Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу

Получена математическая модель нестационарных движений газа при локальном подводе к нему теплоты вдоль некоторой поверхности. В уравнениях движения для рассмотренной задачи конкретизирован тензор диссипации тепловой энергии, ассоциированный с поверхностью теплоподвода и характеризующий наличие от...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Басок, Б.И., Гоцуленко, В.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2018
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Теплофізика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141129
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу / Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 3. — С. 69-79. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-141129
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1411292018-07-31T01:22:54Z Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу Басок, Б.И. Гоцуленко, В.В. Теплофізика Получена математическая модель нестационарных движений газа при локальном подводе к нему теплоты вдоль некоторой поверхности. В уравнениях движения для рассмотренной задачи конкретизирован тензор диссипации тепловой энергии, ассоциированный с поверхностью теплоподвода и характеризующий наличие отрицательного теплового сопротивления. Получено уравнение на компоненты данного тензора и рассмотрены некоторые его частные случаи. Побудовано математичну модель нестаціонарних рухів газу за умов локального підведення до нього теплоти вздовж деякої поверхні. У рівнянні руху для розглянутої задачі конкретизовано тензор дисипації теплової енергії, що асоційований з поверхнею теплопідведення і характеризує наявність від'ємного теплового опору. Одержано рівняння на компоненти даного тензора і розглянуто деякі його окремі випадки. A mathematical model of nonstationary gas motions with a local supply of heat to a gas along a certain surface is developed. In the equations of motion, the heat energy dissipation tensor associated with the heat supply surface and characterizing the presence of a negative thermal resistance is specified. An equation is obtained for the components of the given tensor, and some of its particular cases are considered. 2018 Article Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу / Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 3. — С. 69-79. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2018.03.069 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141129 669.162.23 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Теплофізика Теплофізика
spellingShingle	Теплофізика Теплофізика Басок, Б.И. Гоцуленко, В.В. Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу Доповіді НАН України
description	Получена математическая модель нестационарных движений газа при локальном подводе к нему теплоты вдоль некоторой поверхности. В уравнениях движения для рассмотренной задачи конкретизирован тензор диссипации тепловой энергии, ассоциированный с поверхностью теплоподвода и характеризующий наличие отрицательного теплового сопротивления. Получено уравнение на компоненты данного тензора и рассмотрены некоторые его частные случаи.
format	Article
author	Басок, Б.И. Гоцуленко, В.В.
author_facet	Басок, Б.И. Гоцуленко, В.В.
author_sort	Басок, Б.И.
title	Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу
title_short	Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу
title_full	Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу
title_fullStr	Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу
title_full_unstemmed	Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу
title_sort	механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Теплофізика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141129
citation_txt	Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу / Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 3. — С. 69-79. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT basokbi mehanizmyteplogidrodinamičeskojneustojčivostiprilokalʹnompodvodeteplotykgazu AT goculenkovv mehanizmyteplogidrodinamičeskojneustojčivostiprilokalʹnompodvodeteplotykgazu
first_indexed	2025-07-10T12:01:56Z
last_indexed	2025-07-10T12:01:56Z
_version_	1837261307864154112
fulltext	69ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.03.069 УДК 669.162.23 Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко Институт технической теплофизики НАН Украины, Киев E-mail: gosul@ukr.net Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Б.И. Баском Получена математическая модель нестационарных движений газа при локальном подводе к нему теплоты вдоль некоторой поверхности. В уравнениях движения для рассмотренной задачи конкретизирован тензор диссипации тепловой энергии, ассоциированный с поверхностью теплоподвода и характеризующий наличие отрицательного теплового сопротивления. Получено уравнение на компоненты данного тензора и рассмот- рены некоторые его частные случаи. Ключевые слова: тензор диссипации тепловой энергии, "отрицательное" тепловое сопротивление, неус- той чивость, термоакустические автоколебания. В распределенных системах гидродинамического типа ламинарно-турбулентный пере- ход, в частности возбуждение автоколебаний, исследуется с ростом числа Рейнольдса, как правило, обусловленным увеличением средней скорости потока. В данных исследованиях одним из основных инструментов является привлечение различных бифуркационных тео- рем, например теоремы Андронова—Хопфа о бифуркации рождения цикла. Отметим, что рост числа Рейнольдса может быть обусловлен и падением вязкости, что имеет место при определенных движениях многофазных сред, структурированных и стратифицированных жидкостей [1], а также при подводе теплоты к жидкости или теплоотводе от нее. В жидко- стях с сильной зависимостью вязкости от температуры при достаточных градиентах давле- ния возникает явление саморазогрева, также приводящее к падению вязкости. Дестабили- зирующая роль вязкости является следствием закона запаздывания в передаче действия в вязкой среде, а это запаздывание может изменить знак эффективного трения, т. е. вызвать неустойчивость. В [2] рассматривается образование отрицательного сопротивления и авто- колебаний в потоке жидкости с экспоненциальной зависимостью ее вязкости от температу- ры, причиной которых является ее саморазогрев. В [3] на основании результатов большого количества экспериментальных исследований феномена Рийке утверждается, что класси- ческая модель волновых процессов не может объяснить причины самовозбуждения авто- колебаний. В [4] был обоснован механизм образования отрицательного сопротивления на © Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко, 2018 ТЕПЛОФІЗИКА 70 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 3 Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко зависимости гидравлических потерь по длине трубы Рийке при постоянном тепловом потоке. Применение этого механизма позволило теоретически определить закономерности феномена Рийке [5]. Теоретическое описание феномена Рийке, в основу которого положе- ны механизмы отрицательных сопротивлений, каче- ственно и количественно подтверждается результата- ми экспериментов [3]. По-видимому, в [6] впервые было установлено, что процесс подвода тепла вносит в поток газа особый вид сопротивления: при подогреве движущегося газа полное давление падает. Обнаруженное сопротивление было названо Г.Н. Абрамовичем "тепловым" и в [6] приведено его термодинамическое истолкование. В [7] Б.В. Раушенбах получил выражение для теплового сопротивления при нагреве идеальной (невязкой) несжимаемой жидкости и привел его обоснование как механизма возбуждения вибрационного горения. С помощью этого соотношения для теплового сопро- тивления Б.В. Раушенбах пытался представить качественную картину возбуждения акус- тических колебаний теплоподводом за счет кинетической энергии течения. Было высказано предположение, что если теплоподвод будет колебаться около нуля, то на поток будет по- переменно действовать то положительное, то отрицательное сопротивление. Если при этом увеличению скорости течения будет соответствовать уменьшение сопротивления, то систе- ма будет раскачиваться [7]. Согласно общим представлениям механики [8] эффект "отрицательного" сопротивле- ния или "отрицательного" трения состоит в реализации условий, когда с увеличением ско- рости движения механической системы ее энергия не уменьшается (например, за счет сил вязкого трения, пропорциональных скорости), а, наоборот, увеличивается. Физика такого явления в различных системах своя. Однако благодаря данному явлению установившееся движение (или положение равновесия механической системы) становится неустойчивым и в системе возможно самовозбуждение автоколебаний. Таким образом, "отрицательное" тепловое сопротивление — это формальный термин, означающий, что при выполнении определенных условий, местное гидравлическое сопро- тивление зоны теплоподвода не возрастает с увеличением скорости движения теплоносите- ля, а, наоборот, уменьшается, что приводит к возникновению гидродинамической неустой- чивости и возбуждению автоколебаний. В [9] найдено аналитическое выражение для те- плового сопротивления, возникающего при политропном подводе теплоты к движущемуся совершенному невязкому газу. В данной работе на основе фундаментальных законов сохранения механики сплошной среды и базовых уравнений термодинамики решается задача получения уравнения для тен- зора диссипации тепловой энергии, возникающего при локальном теплоподводе к трехмер- ному потоку газа. В частном случае одномерного потока данный тензор вырождается в расс- мотренное ранее тепловое сопротивление. Вывод уравнений движения при теплоподводе. Рассмотрим движение вязкой тепло- проводящей сжимаемой жидкости (рисунок) с локальным теплоподводом, распределенным Схематическое изображение выделения в потоке среды "жидкого объема" tΩ 71ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3 Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу вдоль некоторой поверхности Σ. Выделим в потоке движущейся среды в начальный момент времени 0t малую область 0t Ω , составленную из частиц среды. Тогда в момент времени 0t t> данная область (см. рисунок) деформируясь перейдет в некоторую область tΩ . Непосредственным вычислением можно проверить справедливость следующего инте- грального равенства: ( , ) ( , ) ( ) , t t t a a r t d d a r t V n ds tΩ Ω ∂Ω ∂ω = ω+ ⋅ ∂∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ �� (1) где ( , )a r t � — произвольная достаточно гладкая скалярная, векторная или в общем случае тензорная величина; 1 2 3d dx dx dxω= — элемент объема физического пространства; ( , )V r t � � — скорость движения жидкости в момент времени t в точке, определяемой радиус-вектором r � ; n � — внешняя нормаль к поверхности t∂Ω , а ds — элемент ее площади. Полагая в тождестве (1) ( , )a r t= ρ � — плотность среды и используя формулу Гаусса— Остраградского ( , ) ( ) div( ) , t t r t V n ds V d ∂Ω Ω ρ ⋅ = ρ ω∫∫ ∫∫∫ � �� получаем тождество ( , ) div( ) . t t d r t d V d dt tΩ Ω ∂ρ⎡ ⎤ρ ω = + ρ ω⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫∫∫ ∫∫∫ �� (2) В рассматриваемой задаче нет внутренних источников производства или поглощения массы. Поэтому из закона сохранения массы следует, что ( , ) 0, t d r t d dt Ω ρ ω =∫∫∫ � и, соответственно, из (2) получается обычное уравнение неразрывности ( , ) div( ) 0. r t V t ∂ρ + ρ = ∂ � � (3) Таким образом, уравнение неразрывности (3) эквивалентно следующему используемо- му нами далее уравнению, выражающему закон сохранения массы в балансной интеграль- ной форме: ( , ) ( ) 0. t t d r t V n ds tΩ ∂Ω ∂ρ ω+ ρ ⋅ = ∂∫∫∫ ∫∫ �� (4) Для вывода уравнения движения поступаем следующим образом. Применяем второй за- кон Ньютона к подвижному "жидкому" объему tΩ , рассматривая его как материальное тело, а оставшуюся часть жидкости — как действующие на него внешние силы, обусловленные вязкостью и статическим давлением. Имеем ( , ) ( , ) ( ) ,T t t t t d V r t d r t gd nds r r n d dt Σ Σ Σ Ω Ω ∂Ω Ω ρ ω = ρ ω+ τ⋅ + δ − τ ⋅ ω∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ � �� (5) 72 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 3 Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко где g � — вектор ускорения свободного падения; τ �� — тензор напряжения; Tτ �� — тензор дисси- пации тепловой энергии; ( )r rΣ Σδ − � � — дельта-функция Дирака, ассоциированная с поверх- ностью теплоподвода Σ . Тензор Tτ �� действует на подвижный объем tΩ лишь в случае его пересечения поверхности теплоподвода Σ . Таким образом, согласно определению дельта- функции Σδ справедливо представление (см. рисунок) T T ( ) при , ( ) 0 при . t t t r n r r n d Σ Σ Σ Σ Σ Ω ⎧τ ⋅ Ω ∩Σ ≠ ∅⎪δ − τ ⋅ ω = ⎨ Ω ∩Σ = ∅⎪⎩ ∫∫∫ �� Далее, полагая в (1) a V= ρ � и используя формулу Грина интегрирования по частям [10], получаем тождество ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )div( ) . t t d V V r t d V V V V d dt tΩ Ω ⎡ ⎤∂ ρρ ω = + ⋅∇ ρ + ρ ω⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∫∫∫ ∫∫∫ � � � � � �� (6) Введя в рассмотрение изотропный тензор ( , )p r t I �� , где I �� — единичный тензор, полу- чим представление ( , )p r t Iτ = − +σ �� , где σ �� — неравновесный тензор напряжения трения, который для ньютоновской жидкости в координатах имеет вид [10] 2 , 3 ji k k ij ij ij j i k kx x x x ⎛ ⎞∂υ∂υ ∂υ ∂υ σ = μ + − δ + ξδ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ где μ — молекулярная вязкость, ξ — объемная (вторая) вязкость. Вновь воспользовавшись формулой Гаусса—Остраградского, получим grad[ ( , )] div( ) , t t t nds p r t d d ∂Ω Ω Ω τ⋅ = − ω + σ ω∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ � �� и, таким образом, уравнение движения (5) в балансной интегральной форме окончательно запишем в виде ( ) ( ) ( ) ( )div( ) t V V V V V d tΩ ⎡ ⎤∂ ρ + ⋅∇ ρ + ρ ω =⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∫∫∫ � � � � � ( , ) grad[ ( , )] div( ) ( ) ,T t t t t r t gd p r t d d r r n dΣ Σ Σ Ω Ω Ω Ω = ρ ω − ω+ σ ω+ δ − τ ⋅ ω∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ � �� (7) или в координатной дифференциальной форме T ( ) ( ) ( ) ,ik ki ik ik i k g r r n t x Σ Σ Σ ∂ ρυ ∂ Π −σ = ρ − +δ − τ ∂ ∂ � � (8) где ik ik i kpΠ = δ +ρυ υ — тензор плотности потока импульса [10]. В силу уравнения неразрывности (3), с учетом явного вида компонент ijσ тензора на- пряжения трения и следующего тождества: ( ) ( ) ( ) ,i k i i k i i k i k k k k kt x t x t x t x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ρυ ∂ ρυ ∂υ ∂υ ∂ ρυ ∂υ ∂υ∂ρ+ = ρ + υ + υ + = ρ + υ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 73ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3 Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу уравнение (8) запишем в виде 2 T( ) . 3 ik ki i k k i i k i i k p g r r n t x x x x Σ Σ Σ ⎛ ⎞∂υ ∂υ ∂ υ∂ μ⎛ ⎞ρ + υ = ρ − +μΔυ + ξ+ +δ − τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ � � Отметим также, что при отсутствии теплоподвода для несжимаемой среды с постоян- ной плотностью constρ = , согласно (3) / 0k kx∂υ ∂ = , и из последнего уравнения получаем обычное уравнение Навье—Стокса для несжимаемой жидкости 23 2 1 1 ,i i i k i k i k k p g t x x x= ∂υ ∂υ ∂ υ∂+ υ = − +ν ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∑ где /ν = μ ρ — кинематическая вязкость. В уравнении (8) остается неизвестной величина T ikτ , уравнение для которой нами далее будет получено как следствие закона сохранения энергии. Перейдем к составлению уравне- ния энергии в рассматриваемой нами задачи. Обозначим через ( , )u r t � внутреннюю энергию единицы массы среды. Тогда полная энергия в объеме tΩ определяется интегралом 2\| \| 2 t V E u d Ω ⎛ ⎞ = ρ + ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫∫∫ � . Полагая в тождестве (1) 2\| \| 2 V a u ⎛ ⎞ = ρ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ � , получаем 2 2\| \| \| \| ( ) . 2 2 t t dE V V u d u V n ds dt tΩ ∂Ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂= ρ + ω+ ρ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫∫∫ ∫∫ � � � � (9) Выясним теперь, какую работу производят силы, действующие на рассматриваемый подвижный элемент среды tΩ . В единицу времени над данным элементом производится: ( ) t p V n ds ∂Ω − ⋅∫∫ � � — работа сил давления, ( ) t n Vds ∂Ω σ⋅ ⋅∫∫ �� — работа сил вязкого трения, ( ) ( )T t r r n VdΣ Σ Σ Ω δ − τ ⋅ ⋅ ω∫∫∫ �� — работа сил "расширения—сжатия" в окресности поверхности Σ . Когда объем tΩ имеет непустое пересечение с поверхностью теплоподвода Σ , в его внутрь через каждый элемент поверхности tΩ Σ∩ в единицу време- ни передается теплота ( , )q r tΣ � . Суммируя с помощью дельта-функции Σδ эти элементарные тепловые потоки, окончательно приходим к заключению, что суммарное количество 74 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 3 Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко теплоты, получаемое подвижным объемом tΩ в единицу времени при прохождении им по- верхности теплоподвода Σ, определяется следующим интегралом: ( ) ( , ) t r r q r t dΣ Σ Ω δ − ω∫∫∫ � � � . Согласно закону сохранения энергии имеем 2 2\| \| \| \| ( ) ( ) ( ) 2 2 t t t t V V u d u V n ds p V n ds n Vds tΩ ∂Ω ∂Ω ∂Ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ρ + ω+ ρ + ⋅ = − ⋅ + σ⋅ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ � � � � �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ,T t t t g V d r r n Vd r r q r t dΣ Σ Σ Σ Σ Ω Ω Ω + ρ ⋅ ω + δ − τ ⋅ ⋅ ω + δ − ω∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ �� или после преобразования с помощью формул Грина поверхностных интегралов в объемные 2\| \| div div( ) 2 t t V u d V pV d tΩ Ω ⎛ ⎞∂ ρ⎛ ⎞+ ρ + ω = σ⋅ − ω+⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫∫∫ ∫∫∫ � � �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) .T t t t g V d r r n Vd r r q r t dΣ Σ Σ Σ Σ Ω Ω Ω + ρ ⋅ ω + δ − τ ⋅ ⋅ ω + δ − ω∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ �� (10) Последнее уравнение и выражает собой в балансной интегральной форме закон сохра- нения энергии для рассматриваемого случая (см. рисунок). Упростим несколько это уравне- ние с целью получения той его формы, в которой записывают уравнение энергии при форму- лировке первого начала термодинамики. Прежде всего, учитывая уравнение неразрывности (3), левую подынтегральную часть в (10) представим в виде 2 2 2\| \| \| \| \| \| div div 2 2 2 V V V u u V u t t ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ρ ∂⎛ ⎞+ ρ + = ρ + +ρ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ � � � � 2 2\| \| \| \| div( ) , 2 2 V d V u V u t dt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ρ⎛ ⎞+ρ + + ρ = ρ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ � � � а также учитывая, что grad( ) d V dt t ρ ∂ρ= + ρ ∂ � , 1 1 div d d V dt dt ρ= − = ρ ρ ρ � , div( ) dp p pV d t ∂ρ − ρ ∂ � , после прибавления dp d ρ ρ к обеим частям уравнения (10) окончательно запишем его в виде 2\| \| div( ) 2 t t t d V p p u d V d d dt tΩ Ω Ω ⎛ ⎞ ∂ρ + + ω = σ⋅ ω + ω+⎜ ⎟ρ ∂⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ � � �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) .T t t t g V d r r n Vd r r q r t dΣ Σ Σ Σ Σ Ω Ω Ω + ρ ⋅ ω + δ − τ ⋅ ⋅ ω + δ − ω∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ �� (11) 75ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3 Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу Из уравнения (11) получаем уравнение для компонент тензора диссипации тепловой энергии T T , 1; 3 ik i k= τ = τ �� T ( ) ,ik i ik i k k k k w n w C g w xΣ ∂ σ τ = − −ρ ∂ (12) где 2\| \| ( , ) 2 d V p p C u q r t dt t Σ ⎛ ⎞ ∂= ρ + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ∂⎝ ⎠ � � , 1; 3( )i iV w == � . Компоненты тензора диссипации тепловой энергии для одномерного установившего- ся течения невязкого газа. В предположении одномерного установившегося движения ги- дравлически идеального (невязкого) газа тензор диссипации тепловой энергии имеет одну компоненту 11 Tτ и уравнение (12) принимает вид 11 T , E q x w τ∂ = − + ∂ ρ ρ (13) где 2 2 w p E u= + + ρ и учтено, что в этом случае ( ) ( ) rV r w x e= � � � , rr xe= � � , grad x ∂= ∂ . Полагая 112 T T 1 x x h dx τ Δ = ρ∫ , 2 * 1 x x q q dx w = ρ∫ , из (12) получаем уравнение энергии в форме 1-го закона термодинамики для потока иде- ального газа * 1 2 T,E q E h+ = +Δ (14) где ThΔ — потери энергии из-за теплового сопротивления, q — подводимый удельный те- пловой поток. При политропном подводе теплоты, когда 2 1( ) 1v n k q c T T n −= − − , где vc — удельная теплоемкость изохорного процесса, n и k — соответственно показатели политропы и адиабаты, с учетом того, что 2 1 2 1 2 1 ( ) p p R T T− = − ρ ρ , 2 1 2 1( ) ( 1) ( )vR T T c k T T− = − − , уравнение (14) позволяет определить ThΔ в виде 2 2 2 1 T 2 1 1 ( ) , 1 2v w wk h n c T T n −−⎛ ⎞Δ = − +⎜ ⎟−⎝ ⎠ 76 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 3 Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко откуда, полагая T 1 Th h= ρ Δ , для теплового сопротивления, выраженного в единицах давле- ния, получаем выражение [9] 2 2 11 1 1 1 2 1 2 1 ( ) 1 . 1 2 n T v w Tk h n c T T n T − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ρ− ⎢ ⎥⎛ ⎞= ρ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (15) Таким образом, выполнение неравенства T 2 0 h w ∂ < ∂ (16) является необходимым условием для потери устойчивости стационарного течения газа и самовозбужения термоакустических автоколебаний. При выполнении обратного неравен- ства стационарный режим является устойчивым или возможно "жесткое" возбуждение ав- токолебаний [8]. Для возможности вычисления производной T 2/h w∂ ∂ и анализа неравенства (16) необ- ходимо конкретизировать структуру теплоподвода. Будем предполагать, что отсутствует теплообмен с внешней средой и подвод теплоты к газу осуществляется с постоянной мощ- ностью W , например конвективно от спирали электронагревателя. Из условия теплового баланса, при стационарном течении газа, получаем следующее уравнение: 2 1( ),W c m T TΠ= − (17) где m w= ρ — удельный массовый расход газа. Предполагая, что 1 constρ = и 1 constT = , приходим к следующему алгоритму для определения зависимости T T 2( )h h w= . Рассматри- вая температуру 2T как варьируемый параметр, определяем выражения для зависимостей T T 2( )h h T= и 2 2 2( )w w T= , из которых, исключая 2T , получаем необходимое выражение для T 2( )h w . Действительно, с учетом, что 2 1 2 1 w w ρ = ρ , выражение для T 2( )h T следует из соотношения (15). Зависимость T 2( )w T определяется из уравнения теплового баланса (17): 1 12 2 2 2 2 1 2 2 1 1 , , . ( ) nm TW w m c T T T − Π ⎛ ⎞ = = ρ = ρ ⎜ ⎟ρ − ⎝ ⎠ (18) Из соотношений (18) следует, что 1 12 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 , 1 1 . 1 n v T w w Tn W w n k c T T T T T T n T − ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂−= = − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ρ − ∂ − −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (19) Поэтому, полагая 1 , 2 1 ,sgnn k T n n k T ⎡ ⎤⎛ ⎞ γ = −⎢ ⎥⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 77ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3 Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу где sgn — стандартная знаковая функция, и учитывая, что 1 2T T< , из (19) получаем, что имеет место равенство 2 , 2 sgn .n k w T ⎡ ⎤∂ = γ⎢ ⎥∂⎣ ⎦ (20) Элементарно проверяется, что 1 2 , 1 2 1, если / , 1, если ( ; / ) ( ; ).n k T T n k n T T k < <⎧ γ = ⎨− ∈ −∞ ∪ +∞⎩ Далее, с учетом, что T T 2 2 2 2 / , / h h T w w T ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ согласно (20) неравенство (16) эквивалентно неравенству , 2 0.T n k h T ∂ γ < ∂ При этом 2 2 1 0 1 222 1 1 ( )1 1 1 1 , ( ) ( 1) , 1 ( 1) n nT nT x T df xh k n x f x C n x C T T dx n n k x − = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥∂ − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − + ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ − − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (21) где 0 1 1vC c T= ρ , 2 1 2 2 1 12 v W C T c = ρ . Таким образом, согласно (21) условие неустойчивости стационарного течения идеально- го газа в рассматриваемой задаче окончательно запишется в форме следующего неравенства: , ( ) 0.n n k df x dx γ < (22) Соответственно, при выполнении обратного неравенства стационарное течение будет устойчивым. Подчеркнем еще раз, что полученные выводы справедливы лишь при прене- брежении вязкостью газа, так как в противном случае в потоке возникает вязкостное сопро- тивление, которое при определенных условиях также может порождать отрицательное со- противление и, таким образом, являться отдельным механизмом неустойчивости [11, 12]. Отметим, что при фиксированных значениях параметров потока газа до области тепло- подвода и показателя политропы n возможны различные случаи характера устойчивости стационарного течения. Вероятно, что неравенство (22) выполняется всюду или же всюду выполняется обратное неравенство. Также возможно, что уравнение ( ) / 0ndf x dx = имеет действительные корни. В последнем случае возникают области устойчивости и неустойчи- вости стационарного течения. Например, при изобарном подводе теплоты в канале неиз- менного сечения с постоянной мощностью теплового потока W справедливо 1 0 1 0, 0 2 2 2 ( )1 2 1, ( ) , 0 1. 1 ( 1) k C df x Cx f x x x dxk k x +⎛ ⎞γ = − = = > ∀ >⎜ ⎟⎝ ⎠− − 78 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 3 Б.И. Басок, В.В. Гоцуленко Поэтому в этом случае подвод теплоты при постоянном давлении приводит к абсо- лютной неустойчивости стационарного течения невязкого газа. При подводе теплоты к газу с показателем политропы 2n = стационарное течение, наоборот, является абсолютно устойчивым. Действительно, в этом случае 1 2 2, 2 0 2 2 ( )1 1, ( ) 2( 1) ( 1) , 0 1. (2 ) ( 1) k C df xx f x k C x x dxk x x +γ = − = − − − + < ∀ > − − Таким образом, исследована задача трехмерного движения реального газа при локаль- ном подводе к нему теплоты. В соответствии с подходом Б.В. Раушенбаха зона теплопод- вода условно аппроксимирована некоторой поверхностью, на которой терпят разрыв ги- дродинамические и термодинамические параметры потока газа. Вместо традиционного рассмотрения граничных условий на данной поверхности в уравнении движения с помо- щью дельта-функции Дирака явно выделено слагаемое в виде тензора диссипации тепловой энергии, который ассоциирован с данной поверхностью. Как следствие применения закона сохранения энергии к элементарному объему, составленному из частиц движущейся среды, получено уравнение для компонент данного тензора. Рассмотрены некоторые частные случаи применения полученной общей математической модели. Для одномерного устано- вившегося течения идеального газа тензор диссипации тепловой энергии преобразуется в тепловое сопротивление, которое является местным гидравлическим сопротивлением об- ласти теплоподвода. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Худяев С.И., Ушаковский О.В. Пространственная неоднородность и автоколебания при течении струк- турированной жидкости. Матем. моделирование. 2002. 14, № 7. С.53—73. 2. Мелких А.В., Селезнев В.Д. Автоколебания неизотермического течения вязкой жидкости в канале. ТВТ. 2008. 46, № 1. С.100—109. 3. Беляев Н.М., Белик Н.П., Польшин А.В. Термоакустические колебания газожидкостных потоков в сложных трубопроводах энергетических установок. Киев: Высш. шк., 1985. 160 c. 4. Гоцуленко В.В. Математическое моделирование особенностей феномена Рийке при изменении мощ- ности теплового потока. Матем. моделирование. 2004. 16, № 9. С. 23—28. 5. Басок Б.И., Гоцуленко В.В. Теория феномена Рийке в системе с сосредоточенными параметрами. Акуст. вестн. 2010. 13, № 3. C. 3—8. 6. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Москва: Наука, 1969. 824 c. 7. Раушенбах Б.В. Вибрационное горение. Москва: Физматгиз, 1961. 500 c. 8. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. Москва: ЛИБРОКОМ, 2010. 552 c. 9. Басок Б.И., Гоцуленко В.В. Отрицательное тепловое сопротивление в одномерном установившемся те- чении совершенного невязкого газа. Труды МФТИ. 2014. 6, № 4. C. 153—157. 10. Курбатова Г.И., Филиппов В.Б. Элементы тензорного исчисления. Основы моделирования движущих- ся сплошных сред. Санкт-Петербург: Изд-во СПбГУ, 2003. 232 c. 11. Басок Б.И., Гоцуленко В.В. Автоколебания в трубе Рийке при расположении ресивера на ее входе. Те- плофизика и аэромеханика. 2014. 21, № 4. С. 487—496. 12. Basok B.I., Gotsulenko V.V. Regularities of thermoacoustic oscillations in lehmann's plant with a coolant moving in reverse. Mathematical Models and Computer Simulations. 2017. 9, Iss. 6. P. 669—678. Поступило в редакцию 05.11.2017 79ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 3 Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу REFERENCES 1. Khudyaev, S. I. & Ushakovskii, O. V. (2002). Space nonuniformity and auto-oscillations in the structured liquid flow. Matem. Modelirovanie, 14, No. 7, pp. 53-73 (in Russian). 2. Melkikh, A. V. & Seleznev, V. D. (2008). Self-oscillations of nonisothermal flow of viscous liquid in a channel. High Temperature, 46, Iss. 1, pp. 91-99 (in Russian). 3. Belyaev, N. M., Belik, N. P. & Pol’shin, A. V. (1985). Thermoacoustic vibrations of gas-liquid flows in complex pipes of power plants. Kiev: Vysshaya shkola (in Russian). 4. Gotsulenko, V. V. (2004). Mathematical modelling of Riyke’s phenomenon picularities when changed the heat flow power. Matem. Modelirovanie, 16, No. 9, pp. 23-28 (in Russian). 5. Basok, B. I. & Gotsulenko, V. V. (2010). A theory of the Rijke phenomenon in a system with lumped param- eters. Acoustic bulletin, 13, No. 3, pp. 3-8 (in Russian). 6. Abramovich, G. N. (1969). Applied gas dynamics. Moscow: Nauka (in Russian). 7. Rauschenbach, B. V. (1961). Vibrating burning. Moscow: Fizmatgiz (in Russian). 8. Landa, P. S. (2010). Nonlinear oscillations and waves. Moscow: LIBROKOM (in Russian). 9. Basok, B. I. & Gotsulenko, V. V. (2014). Negative thermal resistance in the one-dimensional steady flow of a perfect inviscid gas. Proceedings of MIPT. 6, No. 2, pp. 153-157 (in Russian). 10. Kurbatova, G. I. & Filippov, V. B. (2002). Elements of tensor calculus. Fundamentals of modeling moving continua. St.-Petersburg: Izd-vo SPbGU (in Russian). 11. Basok, B. I. & Gotsulenko, V. V. (2014). Self-oscillations in a Rijke tube with receiver positioning at its en- trance. Thermophysics and Aeromechanics, 21, Iss. 4, pp. 469-478. 12. Basok, B. I. & Gotsulenko, V. V. (2017). Regularities of thermoacoustic oscillations in lehmann's plant with a coolant moving in reverse. Mathematical Models and Computer Simulations. 9, Iss. 6, pp. 669-678. Received 05.11.2017 Б.І. Басок, В.В. Гоцуленко Iнститут технiчної теплофiзики НАН України, Київ E-mail: gosul@ukr.net МЕХАНІЗМИ ТЕПЛОГІДРОДИНАМІЧНОЇ НЕСТІЙКОСТІ ЗА УМОВ ЛОКАЛЬНОГО ПІДВЕДЕННЯ ТЕПЛОТИ ДО ГАЗУ Побудовано математичну модель нестаціонарних рухів газу за умов локального підведення до нього те- плоти вздовж деякої поверхні. У рівнянні руху для розглянутої задачі конкретизовано тензор дисипації те- плової енергії, що асоційований з поверхнею теплопідведення і характеризує наявність від'ємного тепло- вого опору. Одержано рівняння на компоненти даного тензора і розглянуто деякі його окремі випадки. Ключові слова: тензор дисипації теплової енергії, "від'ємний" тепловий опір, нестійкість, термоакустичні автоколивання. B.I. Basok, V.V. Gotsulenko Institute of Technical Heat Physics of the NAS of Ukraine, Kiev E-mail: gosul@ukr.net MECHANISMS OF HEAT-HYDRODYNAMIC INSTABILITY WITH LOCAL HEAT SUPPLY TO GAS A mathematical model of nonstationary gas motions with a local supply of heat to a gas along a certain surface is developed. In the equations of motion, the heat energy dissipation tensor associated with the heat supply surface and characterizing the presence of a negative thermal resistance is specified. An equation is obtained for the com- ponents of the given tensor, and some of its particular cases are considered. Keywords: thermal energy dissipation tensor, "negative" thermal resistance, instability, thermoacoustic self-oscilla- tions.

Механизмы теплогидродинамической неустойчивости при локальном подводе теплоты к газу

Institution

Ähnliche Einträge