Модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек
Исследованы модели с четырьмя степенями свободы, описывающие параметрические колебания цилиндрической оболочки при геометрически нелинейном деформировании. Динамика системы описывается уравнениями Доннелла–Муштари–Власова. Дискретизация проводится методом Бубнова–Галеркина. С помощью метода многих м...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2010
|
| Назва видання: | Проблемы машиностроения |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141816 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек / Р.Е. Кочуров, К.В. Аврамов // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 3. — С. 55-61. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-141816 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1418162018-09-15T01:23:05Z Модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек Кочуров, Р.Е. Аврамов, К.В. Прикладная математика Исследованы модели с четырьмя степенями свободы, описывающие параметрические колебания цилиндрической оболочки при геометрически нелинейном деформировании. Динамика системы описывается уравнениями Доннелла–Муштари–Власова. Дискретизация проводится методом Бубнова–Галеркина. С помощью метода многих масштабов в области основного параметрического резонанса для всех моделей получены мягкие амплитудно-частотные характеристики параметрических колебаний. Досліджені моделі з чотирма ступенями свободи, що описують параметричні коливання циліндричної оболонки при геометрично нелінійному деформуванні. Динаміка системи описується рівняннями Доннелла–Муштарі–Власова. Дискретизація проводиться методом Бубнова–Гальоркіна. За допомогою методу багатьох масштабів в області основного параметричного резонансу для всіх моделей отримані м’які амплітудно-частотні характеристики параметричних коливань. The models of nonlinear parametric vibrations of cylindrical shells with four degrees of freedom are investigated. Donnel’s non-linear shallow-shell theory is used. To obtain a finite degree-of-freedom model of shell motions the Bubnov-Galerkin method is applied. The dynamical systems are analyzed by multiply scales method. 2010 Article Модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек / Р.Е. Кочуров, К.В. Аврамов // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 3. — С. 55-61. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0131-2928 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141816 539.3 ru Проблемы машиностроения Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Прикладная математика Прикладная математика |
| spellingShingle |
Прикладная математика Прикладная математика Кочуров, Р.Е. Аврамов, К.В. Модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек Проблемы машиностроения |
| description |
Исследованы модели с четырьмя степенями свободы, описывающие параметрические колебания цилиндрической оболочки при геометрически нелинейном деформировании. Динамика системы описывается уравнениями Доннелла–Муштари–Власова. Дискретизация проводится методом Бубнова–Галеркина. С помощью метода многих масштабов в области основного параметрического резонанса для всех моделей получены мягкие амплитудно-частотные характеристики параметрических колебаний. |
| format |
Article |
| author |
Кочуров, Р.Е. Аврамов, К.В. |
| author_facet |
Кочуров, Р.Е. Аврамов, К.В. |
| author_sort |
Кочуров, Р.Е. |
| title |
Модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек |
| title_short |
Модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек |
| title_full |
Модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек |
| title_fullStr |
Модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек |
| title_full_unstemmed |
Модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек |
| title_sort |
модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Прикладная математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141816 |
| citation_txt |
Модели нелинейных параметрических колебаний цилиндрических оболочек / Р.Е. Кочуров, К.В. Аврамов // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 3. — С. 55-61. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Проблемы машиностроения |
| work_keys_str_mv |
AT kočurovre modelinelinejnyhparametričeskihkolebanijcilindričeskihoboloček AT avramovkv modelinelinejnyhparametričeskihkolebanijcilindričeskihoboloček |
| first_indexed |
2025-07-10T13:33:58Z |
| last_indexed |
2025-07-10T13:33:58Z |
| _version_ |
1837267099710390272 |
| fulltext |
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 55
УДК 539.3
Р. Е. Кочуров*
К. В. Аврамов**, д-р. техн. наук
* Национальный технический университет «ХПИ»
(г. Харьков, E-mail: roman_kochurov@ukr.net)
** Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины
(г. Харьков, E-mail: kvavr@kharkov.ua)
МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Исследованы модели с четырьмя степенями свободы, описывающие параметрические
колебания цилиндрической оболочки при геометрически нелинейном деформировании.
Динамика системы описывается уравнениями Доннелла–Муштари–Власова. Дискрети-
зация проводится методом Бубнова–Галеркина. С помощью метода многих масштабов
в области основного параметрического резонанса для всех моделей получены мягкие ам-
плитудно-частотные характеристики параметрических колебаний.
Досліджені моделі з чотирма ступенями свободи, що описують параметричні коливан-
ня циліндричної оболонки при геометрично нелінійному деформуванні. Динаміка систе-
ми описується рівняннями Доннелла–Муштарі–Власова. Дискретизація проводиться
методом Бубнова–Гальоркіна. За допомогою методу багатьох масштабів в області ос-
новного параметричного резонансу для всіх моделей отримані м’які амплітудно-
частотні характеристики параметричних коливань.
Введение
Цилиндрические оболочки широко используются в аэрокосмической технике, энер-
гетике, машиностроении и химическом машиностроении. В процессе эксплуатации цилинд-
рические оболочки часто находятся под действием продольных динамических нагрузок. По-
этому понятен интерес инженеров и исследователей к проблемам параметрических колеба-
ний цилиндрических оболочек.
Некоторые вопросы параметрических колебаний цилиндрических оболочек при их
геометрически нелинейном деформировании рассматриваются в монографиях [1–4]. В ста-
тье [5] исследуется динамическая неустойчивость консольной цилиндрической оболочки,
которая находится под действием сейсмического возбуждения. Ковал [6] исследовал взаи-
модействие продольных, изгибных и крутильных колебаний цилиндрической оболочки, ко-
торое возбуждается параметрической нагрузкой. В статье рассмотрены колебания в области
основного параметрического и комбинационного резонансов. В работе [7] уравнения Дон-
нелла–Муштари–Власова используются в анализе параметрических колебаний цилиндриче-
ских оболочек. Исследуется влияние осесимметричных форм колебаний на области динами-
ческой неустойчивости. Ковальчук и Краснопольская [8] исследовали влияние начальных
несовершенств на области динамической неустойчивости шарнирно-опертых цилиндриче-
ских оболочек.
В данной статье представлены три модели с конечным числом степеней свободы, ко-
торые соответствуют различным видам волнообразования в цилиндрической оболочке. По-
казано, что эти модели описываются одной системой обыкновенных дифференциальных
уравнений с различными численными значениями коэффициентов. Исследуются амплитуд-
но-частотные характеристики в области основного параметрического резонанса.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 56
Постановка задачи
Рассмотрим идеально цилиндрическую оболочку, шарнирно-опертую на торцевых
сечениях. Оболочка является тонкой. Поэтому пренебрежем сдвигом, инерцией вращения и
продольной инерцией оболочки. Рассмотрим геометрически нелинейное деформирование
оболочки; исследуем малые деформации и умеренные перемещения. Тогда связь между на-
пряжениями и деформациями удовлетворяет закону Гука. В этом случае колебания оболоч-
ки описываются уравнениями Доннела–Муштари–Власова [1]
,11
;21
22
2
2
222
2
2
4
2
2
222
22
2
2
2
2
2
2
2
4
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
+
∂
∂
−=∇
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂∂
∂
∂∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
ρ+∇
yR
w
x
w
yxR
w
x
w
R
F
Eh
x
F
yR
w
yxR
F
yxR
w
yR
F
x
w
x
F
Rt
whwD
(1)
где D = Eh3(1 – μ2)–1/12 − цилиндрическая жесткость оболочки; ρ − плотность материала
оболочки; h, R − толщина и радиус оболочки; w − радиальные перемещения точек срединной
поверхности оболочки; x, y − продольная и окружная координаты (рис. 1); F − функция на-
пряжений; E, μ − модуль Юнга и коэффициент Пуассона.
Пусть оболочка испытывает действие равномерно распределенных по торцам перио-
дических во времени усилий осевого сжатия вида Nx(t) = N1cos2νt, N1 = const > 0 (рис. 1).
Исследуем колебания оболочки в области основного параметрического резонанса. В
этом случае преобладают колебания по одной резонансной собственной форме. Поэтому в
аппроксимирующем выражении для прогиба ограничимся только одной парой сопряженных
собственных форм. Динамический прогиб оболочки w представим так [3, 4]:
w = f1(t)cos(sy)sin(rx) + f2(t)sin(sy)sin(rx) + f3(t)sin2(rx) + f4(t), (2)
где s = n/R; r = mπ/L; n – число волн в окружном направлении; m – число полуволн вдоль об-
разующей; f1(t), …, f4(t) – обобщенные координаты оболочки. Сопряженные собственные
формы f1cos(sy)sin(rx), f2sin(sy)sin(rx) имеют одинаковые собственные частоты. Поэтому они
часто возбуждаются совместно. Взаимодействие сопряженных форм может привести к воз-
буждению бегущей волны в цилиндрической оболочке. Функция f3sin2(rx) не является собст-
венной формой колебаний оболочки, а отражает экспериментально установленный факт:
прогибы оболочки относительно срединной поверхности к центру кривизны значительно
превышают прогибы вдоль внешней нормали. Слагаемое f4 описывает радиальные переме-
щения точек, принадлежащих торцевым сечениям оболочки. Это слагаемое не зависит от
окружной координаты y, то есть предполагается, что торцевые сечения при колебаниях обо-
лочки могут «дышать» [3]. Отметим, что граничное условие Mx = 0 для прогиба (2) не удов-
летворяется. Однако это обстоятельство практически не влияет на колебания оболочки
[3, 4].
Рассмотрим другие аппроксимации
прогиба оболочки. Прогиб оболочки, удовле-
творяющий всем краевым условиям, можно
представить так:
.)(sin
)sin()sin()sin()cos(
4
4
3
21
frxf
rxsyfrxsyfw
++
++=
(3)
В работах [9, 10] для аппроксимации
прогиба оболочки используется следующее
разложение:
),sin()sin(
)sin()sin()sin()cos(
2413
21
xrfxrf
rxsyfrxsyfw
++
++=
, (4)
где r1 = m1π/L; r2 = m2π/L; m1, m2 – число полу-Рис. 1. Эскиз оболочки
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 57
волн вдоль образующей. В работах [9, 10] показано, что при использовании разложения (4)
результаты численного анализа колебаний оболочки совпадают с экспериментальными дан-
ными.
Дискретные модели колебаний
Функция напряжений F является решением второго уравнения системы (1). Для его
решения одно из разложений (2)–(4) вводится в это уравнение. В результате получаем ли-
нейные уравнения в частных производных относительно функции напряжения F. Подчерк-
нем, что правые части этих уравнений будут различны; они зависят от разложения (2)–(4).
Решения таких уравнений представим в виде
F = Fh + Fp, (5)
где Fh – общее решение однородного уравнения; Fp
– частное решение неоднородного урав-
нения. Общее решение второго уравнения системы (1) Fh определяется c использованием
условия периодичности окружных перемещений [3]. Для разложений (2)–(4) эти решения
запишем так:
.
2
1
2
1
16
2
42
2
31
222
2
1
2 xf
R
ExfEyNxNxfsEF xx
i
iih ϑ−ϑ−−μ−= ∑
=
(6)
Для разложений (2)–(4) параметры ϑ1 и ϑ1 принимают соответственно следующие
значения:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=ϑϑ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=ϑϑ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=ϑϑ
21
212121
1;1);(;
2
1;
16
3);(;
2
1;
4
1);(
LrRLrRR
.
Частные решения Fp для разложений (2)–(4) имеют вид
.sinsin)cos(sin)cos(sin
)cos(cos)cos(cos)cos(sin
)cos(sin)cos(cos)cos(cos
sinsinsincos2sin2cos2cosв)
.3sinsin3sincossinsinsincos
2sin2cos4cos2cosб)
.3sinsin3sincossinsinsincos
2sin2cos2cosа)
2
)3(
161
)3(
152
)3(
142
)3(
13
2
)3(
122
)3(
111
)3(
10
1
)3(
91
)3(
81
)3(
7
)3(
6
)3(
5
)3(
4
)3(
3
)3(
1
)3(
)2(
8
)2(
7
)2(
6
)2(
5
)2(
4
)2(
3
)2(
2
)2(
1
)2(
)1(
8
)1(
7
)1(
6
)1(
5
)1(
4
)1(
3
)1(
1
)1(
xrFxrFxrrsyFxrrsyF
xrrsyFxrrsyFxrrsyF
xrrsyFxrrsyFxrrsyF
rxsyFrxsyFsyFsyFrxFF
rxsyFrxsyFrxsyFrxsyF
syFsyFrxFrxFF
rxsyFrxsyFrxsyFrxsyF
syFsyFrxFF
p
p
p
++++−+
+++−+++
+−+++−+
+++++=
++++
++++=
++++
+++=
(7)
Решения (7) а), б) и в) соответствуют разложениям (2), (3) и (4).
Каждая из функций напряжений (7) вводится в первое уравнение системы (1). К по-
лученным уравнениям применяется метод Бубнова–Галеркина. В результате получаем сис-
темы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающие колебания
оболочек. Все эти системы одинаковые. У них разнятся лишь численные значения коэффи-
циентов. К полученной системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
применим следующую замену переменных: tt 0
~ ω= ; )()(
~ 1 tfhtf ii
−= . В результате получим
динамическую систему
( ) ;2,1,044,33,
2
22
2
11
2 ==χ+λ+λ+γ+γ+ω+ ifNfffffffff ixiiiiiiiiiii
&& (8)
;0~ 2
232
2
1314
2
33
2
33 =γ+γ+ω+ω+ fffff&& (9)
.0~ 2
242
2
1413
2
44
2
44 =γ+γ+ω+ω+ fffff&& (10)
Величины γik, λik, χi зависят от вида разложения (2), (3) и (4) и от параметров оболоч-
ки. Они здесь не приводятся для краткости.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 58
Частоты ω3, ω4 значительно больше частот ω1, ω2. Поэтому при анализе уравнений
(9), (10) предполагается, что 03 =f&& , 04 =f&& . Из уравнений (9), (10) получаем связь между
обобщенными координатами
( ) ( ) ( ) ,~;~ 1
2
1
2
44
2
1
2
334
1
2
1
2
34
2
1
2
433
−
==
−
==
η⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
γω−γω=η⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
γω−γω= ∑∑∑∑
i
ii
i
i
j
i
i
i
j
i
i
i
j
i ffffff (11)
где .~~
4343 ωω−ωω=η
Уравнения (11) введем в (8). В полученную систему добавим слагаемые, описываю-
щие линейное демпфирование в системе. Так как вклад нелинейных слагаемых в упругость
оболочки значительно меньший в сравнении с линейными слагаемыми, в систему (8) можно
ввести малый параметр. Тогда уравнения, описывающие параметрические колебания обо-
лочки, примут следующий вид:
( )( )[ ] ;02 4
2
2
2
2
1
4
13
2
22
2
11
2 =χ+++η+η+η+ξε+ω+ ixiiiiiiiiii fNffffffffff &&& (12)
где i = 1, 2; 0 < ε << 1; 12
2
2
1 =ω=ω . Остальные параметры системы (12) не приводятся для
краткости изложения.
Асимптотический анализ дискретной модели
Для исследования динамики систем (12) воспользуемся методом многих масштабов
[11]. Решение представим так:
,2,1...,,...),(,...),(),( 10
)1(
10
)0( =+ε+=ε jTTfTTftf jjj (13)
где T0 =t; T1 = εt. Асимптотические разложения (13) введем в уравнения (12) и, приравнивая
слагаемые при ε0, ε1; получим
;0)0(2
2
0
)0(2
=ω+
∂
∂
ii
i f
T
f
(14)
( )
.3,2,1;2,1),cos(
2
2
01
)0(
4)0(
23
2)0(
2
2)0(
13
4)0(
13
2)0(
22
2)0(
11
)0(
0
)0(
10
)0(2
)1(2
2
0
)1(2
==Ωχ−
−η+η+η+η+η
−
∂
∂
μ−
∂∂
∂
−=ω+
∂
∂
jiTNf
fffffff
T
f
TT
ff
T
f
ii
iiiiii
i
i
i
ii
i
(15)
Рассмотрим колебания в области основного параметрического резонанса
2ν = 2ω1 + εδ, (16)
где δ – параметр расстройки. Тогда из уравнений (14) имеем
.2,1),exp()()exp()(),( 010110
)0( =ω−+ω= jTiTATiTATTf jjjjj (17)
Введем (17) в (15) и приравняем нулю секулярные члены. Получим систему модуля-
ционных уравнений относительно A1, A2
( )
( ) .046612210
)exp(5,0232
;046612210
)exp(5.0232
12
3
1
2
1
2
12
2
2
2
12121
2
2
2
1
3
2
2
2
3
223
212112212
2
1212
2
22222222
21
3
2
2
2
2
21
2
1
2
21212
2
1
2
2
3
1
2
1
3
113
111221121
2
2121
2
11111111
=+++++η+
+δεχ+η+η+η+ωξ+′ω
=+++++η+
+δεχ+η+η+η+ωξ+′ω
AAAAAAAAAAAAAAAAA
itANAAAAAAAAiAi
AAAAAAAAAAAAAAAAA
itANAAAAAAAAiAi
(18)
Систему (18) запишем относительно полярных координат ak(T1), αk(T1)
[ ] 2,1,)(exp)(
2
1)( 111 =α= kTiTaTA kkk . (19)
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 59
Соотношения (19) введем в (18) и разделим действительные и мнимые части. В ре-
зультате получим следующие системы модуляционных уравнений:
( )
( )
,0cos
4
1)cos(
8
1
4
1
8
1
16
3
8
3
16
5
4
1
8
3
2
1
;0cos
4
1)cos(
8
1
4
1
8
1
16
3
8
3
16
5
4
1
8
3
2
1
;0sin
4
1)sin(
8
1
2
1
;0sin
4
1)sin(
8
1
2
1
212
4
1223
2
1
3
223
2
1221
4
1223
2
1
3
223
5
223
2
1221
3
2222222
111
4
2113
2
2
3
113
2
2112
4
2113
2
2
3
113
5
113
2
2112
3
1111111
212
2
1
3
223
4
1223
2
122122222
111
2
2
3
113
4
2113
2
211211111
=ψχ+ψ−ϕ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ η+η+η+
+η+η+η+η+η+δω−ωψ
=ϕχ+ψ−ϕ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ η+η+η+
+η+η+η+η+η+δω−ωϕ
=ψχ+ψ−ϕ+η+η+η−ωξ+ω
=ϕχ+ψ−ϕ+η+η+η+ωξ+ω
aNaaaaaa
aaaaaaaaaa
aNaaaaaa
aaaaaaaaaa
aNaaaaaaaa
aNaaaaaaaa
&
&
&
&
(20)
где ϕ = T1δ – 2α1, ψ = T1δ – 2α2.
Состояния равновесия динамической системы (20) соответствуют периодическим
колебаниям механической системы (12). Эти состояния удовлетворяют уравнениям
021 =ψ=ϕ== &&&& aa и описываются системой нелинейных алгебраических уравнений, кото-
рые выводятся из (20). Для получения амплитудно-частотной характеристики периодиче-
ских колебаний параметр расстройки δ задается с некоторым шагом. Для каждого значения
δ величины a1, a2, ϕ, ψ определяются численным решением системы нелинейных алгебраи-
ческих уравнений методом Ньютона. Подробно исследуем следующие два вида решений
системы:
a1 ≠ 0, a2 = 0, ϕ ≠ 0, ψ ≠ 0, (21)
a1 = a2 ≠ 0, ϕ = ψ ≠ 0. (22)
Решения (21) описывают движение оболочки с одной активной модой из двух со-
пряженных форм колебаний (f1 ≠ 0; f2 ≠ 0) (2)–(4). Решения (22) описывают движение на не-
линейных нормальных формах f1 = ±f2, которые являются прямыми линиями в конфигураци-
онном пространстве динамической системы (12).
Исследуем устойчивость полученных движений. Для этого систему модуляционных
уравнений (18) преобразуем к декартовым координатам, используя замену переменных.
Aj(T1) = [xj(T1) + iyj(T1)]exp(0,5iδTi1), j = 1, 2. (23)
Систему (20) в декартовых координатах можно представить так:
( )
( ) ,2,1;,,,
4
1
2
1
2
1
;,,,
4
1
2
1
2
1
22111
1
22111
1
=+ωχ+δ−ξ−=′
+ωχ+δ+ξ−=′
−
−
iyxyxYyNxyy
yxyxXyNyxx
iiiiiiii
iiiiiiii
(24)
где Xi, Yi – нелинейные функции, которые не приводятся для краткости. Для исследования
устойчивости из системы (24) выводится система уравнений в вариациях. На основании этой
системы анализируется устойчивость состояний равновесия.
Численный анализ колебаний
В дальнейшем рассмотрим оболочку со следующими численными значениями пара-
метров [12]: h = 0,002 м; L = 0,4 м; R = 0,2 м; E = 2,1⋅1011 Н/м2; μ = 0,3; ρ = 7850 кг/м3;
ξ1 = ξ2 = 0,01; ε = 0,01; N1 = 0,4Ncr; Ncr = 2,54⋅106 Н/м, где Ncr – значение продольной сжи-
мающей нагрузки, при которой происходит потеря статической устойчивости оболочки. В
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 60
расчетах параметры волнообразования принимались следующими: n = 5; m = m1 = 1; m2 = 3.
Первая собственная частота колебаний оболочки принимает значение ω0 = 3165,03 рад/с.
Эта частота описывает форму с одной полуволной в продольном направлении и пятью вол-
нами по окружной координате.
Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), выражающие зависимость амплитуд
колебаний a1 от параметра расстройки частот δ, приведены на рис. 2. АЧХ (рис. 2, а) описы-
вают стоячие волны в цилиндрических оболочках, которые характеризуются решениями
(21). В этом случае в движении участвует только одна из двух сопряженных форм колеба-
ний. На рис. 2, б показаны АЧХ, которые описывают движения, соответствующие решениям
(22). Такие движения отвечают режимам бегущих волн. Ветви АЧХ, описывающие динами-
ку оболочки в виде (2)–(4), обозначаются цифрами 1–3 на рис. 2 соответственно. Устойчи-
вые движения показаны на рис. 2 сплошной линией, а неустойчивые – пунктирной.
Для подтверждения результатов аналитического анализа проводилось прямое чис-
ленное интегрирование систем (12) при различных значениях частот гармонического воз-
действия ν. На рис. 3 представлены зависимости f1(t) для различных видов волнообразова-
ния. Здесь использовались начальные условия, которые соответствуют точке АЧХ (рис. 2, а)
при δ = –0,3. Сплошной линией показано аналитическое решение, полученное методом мно-
гих масштабов, а точками представлены результаты прямого численного интегрирования
а) б)
Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики системы:
а) – (21); б) – (22)
а) б) в)
Рис. 3. Результаты прямого численного интегрирования для следующих моделей:
а) – (2); б) – (3); в) – (4);
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 3 61
систем (12). Эти результаты свидетельствуют об очень хорошем совпадении результатов
прямого численного интегрирования с данными метода многих масштабов.
Выводы
В статье исследованы три модели с четырьмя степенями свободы, описывающие па-
раметрические колебания цилиндрической оболочки при геометрически нелинейном де-
формировании. Полученные в результате дискретизации динамические модели с двумя сте-
пенями свободы, описывающие нелинейные параметрические колебания, имеют одинако-
вый вид для всех трех моделей. Амплитудно-частотные характеристики параметрических
колебаний цилиндрических оболочек в области основного параметрического резонанса яв-
ляются мягкими для всех дискретных моделей, что качественно согласуется с эксперимен-
тальными результатами, представленными в литературе. Результаты численного интегриро-
вания совпадают с данными, полученными методом многих масштабов.
Литература
1. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – М.: Наука, 1972. – 423 с.
2. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. – М: Гостехиздат, 1956.
3. Кубенко В. Д. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек /
В. Д. Кубенко, П. С. Ковальчук, Т. С. Краснопольская. − Киев: Наук. думка, 1984. − 218 с.
4. Кубенко В. Д. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек / В. Д. Кубенко, П. С. Ковальчук,
Н. П. Подчасов. − Киев: Выща шк., 1989. − 207 с.
5. Vijayaraghavan A. Parametric instability of circular cylindrical shells / A. Vijayaraghavan, R. M. Evan-
Iwanowski // Trans. ASME. J. Appl. Mech. E. – 1967. – 34. – P. 985–990.
6. Koval L. R. Effect of longitudinal resonance on the parametric stability of an axially excited cylindrical
shell // J. Acoustic Soc. America. – 1974. – 55. – P. 91–97.
7. Nagai K. Dynamic stability of circular cylindrical shells under periodic compressive forces / K. Nagai,
N. Yamaki // J. Sound and Vibration. – 1978 – 58. – P. 425–441.
8. Ковальчук П. С. О резонансных явлениях при нелинейных колебаниях цилиндрических оболочек с
начальными несовершенствами / П. С. Ковальчук, Т. С. Краснопольская // Прикл. механика. –
1979. – 15, № 9. – C. 100–107.
9. Pellicano F. Stability and vibration of empty and fluid-fillet circular cylindrical shells under static and
periodic axial loads / F. Pellicano, M. Amabili // Intern. J. Solid and Structures. – 2003. – 40. − P. 3229–
3251.
10. Pellicano F. Effect of the geometry on the nonlinear vibrations analysis of circular cylindrical shells /
F. Pellicano, M. Amabili, M. P. Paїdoussis // Intern. J. Non-Linear Mech. – 2002. – 37. – P. 1181–1198.
11. Nayfeh A. H. Nonlinear Oscillations / A. H. Nayfeh, D. T. Mook. – New York: Wiley, 1988. – 655 p.
12. Gonçalves P. B. Nonlinear Oscillations and Stability of Parametrically Excited Cylindrical Shells /
P. B. Gonçalves, Z. J. G. N. Del Prado // Meccanica. – 2002. − 36. − P. 105–116.
Поступила в редакцию
1.02.10
|