Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.1. Суперпозиция сдвиговой и объемной ползучести
Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии выполнена для условий, когда закон линейного деформирования можно представить в виде уравнения для сдвигов и уравнения объемного деформирования. В результате сформулированы зависимости ме...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2016
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141045 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.1. Суперпозиция сдвиговой и объемной ползучести / В.П. Голуб, Б.П. Маслов, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 78-90. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-141045 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1410452018-07-22T01:23:49Z Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.1. Суперпозиция сдвиговой и объемной ползучести Голуб, В.П. Маслов, Б.П. Фернати, П.В. Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии выполнена для условий, когда закон линейного деформирования можно представить в виде уравнения для сдвигов и уравнения объемного деформирования. В результате сформулированы зависимости между ядрами сдвиговой и объемной ползучести при сложном напряженном состоянии и ядрами продольной и сдвиговой ползучести при одноосном растяжении и чистом кручении. В рамках выбранного подхода могут быть решены задачи расчета деформаций продольной и окружной ползучести под действием внутреннего давления и внутреннего давления с растяжением. Сформульовано залежності між ядрами повзучості, що задають зсувні та об’ємні в'язкопружні властивості ізотропного лінійно-в'язкопружного середовища за умов складного напруженого стану, та ядрами повздовжньої та зсувної повзучості, що побудовані для одновісного розтягу та чистого кручення. Визначальні рівняння в'язкопружності для складного напруженого стану вибрано у вигляді суперпозиції рівняння для зсувів та рівняння об’ємного деформування. Ядра спадковості задано дробово-експоненційною функцією Работнова. Розв’язано та експериментально апробовано задачі розрахунку деформацій повзучості тонкостінних труб за умов комбінованого навантаження розтягом із крученням та розтягом із внутрішнім тиском. The dependences among the creep kernels, that define the shear and volume viscoelastic properties of an isotropic linear viscoelastic medium in conditions of the combined stress state, and the kernels of longitudinal and transverse creep, that are built for the unilateral tension and pure torsion, are formulated. The constitutive equations of viscoelasticity for the combined stress state are chosen in the form of superposition of the equation for shears and equation for volume deformations. The heredity kernels are given by the fractional-exponential Rabotnov’s functions. The problems on creep deformations of thin-wall pipes are solved and experimentally approved for conditions of combined loading by tension with torsion and tension with internal pressure. 2016 Article Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.1. Суперпозиция сдвиговой и объемной ползучести / В.П. Голуб, Б.П. Маслов, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 78-90. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141045 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии выполнена для условий, когда закон линейного деформирования можно представить в виде уравнения для сдвигов и уравнения объемного деформирования. В результате сформулированы зависимости между ядрами сдвиговой и объемной ползучести при сложном напряженном состоянии и ядрами продольной и сдвиговой ползучести при одноосном растяжении и чистом кручении. В рамках выбранного подхода могут быть решены задачи расчета деформаций продольной и окружной ползучести под действием внутреннего давления и внутреннего давления с растяжением. |
| format |
Article |
| author |
Голуб, В.П. Маслов, Б.П. Фернати, П.В. |
| spellingShingle |
Голуб, В.П. Маслов, Б.П. Фернати, П.В. Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.1. Суперпозиция сдвиговой и объемной ползучести Прикладная механика |
| author_facet |
Голуб, В.П. Маслов, Б.П. Фернати, П.В. |
| author_sort |
Голуб, В.П. |
| title |
Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.1. Суперпозиция сдвиговой и объемной ползучести |
| title_short |
Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.1. Суперпозиция сдвиговой и объемной ползучести |
| title_full |
Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.1. Суперпозиция сдвиговой и объемной ползучести |
| title_fullStr |
Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.1. Суперпозиция сдвиговой и объемной ползучести |
| title_full_unstemmed |
Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.1. Суперпозиция сдвиговой и объемной ползучести |
| title_sort |
идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.1. суперпозиция сдвиговой и объемной ползучести |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141045 |
| citation_txt |
Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии.1. Суперпозиция сдвиговой и объемной ползучести / В.П. Голуб, Б.П. Маслов, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 78-90. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT golubvp identifikaciââdernasledstvennostiizotropnyhlinejnovâzkouprugihmaterialovprisložnomnaprâžennomsostoânii1superpoziciâsdvigovojiobʺemnojpolzučesti AT maslovbp identifikaciââdernasledstvennostiizotropnyhlinejnovâzkouprugihmaterialovprisložnomnaprâžennomsostoânii1superpoziciâsdvigovojiobʺemnojpolzučesti AT fernatipv identifikaciââdernasledstvennostiizotropnyhlinejnovâzkouprugihmaterialovprisložnomnaprâžennomsostoânii1superpoziciâsdvigovojiobʺemnojpolzučesti |
| first_indexed |
2025-07-10T11:49:33Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:49:33Z |
| _version_ |
1837260526446444544 |
| fulltext |
2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 2
78 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, № 2
В .П . Г о л у б , Б .П .Ма с л о в , П .В .Ф е р н а т и
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЯДЕР НАСЛЕДСТВЕННОСТИ ИЗОТРОПНЫХ
ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ СЛОЖНОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ. 1. СУПЕРПОЗИЦИЯ СДВИГОВОЙ И
ОБЪЕМНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины,
ул. Нестерова, 3, Киев, 03057, Украина; сreep@inmech.kiev.ua
Abstract. The dependences among the creep kernels, that define the shear and volume
viscoelastic properties of an isotropic linear viscoelastic medium in conditions of the com-
bined stress state, and the kernels of longitudinal and transverse creep, that are built for the
unilateral tension and pure torsion, are formulated. The constitutive equations of viscoelas-
ticity for the combined stress state are chosen in the form of superposition of the equation
for shears and equation for volume deformations. The heredity kernels are given by the frac-
tional-exponential Rabotnov’s functions. The problems on creep deformations of thin-wall
pipes are solved and experimentally approved for conditions of combined loading by tension
with torsion and tension with internal pressure.
Key words: linear viscoelasticity, isotropic material, complex stress state, creep kernel,
relaxation kernel, fractional-exponential function.
Введение.
В теории вязкоупругости большое внимание уделяется разработке методов опре-
деления вязкоупругих характеристик материалов, которые в случае использования
определяющих уравнений наследственного типа сводятся к отысканию ядер ползуче-
сти и релаксации [7 – 9, 12 – 14]. Ядра задаются некоторыми заранее выбранными
функциями, содержащими необходимое число неизвестных параметров, удовлетво-
ряющих условию затухающей памяти и позволяющих достаточно простым способом
получать решения интегральных уравнений теории. В стационарном температурном
поле указанные характеристики должны быть инвариантны по отношению к любым
процессам нагружения и видам напряженного состояния.
При одноосном напряженном состоянии ядра наследственности и параметры ядер
определяются непосредственно по результатам аппроксимации данных прямых изме-
рений деформаций или напряжений в процессе ползучести или релаксации функция-
ми, задающими ядра. Детальный анализ методов выбора функций, задающих ядра
наследственности, и методов определения параметров ядер линейно- и нелинейно-
вязкоупругих материалов при одноосном напряженном состоянии представлен в [7,
10, 11, 14].
Задача определения ядер наследственности и параметров ядер при сложном на-
пряженном состоянии является более сложной и включает также установление зави-
симости между ядрами наследственности при сложном и одноосном напряженных
состояниях [4, 5]. Одноосное напряженное состояние реализуется непосредственно в
эксперименте и рассматривается как базовое.
В работе [5] для изотропных линейно-вязкоупругих материалов установлена зави-
симость между ядрами сдвиговой и объемной ползучести и ядрами продольной и по-
перечной ползучести, построенными по результатам испытаний на одноосное растя-
жение. Этот подход в работе [2] обобщен на изотропные нелинейно-вязкоупругие
79
материалы, исходя из нелинейной модели вязкоупругости типа модели Работнова.
Трудности практической реализации такого подхода связаны с отсутствием данных
измерений деформаций поперечной ползучести.
В настоящей работе устанавливается зависимость между ядрами ползучести, за-
дающими сдвиговые и объемные свойства изотропных линейно-вязкоупругих тел при
сложном напряженном состоянии, и ядрами продольной и сдвиговой ползучести, по-
строенными по результатам испытаний на ползучесть при одноосном растяжении и
чистом кручении.
§1. Постановка задачи.
Определяющие уравнения линейной теории вязкоупругости Больцмана –
Вольтерра, задающие зависимость между деформациями, напряжениями и временем,
при сложном напряженном состоянии могут быть представлены в виде уравнений для
сдвигов и уравнений объемного деформирования. В этом случае определяющие урав-
нения ползучести имеют вид [5, 14]
0
0
0
0
( )
( ) ( ) ( ) , 1,3 ;
2 2
( )
( ) ( ) ( ) ,
t
ij s
ij s ij
t
s t
e t K t s d i j
G G
t
t K t d
B B
(1.1)
решением которых являются уравнения релаксации
0
0
0
( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) , 1,3 ;
( ) ( ) ( ) ( ) .
t
ij ij s s ij
t
s t Ge t G R t e d i j
t B t B R t d
(1.2)
Здесь ( )ije t – компоненты девиатора тензора деформаций ( )ij t ; ( )ijs t – компоненты
девиатора тензора напряжений ( )ij t ; ( )t – объемная деформация; 0 – среднее
напряжение; sK t , sR t – ядра сдвиговой ползучести и релаксации;
K t , R t – ядра объемной ползучести и релаксации; G – модуль сдвига;
B – объемный модуль; s , – реологические параметры.
В качестве базовых экспериментов используются испытания образцов материала
на ползучесть при одноосном растяжении и чистом кручении и постоянных значениях
напряжений. Одномерные модели, описывающие зависимость между напряжениями,
деформациями и временем изотропных линейно-вязкоупругих материалов в базовых
экспериментах, задаются уравнениями
11 11 21 21
11 11 11 21 21 21
0 0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ,
t tt t
t K t d t K t d
E E G G
(1.3)
которые при 11 const и 21 const сводятся к уравнениям
11 21
11 11 11 21 21 21
0 0
( ) 1 ( ) ; ( ) 1 ( ) .
t t
t K t d t K t d
E G
(1.4)
Здесь 11( )t и 21( )t – одноосные растягивающие напряжения и касательные напря-
жения кручения; 11( )t и 21( )t – одноосные продольные и угловые деформации;
11K t и 21K t – ядра продольной и сдвиговой ползучести; 11 и 21 – реоло-
гические параметры; E – модуль упругости.
80
Ядра ползучести K t в (1.1), (1.3) и (1.4) и релаксации R t в (1.2) ап-
проксимируются дробно-экспоненциальными функциями [14]
(1 )
0
1 ( ) ( )
( ) ;
(1 )(1 )( )
n n
n
t
K t
nt
(1 )
0
1 ( ) ( )
( ) ,
(1 )(1 )( )
n n
n
t
R t
nt
(1.5)
где и – параметры ядер ( 1 0; 0) ; [ ] – гамма-функция Эйлера.
Задача заключается в установлении зависимости между ядрами ползучести
( )sK t , ( )K t и релаксации sR t , R t линейно-вязкоупругих мате-
риалов при сложном напряженном состоянии и ядрами ползучести 11K t ,
21K t – при одноосном растяжении и чистом кручении и в определении парамет-
ров ядер, задаваемых дробно-экспоненциальными функциями.
§2. Идентификация ядер наследственности.
Процесс деформирования при сложном напряженном состоянии задается уравне-
ниями ползучести (1.1) и уравнениями релаксации (1.2). Идентификации подлежат
ядра сдвиговой sK t и объемной ( )K t ползучести и ядра сдвиговой
sR t и объемной R t релаксации.
2.1. Зависимость между ядрами наследственности. Устанавливается зависи-
мость между ядрами сдвиговой и объемной ползучести и релаксации и ядрами ползу-
чести при одноосном растяжении.
Для компонент тензора деформаций ползучести ( )ij t , которые можно предста-
вить в виде суперпозиции компонент сдвиговой и объемной ползучести в (1.1), полу-
чаем уравнение
0
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
t
ij ij ij v ij s s ijt e t t s t K t s d
G
0 0
0
1
( ) ( ) ( ) ,
3
t
ij t K t d
B
(2.1)
которое при одноосном растяжении постоянными напряжениями 11 приводится к
уравнению
11 11
11
0 0
( ) 1 ( ) 1 ( )
3 9
t t
s st K t d K t d
G B
(2.2)
или, с учетом соотношения [3]
1 1 1
3 9E G B
, – к уравнению
11
11
0 0
( ) 1 ( ) ( )
3 9
t t
s s
E E
t K t d K t d
E G B
(2.3)
11 11 0 11 0 11
2 1 1
; ;
3 3 9
s
B
.
81
Из сопоставления уравнения (2.3) и первого уравнения в (1.4) следует соотношение
11 11( ) ( ) ( )
3 9s s
E E
K t K t K t
G B , (2.4)
устанавливающее зависимость между ядрами сдвиговой и объемной ползучести и
ядром ползучести при одноосном растяжении.
2.2. Ядра сдвиговой ползучести и релаксации. Для идентификации ядер сдвиго-
вой ползучести ( )sK t и релаксации sR t в качестве базового достаточно рас-
смотреть эксперимент на чистое кручение и использовать соответствующее ему в
(1.4) определяющее уравнение.
Действительно, при чистом кручении из девяти компонент тензора напряжений
ij только две касательные компоненты 21 12 0 , а из девяти компонент тензора
деформаций ij – только две сдвиговые компоненты 21
21 12 0
2
, а остальные
компоненты равны нулю. В этом случае для девиатора тензора напряжений ( )ijs t в
(1.1) получаем
21
0 12 21 21
0 ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( )
0 0 0
ij ij ij
t
s t t t t s t t
, (2.5)
а для компонент девиатора тензора деформаций ( )ije t –
21
0 12 21 21
0 ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( )
0 0 0
ij ij ij
t
e t t t t e t t
, (2.6)
так как
11 22 33
0 0
3
и 0
0
1
0
3 B
.
Соотношения (2.5) и (2.6) показывают, что при чистом кручении уравнение сдви-
говой ползучести в девиаторной форме в (1.1) и одномерное уравнение сдвиговой
ползучести в (1.4) приводят к одним и тем же значениям деформаций сдвиговой пол-
зучести 21( )t . Отсюда следует, что
21 21 21; ( ) ( ); ( ) ( )s s sK t K t R t R t (2.7)
и определяющие уравнения сдвиговой ползучести и релаксации при сложном напря-
женном состоянии принимают вид
21
21 21 21
0 0
( )
( ) ( ) ( ) ; ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ,
2 2
t t
ij
ij ij ij ij ij
s t
e t K t s d s t Ge t G R t e d
G G
(2.8)
где параметры ядер 21K t и 21R t определяются на основе результатов испы-
таний на ползучесть при чистом кручении.
2.3. Ядра объемной ползучести и релаксации. Ядро объемной ползучести
( )K t определяется из соотношения (1.4) с учетом равенства между ядрами сдви-
говой ползучести при сложном напряженном состоянии и чистом кручении (2.7).
82
Подставляя (2.7) в (1.4), для ядра объемной ползучести ( )K t получаем
11 11 21 21
3 2(1 )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
K t K t K t
, (2.9)
где 1
2
E
G
– коэффициент Пуассона.
В этом случае определяющие уравнения объемной ползучести и релаксации при
сложном напряженном состоянии принимаются в виде
0
11 11 21 21 0
0
( ) 1 3 2(1 )
( ) ( ) ( ) ( ) ;
1 2 1 2
tt
t K t K t d
B B
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
t
t B t B R t d (2.10)
где ядро объемной релаксации ( )R t является резольвентой ядра объемной ползу-
чести ( )K t .
Практический интерес представляет также задача установления непосредственной
зависимости между ядром объемной релаксации ( )R t при сложном напряженном
состоянии и ядрами продольной 11( )K t и сдвиговой 21( )K t ползучести при одно-
осном растяжении и чистом кручении. Для этого воспользуемся фундаментальным
свойством резольвентных операторов вязкоупругости Работнова [14], которое в случае
использования ядер наследственности (1.5) может быть представлено соотношением
1
1 ( , )
1 ( , )
R t
K t
, (2.11)
где принято, что параметр оказывает более существенное влияние на процессы
ползучести и релаксации по сравнению с параметром .
Поскольку оператор объемной ползучести с ядром (2.9) задается линейным агре-
гатом 2-х резольвентных операторов, то фундаментальное соотношение (2.11) для
обращения линейного агрегата резольвентных операторов можно представить в виде
2
2
1
1
1
1 ( , ) 1 ( , )
1 ( , )
r r
r
n n
n
R t x K t y
a K t b
, (2.12)
где ( )K – ядра ползучести, задаваемые аналогично ядру (2.9) в виде суммы ядер про-
дольной 11( )K и сдвиговой 21( )K ползучести, а коэффициенты na и nb задаются
соотношениями
1 11 2 21 1 11 2 21
3 1
; 2 ; ; .
1 2 1 2
a a b b
(2.13)
Здесь 11 , 11 , 21 , 21 – параметры ядер ползучести и релаксации в (1.5), опреде-
ляемые в базовых экспериментах.
В итоге, для ядра объемной релаксации ( )R , исходя из (2.12), получаем соотно-
шение
1 1 2 1 2 2 2 1
11 21
1 2 1 2
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
y b b y y b y b
R t K t K t
y y y y
, (2.14)
где реологические параметры 1y и 2y определяются из совместного решения сле-
дующих уравнений:
83
1 2 1 2
1 2 1 2
1 0; 1 0 1, 2 ,
n n
a a x x
n
b y b y b y b y
полученных путем приведения уравнения (2.12) к общему знаменателю.
§3. Методы определения параметров ядер наследственности.
Параметры ядер сдвиговой и объемной ползучести и релаксации в определяющих
уравнениях (1.1) и (1.2) определяются, исходя из соотношений (2.7), (2.9) и (2.14),
связывающих эти ядра с ядрами продольной и сдвиговой ползучести, задаваемых в
одномерных базовых экспериментах.
3.1. Определение параметров ядер ползучести в базовых экспериментах. В ка-
честве базовых экспериментов рассматриваются испытания тонкостенных трубчатых
образцов на ползучесть при одноосном растяжении и при чистом кручении и посто-
янных значениях приложенных напряжений. По данным испытаний на одноосное
растяжение определяются параметры ядер продольной ползучести 11( )K t , а на
чистое кручение – параметры ядер сдвиговой ползучести 21( )K t .
Параметры ядер продольной и сдвиговой ползучести при одноосном растяжении
и чистом кручении определяются по результатам аппроксимации экспериментальных
значений функций ползучести соответствующими аналитическими выражениями
ядер ползучести.
Задача, исходя из (1.4) и (1.5), сводится к минимизации функционала [10]
11
2
(1 )(1 )
11 11
11 11 11 11
1 1 0 11
( , ) ( )1
( , , ) 1
1 (1 )(1 )
nnm s
k i
k i nk
t t
F
E n
(3.1)
и, соответственно, функционала
21
2
(1 )(1 )
21 21
21 21 21 21
1 1 0 21
( , ) ( )1
( , , ) 1
1 (1 )(1 )
nnm s
k i
k i nk
t t
F
G n
. (3.2)
Здесь k , k – набор постоянных значений нормальных и касательных напряжений;
11 , 21 – значения продольных линейных и угловых деформаций ползучести; it –
временные интервалы разбиения функции ползучести; i – число интервалов разбие-
ния; 11 , 11 , 11 – параметры ядер продольной ползучести; 21 , 21 , 21 – парамет-
ры ядер сдвиговой ползучести.
3.2. Определение параметров ядер сдвиговой и объемной ползучести. Парамет-
ры s , s , s ядер сдвиговой ползучести ( )sK t при сложном напряженном со-
стоянии совпадают, исходя из условия (2.7), с параметрами 21 , 21 , 21 ядер сдвиго-
вой ползучести при чистом кручении, так что
21s ; 21s ; 21s , (3.3)
методика определения которых изложена в разделе 3.1.
Параметры , , ядер объемной ползучести ( )K t при сложном напря-
женном состоянии определяются по результатам аппроксимации дискретных значе-
ний ядер ( )jK t дробно-экспоненциальной функцией (1.5). Дискретные значения ядер
( )jK t рассчитываются по уравнению (2.9) для нескольких моментов времени jt .
В области сингулярности ( 0)t дискретные значения ядер объемной ползучести
учитываются с помощью весовых функций [2]. В этом случае задача определения па-
раметров ядер объемной ползучести сводится к минимизации функционала
84
2
1
, , ( ) , ,
n
j j
j
F p t K t K t
2
, , ,
n
j
j n
K t K t
(3.4)
где весовая функция ( )jp t задается соотношением
1
, ,
( ) 1
, ,
m
j
j
K t K t
p t
K t K t
,
причем ( ) 0jp t , когда , ,K t и ( ) 1jp t , когда , ,jK t K t .
Здесь jK t – набор дискретных значений ядер объемной ползучести; , ,K t
– функция, задающая ядро объемной ползучести аналитически; t – некоторый кри-
тический момент времени, ограничивающий область проявления динамических эф-
фектов; n – число дискретных значений ядер ползучести в области 0, t ; m – порядок
моментов разностей ( m = 2, 3, 4, 5, ...).
3.3. Определение параметров ядер сдвиговой и объемной релаксации. Ядра ре-
лаксации ( )sR t и ( )R t в (1.2) являются резольвентами ядер ползучести
( )sK t и ( )K t в (1.1). Эти ядра связаны интегральным соотношением
0
( ) ( ) ( ) ( )
t
K t R t K t R d , (3.5)
откуда следует, что ядро релаксации ( )R t может быть построено по ядру ползучести
( )K t , а параметры соответствующих ядер будут совпадать.
Параметры , , ядер объемной релаксации ( )R t в (1.2) могут быть так-
же определены по результатам аппроксимации дискретных значений ядер ( )jR t
дробно-экспоненциальной функцией (1.5). Дискретные значения ядер ( )jR t рассчи-
тываются по уравнению (2.14) для нескольких моментов времени jt .
Задача определения параметров ядер объемной релаксации, по аналогии с задачей
определения параметров ядер объемной ползучести согласно (3.4), сводится к мини-
мизации функционала
2
1
, , ( ) , ,
n
j j
j
F p t R t R t
2
, , ,
n
j
j n
R t R t
(3.6)
где весовая функция ( )jp t задается соотношением
1
, ,
( ) 1
, ,
m
j
j
R t R t
p t
R t R t
,
причем ( ) 0jp t , когда ( , , ) ,R t и ( ) 1jp t , когда ( ) ( , , )jR t R t .
85
Здесь ( )jR t – набор дискретных значений ядер объемной релаксации; ( , , )R t –
функция, задающая ядро объемной релаксации аналитически. Остальные обозначения
совпадают с принятыми в (3.4).
§4. Расчет деформаций ползучести.
Методы идентификации ядер наследственности линейно-вязкоупругих материа-
лов при сложном напряженном состоянии, изложенные в разделах 2 и 3, апробируют-
ся экспериментально на задачах расчета деформаций ползучести тонкостенных труб-
чатых образцов при нагружении растяжением с кручением и растяжением с внутрен-
ним давлением. Рассчитываются деформации продольной, сдвиговой и окружной
ползучести, а также деформации объемной ползучести.
4.1. Объект исследования. Упругие постоянные. Параметры ядер. В качестве
объекта исследования выбраны тонкостенные трубчатые образцы из полиэтилена вы-
сокой плотности ПВП наружным диаметром 51 мм и толщиной стенки 5,6 мм. В экс-
периментах реализованы одноосное растяжение, чистое кручение и кручение с растя-
жением. Экспериментальные данные заимствованы из [6].
Область линейности вязкоупругих свойств рассматриваемых материалов при
сложном напряженном состоянии обосновывается, исходя из соблюдения условия
однородности процессов продольной и сдвиговой ползучести при одноосном растя-
жении и при чистом кручении.
Примем, что материал является линейно-вязкоупругим, если функция продольной
ползучести 11( )J t
11,1 11,1 11,2 11,2 11, 11,
11,1 11,2 11,
11,1 11,2 11,
( ; ) ( ; ) ( ; )
( ) ( ) ( )j j q j q
j j q j
q
t t t
J t J t J t
(4.1)
инвариантна по отношению к уровню напряжений растяжения 11, ( 1, )q q для не-
скольких моментов времени ( 1, )jt j r , а расчетное значение квантиля статистики ,kt
, 11, 11 ,
1
1
( ) ( )
( ) ( )
m
k q j j k
kj j j j
n n
t J t J t t
s t m s t
, (4.2)
больше его критического значения ,kt
и, соответственно, функция сдвиговой ползу-
чести 21( )jJ t
21,1 21,1 21,2 21,2 21, 21,
21,1 21,2 21,
21,1 21,2 21,
( ; ) ( ; ) ( ; )
( ) ( ) ( )j j q j q
j j q j
q
t t t
J t J t J t
(4.3)
инвариантна по отношению к уровню напряжений кручения 21, ( 1, )q q для несколь-
ких моментов времени ( 1, )jt j r , а расчетные значения квантиля статистики ,kt
, 21, 21 ,
1
1
( ) ( )
( ) ( )
m
k q j j k
kj j j j
n n
t J t J t t
s t m s t
, (4.4)
больше его критического значения ,kt
. Здесь 11, ( )q jJ t и 21, ( )q jJ t – значения функций
продольной и сдвиговой ползучести в момент времени jt ; 11( )jJ t и 21( )jJ t – выбо-
рочные средние значения функций ползучести 11, ( )q jJ t и 21, ( )q jJ t ; n – объем выбор-
ки (число функций ползучести); – максимальная погрешность между значениями
11, ( )q jJ t и 11( )jJ t и между значениями 21, ( )q jJ t и 21( )jJ t .
86
Согласно условиям (4.1) – (4.4), область линейности вязкоупругих свойств поли-
этилена высокой плотности ПВП ограничивается напряжениями 11 = 5,2 МПа и 21 =
= 3,3 МПа. В табл. 1 приведены значения упругих постоянных полиэтилена ПВП, а в
табл. 2 – значения параметров ядер наследственности, полученных согласно изложен-
ной в разделе 3 методике.
Таблица 1
Материал Е, МПа G, МПа В, МПа ν
Полиэтилен ПВП 2190,4 740,0 1,83·104 0,48
Таблица 2
11( )K t , 11( )R t , час-1 ( )sK t , ( )sR t , час-1 ( )K t , ( )R t , час-1
Материал
11 11 11 s s s
Полиэтилен
ПВП
-0,81 0,12 5,36 -0,83 0,13 5,40 -0,45 0,53 39,37
4.2. Продольная, сдвиговая и окружная ползучесть. Рассмотрим задачу расчета
деформаций продольной ползучести при одноосном растяжении, деформаций про-
дольной и сдвиговой ползучести при растяжении с кручением и деформаций про-
дольной и окружной ползучести при растяжении с внутренним давлением. Решение
строится на основе трехмерной модели ползучести (2.1) с использованием значений
упругих постоянных и значений параметров ядер наследственности, приведенных в
табл. 1 и 2.
Компоненты тензора напряжений ( )ij t при комбинированном нагружении тон-
костенных трубчатых образцов растяжением с кручением и растяжением с внутрен-
ним давлением представим, соответственно, в виде
11 21
12
0
( ) ( ) 0 0
0 0 0
ij t h t
и
11
22
0 0
( ) ( ) 0 0 ,
0 0 0
ij t h t
(4.5)
где 11 – нормальное растягивающее напряжение; 21 – касательное напряжение кру-
чения; 22 – окружное растягивающее напряжение; ( )h t – единичная функция Хеви-
сайда.
При комбинированном нагружении растяжением с кручением для деформаций
продольной ползучести 11( )t из (2.1) с учетом (1.5) и первого соотношения в (4.5)
при 11( )t const получаем уравнение
(1 ) (1 )100 100
11 11 11
0 0
( ) ( ) ( ) ( )1 1
( ) 1 1 ,
3 (1 )(1 ) 9 (1 )(1 )
sn nn nn n
s
s
n ns
t t
t
G n B n
(4.6)
а для деформаций сдвиговой ползучести 21( )t при 21( ) constt – уравнение
(1 )100
21 21
0
( ) ( )1
( ) 1
2 (1 )(1 )
snnn
s
s
n s
t
t
G n
(4.7)
11 11 0 11 21 21
2 1
; ;
3 3
s s
.
87
При комбинированном нагружении растяжением с внутренним давлением для
деформаций продольной ползучести 11( )t из (2.1) с учетом (1.5) и второго соотноше-
ния в (4.5) при 11( ) constt и 22 ( ) constt получаем уравнение
(1 )100
11 11 22
0
( ) ( )1
( ) (2 ) 1
6 (1 )(1 )
snnn
s
s
n s
t
t
G n
(1 )100
11 22
0
( ) ( )1
( ) 1 ,
9 (1 )(1 )
nnn
n
t
B n
(4.8)
а для деформаций окружной ползучести 22 ( )t при 11( ) constt и 22 ( ) constt –
уравнение
(1 )100
22 22 11
0
( ) ( )1
( ) (2 ) 1
6 (1 )(1 )
snnn
s
s
n s
t
t
G n
(1 )100
11 22
0
( ) ( )1
( ) 1 ,
9 (1 )(1 )
nnn
n
t
B n
(4.9)
11 11 22 22 22 11 0 11 22
1 1 1
(2 ); (2 ); ( ) .
3 3 3
s s
На рис. 1, в качестве примера, приведены результаты расчетов (линии) деформа-
цией продольной и сдвиговой ползучести (рис. 1, а) тонкостенных трубчатых образ-
цов при нагружении чистым растяжением, чистым кручением и растяжением с круче-
нием и деформаций продольной и окружной ползучести (рис. 1, б) тонкостенных
трубчатых образцов при чистом растяжении, чистом внутреннем давлении и растяже-
нии с внутренним давлением. Точками нанесены экспериментальные данные.
При чистом растяжении и растяжении с кручением деформации продольной пол-
зучести 11( )t рассчитываются по уравнению (4.6) при напряжениях 11 = 5,18 МПа и
21 = 0 (рис. 1, а: кривая 1; ○) и напряжениях 11 = 5,18 МПа и 21 = 2,22 МПа
(рис. 1, а: кривая 2; ●). Деформации сдвиговой ползучести 21( )t при чистом круче-
нии и растяжении с кручением рассчитываются по уравнению (4.7) при напряжениях
11 = 0 и 21 = 2,22 МПа (рис. 1, а: кривая 3; ) и напряжениях 11 = 5,18 МПа и
21 = 2,22 МПа (рис. 1, а: кривая 4; ).
Рис. 1
88
При чистом растяжении и растяжении с внутренним давлением деформации про-
дольной ползучести 11( )t рассчитываются по уравнению (4.8) при напряжениях
11 = 5,18 МПа и 22 = 0 (рис. 1, б: кривая 1; ○) и при напряжениях 11 = 5,18 МПа и
22 = 2,22 МПа (рис. 1, б: кривая 2). Деформации окружной ползучести 22 ( )t рассчи-
тываются по уравнению (4.9) при напряжениях 11 = 0 и 22 = 2,22 МПа (рис. 1, б:
кривая 3) и напряжениях 11 = 5,18 МПа и 22 = 2,22 МПа (рис. 1, б: кривая 4).
Как и следовало ожидать, исходное определяющее уравнение ползучести (2.1),
построенное исходя из принципа суперпозиции сдвиговой и объемной ползучести, не
позволяет учесть взаимовлияние нормальных и касательных компонент тензора на-
пряжений на процесс ползучести. В частности, из рис. 1, а видно, что расчетные кри-
вые продольной ползучести (кривые 1 и 2) не зависят от величины касательного на-
пряжения и совпадают. Расчетные кривые сдвиговой ползучести (кривые 3 и 4) не
зависят от величины нормального напряжения и также совпадают. Эксперименталь-
ные же данные (точки) свидетельствуют о существенном увеличении (до 30%) де-
формаций продольной и сдвиговой ползучести от воздействия соответственно каса-
тельных и нормальных напряжений.
Исходное определяющее уравнение ползучести (2.1) позволяет учесть влияние на
процесс ползучести двухосности напряженного состояния, заданного комбинациями
нормальных напряжений. Действительно, при комбинированном нагружении тонко-
стенных трубчатых образцов растяжением с внутренним давлением осевое напряже-
ние растяжения оказывает влияние на окружную ползучесть, а окружное напряжение –
на продольную ползучесть (рис. 1, б). Характерно, что окружное напряжение снижает
деформации продольной ползучести (кривые 1 и 2), а осевое напряжение снижает де-
формации окружной ползучести (кривые 3 и 4). Это снижение может достигать 80%.
4.3. Объемная ползучесть. Рассчитывается деформация объемной ползучести
при одноосном растяжении, при растяжении с кручением, под внутренним давлением
и при растяжении с внутренним давлением. Решение строится на основе определяю-
щего уравнения (1.1) с использованием значений упругих постоянных и значений па-
раметров ядра объемной ползучести, приведенных в табл. 1 и 2.
Для деформации объемной ползучести ( )t из (1.1) с учетом (1.5) при растяже-
нии с кручением и 11( ) constt получаем уравнение
(1 )100
11
0
( )1
( ) 1
3 (1 )(1 )
nnn
n
t
t
B n
, (4.10)
а при растяжении с внутренним давлением при 11( ) constt и 22 ( ) constt – урав-
нение
(1 )100
11 22
0
( )1
( ) 1
3 (1 )(1 )
nnn
n
t
t
B n
(4.11)
0 0 11
1 1
( ) ( );
3 3
t t
и 0 11 22
1
( )
3
.
Результаты расчетов (штриховые линии) деформаций объемной ползучести ( )t ,
выполненных по уравнениям (4.10) и (4.11), приведены на рис. 2 для трубчатых тон-
костенных образцов из полиэтилена высокой плотности ПВП при растяжении с кру-
чением (а) и при растяжении с внутренним давлением (б). Точками нанесены данные,
полученные исходя из соотношения
11( ) (1 2 ) ( )t t , (4.12)
89
где 11( )t – деформации продольной ползучести, измеренные в эксперименте; –
коэффициент Пуассона.
При растяжении с кручением деформации объемной ползучести ( )t рассчиты-
вались для напряжений 11 = 5,18 МПа и 21 = 2,22 МПа, а при растяжении с внутрен-
ним давлением – для напряжений 11 = 5,18 МПа и 22 = 2,22 МПа. Для сравнения
штрих-пунктирными линиями нанесены значения деформаций продольной ползуче-
сти 11( )t , рассчитанные для 11 = 5,18 МПа.
Расчетные значения деформаций объемной ползучести, как следует из рис. 2, су-
щественно отличаются от экспериментальной интерпретации согласно (4.12). Это
расхождение может быть обусловлено тем обстоятельством, что в (4.12) коэффициент
принят не зависящим от времени. В действительности, по-видимому, величина
со временем уменьшается.
Заключение.
Идентификация ядер наследственности изотропных линейно-вязкоупругих мате-
риалов при сложном напряженном состоянии выполнена для условий, когда закон
линейного деформирования можно представить в виде уравнения для сдвигов и урав-
нения объемного деформирования. В результате сформулированы зависимости между
ядрами сдвиговой и объемной ползучести при сложном напряженном состоянии и
ядрами продольной и сдвиговой ползучести при одноосном растяжении и чистом
кручении. В рамках выбранного подхода могут быть решены задачи расчета дефор-
маций продольной и окружной ползучести под действием внутреннего давления и
внутреннего давления с растяжением. Под действием растяжения с кручением и внут-
реннего давления с кручением взаимовлияние нормальных и касательных компонент
на процесс ползучести не учитывается.
Р Е ЗЮМ Е . Сформульовано залежності між ядрами повзучості, що задають зсувні та об’ємні
в'язкопружні властивості ізотропного лінійно-в'язкопружного середовища за умов складного напру-
женого стану, та ядрами повздовжньої та зсувної повзучості, що побудовані для одновісного розтягу
та чистого кручення. Визначальні рівняння в'язкопружності для складного напруженого стану вибра-
но у вигляді суперпозиції рівняння для зсувів та рівняння об’ємного деформування. Ядра спадковості
задано дробово-експоненційною функцією Работнова. Розв’язано та експериментально апробовано
задачі розрахунку деформацій повзучості тонкостінних труб за умов комбінованого навантаження
розтягом із крученням та розтягом із внутрішнім тиском.
1. Голуб В.П., Кобзарь Ю.М., Рагулина В.С. Метод определения параметров ядер наследственности
нелинейно-вязкоупругих материалов с использованием весовых функций // Теорет. и прикл. ме-
ханика. – 2009. – Вып. 46. – С. 70 – 80.
2. Голуб В.П., Кобзарь Ю.М., Рагулина В.С. Определение параметров ядер наследственности изо-
тропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии // Теорет. и
прикл. механика. – 2012. – № 5(51). – С. 26 – 35.
Рис. 2
90
3. Гольденблат И.И., Бажанов В.Л., Копнов В.А. Длительная прочность в машиностроении. – М.:
Машиностроение, 1977. – 248 с.
4. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. – М.: Наука. –
1970. – 240 с.
5. Колтунов А.А. Метод определения объемных и сдвиговых характеристик упруго-вязких наследст-
венных сред по экспериментам на одноосное растяжение (сжатие) // Механика полимеров. –
1969. – № 4. – С. 754 – 758.
6. Крегерс А.Ф., Вилкс У.К., Лейтане М.Я. Прямая и обратная ползучесть физически нелинейного
полимерного материала // Механика полимеров. – 1973. – № 5. – С. 786 – 795.
7. Christensen R.M. Theory of viscoelasticity. Аn Introduction. – New-York and London: Academic Press
Inc., 1971. – 338 p.
8. Findley W.N., Lai J.S., Onaran K. Creep and relaxation of nonlinear viscoelastic materials. – Amsterdam :
North-Holland Publishing Company, 1976. – 367 p.
9. Golub V. P., Ragulina V. S., Fernati P. V. Determining the Parameters of the Hereditary Kernels
of Nonlinear Viscoelastic Isotropic Materials in Torsion // Int. App. Mech. – 2015. – 51, N 2. –
P. 196 – 206.
10. Golub V.P., Fernati P.V., Lyashenko Ya.G. Determining the Parameters of the Fractional Exponential
Heredity Kernels of Linear Viscoelastic Materials // Int. App. Mech. – 2008. – 40, N 9. – P. 963 – 974.
11. Golub V.P., Pavluk Ya.V., Fernati P.V. Determining the Parameters of Fractional Exponential Hereditary
Kernels for Nonlinear Viscoelastic Materials // Int. App. Mech. – 2013. – 49, N 2. – P. 220 – 232.
12. Kaminsky A.A. Mechanics of the Delayed Fracture of Viscoelastic Bodies with Cracks: Theory and
Experiment (Review) // Int. App. Mech. – 2014. – 50 , N 5. – P. 485 – 549.
13. Kaminsky A.A., Selevanov M.F., Chernoivan Yu.A. Initial Fracture of a Viscoelastic Isotropic Plate with
Two Collinear Cracks of Equal Length // Int. App. Mech. – 2014. – 50, N 3. – P. 310 – 321.
14. Rabotnov Y.N. Creep problems in structural members. – Amsterdam: North-Holland Publishing Com-
pany, 1969. – 822 p.
Поступила 19.06.2014 Утверждена в печать 22.12.2015
|