Abstracts and References
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2018
|
| Назва видання: | Проблеми машинобудування |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141908 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Abstracts and References // Проблеми машинобудування. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 68-80. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-141908 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1419082018-09-16T01:23:22Z Abstracts and References 2018 Article Abstracts and References // Проблеми машинобудування. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 68-80. — англ. 0131-2928 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141908 en Проблеми машинобудування Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
English |
| format |
Article |
| title |
Abstracts and References |
| spellingShingle |
Abstracts and References Проблеми машинобудування |
| title_short |
Abstracts and References |
| title_full |
Abstracts and References |
| title_fullStr |
Abstracts and References |
| title_full_unstemmed |
Abstracts and References |
| title_sort |
abstracts and references |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/141908 |
| citation_txt |
Abstracts and References // Проблеми машинобудування. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 68-80. — англ. |
| series |
Проблеми машинобудування |
| first_indexed |
2025-07-10T13:44:54Z |
| last_indexed |
2025-07-10T13:44:54Z |
| _version_ |
1837267782440321024 |
| fulltext |
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Проблеми машинобудування, 2018, Т. 21, № 2 68
Dynamics and Strength of Machines
Martynenko V.G., Ulianov Yu.N. Modernization of an Experimental Installation and a Procedure for In-
vestigating the Anisotropic Viscoelastic Properties of Composite Materials at Elevated Temperatures .......... 3–11
The paper describes the process of modernizing the existing installation designed for performing long-term tests of steel
and aluminum cylindrical specimens for high-temperature creep with the purpose of conducting the experimental studies
of the anisotropic strength and viscoelastic characteristics of planar composite specimens at elevated temperatures. In
view of the differences in the approaches to finding the mechanical properties of metals and composite materials, the
modernization required that special methods be developed for its implementation. In order to achieve the objective set, a
scheme for reconstructing the specimen holders in the experimental installation was proposed, as well as the method of
fixing them, implementing uniaxial stress-stain state and enabling one to avoid stress concentration where the grippers
are used. The specimens for the experiment were cut out in accordance with their optimal shape from one sheet of or-
thogonally reinforced composite material at different angles to the reinforcement direction, which allowed obtaining their
anisotropic mechanical properties. The preparation of the specimens for conducting the experimental study was per-
formed in accordance with international standards, which ensured the accuracy of obtaining the desired mechanical
quantities. The developed, designed and built automatic temperature control block for the electric furnace allowed main-
taining elevated temperature with a sufficiently small error during its long use, which was necessary for studying the me-
chanical properties of composite specimens, as well as regulating the heating temperature in a given range. When per-
forming a series of experiments, an optimal temperature was chosen that was higher than the glass transition temperature
of the composite material and lower than its phase transition temperature. Its observance made it possible to measure the
viscoelastic properties of the composite with a high accuracy when the relaxation time reached half of the measuring pe-
riod and guarantee a complete construction of creep curves. Conducting the experimental study of the instantaneous and
long-term mechanical properties demonstrated the effectiveness of the improvements made for the experimental installa-
tion, as applied to the realization of such experiments. The developed procedure can be used for finding the anisotropic
vicoelastic properties of the composite materials dependent on time and temperature, as well as setting the level of anisot-
ropy of such properties for its subsequent consideration in the mathematical models of the mechanical behaviour of struc-
tural and installation elements made of composite materials.
Keywords: anisotropic viscoelasticity, composite material, experimental investigation, elevated temperature, relaxa-
tion curve.
Описано процес модернізації існуючої установки, призначеної для проведення довготривалих випробувань
сталевих та алюмінієвих циліндричних зразків на високотемпературну повзучість, під експериментальні
дослідження анізотропних міцнісних та в’язкопружних характеристик плоских композиційних зразків при
підвищених температурах. Для реалізації даної мети була запропонована схема перебудови тримачів зразків в
експериментальній машині, а також метод їх кріплення. Зразки для проведення експерименту були вирізані у
відповідності до оптимальної їх форми з одного листа ортогонально армованого композиційного матеріалу
під різними кутам до напрямків армування, що дозволило отримувати їхні анізотропні механічні властивості.
Підготовка зразків до проведення експериментального дослідження була виконана у відповідності до
міжнародних стандартів, що забезпечило точність отримання шукомих величин. Розроблений,
спроектований та побудований блок автоматичного регулювання температурного режиму електропечі
дозволив підтримувати підвищену температуру у порівняно вузькому діапазоні при довготривалій її роботі,
що було необхідно для дослідження механічних властивостей композиційних зразків, а також регулювати
температуру нагріву у заданому діапазоні. При виконанні серії експериментів була обрана оптимальна
температура, що є вищою за температуру склування композиційного матеріалу та нижчою за його
температуру фазового переходу. Її дотримання дозволило вимірювати в’язкопружні властивості композиту
із високою точністю при досягненні часу релаксації за половину періоду вимірювань та гарантувати повну
побудову кривих повзучості. Проведення експериментального дослідження миттєвих та тривалих механічних
властивостей продемонструвало ефективність вдосконалень, виконаних для експериментальної установки,
для реалізації такого роду експериментів.
Ключові слова: анізотропна в’язкопружність, композиційний матеріал, експериментальне дослідження,
підвищена температура, крива релаксації.
References
1. Lubin, G. (Ed.) (1988). Spravochnik po kompozitsionnym materialam [Handbook of Composite Materials].
Moscow: Mashinostroyeniye (in Russian).
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Journal of Mechanical Engineering, 2018, Vol. 21, No. 2 69
2. Karpinos, D.M. (1985). Kompozitsionnye materialy. Spravochnik [Composite Materials. Directory]. Kyiv: Nau-
kova dumka (in Russian).
3. Kravchuk, A.S., Mayboroda, V.P. & Urzhumtsev, Yu.S. (1985). Mekhanika polimernykh i kompozitsionnykh
materialov [Mechanics of Polymer and Composite Materials]. Moscow: Nauka (in Russian).
4. Kapitonov, A.M & Redkin, V.Ye. (2013). Fiziko-mekhanicheskie svoystva kompozitsionnykh materialov [Phys-
ico-Mechanical Properties of Composite Materials. Elastic Properties]. Krasnoyarsk: Siberian Federal University
Publ. (in Russian).
5. Poberdrya, B.Ye. (1984). Mekhanika kompozitsionnykh materialov [Mechanics of Composite Materials]. Mos-
cow: Moscow University Publ. (in Russian).
6. Ward, I. (1975). Mekhanicheskie svoystva tverdykh polimerov [Mechanical Properties of Solid Polymers]. Mos-
cow: Khimiya (in Russian).
7. Shen, M. (1974). Vyazkouprugaya relaksatsiya v polimerakh [Viscoelastic Relaxation in Polymers]. Moscow:
Mir (in Russian).
8. Christensen, R.M. (1974). Vvedenie v teoriyu vyazkouprugosti [Introduction to the Theory of Viscoelasticity].
Moskow: Mir (in Russian).
9. Adamov, A.A. & Matveenko, V.P. (2003). Metody prikladnoy vyazkouprugosti [Methods of Applied Viscoelas-
ticity]. Ekaterinburg: UB RAS Publ. (in Russian).
10. Abot, J., Yasmin, A. & Jacobsen, A. (2004). In-Plane Mechanical, Thermal and Viscoelastic Properties of a Satin
Fabric Carbon/Epoxy Composite. Compos. Sci. Technol., Vol. 64, pp. 263–268. doi:
https://doi.org/10.1016/S0266-3538(03)00279-3
11. Chan, A., Liu, X.L. & Chiu, W.K. (2006). Viscoelastic Interlaminar Shear Modulus of Fibre Reinforced Compo-
sites. Compos. Struct., Vol. 75, pp. 185–191. doi: https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2006.04.058
12. Guojun, H. A Theoretical and Numerical Study of Crack Propagation Along a Bimaterial Interface with Applications to
IC Packaging: a thesis … doctor of philosophy in engineering (Doctor thesis). National University of Singapore. 2006.
13. Silva, P., Valente, T. & Azenha, M. (2017). Viscoelastic Response of an Epoxy Adhesive for Construction since
Its Early Ages: Experiments and Modelling. Compos. Part B Eng., Vol. 116, pp. 266–277. doi:
https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2016.10.047
14. Seifert, O. E., Schumacher, S. C. & Hansen, A. C. (2003). Viscoelastic Properties of a Glass Fabric Composite at
Elevated Temperatures: Experimental and Numerical Results. Compos. Part B. Eng., Vol. 34, pp. 571–586. doi:
https://doi.org/10.1016/S1359-8368(03)00078-7
15. Ciambella, J., Paolone, A. & Vidoli, S. (2010). A Comparison of Nonlinear Integral-Based Viscoelastic Models
Through Compression Tests on Filled Rubber. Mech. Mater., Vol. 42, pp. 932–944. doi:
https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2010.07.007
16. Stanier, D.C., Patil, A.J. & Sriwong, C. (2014). The Reinforcement Effect of Exfoliated Graphene Oxide Nano-
platelets on the Mechanical and Viscoelastic Properties of Natural Rubber. Compos. Sci. Technol., Vol. 95,
pp. 59–66. doi: https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2014.02.007
17. Shrotriya, P. & Sottos, N. (2004). Viscoelastic Response of Woven Composite Substrates. Compos. Sci. Tech-
nol., Vol. 65, pp. 621–634. doi: https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2004.09.002
18. Park, S. J., Liechti, K. M. & Roy, S. (2004). Simplified Bulk Experiments and Hygrothermal Nonlinear Viscoe-
lasticity. Mech. Time-Dependent Mater., Vol. 8, pp. 303–344. doi: https://doi.org/10.1007/s11043-004-0942-3.
19. 19. Tzeng, J. T., Emerson, R. P. & O’Brien, D. J. (2012). Viscoelasticity Analysis and Experimental Validation
of Anisotropic Composite Overwrap Cylinders. Mech. Solids, Struct. Fluids, ASME, Vol. 8, pp. 1–8. doi:
https://doi.org/10.1115/IMECE2012-87818
20. Kluev, V. (1982). Ispytatelnaya tekhnika: Spravochnik [Testing Equipment: Hanbook]. Moscow: Mashinostroy-
eniye (in Russian).
21. Sathishkumar, T., Satheeshkumar, S. & Naveen, J. (2014). Glass Fiber-Reinforced Polymer Composites – a Re-
view. J. Reinf. Plast. Compos., Vol. 33, pp. 1258–1275. doi: https://doi.org/10.1177/0731684414530790
22. Stickel, J. M. & Nagarajan, M. (2012). Glass Fiber-reinforced Composites: From Formulation to Application.
Int. J. Appl. Glas. Sci., Vol. 3, pp. 122–136. doi: https://doi.org/10.1111/j.2041-1294.2012.00090.x
23. Yamini, S. & Young, R. J. (1980). The Mechanical Properties of Epoxy Resins. J. Mater. Sci., Vol. 15,
pp. 1823–1831. doi: https://doi.org/10.1007/BF00550603
24. Jordan, J. L. & Foley, J. L. (2008). Mechanical Properties of Epon 826/DEA Epoxy. Mech. Time-Dependent
Mater., Vol. 12, pp. 249–272. doi: https://doi.org/10.1007/s11043-008-9061-x
25. Ou, Y., Zhu, D., Zhang, H., Huang, L., Yao, Y. & Li, G. (2016). Mechanical Characterization of the Tensile
Properties of Glass Fiber and Its Reinforced Polymer (GFRP) Composite Under Varying Strain Rates and Tem-
peratures. Polymers., Vol. 8, pp. 1–16. doi: https://doi.org/10.3390/polym8050196
26. Dogan, A. & Atas, C. (2016). Variation of the Mechanical Properties of E-Glass/Epoxy Composites Subjected to
https://doi.org/10.1016/S0266-3538(03)00279-3
https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2006.04.058
https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2016.10.047
https://doi.org/10.1016/S1359-8368(03)00078-7
https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2010.07.007
https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2014.02.007
https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2004.09.002
https://doi.org/10.1007/s11043-004-0942-3
https://doi.org/10.1115/IMECE2012-87818
https://doi.org/10.1177/0731684414530790
https://doi.org/10.1111/j.2041-1294.2012.00090.x
https://doi.org/10.1007/BF00550603
https://doi.org/10.1007/s11043-008-9061-x
https://doi.org/10.3390/polym8050196
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Проблеми машинобудування, 2018, Т. 21, № 2 70
Hygrothermal Aging. J. Compos. Mater., Vol. 50, pp. 637–646. doi: https://doi.org/10.1177/0021998315580451
27. Ferry, J. D. (1980). Viscoelastic Properties of Polymers. John Wiley & Sons.
28. ASTM D618-13 (2013). Standard Practice for Conditioning Plastics for Testing. Am. Soc. Test. Mater. doi:
https://doi.org/10.1520/D0618
29. ASTM D638-14 (2014). Standard Test Method for Tensile Properties of Plastics. Am. Soc. Test. Mater. doi:
https://doi.org/10.1520/D0638-14
30. ASTM D2990-17 (2017). Standard Test Methods for Tensile, Compressive, and Flexural Creep and Creep-
Rupture of Plastics. Am. Soc. Test. Mater. doi: https://doi.org/10.1520/D2990-17
31. ASTM D3039/D3039M-17 (2017). Standard Test Method for Tensile Properties of Polymer Matrix Composite
Materials. Am. Soc. Test. Mater. doi: https://doi.org/10.1520/D3039_D3039M-17
Miroshnikov V.Yu. First Basic Elasticity Theory Problem in a Half-Space with Several Parallel
Round Cylindrical Cavities .................................................................................................................. 12–18
When designing different kinds of structures and forecasting the strength of mine workings in rock and geotechnical
mechanics, there occur problems in which it is necessary to know the stress-strain state of a half-space with cylindri-
cal cavities and take into account the mutual influence of the cavities and the half-space boundaries. The article gives
an analytical and numerical solution to the first main spatial problem of the theory of elasticity (stresses are specified
on boundaries) for a homogeneous half-space with several circular cylindrical cavities parallel to each other and the
boundary of the half-space. The specified stresses are assumed to rapidly decay to zero at great distances from the
origin of coordinates, on the boundaries of the cavities at coordinates z and on the boundary of the half-space at coor-
dinates z and x. To solve the problem, the generalized Fourier method is used in relation to a system of the Lame equa-
tions in the cylindrical coordinates associated with the cylinders, and the Cartesian coordinates related to the half-
space. For transition between the basic solutions of the Lame equation, special formulas for transition between local
cylindrical coordinate systems and between the Cartesian and cylindrical coordinate systems were used. Infinite sys-
tems of linear algebraic equations for which the problem is reduced is solved by the truncation method. As a result,
displacements and stresses were found in an elastic body. As an example, a detailed numerical analysis of the stress-
strain state for two parallel cylindrical cavities in a half-space at various values of the geometric parameters of the
problem is given. The graphs given show a picture of the distribution of stresses in a body in the most interesting zones
and illustrate the mutual influence of cylindrical cavities as well as the mutual influence of a half-space and cylindri-
cal cavities, depending on the geometric parameters of the problem.
Keywords: cylindrical cavities in a half-space, Lame equations, generalised Fourier method.
Під час проектування різного роду конструкцій, прогнозування міцності гірських виробок в механіці гірських
порід і геотехнічній механіці зустрічаються задачі, в яких необхідно знати напружено-деформований стан
півпростору з циліндричними порожнинами та враховувати взаємний вплив порожнин та межі півпростору.
В статті наведено аналітико-чисельний розв’язок першої основної просторової задачі теорії пружності (на
межах задані напруження) для однорідного півпростору з декількома паралельними між собою і межею
півпростору кругових циліндричних порожнин. Задані напруження вважаються такими, що швидко спадають
до нуля на межах порожнин по координатах z, на межі півпростору по координатах z та x на далеких
відстанях від початку координат. Для розв’язання задачі використано узагальнений метод Фур’є стосовно
системи рівнянь Ламе в циліндричних координатах, пов’язаних із циліндрами, та декартових координатах,
пов’язаних з півпростором. Для переходу між базисними розв’язками рівняння Ламе були використані особливі
формули переходу між локальними циліндричними системами координат та між декартовою і
циліндричними системами координат. Нескінченні системи лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких зведено
проблему, розв’язано методом зрізання. В результаті було знайдено переміщення та напруження в пружному
тілі. Як приклад наведено докладний числовий аналіз напружено-деформованого стану для двох паралельних
циліндричних порожнин у півпросторі за різних значень геометричних параметрів задачі. Наведені графіки
дають картину розподілу напружень в тілі у найбільш цікавих зонах, уявлення про взаємний вплив
циліндричних порожнин та взаємний вплив межі півпростору і циліндричних порожнин в залежності від
геометричних параметрів задачі.
Ключові слова: циліндричні порожнини в півпросторі, рівняння Ламе, узагальнений метод Фур’є.
References
1. Podil'chuk, Yu.N. (1979). Prostranstvennye zadachi teorii uprugosti [Spatial Problems in the Theory of Elasticity].
Kyiv: Nauk. Dumka Publishers (in Russian).
https://doi.org/10.1177/0021998315580451
https://doi.org/10.1520/D0618
https://doi.org/10.1520/D0638-14
https://doi.org/10.1520/D2990-17
https://doi.org/10.1520/D3039_D3039M-17
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Journal of Mechanical Engineering, 2018, Vol. 21, No. 2 71
2. Grinchenko, V. T. and Ulitko, A. F. (1985). Prostranstvennye zadachi teorii uprugosti i plastichnosti. Ravnovesie
uprugikh tel kanonicheskoy formy [Spatial Problems in the Theory of Elasticity and Plasticity. Equilibrium of
Elastic Bodies of Canonical Form]. Kyiv: Nauk. Dumka Publishers (in Russian).
3. Ulitko, A. F. (1979). Metod sobstvennykh vektornykh funktsiy v prostranstvennykh zadachakh teorii uprugosti
[Method of Vector Eigen Functions in Spatial Problems in the Theory of Elasticity]. Kyiv: Nauk. Dumka Publish-
ers (in Russian).
4. Ufliand, Ya.S. (1967). Integralnye preobrazovaniya v zadachakh teorii uprugosti [Integral Transforms in the Prob-
lems in the Theory of Elasticity]. Leningrad: Nauka Publishers (in Russian).
5. Huz', A. N., Chernyshenko, I. S. and Shnerenko, K. I. (1970). Sfericheskie dnishcha, oslablennye otverstiyami
[Spherical Bottoms Weakened by Holes]. Kyiv: Nauk. Dumka Publishers (in Russian).
6. Huz', A. N. and Golovchan, V. T. (1972). Difraktsiya uprugikh voln v mnogosvyaznykh telakh [Diffraction of
Elastic Waves in Multiply-Connected Bodies]. Kyiv: Nauk. Dumka Publishers (in Russian).
7. Nikolayev, O. G. (1997). Uzahalnenyi metod Furie v prostorovykh zadachakh teorii pruzhnosti dlia kanonichnykh
bahatozviazkovykh til [The Generalised Fourier Method for Spatial Problems in the Theory of Elasticity for Ca-
nonical Multiply-Connected Bodies] (Author's Abstract. Diss. Doc. Phys.-Math. Sci.), Dnipropetrovsk. Ukraine (in
Ukrainian).
8. Nikolayev, A. G. and Protsenko, V. S. (2011). Obobshchennyy metod Fourier v prostranstvennykh zadachakh te-
orii uprugosti [The Generalised Fourier Method for Spatial Problems in the Theory of Elasticity]. Kharkiv. N.Ye.
Zhukovskii National Aerospace University 'KhAI' (in Russian).
9. Miroshnikov, V.Yu. (2017). Persha osnovna zadacha teorii pruzhnosti v prostori z N paralelnymy kruhovymy
tsylindrychnymy porozhnynamy. Problemy Mashynostroyenia [The First Basic Problem in the Theory of Elastici-
ty in Space with N Parallel Round Cylindrical Cavities. Mechanical Engineering Problems]. Vol. 20, No. 4. pp.
45–52 (in Ukrainian).
10. Miroshnikov, V. Yu. (2017). On Computation of the Stress-Strain State of a Space Weakened by a System of Par-
allel Circular Cylindrical Cavities with Different Edge Conditions. Science and Practice: A New Level of Integra-
tion in the Modern World. 4th Intern. Conf. Proc. Scope Academic House. Sheffield, (pp. 77–83), UK.
11. Shcherbakova, Yu. A., Shekhvatova, Ye. M. (2015). Sravnitelnyy analiz NDS mnogosvyaznykh transversalno-
izotropnykh tel s razlichnymi uprugimi kharakteristikami [Comparative Analysis of the Stress-Strain State of Multi-
ply-Connected Transverse-Isotropic Bodies with Different Elastic Characteristics]. Visnyk Zaporizhskoho Natsion-
al'noho Universytetu [Bull. of Zaporizhia National University]. Zaporizhia. Issue 2, pp. 253–261 (in Russian).
12. Nikolayev, A. G., Shcherbakova, Yu. A. (2009). Apparat i prilozheniya obobshchennogo metoda Fure dlya trans-
versalno- izotropnykh tel, ogranichennykh ploskostyu i paraboloidom vrashcheniy. Mat. metodi ta fіz.-mekh. pol-
ya. [Apparatus and Applications of the Generalised Fourier Method for Transverse-Isotropic Bodies Bounded by a
Plane and a Paraboloid of Revolution. [Math. Methods and Phys.-Mech. of a Field], Vol. 52, No. 3, pp. 160–169
(in Russian).
13. Nikolayev, A. G., Shcherbakova, Yu. A. (2010). Obosnovanie metoda Fure v osesimmet-richnykh zadachakh te-
orii uprugosti dlya transversalno-izotropnykh tel, ogranichennykh poverkhnostyu paraboloida. Otkrytye infor-
matsionnye i kompyuternye integri-rovannye tekhnologii [Substantiation of the Fourier Method in Asymmetrical
Problems in the Theory of Elasticity for Transverse-Isotropic Bodies Bounded by a Paraboloid Surface. Open In-
formational and Computer-Aided Integrated Technologies]: Proc. Kharkiv. N.Ye. Zhukovskii National Aerospace
University 'KhAI', Issue 48, pp. 180–190 (in Russian).
14. Nikolayev, A. G., Shcherbakova, A. Yu, and Yukhno, A. I. (2006). Deystvie sosredotochennoy sily na transversal-
no-izotropnoe poluprostranstvo s paraboloidalnym vklyucheniem. Voprosy proektirovaniya i proizvodstva kon-
struktsiy letatelnykh apparatov [Action of a Lumped Force on a Transverse-Isotropic Half-Space with a Paraboloid
Containment. Design and Production of Aircraft Constructions]. Proc. N.Ye. Zhukovskii National Aerospace Uni-
versity 'KhAI'. Kharkiv. NAKU, Issue 2 (45), pp. 47–51 (in Russian).
15. Nikolayev, A. G., Orlov, Ye. M. (2012). Reshenie pervoy osesimmetrichnoy termouprugoy kraevoy zadachi dlya
transversalno-izotropnogo poluprostranstva so sferoidalnoy polostyu. Problemi obchislyuvalnoї mekhanіki і
mіtsnostі konstruktsіy [Solution of the first Axisymmetric Thermal Elasticity Boundary Value Problem for a
Transverse-Isotropic Half-Space with a Spheroidal Cavity. Computational Mechanics and Strength of Construc-
tions]. Dnipro. O. Honchara Dnipropetrovsk National University, Issue 20, pp. 253–259 (in Russian).
16. Protsenko, V. S., Ukrainets, N. A. (2015). Primenenie obobshchennogo metoda Fourier k resheniyu pervoy osnov-
noy zadachi teorii uprugosti v poluprostranstve s tsilindricheskoy polostyu. Visnyk Zaporizhskoho Natsional'noho
Universytetu [Application of the Generalised Fourier Method to Solving the First Basic Problem in the Theory of
Elasticity in a Half-Space with a Cylindrical Cavity. Bull. of Zaporizhia National University]. Zaporizhia, Issue 2,
pp. 193–202 (in Russian).
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Проблеми машинобудування, 2018, Т. 21, № 2 72
Tretiak O. V. Mathematical Simulation of Thermal Condition of a Brush Contact Device in a Three-
Dimensional Setting ............................................................................................................................. 19–24
A detailed review of the existing design of brush contact devices for 200 MW to 600 MW turbo-generators is performed.
The peculiarities of brush contact devices working in tandem with turbo-generators of various firms are considered. The
main causes of damage are indicated and the ways of development and improvement of the existing design are indicat-
ed. An analysis of the methods of calculating heat releases in a brush contact device caused by heat releases of different
nature was performed. The most optimal variant of estimation of the influence of a contact spot and quality of brushes
on the value of heat releases is specified. The possibility of performing a three-dimensional computation, using the re-
sults of the analytical computation together with the CFD method, is shown. For the first time, a computation was per-
formed and an improved method was developed for determining the thermal state of a brush contact device for high and
medium-power turbo-generators. It is shown that the temperature values obtained as a result of simulating the thermal
state of a brush contact device in the SolidWorks Flow Simulation environment meet the requirements for newly de-
signed electric machines. As criteria for the convergence of the solution, the following values for volume were chosen:
minimum, average, and maximum static pressure, average mass flow rate; average heat flux on the indicated surfaces.
The calculation was performed until the convergence criterion was reached and at least three purges of the computation
area were executed. The calculated error does not exceed the measuring error, which makes it possible to evaluate the
operability of a brush contact device at the design stages, and the values obtained do not exceed the maximum permissi-
ble temperatures in accordance with the requirements of the normative and technical documentation.
Keywords: brush contact device, thermal state, three-dimensional setting.
Проведено детальний огляд існуючих конструкцій щіткоконтактних пристроїв для турбогенераторів від
200 МВт до 600 МВт. Розглянуто особливості апаратів щіткотримачів, що працюють разом з
турбогенераторами різних фірм. Вказано основні причини пошкоджень та шляхи розвитку і вдосконалення
існуючих конструкцій. Проведено аналіз методів розрахунку тепловиділень, що визначаються явищами різної
природи. Встановлено найбільш оптимальний варіант оцінки впливу контакту та якості щіток на величину
теплових виділень. Представлена можливість здійснення тривимірного розрахунку з використанням
результатів аналітичного обчислення разом з методом CFD. Вперше було виконано обчислення та
розроблено вдосконалений метод визначення теплового стану апаратів щіткотримачів для високо- та
середньо-потужних турбогенераторів. Показано, що значення температури, отримані в результаті
імітації теплового стану контактного пристрою, для щітки в середовищі моделювання потоку SolidWorks
відповідають вимогам нових електричних машин. В якості критеріїв збіжності потоку були обрані наступні
величини для об'єму: мінімальне, середнє та максимальне значення статичного тиску, середня масова
витрата; середній тепловий потік на зазначених поверхнях. Розрахунок виконувався до досягнення критерію
збіжності та виконання більш ніж трьох продувок обчислення. Розрахункова похибка не перевищує похибки
вимірювання, що дає змогу оцінити працездатність апарату щіткотримачів на етапах проектування, а
отримані значення температур не перевищують максимально допустимих відповідно до вимог нормативно-
технічної документації.
Ключові слова: апарат щіткотримача, тепловий стан, тривимірне моделювання.
References
1. Khutoretskiy, G. М., Tokov, M. I. & Tolvinskaya, Ye. V. (1987). Proektirovanie turbogeneratorov. [Turbogenera-
tors Designing]. Leningrad: Energoatomizdat Leningr. Dep. (in Russian).
2. Alekseev, A. Ye. (1958). Konstruktsiya elektricheskikh mashin. [Electrical Machines Design]. Moscow: State En-
ergetical Publishing House (in Russian).
3. Danilevich, Ya. B. & Kasharskiy, E. G. (1963). Dobavochnye poteri v elektricheskikh mashinakh [Additional
Losses in Electrical Machines]. Moscow: State Energetical Publishing House (in Russian).
4. TU 16-ILEA.685211.037TU-88 [ES 16-ILEA.685211.037ES-88] (in Russian).
5. Samorodov, Yu. N. (2005). Defekty i neispravnosti generatorov [Defects and Faults of Generators]. Moscow: NTF
'Energoprogress' (in Russian).
6. Ilin, А. V., Plokhov, I. V., Kozyreva О. I. & Andrusich А. V. (2014). Trekhmernoe modelirovanie nestatsionarnogo
temperaturnogo polya v mikrokontakte [Three-Dimensional Modeling of Non-Stationary Temperature Field in Mi-
cro-Contact]. Bulletin of Pskov SU. Ser. Economical and Technical Sciences, Vol. 2, No. 5, pp. 208–214 (in Russian).
7. Morozov, А. G. (1977). Raschet elektricheskikh mashin postoyannogo toka: ucheb posobie dlya vtuzov [Calcula-
tion of Direct Current Electrical Machines / Educational Aid for Technical Colleges]. Pub 2-nd, Updated and Re-
vised. Moscow, 'Higher School' (in Russian).
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Journal of Mechanical Engineering, 2018, Vol. 21, No. 2 73
8. Bak, О. (1961). Proektirovanie i raschet ventilyatorov Gosudarstvennoe nauchno-tekhnicheskoe izdatelstvo litera-
tury po gornomu delu [Designing and Calculation of Fans]. Moscow: State Scientific-Technical Publishing of Lit-
erature on Mining Engineering (in Russian).
9. Aliamovskiy, А. А. (2010). Inzhenernye raschety v SolidWorks Simulation [Engineering Calculations in Solid-
Works Simulation]. Moscow: DMK Press. (in Russian).
Hasanov Sh. G. Modeling Crack Initiation in a Composite Under Bending .............................................. 25–31
It is known that multi-component structures are more reliable and durable than homogeneous ones. At the design
stage of new structures from composite materials, it is necessary to take into account the cases when cracks may ap-
pear in the material. The purpose of this paper is to construct a computational model for a binder-inclusion composite
body, which makes it possible to calculate the limiting external bending loads at which cracking occurs in a compo-
site. A thin plate of elastic isotropic medium (matrix) and inclusions (fibers) from other elastic material, distributed in
the plate under bending, is considered. A mathematical description of a crack initiation model in a binder composite
under bending is carried out. The theory of analytic functions and the method of power series are used. The determi-
nation of the unknown parameters characterizing an initial crack reduces to solving a singular integral equation. A
closed system of nonlinear algebraic equations is constructed, whose solution helps to predict cracks in a composite
under bending, depending on the geometric and mechanical characteristics of both the binder and the inclusions. The
criterion of crack initiation in a composite under the influence of bending loads is formulated. The size of the limiting
minimum pre-fraction zone, at which crack initiation occurs is recommended to be considered as a design characteris-
tic of a binder material.
Keywords: binder, inclusion, composite plate, bending, pre-fracture zone, crack formation.
Відомо, що багатокомпонентні структури більш надійні та довговічні, ніж однорідні. На етапі
проектування нових конструкцій з композиційних матеріалів необхідно враховувати випадки, коли у
матеріалі можуть з'явитися тріщини. Метою цьго дослідження є побудова розрахункової моделі для
композитного тіла, що включає зв'язування, це дає змогу розрахувати граничні зовнішні згинальні
навантаження, за яких відбувається розтріскування в композиті. Розглянуто тонку пластину із пружного
ізотропного середовища (матриці) та розподілених в ній включень (волокон) з іншого пружного матеріалу в
плиті під час згинання. Проведено математичний опис моделі зародження тріщини у зв'язувальному
композиті під час згинання. Використовується теорія аналітичних функцій та метод степеневих рядів.
Визначення невідомих параметрів, що характеризують зародкову тріщину, зводиться до розв’язання
сингулярного інтегрального рівняння. Побудовано замкнуту систему нелінійних алгебраїчних рівнянь,
розв'язок якої дозволяє прогнозувати тріщиноутворення в композиті під час згинання залежно від
геометричних та механічних характеристик з’єднувального та включень. Сформульовано критерій
зародження тріщини в композиті під впливом згинних навантажень. Розмір обмежувальної мінімальної зони
попередньої фракції, за якої відбувається зародження тріщини, рекомендується розглядати як
конструктивну характеристику з’єднувального матеріалу.
Ключові слова: зв’язувальне, включення, пластина з композитного матеріалу, згинання, зони
передруйнування, тріщиноутворення.
References
1. Greco F., Leonetti L., Lonetti P. A. (2013). Two-Scale Failure Analysis of Composite Materials in Presence of Fi-
ber/Matrix Crack Initiation and Propagation. Composite Structures. Vol. 95. pp. 582–597.
2. Brighenti R., Carpinteri A., Spagnoli A., Scorza D. (2013). Continuous and Lattice Models to Describe Crack Paths in
Brittle–Matrix Composites with Random and Unidirectional Fibres. Eng. Fracture Mech. Vol. 108. pp. 170–182.
3. Mirsalimov V. M., Hasanov F. F. (2014). Interaction Between Periodic System of Rigid Inclusions and Rectilinear Co-
hesive Cracks in an Isotropic Medium Under Transverse Shear. Acta Polytechnica Hungarica. Vol. 11(5). pp. 161–176.
4. Hasanov F. F. (2014). Razrushenie kompozita, armirovannogo odnonapravlennymi voloknami. Mekhanika
kompozit. materialov [Fracture of a Composite Reinforced by Unidirectional Fibers]. Mech. Composite Materials.
Vol. 50. pp. 593–602 (in Russian).
5. Mirsalimov V. M., Hasanov F. F. (2014). Vzaimodeystvie periodicheskoy sistemy inorodnykh uprugikh
vklyucheniy, poverkhnost kotorykh ravnomerno pokryta odnorodnoy tsilindricheskoy plenkoy, i dvukh sistem
pryamolineynykh treshchin s kontsevymi zonami. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin [Interaction of
a Periodic System of Foreign Elastic Inclusions Whose Surface is Uniformly Covered with a Homogeneous Cylin-
drical Film and Two Systems of Straight Line Cracks with End Zones]. J Machinery Manufacture and Reliability.
Vol. 43. pp. 408–415 (in Russian).
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Проблеми машинобудування, 2018, Т. 21, № 2 74
6. Hao W., Yao X., Ma Y., Yuan Y. (2015). Experimental Study on Interaction Between Matrix Crack and Fiber
Bundles Using Optical Caustic Method. Eng. Fracture Mech. Vol. 134. pp. 354–367.
7. Hasanov F. F. (2014). Modelirovanie zarozhdeniya treshchiny sdviga v volokne kompozita, armirovannogo od-
nonapravlennymi voloknami. Problemy. mashinostroeniya. [Modelling of Crack Nucleation in the Fibre of Com-
posite Reinforced with Unidirectional Fibres Under Shear]. J. Mech.Eng. Vol. 17 (2). pp. 17–25 (in Russian).
8. Hasanov F. F. (2014). Zarozhdenie treshchiny v kompozite, armirovannom odnonapravlennymi ortotropnymi vo-
loknami pri prodolnom sdvige. Mekhanika mashin, mekhanizmov i materialov [Nucleation of the Crack in a Com-
posite with Reinforced Unidirectional Orthotropous Fbers at Longitudinal Shear]. Mech. Machines, Mechanisms
and Materials. Vol. 2. pp. 45–50 (in Russian).
9. Kayumov R. A., Lukankin S. A., Paymushin V. N., Kholmogorov S. A. (2015). Identifikatsiya mekhanicheskikh
kharakteristik armirovannykh voloknami kompozitov. Uch. zap. Kazan. un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki [Identification
of Mechanical Properties of Fiber-Reinforced Composites]. Proc. Kazan University. Physics and Mathematics Se-
ries. Vol. 157 (4). pp. 112–132 (in Russian).
10. Mirsalimov V. M., Hasanov F. F. (2015). Vzaimodeystvie periodicheskoy sistemy inorodnykh vklyucheniy i
kogezionnykh treshchin pri prodolnom sdvige. Stroit. mekhanika inzh. konstruktsiy i sooruzheniy [Interaction of
Periodic System Heterogeneous Inclusions and Cohesive Cracks Under Longitudinal Shear]. Structural Mech.
Eng. Constructions and Buildings. Vol. (2). pp. 18–28 (in Russian).
11. Polilov A. N. (2014). Mekhanizmy umensheniya kontsentratsii napryazheniy v voloknistykh kompozitakh. Prikl.
mekhanika i tekhn. fizika [Mechanisms of Stress Concentration Reduction in Fiber Composites]. J Appl. Mech.
and Techn. Physics. Vol. 55. pp. 154–163 (in Russian).
12. Mirsalimov V. M., Askarov V. A. (2016). Minimizatsiya parametrov razrusheniya v kompozite pri izgibe. Mek-
hanika kompozit. materialov [Minimization of Fracture Parameters of a Composite at Bending]. Mech. Composite
Materials. Vol. 51. pp. 737–744 (in Russian).
13. Mokhtari A., Ouali M. O., Tala-Ighil N. (2015). Damage Modelling in Thermoplastic Composites Reinforced with
Natural Fibres Under Compressive Loading. Int J Damage Mech. Vol. 24. pp. 1239–1260.
14. Mirsalimov V. M, Askarov V. A. (2016). Minimizatsiya koeffitsientov intensivnosti napryazheniy dlya kompozita,
armirovannogo odnonapravlennymi voloknami pri izgibe. Vestn. Chuvash. ped. un-ta im. I. Ya. Yakovleva. Ser.:
Mekhanika predelnogo sostoyaniya. [Minimization of Stress Intensity Factors for Composite Reinforced by Unidi-
rectional Fibers at Bending]. Vestnik I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical University. Series: Mechanics of a
limit state. Vol. 3. pp. 105–116 (in Russian).
15. Mirsalimov V. M., Hasanov F. F. (2015). Nucleation of Cracks in an Isotropic Medium with Periodic System of
Rigid Inclusions Under Transverse Shear. Acta Mechanica. Vol. 226. pp. 385–395.
16. Kruminsh Ya., Zesers A. (2015). Eksperimentalnoe issledovanie razrusheniya betona, armirovannogo gibridnymi
voloknami. Mekhanika kompozit. materialov [Experimental Investigation of the Fracture of Hybrid-Fiber-
Reinforced Concrete]. Mech. Composite Materials. Vol. 51(1). pp. 25–32 (in Russian).
17. Tang C. (2015). A Study of Crack-Fiber Interaction in Fiber-Reinforced Composites Using Optical Caustic Meth-
od. Polymer Eng. and Sci. Vol. 55. pp. 852–857.
18. Takeda T., Narita F. (2017). Fracture Behavior and Crack Sensing Capability of Bonded Carbon Fiber Composite
Joints with Carbon Nanotube-Based Polymer Adhesive Layer Under Mode I Loading. Composites Sci. and Tech-
nology. Vol. 146. pp. 26–33.
19. Ju J. W., Wu Y. (2016). Stochastic Micromechanical Damage Modeling of Progressive Fiber Breakage for Longi-
tudinal Fiber-Reinforced Composites. Int J. Damage Mech. Vol. 25. pp. 203–227.
20. Babaei R., Farrokhabadi A. A. (2017). Computational Continuum Damage Mechanics Model for Predicting
Transverse Cracking and Splitting Evolution in Open Hole Cross-Ply Composite Laminates. Fatigue & Fracture
Eng. Materials & Structures. Vol. 40 (3). pp. 375–390.
21. Bakhshan H., Afrouzian A., Ahmadi H., Taghavimehr M. (2017). Progressive Failure Analysis of Fiber-Reinforced
Laminated Composites Containing a Hole. Int J. Damage Mech.; https://doi.org/10.1177/1056789517715088.
22. Cameselle-Molares A., Sarfaraz R., Shahverdi M., Keller T., Vassilopoulos A. P. (2017). Fracture Mechanics-
Based Progressive Damage Modelling of Adhesively Bonded Fibre-Reinforced Polymer Joints. Fatigue & Fracture
Eng. Materials & Structures. Vol. 40. pp. 2183–2193.
23. Mirsalimov V. M. (1987). Neodnomernye uprugoplasticheskie zadachi [Non-One-Dimensional Elastoplastic Prob-
lems]. Moscow: Nauka (in Russian).
24. Panasyuk V. V. (1991). Mekhanika kvazikhrupkogo razrusheniya materialov [Mechanics of Quasibrittle Fracture
of Materials]. Kiev: Naukova Dumka (in Russian).
25. Rusinko A., Rusinko K. (2011). Plasticity and Creep of Metals. Berlin; Springer.
26. Muskhelishvili N. I. (1977). Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoy teorii uprugosti [Some Basic Problem
of Mathematical Theory of Elasticity]. Amsterdam: Kluwer Academic (in Russian).
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Journal of Mechanical Engineering, 2018, Vol. 21, No. 2 75
27. Panasyuk V. V., Savruk M. P. and Datsyshyn A. P. (1976). Raspredelenie napryazheniy okolo treshchin v plastinakh i
obolochkakh [The Stress Distribution Around Cracks in Plates and Shells]. Kiev: Naukova Dumka (in Russian).
28. Savruk M. P. (1981). Dvumernye zadachi uprugosti dlya tel s treshchinami [Two-Dimensional Problem of Elas-
ticity for Bodies with Cracks]. Kiev: Naukova Dumka (in Russian).
Loveikin V. S., Pochka K. I., Romasevych Yu. O. Modeling Roller Forming Unit Dynamic Analysis
with Energy Balanced Drive Dissipative Properties Taken into Account ................................................... 32–44
In order to increase the reliability and durability of a roller forming unit with an energy-balanced drive, loads in the
unit structure elements and drive are calculated, dependencies for identifying efforts in the connecting rods, necessary
for setting the forming trolleys in reciprocating movement, and normal reactions of the forming trolley guide rails to
the guide rollers depending on the rotation angle of the cranks are obtained. For researching into loads, a two-mass
dynamic model of a roller forming unit is used, in which the load and inertia characteristics of the drive motor and
each of the forming trolleys as well as rigidity of the drive and its dissipation are considered. Function of change of
the required moment for ensuring the process of compacting products from building mixtures, taking into account
drive dissipation, is defined. By the average value of the resistance moment for one crank rotation cycle, the rated
power is chosen, on which the electric motor, clutches and reducer are chosen. Using Lagrange's equation of the sec-
ond kind differential equations of movement are worked out for a roller forming unit with an energy-balanced drive
presented by a two-mass dynamic model. As a result of the numerical experiment for a roller forming unit with an en-
ergy-balanced drive, the value of the drive rigidity (reduced to the crank rotation axis) at which the minimum loads in
the drive clutches are observed, is determined. Dependence of the drive clutch torque from the dissipation coefficient
value is determined. The recommended dissipation coefficient value for a roller forming unit with an energy-balanced
drive is determined.
Keywords: roll forming unit, drive, force, moment, rigidity, dissipation.
З метою підвищення надійності та довговічності роликової формувальної установки з енергетично
врівноваженим привідним механізмом розраховано навантаження в елементах її конструкції та приводу,
отримано залежності для визначення зусилля в шатунах, яке необхідне для приведення в зворотно-
поступальний рух формувальних візків, та нормальних реакцій напрямних руху формувальних візків на напрямні
ролики в залежності від кута повороту кривошипів. Для дослідження навантажень використано двомасову
динамічну модель роликової формувальної установки, в якій враховано силові та інерційні характеристики
привідного двигуна і кожного з формувальних візків, жорсткість привідного механізму та його дисипація.
Визначено функцію зміни необхідного крутного моменту на привідному валу кривошипів для забезпечення
процесу ущільнення виробів з будівельних сумішей із урахуванням дисипації привідного механізму. За середнім
значенням моменту сил опору за цикл повороту кривошипів визначено номінальну розрахункову потужність, за
якою вибрано електродвигун, підібрано з’єднувальні муфти та редуктор. Використовуючи рівняння Лагранжа
другого роду, для роликової формувальної установки з енергетично врівноваженим приводом, представленої
двомасовою динамічною моделлю, складено диференціальні рівняння руху. В результаті числового експерименту
для роликової формувальної установки з енергетично врівноваженим привідним механізмом визначено значення
жорсткості привідного механізму, зведеної до осі обертання кривошипів, за якого спостерігаються мінімальні
навантаження у муфтах привідного механізму. Встановлено залежність моменту у муфті приводу від
величини коефіцієнта дисипації. Визначено рекомендовану величину коефіцієнта дисипації для роликової
формувальної установки з енергетично врівноваженим приводним механізмом.
Ключові слова: роликова формувальна установка, приводний механізм, зусилля, момент, жорсткість,
дисипація.
References
1. Harnets V. M. (1991). Prohresyvni betonoformuiuchi ahrehaty i kompleksy. [Progressive Concrete the Forming
Units and Complexes]. Kyiv: Budіvelnyk. (in Ukrainian).
2. Harnets V. M., Zaichenko S. V., Chovniuk Yu. V., Shalenko V. O., Prykhodko Ya. S. (2015). Concrete the Forming
Units. Constructive and Functional to the Scheme, Principle of Action, Theory Basis]. Kyiv: Іnterservіs. (in Ukrainian).
3. Kuzin V. N. (1981). Technology of Roller Formation of Flat Articles from Fine-Grained Concrete: Extended ab-
stract of candidate thesis / Moscow construction instituteю Moscow, USSR (in Russian).
4. Ryushin V. T. (1986). Issledovanie rabochego protsessa i razrabotka metodiki rascheta mashin rolikovogo formovaniya
betonnykh smesey [Research of Working Process and Development of a Method of Calculation of Machines of Roller
Formation of Concrete Mixes]: Unpublished candidate thesis / Kyiv construction institute. Kyiv, USSR (in Russian).
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Проблеми машинобудування, 2018, Т. 21, № 2 76
5. Loveikіn V. S. & Pochka K. І. (2004). Dynamichnyi analiz rolykovoi formovochnoi ustanovky z rekuperatsiinym
pryvodom. [The Dynamic Analysis of Roller Forming Installation with the Recuperative Drive]. Dynamics, dura-
bility and reliability of farm vehicles: Works of the first Intern. sci. and techn. conf. (DSR AM-I). (Ternopіl,
October 2004) Ternopіl. pp. 507–514 (in Ukrainian).
6. Loveikіn V. S. & Pochka K. І. (2007). Rezultaty eksperymentalnykh doslidzhen rezhymiv rukhu rolykovoi formu-
valnoi ustanovky z rekuperatsiinym pryvodom. [Results of Pilot Studies of the Modes of the Movement of Roller
Forming Installation with the Recuperative drive]. The bulletin of the Kharkov nat. university of agriculture of P.
Vasilenko. Vol. 1. No. 59. pp. 465–474 (in Ukrainian).
7. Nazarenko I. I., Smirnov V. M., Pelevin L. Ye., Fomin A. V., Sviderskyi A. T., Kosteniuk O. O., Ruchynskyi M.
M., Diedov O. P., Harkavenko O. M., Martyniuk I. Yu. (2013). Osnovy teorii rukhu zemleryinykh i ushchilni-
uvalnykh mashyn budindustrii z kerovanymy u chasi optymalnymy parametramy [Fundamentals of the Theory of
the Movement of the Digging and Condensing Machines of the Construction Industry with the Optimum Parame-
ters Operated in Time]. Kyiv: MP Lesia (in Ukrainian).
8. Zaichenko S., Shalenko V., Shevchuk N. & Vapnichna V. (2017). Development of a Geomechanic Complex for
Geotechnical Monitoring Contour Mine Groove. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. Vol. 3/9
(87). pp. 19–25. DOI: 10.155/1729-4061.2017.102067.
9. Harnets V. M., Chovniuk Yu. V., Zaichenko S. V., Shalenko V. O., Prykhodko Ya. S. (2014). Teoriia i praktyka
stvorennia betonoformuvalnykh ahrehativ [Theory and Practice of Creation of Units of Formation of Concrete].
Mining, construction, road and meliorative machines. No. 83. pp. 49–54 (in Ukrainian).
10. Harnets V. M., Zaichenko S. V., Prykhodko Ya. S., Shalenko V. O. (2012). Rozrobka naukovo-praktychnykh rek-
omendatsii po stvorenniu betonoformuiuchykh ahrehativ (BFA). [Development of Scientific and Practical Rec-
ommendations About Creation of Units of Formation of Concrete]. Mining, construction, road and meliorative
machines. No. 79. pp. 46–52 (in Ukrainian).
11. Zaichenko S. V., Shevchuk S. P., Harnets V. M. (2012). Enerhetychnyi analiz protsesu rolykovoho ushchilnennia.
Enerhetyka: Ekonomika, tekhnolohiia, ekolohiia. [Power Analysis of Process of Roller Consolidation]. Power:
Economy, technology, ecology. No. 1 (30). pp. 77–83 (in Ukrainian).
12. Zaichenko S. V., Shevchuk S. P., Harnets V. M. (2012). Tryvymirne modeliuvannia protsesu rolykovoho ush-
chilnennia stovburnoho kriplennia. [Three-Dimensional Modeling of Process of Roller Consolidation of Column
Fastening]. Mining, construction, road and meliorative machines. No. 79. pp. 40–45 (in Ukrainian).
13. Prykhodko Ya. S., Harnets V. M. (2012). Vzaiemouzghodzhenist roboty mekhanizmiv pry rolyko-ekstruziinomu
formuvanni bahatopustotnykh vyrobiv. [Interconsistency of Operation of Mechanisms at Roller and Extrusive For-
mation of Multihollow Products]. Branch mechanical engineering, construction. No. 1 (31). pp. 305–310 (in
Ukrainian).
14. Loveikin V. S., Pochka K. I. (2007). Vyznachennia optymalnoho znachennia kuta zmishchennia kryvoshypiv
rolykovoi formuvalnoi ustanovky z rekuperatsiinym pryvodom. [Determination of Optimum Value of a Corner of
Shift of Cranks of Roller Forming Installation with the Recuperative Drive]. Automation of productions in mechani-
cal engineering and instrument making. National University 'Lvіv Polyequipment'. No. 41. pp. 127–134 (in
Ukrainian).
15. Loveikin V. S., Pochka K. I. (2008). Vyznachennia navantazhen v elementakh rolykovykh formuvalnykh ustano-
vok. [Definition of Loadings in Elements of Roller Forming Installations]. Collection of scientific works of
Ukrainian state academy of railway transport. No. 88. pp. 15–20 (in Ukrainian).
16. Loveikin V. S., Pochka K.I (2007). Vyznachennia navantazhen v elementakh rolykovoi formuvalnoi ustanovky.
[Definition of Loadings in Elements of Roller Forming Installation]. Theory and practice of construction. No. 3.
pp. 19–23 (in Ukrainian).
17. Loveikin V. S., Pochka K. I. (2012). Doslidzhennia dynamichnykh navantazhen v elementakh rolykovykh formu-
valnykh ustanovok. [Research of Dynamic Loadings in Elements of Roller Forming Installations]. Formation of
Modern Science — 2012: Materials VIII of the intern. sci. and pract. conf. Section 18. Technical science. For-
mation of information technologies, (Praha, 2012). Praha. pp. 20–25 (in Ukrainian).
18. Loveikin V. S., Pochka K. I. (2015). Doslidzhennia navantazhen v elementakh rolykovoi formuvalnoi ustanovky z
vrivnovazhenym pryvodom. Avtomatyzatsiia vyrobn. protsesiv u mashynobud. ta pryladobud. [Research of Load-
ings in Elements of Roller Forming Installation with the Balanced Drive]. Automation of productions in mechanical
engineering and instrument making. National University 'Lvіv Polyequipment'. No. 49. pp. 73–79 (in Ukrainian).
19. Loveykin V. S., Pochka K. I. (2016). Analiz dinamicheskogo uravnoveshivaniya privodov mashin rolikovogo
formovaniya. [Analysis of Dynamic Equilibration of Drives of Machines of Roller Formation]. MOTROL. Com-
mission of Motorization and Energetics in Agriculture. Lublin-Rzeszow. Vol. 18. No 3. pp. 41–52 (in Russian).
20. Ustanovka dlia formuvannia vyrobiv z betonnykh sumishei [Installation for Formation of Products from Concrete
Mixes]: рat. 50032 UA, IPC В28В 13/00. Publ. 25.05.2010 (in Ukrainian).
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Journal of Mechanical Engineering, 2018, Vol. 21, No. 2 77
21. Loveykіn V. S., Pochka K. І. (2014). Obgruntuvannya parametrіv energetichno vrіvnovazhenogo privodu
rolikovoї formuvalnoї ustanovki. [Justification by the Parameter of Energetically Balanced Drive of Roller Form-
ing Installation]. Technology of construction. No. 32. pp. 25–32 (in Ukrainian).
22. Loveikin V. S., Pochka K. I. (2010). Obhruntuvannia parametriv enerhetychno vrivnovazhenoho pryvodu
rolykovoi formuvalnoi ustanovky. [The Analysis of Unevenness of the Movement of Roller Forming Installation
with Energetically Balanced Drive]. Vibrations in the equipment and technologies. No 4 (60). pp. 20–29 (in
Ukrainian).
23. Loveikin V. S., Kovbasa V. P., Pochka K. I. (2010). Dynamichnyi analiz rolykovoi formuvalnoi ustanovky z ener-
hetychno vrivnovazhenym pryvodom. [The Dynamic Analysis of Roller Forming Installation with Energetically
Balanced Drive]. Scientific bulletin of the National university of bioresources and environmental management of
Ukraine. Series of the technician and power engineering specialist of agro-industrial complex. Issue 144. Pt. 5.
pp. 338–344 (in Ukrainian).
24. Orlov I. N. (1986). (Ed.). Elektrotekhnicheskiy spravochnik. V 3 t. T. 2. Elektrotekhnicheskie izde-liya i ustroystva
[Electrotechnical Reference Book. Vol. 2. Electrotechnical Products and Devices. Moscow: Jenergoatomizdat (in
Russian).
25. Sheynblit A. Ye. (1991). Kursovoe proektirovanie detaley mashin: Course Design of Details of Machines: Manual
for Technical Schools. Moscow: Vysshaja shkola (in Russian).
26. Degtyarev Yu. I. (1980). Metody optimizatsii. Optimization Methods. Moscow: Sov. radio (in Russian).
27. Rekleytis G., Reyvindran A., Regsdel K. (1986). Optimizatsiya v tekhnike. Optimization in the Equipment.
In 2 books. Book 1. Translation from English. M.: Mir (in Russian).
Applied Mathematics
Stoyan Y.G., Chugay A.M. Packing Convex Homothetic Polytopes into a Cuboid ............................. 45–59
This paper deals with the optimization problem of packing a given set of homothetical arbitrarily oriented convex pol-
ytopes without their overlapping in a linear parallelepiped of minimal volume. Phi-functions are proposed to be used
as a constructive means of the mathematical modeling of a given problem. On the basis of the phi-function a mathe-
matical model of the problem is constructed for two convex non-oriented polytopes, and its main properties which in-
fluence the choice of the strategy for solving the problem are examined. The obtained mathematical model presents the
problem in the form of a classical problem of nonlinear programming, which makes it possible to use modern solvers
for searching for a solution. Effective methods for finding valid starting points and locally optimal solutions based on
homothetic transformations are proposed. To search for local extrema of the formulated optimization problems, a spe-
cial method of decomposition has been developed, which allows us to significantly reduce computational costs due to
a considerable reduction in the number of inequalities. The key idea of the optimization procedure allows us to gener-
ate subsets of the domain of admissible solutions at each stage of searching for a local extremum. Parallel computa-
tions were used to search for local extrema, which made it possible to reduce time expenditures. Numerical examples
are given. The methods proposed in the work can be used for solving the problem of packaging convex polytopes.
Keywords: packing, homothetic polytopes, rotations, optimization, phi-functions.
У роботі розглядається оптимізаційна задача упакування заданого набору гомотетичних довільно
орієнтованих опуклих багатогранників без їх взаємного перетинання у прямому паралелепіпеді мінімального
об'єму. Як конструктивні засоби математичного моделювання поставленої задачі пропонується
використовувати метод Ф-функції. На основі Ф-функції для двох опуклих неорієнтованих багатогранників
будується математична модель задачі та досліджуються її основні властивості, які впливають на вибір
стратегії розв’язання поставленої задачі. Отримана математична модель подає задачу у вигляді класичної
задачі нелінійного програмування, що дозволяє використовувати для пошуку розв’язку сучасні солвери.
Пропонуються ефективні методи пошуку припустимих початкових точок і локально оптимальних
розв'язків, що грунтуються на гомотетичних перетвореннях. Для пошуку локальних екстремумів
сформульованих оптимізаційних задач розроблено спеціальний метод декомпозиції, який дозволяє значно
зменшити обчислювальні витрати за рахунок значного зменшення кількості нерівностей. Ключова ідея
процедури оптимізації дозволяє генерувати підмножини області припустимих розв'язків на кожному етапі
пошуку локального екстремуму. Для пошуку локальних екстремумів використовувались паралельні
обчислення, що дозволило скоротити часові витрати. Наведено числові приклади. Запропоновані в роботі
методи можуть бути використані для розв’язання задачі упакування неопуклих багатогранників.
Ключові слова: пакування, гомотетичні багатогранники, обертання, оптимізація, Ф-функції.
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Проблеми машинобудування, 2018, Т. 21, № 2 78
References
1. Petrov, M. S., Gaidukov, V. V., Kadushnikov, R. M. (2004). Numerical Method for Modeling the Microstructure
of Granular. Materials Powder Metallurgy and Metal Ceramics, No. 43 (7–8), pp. 330–335.
2. Wang, Y., Lin, C. L., Miller, J. D. (2016). 3D Image Segmentation for Analysis of Multi-Size Particles in a
Packed Particle Bed. Powder Technology, No. 301, pp. 160–168.
3. Verkhoturov, M., Petunin, A., Verkhoturova, G., Danilov, K., Kurennov, D. (2016). The 3D Object Packing
Problem into a Parallelepiped Container Based on Discrete-Logical Representation. IFAC-PapersOnLine, No.
49(12), pp. 1–5.
4. Karabulut, K. A., İnceoğlu, M. (2004). Hybrid Genetic Algorithm for Packing in 3D with Deepest Bottom Left
with Fill Method. Advances in Inform. Systems, No. 3261, pp. 441–450.
5. Cao, P., Fan, Z., Gao, R., Tang, J. (2016). Complex Housing: Modeling and Optimization Using an Improved
Multi-Objective Simulated Annealing Algorithm. Proc. ASME, No. 60563, V02BT03A034.
6. Guangqiang, L. A., Fengqiang, Z., Rubo, Z., Du, Jialu, Chen, G.,Yiran, Z. (2016). Parallel Particle Bee Colony
Algorithm Approach to Layout Optimization. J. Computational and Theoretical Nanoscience, No. 13(7), pp.
4151–4157.
7. Torczon, V., Trosset, M. (1998). From Evolutionary Operation to Parallel Direct Search: Pattern Search Algo-
rithms for Numerical Optimization. Computing Sci. and Statistics, No. 29, pp. 396–401.
8. Birgin, E. G., Lobato, R. D., Martіnez, J. M. (2016). Packing Ellipsoids by Nonlinear Optimization. J. Global
Optimization, No. 65, pp. 709–743.
9. Stoyan, Y., Pankratov, A., Romanova, T. (2016). Quasi-Phi-Functions and Optimal Packing of Ellipses. J. Glob-
al Optimization, No. 65 (2), pp. 283–307.
10. Fasano, G. A. (2013). Global Optimization Point of View to Handle Non-Standard Object Packing Problems. J.
Global Optimization, No. 55(2), pp. 279 –299.
11. Egeblad, J. Nielsen, B. K., Brazil, M. (2009). Translational Packing of Arbitrary Polytopes. Computational Ge-
ometry: Theory and Appl., No. 42(4), pp. 269–288.
12. Liu, X., Liu, J., Cao, A., Yao, Z. (2015). HAPE3D – a New Constructive Algorithm for the 3D Irregular Packing
Problem. Frontiers of Information Techn. & Electronic Eng., No. 16(5), pp. 380–390.
13. Youn-Kyoung, Joung, Sang, Do Noh (2014). Intelligent 3D Packing Using a Grouping Algorithm for Automo-
tive Container Engineering. J. Computational Design and Eng., No. 1(2), pp. 140–151.
14. Kallrath, J. (2016). Packing Ellipsoids into Volume-Minimizing Rectangular Boxes. J. Global Optimization, No.
67 (1–2), pp. 151–185.
15. Stoyan, Y. G., Chugay, A. M. (2014). Packing Different Cuboids with Rotations and Spheres into a Cuboid. Ad-
vances in Decision Sci. Available at https://www.hindawi.com/journals/ads/2014/571743.
16. Stoyan, Y. G., Semkin, V. V., Chugay, A. M. (2016). Modeling Close Packing of 3D Objects. Cybernetics and
Systems Analysis, No. 52(2), pp. 296–304.
17. Pankratov, O., Romanova T., Stoyan Y., Chuhai, A. (2016). Optimization of Packing Polyhedra in Spherical and
Cylindrical Containers. Eastern European J. Enterprise Techn., Vol. 1, No. 4(79), pp. 39–47.
18. Stoyan, Y., Yaskov, G. (2014). Packing Unequal Circles into a Strip of Minimal Length with a Jump Algorithm.
Optimization Letters, No. 8(3), pp. 949–970.
19. Stoyan, Y. G., Chugay, A.M. (2016). Mathematical Modeling of the Interaction of Non-Oriented Convex Poly-
topes. Cybernetic Systems Analysis, 2012, No. 48, pp. 837–845.
Sheludko G.A., Ugrimov S.V. Adaptive Piecewise Linear Approximation of Difficult-to-Compute
Functions .............................................................................................................................................. 60–67
The solution of many theoretical and applied problems requires that some functional dependencies be substituted into
others, which are more convenient for the implementation of a specific mathematical problem. At the same time, infor-
mation about the character of the original function can be insufficient, and the function itself can be considered to be
difficult to compute. The accuracy of such an approximation depends on the methods used, the character of the original
function, as well as the number and choice of grid points. The easiest way of building such an approximation is doing it
on a uniform grid of points, which does not always provide an acceptable result. The purpose of this paper is to develop
effective adaptive methods of approximating functions for the problems aimed at searching for the lengths of curves and
calculating integrals under conditions of limited information about the character of the original function and the pres-
ence of its derivatives. An adaptive approach to the approximation of a wide class of one-dimensional functions is pro-
posed in the paper. For this approximation a piecewise linear approximation with a simple mechanism of exponential
adaptive feedback step process control is used. The possibilities of this approach are considered, using the problems of
calculating the lengths of curves and values of definite integrals. The specifics of the application of the suggested ap-
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Journal of Mechanical Engineering, 2018, Vol. 21, No. 2 79
proach are detailed for each case. The approach does not require an initial allocation of grid points. The method en-
sures the required accuracy in automatic mode. The result is realized in a single pass without any preliminary transfor-
mations. The reliability of the obtained results is confirmed by solving the known test examples. The results of calculat-
ing a number of definite integrals with different nature of integrand are presented. The calculation results by the pro-
posed method are compared with the data obtained by the usual trapezoid method. A high efficiency of the proposed
approach is established. The proposed method opens the way for creating effective means for solving numerical integra-
tion and differentiation problems, as well as integral and differential equations and so on.
Keywords: approximation, interpolation, piecewise linear approximation, difficult-to-compute function, efficiency index.
Розв'язання багатьох теоретичних і прикладних задач вимагає одні функціональні залежності заміняти
іншими, більш зручними для реалізації конкретної математичної задачі. При цьому інформація про характер
вихідної функції може бути недостатньою, а сама функція належати до важкообчислювальних. Точність
такої апроксимації залежить від застосовуваних методів, характеру вихідної функції, а також від кількості
й вибору вузлів сітки. Простіше всього така апроксимація будується на рівномірній сітці вузлів, що не завжди
забезпечує прийнятний результат. Метою статті є розробка ефективних адаптивних методів апроксимації
функцій для задач пошуку довжин кривих й обчислення інтегралів в умовах обмеженої інформації про
характер самої функції й наявності її похідних. У роботі пропонується адаптивний підхід до апроксимації
широкого класу одновимірних функцій. Для апроксимації використовується кусково-лінійне наближення із
простим механізмом експонентного адаптивного керування кроковим процесом зі зворотним зв'язком.
Можливості такого підходу розглянуті на задачах обчислення довжини кривих і значень визначених
інтегралів. Для кожного випадку докладно викладені особливості застосування розробленого підходу. Він не
вимагає завдання початкового розподілу вузлів. Метод забезпечує необхідну точність в автоматичному
режимі. Результат реалізується за один прохід без будь-яких попередніх перетворень. Вірогідність
отриманих результатів підтверджується розв'язанням відомих тестових прикладів. Наведено дані
розрахунку ряду визначених інтегралів з різним характером підінтегральної функції. Результати розрахунку
запропонованим методом порівнюються з даними, отриманими звичайним методом трапецій. Установлено
високу ефективність запропонованого підходу. Запропонований метод відкриває шлях до створення
ефективних засобів для розв'язання задач чисельного інтегрування та диференціювання, для розв’язання
інтегральних і диференціальних рівнянь і т.п.
Ключові слова: апроксимація, інтерполяція, кусково-лінійне наближення, важкообчислювана функція, індекс
ефективності.
References
1. Ostrovskiy, A. M. (1966). Solutions of Equations and Systems of Equations, 2nd ed. New York: Academic Press.
2. Krylov, A. N. (1954). Lektsii o priblizhennykh vychisleniyakh [Lectures on Approximate Calculations]. Moscow:
Gostekhizdat (in Russian).
3. Weiershtrass, K. (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Funktionen einer reelen
Veränderlichn. Sitzungsberichte der Berliner Akademie der Wissenschaften, pp. 633–639.
4. Mhaskar, H. N., Pai, D. V. (2000). Fundamentals of Approximation Theory. New Delhi: Narosa Publishing House.
5. Trefethen, L. N. (2013). Approximation Theory and Approximation Practice. Oxford: Oxford University.
6. Richardson, L. F. (1911). The Approximate Arithmetical Solution by Finite Differences of Physical Problems In-
volving Differential Equations, with an Application to the Stresses in a Masonry Dam. Philosophical Transactions
of the Royal Society of London. Ser. A, Vol. 210, pp. 307–357.
7. Runge, C. (1901). Über empirische funktionen und die interpolation zwischen äquidistanten en ordinaten.
Zeitschrift für Mathematik und Physik, Vol. 46, pp. 224–243.
8. Chebyshev, P. L. (1881). O funktsiyakh, malo uklonyayushchikhsya ot nulya pri nekotorykh velichinakh
peremennykh. Sobranie sochineniy, [On Functions Deviating Least from Zero at Some Values of Variables.
Col.works]. Vol. 3, pp. 108–127 (in Russian).
9. Faber, G. (1914) Über die interpolatiorische darstellung stetiger funktionen. Deutsche Mathematiker-Vereinigung
Jahresbeucht, Vol. 23, pp. 192–210.
10. Marcinkiewicz, J. (1939).Sur interpolation d`operations. Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Vol. 208,
pp. 1272–1273.
11. Bernshteyn, S. N. (1937). O mnogochlenakh ortogonalnykh v konechnom intervale [On Orthogonal Polynomials
in a Finite Interval]. Kharkov: Gos. nauch.-tekhn. izd-vo Ukrainy (in Russian).
12. Ahlberg, J. H., Nilson, E. N., Walsh, J. L. (1967). The Theory of Splines and Their Applications. New York and
London: Academic Press.
https://www.google.com.ua/search?biw=1560&bih=753&q=%C3%9Cber+empirische+Funktion+und+die+Interpolation+zwischen+equidistant+en+Ordinaten&spell=1&sa=X&ved=0ahUKEwjJuZ2C7pDaAhUGQpoKHa2OCagQBQgjKAA
https://www.google.com.ua/search?hl=uk&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22J.+Harold+Ahlberg%22
https://www.google.com.ua/search?hl=uk&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Edwin+Norman+Nilson%22
https://www.google.com.ua/search?hl=uk&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Joseph+Leonard+Walsh%22
ABSTRACTS AND REFERENCES
ISSN 0131–2928. Проблеми машинобудування, 2018, Т. 21, № 2 80
13. Popov, B. A., Tesler, G. S. (1984). Priblizhenie funktsiy splaynami [Approximation of Functions by Splines] Kiev:
Nauk. dumka (in Russian).
14. Rvachev, V. L., Rvachev, V. A. (1975). Atomarnye funktsii v matematicheskoy fizike. Matematizatsiya znaniy i
nauch.-tekhn. Progress [Atomic Functions in Mathematical Physics. Knowledge Mathematization, and Scientific
and Technical Progress]. Kiev: Nauk. dumka, pp. 188–199 (in Russian).
15. Ryabenkiy, V. S. (1974). Lokalnye formuly gladkogo vospolneniya i gladkoy interpolyatsii po ikh znacheniyam v
uzlakh neravnomernoy pryamougolnoy setki [Local Formulae for Smooth Replacement and Interpolation by Their
Values in Non-Uniform Rectangular Grid Nodes]. Moscow: In-t problem matematiki Akademiyi nauk SSSR,
1974. 42 p. (Preprint. Akademiya nauk SSSR. In-t problem matematiki; 21) (in Russian).
16. Bos, L., De Marchi, S., Hormann, K., Klein, G. (2012). On the Lebesgue Constant of Barycentric Rational Interpo-
lation at Equidistant Nodes. Numerische Mathematik, Vol. 121, Iss. 3, pp. 461–471.
17. Bellman, R. E. (2016). Adaptive Control Processes. A Guided Tour. Princeton Legacy Library.
18. Bahvalov, N. S. (1966). Ob algoritmakh vybora shaga integrirovaniya. Vychisl. metody i programmirovanie [On Al-
gorithms for Selecting Integration Steps. Computational Methods and Programming], Iss. 5, pp. 3–8 (in Russian).
19. Pukk, R. A. (1970). Algoritm integrirovaniya, uchityvayushchiy stepen gladkosti funktsiy. Izv. AN ESSR. Fizika.
Matematika [Integration Algorithm Taking into Account Degree of Function Smoothness. Proceedings of AS of
ESSR. Physics. Mathematics], Vol. 19, No. 3, pp. 368–370 (in Russian).
20. Sheludko, G. A. Adaptivnoe integrirovanie. AN Ukrainy In-t problem mashinostroeniya. [Adaptive Integration.
AS of USSR. IMEP]. Kharkov, 1973. 12 p. Dep. VINITI 26.07.73, No. 7753 (in Russian).
21. Sheludko, H.A., Ugrimov, S. V. (1997). Adaptivnyie resheniya nekotorykh zadach vyichislitelnoy matematiki.
Akademiya nauk Ukrainyi. In-t problem mashinostroeniya. [Adaptive Solutions to Some Problems of Computa-
tional Mathematics . AS of USSR. IMEP]. Kharkov (in Russian).
22. Gander, W., Gautschi, W. (2000). Adaptive Quadrature – Revisited. BIT Numerical Mathematics, Vol. 40. Iss. 1,
pp. 84–101.
23. Forsythe, G.E., Malcolm, M.A., Moler, C.B. (1977). Computer Methods for Mathematical Computations. Eng-
lewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall.
24. Mathews, J., Fink, K. (2004). Numerical Methods Using Matlab. 4nd ed. New Jersey: Prentice-Hall.
25. Sheludko, H.A., Ugrimov, S. V. (2011). Adaptivnaya gibridizatsiya [Adaptive Hybridisation]. Kharkov: Miskdruk
(in Russian).
26. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (1972). Edited by
M. Abramowitz and I. A. Stegun. 9th ed. New York: Dover Publication.
Оригінал-макет підготовлено в редакції журналу «Проблеми машинобудування»
Комп’ютерна верстка Т. В. Протасова
Редактор Н. В. Сівцова
Підп. до друку 15.03.18. Формат 6084 1/8. Гарнітура «Таймс».
Бум. офс. Усл. п. л. 10. Тираж 150 прим.
Ціна договірна. Заказ №
Видання підготовлено до друку й надруковано
в типографії ОП «Технологічний Центр»
Україна, 61045, м. Харків, вул. Шатилова Дача, 4
Тел. (057)750-89-90
Свідоцтво: ДК № 4452 от 10.12.2012
https://link.springer.com/journal/211
https://link.springer.com/journal/211/121/3/page/1
https://link.springer.com/journal/10543
https://link.springer.com/journal/10543/40/1/page/1
Dynamics and Strength of Machines
Applied Mathematics
|