Исследование многоэтапных стохастических задач портфельной оптимизации
Исследуются многоэтапные стохастические задачи оптимизации портфеля с применением меры рисков поКусуокииспектральнойкогерентной меры рисков. Для оценки эффективности моделей с использованием исходных данных разработан процесс бэк-тестирования. На разных временных этапах для моделей с мерой рисков по...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/142055 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Исследование многоэтапных стохастических задач портфельной оптимизации / О.А. Галкина // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 30-39. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-142055 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1420552018-09-25T01:22:48Z Исследование многоэтапных стохастических задач портфельной оптимизации Галкина, О.А. Кибернетика Исследуются многоэтапные стохастические задачи оптимизации портфеля с применением меры рисков поКусуокииспектральнойкогерентной меры рисков. Для оценки эффективности моделей с использованием исходных данных разработан процесс бэк-тестирования. На разных временных этапах для моделей с мерой рисков по Кусуоки и спектральной когерентной мерой рисков найдено пропорциональное соотношение активов для заданного портфеля. Многоэтапные стохастические модели оптимизации портфеля измеряются тестированием относительно стоимости портфеля. Для различных временных этапов подсчитаны минимальные портфельные потери. Досліджуються багатоетапні стохастичні задачі оптимізації портфеля із застосуванням міри ризиків за Кусуокі і спектральної когерентної міри ризику. Для оцінки ефективності моделей з використанням вихідних даних розроблено процес бек-тестування. На різних часових етапах для моделей з мірою ризику за Кусуокі і спектральною когерентною мірою ризиків знайдено пропорційне співвідношення активів для заданого портфеля. Багатоетапні стохастичні моделі оптимізації портфеля вимірюються тестуванням відносно вартості портфеля. Для різних часових етапів обчислено мінімальні портфельні втрати. The author investigates multistage stochastic portfolio optimization problems with application of Kusuoki’s and spectral coherent risk measures. The back-testing process is developed to evaluate the performance of the models using historical data. Proportionate share of the portfolio assets is found at different time stages for models with Kusuoki’s and spectral coherent risk measures. The multistage stochastic portfolio optimization models are measured by testing in terms of the portfolio value. Minimum portfolio losses are calculated for different time stages 2016 Article Исследование многоэтапных стохастических задач портфельной оптимизации / О.А. Галкина // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 30-39. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/142055 519.7 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Кибернетика Кибернетика |
| spellingShingle |
Кибернетика Кибернетика Галкина, О.А. Исследование многоэтапных стохастических задач портфельной оптимизации Кибернетика и системный анализ |
| description |
Исследуются многоэтапные стохастические задачи оптимизации портфеля с применением меры рисков поКусуокииспектральнойкогерентной меры рисков. Для оценки эффективности моделей с использованием исходных данных разработан процесс бэк-тестирования. На разных временных этапах для моделей с мерой рисков по Кусуоки и спектральной когерентной мерой рисков найдено пропорциональное соотношение активов для заданного портфеля. Многоэтапные стохастические модели оптимизации портфеля измеряются тестированием относительно стоимости портфеля. Для различных временных этапов подсчитаны минимальные портфельные потери. |
| format |
Article |
| author |
Галкина, О.А. |
| author_facet |
Галкина, О.А. |
| author_sort |
Галкина, О.А. |
| title |
Исследование многоэтапных стохастических задач портфельной оптимизации |
| title_short |
Исследование многоэтапных стохастических задач портфельной оптимизации |
| title_full |
Исследование многоэтапных стохастических задач портфельной оптимизации |
| title_fullStr |
Исследование многоэтапных стохастических задач портфельной оптимизации |
| title_full_unstemmed |
Исследование многоэтапных стохастических задач портфельной оптимизации |
| title_sort |
исследование многоэтапных стохастических задач портфельной оптимизации |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Кибернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/142055 |
| citation_txt |
Исследование многоэтапных стохастических задач портфельной оптимизации / О.А. Галкина // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 6. — С. 30-39. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT galkinaoa issledovaniemnogoétapnyhstohastičeskihzadačportfelʹnojoptimizacii |
| first_indexed |
2025-07-10T14:03:18Z |
| last_indexed |
2025-07-10T14:03:18Z |
| _version_ |
1837268941779501056 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.7
Î.À. ÃÀËÊÈÍÀ
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÌÍÎÃÎÝÒÀÏÍÛÕ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ
ÇÀÄÀ× ÏÎÐÒÔÅËÜÍÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ
Àííîòàöèÿ. Èññëåäóþòñÿ ìíîãîýòàïíûå ñòîõàñòè÷åñêèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè
ïîðòôåëÿ ñ ïðèìåíåíèåì ìåðû ðèñêîâ ïî Êóñóîêè è ñïåêòðàëüíîé êîãåðåíò-
íîé ìåðû ðèñêîâ. Äëÿ îöåíêè ýôôåêòèâíîñòè ìîäåëåé ñ èñïîëüçîâàíèåì èñ-
õîäíûõ äàííûõ ðàçðàáîòàí ïðîöåññ áýê-òåñòèðîâàíèÿ. Íà ðàçíûõ âðåìåíí�õ
ýòàïàõ äëÿ ìîäåëåé ñ ìåðîé ðèñêîâ ïî Êóñóîêè è ñïåêòðàëüíîé êîãåðåíòíîé
ìåðîé ðèñêîâ íàéäåíî ïðîïîðöèîíàëüíîå ñîîòíîøåíèå àêòèâîâ äëÿ çàäàííî-
ãî ïîðòôåëÿ. Ìíîãîýòàïíûå ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ
èçìåðÿþòñÿ òåñòèðîâàíèåì îòíîñèòåëüíî ñòîèìîñòè ïîðòôåëÿ. Äëÿ ðàçëè÷-
íûõ âðåìåíí�õ ýòàïîâ ïîäñ÷èòàíû ìèíèìàëüíûå ïîðòôåëüíûå ïîòåðè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïîðòôåëüíàÿ îïòèìèçàöèÿ, ìåðû ðèñêîâ, àêòèâû.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ìíîãèå äèñöèïëèíû, òàêèå êàê ôèíàíñû, ëîãèñòèêà è ýêîíîìèêà, èìåþò ìíîãî-
ýòàïíûå ïðîáëåìû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé, îáóñëîâëåííûå íåîïðåäåëåííîñòüþ äàí-
íûõ. Îíè èçâåñòíû êàê ñòîõàñòè÷åñêèå çàäà÷è, êîòîðûå ñëîæíî âû÷èñëÿòü, ïî-
ñêîëüêó öåëåâàÿ ôóíêöèÿ è îãðàíè÷åíèÿ òî÷íî íå èçâåñòíû. Ìíîãîýòàïíîå ñòî-
õàñòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå ôîðìèðóåò îáùóþ ñòðóêòóðó äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ
çàäà÷ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé, ñâÿçàííûõ ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ. Ïðåäëîæåíû ðàçëè÷-
íûå ìåòîäû ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ ìíîãîýòàïíûõ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðî-
ãðàììèðîâàíèÿ. Íàèáîëåå î÷åâèäíûì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ïðèáëèæåíèÿ äåðåâüåâ ñöå-
íàðèåâ. Îí âêëþ÷àåò äèñêðåòèçàöèþ ðåçóëüòàòîâ íåîïðåäåëåííûõ ïàðàìåòðîâ íà
êàæäîì âðåìåíí�ì ýòàïå. Ýòîò ïîäõîä ïðèáëèæàåò âû÷èñëèòåëüíî íåðàçðåøèìûå
ìíîãîýòàïíûå ïðîáëåìû ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ê ðàçðåøèìûì çàäà-
÷àì ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Îïòèìèçàöèÿ ïîðòôåëÿ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé ðàñïðåäåëåíèÿ êàïèòàëà ñðåäè ðàç-
ëè÷íûõ àêòèâîâ â öåëÿõ ìàêñèìèçàöèè äîõîäà îò èíâåñòèöèé è ìèíèìèçàöèè
ðèñêîâ. Ïîñêîëüêó äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ — íåîïðåäåëåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà,
ìàêñèìèçàöèÿ îæèäàåìîé äîõîäíîñòè îò èíâåñòèöèé ÿâëÿåòñÿ âàæíûì
ôàêòîðîì, à õàðàêòåðèñòèêà ðèñêîâ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé çàäà÷åé.
ÌÅÐÛ ÐÈÑÊΠ ÌÍÎÃÎÝÒÀÏÍÛÕ ÇÀÄÀ×ÀÕ ÏÎÐÒÔÅËÜÍÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíâåñòîð ïðåäïîëàãàåò ðàñïðåäåëèòü ñðåäñòâà ñðåäè êëàññîâ
àêòèâîâ N N n1, ,� . Äëÿ êëàññà j j: � — îæèäàåìûé äîõîä, � j — ñòàíäàðòíîå
îòêëîíåíèå äîõîäà, x j — ÷àñòü ñðåäñòâ èíâåñòîðà, âûäåëåííàÿ äëÿ êëàññà j.
Äëÿ êëàññîâ i è j: � ij îçíà÷àåò êîâàðèàöèþ äîõîäîâ. Äîõîä îò êëàññîâ àêòèâîâ
íà êîíåö èíâåñòèöèîííîãî ïåðèîäà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Îæèäàåìûé
äîõîä è äèñïåðñèÿ çàäàíû â âèäå
E x x xj
j
j( ) � �� � �T ,
Var x x x x x xj j ij
i j
i j( ) � � �� �
�
� �2 2 2 T� ,
Q Qij ij ii i� �� �, 2 .
Îñíîâíîé ïðèíöèï ðåøåíèÿ ìíîãîýòàïíûõ çàäà÷ ïîðòôåëüíîé îïòèìèçàöèè
çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: ïðåäïîëàãàÿ óðîâåíü îæèäàåìîãî äîõîäà, ðàöèîíàëü-
30 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6
© Î.À. Ãàëêèíà, 2016
íûé èíâåñòîð âûáåðåò ïîðòôåëü ñ ìèíèìàëüíîé äèñïåðñèåé èç íàáîðà âñåõ âîç-
ìîæíûõ ïîðòôåëåé. Ãàððè Ìàðêîâèö, àìåðèêàíñêèé ýêîíîìèñò, ïðåäëîæèë òðè
ýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëèðîâêè îïòèìèçàöèîííûõ ìîäåëåé: ìàêñèìèçàöèÿ îæèäàå-
ìîãî äîõîäà, ìèíèìèçàöèÿ äèñïåðñèè, äîáàâëåíèå ïàðàìåòðà, ïðåäîïðåäåëÿþùåãî
ðèñêè [1]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò I àêòèâîâ, è îáîçíà÷èì
� � � �: [ , , , ]� 1 2 � I èõ ñëó÷àéíûå äîõîäû. Äîõîäû ìîäåëèðóþòñÿ â âåðîÿòíîñòíîì
ïðîñòðàíñòâå ( , ( ), )R B R PI I , ãäå áîðåëåâñêàÿ �-àëãåáðà B R I( ) — íàáîð ñîâîêóï-
íûõ äîõîäîâ ñ îïðåäåëåííîé âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé P. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò Wo
ñðåäñòâ äëÿ èíâåñòèðîâàíèÿ. Â îäíîýòàïíîé îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ íåîáõîäèìî ïðè-
íÿòü ðåøåíèå: êàêóþ ñóììó wi èíâåñòèðîâàòü â êàæäûé àêòèâ i i I, , ,�1 � , ÷òîáû
w Wi
i
I
o
�
� �
1
. Ïðåäñòàâèì ñóììó èíâåñòèðîâàííûõ ñðåäñòâ äëÿ êàæäîãî àêòèâà â âèäå
w w wI: [ , , ]� 1 � . Îáùèé äîõîä ïîðòôåëÿ rp ìîæíî ðàññ÷èòàòü êàê r wp � T �. Äâå
îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè èíâåñòîðà: ðàñ÷åòëèâîñòü è èçáåãàíèå ðèñêîâ. Êàæäûé èíâåñ-
òîð ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü îæèäàåìóþ äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ ïðè ìèíèìàëüíûõ
ðèñêàõ. Óðîâíè äîõîäîâ îïðåäåëÿþòñÿ êàê E E E E I( ) [ ( ), ( ), , ( )]� � � �� 1 2 � , à îæè-
äàåìóþ äîõîäíîñòü ïîðòôåëüíûõ èíâåñòèöèé rp çàïèøåì â âèäå r w Ep � T ( )� . Ðèñ-
êè îïðåäåëÿþòñÿ êàê èçìåí÷èâîñòü äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ
ðûíêà è íåîïðåäåëåííûõ ñîáûòèé.
Ñóùåñòâóåò ìíîãî ìåòîäîâ äëÿ îïèñàíèÿ èíâåñòèöèîííûõ ðèñêîâ. Ðàññìîò-
ðèì îáùåå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ( , , )� F P è ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî èçìå-
ðèìûõ ôóíêöèé � � Z Z Q R: :{ }. Ïîëàãàåì ìåðîé ðèñêîâ ôóíêöèþ � : Z R .
×èñëî �( )Z , åñëè îíî ïîëîæèòåëüíîå, èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ìèíèìàëüíûå äîïîë-
íèòåëüíûå íàëè÷íûå äåíåæíûå ñðåäñòâà, êîòîðûå èíâåñòîð äîëæåí äîáàâèòü
â ðèñêîâîé ñèòóàöèè Z è èíâåñòèðîâàòü â áåçðèñêîâûå àêòèâû, ÷òîáû èìåòü âîç-
ìîæíîñòü îñóùåñòâèòü ñâîè ïëàíû, ò.å. èìåòü ðèñêè ñî çíà÷åíèåì 0. Êðîìå òîãî,
åñëè ÷èñëî �( )Z îòðèöàòåëüíîå, òî ñóììó äåíåæíûõ ñðåäñòâ â ðàçìåðå
�( )Z ìîæ-
íî èñêëþ÷èòü. Ôóíêöèîíàë � ÿâëÿåòñÿ êîãåðåíòíîé ìåðîé ðèñêîâ �Z , åñëè îí óäîâ-
ëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì. Òðàíñëÿöèîííàÿ èíâàðèàíòíîñòü: åñëè � �R è
Z Z� �, òî � � � �( ) ( )Z Z� �
; ïîëóàääèòèâíîñòü: åñëè Z Z Z1 2, � �, òî
�( )Z Z1 2� � � �( ) ( )Z Z1 2� ; ïîëîæèòåëüíàÿ îäíîðîäíîñòü: åñëè �
0 è Z Z� �, òî
� � ��( ) ( )Z Z� ; ìîíîòîííîñòü: åñëè Z Z Z1 2, � � è Z Z1 2� , òî � �( ) ( )Z Z1 2� [2].
Çíà÷åíèå ðèñêà VaR îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåëè÷èíà ïîòåðü ïîðîãà � �R , ò.å.
â êîíöå ïåðèîäà èíâåñòèðîâàíèÿ, òîëüêî ïðåâûøàÿ âåðîÿòíîñòü ( )1
�� R [1, 2].
Ïóñòü f w( , )� — ïîòåðè, ñâÿçàííûå ñ âåêòîðîì ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé W R I� è ñëó-
÷àéíûì âåêòîðîì � �R I . Îñíîâíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé � �R I èìååò
ïëîòíîñòü p( )� . Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî f w( , )� íå ïðåâûøàåò ïîðîãà � �R , çàïè-
øåì ñëåäóþùèì îáðàçîì [2]:
�( , ) ( )
( , )
w p d
f w
� � �
� �
�
�
� .
Çíà÷åíèå äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîòåðü �
VaR, ñâÿçàííûõ ñ w è ëþáûì çà-
äàííûì âåðîÿòíîñòíûì óðîâíåì � �( , )0 1 , îáîçíà÷àåòñÿ � � ( )w è çàïèñûâàåòñÿ
â âèäå
� � � �� ( ) min : ( , )w R w� �
{ }� .
Óñëîâíîå çíà÷åíèå ðèñêà CVaR, ÿâëÿþùååñÿ êîãåðåíòíîé ìåðîé ðèñêîâ,
ó÷èòûâàåò óñëîâíóþ îæèäàåìóþ âåëè÷èíó ïîòåðü, ïðè óñëîâèè, ÷òî îíà ïðåâû-
øàåò çíà÷åíèå VaR [3, 4]. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî âûðàæàåòñÿ â âèäå
� � � ��
� � �
( ) ( ) ( , ) ( )
( , ) ( )
w f w p d
f w w
�
�1 1 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 31
Êëàññè÷åñêóþ îäíîýòàïíóþ çàäà÷ó îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ìîæíî ðàñøèðèòü
äî ìíîãîýòàïíîé çàäà÷è. Öåëü çàäà÷è ìíîãîýòàïíîé îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ — âû-
÷èñëåíèå îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ äëÿ çàäàííîãî êîíå÷íîãî ãîðèçîíòà èíâåñòèðî-
âàíèÿ T , îïðåäåëåííîãî ìíîæåñòâîì ýòàïîâ T T: , ,� { }1 � . Ïîñëå ïåðâîíà÷àëü-
íûõ èíâåñòèöèé â ìîìåíò âðåìåíè t �1 ïîðòôåëü äîëæåí áûòü ñáàëàíñèðîâàí ïî
âðåìåíí�ì ïåðèîäàì t T�
2 1, ,� , â êîíöå ïîñëåäíåãî ïåðèîäà t T� âûïëà÷è-
âàþòñÿ äèâèäåíäû.
Ðàññìîòðèì ôèëüòðîâàííîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ( , , ( ) , )R F F Pk
t T� .
Îáùèé äîõîä ïðåäñòàâëåí â âèäå � � �: ( , , )� �1 � t
k
R t , ãäå ïîäâåêòîðû � t
k
R t�
ÿâëÿþòñÿ ñîâîêóïíûì äîõîäîì â ìîìåíò âðåìåíè t T� . Èñòîðèÿ âñåõ ñîâîêóï-
íûõ äîõîäîâ äî ýòàïà t îáîçíà÷àåòñÿ êàê � � �t
t
k
R t: ( , , )� �1 � , ãäå k kt
s
s
t
:�
�
�
1
.
Ðåøåíèå îá èíâåñòèöèÿõ wt
t( )� ïðèíèìàåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè t ïîñëå òîãî, êàê
íàéäåíû çíà÷åíèÿ � t , íî äî ïîëó÷åíèÿ áóäóùèõ ðåçóëüòàòîâ { }� s s t� . Îïðåäåëèì
äëÿ ïðîöåññà âûÿâëåíèÿ � t ñîîòâåòñòâóþùóþ ôèëüòðàöèþ F FT1 � �� �-àëãåá-
ðû íà R k . Îáîçíà÷èì Pt âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå � t . Îòìåòèì, ÷òî îäíîý-
òàïíóþ ìîäåëü ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ìíîãîýòàïíîé ìîäåëè,
â êîòîðîé � �T � è k kT � . Êàæäûé èíâåñòîð ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü îæèäà-
åìóþ äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ ïðè ìèíèìèçàöèè ðèñêîâ. Äîõîäíîñòü ìíîãîýòàïíî-
ãî ïîðòôåëÿ rp ìîæíî ðàññ÷èòàòü êàê ñðåäíèé êàïèòàë íà ýòàïå t T�
1, óìíî-
æåííûé íà ñðåäíèé äîõîä ïîñëåäíåãî ýòàïà � t :
r E wp T
T
T�
( ( ) )
1
1T � � .
Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî îáùèå äîõîäû ïîýòàïíî íåçàâèñèìû, îæèäàåìóþ äîõîä-
íîñòü çàïèøåì êàê
r E w Ep T
T
T�
( ( )) ( )
1
1T � � .
Ñïåêòðàëüíàÿ êîãåðåíòíàÿ ìåðà ðèñêîâ [5]
M X p q p dpX
( ) ( ) ( )�
�
0
1
,
ãäå ôóíêöèÿ
:[ , ]0 1 R íàçûâàåòñÿ ñïåêòðîì ðèñêà, èìååò ñëåäóþùèå ñâîé-
ñòâà:
( )�
0,
( )� — óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ,
( )p dp �� 1
0
1
.
Äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íà ìíîæåñòâå èç n ýëåìåíòàðíûõ ñöå-
íàðèåâ ñïåêòðàëüíàÿ ìåðà ðèñêîâ M
( )� îïðåäåëåíà êàê âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ
CVaR � äëÿ ðàçíûõ � [5]:
M X CVaR Xi
i
n
i
��( ) ( )�
�
�
1
,
(1)
0 1 1 1
1
� � � �
�
�� �i i
i
n
i n, , , ,� ,
ãäå ïàðàìåòðû � i è � i , i n�1, ,� , ìîæíî îïðåäåëèòü òî÷íî.
Ðàññìîòðèì çíà÷åíèå ñöåíàðèåâ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X â íèñõîäÿùåì ïîðÿä-
êå, íóìåðóÿ ñöåíàðèè è èõ âåðîÿòíîñòè â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîðÿäêîì. Îïðåäåëèì
i n�1, ,� .
32 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6
Èìååì M
( )� êàê âûïóêëóþ êîìáèíàöèþ VaR � [5]:
M X VaR Xi
i
n
i
��( ) ( )�
�
�
1
,
� i j
j
i
p�
�
�1
1
* , i n p dp p dp
p
p
p p
� � �� �
�
1 1
0
2
1
1
1 2
, , , ( ) , ( ) ,
*
*
* *
� �
�
�
i
p p
p p
i
i
p dp i n� �
� �
� �
�
1 1
1
3
* *
* *
( ) , , , .
�
�
�
Ñðàâíèâ äàííîå îïðåäåëåíèå M
( )� äëÿ � i i n, , ,�1 � , ñ ôîðìóëîé (1), ïðî-
íóìåðóåì � i i n, , ,�1 � , èñïîëüçóÿ � i i n, , ,�1 � .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëåäóþ-
ùèå ñîîòíîøåíèÿ [5]:
� � �i
i
i
i
i
i
i
p p
p
p
p
i n�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1 1 1
* *
*
*
*
, , ,
�
� , �
�
n
n
np
�
*
,
�
1
0
1
2
1
1
1 2
�
� �
�
( ) ( )
*
*
* *
*
*
p dp
p
p
p dp
p
p
p p
, �
n
n p p
p
p dp
n
�
� �
�
1
1 1
1
*
* *
( )
�
,
�
i
i
i p p
p p
i
i
p p
p
p dp
p
p
i
i
�
� �
� �
� �
�
�
1
1
1 1
1* *
*
*
* *
* *
( )
�
�
�
*
* *
* *
( )
p p
p p
i
i
p dp
1
1 1
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, i n�
2 1, ,� .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ CVaR äëÿ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí X [5]
� � ��i
i
k
i i
i
k
CVaR X i k
i
� �
� �� � � �
1 1
0 1 1 1( ), , , , , .� (2)
Òåîðåìà 1. Âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ CVaR X
i� ( ) â (2) ÿâëÿåòñÿ CVaR X�
*
( ),
ãäå �
*
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
1
1 11
�
�
�
�
�
�
*
i
ii
k
.
Äîêàçàòåëüñòâî [5]. Ñïåêòðàëüíóþ ìåðó ðèñêîâ M
( )� , ïðåäñòàâëåííóþ
äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ñöåíàðèåâ,
çàïèøåì â âèäå CVaR X�
*
( ), ãäå �
*
îïðåäåëèì êàê
1
1 11
�
�
�
�
�
�
*
i
ii
k
, i n�1, ,� .
Êîãåðåíòíàÿ ìåðà ðèñêîâ ïî Êóñóîêè, èíâàðèàíòíàÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ, èìå-
åò âèä [5]
max ( )
( , , )� �
��
1 1� n
ii
i
n
CVaR X
� �
�
�
,
ãäå � — âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ âåñîâûõ ôàêòîðîâ, ñóììà
êîòîðûõ ðàâíà åäèíèöå.
Ïðåäñòàâëåíèå ïî Êóñóîêè àíàëîãè÷íî CVaR X�
*
( ), ãäå � * ìîæíî çàïèñàòü
â ñëåäóþùåì âèäå [5]:
1
1 11 1
�
� �
�
�
�
�� �
*
( , , )
max
� n
i
ii
n
�
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 33
Ìåðà ðèñêîâ ïî Êóñóîêè è ñïåêòðàëüíàÿ êîãåðåíòíàÿ ìåðà ðèñêîâ ìîãóò ýô-
ôåêòèâíî èñïîëüçîâàòüñÿ â çàäà÷àõ ïîðòôåëüíîé îïòèìèçàöèè.
ÌÅÐÀ ÐÈÑÊÎÂ ÏÎ ÊÓÑÓÎÊÈ È ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÊÎÃÅÐÅÍÒÍÀß ÌÅÐÀ ÐÈÑÊÎÂ
 ÌÍÎÃÎÝÒÀÏÍÛÕ ÇÀÄÀ×ÀÕ ÏÎÐÒÔÅËÜÍÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ
 ìíîãîýòàïíûõ çàäà÷àõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì âûáè-
ðàåòñÿ öåëåâàÿ ôóíêöèÿ, ÷òîáû ïîêàçàòü âñå ðèñêè, ñâÿçàííûå ñ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòüþ ðåøåíèé, êîòîðûå íóæíî ïðèíÿü [6]. Ïîñëå ýòîãî çàäà÷ó ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé èëè êâàäðàòè÷íîé ïðîáëåìû. Ïîëàãàåì: xi t, —
åìêîñòü àêòèâà i çà ïåðèîä âðåìåíè t ; ri t, — äîõîä àêòèâà i çà ïåðèîä âðåìå-
íè t ; ui t, — êîëè÷åñòâî àêòèâà i, êóïëåííîãî/ïðîäàííîãî çà ïåðèîä âðåìåíè t ;
x tar — öåëåâîé ïîðòôåëü; r E rt� ( ) — ñðåäíåå çíà÷åíèå äîõîäà; p — ïàðà-
ìåòð îòêëîíåíèÿ; k — òðàíçàêöèîííûå èçäåðæêè. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ äè-
íàìè÷åñêóþ ñèñòåìó:
x r x u i I t Ti t i t i t i t, , , ,( )( ), , , , , , ,� �� � � � �1 11 1 1� �
E x x I t Tt
tar[ | | | | ] , , , ,
� �
1
1� �
x x i I t Ti t i
tar
, , , , , , , ,� � �1 1� �
E x x t Ti t
i
I
i
tar
i
I
, , , ,
� �
� �
�
�
�
�
�
�
� �
1 1
1 � .
Ýòó ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü êàê
x r x ui t i t i t i t, , , ,( )( )� �� � � �1 11 ( )( ( ) ), , , ,r r x x x ui t i t i
tar
i t i
tar
i t� �
�
�1 1 ,
r E r x x u xi t i t i t i
tar
i t i t, , , , ,( ), ,� � �� ,
è óïðîùåííî â âèäå
x r x ui t i t i t i t i t, , , , ,( )( )� � �� � � �1 1 11 � ,
� i t i t i t i
tarr r x, , ,( )� � ��
1 1 1 .
Ïîòåðè îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèåì
Loss u k ui t t
i
I
i
T
� �
�
�
�
�
�
�
��
�� , | | | |1
11
1
,
ãäå k �( , )0 1 — òðàíçàêöèîííûå èçäåðæêè. Öåëåâóþ ôóíêöèþ ïðåäñòàâèì â âèäå
� �
�
�
� �
�CVaR E Loss
1
1
([ ] ).
Ðàññìîòðèì çàäà÷è ìèíèìèçàöèè ïîðòôåëÿ (ìîäåëè 1–4).
Çàïèøåì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè (ìîäåëü 1) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
min ([ ] )
, ,x u
E Loss
�
�
�
��
�1
1
,
x r x ui t i t i t i t i t, , , , ,( )( ) ,� � �� � � �1 1 11 � i I t T� �1 1, , , , ,� � ,
E x x Ip t Tt
tar[| | | | ] , , ,
� �1 1 � ,
E x x t Ti t
i
I
i
tar
i
I
, , , ,
� �
� �
�
�
�
�
�
�
� �
1 1
1 � .
34 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6
Ìíîæåñòâî ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé � çàäàíî â âèäå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëå-
íèÿ [7]
!: [ : ( ) ( )]� �
� � �"
�t
T
t
I
tR r k r k
1
� � � � ,
� i t i t i t i
tarr r x, , ,( )� � ��
1 1 1 .
Ìíîãîýòàïíóþ äèíàìè÷åñêóþ çàäà÷ó îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ïðåäñòàâèì
â òàêîì âèäå (ìîäåëü 2):
min ( )
, , , ,x u w y
E w
�
�
�
�
1
1
,
w u k zs
i t
s
i t
s
i
I
i
I
i
( )
,
( )
,
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���
��
111
T
s S
�
�
1
1�, , ,� ,
w s Ss( ) , , ,
�0 1 � ,
x r x u
i t
s
i t i t
s
i t
s
i t
s
,
( )
, ,
( )
,
( )
,
( )( )( )
� � �
� � � �
1 1 1
1 � , i I t T s S� � �1 1 1, , , , , , , ,� � � ,
E y Ip t Ti t
t
I
, , , ,
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
1
1 � ,
y x x i I t T s Si t
s
i t
s tar
,
( )
,
( ) , , , , , , , , , ,
� � �1 1 1� � �
y x x i I t T s Si t
s
i
tar
i t
s
,
( )
,
( ) , , , , , , , , ,
� � �1 1 1� � � ,
E x x i I t Ti t
i
I
i
tar
i
I
, , , , , , ,
� �
� �
�
�
�
�
�
�
� � �
1 1
1 1� � ,
z u i I t T s Si t
s
i t
s
,
( )
,
( ) , , , , , , , , ,
� � �1 1 1� � � ,
z u i I t T s Si t
s
i t
s
,
( )
,
( ) , , , , , , , , ,
� � �1 1 1� � � .
Îáùåå ïðåäñòàâëåíèå íåïðåäñêàçóåìûõ îãðàíè÷åíèé ìîäåëè 2 çà ïåðèîä
âðåìåíè t T� �1 1, ,� îïðåäåëèì òàêèì îáðàçîì:
# äëÿ t �1: x x i I s S
i
s
i
tar
1
1 1( ) , , , , , ,� � �� � ;
# äëÿ t � 2: x x
i i
s
2
1
2
2( ) ( / )� �� , x x
i
s
i
s
2
2 1
2
( / ) ( )� � �� , i I s S� �1 1, , , , ,� � ;
# äëÿ t � 3: x x
i i
s
3
1
3
4( ) ( / )� �� , x x
i
s
is
s
3
4 1 2( / ) ( / )� � �� , x x
i
s
is
s
3
2 1 3 4( / ) ( / )� � �� ,
x x
i
s
is
s
3
3 4 1( / ) ( )� � �� , i I�1, ,� , s S�1, ,� ;
# äëÿ t T� : x x
iT iT
( ) ( )1 2� , x x x x
iT iT iT
s
iT
s( ) ( ) ( ) ( ), ,3 4 1� �
� , i I�1, ,� ;
# äëÿ t T� �1: íå çàâèñÿò îò ïðåäûäóùèõ çíà÷åíèé [8].
Çàïèøåì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè ñ ïðèìåíåíèåì ìåðû ðèñêîâ ïî Êóñóîêè äëÿ
äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñöåíàðèåâ n (ìîäåëü 3):
min ( ) ( )
, , , ,x u w y
CVaR w E w
�
��
�
�
� �
$
1
1
,
�
�
�
�� �
$
� �
�
�:
*
max
( , , )
1
1 11 1� n
i
ii
n
�
,
� � � � �
%
&
'
('
)
*
'
+'�
�( , , ) | ,� � � �1
1
0 1 1� n i i
i
n
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 35
Çàïèøåì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè ñ ïðèìåíåíèåì ñïåêòðàëüíîé êîãåðåíòíîé
ìåðû ðèñêîâ äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñöåíàðèåâ n
(ìîäåëü 4):
min ( ) ( )
, , , ,
*
x u w y
CVaR w E w
�
� �
�
� �
$
1
1
,
�
�
�
�
� �
$
$
� �
�
�
�
� �: , , ( )*
*1
1 1
1
1 1
1
1
2
i
ii
n
i j
j
i
p p dp
p
p*
*
*
* *
( )
0
1
1
1 2p
p
p p
p dp� �
�
,
�
i
i
i p p
p p
i
i
p p
p
p dp
p
p
i
i
�
� �
� �
� �
�
�
1
1
1 1
1* *
*
*
* *
* *
( )
�
�
�
*
* *
* *
( )
p p
p p
i
i
p dp
1
1 1
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
�
�n
n p p
i
i
n
p
p dp
n
� �
� � �
� �
1
1
1 1
1
1
*
* *
( ) ,
�
.
Åñëè w ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû íà [ , ]0 1 , òî
( )p ,1, � i � 0, i n�
1 1, ,
� � ��
n n� - �1 .
ÒÅÑÒÈÐÎÂÀÍÈÅ ÌÍÎÃÎÝÒÀÏÍÛÕ ÇÀÄÀ× ÏÎÐÒÔÅËÜÍÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ
Áýê-òåñòèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ îöåíêè ýôôåêòèâíîñòè ìîäåëè ñ èñïîëüçîâàíè-
åì èñõîäíûõ äàííûõ. Â òàáë. 1 ïðåäñòàâëåíû ýòàïû ïðîöåññà áýê-òåñòèðîâàíèÿ.
Èñõîäíûå äàííûå ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ â êà÷åñòâå îöåíêè ñòîèìîñòè êàïèòàëà
ïîðòôåëÿ. Íà èõ îñíîâå ìîæíî âû÷èñëèòü ñðåäíèé äîõîä, ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå
(òàáë. 2) è êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó ìåæäó ïÿòüþ àêòèâàìè (äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ) ñëåäóþùåãî âèäà:
1 00 0 601 0 247 0 062 0 094
0 601 1 00 0 125 0 027 0 006
0
. . . . .
. . . . .
.247 0 125 1 00 0 883 0 194
0 062 0 027 0 883 1 00 0 27
0 094
. . . .
. . . . .
. 0 006 0 194 0 27 1 00. . . .
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Äëÿ ãåíåðàöèè äåðåâüåâ ñöåíàðèåâ è ðåøåíèÿ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷ íåîá-
õîäèìî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû: êîëè÷åñòâî ñöåíàðèåâ, óðîâåíü ðàç-
âåòâëåíèÿ, êîëè÷åñòâî äåðåâüåâ, ãëóáèíó äåðåâà, íà÷àëüíûå öåíû íà àêòèâû,
ñðåäíèé äîõîä, ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå, êîððåëÿöèîííóþ ìàòðèöó àêòèâîâ, óðî-
âåíü äîâåðèÿ, òðàíçàêöèîííûå èçäåðæêè, êîíòðîëüíûé ïàðàìåòð �, çàäàþùèé
36 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6
Ò à á ë è ö à 1
Ýòàï Áýê-òåñòèðîâàíèå
Èíèöèàëèçàöèÿ
Îïðåäåëåíèå íåîáõîäèìûõ ïàðàìåòðîâ: âåòâëåíèå, âðåìåíí�å ýòàïû,
÷èñëî ñöåíàðèåâ
Àíàëèç
Ðàñ÷åò ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðîñòà è êîððåëÿöèîííîé ìàòðèöû íà îñíîâå
èñõîäíûõ äàííûõ
Ïðîãíîçèðîâàíèå
Ãåíåðàöèÿ äåðåâüåâ ñöåíàðèåâ çàäàííûõ ïàðàìåòðîâ íà ïðåäûäóùåì
ýòàïå
Îïòèìèçàöèÿ Ðåøåíèå ìíîãîýòàïíîé çàäà÷è äëÿ ïîëó÷åíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ
Èíâåñòèðîâàíèå Èíâåñòèðîâàíèå â àêòèâû, èñõîäÿ èç íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Íàêîïëåíèå
Ïåðåõîä ê ñëåäóþùåìó âðåìåíí�ìó ýòàïó, îáíîâëåíèå áàëàíñà
ïîðòôåëÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ èçìåíåíèåì öåí
Èòåðàöèÿ Ïðè íàëè÷èè èñõîäíûõ äàííûõ ïåðåõîä ê ýòàïó àíàëèçà
îòêëîíåíèÿ îò öåëåâîãî ïîðòôåëÿ. Äëÿ ðåàëèçàöèè ìîäåëåé èñïîëüçîâàëàñü ñðåäà
ïðîãðàììèðîâàíèÿ Matlab ñ áèáëèîòåêîé Yalmip, êîòîðàÿ âûïîëíÿåò àâòîìàòè-
÷åñêîå óñòðàíåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé, ïîçâîëÿåò ïîëüçîâàòåëþ ðàáîòàòü ñ ìîäå-
ëÿìè âûñîêîãî óðîâíÿ è ðåàëèçóåò áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìåòîäîâ. Îäíèì èç ïðåè-
ìóùåñòâ ïðèìåíåíèÿ Yalmip ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü áûñòðîé ðàçðàáîòêè àëãîðèò-
ìà. ßçûê ïðîãðàììèðîâàíèÿ Yalmip ñîîòâåòñòâóåò ñòàíäàðòíîìó ñèíòàêñèñó
Matlab. Ãåíåðàöèÿ äåðåâüåâ ñöåíàðèåâ è îïòèìèçàöèÿ âûïîëíÿëèñü íà ïðîöåññî-
ðå Intel Core 2 Duo 2,4 ÃÃö.
Âðåìÿ âû÷èñëåíèé äëÿ ìîäåëåé 3 è 4 ïðèìåðíî â äåñÿòü ðàç ìåíüøå ïî ñðàâ-
íåíèþ ñ ìîäåëüþ 2. Êîëè÷åñòâî ñöåíàðèåâ èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü âî âðåìåíí�é
ðåàëèçàöèè ìîäåëåé: áîëüøåå ÷èñëî ñöåíàðèåâ ïðèâîäèò ê ñíèæåíèþ ñêîðîñòè
âû÷èñëåíèé. Ôîðìóëèðóÿ ïðåäïîëîæåíèÿ îá èñïîëüçîâàíèè ìåíüøåãî êîëè÷åñòâà
ñöåíàðèåâ, íåîáõîäèìî ñíà÷àëà ðàññìîòðåòü àðáèòðàæíûå âîçìîæíîñòè. Ñîãëàñíî
Ï. Êëàññåíó, åñëè ÷èñëî ñöåíàðèåâ çà îäèí ïåðèîä óâåëè÷èâàåòñÿ, âåðîÿòíîñòü àð-
áèòðàæíûõ âîçìîæíîñòåé óìåíüøàåòñÿ. ×òîáû ïîëó÷èòü ðåàëüíûå ðåçóëüòàòû, îí
ïðåäëîæèë èñïîëüçîâàòü (êîëè÷åñòâî àêòèâîâ + 1) ñöåíàðèåâ.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé äîëè àêòèâîâ äàííîãî ïîðòôåëÿ íà êàæ-
äîì âðåìåíí�ì ýòàïå ïî ñöåíàðèÿì íàõîäÿòñÿ x aver_ :
# äëÿ ïåðâîãî àêòèâà
x aver
x aver x aver x aver x aver x
ts
ts ts ts ts
_
_ _ _ _
1
1 2 3 4� � � � _ aver ts5
;
# äëÿ âòîðîãî àêòèâà
x aver
x aver x aver x aver x aver x
ts
ts ts ts ts
_
_ _ _ _
2
1 2 3 4� � � � _ aver ts5
;
# äëÿ òðåòüåãî àêòèâà
x aver
x aver x aver x aver x aver x
ts
ts ts ts ts
_
_ _ _ _
3
1 2 3 4� � � � _ aver ts5
;
# äëÿ ÷åòâåðòîãî àêòèâà
x aver
x aver x aver x aver x aver x
ts
ts ts ts ts
_
_ _ _ _
4
1 2 3 4� � � � _ aver ts5
;
# äëÿ ïÿòîãî àêòèâà
x aver
x aver x aver x aver x aver x
ts
ts ts ts ts
_
_ _ _ _
5
1 2 3 4� � � � _ aver ts5
.
Íà ðèñ. 1 è 2 ïîêàçàíî ïðîïîðöèîíàëüíîå ñîîòíîøåíèå àêòèâîâ äàííîãî ïî-
ðòôåëÿ íà ðàçíûõ âðåìåíí�õ ýòàïàõ ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ìîäåëåé 3 è 4.
Íà ðèñ. 3 ãðàôè÷åñêè ïðåäñòàâëåíà ñòîèìîñòü ïîðòôåëÿ, ðàññ÷èòàííàÿ êàê
ñóììà âñåõ àêòèâîâ ïî êàæäîìó ñöåíàðèþ íà êàæäîì âðåìåíí�ì ýòàïå.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 37
Ò à á ë è ö à 2
Çíà÷åíèå
Èñõîäíûå äàííûå äëÿ àêòèâîâ ïðè ðåøåíèè îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷
Ïåðâûé
àêòèâ
Âòîðîé
àêòèâ
Òðåòèé
àêòèâ
×åòâåðòûé
àêòèâ
Ïÿòûé
àêòèâ
Ñðåäíèé äîõîä 10.80 10.37 9.49 7.90 5.61
Ñòàíäàðòíîå
îòêëîíåíèå
15.72 16.75 6.57 4.89 0.7
Îïðåäåëèâ ïîðòôåëüíûå ðàñõîäû
â âèäå
loss u k zs it it
i
I
i
I
st
T
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���
���
111
1
,
âû÷èñëèì äîõîäíîñòü ïîðòôåëÿ ñëåäó-
þùèì îáðàçîì:
gain loss s Ss s�
�, , , ,1 2 � .
Ðàññ÷èòàâ äëÿ ðàçëè÷íûõ âðåìåí-
í�õ ýòàïîâ ìèíèìàëüíûå ïîòåðè äëÿ
ïÿòè àêòèâîâ, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä,
÷òî ñ óâåëè÷åíèåì êîëè÷åñòâà âðå -
ìåíí�õ ïåðèîäîâ óðîâåíü äîõîäà äëÿ ìîäåëåé 3 è 4 ïîâûøàåòñÿ. Îöåíêà îïòè-
ìàëüíûõ çíà÷åíèé çàäà÷ ïðè ðàçíûõ ïàðàìåòðàõ ïîêàçûâàåò ëó÷øåå ïîâåäåíèå
ìîäåëè ñ ïðèìåíåíèåì ìåðû ðèñêîâ ïî Êóñóîêè.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå èññëåäîâàíà äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ñ ïðèìåíåíè-
åì ðàçëè÷íûõ ìåð ðèñêîâ, â ÷àñòíîñòè ìåðû ðèñêîâ ïî Êóñóîêè è ñïåêòðàëüíîé
êîãåðåíòíîé ìåðû ðèñêîâ. Äëÿ ðåøåíèÿ äàííîãî òèïà çàäà÷ èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä
ãåíåðàöèè äåðåâüåâ ñöåíàðèåâ. Äëÿ îöåíêè ýôôåêòèâíîñòè ìîäåëåé ñ ïðèìåíåíèåì
èñõîäíûõ äàííûõ ðàçðàáîòàí ïðîöåññ áýê-òåñòèðîâàíèÿ. Ìíîãîýòàïíàÿ ìîäåëü
îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ èçìåðÿåòñÿ òåñòèðîâàíèåì îòíîñèòåëüíî ñòîèìîñòè ïî-
ðòôåëÿ, à òàêæå ïðîöåññîðíîãî âðåìåíè, çàòðà÷åííîãî íà ãåíåðàöèþ äåðåâüåâ
ñöåíàðèåâ. Ïîêàçàíî ïðîïîðöèîíàëüíîå ñîîòíîøåíèå ïÿòè àêòèâîâ äàííîãî ïîðò-
ôåëÿ íà ðàçíûõ âðåìåíí�õ ýòàïàõ äëÿ ìîäåëåé ñ ìåðîé ðèñêîâ ïî Êóñóîêè
è ñïåêòðàëüíîé êîãåðåíòíîé ìåðîé ðèñêîâ. Ïðèâåäåíà ñòîèìîñòü ïîðòôåëÿ äëÿ
ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîäåëåé, êîòîðàÿ ðàññ÷èòûâàåòñÿ êàê ñóììà âñåõ àêòèâîâ ïî
êàæäîìó ñöåíàðèþ íà êàæäîì âðåìåíí�ì ýòàïå. Äëÿ ðàçëè÷íûõ âðåìåíí�õ ýòà-
ïîâ âû÷èñëåíû ìèíèìàëüíûå ïîòåðè ïîðòôåëÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. M a r k o w i t z H . M . Portfolio selection // J. Finance. — 1952. — 7, N 1. — P. 77–91.
2. R o c k a f e l l a r R . T . , U r y a s e v S . Optimization of conditional value at risk // Journal of Risk. —
2000. — 2, N 3. — P. 21–41.
3. U r y a s e v S . Conditional Value-at-Risk: optimization algorithms and applications // Financial Engineering
News. — 2000. — N 14. — P. 1–6.
38 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1 2 3 4 t
Cîîòíîøåíèå àêòèâîâ (%)
äëÿ ìîäåëè 3
Ðèñ. 1
1.2
1
0.2
0
1 2 3 4 t
1.4
0.8
0.6
0.4
Cîîòíîøåíèå àêòèâîâ (%)
äëÿ ìîäåëè 4
Ðèñ. 2
10
8
2
0
1 1.5 t
6
4
2
2 2.5 3 3.5 4
4
6
8
Ñòîèìîñòü ïîðòôåëÿ " 10
2
Ðèñ. 3
4. A r z n e r P . , D e l b a e n F . , E b e r J . M . , H e a t h D . Coherent measures of risk // Mathematical
Finance. — 1999. — 9, N 3. — P. 203–228.
5. K i r i l y u k V . S . Polyhedral coherent risk measures and optimal portfolios on the reward-risk ratio //
Cybernetics and System Analysis. — 2014. — 50, N 5. — P. 724–740.
6. I n f a n g e r G . Dynamic assets allocation strategies using a stochastic dynamic programming approach //
Handbook of asset and liability management: Theory and methodology. — 2006. — 1. — P. 200–248.
7. K a u t M . , W a l l a c e S . W . Evaluation of scenario-generation methods for stochastic programming //
Pacific Journal of Optimization. — 2007. — 3, N 2. — P. 257–271.
8. Z a n j a n i M . K . , N o u r e l f a t h M . , A i t - K a d i D . A multi-stage stochastic programming approach
for production planning with uncertainty in the quality of raw materials and demand // International Journal
of Production Research. — 2010. — 48, N 16. — P. 4701–4723.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 15.06.2016
Î.À. Ãàëê³íà
ÄÎÑ˲ÄÆÅÍÍß ÁÀÃÀÒÎÅÒÀÏÍÈÕ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÍÈÕ
ÇÀÄÀ× ÏÎÐÒÔÅËÜÍί ÎÏÒÈ̲ÇÀÖ²¯
Àíîòàö³ÿ. Äîñë³äæóþòüñÿ áàãàòîåòàïí³ ñòîõàñòè÷í³ çàäà÷³ îïòèì³çàö³¿ ïîðò-
ôåëÿ ³ç çàñòîñóâàííÿì ì³ðè ðèçèê³â çà Êóñóîê³ ³ ñïåêòðàëüíî¿ êîãåðåíòíî¿
ì³ðè ðèçèêó. Äëÿ îö³íêè åôåêòèâíîñò³ ìîäåëåé ç âèêîðèñòàííÿì âèõ³äíèõ äà-
íèõ ðîçðîáëåíî ïðîöåñ áåê-òåñòóâàííÿ. Íà ð³çíèõ ÷àñîâèõ åòàïàõ äëÿ ìîäå-
ëåé ç ì³ðîþ ðèçèêó çà Êóñóîê³ ³ ñïåêòðàëüíîþ êîãåðåíòíîþ ì³ðîþ ðèçèê³â
çíàéäåíî ïðîïîðö³éíå ñï³ââ³äíîøåííÿ àêòèâ³â äëÿ çàäàíîãî ïîðòôåëÿ. Áàãà-
òîåòàïí³ ñòîõàñòè÷í³ ìîäåë³ îïòèì³çàö³¿ ïîðòôåëÿ âèì³ðþþòüñÿ òåñòóâàííÿì
â³äíîñíî âàðòîñò³ ïîðòôåëÿ. Äëÿ ð³çíèõ ÷àñîâèõ åòàï³â îá÷èñëåíî ì³í³ìàëü-
í³ ïîðòôåëüí³ âòðàòè.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ïîðòôåëüíà îïòèì³çàö³ÿ, ì³ðè ðèçèê³â, àêòèâè.
O.A. Galkina
RESEARCH OF THE MULTISTAGE STOCHASTIC PORTFOLIO OPTIMIZATION PROBLEMS
Abstract. The author investigates multistage stochastic portfolio optimization
problems with application of Kusuoki’s and spectral coherent risk measures. The
back-testing process is developed to evaluate the performance of the models
using historical data. Proportionate share of the portfolio assets is found at
different time stages for models with Kusuoki’s and spectral coherent risk
measures. The multistage stochastic portfolio optimization models are measured
by testing in terms of the portfolio value. Minimum portfolio losses are
calculated for different time stages.
Keywords: portfolio optimization, risk measures, assets.
Ãàëêèíà Îëüãà Àíàòîëüåâíà,
ñîèñêàòåëü, Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî,
e-mail: og20132013@gmail.com.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 6 39
|