Математическое моделирование индукционно-динамических систем
В статье рассматривается вопрос математического моделирования индукционно-динамических систем с помощью современных компьютерных программ. В качестве примера рассмотрена математическая модель индукционно-динамического механизма без магнитопровода и с ферромагнитным магнитопроводом. Даны количественн...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут технічних проблем магнетизму НАН України
2009
|
| Назва видання: | Електротехніка і електромеханіка |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/143234 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическое моделирование индукционно-динамических систем / Е.И. Байда // Електротехніка і електромеханіка. — 2009. — № 5. — С. 13-16. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-143234 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1432342018-10-28T01:22:57Z Математическое моделирование индукционно-динамических систем Байда, Е.И. Електричні машини та апарати В статье рассматривается вопрос математического моделирования индукционно-динамических систем с помощью современных компьютерных программ. В качестве примера рассмотрена математическая модель индукционно-динамического механизма без магнитопровода и с ферромагнитным магнитопроводом. Даны количественные и качественные оценки полученных результатов. У статі розглянуто питання математичного моделювання процесів, що відбуваються в індукційно-динамічних системах за допомогою сучасних комп’ютерних програм. Як приклад, розглянуто математичну модель індукційнодинамічного механізму без магнітопроводу та з феромагнітним магнітопроводом. Надані якісні та кількісні оцінки отриманих результатів. The paper considers a problem of mathematical modeling of complicated electromechanical systems with current computer programs. As an example, a mathematical model of an induction dynamic mechanism without a magnetic core and with a ferromagnetic core is analyzed. Quantitative and qualitative estimations of obtained results are given. 2009 Article Математическое моделирование индукционно-динамических систем / Е.И. Байда // Електротехніка і електромеханіка. — 2009. — № 5. — С. 13-16. — рос. 2074-272X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/143234 621.318 ru Електротехніка і електромеханіка Інститут технічних проблем магнетизму НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Електричні машини та апарати Електричні машини та апарати |
| spellingShingle |
Електричні машини та апарати Електричні машини та апарати Байда, Е.И. Математическое моделирование индукционно-динамических систем Електротехніка і електромеханіка |
| description |
В статье рассматривается вопрос математического моделирования индукционно-динамических систем с помощью современных компьютерных программ. В качестве примера рассмотрена математическая модель индукционно-динамического механизма без магнитопровода и с ферромагнитным магнитопроводом. Даны количественные и качественные оценки полученных результатов. |
| format |
Article |
| author |
Байда, Е.И. |
| author_facet |
Байда, Е.И. |
| author_sort |
Байда, Е.И. |
| title |
Математическое моделирование индукционно-динамических систем |
| title_short |
Математическое моделирование индукционно-динамических систем |
| title_full |
Математическое моделирование индукционно-динамических систем |
| title_fullStr |
Математическое моделирование индукционно-динамических систем |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование индукционно-динамических систем |
| title_sort |
математическое моделирование индукционно-динамических систем |
| publisher |
Інститут технічних проблем магнетизму НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Електричні машини та апарати |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/143234 |
| citation_txt |
Математическое моделирование индукционно-динамических систем / Е.И. Байда // Електротехніка і електромеханіка. — 2009. — № 5. — С. 13-16. — рос. |
| series |
Електротехніка і електромеханіка |
| work_keys_str_mv |
AT bajdaei matematičeskoemodelirovanieindukcionnodinamičeskihsistem |
| first_indexed |
2025-07-10T16:43:42Z |
| last_indexed |
2025-07-10T16:43:42Z |
| _version_ |
1837279037859299328 |
| fulltext |
Електричні машини та апарати
ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2009. №5 13
УДК 621.318
Е.И. Байда
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ИНДУКЦИОННО-ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
У статі розглянуто питання математичного моделювання процесів, що відбуваються в індукційно-динамічних сис-
темах за допомогою сучасних комп’ютерних програм. Як приклад, розглянуто математичну модель індукційно-
динамічного механізму без магнітопроводу та з феромагнітним магнітопроводом. Надані якісні та кількісні оцінки
отриманих результатів.
В статье рассматривается вопрос математического моделирования индукционно-динамических систем с помощью
современных компьютерных программ. В качестве примера рассмотрена математическая модель индукционно-
динамического механизма без магнитопровода и с ферромагнитным магнитопроводом. Даны количественные и каче-
ственные оценки полученных результатов.
ВВЕДЕНИЕ
Расчеты индукционно-динамических механизмов
(ИДМ), наряду с расчетами электромагнитных меха-
низмов, являются наиболее типичной и наиболее
сложной задачей электромеханики. Сложность задачи
заключается в необходимости решения триединой
(мультифизической) задачи, учитывающей процессы
происходящие в электрической цепи, механической
системе и электромагнитном поле. Наибольшую
сложность представляет расчет электромагнитного
поля в случае, если диск механизма является сплош-
ным токопроводящим телом, а составной частью ин-
дуктора является незамкнутый ферромагнитный маг-
нитопровод. В этом случае любое приближенное ре-
шение задачи (без расчета электромагнитного поля на
основании уравнений Максвелла) будет настолько
неточным, что само решение теряет всякий смысл.
В настоящей статье рассмотрен расчет ИДМ в
наиболее полной постановке задачи с использованием
современных программных комплексов, а так же про-
веден анализ влияния ферромагнитного магнитопро-
вода на работу ИДМ. Решение данной задачи акту-
ально, так как общие принципы решения данной за-
дачи лежат в основе расчета большого количества
разнообразных электромеханических систем.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Провести расчет ИДМ с подвижным элементом в
виде проводящего диска при условиях: катушка ин-
дуктора намотано проводом с заданным числом вит-
ков; масса движущихся элементов зависит от коорди-
наты (удар о неподвижное тело с последующим со-
вместным движением); источником энергии системы
является накопительный конденсатор; противодейст-
вующая сила постоянна по величине и направлению
(хотя может зависеть от координаты); магнитопровод
выполнен в виде цилиндра с центральным магнито-
проводом из ферромагнитного материала с малыми
потерями на гистерезис и вихревые токи.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Общий вид расчетной системы и ее размеры по-
казаны на рис. 1. В данной задаче диск не моделиру-
ется как отдельная область, перемещающаяся на де-
формирующейся сетке. Вместо этого на неподвижной
сетке задается движение проводящей области, шири-
на которой равна толщине диска. Такая постановка
задачи позволяет избежать инвертирования ячеек сет-
ки, значительно упрощая и ускоряя расчетный про-
цесс не ухудшая точность модели. Ширина области
движения диска составляет 15 мм (см. рис. 1), а тол-
щина диска – 5 мм. Такое распределение проводимо-
сти может быть задано экспоненциальной функцией,
отличной от нуля в области, имитирующей движу-
щийся диск и практически равной нулю в остальной
области (см. рис. 2).
Рис. 1 – Расчетная модель ИДМ
0 если D∈D2
σ если D∈D2 D2
D1
D1 0 если D∈D1
Рис. 2 – Значение проводимости в зависимости от принад-
лежности к той или иной области
На основании закона Максвелла – Ампера значе-
ние векторного магнитного потенциала можно записать:
ϕϕ
−ϕ =×∇⋅μ×∇+
∂
∂
⋅σ JA
t
A
)( 1 . (1)
В (1) используются общепринятые обозначения
не нуждающиеся в расшифровке.
Так как катушка намотана равномерно распреде-
ленным по ее сечению проводом, то пренебрегая не-
равномерностью тока в отдельном проводящем витке
для электрической цепи можно записать уравнение:
C
q
UdV
t
A
S
W
dt
dq
R
dt
qd
L c
V
−=⋅
∂
∂
⋅+⋅+⋅ ∫∫∫
ϕ
2
2
, (2)
14 ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2009. №5
где L – индуктивность внешней цепи; R – суммарное
активное сопротивление цепи; C – емкость конденсато-
ра; W – число витков катушки; S- площадь поперечного
сечения катушки; V – объем катушки; q – электрический
заряд; Uc – начальной напряжение на емкости.
Полученная система уравнений (1,2) должна
быть дополнена уравнением движения диска:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−=⋅
v
dt
dz
zPQvzm
dt
d
)())((
. (3)
Уравнение (3) представляет собой уравнение
Мещерского (динамика тела с переменной массой),
где m(z) – масса, зависящая от координаты; v – ско-
рость; Q – электромагнитная сила; P(z) – противодей-
ствующая сила; z – координата положения диска.
В (3) m(z) представляет собой почти ступенчатую
функцию (время удара о покоящуюся часть принима-
ется равным величине порядка 5*10-5с:
⎩
⎨
⎧
>=+
<
=
1,21
1,1
)(
zzmm
zzm
zm , (4)
где z1 – координата нахождения тела с массой m2.
Электромагнитная сила определяется выражением:
( )∫∫∫ ⋅×=
V
d dVBJQ
rr
, (5)
где Jd – плотность наведенного тока в диске.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА
В качестве основных исходных было принято
значение напряжения на конденсаторе – 800 В; значе-
ние емкости – 100 мкФ; число витков индуктора – 100;
начальная сила поджатия диска – 10 Н; массы движу-
щихся и неподвижных частей и т.д. Для ферромагнит-
ного сердечника задавалось значение относительной
магнитной проницаемости от величины магнитной
индукции (см. рис. 3). Необходимо отметить, что это
один из многих возможных способов задания свойств
материала. В процессе расчета ИДМ с ферромагнит-
ным сердечником в качестве задаваемого свойства ма-
териала было значение удельной проводимости равной
2,5*104 Oм-1⋅m-1, которая определялась на основании
мощности потерь в ферромагнетике, что позволяет
учитывать вихревые токи в магнитопроводе.
Рис. 3 – Кривая относительной магнитной
проницаемости
РЕШЕНИЕ ПОСТАВЛЕННЙО ЗАДАЧИ
Поставленная задача была решена прикладной
программой COMSOL, в которой в специальном раз-
деле были смоделированы области представляющие
ИДМ (см. рис. 1) в осесимметричной системе коорди-
нат и окружающее пространство с соответствующими
свойствами для решения уравнения (1). В разделе
Global Equations были записаны уравнения (2, 3). Так
как наличие ступенчатых функций (функция Хеви-
сайда) и Дельта функций (функция Дирака) приводят
к неустойчивости в решении задачи, то в модели эти
функции были заменены на специальные функции,
имеющие сглаженную границу в области перехода и
непрерывную первую или вторую производные.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА
В процессе расчета были решены две задачи с
одинаковыми входными параметрами: моделирование
ИДМ с ферромагнитным магнитопроводом; модели-
рование ИДМ без ферромагнитного магнитопровода.
Расчет проводился для фиксированного значения
времени – 0,9 мС. На рис. 4 показана зависимость хо-
да подвижного диска от времени.
На рис. 5 показана зависимость тока в катушке
ИДМ для двух расчетных вариантов (с ферромагнит-
ным сердечником и без такового). На рис. 6 показаны
значения электромагнитной силы, действующей на
подвижный элемент механизма. На рис. 7 показаны
значения противо-ЭДС, наводимой в катушке в соот-
ветствии с законном Фарадея.
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ
1. Как следует из рис.4, наличие магнитной сис-
темы мало влияет как на скорость, так и на путь под-
вижного элемента в пределах расчетных времен. Так,
расстояние в 2,5 мм подвижный элемент проходит за
время 0,4 мС вне зависимости от наличия магнитной
системы и лишь к концу хода различие в ходе дости-
гает значения в 1 мм. Это явление можно легко объ-
яснить, если проанализировать картину магнитного
поля в магнитороводе, показанную на рис. 8 через
время 0,05 мС от начала процесса.
Как следует из рис. 8 в магнитопроводе имеет ме-
сто явно выраженный магнитный поверхностный эф-
фект, т.е. независимо от размеров магнитопровода,
весь поток сосредоточен на внутренней границе, а маг-
нитная индукция достигает величины 1,6 – 1,8 Тл. Из
чего можно заключить, что в начальные моменты про-
цесса магнитопровод не оказывает существенное влия-
ние на движение диска. Но по мере увеличения време-
ни, поток распределяется по сечению более равномер-
но (уменьшается степень насыщения магнитопровода),
что сказывается на характере движения диска.
Необходимо отметить, что за счет вихревых то-
ков в магнитопроводе распределение индукции имеет
сложный вид.
2. Наличие магнитопровода уменьшает амплиту-
ду тока в катушке рис. 5 и увеличивает время разряда
конденсатора за счет увеличения значения индуктив-
ности системы с магнитопроводом.
3. Наличие магнитопровода несколько увеличива-
ет значение максимальной электромагнитной силы,
действующей на диск и изменяет ее форму, увеличивая
импульс силы.
ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2009. №5 15
а) ИДМ с ферромагнитным магнитопроводом
б) ИДМ без магнитопровода
Рис. 4 – Зависимость хода подвижного элемента от времени
а) ИДМ с ферромагнитным магнитопроводом
б) ИДМ без магнитопровода
Рис. 5 – Зависимость тока в индукторе ИДМ
а) ИДМ с ферромагнитным магнитопроводом
б) ИДМ без магнитопровода
Рис. 6 – Зависимость электромагнитной силы, действующей на подвижную часть ИДМ
а) ИДМ с ферромагнитным магнитопроводом
б) ИДМ без магнитопровода
Рис. 7 – Противо-ЭДС, действующая в катушке
16 ISSN 2074-272X. Електротехніка і Електромеханіка. 2009. №5
Рис. 8 – Индукция в магнитопроводе
Расчеты показывают, импульс силы
∫
=
⋅=
mC
t
dttFzp
9,0
0
)( для системы с магнитопроводом равен
1,8 Н·с, а для системы без магнитопровода – 1,2 Н·с.
4.Распределение плотности наведенных токов в
диске имеет сложный характер и существенно меня-
ется со временем. На рис. 9 показано распределение
плотности тока по толщине диска в момент времени
0.9 мС.
Рис. 9 – Распределение плотности тока по толщине диска
через 0,9 мС
На рис. 10 показана зависимость тока диска от
времени для системы с магнитопроводом.
Рис. 10 – Ток диска для системы с магнитопроводом
В заключение был проведенный тепловой расчет
катушки и диска в адиабатическом режиме для опре-
деления степени нагрева диска и индуктора в процес-
се работы.
ВЫВОДЫ
1. Наличие магнитопровода слабо сказывается на
динамике движения подвижного элемента, если время
процесса имеет порядок 1 мС, это может быть объяс-
нено электромагнитным поверхностным эффектом,
при котором в начальные моменты времени весь по-
ток магнитопровода сосредоточен в относительно
тонком слое, а ферромагнетик в этих областях нахо-
дится в насыщенном состоянии.
2. Ферромагнитный магнитопровод несколько
уменьшает максимальное значение тока индуктора и
увеличивает время разряда за счет привносимой в
электрическую цепь дополнительной индуктивности.
3. Ферромагнитный магнитопровод изменяет
форму электромагнитной силы, действующей на диск
и несколько увеличивает действующий на диск им-
пульс силы. Распределение объемных сил, действую-
щих внутри диска существенно неравномерно и по
характеру напоминает график распределения плотно-
сти тока в диске см. рис. 9.
4.При расчетах электрической цепи нет необхо-
димости искусственно вводить индуктивность рас-
сеяния катушки, так как в процессе расчета электро-
магнитного поля методом конечных элементов эта
составляющая учитывается автоматически.
5.Проведенные расчеты показывают, что при
временах разряда конденсатора порядка 1 мС инте-
грал Джоуля невелик. В соответствие с этим увеличе-
ние температуры диска и катушки за время работы
ИДМ будет составлять десятые доли градуса и поэто-
му может не приниматься во внимание.
Поступила 14.07.2009
Байда Евгений Иванович, к.т.н., доц.,
Национальный технический Университет
"Харьковский политехнический институт"
Украина, 61002, Харьков, ул. Фрунзе 21, НТУ "ХПИ",
кафедра "Электрические аппараты"
тел. (057) 707-69-76, факс (057) 707-66-01,
e-mail: eie@kpi.kharkov.ua
|