Численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций

Представлены бессеточные методы решения задач моделирования. Предлагаются алгоритмы численной реализации на основе использования радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций. Рассматриваются специальные интегро-дифференциальные уравнения, решениями которых являются атомарные р...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Колодяжный, В.М., Лисина, О.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2010
Schriftenreihe:	Проблемы машиностроения
Schlagworte:	Прикладная математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141829
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций / В.М. Колодяжный, О.Ю. Лисина // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 49-57. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-141829
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1418292018-09-15T01:22:59Z Численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций Колодяжный, В.М. Лисина, О.Ю. Прикладная математика Представлены бессеточные методы решения задач моделирования. Предлагаются алгоритмы численной реализации на основе использования радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций. Рассматриваются специальные интегро-дифференциальные уравнения, решениями которых являются атомарные радиальные базисные функции. Подано безсіткові методи роз’язання задач моделювання. Пропонуються алгоритми чисельної реалізації на основі використання радіальних базисних функцій та атомарних радіальних базисних функций. Розглядаються спеціальні інтегро-диференціальні рівняння, розв’язками яких є атомарні радіальні базисні функції. Meshfree methods for solving modeling problems are introduced. The reviews of articles which are devoted to numerical realization based on the using of radial basis functions and atomic radial basis functions are represented. Integral-differential equations with atomic radial basis functions as the solutions are considered. 2010 Article Численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций / В.М. Колодяжный, О.Ю. Лисина // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 49-57. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0131-2928 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141829 519.63 ru Проблемы машиностроения Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Прикладная математика Прикладная математика
spellingShingle	Прикладная математика Прикладная математика Колодяжный, В.М. Лисина, О.Ю. Численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций Проблемы машиностроения
description	Представлены бессеточные методы решения задач моделирования. Предлагаются алгоритмы численной реализации на основе использования радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций. Рассматриваются специальные интегро-дифференциальные уравнения, решениями которых являются атомарные радиальные базисные функции.
format	Article
author	Колодяжный, В.М. Лисина, О.Ю.
author_facet	Колодяжный, В.М. Лисина, О.Ю.
author_sort	Колодяжный, В.М.
title	Численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций
title_short	Численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций
title_full	Численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций
title_fullStr	Численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций
title_full_unstemmed	Численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций
title_sort	численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Прикладная математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141829
citation_txt	Численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций / В.М. Колодяжный, О.Ю. Лисина // Проблемы машиностроения. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 49-57. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT kolodâžnyjvm čislennyeshemyrešeniâkraevyhzadačnaosnovebessetočnyhmetodovsispolʹzovaniemradialʹnyhbazisnyhfunkcijiatomarnyhradialʹnyhbazisnyhfunkcij AT lisinaoû čislennyeshemyrešeniâkraevyhzadačnaosnovebessetočnyhmetodovsispolʹzovaniemradialʹnyhbazisnyhfunkcijiatomarnyhradialʹnyhbazisnyhfunkcij
first_indexed	2025-07-10T13:35:42Z
last_indexed	2025-07-10T13:35:42Z
_version_	1837267205201330176
fulltext	ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 49 УДК 519.63 В. М. Колодяжный, д-р физ.-мат. наук О. Ю. Лисина Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (г. Харьков, E–mail: kolodyazhny@univer.kharkov.ua) ЧИСЛЕННЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ БЕССЕТОЧНЫХ МЕТОДОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАДИАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ И АТОМАРНЫХ РАДИАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ Представлены бессеточные методы решения задач моделирования. Предлагаются ал- горитмы численной реализации на основе использования радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций. Рассматриваются специальные интегро- дифференциальные уравнения, решениями которых являются атомарные радиальные базисные функции. Подано безсіткові методи роз’язання задач моделювання. Пропонуються алгоритми чисельної реалізації на основі використання радіальних базисних функцій та атомарних радіальних базисних функций. Розглядаються спеціальні інтегро-диференціальні рівнян- ня, розв’язками яких є атомарні радіальні базисні функції. Введение Методы, реализующие аппроксимацию дифференциального уравнения в сильной форме с применением финитных радиальных функций в качестве базисных, относятся к бес- сеточным подходам решения краевых задач. В качестве указанных функций желательно ис- пользовать те, которые обладают свойством инвариантности не только при осуществлении операций сдвигов, но и при поворотах и отображениях в евклидовом пространстве. Этими свойствами обладают положительно определенные функции, составляющие класс радиаль- ных базисных функций (РБФ), а также исследуемые в работах [1–5] – атомарные радиаль- ные базисные функции (АРБФ). С помощью функций указанного класса получены интересные результаты реализа- ции бессеточных схем (Kansa E. J. [6]). Полиномиальные RBF позволили решить ряд про- блем, возникающих при численной реализации методов аппроксимации на основе локально- го метода слабо-сильного решения Петрова–Галеркина и глобального метода слабо- сильного решения Галеркина. Использование комбинированных методов слабо-сильного решения, которые формировались на основе метода наименьших квадратов и метода точеч- ной интерполяции с помощью радиальных базисных функций, позволили осуществлять при интегрировании перерасчеты сеток только вблизи граничных точек. Численная схема решения на основе РБФ Пусть задано некоторое множество точек x1, x2, …, xn ∈ Ω ⊂ Rn. Радиальная базисная функция – такая функция вещественной переменной, значение которой зависит только от расстояния от точки отсчета x до некоторой другой точки xi. Иными словами, функция, удовлетворяющая свойству ( ) nixxxxx iii ...,,1,)(),( =−ϕ=ϕ=ϕ , рассматривается как ради- альная базисная функция, а ее норма ( )ixx,ϕ будет определяться величиной евклидова рас- стояния \|x – xi\|. Пусть задана совокупность величин y1, y2, …, yn ∈ R, заданных на соответст- вующем наборе точек x1, x2, …, xn области Rn. В качестве интерполирующей функции выби- раем линейную комбинацию радиальных базисных функций ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 50 ∑ = +α+ϕα= n i nii xxF 1 1)()( . (1) Реализуя процедуру интерполяции с использованием (1), приходим к системе из n + 1 линейных уравнений ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =α ==α+ϕα ∑ ∑ = = + n j j n i injj nixyx 1 1 1 0 ;...,,1),()( (2) с n + 1 неизвестными коэффициентами αi. Исследование свойств радиальных базисных функций и развитие методов аппрокси- мации с их помощью относится к 1968 году. Задачу интерполяции на основе радиальных базисных функций рассматривал R. L. Hardy [7]. В его обозначениях система (2) записыва- ется в матричном виде Hα = y, где nnn nnn n nn T RpR xx xx ФR p pФ H ∈ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =∈ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ϕϕ ϕϕ =∈⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ×+×+ 1 1 , )(...)( )(...)( , 0 1 111 )1()1( MMMM , 1 111 ]0,...,,[,]...,,[ + + ∈=αα=α nT n T n Ryyy . Неизвестные коэффициенты определяются из выражения α = H–1y. Изначально R. L. Hardy предложил использовать для построения интерполяционных функций так называемые мультиквадратичные РБФ, которые впервые применялись в зада- чах томографии при интерполяции наборов случайно распределенных величин [7, 8]. Опи- санный метод интерполяции в дальнейшем использовался при решении задач аппроксима- ции на основе применения нейронных сетевых алгоритмов, в вычислительной геометрии и также в численных алгоритмах решения дифференциальных уравнений в частных производ- ных [9–14]. Одним из преимуществ РБФ-методов является возможность достаточно точно аппроксимировать распределенные данные без использования процедур перерасчета сетки. Но эта возможность приводит к повышению вычислительной стоимости реализаций и в це- лом связана с вопросами стабильности РБФ-методов. Данные трудности успешно были пре- одолены благодаря разработанным в последнее время методам решения задач интерполяции [15–18]. Наиболее часто используемыми радиальными базисными функциями являются − гауссиан 22 )( rcer −=ϕ ; − мультиквадратичная функция 22)( crr +=ϕ ; − полигармонический сплайн rrr ln)( 2=ϕ , где ixxr −= , xn ∈ Rn, с – произвольно выбираемый параметр, с ≠ 0. Решение задачи аппроксимации на основе РБФ приводит к представлению ( )∑ = ⊆Ω∈−ϕ= n i n ii Rxxxcxs 1 ,)( , где каждому значению s(xi) ставится в соответствие значение искомой функции f(xi) в соот- ветствующей точке xi. Из получаемой системы уравнений находятся неизвестные коэффици- енты ci. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 51 Известно, что в случае применения РБФ для решения задач аппроксимации возника- ет проблема, формируемая принципом «торговли» (trade-off principle) – хорошая сходимость при аппроксимации может быть достигнута только ценою нестабильности. Одним из путей решения этой проблемы является применение РБФ с компактными носителями. Такие РБФ, предложенные в работе H. Wendland’а [19], являются строго положительно определенными в пространстве Rn и могут быть построены с обеспечением любой требуемой степенью глад- кости kCr 2)( ∈ϕ . Классы функции Wendland’а )(, rklϕ при l = (d/2) + k + 1 и k = 0, 1, 2, 3 имеют сле- дующий вид: [ ] [ ].15)4515()45366()15239()1()( ,3)63()34()1()( ),1)1(()1()( ,)1()( 223233 3, 222 2, 1 1, 0, +++++++++−=ϕ +++++−=ϕ ++−=ϕ −=ϕ + + + + + + rlrllrlllrr rlrllrr rlrr rr l l l l l l l l Отметим, что концептуальная схема решения дифференциальных уравнений в част- ных производных на основе использования РБФ предложена E. J. Kansa [6]. Среди приме- няемых на практике алгоритмов решения дифференциальных уравнений в частных произ- водных, основанных на реализации РБФ-методов, выделим следующие: 1. Схемы, определяемые областью решения задачи (domain-type schemes). Представителями данного направления являются несимметричный метод E. J. Kansa и симметричный метод G. E. Fasshauer’а – метод Эр- мита. Недостатки схем этого направления проявляют- ся в значительной потере точности решения уравне- ния вблизи границы области. 2. Схемы, определяемые границей области решения задачи (boundary-type schemes). Данное направление представлено методом фундаментального решения (MFS), который является несимметричным и требует создания фиктивной гра- ницы вне реальной области решения задачи. Недоста- ток схемы определяется особенностями фундамен- тального решения, приводящими к нестабильности решения из-за неправильной геометрии области. Реализации численных алгоритмов на основе использования бессеточных схем определяются двумя подходами: структурированным (рис. 1) и неструкту- рированным (рис. 2). Возникающие трудности при реализации структурированного бессеточного метода связаны с поиском − наиболее приемлемого удовлетворения граничным условиям, − проблемой управления условным числом. Особенности реализации неструктурирован- ного подхода связаны с проблемой удовлетворения граничных условий. Атомарные РБФ Новые перспективы практической реализации бессеточных методов связываются с использованием Рис. 1. Структурированный подход Рис. 2. Неструктурированный подход ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 52 в качестве базисных атомарных функций. Открытию и исследованиям классов атомарных функций мы обязаны В. Л. Рвачеву и В. А. Рвачеву, построившим в 1971 году простейшую одномерную атомарную функцию up(x) [20, 21]. Характерные свойства функции up(x) – бес- конечная дифференцируемость и финитность, т. е. наличие компактного носителя – позво- лили построить алгоритмически простые вычислительные схемы для решения задач интер- поляции и аппроксимации функций [22]. Эти функции использовались в качестве пробных при решении краевых задач на основе применения вариационных методов. Особый класс радиальных базисных функций составляют атомарные функции мно- гих независимых переменных. Такие функции являются бесконечно дифференцируемыми финитными решениями функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) специального вида [1, 20] ( ) ( ) ( )[ ]∑ ∫ = Ω∂ μ+ωξ−ξ−ξ−λ= K k nnnkn k axaxaxudxaxaxauxxxLu 1 21221121 )...,,,(...,,,)...,,,( , (3) где n n Rxxx ∈)...,,,( 21 , L – дифференциальный оператор, в качестве которого можно рас- сматривать дифференциальные операторы различных видов ∑ = ∂ ∂ =Δ N i ix1 2 2 – оператор Лапласа; 2δ±Δ – оператор Гельмгольца; ΔΔ – бигармонический оператор и т.д.; ∑ = =ξΩ∂ N i kik r 1 22: – граница выпуклой области. Выбор значений коэффициентов λk, μ осуществляется таким об- разом, чтобы обеспечивалось существование и единственность финитного решения соответ- ствующих ФДУ. Расширение понятия атомарной функции на случай многих независимых перемен- ных (нетривиальные обобщения) связаны с исследованиями В. М. Колодяжного и В. А. Рвачева [2], которые предложили классы атомарных функций, порождаемых ФДУ спе- циального вида. Так, для практически важных классов функций двух и трех независимых переменных были построены следующие атомарные функции Plop(x1, x2), Hlop(x1, x2), Blop(x1, x2), KGlop(x1, x2), Corp(x1, x2, x3), Horp(x1, x2, x3) и т. д. Пример 1. Функция Plop(x1, x2) ∈ C∞ является финитным решением функционально- дифференциального уравнения вида [ ] )33()(3),(3),( 2,1221121 xxudxxuxxu μ+ωξ−ξ−λ=Δ ∫ Ω∂ , (4) где 2 2 22 1 22 2 2 1 //;9/4: ∂∂+∂∂=Δ=ξ+ξΩ∂ x , при определенном выборе значений параметров μ и λ: )4/(3,3/4 5 π=λπλ−=μ . Носителем такой функции является круг единичного радиуса (рис. 3). Согласно определению функции Plop(x1, x2) имеем [ ]∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− += 2121221121 ),(~~)(exp),( dtdtttpoPlxtxtixxPlop , где [ ] [ ]∏∑ ∞ = ∞ = + + +− = 0 0 2)1( 2 2 2 1 21 )!1(9 )(),(~~ h k kh k k ttttpoPl [4]. Алгоритм бессеточной схемы числен- ного решения 2D краевой задачи с помощью АРБФ Plop(x1, x2) рассмотрим на примере по- Рис. 3. График атомарной функции Plop(x1, x2) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 53 строения решения краевой задачи для дифференциального уравне- ния Лапласа. Пусть dxcbxaxxD ≤≤≤≤= 2121 ;:),( прямоугольник на плоскости x1Oy. Пусть в ограниченной односвязной области Ω ⊂ D за- дано дифференциальное уравне- ние Ω∈=Δ ),(,0),( 2121 xxxxu (5) а на границе ∂Ω области Ω – условие Дирихле ),(),( 2121 xxxxu ϕ= Ω∂ . (6) Построим в области D множество точек Dh, задающее сеть { ;1...,,2,1,...... ;1...,,2,1,...... ;...,,2,1,0,;...,,2,1,0,:),( 202020 101010 20210121 −==+<<+<<= −==+<<+<<= =+==+== mldmhxlhxxc nkbnhxkhxxa mjjhxxniihxxxxD jijih Определим в области D вспомогательную область χ ⊃ Ω, граница которой формиру- ется в виде замкнутой непрерывной ломаной, соединяющей М узловых точек сети Dh. Обо- значим множество этих граничных узлов через Q∂χ. Граница ∂χ области χ пусть не прибли- жается к точкам границы ∂Ω области Ω ближе, чем на расстояние, равное r/3, и располагает- ся от этих точек не далее чем на расстоянии 2r/3 (рис. 4). Обозначим через Qχ множество из N узловых точек множества Dh, которые содер- жатся в области χ (ограничены границей ∂χ): Qχ = χ∩Dh. Через QΩ обозначим множество узловых точек множества Dh, которые являются внутренними точками области Ω. Приближенное решение задачи (5)–(6) будем отыскивать в виде ∑ + = −−= MN i iiir xxxxcxxu 1 221121 ),Plop(),( , (7) где MNNNiQxxNiQxx iiii +++=∈=∈ χ∂χ ...,,2,1,),(;...,,2,1,),( 2121 . Вместо интеграла по окружности в уравнении (4) воспользуемся приближен- ным его представлением, что позволяет записать (4) в форме ( ) )3,3(Plop)(3),(3Plop),Plop( 21 1 221121 xxdsxxaxx S s sss μ+ξ−ξ−λ≈Δ ∑ = , (8) где as – весовые коэффициенты, а (ξ1s, ξ2s) – координаты узлов соответствующей квадратур- ной формулы. Как следует из [23], для интегрирования периодических функций наилучшей является формула прямоугольников на равномерной сетке. Воздействуем на функцию ur(x1, x2) оператором Лапласа [ ] [ ]∑ ∫ + = ∂ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−μ+ξ−−ξ−−λ=Δ MN i ii S iiir xxxxdsxxxxcxxu 1 221122211121 )(3),(3Plop)(3),(3Plop),( . Учитывая (7) и (8), построим функцию Ω χ 3/r 3/2r Рис. 4. Построение границы ∂χ вспомогательной областиχ ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 54 [ ] [ ]∑ ∑ + = = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −−μ+ξ−−ξ−−λ= =ν MN i S s isissississi xxxxdsxxxxac xx 1 1 2211222111 211 .)(3),(3Plop)(3),(3Plop ),( Обозначим siissiis xxxx 222111 ; ξ+=ξ+= . Пусть Si будет множеством индексов s тех функций [ ])(3),(3Plop 222111 iiii xxxx ξ−−ξ−− , для которых имеет место [ ] ∅≠ξ−−ξ−−Ω )(3),(3Plopsup 2222111 ii xxxxpI . Определим для точек (x1is, x2is) ближайшие точки множества Dh, которые в дальней- шем будем обозначать через (x1dis, x2dis) и которые будут обеспечивать минимальную вели- чину ошибки при замене точек (x1is, x2is) точками (x1dis, x2dis). Введем в рассмотрение функцию [ ] [ ] [ ]∑ ∑ ∑ ∑ + = ∈ + = ′= ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−λ+ + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−μ+−−λ=ν MN i S Ss disdissi MN i S Ss disdisdisdissi xxxxac xxxxdsxxxxacxx i 1 2211 1 22112211212 .)(3),(3Plop )(3),(3Plop)(3),(3Plop),( 1 (9) После приведения подобных членов выражение (9) приобретает вид [ ]∑ ∑ + = + = −−=ν MN i MN i disdisjii xxxxbcxx 1 1 2211212 )(3),(3Plop),( . (10) Будем требовать, чтобы в представлении (10), благодаря уравнению (5), выполня- лось условие ∑ + = == MN i jii Njbc 1 ...,,2,1,0 , что приводит к N уравнениям, необходимым для определения N + M коэффициентов ci. Ос- тальные M уравнений получим из условия приближенного удовлетворения граничному ус- ловию (6). Это может быть обеспечено, например, следующим образом. Выделим на границе ∂Ω M точек, которые будем обозначать Mkxx kk ...,,2,1,),( * 2 * 1 =Ω∂∈ . Для данной совокупности из M точек границы ∂Ω положим, что Mjxxxxxxu jjjjjjr ...,,2,1,),(),,(),( * 2 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 =Ω∂∈ϕ= , или Mjxxxxxxxxc jjjj MN i ijiji ...,,2,1,),(),,(),Plop( * 2 * 1 * 2 * 1 1 1 * 11 * 1 =Ω∂∈φ=−−∑ + = . Таким образом, искомая система N + M линейных уравнений, из которой можно оп- ределить коэффициенты ci, i = 1, 2, …, N + M, имеет вид ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =φ=−− == ∑ ∑ + = + = ....,,2,1),,(),Plop( ;...,,2,1,0 1 * 1 * 11 * 11 * 1 1 Mjxxxxxxc Njbc MN i jjijiji MN i jii . (11) Матрица данной системы уравнений (11) будет иметь разреженную структуру ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 55 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++++ +++++ ++++ +++++ +++++++++++ +++++ MNMNpMNMNMN pNpNN pNNN wNNpNpNpNNN wNwNwNvtvttppp wNNvtttpp aaaa aaa aaa aaaaaa aaaaaaaaaa aaaaaaaaa ,,2,1, 2,21,22,2 1,12,11,1 2,3,2,1,2,1, 2,21,2,21,1,21,22,21,2,222 ,11,1,11,1,11,1,11211 ...000...00...00...000...000... .................. 0...000...00...00...000...00...0 0...000...00...00...000...000... 0...00...00...00...000...0... .................. 0......00......00...0...0 0...00...0...0...0...00... где aij, i, j = 1, 2, …, N + M числа, не равные нулю для соответствующих значений i и j; вели- чины индексов p, t, v, w зависят от величины радиуса r носителя функции Plop(x1, x2). Характерными особенностями предлагаемого метода является, с одной стороны, ис- пользование финитных функций (свойство локальности), которое обеспечивает разрежен- ность линейных систем (11), а с другой – полученные решения исходной краевой задачи яв- ляются бесконечно дифференцируемыми, что немаловажно для решения задач некоторых классов. Качество приближенного решения определяется способностью обеспечить опти- мальные значения для величин N, M, и S, при которых имеют место минимальные ошибки, а именно: − в случае определения результата действия оператора Лапласа, при рассмотрении ограни- ченного количества точек (точек множества Qχ) – параметр N; − в случае приближенного представления интеграла по контуру в виде конечной суммы – параметр S; − при проведении процедуры интерполяции граничного условия – параметр M. Визуализация решения рассматриваемым методом модельной 2D краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона Ω∈=Δ− ),(,1),( 2121 xxxxu , в сложной области (рис. 5) и с граничными условиями ),(),( 2121 xxxxu ϕ= Ω∂ показаны на рис. 6. Пример 2. Функция Hlop(x1, x2) ∈ С∞ является финитным решением функционально- дифференциального уравнения вида Рис. 5. Область решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона Рис. 6. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в сложной области на основе использования атомарной функции Plop(x1, x2) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 56 )3,3())(3),(3(),(),( 21221121 2 21 xxudxxuxxuxxu μ+ωξ−ξ−λ=δ−Δ ∫ Ω∂ где 2 2 22 1 22 2 2 1 //;1: xx ∂∂+∂∂=Δ=ξ+ξΩ∂ , при соответствующем выборе параметров λ и μ: [ ])0()(2 9),(2 0 2 0 JicJ cicJ −π =λπλ=μ . Носителем функции Hlop(x1, x2) является круг радиуса 1,5 (рис. 7). Информацию о других атомарных функциях KGlop(x1, x2), Blop(x1, x2) и порождае- мых полигармоническим дифференциальным оператором можно найти в работах [3, 20]. Полученные функции трех независимых переменных Corp(x1, x2, x3), Horp(x1, x2, x3) являются решением ФДУ вида [ ] ),,()(),(),(),,( 321332211321 axaxaxuxaxaxauxxxLu μ+ξ−ξ−ξ−λ= ∫ Ω∂ , где соответственно функция Corp(x1, x2, x3) является решением ФДУ, порожденного опера- тором Лапласа: ∑ = ∂ ∂ =Δ 3 1 2 2 i ix , функция Horp(x1, x2, x3) – оператором Гельмгольца: 2δ±Δ , где δ – волновое число. Носителем функций Corp(x1, x2, x3) и Horp(x1, x2, x3) является шар опреде- ленного радиуса ( ) 22 3 2 2 2 1321 :;,,sup RxxxMMxxxFp ≤++= , F(x1, x2, x3) – одна из функций Corp(x1, x2, x3) или Horp(x1, x2, x3). Каждая из этих функций нормируется условием ∫ ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− +∞ ∞− =1),,( 321 dxxxxF . Данные трехмерные атомарные функции удобны для реализации вычислительных алгоритмов построения решений краевых задач в 3D областях по бессеточным схемам. Свойства этих функций позволяют использовать такие функции в качестве базисных при построении приближенного решения краевых задач бессеточными методами (методами кол- локации). Заключение Бессеточные методы с использованием радиальных базисных функций показали свою эффективность при решении большого класса практически важных задач, в которых применение сеточных методов оказывается малоэффективным (это относится, в частности, к задачам механики разрушения). Они демонстрировали свою эффективность и в задачах, где традиционно успешно реализовывались сеточные методы, например в задачах многофазной фильтрации, теплопереноса, конвекции-диффузии и др. [4, 5, 21, 24, 25]. Разрабатываемые ныне методы решения задач на основе атомарных радиальных базисных функций уже пока- зали себя как достаточно эффективные и ус- пешно реализуемые алгоритмы, что позволит в будущем использовать их для решения раз- ного рода научно-инженерных задач. Литература 1. Колодяжний В. М. Деякі властивості атомар- них функцій багатьох змінних/ В. М. Коло- дяжний, В. О. Рвачов // Доп. НАН України. – 2005. – № 1 – С. 12–20. 2. Колодяжний В. М. Фінітні розв’язки функціо- нально-диференціальних рівнянь з частинними похідними/ В. М. Колодяжний, В. О. Рвачов // Доп. НАН України. – 2004. – № 5 – С. 17–22. 3. Колодяжний В. М. Фінітні функції, що поро- Рис. 7. График атомарной функции Hlop(x1, x2) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 4 57 джені бігармонічним оператором / В. М. Колодяжний, В. О. Рвачов // Доп. НАН України. – 2006. – № 2. – С. 23–30. 4. Колодяжний В. М. Фінітні функції, що породжені оператором Лапласа / В. М. Колодяжний, В. О. Рвачов // Доп. НАН України. – 2004. – № 4. – С. 17–22. 5. Колодяжный В. М. Атомарные функции трех переменных инвариантные относительно группы вращения / В. М. Колодяжний, В. А. Рвачев // Кибернетика и систем. анализ. – 2004. – № 6 – С. 118–130. 6. Kansa E. J. Multiquadrics – a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics – I: solutions to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations / E. J. Kansa // Comp. Math. Appl. – 1990. – № 19. – P. 147–161. 7. Hardy R. L. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces / R. L. Hardy // JGR. – 1971.– № 76 (8) – P. 1905–1915. 8. Hardy R. L. Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method. 20 years of discovery 1968– 1988 / R. L. Hardy // Comp. Math. Appl. – 1990. – № 19 (8–9). – P. 163–208. 9. Fasshauer G. E. Solving differential equations with radial basis functions: multilevel methods and smoothing / G. E. Fasshauer // Adv. Comp. Math. – 1999. – № 11 (2–3). – P. 139–159. 10. Fasshauer G. E. Solving Partial Differential Equations by Collocation with Radial Basis Functions ap- peared / G. E. Fasshauer // Surface Fitting and Multiresolution Methods. A. Le Mehaute, C. Rabut, and L. L. Schumaker (eds.). Vanderbilt University Press. – 1997. – P. 131–138. 11. Fedoseyev A. I. Improved multiquadric method for elliptic partial differential equations via PDE colloca- tion on the boundary/ A. I. Fedoseyev, M. J. Friedman, I. J. Kansa // Adv. Comp. Math. – 2002. – № 43 (3–5). – P. 439–455. 12. Franke C. Solving partial differential equations by collocation using radial basis functions/ C. Franke, R. Schaback // Adv. Comp. Math. – 1998. – № 93 (1). – P. 73–82. 13. Larsson E. A numerical study of some radial basis function based solution methods for elliptic PDEs/ E. Larsson, B. Fornberg // Adv. Comp. Math. – 2003. – № 46. – P. 891–902. 14. Wu Z. Solving differential equations with radial basis functions / Z. Wu // Adv. Comp. Math. – 1999 – P. 537–543. 15. Beatson R. K. Fast solution of the radial basis function interpolation equations: domain decomposition methods / R. K. Beatson, W. A. Light, S. Billings // SISC. – 2000. – №22 (5). – P. 1717–1740. 16. Cherrie J. B. Fast evaluation of radial basis funcntions: methods for generalized multiquadrics in / J. B. Cherrie, R. K. Beatson, G. N. Newsam // SISC. – 2002. – № 23 (5). – P. 1549–1571. 17. Fornberg B. Stable computation of multiquadric interpolants for all values of the shape parameter/ B. Fornberg, G. Wright // Comp. Math. Appl. – 2004. – № 48. – P. 853–867. 18. Kansa E. J. Circumventing the ill-conditioning problem with multiquadric radial basis functions: applica- tions to elliptic partial differential equations/ E. J. Kansa, Y. C. Hon // Adv. Comp. Math. – 2000. – № 39 (7–8). – P. 123–137. 19. Wendland H. Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial functions of mini- mal degree / H. Wendland // Adv. Comp. Math. – 1995. – № 4 – P. 389–396. 20. Колодяжный В. М. Атомарные функции. Обобщения на случай многих переменных и перспектив- ные направления практических приложений / В. М. Колодяжний, В. А. Рвачев // Кибернетика и систем. анализ. – 2007. – Т. 43, № 6. – С. 155–177. 21. Рвачев В. Л. Теория атомарных приближений. Математика, кибернетика / В. Л. Рвачев, В. А. Рва- чев. – М.: Знание, 1978. – 62 с. 22. Рвачев В. Л. Неклассические методы теории приближений в краевых задачах / В. Л. Рвачев, В. А. Рвачев. – Киев: Наук. думка, 1979. – 196 с. 23. Лигун А. А. О наилучших квадратурных формулах для некоторых классов периодических функций / А. А. Лигун // Мат. заметки. – 1978. – Т. 24, № 5, 1978. – С. 661–669. 24. Iske A. Radial basis functions: basics, advanced topics and meshfree methods for transport problems / A. Iske // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol., Torino, 2003. – № 61 (3). – P. 247–284. 25. Wu Y. L. A meshfree formulation of local radial point interpolation method for incompressible flow simu- lation / Y. L. Wu, G. R. Liu // Comp. Mech. – 2003. – № 30. – P. 355–365. Поступила в редакцию 19.09.09

Численные схемы решения краевых задач на основе бессеточных методов с использованием радиальных базисных функций и атомарных радиальных базисных функций

Institution

Ähnliche Einträge