - S4 и C1 - C4 на устойчивость SWCNT и DWCNT. Показан их существенный разброс. Какие из полученных значений соответствуют устойчивости нанотрубок, следует провести дополнительное исследование с учетом того, что на концах нанотрубки атомы расположены на поверхности в виде полушара. Запропоновано підхід до розрахунку стійкості ортотропних двошарових оболонок, що мають механічні та електричні властивості вуглецевих нанотрубок. Міжшарова взаємодія відбувається за рахунок сил Ван дер Ваальса. З використанням потенціалу Ленарда – Джонса отримано параметри континуального міжшарового середовища. Розв’язувальна система рівнянь записується відносно швидкостей шістнадцяти змінних. Навантаження і граничні умови задано окремо для кожного шару. Для отримання числових результатів застосовано процедуру методу дискретної ортогоналізації. Досліджено стійкість одно- і двошарових нанотрубок. Числові результати представлено у вигляді таблиць та дано їх аналіз. An approach is proposed to analysis of stability of orthotropic two-layered shells, that have the mechanical and electrical properties of carbon nanotubes. An interlaminar interaction is assumed to occur by the Van der Waals forces. The parameters of the continuum interlaminar medium are obtained with using the Lennard-Jones potential. The basic system of equations is written through velocities of sixteen variables. The loading and boundary conditions are given separately for each layer. To obtain the numerical results, the procedure of the method of discrete orthogonalization is used. The stability of one- and double-wall nanotubes is studied and analysis of numerical results is given. 2016 Article К устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок / Н.П. Семенюк // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 108-116. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141034 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Предложена методика исследования нелинейного деформирования слоистых углеродных нанотрубок при осевом сжатии, в том числе расчета критических значений нагрузки, при которой нанотрубка теряет устойчивость. Методика основана на континуальной модели, в которой каждая трубка DWCNT рассматривается как ортотропная оболочка при наличии в промежутках между слоями сил Ван дер Ваальса. С использованием потенциала Леннарда - Джонса построена также континуальная модель промежуточного слоя. В теории многослойных оболочек дискретного строения такой слой именуется "мягким". Уравнения этой теории использованы для построения разрешающей системы дифференциальных уравнений нормального вида. Численная реализация изложенной методики выполнена для двухслойной оболочки с промежуточным мягким слоем. Выполнен расчет критических нагрузок 3-х типов оболочек с креслоподобной структурой, механические характеристики которых определены с помощью методов молекулярной динамики. Сравнение критических нагрузок данной работы и работы [14] при граничных условиях S3 показало существенное влияние нелинейности докритического состояния, а также точности используемой теории в случае характерных для нанотрубок геометрических размеров. Получены числовые данные о влиянии граничных условий S1 - S4 и C1 - C4 на устойчивость SWCNT и DWCNT. Показан их существенный разброс. Какие из полученных значений соответствуют устойчивости нанотрубок, следует провести дополнительное исследование с учетом того, что на концах нанотрубки атомы расположены на поверхности в виде полушара.
format	Article
author	Семенюк, Н.П.
spellingShingle	Семенюк, Н.П. К устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок Прикладная механика
author_facet	Семенюк, Н.П.
author_sort	Семенюк, Н.П.
title	К устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок
title_short	К устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок
title_full	К устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок
title_fullStr	К устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок
title_full_unstemmed	К устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок
title_sort	к устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141034
citation_txt	К устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок / Н.П. Семенюк // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 108-116. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT semenûknp kustojčivostidvuhslojnyhuglerodnyhnanotrubok
first_indexed	2025-07-10T11:48:00Z
last_indexed	2025-07-10T11:48:00Z
_version_	1837260428597526528
fulltext	2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 1 108 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, № 1 Н .П .С е м е н ю к К УСТОЙЧИВОСТИ ДВУХСЛОЙНЫХ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины, ул.Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: compos@inmech.kiev.ua Abstract. An approach is proposed to analysis of stability of orthotropic two-layered shells, that have the mechanical and electrical properties of carbon nanotubes. An interlami- nar interaction is assumed to occur by the Van der Waals forces. The parameters of the con- tinuum interlaminar medium are obtained with using the Lennard-Jones potential. The basic system of equations is written through velocities of sixteen variables. The loading and boundary conditions are given separately for each layer. To obtain the numerical results, the procedure of the method of discrete orthogonalization is used. The stability of one- and dou- ble-wall nanotubes is studied and analysis of numerical results is given. Key words: orthotropic cylindrical shell, one- and double-wall nanotubes, stability, Van der Waals forces, boundary conditions, method of discrete orthogonalization. Введение. Углеродные нанотрубки (СNT) обладают рядом механических и физических свойств, из-за которых они широко применяются во многих областях современной техники, биологии, медицины [3, 4]. В последние десятилетия во многих научных центрах проводятся интенсивные исследования, дающие возможность оценить эф- фективность функционирования наноструктурных материалов в современных маши- нах при различных условиях эксплуатации. При этом актуальным является вопрос о континуализации дискретной структуры нанотрубок с целью применения соотноше- ний механики деформируемого твердого тела для исследования механических про- цессов на наноуровне. В работах [9, 10, 16, 18] ответ на этот вопрос сводится к реше- нию некоторой задачи методами, учитывающими дискретность структуры CNT и ме- тодами механики деформируемого твердого тела. При равенстве в обоих вариантах энергий деформации рассматриваемой структуры, прогибов, критических нагрузок или частот определяют эффективные параметры, позволяющие осуществить этап кон- тинуализации. В других задачах можно использовать эти параметры, если изменяе- мость нагрузок, полей напряжений и деформаций того же порядка, что и в решенной задаче. Таким образом установлено, что при решении задачи устойчивости углеродных нанотрубок могут быть использованы уравнения континуальной теории оболочек. Известно [6], что однослойные углеродные нанотрубки встречаются реже, чем многослойные. Причина состоит в том, что между атомами существуют силы взаимо- действия, способствующие образованию цилиндрических слоев. При характерных для межслойного пространства размерах наиболее существенными являются силы притя- жения или отталкивания Ван дер Ваальса. Поэтому при постановке задачи устойчиво- сти слоистых нанотрубок следует использовать расчетную модель, в которой учиты- вались бы указанные межслойные силы. В работе [10] разработана модель, базирующаяся на предположении, что сущест- вует линейно пропорциональное соотношение между изменением сил Ван дер Ваальса и приращением нормальных перемещений двухслойных оболочек. Существует также методика, основанная на использовании константы взаимодействия, полученной при 109 расчете плоских слоев графита [7]. В работах [6, 14, 16] развита методика расчета на устойчивость многослойных цилиндрических оболочек с учетом наличия сил взаимо- действия между всеми слоями. Такая модель более предпочтительна по сравнению с моделями, в которых не учитывается дискретность строения оболочки [11, 12]. Ниже предложена модель расчета, которая основана на исходном рассмотрении межслойного пространства как сплошного слоя, механические параметры которого получены при континуализации сил Ван дер Ваальса. Слои нанотрубки имеют столь- ко же степеней свободы, как и однослойные оболочки, несмотря на наличие связей, которые возникают из-за совместной работы слоев. Численный метод расчета позво- ляет учитывать эффект различных граничных условий. Согласно публикациям [15, 17], влияние условий закрепления на устойчивость нанотрубок изучено недостаточно. На необходимость и целесообразность проведения исследований по механике нанотрубок как армирующих элементов обоснованно указано в работах [3, 17]. 1. К нелинейной теории многослойных цилиндрических оболочек с учетом дискретности слоев. Рассмотрим многослойную цилиндрическую оболочку, состоящую из жестких слоев, связь между которыми осуществляется с помощью материала, имеющего бо- лее низкие механические характеристики. Принимаем, что основными параметрами, достаточными для описания жестких слоев, являются обобщенные перемещения, деформации и напряжения теории оболочек Кирхгофа – Лява. В слоях-связях в со- ответствии с их назначением учитываются жесткости поперечного сдвига и растя- жения – сжатия в трансверсальном направлении. На рисунке показан элемент рас- сматриваемой оболочки. Введем следующие обозначения: ih – толщина i -го жесткого слоя; it – толщина i -го мягкого слоя; ,i iR r – радиусы срединной поверхности соответственно i -го же- сткого и мягкого слоев. Учитывая аддитивные свойства потенциальной энергии де- формации оболочки, представим ее в таком виде: 1 ( ) ( ) 1 1 N N a c i i i i Э Э Э       , (1) 110 где ( )a iЭ – потенциальная энергия деформации i -го жесткого слоя; ( )c iЭ – потенци- альная энергия деформации i -го мягкого слоя при условии его непрерывности; N – количество жестких слоев в оболочке. В соответствии с гипотезами Кирхгофа – Лява для жестких слоев выражение по- тенциальной энергии деформации имеет вид  2 ( ) 11 11 22 22 12 12 11 11 12 12 22 22 0 0 1 2 iRL a i i i i i i i i i i i i iЭ T T T M k M k M k dxdy           . (2) Здесь ,i i mn mnT M – усилия и моменты, действующие на единицу длины элемента сре- динной поверхности i -го слоя; ,i i mn mnk – деформации растяжения – сжатия, измене- ния кривизны и кручения данной поверхности; L – длина оболочки; ,x y – координат- ные линии поверхности, направленные по образующей и направляющей цилиндра. Нелинейные соотношения между деформациями и перемещениями , ,i i iu v w ка- ждого несущего слоя принимаем в таком виде: 2 11 1 1 2 i i u x      ; 12 1 2 i i i iu v y x          ;  2 22 2 1 2 i i i i i v w y R       . (3) Приращения кривизны и кручения также выражаются через перемещения: 2 1 11 2 ; ii i w k xx      2 22 22 1 ; i i i i i w v k R y yy          2 1 2 12 1 2 ii i i i w v k x y R x y x               1̀ 2, w w v x y R            . (4) Вследствие малой толщины жестких слоев соотношения закона Гука принимаем в виде 11 11 11 12 22 11 11 11 12 22; ;i i i i i i i i i iT C C M D k D k     22 12 11 22 22 22 12 11 22 22; ;i i i i i i i i i iT C C M D k D k     (5) 12 66 12 12 66 12; .i i i i i iT C M D k  Потенциальная энергия деформации k -го мягкого слоя определяется выражением   2 2 ( ) 13 13 23 23 33 33 0 0 2 1 . 2 k k k r tL c k k k k k k k t Э dx dy dz              (6) Если в уравнениях равновесия теории упругости пренебречь напряжениями в на- правлении осей ,x у , то получим [2], что напряжения 13 будут распределены по толщине равномерно, следовательно, это будет относиться и к деформациям 13 . Это дает возможность для перемещений мягкого слоя записать закон изменения переме- щений по толщине: 0 ,u u z  0 ,v v z  0 .w w z  (7) С учетом (7) после интегрирования по координате z для потенциальной энергии деформации мягкого слоя получим выражение 111 2 ( ) 13 13 23 23 33 33 13 23 0 0 1 2 krL c k k Э N N N M M dx dу x у R                         (8) 0 0 0 13 23 33; ; ; w w v x y R                  13 13 13 ;kN G t  23 23 23 33 3 33; ;k kN G t N E t   3 3 23 23 13 13 1 1 ; 12 12k k k M G t M G t y R x               ; 13 23 3, ,G G E – модули сдвига и трансверсальной упругости рассматриваемого слоя    . Пусть k -й мягкий слой связывает i -й и  1i  -й жесткие слои. Из условий равен- ства перемещений на поверхностях контакта получим формулы 1 1 0 1 1 ; 2 2 2 i i i i i i h w h w u u u x x              1 1 1 1 0 1 1 1 1 ; 2 2 2 i i i i i i i i i i h w v h w v v v v y R y R                               0 1 1 ; 2 i iw w w   1 1 1 1 ; 2 2 i i i i i i k h w h w u u l x x                1 1 ;i i k w w i    (9) 1 1 1 1 1 1 . 2 2 i i i i i i i i k i i h w v h w v v v l y R y R                             Таким образом, деформации мягкого слоя полностью определяются перемеще- ниями жестких слоев, ограничивающих этот слой, т.е. имеем      1 13 1 1 1 1 1 ; 2 2 i i i i i k i k k k k w w u u h i h i l l x l x               1 1 23 1 1 1 ; 2 2 2 2 i k i i k i i i k i k i k h l w h l w v v l R r R r                               33 1 1 .i i k w w l    (10) При выводе выражений (10) опущены малые по сравнению с единицей слагаемые / , /i i k kh R l r . Однако изменение метрики по толщине оболочки учитывается, так как для каждого жесткого слоя принят радиус кривизны его срединой поверхности. В соответствии с принципом Лагранжа имеем равенство 0,Э A   (11) где Э – потенциальная энергия деформации; A – работа внешних сил. Потенциаль- ная энергия деформации оболочки определяется выражением (1). Если учесть выра- жения (2), (3), то из вариационного принципа при 2N  получаем уравнения        1 111 12 13 1 1 0 i i i i T T N x y t         ; 112          1 112 22 23 23 2 1 1 1 0 i i ii i i T T T N x y tR          ;          1 113 23 22 33 2 1 1 1 0 i i ii i i T T T N q x y tR           ,  1,2i  (12) * 11 12 22 13 23 13 13 11 1 12 2 23 23 12 1 22 22 , , , M M M T T T T T T T T T T x y y                       . (13) Граничные условия для каждого слоя формулируем относительно четырех вели- чин, взятых по одной из таких пар:            12 12 11 12 13 11 1 2 , ; , ; , ; ,i i i i i i i i M M T u T v T w M R y             при 0,x L . (14) По координате y оболочки – замкнутые. Представленные нелинейные соотношения и уравнения описывают напряженно- деформированное состояние двухслойных с взаимодействием в трансверсальном на- правлении оболочек (DWCNT) по всей траектории нагружения, включая особые точ- ки типа предельных и бифуркации. Для решения задач, соответствующих различным этапам нагружения, в большин- стве работ используют формулировки, основанные на некоторых упрощающих пред- положениях. Наиболее реальным подходом является использование метода непре- рывного продолжения по параметру [1]. В этом случае методом дискретной ортогона- лизации [1, 5] находим решение линейной краевой задачи относительно скоростей (производных по параметру продолжения) разрешающих функций и задачи Коши для определения самих функций. В качестве разрешающих функций в данной задаче выби- раем те, через которые формируются граничные условия (14). Тогда имеем равенства:                    1 1 1 1 1 1 1 1 112 12 1 2 311 12 13 11 1 12 21 2 ; ; ; M M y T y T y T T T yR                     1 11 1 1 4 5 6 7 811 1; ; ; ; ;y M y u y v y w y                 2 2 2 2 212 12 9 10 1111 12 132 2 ; ; ; M M y T y T y T yR                 2 22 2 2 12 13 14 15 1611 1; ; ; ;y M y u y v y w y      . (15) Систему линейных уравнений относительно скоростей представляем в нормаль- ном виде, т.е. dY AY b dx     , (16) где Y – вектор с компонентами  1 16,...,y y  , A – матрица размером (16х16), b – век- тор-столбец, содержащий скорости поверхностной нагрузки. Граничные условия заданы в виде: 1 1 2 2,A Y b A Y b   . (17) 113 Тогда задача Коши имеет такой вид: 0 ; 0 t dY Y Y dt     . (18) 2. Континуальное моделирование межслоевого взаимодействия Ван дер Ваальса. Полученные выше соотношения для среднего слоя являются частью континуаль- ной модели межслоевого пространства рассматриваемой двухслойной нанотрубки. Ос- таются неизвестными модули 3 13 23, ,E G G . Их можно определить, если воспользоваться аналитическим выражением для энергии межатомного взаимодействия ван дер Вааль- са. Эта энергия может быть описана с помощью потенциала Леннарда – Джонса [8]   12 6 4V r r r                   , (19) где r – расстояние между взаимодействующими атомами;  – глубина потенциала;  – параметр, определяемый при   0V r  . Силу взаимодействия Ван дер Ваальса определим при дифференцировании по r потенциала (19), т.е. имеем     13 7 24 2 dV r F r dr r r                       . (20) В зависимости от величины отношения / r сила  F r может быть как по- ложительной (притяжение), так и отрицательной (отталкивание). При 6 0 2r  сила  0 0F r  . При значении r , незначительно отличающемся от 0r , выражение  F r может быть представлено разложением            0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... ... r r F r F r F r r r r V r V r r r r           . (21) Если заменить расстояние между взаимодействующими атомами длиной 0r , то в (21) произведение  0 0r V r будет модулем упругости E , а соотношение  0 0/r r r – деформацией  r , т.е.    F r E r . (22) Для двухслойной оболочки c использованием принятых обозначений при 0  – 0 1 2 0 0 2 1,r R R t r r W W      . Однако каждый атом одного слоя взаимодействует со всеми атомами второго, поэтому вместо соотношений (22) в континуальном вари- анте необходимо определить силу взаимодействия между атомами, содержащимися на единичной площадке первого слоя со всеми атомами второго слоя. Расстояние 0r между взаимодействующими атомами при 0  определяется как 2 21 2 0 0 0 0 0 1 4 sin 2 R R z r t t t t                  . (23) Если все атомы на поверхности первой оболочки взаимодействуют со всеми ато- мами на единичной поверхности внутренней оболочки, то равенство (23) примет вид     2 14 82 0 22 2 0 0 2 4 3 24 2 7 9 L L F r r r R dzd r ra                                    . (24) 114 Выполнив интегрирование по z , получим равенство     6 12 7 13 2 04 4 1120 1101 9 3 ij ijF r E E R r r a a          . Для углеродных нанотрубок (CNT) имеем   0,00239 ev =0,00038292 нМ;   0,3415нМ; (25) а=0,142 нМ; С – С bond length 1 2 0R R t   0,34 нМ= ; 2 0 0 221 2 0 0 1 1 4 sin m ij m m d E t R R t t            . (26) Из сравнения выражений (22) и (24) следует, что модуль 3E для континуальной сплошной среды можно приближенно вычислить по формуле 3 0E t C (27) 7 13 24 4 1120 1101 9 3 ij ijC E E R a a         , 0 0, m m m ij ijt E t E       . (28) Модули 13 23,G G полагаем равными нулю, так как они существенно меньше модуля 3E . 3. Числовые результаты и их анализ. Используя имеющиеся в публикациях [13, 14] данные о механических и геомет- рических свойствах углеродных нанотрубок, определим для них критические значе- ния осевых нагрузок при граничных условиях шарнирного опирания (по аналогии с работами [9, 10, 13, 14]), а также при других вариантах закрепления торцов. В табл. 1 приведены (в принятой в теории оболочек форме) восемь вариантов граничных условий S1-S4 и C1-C4. Индексы 1, 2 показывают, что равенство имеет место как для внешней (1), так и для внутренней (2) оболочек в случае DWCNT. Для однослойной трубки (SWСNT) нет необходимости в использовании индексов. При определении докритического состояния, граничные условия могут быть однород- ными или неоднородными в зависимости от типа действующей на оболочку нагруз- ки. При осевом сжатии на одном из торцов необходимо задать действующее усилие, на противоположном – принять равным нулю перемещение или заменить его усло- вием симметрии относительно середины оболочки. Ниже при решении задач ис- пользован первый подход. Таблица 1 S1 1,2 11T =0 1,2 12T = 0 1,2w  0 1,2 11 0M  1,2 12T = 0 S2 1,2u  0 1,2 12T = 0 1,2w  0 1,2 11M = 0 1,2 12T = 0 S3 1,2 11T = 0 1,2v  0 1,2w  0 1,2 11M = 0 1,2v  0 S4 1,2u  0 1,2v  0 1,2w  0 1,2 11M = 0 1,2v  0 C1 1,2 11T = 0 1,2 12T = 0 1,2w  0 1,2w x   =0 1,2 12T = 0 C2 1,2u  0 1,2 12T = 0 1,2w  0 1,2w x   = 0 1,2 12T = 0 C3 1,2 11T = 0 1,2v  0 1,2w  0 1,2w x   = 0 1,2v  0 C4 1,2u  0 1,2 12T = 0 1,2w  0 1,2 11M = 0 1,2 12T = 0 115 Описанные многими авторами методы континуализации [9, 10, 13, 14] позволяют обоснованно рассматривать нанотрубки как сплошные цилиндрические оболочки. В работе [14] для них получены значения модулей упругости и сдвига, приведенные в табл. 2 (как известно, углеродные нанотрубки отличаются своей структурой, которая проявляется в их хиральности [3]). В данной таблице в первом столбце записаны ме- ханические характеристики для SWСNT с креслоподобной структурой (9,9); во вто- ром и третьем столбцах – для DWCNT со структурой [(4,4), (9,9)] и [(9,9), (14,14)]. Гео- метрические параметры оболочек приняты такими же, как и в работе [14]. Все три обо- лочки имеют длину 5,32 нм; однослойная оболочка (9,9) имеет радиус R = 0,61нм; тол- щину h = 0,066 нм; для DWCNT [(4,4), (9,9)] – R1 = 0,61 нм, R2 = 0,27 нм, h = 0,075 нм; для третьего типа оболочка имеет R1 = 0,95 нм, R2 = 0,61 нм, h = 0,075 нм. Таблица 2 E, G, v (9,9) [(4,4), (9,9)] [(9,9), (14,14)] 11E 5,7911 5,4824 5,1054 22E 7,9735 7,5435 7,0294 12G 1,9840 1,8610 1,7912 12 0,169 0,169 0,169 Полученные по предлагаемой расчетной методике критические нагрузки (в нN) для оболочек указанных структур с граничными условиями S1-S4 и C1-C4 приведены в табл. 3. В работе [14] при граничных условиях S3 критические нагрузки составили: Pcr = 79,43 нN, 106,75 нN, 114 нN. Сравнивая их с данными табл. 3, замечаем, что только для оболочки [(9,9), (14,14)] величины критических нагрузок совпадают. Раз- личие между расчетными величинами работы [14] и полученными по предлагаемой методике объясняется тем, что уравнения указанной работы соответствуют варианту теории Муштари – Доннелла – Власова, справедливой при n>>1, а также постановкой задачи, в основе которой лежит предположение о безмоментности докритического состояния. Учет влияния деформаций поперечного сдвига [2] при маловолновых формах потери устойчивости – незначительный. Таблица 3 S1 50,17 42,79 79,09 S2 53,34 58,56 80,17 S3 63,60 48,10 113,55 S4 73,04 84,46 127,85 C1 64,51 49,40 115,28 C2 72,95 85,10 127,85 C3 65,15 50,66 116,15 C4 73,13 81,88 128,28 Выводы. В работе предложена методика исследования нелинейного деформирования слои- стых углеродных нанотрубок при осевом сжатии, в том числе расчета критических значений нагрузки, при которой нанотрубка теряет устойчивость. Методика основана на континуальной модели, в которой каждая трубка DWCNT рассматривается как ор- тотропная оболочка при наличии в промежутках между слоями сил Ван дер Ваальса. С использованием потенциала Леннарда – Джонса построена также континуальная модель промежуточного слоя. В теории многослойных оболочек дискретного строе- ния такой слой именуется «мягким». Уравнения этой теории использованы для по- строения разрешающей системы дифференциальных уравнений нормального вида. Численная реализация изложенной методики выполнена для двухслойной оболочки с промежуточным мягким слоем. Выполнен расчет критических нагрузок трех типов оболочек с креслоподобной структурой, механические характеристики которых определены с помощью методов молекулярной динамики в работах [6, 9, 10]. Сравнение критических нагрузок данной 116 работы и работы [14] при граничных условиях S3 показало существенное влияние нелинейности докритического состояния, а также точности используемой теории в случае характерных для нанотрубок геометрических размеров. Получены числовые данные о влиянии граничных условий S1 – S4 и C1 – C4 на устойчивость SWСNT и DWСNT. Показан их существенный разброс. Какие из полу- ченных значений соответствуют устойчивости нанотрубок, следует провести допол- нительное исследование с учетом того, что на концах нанотрубки атомы расположены на поверхности в виде полушара. Р Е З Ю М Е Запропоновано підхід до розрахунку стійкості ортотропних двошарових оболонок, що мають механічні та електричні властивості вуглецевих нанотрубок. Міжшарова взаємодія відбувається за рахунок сил Ван дер Ваальса. З використанням потенціалу Ленарда – Джонса отримано параметри конти- нуального міжшарового середовища. Розв’язувальна система рівнянь записується відносно швидкостей шістнадцяти змінних. Навантаження і граничні умови задано окремо для кожного шару. Для отримання числових результатів застосовано процедуру методу дискретної ортогоналізації. Досліджено стійкість одно- і двошарових нанотрубок. Числові результати представлено у вигляді таблиць та дано їх аналіз. 1. Баженов В.А., Семенюк М.П., Трач В.М. Нелінійне деформування, стійкість і закритична поведінка анізотропних оболонок. – К.: Каравела, 2010. – 352 с. 2. Ванин Г.Л., Семенюк Н.П. Устойчивость оболочек из композиционных материалов с несовершен- ствами. – К.: Наук. думка, 1987. – 200 с. 3. Гузь А.Н., Рущицкий Я.Я., Гузь И.А. Введение в механику нанокомпозитов. – К.: Институт механи- ки им.С.П.Тимошенко, 2010. – 398 с. 4. Elishakoff I., Pentaras D. et al. Carbon nanotubes and Nanosensors: Vibration, Buckling and Bullistic Impact. – Wiley-ISTE, 2012. – 448 p. 5. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L., Korotkikh Yu.A. Free Axisymmetric Vibrations of Cylindrical Shells Made of Functionally Graded Materials // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 6. – С. 654 – 664. 6. He X.Q., Hitipornchai S., Liew H.M. Buckling analysis of multiwalled carbon nanotubes: a continuum model accounting for van der Waals interaction // J. Mech. Phys. Solids . – 2005. – 53. – P. 303 – 326. 7. Kachanov L.M. Delamination Buckling of Composite Materials. – Kluwer Academic, Dordrecht, 1988. – 96 p. 8. Lennard-Jones J.E. The determination of molecular fields: from the variation of the viscosity of a gas with temperature // Proc. of the Royal Society. – 1924. – 106A, 441. 9. Ru C.Q. Effect of van der Waals forces on axial buckling od a double-walled carbon nanotube // J. of Applied Physics. – 2000. – 87. – P. 7227 – 7231. 10. Ru C.Q. Effective bending stiffeness of carbon nanotubes // Physics Review. – 2000. – 62. – P. 9973 – 9976. 11. Semenyuk N.P. Nonlinear Deformation of Shells with Finite Angles of Rotation and Low Elastoplastic Strains // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 2. – P. 149 – 158. 12. Semenyuk N.P., Trach V.M., Zhukova N.B. The Theory of Stability of Cylindrical Composite Shells Revisited // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 4. – P.449 – 460. 13. Shen H.S., Zhang C.L. Postbuckling of double-walled carbon nanotubes with temperature depended properties and initial defects under combined axial and radial mechanical loads // Int. J. Solids and Struct. – 2003. – 44. – P. 1461 – 1487. 14. Shen H.S., Zhang C.L. Noncocal Shear Deformable Shell Model for Post-Buckling of Axially Com- pressed Double-Walled Carbon Nanotubes Embedded in an Elastic Matrix // J. of Appl. Mech. – 2010. – 77, N 4. – P. 1 – 12. 15. Tong F.M., Wang C. Y., Adhikari S. Axial buckling of multiwall carbon nanotubes with heterogeneous Boundaries // J.of Applied Physics. – 2009. – 105, N 9. – P. 094325. 16. Wang C.Y., Ru C.Q., Mioduchowski A. Axially Compressed buckling of pressured multiwall carbon nanotubes // Int. J. Solids and Struct. – 2003. – 40, N 15. – P. 3893 – 3911. 17. Wang C.M., Zhang Y.Y., Xiang Y., Reddy J.N. Recent Studies on Buckling of Carbon Nanotubes // Appl. Mech. Reviews. – 2010. – 63, N 3. – P. 1 – 18. 18. Yakobson B.I., Brabec C.J., Brabec J. Nanomechanics of carbon tubes instabilities beyond linear re- sponse // Physical Review Letters. – 1996. – 76. – P. 2511 – 2514. Поступила 15.09.14 Утверждена в печать 22.12.2015 _____________________

К устойчивости двухслойных углеродных нанотрубок

Репозитарії

Схожі ресурси