Колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента

Колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента

Рассматриваются колебания гравитационно стабилизированной космической тросовой системы (КТС) при воздействии аэродинамического момента на низких околоземных почти круговых орбитах. Основное внимание сосредоточено на исследовании динамики класса малых КТС, создаваемых на основе тройного CubeSat. Тако...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2016
Автор: Маслова, А.И.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2016
Назва видання:Техническая механика
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141082
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента / А.И. Маслова // Техническая механика. — 2016. — № 3. — С. 57-67. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-141082
record_format dspace
spelling irk-123456789-1410822018-07-23T01:22:52Z Колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента Маслова, А.И. Рассматриваются колебания гравитационно стабилизированной космической тросовой системы (КТС) при воздействии аэродинамического момента на низких околоземных почти круговых орбитах. Основное внимание сосредоточено на исследовании динамики класса малых КТС, создаваемых на основе тройного CubeSat. Такой выбор обоснован необходимостью подготовки натурного эксперимента электродинамической КТС. Показано, что аэродинамический момент может существенно влиять на динамику рассматриваемого класса КТС и вызывать резонансы в колебаниях КТС, перпендикулярных плоскости орбиты. Для соблюдения режима гравитационной стабилизации необходимо, чтобы параметры КТС соответствовали ожидаемый расчетным значениям плотности атмосферы на предполагаемой орбите движения центра масс. Получены простые аналитические выражения, позволяющие оценить амплитуду колебаний КТС относительно центра масс. Результаты работы могут быть использованы при выборе параметров экспериментальной КТС и орбиты ее движения или для оценки аэродинамического воздействия на колебания КТС с выбранными параметрами. Розглядаються коливання гравітаційно стабілізованої космічної тросової системи (КТС) при впливі аеродинамічного моменту на низьких навколоземних майже колових орбітах. Основна увага зосереджена на дослідженні динаміки класу малих КТС, побудованих на основі потрійного CubeSat. Такий вибір обумовлено необхідністю підготовки натурного експерименту електродинамічної КТС. Показано, що аеродинамічний момент може істотно впливати на динаміку даного класу КТС і викликати резонанси в коливаннях КТС, що перпендикулярні площині орбіти. Для дотримання режиму гравітаційної стабілізації необхідно, щоб параметри КТС відповідали очікуваним розрахунковим значенням щільності атмосфери на заданій орбіті руху центру мас. Отримано прості аналітичні вирази, що дозволяють оцінити амплітуду коливань КТС відносно центру мас. Результати роботи можуть бути використані при виборі параметрів експериментальної КТС та її орбіти або для оцінки аеродинамічного впливу на коливання КТС з вибраними параметрами. Oscillations of the gravity-stabilized tethered space system exposed to an aerodynamic moment in low Earth near-circular orbits are examined. The emphasis is on the study of the dynamics of small tethered space systems based on a triple CubeSat. This approach is validated by a need for the preparation of a full-scale experiment with an electrodynamic tethered space system. It is demonstrated that an aerodynamic moment can affect significantly the dynamics of the tethered space systems under consideration and result in resonances in oscillations of the space tethered systems, which are perpendicular to the orbit plane. To attain the gravitational stabilization, it is necessary that the parameters of the tethered space system should be corresponded to the desired computational values of an atmospheric density in an assumed orbit of a mass-center motion. The simple analytical expressions for estimating an amplitude of oscillations of the tethered space system relative to the mass center are derived. The study results can be employed to choose the parameters of an experimental tethered space system and the orbit of its motion or to estimate the aerodynamic effects on oscillations of the tethered space system with the selected parameters. 2016 Article Колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента / А.И. Маслова // Техническая механика. — 2016. — № 3. — С. 57-67. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141082 629.78 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Рассматриваются колебания гравитационно стабилизированной космической тросовой системы (КТС) при воздействии аэродинамического момента на низких околоземных почти круговых орбитах. Основное внимание сосредоточено на исследовании динамики класса малых КТС, создаваемых на основе тройного CubeSat. Такой выбор обоснован необходимостью подготовки натурного эксперимента электродинамической КТС. Показано, что аэродинамический момент может существенно влиять на динамику рассматриваемого класса КТС и вызывать резонансы в колебаниях КТС, перпендикулярных плоскости орбиты. Для соблюдения режима гравитационной стабилизации необходимо, чтобы параметры КТС соответствовали ожидаемый расчетным значениям плотности атмосферы на предполагаемой орбите движения центра масс. Получены простые аналитические выражения, позволяющие оценить амплитуду колебаний КТС относительно центра масс. Результаты работы могут быть использованы при выборе параметров экспериментальной КТС и орбиты ее движения или для оценки аэродинамического воздействия на колебания КТС с выбранными параметрами.
format Article
author Маслова, А.И.
spellingShingle Маслова, А.И.
Колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента
Техническая механика
author_facet Маслова, А.И.
author_sort Маслова, А.И.
title Колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента
title_short Колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента
title_full Колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента
title_fullStr Колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента
title_full_unstemmed Колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента
title_sort колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента
publisher Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate 2016
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141082
citation_txt Колебания малой космической тросовой системы под действием аэродинамического момента / А.И. Маслова // Техническая механика. — 2016. — № 3. — С. 57-67. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series Техническая механика
work_keys_str_mv AT maslovaai kolebaniâmalojkosmičeskojtrosovojsistemypoddejstviemaérodinamičeskogomomenta
first_indexed 2025-07-10T11:54:22Z
last_indexed 2025-07-10T11:54:22Z
_version_ 1837260831074549760
fulltext 57 УДК 629.78 А. И. МАСЛОВА КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ КОСМИЧЕСКОЙ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО МОМЕНТА Рассматриваются колебания гравитационно стабилизированной космической тросовой системы (КТС) при воздействии аэродинамического момента на низких околоземных почти круговых орбитах. Основное внимание сосредоточено на исследовании динамики класса малых КТС, создаваемых на основе тройного CubeSat. Такой выбор обоснован необходимостью подготовки натурного эксперимента электро- динамической КТС. Показано, что аэродинамический момент может существенно влиять на динамику рассматриваемого класса КТС и вызывать резонансы в колебаниях КТС, перпендикулярных плоскости орбиты. Для соблюдения режима гравитационной стабилизации необходимо, чтобы параметры КТС соот- ветствовали ожидаемый расчетным значениям плотности атмосферы на предполагаемой орбите движения центра масс. Получены простые аналитические выражения, позволяющие оценить амплитуду колебаний КТС относительно центра масс. Результаты работы могут быть использованы при выборе параметров экспериментальной КТС и орбиты ее движения или для оценки аэродинамического воздействия на коле- бания КТС с выбранными параметрами. Розглядаються коливання гравітаційно стабілізованої космічної тросової системи (КТС) при впливі аеродинамічного моменту на низьких навколоземних майже колових орбітах. Основна увага зосереджена на дослідженні динаміки класу малих КТС, побудованих на основі потрійного CubeSat. Такий вибір обу- мовлено необхідністю підготовки натурного експерименту електродинамічної КТС. Показано, що аероди- намічний момент може істотно впливати на динаміку даного класу КТС і викликати резонанси в коливан- нях КТС, що перпендикулярні площині орбіти. Для дотримання режиму гравітаційної стабілізації необ- хідно, щоб параметри КТС відповідали очікуваним розрахунковим значенням щільності атмосфери на заданій орбіті руху центру мас. Отримано прості аналітичні вирази, що дозволяють оцінити амплітуду коливань КТС відносно центру мас. Результати роботи можуть бути використані при виборі параметрів експериментальної КТС та її орбіти або для оцінки аеродинамічного впливу на коливання КТС з вибра- ними параметрами. Oscillations of the gravity-stabilized tethered space system exposed to an aerodynamic moment in low Earth near-circular orbits are examined. The emphasis is on the study of the dynamics of small tethered space systems based on a triple CubeSat. This approach is validated by a need for the preparation of a full-scale experiment with an electrodynamic tethered space system. It is demonstrated that an aerodynamic moment can affect significantly the dynamics of the tethered space systems under consideration and result in resonances in oscillations of the space tethered systems, which are perpendicular to the orbit plane. To attain the gravitational stabilization, it is necessary that the parameters of the tethered space system should be corresponded to the desired computational values of an atmospheric density in an assumed orbit of a mass-center motion. The simple analytical expressions for estimating an amplitude of oscillations of the tethered space system relative to the mass center are derived. The study results can be employed to choose the parameters of an experimental tethered space system and the orbit of its motion or to estimate the aerodynamic effects on oscillations of the tethered space system with the selected parameters Ключевые слова: космическая тросовая система, аэродинамический момент, колебания относительно центра масс, резонансы. Введение. В статье рассматриваются колебания гравитационно стабили- зированной малой космической тросовой системы (КТС) при воздействии аэродинамического момента на низких околоземных почти круговых орби- тах. Статья продолжает исследования работы [1], где обоснованы актуаль- ность и новизна исследований динамики электродинамической космической тросовой системы (ЭДКТС), которая представляется на данный момент од- ним из наиболее перспективных способов увода космического мусора [2 – 6]. Там же указана необходимость дополнительных исследований динамики ЭДКТС, в том числе исследований возможных резонансных режимов движе- ния КТС, обусловленных аэродинамическим воздействием. Постановка задачи. Рассматривается движение КТС относительно цен- тра масс под действием гравитационного и аэродинамического момента. Как и в [1], рассматривается КТС, состоящая из двух концевых тел; масса тел и троса равномерно распределены по их объему; протяженность троса 1 км;  А. И. Маслова, 2016 Техн. механика. – 2016. – № 3. 58 начальный размер КТС (в неразвернутом виде) представляет собой CubSat размером 10 см10 см30 см; диапазон высот рассматриваемых орбит 550 – 750 км; движение КТС относительно центра масс рассматривается как движение гантели со сферическими концевыми телами и цилиндрической штангой. Примем, что масса всей КТС KT Сm составляет 3 кг; масса троса Tm =0,8 кг; а отношение массы первого концевого тела 1m к массе второго концевого тела 2m может меняться в диапазоне 1  21 mm 45 (т. е. могут меняться от равных по массе  21 mm 1,1 кг до 2m 48 грамм, 1m 2,152 кг). Диаметр троса D может изменяться от 1 мм до 20 мм. Диамет- ры сфер id ( i =1, 2), моделирующих концевые тела, определяются из равенства KT С i ii mdV   3 12 1 , i =1, 2, тогда 3 2 1 2 1 m m d d  , где iV – обьемы сфер, моделирующих соответствующие концевые тела; KT С KT С KTS V m     301010 3 ,,, 103 кг/м3 – «средняя» плотность КТС ( KT СV обьем CubSat в неразвернутом виде). Тогда диаметры сфер, моделирующих концевые тела, могут изменяться от  21 dd 16 см до 1d 20 см, а 2d 6 см. Исследуется модельная задача малых колебаний КТС относительно ме- стной вертикали на Кеплеровой круговой орбите. Исходными для исследова- ний являются уравнения изменения ориентации КТС относительно орбиталь- ной системы координат, описывающие изменения угла отклонения троса от местной вертикали в плоскости орбиты – угла  , и изменения угла отклоне- ния троса от плоскости орбиты – угла  (углы тангажа и крена соответствен- но). Уравнения имеют вид [1]                                           ,cossincossin~cos~ cossincossincos ,cossincossin~coscossinsin~ sincoscoscossin 2 2 12 00 2 2 122 0 2 0 1 2 32 1 2 3 uVV V A aI uVuV V A aI Va VaV   (1) где 0 – угловая скорость орбитального движения;   BCAI  – соотно- шение моментов инерции ( A , B , C – главные центральные моменты инер- ции КТС); 0a , 1a , 10 aaa  – постоянные для заданных характеристик КТС коэффициенты, описывающие аэродинамическое воздействие в зависи- мости от ориентации КТС к набегающему потоку;  – плотность атмосферы; VV   , V  – скорость КТС относительно потока;   ViRRV З cos~  0 – постоянная для рассматриваемой орбиты величина, близкая к единице; З – 59 угловая скорость вращения Земли; i – наклонение орбиты; RR   , R  – радиус-вектор центра масс КТС относительно ньютоновского притягиваю- щего центра (центра силы),   iЗV sin0 – малая величина; u – аргу- мент широты орбиты. Используемая для анализа модель плотности атмосферы учитывает ее изменение вдоль орбиты (в частности, обусловленное вздутием атмосферы на солнечной стороне Земли [7, 8]) и задается в виде [9, 10]     4 1 0 n nn fnbb cos , где 0b , nb и nf – постоянные для фиксированной орбиты и заданного уровня солнечной активности коэффициенты, которые находятся путем разложения в ряд Фурье изменений плотности атмосферы, рассчитанных по ГОСТу [11], при численном моделировании орбитального движения; t0 – безраз- мерное время. Главная особенность КТС заключается в ее большой одноосной протя- женности и практическом равенстве единице параметра I , что обуславлива- ет близость частоты собственных колебаний гравитационно стабилизирован- ной КТС в плоскости, перпендикулярной плоскости орбиты, к удвоенной частоте орбитального движения, и в системе становятся возможны различные резонансные взаимодействия. Квазистатическое решение. Движение КТС будем рассматривать как колебания относительно некоторого положения продольной оси КТС, сме- щенного относительно местной вертикали, т. е.  t ~ 0 ,  t ~ 0 , где 0 , 0 – определяют "косое" положение КТС относительно местной вер- тикали;  t~ ,  t~ описывают колебания относительно 0 , 0 . Значение уг- лов 0 , 0 определяется равенством гравитационного и аэродинамического моментов при постоянной, равной средней плотности атмосферы. Приравни- вая нулю периодические составляющие в (1), получим уравнения для опреде- ления квазистатического решения                           .cossin~cos~ cossin ,cossin~sinsin~ sincossin 2 1 2 2 30 2 1 2 2 32 2 1 2 0 0 2 0 22 0 1 00 2 0 2 0 0 2 0 22 00 1 00 22 00 2 0 VbVV A a I VbVV A a I a a (2) Из первого уравнения в (2) видно, что одним из его решений является 00  . Причем, как нетрудно видеть, для режима гравитационной стабили- зации ( 00 00  , ) других решений нет. Задача о нахождении каких-либо 60 других положений равновесия 00  выходит за рамки проводимых иссле- дований. Учитывая, что 00  и 0 22 0 221  cos~sin~ VV (с точностью до 2 V ), второе уравнение (2) для определения 0 принимает вид   sVVa ~cos~sin 00  , (3) где IA Rbas 6 2 01 . Как видим, в рассматриваемой постановке задач квазистатическое сме- щение КТС зависит от трех параметров: 1 0 a a a  – характеризует аэродинамическое воздействие на КТС;     i iV З З cos cos~ 0 0 21 1    – зависит только от орбиты движения КТС; s – зависит как от аэродинамических и массово-геометрических харак- теристик КТС, так и от орбиты движения КТС. Поскольку для рассматриваемых высот угловая скорость орбитального движения значительно превосходит угловую скорость вращения Земли (  0З 0,07), то V~ с точностью не менее, чем 0,005, можно считать равным единице. Расчеты показали, что для рассматриваемых КТС при средних значениях температуры поверхности КТС rT =300 К и температуры набегающего пото- ка T =1000 К параметр a не превышает 0,18; для КТС с соотношением масс концевых тел 21 mm 5 параметр a не превышает 0,08. Значение па- раметра a будет уменьшаться с увеличением доли молекул, отражающихся от поверхности КТС зеркально и расти с увеличением температуры поверх- ности КТС rT . При увеличении температуры поверхности КТС до rT = T =1000 К для полностью диффузной схемы взаимодействия молекул с поверхностью [7, 12] КТС параметр a не превышает 0,25. На основании расчетов средней плотности на рассматриваемых орбитах получено, что величина 2 0Rb (характеризует усредненный по орбите приве- денный к квадрату угловой скорости скоростной напор) для низкой солнеч- ной активности 0F 75*10-22 Вт/м2Гц может меняться приблизительно от 0,4 кг/м до 4,2 кг/м, для высокой солнечной активности 0F 250*10-22 Вт/м2Гц – от 8 кг/м до 108 кг/м. Т. е. можно считать, что 0,4 кг/м  2 0Rb 110 кг/м. Расчеты показали, что для рассматриваемого класса КТС влияние пара- метров орбиты движения очень значительно, т. к. даже в рассматриваемом узком диапазоне высот для одних и тех же КТС угол отклонения 0 может составлять как десятые доли градуса (см. рис. 1), так и десятки градусов (см. рис. 2). 61 Рис. 1 Рис. 2 На рис. 1, 2 представлены результаты расчетов угла смещения 0 для рассматриваемых параметров КТС в случае полностью диффузного взаимо- действия молекул с поверхностью КТС, температурами rT =300 К и T =1000 К соответственно, для круговых кеплеровых орбит с малым аэро- динамическим воздействием (высота орбиты 750 км, плоскость орбиты пер- пендикулярна оси симметрии «горба» атмосферного вздутия, низкая солнеч- ная активность 0F 75*10-22 Вт/м2Гц) и большим аэродинамическим воздей- ствием (высота орбиты 550 км, плоскость орбиты проходит через ось сим- метрии «горба» атмосферного вздутия, высокая солнечная активность 0F 250*10-22 Вт/м2Гц). Как видим, угол смещения может существенно изменяться в зависимости от конструкции КТС и орбиты. Поэтому при выборе массово-геометрических параметров КТС необходимо учитывать их соответствие предполагаемым условиям движения (средней плотности). Далее будем рассматривать только такие параметры системы и орбиты, при которых угол отклонения 0 оста- ется малым. Для определенности примем, что s 0,1, тогда 0 не превысит 7,5º (см. рис. 3). Малости параметра s можно добиться как изменением мас- сово-геометрических параметров КТС, так и выбором орбиты движения. Рис. 3 Легко видеть, что для малых s угол отклонения 0 имеет практически линейную зависимость от s . Используя малость угла 0 решение (3) с по- грешностью не более 0,25 % можно записать в виде s 0 , град а=0,25 а=0,1 а=0 а=-0,1 а=-0,25 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 data1 data2 data3 data4 data5 0 , град 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 D=1 mm D=5 mm D=10 mm D=15 mm D=20 mm 0 , град 2 1 m m 2 1 m m 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 D=1 mm D=5 mm D=10 mm D=15 mm D=20 mm 62     nVsVsarctg a  22 0 ~arcsin~ , n 0, 1, 2, … . На следующем рисунке представлено изменение параметра s в зависимости от соотношения масс концевых тел в случае движения КТС по полярной орбите высотой 600 км при средней солнечной активности 0F 150*10-22 Вт/м2 Гц, плоскость орбиты проходит через «горб» атмосферного вздутия. Рис. 4 Как видим из рис. 4 (и выражения (3)), почти для всех рассматриваемых КТС на данной орбите s мало и отклонения 0 будут небольшие. Уравнения малых колебаний. Вынужденные колебания КТС вне плос- кости орбиты вызваны вращением атмосферы, поэтому можно предполо- жить, что эти колебания имеют порядок V . Тогда  ~ V ~ 2 V и членами урав- нений (1), содержащими такие произведения, можно пренебречь. Линеаризуя уравнения (1) возле положения равновесия 0 , 0 0 и считая, что  22221 cos~sin~ VV , получим                              .cos~sin~ ~ cos~cos ~ cos~cossin~ ,cossin~~ sin~coscos ~ cos~sin~cos~~~ qV A Va qV A VaI q A Vaqu A Va quV A aI a a V V a 00 1 00 1 000 2 0 00 2 1 00 1 0 1 0 22 0 2 0 2 23 3   (4) Учитывая уравнение для определения 0 и переходя к безразмерному времени t0 , (4) можно записать в виде                ,~~~~ ,~~cos~~~ dk ccuk V 2 21 2 1 (5) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 D=1 mm D=5 mm D=10 mm D=15 mm D=20 mm s 2 1 m m 63 где   0 22 31 cosIk , 0  tgd ,  003  cos~cos~ VVIsd a , 0 1    cos~V d c , 02 3  sin~VIsc ,   0 2 23 cosIk ,  00 23  cos~sin~ VVIs a ,     4 1n nn fnb cos~ . Система (5) представляет собой систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и переменной правой частью (уравнения типа Хилла). Из (5) видно, что в линейном приближении колебания в плоскости орбиты не зависят от поперечных колебаний КТС. Частота собственных колебаний КТС и возможные резонансы. Учи- тывая уравнение (3), можно записать, что 003  sincosId , 0 23  sinI , 01 3  sin~V Ic , 00 2 0 2 33  cossin~sin VIsI , тогда 00 2 0 22 33  cossin~cos VIsIk , Ik 312  , (6) т. е. в линейном приближении для рассматриваемых КТС аэродинамика не оказывает влияния на частоту поперечных колебаний КТС (колебаний по уг- лу крена) и всегда k очень близка к 2. В этом случае в колебаниях вне плос- кости орбиты (по углу крена) всегда возникает линейный резонанс (см., например [13]), а, если учесть в разложении плотности атмосферы четвер- тую гармонику, и главный параметрический резонанс (см., например [14, 15]). Для малых 0 частота колебаний в плоскости орбиты  3k 1,73 и в колебаниях в плоскости орбиты (по углу тангажа) не возможны резонансы (рис. 5). С ростом угла 0 (увеличении аэродинамического влияния) частота колебаний по углу тангажа слабо изменяется и не приводит к возникновению новых эффектов в движении. Рис. 5 Оценки амплитуд колебаний. Уравнения колебаний в плоскости орби- ты относятся к классу уравнений, для которых показано (см., например [16]), 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 2.99 2.992 2.994 2.996 2.998 3 3.002 3.004 3.006 3.008 data1 data2 data3 data4 data5 s 2 k а=0,25 а=0,1 а=0 а=-0,1 а=-0,25 64 что, при удаленности системы от линейного и главного параметрического резонанса, с точностью порядка 1b вынужденные колебания В~ равны         4 1 22 n n nВ fn nk bd cos~ . Учитывая, что 321 bbb  (для рассматриваемых круговых орбит 1b 0,83; 2b 0,23; 3b 0,02 [16]), для 0 =0º и 2 k =3 можно получить про- стую оценку амплитуды A вынужденных колебаний КТС вдоль плоскости орбиты (в предположении, что I =1 и V~ = 1)  abbsA        1 2 3 2 1 . (7) Тогда для рассматриваемого класса КТС при малых 0 ( s 0,1) ампли- туда вынужденных колебаний КТС вдоль плоскости орбиты, вызванных аэ- родинамическим воздействием, не будет превышать 14º. В колебаниях перпендикулярных плоскости орбиты имеют место как ли- нейный, так и параметрический резонансы. Расчеты показывают, что при рассматриваемых параметрах влияние параметрического резонанса весьма незначительно в сравнении с влиянием линейного резонанса. Оценим влияние линейного резонанса на рост амплитуды колебаний перпендикулярно плоскости орбиты. Рассмотрим правую часть первого уравнения (5), которую можно записать в виде                        ,coscos coscos cos~~cos     230322312012 2101221303231 10121121 2 2 12 2 1 2 2 12 2 2 11 ffuAbAbffuAb ffuAbAbfuAcbc fuAcbcccu VV (8) где  22 nkbdA nn   , n 1, 2, 3 – амплитуда вынужденных колебаний КТС в плоскости орбиты с частотой, приведенной к частоте орбитального движения, n ;   – периодическая функция, содержащая гармонические составляющие правой части первого уравнения (5) с частотами, отличными от 2 . Как видим, правая часть уравнения колебаний КТС перпендикулярных плоскости орбиты, содержит множество гармоник с резонансной частотой 2 . Следует отметить, что поскольку V зависит от isin , то на экваториаль- ной орбите вынужденные колебания, перпендикулярные плоскости орбиты, отсутствуют. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения вида   cosAyay 2 , где y – переменная; a – частота свободных колебаний; A и  – амплитуда и частота возмущающей правой части, при линейном резонансе ( a ) имеет вид (см., например [17]) 65      sin 2 Ay . Расчеты показывают, что наибольшая амплитуда в (8) при гармониках с частотой 2 , дает удовлетворительную оценку роста амплитуды поперечных колебаний при линейном резонансе     aVVrez bs k bcA 1 8 3 2 1 2 1 111_ . (9) Отметим, что этот рост поперечных колебаний связан с периодическим изме- нением (с орбитальной частотой) плотности атмосферы при движении по орбите. Для рассматриваемых высот угловая скорость орбитального движения значительно превосходит угловую скорость вращения Земли (  0З 0,07). Тогда для максимального значения V =0,07 и рассматриваемого класса КТС скорость изменения амплитуды для s =0,1 и a =0,25 не будет превышать 2,7*10-3 рад, что соответствует максимальному увеличению амплитуды по- рядка 1º за виток по орбите. Для КТС с диаметром троса 20 мм, массами первого концевого тела и второго концевого тела – 2,1083 кг, 0,0917 кг соответственно ( 21 mm 23), движущейся по орбите с теми же параметрами, что использовались для рас- четов, представленных на рис. 4, изменение амплитуды поперечных колеба- ний будет составлять порядка 1º за 10 витков по орбите (для такой орбиты и КТС V 0,0107, 1b 0,6695, s 0,1005, a 0,0761,  2k 2,9975, 0 6,18º, A 9,5º, т. е.  max 15,7º). Численный анализ. Расчеты показали, что для малых аэродинамиче- ских возмущений (малых углов тангажа и крена) результаты расчета динами- ки КТС по исходным (1) и линеаризованным (4) уравнениям движения хоро- шо совпадают (рис. 6). При бóльших аэродинамических возмущениях харак- тер колебаний в плоскости орбиты не меняется; амплитуда колебаний вне плоскости орбиты линейно растет только на начальном этапе времени, далее изменение амплитуды носит долгопериодический характер колебаний и ре- шения уравнений (1) и (4) расходятся (рис. 7). На рисунках представлено изменение угла тангажа и крена для КТС с диа- метром троса 10 мм, массами первого концевого тела и второго концевого тела – 2 кг, 0,2 кг соответственно ( 21 mm 10) при движении по орбите с теми же параметрами, что использовались для расчетов, представленных на рис. 4, (для такой орбиты и КТС s 0,0359, a 0,0761,  2k 2,9997, 0 2,22º, A 3,4º, т.е.  max 5,66º); N – количество витков по орбите; 1 – измене- ние углов при расчете по полным уравнениям (1); 2 – изменение углов при рас- чете по линеаризованным уравнениям (4); 3 – оценки изменения углов, опреде- ляемые при помощи выражений (7) и (9) соответственно. Аэродинамические коэффициенты рассчитываются для rT =300 К, T =1000 К и диффузной схемы взаимодействия молекул с поверхностью КТС (=0); начальные условия бе- рутся следующими такими, чтобы наблюдать только вынужденные колебания –   00  ,   00  ,   00  ,   00  . 66 Рис. 6 Рис. 7 Изменение угла тангажа происходит с постоянной амплитудой и макси- мальное отклонение троса от местной вертикали в плоскости орбиты можно оценить выражением    A0max , где 0 и A определяются по (3) и (7) соответственно. Амплитуда колебаний по углу крена растет линейно до значений порядка 3º и этот рост хорошо описывается выражением (9), т. е. зная параметры орбиты и КТС V , s , 1b , a на этапе линейного роста ам- плитуды можно оценить за сколько витков орбитального движения N ам- плитуда колебаний по углу крена вырастет, например, до A 1º    aVaV bsbs AN       1135 1 13360 8 11 . Тогда амплитуда колебаний по углу крена для рассматриваемого класса КТС (максимальных значений параметров V =0,07, s =0,1, a =0,25, 1b 0,83) вырастет на 1º не быстрее, чем за 1 виток орбитального движения; для рассмотренного выше случая – за 27 витков орбитального движения. Выводы. Влияние аэродинамического момента на движение ЭДКТС мо- жет быть очень существенным, и при планировании эксперимента аэродина- мические воздействия должны учитываться на ряду с электродинамическими. Для рассмотренного в статье класса КТС, создаваемых на основе Cubesat, и рассмотренных орбит аэродинамическое влияние может приводить 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20  , град N  , град N 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 1 data2 3 2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 1 data2 3 2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 1 data2 3 2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 1 data2 3 2 0 5 10 15 20 25 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 N  , град , град N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 67 к нарушению гравитационной стабилизации движения системы. Так, угол квазистатического отклонения троса от местной вертикали в плоскости орби- ты может составлять десятки градусов. Для соблюдения режима гравитаци- онной стабилизации системы необходимо соответствие (согласование) пара- метров КТС предполагаемой орбите ее движения. При движении в режиме гравитационной стабилизации (малых отклоне- ниях от местной вертикали) периодические изменения плотности атмосферы при движении КТС по орбите приводят к резонансным колебаниям КТС пер- пендикулярно плоскости орбиты. Это обуславливает почти линейный рост амплитуды колебаний на начальном этапе движения. Получены упрощенные линеаризованные уравнения движения КТС, по- зволяющие понять физику процессов, и получены простые аналитические выражения для оценки амплитуд колебаний в плоскости и перпендикулярно плоскости орбиты, позволяющие выбирать параметры КТС и орбит для ус- пешного проведения экспериментов. Работа выполнена при поддержке Целевой комплексной программы НАН Украины по научным космическим исследованиям на 2012–2016 гг., договор № ІІ-16-13-4. 1. Маслова А. И. Модель движения малой радиальной космической тросовой системы под действием аэ- родинамического момента / А. И. Малова // Техническая механика. – 2015. – №. 1. – C. 55 – 64. 2. Ahedo E. Analysis of Bare-Tether Systems for Deorbiting Low-Earth-Orbit Satellites / E. Ahedo, J. R. Sanmartin // Journal of Spacecraft and Rockets. – 2002. – V. 39, N 2. – P. 198 – 205. 3. Hoyt R. P. The Terminator Tape™: A Cost-Effective De-Orbit Module for End-of-Life Disposal of LEO Satel- lites / R. P. Hoyt, I. M. Barnes, N. R. Voronka, J. T. Slostad // Space 2009 Conference, Sept 2009. – 2009. – AIAA Paper 2009-6733. – P. 1 – 9. 4. Bombardelli С. Deorbiting Performance of Bare Electrodynamic Tethers in Inclined Orbits / С. Bombardelli, D. Zanutto, E. Lorenzini // Journal of Guidance, Control and Dynamics. – 2013. – V. 36, N 5. – P. 1550 – 1556. 5 Sanmartin J. R. Electrodynamic Tether Applications and Constraints / J. R. Sanmartin, E. C. Lorenzini, М. Martinez-Sanchez // Journal of Spacecraft and Rockets. – 2010. – Vol. 47, N 3. – Р. 442 – 456. 6. Levin E. M. Dynamic analysis of space tether missions / E. M. Levin. – San Diego : American Astronautical Society, 2007. – 453 p. 7. Белецкий В. В. Влияние аэродинамических сил на вращательное движение искусственных спутников / В. В. Белецкий, А. М. Яншин. – Киев : Наукова думка, 1984. – 188 с. 8. Данилов А. Д. Популярная аэрономия / А. Д. Данилов. – Ленинград : Гидрометеоиздат, 1989. – 234 с. 9. Маслова А. И. Изменения плотности атмосферы при движении космических аппаратов на низких околоземных орбитах / А. И. Маслова, А. В. Пироженко // Космічна наука і технологія. – 2009. – Т. 15, № 1. – С. 13 – 18. 10. Маслова А. И. К моделированию аэродинамического момента, действующего на спутник / А. И. Маслова, А. В. Пироженко // Космические исследования. – 2010. – Т. 48, № 4. – С. 371 – 379. 11. ГОСТ Р 25645.166 – 2004. Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистического обеспе- чения полетов искусственных спутников Земли. – Принят 2004-03-09. – М. : ИПК Изд-во стандартов, 2004. – 24 с. 12. Басс В. П. Молекулярная газовая динамика и ее приложения в ракетно-еосмической технике / В. П. Басс. – Киев : Наукова думка, 2008. – 270 с. 13. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. – Москва : Мир, 1964. – 477 с. 14. Маслова А. И. Параметрический резонанс в колебаниях космического аппарата при воздействии пере- менного аэродинамического момента / А. И. Маслова, А. В. Пироженко // Механика твердого тела. – 2010. – Т. 40. – С. 144 – 155. 15. Якубович В. А. Параметрический резонанс в линейных системах / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. – М. : Наука, 1987. – 328 с. 16. Маслова А. И. Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно- стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты / А. И. Маслова, А. В. Пироженко // Техническая механика. – 2009. – №. 3. – С. 87 – 97. 17. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний / Я. Г. Пановко. – М. : Наука, 1991. – 256 с. Институт технической механики Получено 14.09.2016, Национальной академии наук Украины и в окончательном варианте 19.09.2016 Государственного космического агентства Украины, Днепр

Схожі ресурси