О деформировании и кратковременной повреждаемости однонаправленного волокнистого физически нелинейного композита
Побудовано структурну теорію зв’язаних процесів деформування і короткочасної пошкоджуваності односпрямованих волокнистих композитних матеріалів з фізично нелінійними компонентами, діаграми деформування яких мають спадаючі гілки. Процес пошкоджуваності моделюється розсіяним руйнуванням мікрооб’ємів к...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2016
|
| Series: | Прикладная механика |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141053 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О деформировании и кратковременной повреждаемости однонаправленного волокнистого физически нелинейного композита / Л.П. Хорошун // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 3. — С. 71-82. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-141053 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1410532018-07-22T01:23:30Z О деформировании и кратковременной повреждаемости однонаправленного волокнистого физически нелинейного композита Хорошун, Л.П. Побудовано структурну теорію зв’язаних процесів деформування і короткочасної пошкоджуваності односпрямованих волокнистих композитних матеріалів з фізично нелінійними компонентами, діаграми деформування яких мають спадаючі гілки. Процес пошкоджуваності моделюється розсіяним руйнуванням мікрооб’ємів компонентів і утворенням на їх місці стохастично розташованих квазісферичних мікропор. Умовою короткочасного руйнування мікрооб’єму матеріалу приймається деформаційний критерій міцності відносно другого інваріанта девіатора макродеформацій. Досліджено закономірність впливу об’ємного вмісту волокон на деформування і пошкоджуваність волокнистого односпрямованого композиту. A structural theory of coupled processes of deformation and short-time damageability is constructed for the unidirectional fibrous composite materials with the physically nonlinear components, diagrams of deformation of which have the decreasing branches. The process of damaging is modeled by the dispersed damage of component microvolumes and forming instead of them the stochastically arranged quasi-spherical micropores. As a condition of the short-time damage of microvolume of material, the deformation criterion of strength relative to the second invariant of macrostrain deviator is assumed. A regularity of effect of fiber volume fraction on deformation and damageability of the fibrous unidirectional composite is studied. 2016 Article О деформировании и кратковременной повреждаемости однонаправленного волокнистого физически нелинейного композита / Л.П. Хорошун // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 3. — С. 71-82. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141053 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Побудовано структурну теорію зв’язаних процесів деформування і короткочасної пошкоджуваності односпрямованих волокнистих композитних матеріалів з фізично нелінійними компонентами, діаграми деформування яких мають спадаючі гілки. Процес пошкоджуваності моделюється розсіяним руйнуванням мікрооб’ємів компонентів і утворенням на їх місці стохастично розташованих квазісферичних мікропор. Умовою короткочасного руйнування мікрооб’єму матеріалу приймається деформаційний критерій міцності відносно другого інваріанта девіатора макродеформацій. Досліджено закономірність впливу об’ємного вмісту волокон на деформування і пошкоджуваність волокнистого односпрямованого композиту. |
| format |
Article |
| author |
Хорошун, Л.П. |
| spellingShingle |
Хорошун, Л.П. О деформировании и кратковременной повреждаемости однонаправленного волокнистого физически нелинейного композита Прикладная механика |
| author_facet |
Хорошун, Л.П. |
| author_sort |
Хорошун, Л.П. |
| title |
О деформировании и кратковременной повреждаемости однонаправленного волокнистого физически нелинейного композита |
| title_short |
О деформировании и кратковременной повреждаемости однонаправленного волокнистого физически нелинейного композита |
| title_full |
О деформировании и кратковременной повреждаемости однонаправленного волокнистого физически нелинейного композита |
| title_fullStr |
О деформировании и кратковременной повреждаемости однонаправленного волокнистого физически нелинейного композита |
| title_full_unstemmed |
О деформировании и кратковременной повреждаемости однонаправленного волокнистого физически нелинейного композита |
| title_sort |
о деформировании и кратковременной повреждаемости однонаправленного волокнистого физически нелинейного композита |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141053 |
| citation_txt |
О деформировании и кратковременной повреждаемости однонаправленного волокнистого физически нелинейного композита / Л.П. Хорошун // Прикладная механика. — 2016. — Т. 52, № 3. — С. 71-82. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT horošunlp odeformirovaniiikratkovremennojpovreždaemostiodnonapravlennogovoloknistogofizičeskinelinejnogokompozita |
| first_indexed |
2025-07-10T11:50:48Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:50:48Z |
| _version_ |
1837260605453500416 |
| fulltext |
2016 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 52, № 3
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2016, 52, №3 71
Л .П .Х о р ош у н
О ДЕФОРМИРОВАНИИ И КРАТКОВРЕМЕННОЙ
ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ОДНОНАПРАВЛЕННОГО ВОЛОКНИСТОГО
ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО КОМПОЗИТА
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова,3, 03057, Киев, Украина:e-mail:stochac@inmech.kiev.ua
Abstract. A structural theory of coupled processes of deformation and short-time dam-
ageability is constructed for the unidirectional fibrous composite materials with the physi-
cally nonlinear components, diagrams of deformation of which have the decreasing
branches. The process of damaging is modeled by the dispersed damage of component mi-
crovolumes and forming instead of them the stochastically arranged quasi-spherical micro-
pores. As a condition of the short-time damage of microvolume of material, the deformation
criterion of strength relative to the second invariant of macrostrain deviator is assumed. A
regularity of effect of fiber volume fraction on deformation and damageability of the fibrous
unidirectional composite is studied.
Key words: fibrous unidirectional composite, short-time damageability, physical
nonlinearity, stochastic structure, effective characteristics, balance equation of damage
(porocity).
Введение.
В механике разрушения наряду с теорией трещин [1, 6, 10, 13] существенное вни-
мание уделяется теории накопления повреждений [2 – 5, 7 – 9, 11, 12, 14], слияние
которых ведет к образованию магистральных трещин. Здесь можно выделить направ-
ление, базирующееся на структурных представлениях [3, 7, 9 – 12, 14], и направления,
связанные с введением определенных формальных параметров повреждаемости и
уравнений, описывающих их эволюцию [2, 4, 5].
Структурные модели связанных процессов деформирования и повреждаемости
однородных и композитных материалов [7, 9, 11, 12] основаны на представлении о
стохастической микронеоднородности прочностных свойств материала, что ведет при
нагружении к появлению и росту числа рассеянных микроразрушений. Моделирова-
ние микроразрушений квазисферическими порами дает возможность описать связан-
ные процессы деформирования и повреждаемости материала на основе моделей и
методов механики стохастически неоднородных сред [8].
Разрушение микрообъемов материала в работах [7, 11, 12] определено силовыми
критериями прочности Губера – Мизеса или Шлейхера – Надаи относительно соот-
ветствующих микронапряжений. Это позволило исследовать закономерности роста
поврежденности (пористости) материала с увеличением макродеформаций и нели-
нейности зависимостей макронапряжений от макродеформаций, обусловленной по-
вреждаемостью, для однородных и композитных материалов при заданных законах
(линейных и нелинейных) деформирования неповрежденной части материала в случае
однозначных зависимостей между микронапряжениями и микродеформациями. Оче-
видно, что при силовом критерии микропрочности относительно микронапряжений
повреждаемость материала можно описать только для восходящей части нелинейной
диаграммы деформирования микрообъема.
72
Данная работа посвящена построению структурной модели кратковременной по-
вреждаемости однонаправленного волокнистого композитного материала на основе
деформационного критерия микропрочности компонентов. Это дает возможность
описать полный ресурс несущей способности композитного материала, включая и
ниспадающие участки деформирования компонентов. Условие кратковременного раз-
рушения микрообъемов компонентов принято в виде деформационного критерия
прочности относительно вторых инвариантов девиаторов микродеформаций компо-
нентов. Пределы кратковременной прочности компонентов являются случайными
функциями координат, одноточечные распределения которых описываются степен-
ными функциями на некотором отрезке или распределениями Вейбулла.
Деформированное состояние и эффективные деформативные свойства компонен-
тов с системой стохастически расположенных микроразрушений определяются на
основе стохастических уравнений нелинейной упругости пористых сред при заданных
макродеформациях пористых компонентов. Макродеформации пористых компонен-
тов и эффективные деформативные свойства волокнистого композита определяются
на основе стохастических уравнений нелинейной упругости однонаправленного во-
локнистого нелинейно упругого материала при заданных макродеформациях компо-
зита. Исходя из условия эргодичности случайных полей кратковременной микро-
прочности компонентов и свойств функций распределения, строятся уравнения ба-
ланса поврежденности (пористости) компонентов. Это позволяет замкнуть систему
уравнений, описывающих связанные процессы деформирования однонаправленного
волокнистого физически нелинейного материала и повреждаемости его компонентов
на всем диапазоне микродеформаций неразрушенных частей компонентов.
На основе изложенной теории рассмотрены задачи о деформировании и повреж-
даемости однонаправленного волокнистого материала при условии, что волокна де-
формируются линейно-упруго без повреждений, а в нелинейно-упругом связующем,
имеющем ниспадающую ветвь диаграммы деформирования, происходят микропо-
вреждения. Исследовано влияние объемного содержания волокон на характер диа-
грамм деформирования композита и вид зависимостей упругих свойств от макроде-
формаций.
§1. Исходные уравнения.
Рассмотрим двухкомпонентный композитный материал, образованный системой
однонаправленных непрерывных изотропных волокон и связывающих их изотропной
матрицей, имеющих объемные содержания соответственно 1 2,c c . Упругое деформиро-
вание компонентов принимаем физически нелинейным, которое сопровождается обра-
зованием рассеянных разрушений микрообъемов, обусловленным стохастической не-
однородностью микропрочности. Разрушенные микрообъемы компонентов моделируем
квазисферическими порами, причем их размеры и расстояния между ними принимаем
пренебрежимо малыми по сравнению с диаметрами волокон и расстояниями между
ними. Обозначим начальные пористости и полные пористости компонентов, соответст-
венно, 10 20,p p и 1 2,p p , объемные модули сжатия и модули сдвига неразрушенных
частей компонентов, соответственно, 1 2,K K и 1 2, , а также эффективные модули
сжатия и модули сдвига пористых компонентов – соответственно, * *
1 2,K K и * *
1 2, .
Тогда определение напряженно-деформированного состояния и эффективных
свойств однонаправленного волокнистого материала с пористыми компонентами сво-
дится к двум однотипным последовательным задачам: 1) определение напряжений и
деформаций неразрушенных частей компонентов 1
ij 1
ij 2
ij 2
ij и эф-
фективных свойств пористых компонентов * *
1 1,K и * *
2 2,K при заданных макроде-
формациях пористых компонентов *1
ij *2
ij и пористостях 1 2,p p ; 2) определе-
73
ние напряженно-деформированного состояния пористых компонентов *1
ij *1
ij
*2
ij *2
ij и эффективных свойств однонаправленного волокнистого материала
*
11 , *
12 , *
13 , *
33 , *
44 при заданных макродеформациях композита ij .
Каждая из выше указанных задач сводится к следующей формулировке. Рассмат-
ривается двухкомпонентный стохастический композитный материал с идеальной свя-
зью компонентов, представляющий собой микронеоднородную физически нелиней-
ную статистически однородную упругую среду. Тогда зависимости между микрона-
пряжениями ij и микродеформациями ij для произвольной точки можно предста-
вить в виде
( )ij ijmn mn , (1.1)
где тензор модулей упругости ijmn , детерминировано зависящий от деформаций
, является случайной статистически однородной функцией координат rx .
Если макрообъем композита находится в условиях макрооднородного деформи-
рования, то микронапряжения ij и микродеформации ij будут статистически одно-
родными случайными функциями координат, удовлетворяющими свойству эргодич-
ности. Поэтому их математические ожидания ij ij в произвольной точке
макрообъема равны, соответственно, макронапряжениям и макродеформациям [8]. На
основе уравнений равновесия
, 0ij j , (1.2)
соотношений Коши
( , ) , ,
1
2ij i j i j j iu u u (1.3)
и зависимостей (1.1) приходим к физически и статистически нелинейным уравнениям
равновесия относительно перемещений iu
, ,
( ) 0ijmn m n j
u . (1.4)
Представляя случайные поля напряжений, деформаций и перемещений в виде
суммы математических ожиданий и флуктуаций
0
ij ij ij ; 0
ij ij j ; 0
i ij j iu x u , (1.5)
приведем уравнение (1.4) к виду
0
,
,
( ) 0c c
ijmn m nj ijmn ijmn mn
j
u , (1.6)
где c
ijmn – тензор модулей упругости некоторого однородного тела сравнения. Гра-
ничное условие на бесконечно удаленной границе S области V макрообъема соглас-
но (1.5) будет следующим:
0 0i Su . (1.7)
С помощью функции Грина (1) (2)
ij r rG x x , удовлетворяющей уравнению
74
(1) (2) (1) (2)
, ( ) ( ) 0c
ijmn mk jn r r r r ikG x x x x , (1.8)
краевая задача (1.6), (1.7) сводится к интегральному уравнению относительно дефор-
маций
(1) (1) (2) (2) (2) (2)( ) ( ) c
ij ij ijpq r r pqmn pqmn mnK x x , (1.9)
где интегральный оператор ijpqK определяется правилом
(2)
(1) (2) (2) (1) (2) (2) (2)
( , )( ) ( )ijpq r r ip j q r r
V
K x x G x x dV , (1.10)
причем индекс в круглых скобках вверху обозначает соответствующую точку про-
странства.
Нелинейные зависимости (1.1) для точки, находящейся в k -компоненте, имеют
вид
( )k k k k
ij ijmn mn , (1.11)
где напряжения и деформации можно представить суммами средних и соответствую-
щих флуктуаций по k -компоненту
0k k k
ij ij ij , 0k k k
ij ij ij . (1.12)
Пренебрегая флуктуациями 0k
ij , 0k
ij , из (1.11), (1.12) получаем
k k k k
ij ijmn mn , (1.13)
откуда усреднением по макрообъему находим выражение для макронапряжений
N -компонентного материала
1
( )
N
k k k
ij k ijmn mn
k
c
. (1.14)
Усредним интегральное уравнение (1.9) по условной плотности (1) (2)( , ,ij ijf
(2) (1) )ijmn v (плотность распределения деформаций в точках (1)
rx , (2)
rx и модулей упруго-
сти в точке (2)
rx при условии, что точка (1)
rx находится в v -компоненте). Тогда, пренеб-
регая флуктуациями деформаций в пределах компонента, получим систему нелиней-
ных алгебраических уравнений относительно средних по компонентам деформаций
1
( )
N
v vk k k c k
ij ij ijpq pqmn pqmn mn
k
K
( 1,..., )v N . (1.15)
Матричный оператор vk
ijpqK определяется согласно (1.10) равенством
(1) (2) (1) (2)vk
ijpq ijpq r r vk r rK K x x p x x ( , 1, ..., )v k N , (1.16)
где (1) (2) (2) (1)
vk r r vkp x x f – вероятность перехода из v -компонента в точке (1)
rx
в k -компонент в точке (2)
rx , удовлетворяющая условиям
75
( ) ( )k vk r v vk rc p x c p x , (0)vk vkp , ( )k kp c ,
1
( ) 1
N
vk r
k
p x
. (1.17)
Рассмотрим двухкомпонентный композитный материал с изотропной матрицей и
изотропными однонаправленными квазисфероидальными включениями, т.е.
2k k k k
ijmn k ij mn k ijmnI ( 1, 2)k ; (1.18)
2c
ijmn c ij mn c ijmnI ; 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3expvk k vk kp c c n x x n x
,
где k , k , c , c – модули упругости компонентов и тела сравнения;
1
2ijmn im jn in jmI – единичный тензор; 1 2,n n – величины, обратные к полу-
осям квазисфероидальных включений в поперечном и продольном направлениях.
В этом случае оператор (1.16) имеет вид
1 2 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 32vk
ijpq vk k ij pq ijpq ij p q i j pq p q i j p qK c a a I a a
5 3 3 3 3 3 3 3 32i pq j j pq i i j p qa I I ; (1.19)
1 2
1
1
8 2
c c
c c c
s s
a
;
1 2
2
3 1
4 2
c c c c
c c c
s s
a
;
1 2
3
5 1
8 2
c c
c c c
s s
a
;
1 2
4
5 13 5
8 2
c c c c c c
c c c
s s
a
;
1 2
5
2 5 5
4 2
c c c c c
c c c
s s
a
; 1 2
1
1
s
s
n
;
2
1
2 2
1 1 2
2 1
n s
s
n
; 1
2
n
n
n
;
2
2
2
2
ln 1 , 1;
1
arcsin 1 , 1.
1
n
n n n
n
s
n
n n
n
Отсюда, как предельные случаи при 0,n ,n 1n , следуют выражения опе-
ратора для слоистых, однонаправленных волокнистых и зернистых материалов, соот-
ветственно.
§2. Кратковременная повреждаемость однонаправленного волокнистого ма-
териала.
Принимаем, что модули объемного сжатия волокон 1K и связующего 2K посто-
янны, а модули сдвига 1 , 2 заданы функциями
76
0
0
0 0
; ;
2
1 ; ;
22
i i
i
i
i
i
ii i i
i i
i i
k
J
J
k k
J
J
(2.1)
1
2i i i
pq pqJ 1,2i ,
где i
pq – девиатор средних по неразрушенной части i -компонента деформаций.
При этом согласно (1.15) – (1.19) для 1n деформации i
pq и эффективные моду-
ли пористых волокон и связующего *
vK , *
v определяются соотношениями
*vv vv
pq ijpq ijpq pqv
v v v v v
K
V D
K K p J
;
2
0* 4 1
4 3 4
v v
v
v v
p
K
p
;
2
0*
ˆ 1
ˆ1 1
v
v v v
v v
v v v
J p
J p
;
2
0*
0
1
1 1
v v
v
v v
p
p
; (2.2)
0 ˆ v
v v v J ; 0
4
1
3v v vK p ; 0
1
1v v v
v
p
;
0
v
v
v
K
;
0
0
6 2
9 8
v v
v
v v
K
K
;
1
3ijpq ij pqV ;
1 2
2 3ijpq ip jq iq jp ij pqD
1,2v .
Средние деформации *v
ij v -компонента связаны с макродеформациями
ij , согласно (1.15) – (1.19) для n , соотношениями
* * * *
11 1 11 2 22 3 33
v l l l ; * * *
12 1 2 12( )l l
;
* * * *
22 2 11 1 22 3 33l l l
; * *
13 4 13l
; (2.3)
*
33 33
v ; * *
23 4 23
v l ,
где величины *
1l , *
2l , *
3l , *
4l определяются формулами
1 1
* 1 2 1 2
1 * * * * * * * * * * * *
1 2 1 2
1 1 1
2 v v
c c c c
l
k k k k k k m m m m m m
;
1 1
* 1 2 1 2
2 * * * * * * * * * * * *
1 2 1 2
1 1 1
2 v v
c c c c
l
k k k k k k m m m m m m
; (2.4)
1 * *
* *1 2 1 1 2 2
3 * * * * * * * * * *
1 2 1 2
1
2( )
v
v
c c c c
l
k k k k k k k k k k
;
77
1
* 1 2
4 * * * * * *
1 2
1
v
c c
l
; * * *2
3
K ; * * *1
3v v vk K ;
* *
v vm ; * *
ck m ;
* *
*
* *2
c c
c c
k m
m
k m
;
1
* 1 2
* *
10 20
c
c c
m
;
1
* *1 2
* *
1 21
1
3c c
c c
k m
K K
; * *
c ; * *
c cm .
Здесь принято, что жесткость поврежденных волокон больше жесткости поврежден-
ного связующего.
Эффективные модули однонаправленного волокнистого материала, согласно
(1.14), (1.18), (1.19), (2.4), определяются выражениями
1* *
* 1 1 2 2 1 2
* * * * * * * *
1 2 1 2
c k c k c c
k
k k k k k k k k
;
1* *
* 1 1 2 1 1 2
* * * * * * * *
1 2 1 2
c c c c
m
m m m m
;
* * *
11 k m ; * * *
12 k m ;
2 1* *
* 1 1 2 2 1 2
13 * * * * * * * *
1 2 1 2
c c c c
k k k k k k k k
;
2 1* *
* * * * * 1 1 2 2 1 2
33 1 1 1 2 2 2 * * * * * * * *
1 2 1 2
2 2
c c c c
c c
k k k k k k k k
2 2* *
1 1 2 2
* * * *
1 2
c c
k k k k
; (2.5)
1* *
* 1 1 2 2 1 2
* * * * * * * *
1 2 1 2
c c c c
.
Из соотношений (2.2) – (2.4) определяем
*1
ˆ1 1
v
v
v v v
p
J J
J p
;
2 2 22 * *
1 2 1 2 11 22 11 22 1 2
2
2
3
*ν * * * *
εJ l l l l ε ε l l
2* * * * 2
1 2 3 11 22 33 3 33
2 2
(1 ) 1 2
3 3
l l l l
+ 2* * 2
1 2 122 l l 2
1
2* 2 2
4 13 23( )l
. (2.6)
78
Если принять условие разрушения микрообъема неразрушенной части v -компонента
в виде деформационного критерия прочности
v
vJ r ( 1, 2)v (2.7)
и учесть, что предел прочности vr образует эргодическое случайное поле, то, исходя
из свойств одноточечной функции распределения ( )v vF r и моделируя разрушенные
микрообъемы случайно расположенными квазисферическими порами, приходим к
уравнению баланса поврежденности (пористости) v -компонента
0 01 v
v v v vp p p F J . (2.8)
На основе (2.6), (2.8) получим систему нелинейных уравнений относительно инвари-
антов vJ и пористостей vp
2 2 2* * * *
1 2 1 2 11 22
2
ˆ1 1 1
3
v v
v v v vJ J p p l l l l
2
* * * * *
1 2 11 22 1 2 3 11 22 33
2
2 1
3
l l l l l
2* 2
3 33
2
1 2
3
l
2 1 22
* * 2 * 2 2
1 2 12 4 13 232 ;l l l
0 01 v
v v v vp p p F J ( 1,2)v . (2.9)
Рассмотрим случаи задания простых макродеформаций. В случае одноосной де-
формации поперек волокон
11 22 33 12 13 230, 0 (2.10)
приходим к таким равенствам:
2 2 22* * * * * * * * * * * * * *
1 2 1 2 21 1 2 21 1 2 3 21 31
2 2
1 2 1 1
3 3v v v v v v v v vJ l l l l l l l l l
2 2
1 2
* *
3 31 111 2 ;vl
*
22 21 11 ; *
33 31 11 ;
2
2
* * *
* * 12 33 13
21 12 * * *
11 33 13
;
2
* * *
* 11 12 13
31 * * *
11 33 13
( )
;
* * * * *
11 11 21 12 31 13 11( ) . (2.11)
При одноосной деформации вдоль волокон
33 0; 11 22 12 13 23 0 (2.12)
имеют место соотношения
79
2 2 2 2 2 2
1 22
* * * * * * * * * * * * * *
1 2 1 2 13 1 2 13 1 2 3 13 3
8 4 2
2 1 1 2
3 3 3v v v v v vJ l l l l l l l l l l
33 ;
*
11 22 13 33 ; (2.13)
*
* 13
13 * *
11 12
;
* * *
33 33 13 13 332 .
В случае сдвиговых деформаций
12 11 22 33 13 230; 0 (2.14)
и
13 11 22 33 12 23 0; 0 (2.15)
имеем, соответственно, формулы
* * *
1 2 122 ;J l l
*
12 12 2m ; (2.16)
* *
4 132 ;J l
*
13 13 2 . (2.17)
§3. Численные результаты.
Численное исследование совместных процессов деформирования и повреждаемо-
сти однонаправленного волокнистого материала проведено для стеклопластика на
основе отвержденного эпоксидного связующего, диаграмма деформирования которо-
го имеет ниспадающий участок с безразмерными численными значениями следующих
характеристик:
2
20
3,238;
K
2
20
0,02207;
k
2
20
0,05
. (3.1)
Одноточечная функция распределения предела микропрочности связующего при-
нята в виде распределения Вейбулла
2
2 20
2 2
2 2 20 2 20
0, ;
( )
1 exp , ;
n
r r
F r
m r r r r
(3.2)
2 1000;m 2 2;n 20 0,05;r 20 0p .
Материал волокон принимается линейно упругим с безразмерными характеристи-
ками
1
20
33,584
K
; 1
20
25,188
, (3.3)
причем повреждаемость в материале волокон отсутствует, т.е. 1 10 0p p . В этом
случае система нелинейных уравнений (2.9) сводится к двум уравнениям
2 2 22 2 * * * *
2 2 2 2 21 22 21 22 11 22
2
ˆ1 1 1
3
J J p p l l l l
80
22
* * * * * * 2
21 22 11 12 21 22 23 11 22 33 23 33
2 2
2 1 1 2
3 3
l l l l l l
2
1 2
2* * 2 * 2 2
21 22 12 24 13 232 l l l
; 2
2 2p F J . (3.4)
Численное решение нелинейных урав-
нений (3.4) с учетом соотношений (2.2),
(2.4), (2.5), (2.11), (2.13) для рассматри-
ваемого однонаправленного волокнистого
композита при заданных одноосных мак-
родеформациях (2.10) и (2.12) представ-
лены на рис. 1 – 4 и 5 – 7, в виде зависи-
мостей пористости 2p , макронапряжений
11 11
20
1
,
33 33
20
1
и коэффициентов Пуассона *
21 , *
31 , *
13 ,
соответственно, от макродеформаций
11 и 33 для различных значений
объемного содержания волокон 1c .
Как видим, при одноосном растяже-
нии поперек волокон (2.10) повреждае-
мость связующего (рис. 1) более сущест-
венно зависит от объемного содержания
волокон, чем при одноосном растяжении
вдоль волокон (2.12) (рис. 5).
Закономерности зависимостей коэффи-
циентов Пуассона от объемного содержа-
ния волокон и макродеформаций имеют
более сложный характер (рис. 3, 4, 7).
Диаграммы деформирования при рас-
тяжении поперек волокон (рис. 2) имеют
восходящие и нисходящие участки, отлича-
ясь только количественно в зависимости от
объемного содержания волокон 1c . Нисхо-
дящие участки обусловлены совместным
влиянием нелинейности и повреждаемости
связующего. При растяжении вдоль воло-
кон влияние нелинейности и повреждаемо-
сти связующего на диаграммы деформиро-
вания является существенным лишь в ин-
тервале 10,001 0,05c (рис. 6). При этом
в интервале 10 0,011c диаграммы де-
формирования имеют три участка – восхо-
дящий, нисходящий и снова восходящий.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
81
Характерным для коэффициентов Пуассона *
21 , *
13 является наличие максимума
при определенных макродеформациях, соответственно, 11 0 и 33 0 для
всех объемных содержаний волокон. Для коэффициента Пуассона *
31 подобный мак-
симум наблюдается при 11 0 лишь для 1 0,04c .
Заключение.
Построение структурных моделей связанных процессов деформирования и по-
вреждаемости однородных и композитных материалов, основанных на представлении
о стохастической микронеоднородности упругих и прочностных свойств, сведено к
необходимости формулировки стохастических уравнений статики упругого тела, кри-
териев прочности микрообъемов неповрежденного материала и уравнений баланса
поврежденности (пористости). Применение силовых критериев микропрочности по-
зволяет построить модели только для восходящей части нелинейной диаграммы де-
формирования. Применение деформационных критериев дает возможность строить
модели для полной нелинейной диаграммы деформирования неразрушенных микро-
объемов однородных и композитных материалов. Исследование деформирования и
повреждаемости однонаправленного волокнистого композитного материала с нели-
нейно упругим связующим, имеющим ниспадающий участок диаграммы деформиро-
вания, позволило установить вид и количественные закономерности зависимости уп-
ругих свойств и поврежденности от макродеформаций композита для различного объ-
емного содержания армирующих волокон и построить соответствующие диаграммы
макродеформирования композита.
Рис. 7
Рис. 5
Рис. 4
Рис. 6
82
Р Е ЗЮМ Е . Побудовано структурну теорію зв’язаних процесів деформування і короткочасної
пошкоджуваності односпрямованих волокнистих композитних матеріалів з фізично нелінійними
компонентами, діаграми деформування яких мають спадаючі гілки. Процес пошкоджуваності
моделюється розсіяним руйнуванням мікрооб’ємів компонентів і утворенням на їх місці стохастично
розташованих квазісферичних мікропор. Умовою короткочасного руйнування мікрооб’єму матеріалу
приймається деформаційний критерій міцності відносно другого інваріанта девіатора
макродеформацій. Досліджено закономірність впливу об’ємного вмісту волокон на деформування і
пошкоджуваність волокнистого односпрямованого композиту.
1. Amar C.G. Delamination – a damage mode in composite structures // Eng. Frac. Mech. – 1988. – 29, N 5.
– P. 557 – 584.
2. Baste S., Audoin B. On internal variables in anisotropic damage // Eur. J. Mech. A. – 1991. – 10, N 6. –
P. 587 – 606.
3. Castaneda P.P., Willis J.R. The effect of spatial distribution on the effective behavior of composite mate-
rials and cracked media // J. Mech. and Plys. Solids. – 1995. – 43, N 12. – P. 1991 – 1951.
4. Chaboche J.L. Continuous damage mechanics – a tool to describe phenomena before crack initiation
// Nuclear. Eng. and Design . – 1981. – N 64. – P. 233 – 247.
5. Chandrakanth S., Pandey P.C. An isotropic damage model for ductile material // Eng. Fract. Mater. –
1995. – 50, N 6. – P. 457 – 465.
6. Guz A.N. Establishing the Foundations of the Mechanics of Fracture of Materials Compressed along
Cracks (Review) // Int.Appl. Mech. – 2014. – 50, N1. – P. 1 – 57.
7. Khoroshun L.P. Principles of the Micromechanics of Material Damage. 1.Short-Term Damage // Int.
Appl. Mech. – 1998. – 34, N 10. – P.1035 – 1041.
8. Khoroshun L.P. Matematical Models and Methods of the Mechanics of Stochastic Composites (Review)
// Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N10. – P. 1284 – 1316.
9. Khoroshun L.P. Structural Short-Term Damage Model with a Strain-Based Microfailure Criterion // Int.
Appl. Mech. – 2013. – 49, N 1. – P. 62 – 72.
10. Khoroshun L.P. Necking Near a Crack Tip in a Plate: a Plane Problem // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51,
N 3. – P. 326 – 341.
11. Khoroshun L.P., Nazarenko L.V. Deformation and Damage of Composites with Anisotropic Components
(Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N4. – P. 388 – 455.
12. Khoroshun L.P., Shikula E.N. Deformation and Damage of Composite Materials of Stochastic Structure:
Physically Nonlinear Problems (Review) // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N4. – P. 359 – 413.
13. Perez N. Fracture Mechanics. – Boston: Kluwer Academic Publishers, 2004. – 299 p.
14. Toi Y., Kiyosue T. Damage mechanics models for brittle microcracking solids based on three-
dimensional mesoscopic simulation // Eng. Fract. Mech. – 1995. – 50, N1. – P. 11 – 27.
Поступила 28.09.2013 Утверждена в печать 31.03.2016
|