Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком

Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком

У лінійному нескінченновимірному просторі зі скалярним добутком і в скінченновимірному евклідовому просторі досліджено точність формули Лагранжа на поліномах відповідного степеня....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2018
Автори: Кашпур, О.Ф., Хлобистов, В.В.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2018
Назва видання:Доповіді НАН України
Теми:
Математика
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/143428
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком / О.Ф. Кашпур, В.В. Хлобистов // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 8. — С. 12-17. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-143428
record_format dspace
spelling irk-123456789-1434282018-11-03T01:23:20Z Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком Кашпур, О.Ф. Хлобистов, В.В. Математика У лінійному нескінченновимірному просторі зі скалярним добутком і в скінченновимірному евклідовому просторі досліджено точність формули Лагранжа на поліномах відповідного степеня. В линейном бесконечномерном пространстве со скалярным произведением и в конечномерном евклидовом пространстве исследована точность формулы Лагранжа на полиномах соответствующей степени. In a linear infinitedimensional space with inner product and in a finite-dimensional Euclidean space, the accuracy of the Lagrange formula on polynomials of the corresponding degree is investigated. 2018 Article Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком / О.Ф. Кашпур, В.В. Хлобистов // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 8. — С. 12-17. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2018.08.012 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/143428 517.988 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Математика
Математика
spellingShingle Математика
Математика
Кашпур, О.Ф.
Хлобистов, В.В.
Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком
Доповіді НАН України
description У лінійному нескінченновимірному просторі зі скалярним добутком і в скінченновимірному евклідовому просторі досліджено точність формули Лагранжа на поліномах відповідного степеня.
format Article
author Кашпур, О.Ф.
Хлобистов, В.В.
author_facet Кашпур, О.Ф.
Хлобистов, В.В.
author_sort Кашпур, О.Ф.
title Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком
title_short Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком
title_full Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком
title_fullStr Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком
title_full_unstemmed Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком
title_sort інтерполяційний поліном лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2018
topic_facet Математика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/143428
citation_txt Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком / О.Ф. Кашпур, В.В. Хлобистов // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 8. — С. 12-17. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series Доповіді НАН України
work_keys_str_mv AT kašpurof ínterpolâcíjnijpolínomlagranžavlíníjnomuprostorízískalârnimdobutkom
AT hlobistovvv ínterpolâcíjnijpolínomlagranžavlíníjnomuprostorízískalârnimdobutkom
first_indexed 2025-07-10T17:08:43Z
last_indexed 2025-07-10T17:08:43Z
_version_ 1837280605335715840
fulltext 12 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 8 В [1] наведені інтерполяційні операторні поліноми в гільбертовому просторі. Один із цих інтерполянтів розглянуто в статті. Показано, що він являє собою інтерполяційну фор­ мулу Лагранжа з фундаментальними функціональними поліномами в лінійному просторі зі скалярним добутком. Цю інтерполяційну формулу Лагранжа досліджено для випадку скінченновимірного евклідового простору, визначено умови “збереження” полінома від­ повідного степеня. Інтерполяційний операторний поліном в [1] n­го степеня для оператора f має вигляд 1 1 0 ( ) , ( , ) , n mp n m i i p P x f x x− = = = Γ ∑ (1) де ix — вузли інтерполяції; 1 2, � 1, ; � ( ,� , , ); � ,� �( ) ( ) ,n i i i m iP x f x f i m f f f f x x H H= = = = ∈… — гільбертовий простір; : ,�f H Y Y→ — лінійний простір, if Y∈ ; 0 ( , ) n p m i j p Г x x = = ∑ , а ix оби­ раємо такими, щоб матриця mΓ була невиродженою, 1 1 , � m i i i i f R = 〈⋅, ⋅〉 = α α ∈∑ . Далі формулу (1) перепишемо в іншому вигляді та зведемо її до формули Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком. © О.Ф. Кашпур, В.В. Хлобистов, 2018 doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.08.012 УДК 517.988 О.Ф. Кашпур 1, В.В. Хлобистов 2 1 Київський національний університет ім. Тараса Шевченка 2 Інститут математики НАН України, Київ E­mail: olena.kashpur@gmail.com Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком Представлено академіком НАН України В.Л. Макаровим У лінійному нескінченновимірному просторі зі скалярним добутком і в скінченновимірному евклідовому просторі досліджено точність формули Лагранжа на поліномах відповідного степеня. Ключові слова: лінійний простір, евклідовий простір, формула Лагранжа, точність на поліномах. 13ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 8 Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком Нехай X, Y — лінійні простори, X — зі скалярним добутком )(⋅, ⋅ , ): , � (nf X Y P x→ — ін­ терполяційний операторний поліном степеня n для f з вузлами 1 2,� , ,� mx x x… , ( ) ( )n i i iP x f x f= = ( ) ( )n i i iP x f x f= = , ,� ,� 1, ,ix x X i m∈ = а вузли ix обрані таким чином, щоб матриця ( )jniP x була невиродженою, де 0 ,( ) ,( )� n k k k ni ki ki i k P x L x L x x x = = =∑ , 0 1,iL = 1: ,� 1,niP X R i m→ = . Невиродженість матриці для скінченновимірного евклідового простору розглянуто в [2] за рахунок вибору незалежних векторів, пов’язаних з вузлами. Введемо позначення: 1 2( , � , , )( ) ( ) ( ) ( )n n n nmP x P x P x P x= … , а –1( )ni jP x — елементи матриці 1 ( )ni jP x − . Від по відно до [1] маємо 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,n ni n jnj i nP x f P x P x f P x P x−− = = = 1 1 1 1 ( ) ( ) ,( ) m m m i ni j nj i i i j i f P x P x f l x− = = = = =∑ ∑ ∑ (2) де 1 1 ( ) ( ) ( ,) m i ni j nj j l x P x P x− = = ∑ 1 1 ( ) ( ) ,( ) m i k ni j nj k ik j l x P x P x− = = = δ∑ (3) ikδ — символ Кронекера. Враховуючи (2), (3), отримуємо ( ) ( ) ( ) 1 ,���� 1, m n k i i k k k i P x f l x f f x k m = = = = =∑ . Таким чином, формула (2) являє собою формулу Лагранжа для інтерполяційного полі­ нома в лінійному просторі зі скалярним добутком: 1 ( ) ( ), � , � , 1,( ) m n i i i k ik i P x f l x l x i k m = = = δ =∑ , (4) де ( )il x — фундаментальні функціональні поліноми Лагранжа степеня n, 1:il X R→ . Зауважимо, що інтерполянт (4) з вузлами ,� 1,ix i m= , не єдиний в X . Дійсно, якщо :np X Y→ — довільний операторний поліном n­го степеня [6], то формула 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ) m n n i n i i i P x p x f p x l x = = + −∑ (5) 14 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 8 О.Ф. Кашпур, В.В. Хлобистов визначає множину інтерполяційних операторних поліномів n­го степеня для оператора f, 1 ( ) ( ) ( )( ( )) m n k n k i n i i k i P x p x f p x l x = = + − =∑ 1 ( ( )) ( )( , ,) � 1 m n k i n i ik k k i p x f p x f f x k m = = + − δ = = =∑ . В [1] доведено, що інтерполянт вигляду (4), який належить множині (5), має мінімаль­ ну норму, породжену скалярним добутком за гаусовою мірою [3]. Відзначимо, що вираз 1 ( ) ( ) ( ) m n n i i i p x p x l x = −∑ не перетворюється в нуль­елемент нескінченновимірного лінійного простору Y [6], тобто формула Лагранжа не “зберігає” операторний поліном відповідного степеня, а числа m та n при побудові полінома (2) не пов’язані між собою. Розглянемо частинний випадок, коли X є скінченновимірним евклідовим простором на прикладі простору 2E , 2 1 2: ,� , � ( , )f E R u E u x y→ ∈ = , ( , ), � 1,i i iu x y i m= = , де iu обираємо таким чином, щоб матриця 0 ( ) n p i j i j p x x y y = +∑ мала обернену [2]. З (2) одержимо 1 1 0 0 1 , , ( ) ( ) , ,( ) ( ) n n mm p p n i j i j i i i i i p p i P x y f x x y y xx yy f l x y − == = =    = + + =     ∑ ∑ ∑ . (6) Тоді 1 1 1 0 0 ), (( ( ) ) n n mm p p i i j i j i ii i p p l x y x x y y xx yy − = == = = + +∑ ∑ , ),(i k k ikl x y = δ , , 1,i k m= . Враховуючи (6), маємо 1 ( ) ( ) ( ), , , , � 1, m n k k i i k k k k k i P x y f l x y f f x y k m = = = = =∑ , і формула (6) є інтерполяційною формулою Лагранжа для 2 1:f E R→ , де ( , )il x y — фун­ даментальні поліноми Лагранжа двох змінних степеня n. Також на підставі [1] ,( )nP x y є інтерполянтом мінімальної норми [3] на множині інтерполянтів n­го степеня двох змінних. Надалі будемо вважати, що число m задано (фіксовано), а степінь n інтерполяційного полінома обираємо з нерівності minm p p=� , де p — розмірність простору поліномів сте­ пеня n в 2E , ( 1)( 2) / 2p n n= + + [4]. 15ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 8 Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком Приклад 1. Нехай m = 2, 1 2( , ),� 1,2,� (0,1� ),� (1,�0)i i iu x y i u u= = = = . Тоді 2 min( 1)( 2) / 2 3m n n p= + + = =� , n = 1, 1 1 0 2 11 ( , ) , 1 23 p i j p u u − = − = −∑ 1 1 1 2 1 0 0 1 21 ( , ) ( , ) 1 23 p p i j i i p p x y u u u u x y − = = = − + = + −∑ ∑ , 1 1 ( , ) (1 2 ) 3 l x y x y= − + , 2 1 ( , ) (1 2 ) 3 l x y x y= + − , , � , 1 2) ,(i j ijl u i j= δ = , 2 1 1 ( , ) ( , ).i i i P x y f l x y = = ∑ Нехай ( , ) 1 2 3f x y x y= + + . Тоді 1 2(0,1) 4, � (1,0) 3f f f f= = = = , 1 1 1 1 ( , ) 4 (1 2 ) 3 (1 2 ) (7 2 5 ) 1 2 3 3 3 3 P x y x y x y x y x y= ⋅ − + + ⋅ + − = + + ≠ + + , тобто у випадку 2,� 3, � 1m p n= = = інтерполянт 1( , )P x y не “зберігає” поліном 1­го степеня. Приклад 2. Нехай m = 3, ( , ), � 1, 2,�3,i i iu x y i= = u1 = (0, 1), u2 = (1, 0), u3 = (0, –1). Тоді 3 min( 1)( 2) / 2 3, � 1.m n n p n= + + = = =� Маємо 1 1 0 3 2 1 1 ( , ) 2 4 2 4 1 2 3 p i j p u u − = − = − − − ∑ , 1 3 1 1 0 0 1 1 1 ( , ) ( , ) 2 2 1 p p i j i p p i x y u u u u x x y − = = = − + = − − ∑ ∑ , 3 3 1 ( ) ( ),�i i i P u f l u = = ∑ 1 1 ( , ) (1 ) 2 l x y x y= − + , 2( , )l x y x= , 3 1 ( , ) (1 ) 2 l x y x y= − − , ( ) , � , 1,2,3i j ijl u i j= δ = . Нехай 3( 2) 1f u x y= + + , тоді 1 2(0,1� ) 4, (1,�0) 3,f f f f= = = = 3 (0,� 1) 2f f= − = − . Одержимо 1 1 1 ( , ) 4 (1 ) 3 2 (1 ) 1 2 3 2 2 P x y x y x x y x y= ⋅ − + + − ⋅ − − = + + , 16 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 8 О.Ф. Кашпур, В.В. Хлобистов тобто у випадку 3,� 3, 1m p n= = = інтерполянт Лагранжа (6) “зберігає” поліном 1­го степе­ ня двох змінних. Таким чином, для скінченновимірного евклідового простору 2E приходимо до такого висновку: у випадку m p< маємо єдиний інтерполянт Лагранжа мінімальної норми, при цьому він не “зберігає” поліном відповідного степеня (приклад 1). Цей інтерполянт в [2] названо недовизначеним. Якщо m p= , то інтерполяційний поліном Лагранжа єдиний та “зберігає” поліном відповідного степеня [5] (приклад 2). Аналогічні міркування та перетворення можна провести для евклідового простору kE , 1 2, � ( ,� , � ,� )k ku E u x x x∈ = … , де кількість вузлів m задано (фіксовано), а степінь інтерполян та n визначаємо з умови min , ( )!/ ! !, 2,m p p p n k n k k= = +� � (7) де p — розмірність простору поліномів n­го степеня в kE [5]. Самі вузли 1 2, � , � ,� mu u u… оби­ раємо таким чином, щоб існувала обернена матриця в (2), а степінь інтерполяційного по­ лінома визначаємо з нерівності (7). Сформулюємо такий висновок для простору kE . Має місце Теорема 1. Нехай 1: , � 2,kf E R k→ � m задано. Тоді якщо m p= , то інтерполянт Лаг­ ранжа ( )nP u буде точним на всіх поліномах степеня не вище n, а якщо m p< , то інтерпо­ лянт мінімальної норми ( )nP u не має такої властивості. Зауваження. В разі зменшення розмірності евклідового простору зменшується “недо­ визначеність” інтерполянта Лагранжа мінімальної норми, а у випадку 1 1:f R R→ маємо 1m p n= = + , тобто одержуємо класичний поліном Лагранжа n­го степеня з n + 1 вузлами для функції однієї змінної. Стосовно лінійного простору Х зі скалярним добутком має місце таке твердження. Якщо вузли інтерполяції обрані так, що відповідна матриця невироджена, то завжди існує єдиний інтерполяційний поліном Лагранжа мінімальної норми [3], але цей інтерполянт не “зберігає” операторний поліном відповідного степеня. При цьому відзначимо, що при по­ будові інтерполяційного операторного полінома Лагранжа числа m (кількість вузлів) та n (степінь інтерполянта) не пов’язані між собою [1]. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Янович Л.А. Интерполирование операторов. Киев: Наук. думка, 2000. 407с. 2. Кашпур О.Ф., Хлобистов В.В. До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2016. № 10. С. 10—14. doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2016.10.010 3. Егоров А.Д., Соболевский П.И., Янович Л.А. Приближенные методы вычисления континуальных ин­ тегралов. Минск: Наука и техника, 1985. 310 с. 4. Березин И.С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Москва: Физматгиз. 1962. Т. 1. 632 с. 5. Бабенко К.И. Основы численного анализа. Москва; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая дина­ мика”, 2002. 848 с. 6. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 495 с. Надійшло до редакції 17.05.2018 17ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 8 Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком REFERENCES 1. Makarov, V. L., Khlobystov, V. V.& Yanovich, L. A. (2000). Interpolation of operators. Kiev: Naukova Dumka (in Russian). 2. Kashpur, O. F. & Khlobystov, V. V. (2016). To some questions of a polynomial interpolation in Euclidean spa­ ces. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 10, pp. 10­14 (in Ukrainian). doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi 2016.10.010 3. Yegorov, A. D., Sobolevsky, P. I. & Yanovich, L. A. (1985). Approximate methods for computation of continual integrals. Minsk: Nauka i Tehnika (in Russian). 4. Berezin, I. S. & Zhidkov, N. P. (1962). Methods of computations. Vol. 1. Moscow: Fizmatgiz (in Russian). 5. Babenko, K. I. (2002). Foundations of numerical analysis. Moscow, Izhevsk: RC “Regular and chaotic dy na­ mics” (in Russian). 6. Trenogin, V. A. (1980). Functional analysis. Moscow: Nauka (in Russian). Received 17.05.2018 Е.Ф. Кашпур 1, В.В. Хлобыстов 2 1 Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко 2 Институт математики НАН Украины, Киев E­mail: olena.kashpur@gmail.com ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПОЛИНОМ ЛАГРАНЖА В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ В линейном бесконечномерном пространстве со скалярным произведением и в конечномерном евкли­ довом пространстве исследована точность формулы Лагранжа на полиномах соответствующей степени. Ключевые слова: линейное пространство, евклидово пространство, формула Лагранжа, точность на по­ линомах. O.F. Kashpur 1, V.V. Khlobystov 2 1 Taras Shevchenko National University of Kiev 2 Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev E­mail: olena.kashpur@gmail.com LAGRANGE INTERPOLATION POLYNOMIAL IN A LINEAR SPACE WITH INNER PRODUCT In a linear infinite­dimensional space with inner product and in a finite­dimensional Euclidean space, the ac cu­ racy of the Lagrange formula on polynomials of the corresponding degree is investigated. Keywords: linear space, Euclidean space, Lagrange formula, accuracy on polynomials.

Схожі ресурси