Задача идентификации функций реакции на нагружения для стационарных систем
Исследовано решение задачи параметрической идентификации нагруженных систем дифференциальных уравнений. Предложены итерационные методы, основанные на методах оптимизации первого порядка. Найдены формулы для градиента целевого функционала, оценивающего степень адекватности полученных параметров. Прив...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144734 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача идентификации функций реакции на нагружения для стационарных систем / В.М. Абдуллаев // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 100–110. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-144734 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1447342019-01-03T01:23:22Z Задача идентификации функций реакции на нагружения для стационарных систем Абдуллаев, В.М. Системний аналіз Исследовано решение задачи параметрической идентификации нагруженных систем дифференциальных уравнений. Предложены итерационные методы, основанные на методах оптимизации первого порядка. Найдены формулы для градиента целевого функционала, оценивающего степень адекватности полученных параметров. Приведены результаты решения тестовых задач и их анализ. Досліджено розв’язання задачі параметричної ідентифікації навантажених систем диференціальних рівнянь. Запропоновано ітераційні методи, що базуються на методах оптимізації першого порядку. Знайдено формули для градієнта цільового функціонала, який оцінює ступінь адекватності отриманих параметрів. Наведено результати розв’язання тестових задач та їхній аналіз. We investigate the solution to the parametric identification problem for loaded systems of differential equations. We propose to use iterative methods based on the first-order optimization methods. For this purpose, we obtain formulas for the gradient of the objective functional, which assesses the adequacy degree of the obtained parameters. The results of numerical solution to some test problems are given. 2017 Article Задача идентификации функций реакции на нагружения для стационарных систем / В.М. Абдуллаев // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 100–110. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144734 519.626.6 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Абдуллаев, В.М. Задача идентификации функций реакции на нагружения для стационарных систем Кибернетика и системный анализ |
| description |
Исследовано решение задачи параметрической идентификации нагруженных систем дифференциальных уравнений. Предложены итерационные методы, основанные на методах оптимизации первого порядка. Найдены формулы для градиента целевого функционала, оценивающего степень адекватности полученных параметров. Приведены результаты решения тестовых задач и их анализ. |
| format |
Article |
| author |
Абдуллаев, В.М. |
| author_facet |
Абдуллаев, В.М. |
| author_sort |
Абдуллаев, В.М. |
| title |
Задача идентификации функций реакции на нагружения для стационарных систем |
| title_short |
Задача идентификации функций реакции на нагружения для стационарных систем |
| title_full |
Задача идентификации функций реакции на нагружения для стационарных систем |
| title_fullStr |
Задача идентификации функций реакции на нагружения для стационарных систем |
| title_full_unstemmed |
Задача идентификации функций реакции на нагружения для стационарных систем |
| title_sort |
задача идентификации функций реакции на нагружения для стационарных систем |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144734 |
| citation_txt |
Задача идентификации функций реакции на нагружения для стационарных систем / В.М. Абдуллаев // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 100–110. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT abdullaevvm zadačaidentifikaciifunkcijreakciinanagruženiâdlâstacionarnyhsistem |
| first_indexed |
2025-07-10T19:59:58Z |
| last_indexed |
2025-07-10T19:59:58Z |
| _version_ |
1837291394529492992 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.626.6
Â.Ì. ÀÁÄÓËËÀÅÂ
ÇÀÄÀ×À ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ ÔÓÍÊÖÈÉ ÐÅÀÊÖÈÈ ÍÀ ÍÀÃÐÓÆÅÍÈß
ÄËß ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàíî ðåøåíèå çàäà÷è ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè
íàãðóæåííûõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïðåäëîæåíû èòåðàöè-
îííûå ìåòîäû, îñíîâàííûå íà ìåòîäàõ îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Íàé-
äåíû ôîðìóëû äëÿ ãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà, îöåíèâàþùåãî ñòåïåíü
àäåêâàòíîñòè ïîëó÷åííûõ ïàðàìåòðîâ. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ òåñ-
òîâûõ çàäà÷ è èõ àíàëèç.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íàãðóæåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ðåàêöèÿ íà
íàãðóæåíèå, îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, íåëîêàëüíûå óñëîâèÿ, îáðàòíàÿ çàäà÷à.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Èçâåñòíî, ÷òî ïðîöåññû ýêîëîãèè, ôèëüòðàöèè íåôòè è ãàçà, äâèæåíèÿ ãðóíòî-
âûõ âîä è ìíîãèå äðóãèå îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìàìè íàãðóæåííûõ äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé ñ îáûêíîâåííûìè èëè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè [1–4]. Ïðè
ýòîì õàðàêòåðíî, ÷òî òî÷êè íàãðóæåíèÿ, òî÷íåå ñîñòîÿíèÿ â ýòèõ òî÷êàõ, âëè-
ÿþò â òå÷åíèå âñåãî âðåìåíè è/èëè íà ñîñòîÿíèå âî âñåõ òî÷êàõ îáúåêòà (ïðî-
öåññà). Â ñâÿçè ñ ýòèì îïòèìèçàöèÿ ôóíêöèé ðåàêöèè èìååò ñóùåñòâåííîå
çíà÷åíèå äëÿ ýôôåêòèâíîãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ îáúåêòà.
×àñòî íà ïðàêòèêå âîçíèêàþò è îáðàòíûå çàäà÷è îòíîñèòåëüíî íàãðóæåííûõ
óðàâíåíèé, â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ èäåíòèôèöèðîâàòü ôóíêöèè ðåàêöèè. Äëÿ ýòîãî
íåîáõîäèìà äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ îá îáúåêòå, êîòîðàÿ ìîæåò çàäàâàòüñÿ
â ôîðìå òî÷å÷íûõ, èíòåãðàëüíûõ, íåðàçäåëåííûõ òî÷å÷íûõ çíà÷åíèé ñîñòîÿíèÿ
ïðîöåññà [5–8]. Îäíèì èç ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ îáðàòíîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ñâåäå-
íèå åå ê çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ îòíîñèòåëüíî ôóíêöèé ðåàêöèè íà íà-
ãðóæåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèîíàëà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ
æåëàåìûõ (íàáëþäàåìûõ) ñîñòîÿíèé ïðîöåññà îò ðàññ÷èòàííûõ ñ ïîìîùüþ ìàòå-
ìàòè÷åñêîé ìîäåëè.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåí ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè ôóíê-
öèé ðåàêöèè íà íàãðóæåíèÿ ñ ïðèìåíåíèåì ìåòîäîâ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ
ïåðâîãî ïîðÿäêà, äëÿ ýòîãî ïîëó÷åíû ôîðìóëû ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà ïî îïòè-
ìèçèðóåìûì ïàðàìåòðàì. Íà ïðèìåðå ðåøåíèÿ òåñòîâûõ çàäà÷ îáîñíîâàíà ýô-
ôåêòèâíîñòü ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ ïðèâåäåííîé çàäà÷è
èäåíòèôèêàöèè.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó íàãðóæåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [4]:
du x
dx
A x u x B x u x C x x a bs
s
s
l
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [ , ]� � � �
�
�
1
, (1)
ãäå A x A xij( ) ( ( ))� , B x Bs
ij
s( ) ( )� , x a b�[ , ] — n-ìåðíûå êâàäðàòíûå ìàòðè÷íûå
íåïðåðûâíûå ôóíêöèè; C x( ) — íåïðåðûâíàÿ n-ìåðíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ;
u x R n( )� — ñîñòîÿíèå îáúåêòà â òî÷êå x a b�[ , ] ; x a bs �[ , ] , s l�1 2, , ,� , — çà-
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
� Â.Ì. Àáäóëëàåâ, 2017
äàííûå ìåñòà íàãðóæåíèÿ. Ìàòðè÷íûå ôóíêöèè B x B x B x( ) ( ( ), ( ),� 1 2
�
� , ( ))B xl áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèÿìè ðåàêöèè îáúåêòà íà ñîñòîÿíèå â òî÷êàõ
íàãðóæåíèÿ.
Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) â ñëó÷àå çàäàííûõ òî÷åê íàãðóæåíèÿ x è ñîîòâåòñòâó-
þùèõ ôóíêöèé ðåàêöèè íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü n óñëîâèé, íàïðèìåð, â âèäå
u a R n( ) � �� (2)
èëè â âèäå íåðàçäåëåííûõ òî÷å÷íûõ óñëîâèé
� �i i
i
l
u x( � )
�
� �
1
1
, (3)
èëè â âèäå íåðàçäåëåííûõ òî÷å÷íûõ è èíòåãðàëüíûõ óñëîâèé
� � � � � �1
1
2
1
1 2
i i
i
l
j
x
x
j
l
u x u d
j
j
( � ) ( ) ( )
� �
� ��� �
�
�
, (4)
ãäå � i , �1i , � 2 j ( )� — çàäàííûå ìàòðèöû ðàçìåðà n n , à çàäàííûå òî÷êè îáú-
åêòà � , , [ , ]x x x a bi j j
� �
� òàêîâû, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ � [ , ]x x xi j j
� �
, i l�1 2 1, , ,� ,
j l�1 2 2, , ,� .
Îñíîâíàÿ çàäà÷à, ðàññìàòðèâàåìàÿ â íàñòîÿùåé ñòàòüå, ñîñòîèò â èäåíòèôè-
êàöèè ôóíêöèé B xij
s ( ), i j n, , , ,�1 2 � , s l�1 2, , ,� , ïðè êîòîðûõ äîñòèãàåòñÿ ìèíè-
ìóì çàäàííîãî ôóíêöèîíàëà
J B f u x B x dx u x
a
b
( ) ( ( ), ( )) ( (~ ))� ��� �1
0
2� , (5)
ãäå f 0 ( , )� � , �( )� — çàäàííûå äèôôåðåíöèðóåìûå ïî ñâîèì àðãóìåíòàì
ôóíêöèè, �1, � 2 — çàäàííûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà
� � �( (~ )) (~ ) ( (~ ), (~ ), , (~ ), (~u x u u x u x u x u xl� � 1 1 1 2 1 2 13
� ), , (~ ))� u xn l3
�
� �(~ , ~ , ..., ~ )u u unl11 12 3
.
Èñõîäÿ èç òåõíè÷åñêèõ è òåõíîëîãè÷åñêèõ òðåáîâàíèé èäåíòèôèöèðóåìûå
ôóíêöèè B xij
s ( ) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì
B B x Bij
s
ij
s
ij
s� �( ) , i j n, , , ,�1 2 � , s l�1 2, , ,� , x a b�[ , ] , (6)
ãäå B Bij
s
ij
s, çàäàíû, s l�1 2, , , .�
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû âñå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ äëÿ
çàäàííûõ äîïóñòèìûõ ôóíêöèé B x( ) äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1) ñ îäíèì
èç âîçìîæíûõ óñëîâèé (3), (4) èìåþò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Îòìåòèì, ÷òî ïîäî-
áíûõ êîíñòðóêòèâíûõ óñëîâèé äëÿ çàäà÷ (1), (3) è (1), (4) íåò, ïîýòîìó âîïðîñ î
ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ çàäà÷ âûÿñíÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî â ïðîöåññå èõ ÷èñ-
ëåííîãî ðåøåíèÿ [9, 10].
Íà ïðàêòèêå â çàäà÷å (1)–(6) èäåíòèôèöèðóþò îäíîâðåìåííî íå âñå, à òîëüêî
íåêîòîðûå èç ôóíêöèé Bij
s , i j n, , , ,�1 2 � , s l�1 2, , ,� . Ðàññìîòðåíèå ýòîãî ñëó÷àÿ
ïîòðåáîâàëî áû ââåäåíèÿ â ïîñòàíîâêó çàäà÷è íîâûõ îáîçíà÷åíèé äëÿ ìíîæåñòâ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 101
è èíäåêñîâ äëÿ îïðåäåëÿåìûõ ôóíêöèé ðåàêöèè íà íàãðóæåíèÿ, ÷òî óñëîæíèëî
áû âûêëàäêè ïîëó÷àåìûõ ôîðìóë. Ïîýòîìó áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî èäåíòèôè-
öèðóþòñÿ âñå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè B xs ( ), s l�1 2, , ,� .
Êàê óïîìèíàëîñü ðàíåå, çàäà÷è (1), (5), (6) ñ îäíèì èç óñëîâèé (2)–(4) âîçíè-
êàþò è ïðè îïòèìàëüíîì ñèíòåçå ñèñòåì ñ íàãðóæåíèåì [11], è â ðàìêàõ îáðàò-
íûõ çàäà÷ ïðè ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íàãðó-
æåííûõ ñèñòåì, íàïðèìåð, ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññîâ ïîäçåìíîé
ãèäðîãàçîäèíàìèêè è äð. [1, 2, 12].
×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×È
Ïðè çàäàííûõ ôóíêöèÿõ B xs ( ), s l�1 2, , ,� , äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé (1) ïðè êàêèõ-ëèáî èç óñëîâèé (2)–(4) ìîæíî èñïîëüçîâàòü
÷èñëåííûå ìåòîäû, îñíîâàííûå, íàïðèìåð, íà ïðèâåäåíèè èñõîäíîé çàäà÷è
ê ðåøåíèþ âñïîìîãàòåëüíûõ çàäà÷ Êîøè [4, 13–15].
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè ôóíêöèé ðåàêöèè íà íàãðóæåíèÿ ñâåäå-
íèåì åå ê çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ èñïîëüçóåì ÷èñëåííûå ìåòîäû ïåð-
âîãî ïîðÿäêà, îñíîâàííûå íà ìåòîäàõ ïðîåêöèè, â ÷àñòíîñòè, ãðàäèåíòà
( ( )) (( ( )) ( ( ))B x P B x J Bk k
k B
k� �
�1 � , k � 0 1, , ... (7)
Çäåñü �k � 0 — øàã, îáåñïå÷èâàþùèé óñëîâèå ìîíîòîííîñòè èòåðàöèîííîãî
ïðîöåññà
J B J Bk k( ) ( )� �1 , k � 0 1, , ... ,
êîòîðûé ìîæíî âûáèðàòü ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè [16, 17]; P ( )� — îïåðàòîð
ïðîåêòèðîâàíèÿ èäåíòèôèöèðóåìîé ìàòðè÷íîé ôóíêöèè íà äîïóñòèìîå ìíî-
æåñòâî; ( ( ))B x 0 — íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå, êîòîðîå äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü
îãðàíè÷åíèþ (6).
Äëÿ ðåàëèçàöèè ïðîöåäóðû (7) íåîáõîäèìî èìåòü âûðàæåíèå ãðàäèåíòà öå-
ëåâîãî ôóíêöèîíàëà (5) îòíîñèòåëüíî èäåíòèôèöèðóåìûõ ôóíêöèé B xs ( ),
s l�1 2, , , .� Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýòèõ ôîðìóë èñïîëüçóåì ìåòîä âàðèàöèè íåçàâèñè-
ìûõ ïåðåìåííûõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ u x( ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (1),
(2) ïðè êàêîé-ëèáî äîïóñòèìîé èäåíòèôèöèðóåìîé ôóíêöèè B x( ), à ôóíêöèÿ
u x( ) — ðåøåíèåì çàäà÷è (1), (2) äëÿ ïðèðàùåííîé èäåíòèôèöèðóåìîé ôóíêöèè
B x B x B x( ) ( ) ( )� � � . Òîãäà ôóíêöèÿ �u x u x u x( ) ( ) ( )�
, ÿâëÿþùàÿñÿ ïðèðàùåíè-
åì ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (2), î÷åâèäíî, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
�u a( ) � 0, (8)
è ñëåäóþùåé ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
d u x
dx
A x u x B x B x ui
ij
j
n
j ij
s
ij
s
j
�
� � �
( )
( ) ( ) ( ( ) ( )) (� � �
�
�
1
xs
j
n
s
l
)
��
�� �
11
�
��
�� u x B xj
j
n
s
l
s ij
s
11
( ) ( )� , i n�1 2, , ,� , x a b�[ , ] . (9)
Ìîæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îöåíêè
| | ( )| | (| | ( )| | )
[ , ] [ , ]
� �u x M B x
L a b L a bn nl
2 2
1� � , (10)
ãäå M1 — ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, íå çàâèñÿùàÿ îò B x( ) .
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
Ëèíåàðèçóåì ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà (5)
�J B J B J B( ) (
~
) ( )�
�
�
�
�
�
�
�
�1
0 0f u x B x
u
u x
f u x B x
B
B
j
j
ij
s ij
( ( ), ( ))
( )
( ( ), ( ))
� � s
s
l
j
n
i
n
j
n
a
b
x dx( )
����
�����
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1111
�
�
�
� �
��
���
�
�
�
2
11
3 �
� �
(~ )
(~ ) (| | ( )| | ) (| |
u
u
u x o u x o
j
j
l
j
n
� �B x o u( )| | ) (| | ~| | )� . (11)
Ïåðåíåñÿ ëåâûå ÷àñòè ñèñòåìû (9) âïðàâî, óìíîæèì îáå åå ÷àñòè íà ïîêà
ïðîèçâîëüíóþ âñþäó íåïðåðûâíóþ, íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìóþ, êðîìå òî-
÷åê ~xi , i l�1 2 3, , ,� , n-ìåðíóþ âåêòîð-ôóíêöèþ ( )x è ïðîñóììèðóåì âñå óðàâíå-
íèÿ ñèñòåìû. Ðàçáèâ îòðåçîê [ , ]a b íà îòðåçêè [~ , ~ )x xi i
1 , i l�1 2 3, , ,� , ïðîèíòåãðè-
ðóåì ïîëó÷åííóþ ñóììó ïî ýòèì îòðåçêàì. Îáîçíà÷èâ ~x a0 � , ~x bl3 1� � , ïðîâåäÿ
íà îòðåçêàõ [~ , ~ ]x xi i
1 , i l�1 2 3, , ,� , èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, à òàêæå ñ ó÷å-
òîì (8), êàê íåñëîæíî ïîêàçàòü, ïîëó÷èì
d x
dx
A x x x x B di
ji
j
n
j s ji
s
j
a
b
� � �
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�
� �
1 j
n
s
l
i
a
b
i
n
u x dx
���
����
�
�
�
�
�
�
�
�
�
111
� ( )
�
�
�
��
�� [ (~ ) (~ )] (~ ) ( ) ( � �
�
�i i
i
nl
i i ix x u x b u b
11
3
� � )
i
n
�
�
1
�����
���
[ ( ) ( ) ( )] (| | ( i j s ij
s
a
b
s
l
j
n
i
n
x u x B x dx o u� �
111
x)| | ) � 0. (12)
Ó÷èòûâàÿ â (11) ôîðìóëó (12), ïîñëå ãðóïïèðîâêè ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ èìååì
�J B
d x
dx
A x x x x Bi
ji
j
n
j s ji
s
j( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) (�
�
�
�
1
� �)d
a
b
j
n
s
l
a
b
i
n
�����
���
�
�
�
�
� 111
�
�
�
�
�
�
�
�
�� 1
0f u x B x
u
u x dx x x
i
i i v i v
( ( ), ( ))
( ) (~ ) (~ )� �
�
�
�
�
�
� �
��
�� �
�
�
2
11
3 �
�
(~ )
(~ )
u
u
u x
ivi
n
v
l
i v
� �
�
�
��
� �i i
i
n
i j s
i
b u b x u x
f u x B x
B
( ) ( ) ( ) ( )
( ( ), ( ))
�
1
1
0
j
s ij
s
a
b
s
l
j
n
i
n
B x dx
�
�
�
�
�
�
�
�
�����
���
� ( )
111
� � �o u x o B x o u(| | ( )| | ) (| | ( )| | ) (| | ~| | )� � � . (13)
Çäåñü ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
� �
�
( ) ( )0 , � �� � �( ) ( )0 .
 ñâÿçè ñ ïîêà ïðîèçâîëüíîñòüþ âåêòîð-ôóíêöèè ( )x ïîòðåáóåì, ÷òîáû îíà
ÿâëÿëàñü ðåøåíèåì çàäà÷è
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 103
d x
dx
A x x x x B di
ji
j
n
j s ji
s
j
a
b
� � �
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )�
�
�
1
���
��
�
j
n
s
l
11
�
�
�
�1
0f u x B x
ui
( ( ), ( ))
, i n�1 2, , ,� , (14)
�i
l
il
x
x b x b
u
u
( )
, ~ ,
(~ )
~ ,�
�
�
�
��
�
�
�
�
� �
�
�
0
3
3
2
åñëè è
åñ
�
ëè
åñëè
x x b
x
u
u
a x x b
l
i
i
� �
�
�
� � � ��
~ ,
( )
(~ )
~ , ~ , ,
3
2 1 � �
�
�
�
2 1 23, , , , , , .� �l i n�
(15)
Çàäà÷à (14), (15), êîòîðóþ áóäåì íàçûâàòü ñîïðÿæåííîé, èìååò ñëåäóþùèå
îñîáåííîñòè: îíà îïèñûâàåòñÿ èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíîé ñèñòåìîé; â íåé èñ-
ïîëüçóåòñÿ ôóíêöèÿ Äèðàêà; êàê ñëåäóåò èç óñëîâèé (15), ñîïðÿæåííûå ïåðåìåí-
íûå â çàäàííûõ ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷êàõ ~x� èìåþò ðàçðûâû. Òîãäà èç (10), (13),
(14), (15) ñëåäóåò, ÷òî êîìïîíåíòû ãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà ïî èäåíòè-
ôèöèðóåìûì ôóíêöèÿì ðåàêöèè B xs ( ), s l�1 2, , ,� , îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé
� �
�
�
�
J B x u x
f u x B x
B
B x i j s
ij
sij
s ( )
( ) ( ) ( )
( ( ), ( ))
�1
0
,
i j n, , , ,�1 2 � , s l�1 2, , , .� (16)
Ïðèâåäåì àëãîðèòì ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ çàäà÷è
(1), (2), (5), (6) ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëó÷åííûõ ôîðìóë ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà è
ïðèìåíåíèåì èòåðàöèîííîé ïðîöåäóðû (7). Íà k-é èòåðàöèè ïðîöåäóðû (7) ïðè
çàäàííûõ òåêóùèõ çíà÷åíèÿõ èäåíòèôèöèðóåìûõ ôóíêöèé B xs ( ), s l�1 2, , ,� ,
ðåøàåòñÿ íà÷àëüíàÿ íàãðóæåííàÿ çàäà÷à (1), (2) (íàïðèìåð, ñïîñîáîì, ïðåäëî-
æåííûì â [4]). Äàëåå ðåøàåòñÿ ñîïðÿæåííàÿ çàäà÷à (14), (15) è îïðåäåëÿþòñÿ
çíà÷åíèÿ ñîïðÿæåííûõ ïåðåìåííûõ i x( ), i n�1 2, , ,� . Ýòè çíà÷åíèÿ èñïîëüçó-
þòñÿ â ôîðìóëå (16) äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé êîìïîíåíò ãðàäèåíòà ôóíêöèîíà-
ëà. Ñ ó÷åòîì ïðîñòîòû îãðàíè÷åíèé (6) ïðîåöèðóåòñÿ íàïðàâëåíèå ãðàäèåíòà
ôóíêöèîíàëà. Äàëåå â íàïðàâëåíèè ñïðîåêòèðîâàííîãî àíòèãðàäèåíòà îñóùå-
ñòâëÿåòñÿ øàã âåëè÷èíîé �k è îïðåäåëÿþòñÿ íîâûå çíà÷åíèÿ ( ( ))B x k�1 ìèíèçè-
ðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
 ñëó÷àå, åñëè âìåñòî óñëîâèé (2) èìåþò ìåñòî íåëîêàëüíûå óñëîâèÿ (3) èëè
(4), ìåòîäèêà ïîëó÷åíèÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà îñòàåòñÿ ïðåæíåé,
íî, åñòåñòâåííî, èçìåíÿþòñÿ âûêëàäêè. Íå îñòàíàâëèâàÿñü ïîäðîáíî íà âûâîäå
ôîðìóë (ñ ìåòîäèêîé èõ ïîëó÷åíèÿ ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ, íàïðèìåð, â [14]), ïðè-
âåäåì èõ, îòìåòèâ, ÷òî ýòè ôîðìóëû ðàçëè÷àþòñÿ óñëîâèÿìè (15) äëÿ ñîïðÿæåí-
íîé ñèñòåìû.
Åñëè äëÿ èäåíòèôèêàöèè ôóíêöèé B xs ( ), s l�1 2, , ,� , äîïîëíèòåëüíûå óñëî-
âèÿ çàäàíû â âèäå (3), òî äëÿ ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû âìåñòî óñëîâèé (15) èìåþò
ìåñòî ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
� � �
�
( )
(~ )
~ , ~ , � ,
(~ )
*
x
u
u
x x a x a
u
�
�
�
� � � �
�
�
2
1
1 1 1
2
�
�
åñëè
~ , ~ , � ,
, ~ , � ,*
u
x x a x a
x x x x a
1
1 1
1 1 0 1
2
åñëè
åñëè
� � �
� � �
�
� �
�
�
�
(~ )
~ , , � ,
(~ )
~
*u
u
x x x x b
u
u
l
l l f l
l
�
� � �
�
�
3
1 3 1
2
� �
�
åñëè
3
3 1
1 3 1
, , � ,
, , � ,*
*
åñëè
åñëè
x x b x b
x x b x b
l l
l l l
� � �
� � �
�
� �
( )
(~ )
~ ,
~ , � ,
, , ,
*x
u
u
a x x x b
l
i
�
�
� � �
�
� � �
��
�
�
2
31 2
�
åñëè
� , , , .i l�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
� 1 1�
(17)
Çäåñü � — n-ìåðíûé âåêòîð ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà, îïðåäåëÿåìûé íà êàæäîé
èòåðàöèè (7) ïðè çàäàííûõ B x( ) èç óñëîâèé (3), (17) ñ ïðèìåíåíèåì àíàëîãà ìå-
òîäà ïàðàìåòðè÷åñêîé ïðîãîíêè îòíîñèòåëüíî ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû (14) [ 4, 15, 18].
Åñëè äëÿ èäåíòèôèêàöèè ôóíêöèè B xs ( ), s l�1 2, , ,� , äîïîëíèòåëüíûå óñëî-
âèÿ çàäàíû â âèäå (4), òî óñëîâèÿ (17) ñîõðàíÿòñÿ, à èçìåíÿòñÿ óðàâíåíèÿ
ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû
d x
dx
A x x x x B ds
s
l
s
a
b
� � �
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *�
�
�
� �
1
�
�
�
� �
�
��
� �1
0
2
1
2f u x B x
u
x xx x j
j
l
j j
( ( ), ( ))
( ) ( )[ , ]
*� � , x a b�[ , ] , (18)
ãäå
[ , ]
( )
, [ , ],
, [ , ].
� �
� �
� �x x
j j
j j
j j
x
x x x
x x x
�
�
�
�
�
1
0
 ñëó÷àå óñëîâèé (3) è (4) èçìåíèòñÿ ñõåìà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû
íàãðóæåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ò.å. èìååì íåëîêàëüíûå íåðàçäå-
ëåííûå òî÷å÷íûå (3) è èíòåãðàëüíûå óñëîâèÿ. Çäåñü ìîæíî èñïîëüçîâàòü ÷èñëåí-
íóþ ñõåìó, ïðåäëîæåííóþ â [15]. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ ñîïðÿæåííûõ çàäà÷
(14), (15); (14), (17); (18), (17) òàêæå íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü ñïåöèàëüíûå ñõåìû.
Ïîðÿäîê ïðèìåíåíèÿ ïðîöåäóðû (17) êàê äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (3), (5), (6),
òàê è çàäà÷è (1), (4)–(6) â öåëîì àíàëîãè÷åí îïèñàííîìó äëÿ çàäà÷è (1), (2), (5), (6).
ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó, îïèñàííóþ ñèñòåìîé íàãðóæåííûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íå-
èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè ðåàêöèè íà íàãðóæåíèÿ:
du x
dx
u x u x B x u x1
1 2 11
1
12 0 25 2 2
( )
( ) ( ) ( ) ( . ) cos ( )� � �
�
�
�
2 2 2 989616 12cos ( ) sin ( ) .x x e x ,
du x
dx
u x xu x B x u x2
1 2 22
2
2 0 375 2 2 2
( )
( ) ( ) ( ) ( . ) sin ( ) s�
�
in ( )x �
� �
�
x x e xxcos ( ) . . , [ , . ]2 0 268311 0 731689 0 0 51 , (19)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 105
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè âèäà (2)
u1 0 1( ) � , u2 0 0( ) � . (20)
Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàë
J B u x y x u x y x dx( ) ([ ( ) ( )] [ ( ) ( )] )
.
�
�
�� 1 1
2
2 2
2
0
0 5
�
� � �( ( . ) . ) ( ( . ) . ) minu u1
2
2
20 5 1 958851 0 5 0 459698 (21)
ïðè óñëîâèÿõ
1 4 1 5
11
1
22
2� � � �B x B x( ) , ( ) . (22)
Ðåøåíèåì çàäà÷è (19)–(22) ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ôóíêöèè:
u x u x u x x x* ( ) ( ( ), ( )) ( sin ( ) , cos ( ) )� � �
1 2 2 1 2 1T T ,
x x x� �( , ) ( ; )1 2 0 25 0 375T T. . ,
B x B x B x e ex x* ( ) ( ( ), ( )) ( , )� � �
11
1
22
2 2 12 1T T ,
y x x y x x1 22 1 2 1( ) sin ( ) , ( ) cos ( )� � �
,
óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (19), (20), (22) è äîñòàâëÿþùèå ôóíêöèîíàëó (21)
íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ.
Ñîïðÿæåííàÿ çàäà÷à (14), (15) â äàííîì ñëó÷àå èìååò âèä
d x
dx
x x x x B d
� � �1
1 2 1 11
1
0
0 5
1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
�
�� ( ( ) ( ))u x y x1 1
, (23)
d x
dx
x x x x x B d
� � �2
1 2 2 22
2
0
0 5
22
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
� �
�� 2 2 2( ( ) ( ))u x y x
(24)
ñ êîíå÷íûìè óñëîâèÿìè
1 10 5 2 0 5 1 958851( . ) ( ( . ) . )�
u , 2 20 5 2 0 5 0 459698( . ) ( ( . ) . )�
�u . (25)
Ôîðìóëû (16) äëÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà (21) èìåþò âèä
� �
J B x u x
B x11
1 1 1 1( )
( ) ( ) ( ) , � �
J B x u x
B x22
2 2 2 2( )
( ) ( ) ( ) , x �[ , . ]0 0 5 . (26)
Îïåðàòîðû ïðîåêòèðîâàíèÿ íà äîïóñòèìóþ îáëàñòü çàäà÷è, îïðåäåëÿåìóþ
îãðàíè÷åíèÿìè (22), èìåþò âèä
P B
B B B B
B
( . ) ( )
( , ), , ,
( ,
1 6
11
1
22
2
11
1
22
2
22
1 4 1 5
1
�
� � � �åñëè
2
11
1
22
2
22
2
11
1
22
2
1 1 5
4 4 1
), , ,
( , ), ,
åñëè
åñëè
B B
B B B
� � �
� � � 5
1 1 4 1
5 1
11
1
11
1
22
2
11
1
11
1
,
( , ), , ,
( , ),
B B B
B B
åñëè
åñëè
� � �
� � �
� �
�
4 5
1 1 1 1
4 5 4
22
2
11
1
22
2
11
1
, ,
( , ), , ,
( , ),
B
B B
B
åñëè
åñëè , .B
22
2 5�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïðîâîäèëèñü ïðè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèÿõ
ôóíêöèé ðåàêöèè òî÷åê îáúåêòà íà íàãðóæåíèÿ ( ( ))B x
11
1 0 , ( ( ))B x
22
2 0 , çíà÷åíèÿõ
÷èñëà ðàçáèåíèé âðåìåííîãî èíòåðâàëà ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà Ðóíãå–Êóòòû
÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ Êîøè êàê äëÿ îñíîâíîé ñèñòåìû (19), òàê
è ñîïðÿæåííîé (23)–(25).
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ( ( ))B x
11
1 0 , ( ( ))B x
22
2 0 ,
ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòàì ðåøåíèÿ ñèñòåìû (19)–(22), à òàêæå u x
1
0( ) ( ),
u x
2
0( ) ( ) è çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò íîðìèðîâàííûõ ãðàäèåíòîâ, âû÷èñëåííûõ ïî ôîð-
ìóëàì (26) ( )� àíàë.
íîðì. J è êîíå÷íîðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ ôóíê-
öèîíàëà ( )� àïïð.
íîðì. J :
� � �
J z z J z e J z ej j j( ) / ( ( ) ( )) / ( )
2 ,
ãäå z j — j-ÿ êîìïîíåíòà N -ìåðíîãî îïòèìèçèðóåìîãî âåêòîðà z, ïðåäñòàâëÿ-
þùàÿ äèñêðåòèçèðîâàííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ðåàêöèè íà íàãðóæåíèÿ B x( );
e j — N -ìåðíûé âåêòîð, ñîñòîÿùèé èç íóëåé, êðîìå j-é êîìïîíåíòû, ðàâíîé
åäèíèöå. Âåëè÷èíó
â ýêñïåðèìåíòàõ ïðèõîäèëîñü âàðüèðîâàòü, à â äàííóþ
òàáëèöó âêëþ÷åíû íàèáîëåå ïðèåìëåìûå ðåçóëüòàòû.
 òàáë. 2, 3 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, â êîòîðûõ
òî÷íûå çíà÷åíèÿ íàáëþäàåìûõ êîìïîíåíò y x1 ( ), y x2 ( ) çàøóìëÿëèñü ñëó÷àéíû-
ìè ïîãðåøíîñòÿìè ïî ôîðìóëå: y x y x ii i i( ) ( )( ( )), ,� �
�1 2 1 1 2
� , ãäå � i — ñëó-
÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ íà îòðåçêå [ ; ]0 1 ,
— óðîâåíü ïîìåõ.
 òàáë. 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû òî÷íîãî è ïîëó÷åííîãî ðåøåíèé çàäà÷è
(19)–(22) è çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ B x( ) ïðè
� 0 (áåç ïîìåõ) ïîñëå øåñòîé èòåðà-
öèè ìåòîäà ïðîåêöèè ñîïðÿæåííîãî ãðàäèåíòà, ïðè ýòîì ìèíèìàëüíîå äîñòèãíó-
òîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà J B(( ) ) .6 40 6 10� �
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 107
x ( ( ))B x11
1 0 ( ( ))B x22
2 0 u x
1
0( )
( ) u x
2
0( )
( ) �àíàë.
íîðì.
J
B11
1 �àïïð.
íîðì.
J
B11
1 �àíàë.
íîðì.
J
B22
2 �àïïð.
íîðì.
J
B22
2
0.000 2.0000 1.3679 1.0000 0.0000 0.1446 0.1454 0.0609 0.0612
0.042 2.0901 1.5502 1.2237 0.0952 0.1334 0.1346 0.0559 0.0564
0.083 2.1930 1.7332 1.4842 0.2000 0.1231 0.1242 0.0513 0.0517
0.125 2.3076 1.9169 1.7853 0.3157 0.1137 0.1146 0.0472 0.0475
0.167 2.4331 2.1013 2.1308 0.4437 0.1050 0.1058 0.0434 0.0437
0.208 2.5685 2.2864 2.5248 0.5855 0.0969 0.0976 0.0400 0.0403
0.250 2.7131 2.4724 2.9716 0.7427 0.0176 0.0539 0.0371 0.0372
0.292 2.8661 2.6591 3.4758 0.9172 0.0135 0.0134 0.0370 0.0370
0.333 3.0268 2.8468 4.0424 1.1107 0.0096 0.0095 0.0371 0.0371
0.375 3.1947 3.0353 4.6765 1.3252 0.0060 0.0057 0.0019 0.0195
0.417 3.3692 3.2247 5.3837 1.5629 0.0056 0.0052 0.0017 0.0014
0.458 3.5497 3.4151 6.1699 1.8258 0.0053 0.0048 0.0016 0.0013
0.500 3.7358 3.6065 7.0414 2.1163 0.0049 0.0045 0.0015 0.0012
J B(( ) ) .0 37 46125�
Ò à á ë è ö à 1
 òàáë. 3 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (19), (20) ïðè
óðîâíÿõ ïîìåõ, ðàâíûõ 3 5%, %, ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿì
� 0 03 0 05. ; . ,
è óêàçàíî ÷èñëî èòåðàöèé.
Ðåøåíèå íàãðóæåííîé íà÷àëüíîé çàäà÷è (1), (2) íà êàæäîé �-é èòåðàöèè ïðè
çàäàííûõ ôóíêöèÿõ ðåàêöèè ñ ïðèìåíåíèåì ïîäõîäà, ïðåäëîæåííîãî â [4], ïðè-
âîäèëîñü ê ðåøåíèþ âñïîìîãàòåëüíûõ çàäà÷ Êîøè. Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çà-
äà÷ Êîøè èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä Ðóíãå–Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ñ øàãîì
h � 0 01. . Äëÿ âûáîðà øàãà �k â ïðîöåäóðå (7) èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä çîëîòîãî
ñå÷åíèÿ ñ òî÷íîñòüþ 0 001. .
108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
x
Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå Òî÷íîå ðåøåíèå
( ( ))B x11
1 6 ( ( ))B x22
2 6 u x
1
6( )
( ) u x
2
6( )
( ) ( ( ))*B x11
1 ( ( ))*B x22
2 u x
1
(*)
( ) u x
2
(*)
( )
0.000 2.0001 1.3678 1.0000 0.0000 2.0000 1.3679 1.0000 0.0000
0.042 1.8402 1.3835 1.0833 – 0.0035 1.8401 1.3835 1.0833 – 0.0035
0.083 1.6931 1.3998 1.1665 – 0.0139 1.6930 1.3998 1.1665 – 0.0139
0.125 1.5577 1.4168 1.2494 – 0.0311 1.5576 1.4169 1.2493 – 0.0311
0.167 1.4331 1.4346 1.3318 – 0.0550 1.4331 1.4346 1.3318 – 0.0550
0.208 1.3185 1.4531 1.4137 – 0.0855 1.3185 1.4531 1.4137 – 0.0856
0.250 1.2131 1.4723 1.4949 – 0.1224 1.2131 1.4724 1.4948 – 0.1224
0.292 1.1161 1.4924 1.5752 – 0.1653 1.1161 1.4925 1.5751 – 0.1654
0.333 1.0268 1.5134 1.6545 – 0.2141 1.0268 1.5134 1.6544 – 0.2141
0.375 0.9447 1.5353 1.7327 – 0.2683 0.9447 1.5353 1.7325 – 0.2683
0.417 0.8692 1.5580 1.8096 – 0.3275 0.8692 1.5580 1.8094 – 0.3276
0.458 0.7997 1.5818 1.8850 – 0.3915 0.7997 1.5818 1.8849 – 0.3915
0.500 0.7357 1.6065 1.9590 – 0.4596 0.7358 1.6065 1.9589 – 0.4597
J B(( ) ) .6 0 00006� J B(( ) ) .* � 0 00000
Ò à á ë è ö à 2
x
� 0 03.
� 0 05.
( ( ))B x11
1 11 ( ( ))B x22
2 11 u x
1
11( )
( ) u x
2
11( )
( ) ( ( ))B x11
1 15 ( ( ))B x22
2 15 u x
1
15( )
( ) u x
2
15( )
( )
0.000 2.0005 1.3678 1.0000 0.0000 1.9955 1.3664 1.0000 0.0000
0.042 1.8406 1.3835 1.0834 – 0.0035 1.8359 1.3759 1.0828 – 0.0034
0.083 1.6934 1.3999 1.1666 – 0.0138 1.6891 1.3922 1.1655 – 0.0137
0.125 1.5578 1.4170 1.2495 – 0.0311 1.5540 1.4091 1.2480 – 0.0309
0.167 1.4330 1.4348 1.3319 – 0.0550 1.4299 1.4268 1.3300 – 0.0548
0.208 1.3182 1.4533 1.4138 – 0.0855 1.3158 1.4452 1.4115 – 0.0853
0.250 1.2135 1.4726 1.4950 – 0.1224 1.2115 1.4645 1.4923 – 0.1222
0.292 1.1161 1.4926 1.5753 – 0.1653 1.1152 1.4846 1.5722 – 0.1652
0.333 1.0265 1.5136 1.6546 – 0.2141 1.0267 1.5055 1.6513 – 0.2139
0.375 0.9440 1.5359 1.7327 – 0.2682 0.9456 1.5320 1.7292 – 0.2682
0.417 0.8679 1.5586 1.8096 – 0.3275 0.8722 1.5550 1.8060 – 0.3276
0.458 0.7979 1.5832 1.8850 – 0.3915 0.8050 1.5790 1.8815 – 0.3916
0.500 0.7335 1.6069 1.9588 – 0.4596 0.7436 1.6040 1.9556 – 0.4599
J B(( ) ) .11 0 00072� J B(( ) ) .15 0 00541�
Ò à á ë è ö à 3
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ñòàòüå ïðåäëîæåíà ñõåìà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè ôóíêöèé
ðåàêöèè íà íàãðóæåíèÿ äëÿ ñòàöèîíàðíûõ îáúåêòîâ. Èññëåäóåìûå îáúåêòû
îïèñàíû ñèñòåìàìè íàãðóæåííûõ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
ñ îáûêíîâåííûìè ïðîèçâîäíûìè. Ðàññìàòðèâàåìûå ïîñòàíîâêè çàäà÷ âîçìîæ-
íû êàê ïðè ïðîåêòèðîâàíèè íàãðóæåííûõ ñèñòåì, òàê è ïðè ðåøåíèè îáðàò-
íûõ çàäà÷ ïî èäåíòèôèêàöèè íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé ðåàêöèè íà íàãðóæåíèÿ.
Îòíîñèòåëüíî öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà çàäà÷è ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå ôîðìó-
ëû äëÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà ïî îïòèìèçèðóåìûì ïàðàìåòðàì. Ýòî ïîçâîëÿåò
èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ýôôåêòèâíûå ÷èñëåííûå ìåòîäû ïåðâîãî ïî-
ðÿäêà. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ íà ïðèìåðå ðåøå-
íèÿ òåñòîâûõ çàäà÷. Ïðåäëàãàåìóþ ñõåìó ìîæíî ïðèìåíÿòü è äëÿ îáúåêòîâ
ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè ñ ÷àñòíûìè ïðî-
èçâîäíûìè. Äëÿ ñâåäåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ê ðàññìàòðèâàåìûì ïîñòàíîâêàì ìîæíî
èñïîëüçîâàòü ìåòîäû ïðÿìûõ.
Àâòîð âûðàæàåò èñêðåííþþ áëàãîäàðíîñòü ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà,
ïðîôeññîðó Àéäà-çàäå Ê.Ð. çà öåííûå ñîâåòû è âíèìàíèå ê ðàáîòå.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Íàõóøåâà Â.À. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåëîêàëüíûõ ïðîöåñ-
ñîâ. Ìîñêâà: Íàóêà, 2006. 173 ñ.
2. Íàõóøåâ À.Ì. Íàãðóæåííûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðèìåíåíèå. Ìîñêâà: Íàóêà, 2012. 232 ñ.
3. Äæåíàëèåâ Ì.Ò. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ëèíåéíûìè íàãðóæåííûìè ïàðàáîëè÷åñêèìè óðàâ-
íåíèÿìè. Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. 1989. Ò. 25, ¹ 4. Ñ. 641–651.
4. Abdullaev V.M., Aida-zade K.R. On the numerical solution of loaded systems of ordinary
differential equations. Comput. Math. Math. Phys. 2004. Vol. 44, N 9. P. 1585–1595.
5. Êîæàíîâ À.È. Íåëèíåéíûå íàãðóæåííûå óðàâíåíèÿ è îáðàòíûå çàäà÷è. Æóðíàë âû÷èñë. ìàòå-
ìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. 2004. Ò. 44, ¹ 4. Ñ. 694–716.
6. Ñàìàðñêèé À.À., Âàáèùåâè÷ Ï.Í. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ îáðàòíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñ-
êîé ôèçèêè. Ìîñêâà: Èçä-âî ËÊÈ, 2009. 480 ñ
7. Sergienko I.V. and Deineka V.S. Identification of parameters of a dynamic problem of elasticity for
a body with an inclusion. Cybernetics and Systems Analysis. 2009. Vol. 45, N 3. P. 397–420.
8. Sergienko I.V. and Deineka V.S. Parameter identification in quasistationary thermoelastic problems.
Cybernetics and Systems Analysis. 2010. Vol. 46, N 2. P. 220–242.
9. Øõàíóêîâ-Ëàôèøåâ Ì.Õ. Ëîêàëüíî-îäíîìåðíàÿ ñõåìà äëÿ íàãðóæåííîãî óðàâíåíèÿ òåïëîï-
ðîâîäíîñòè ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè III ðîäà. Æóðíàë âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè.
2009. Ò. 49, ¹ 7. Ñ. 1223–1231.
10. Àëèõàíîâ À.À, Áåðåçêîâ À.Ì., Øõàíóêîâ-Ëàôèøåâ Ì.Õ. Êðàåâûå çàäà÷è äëÿ íåêîòîðûõ êëàñ-
ñîâ íàãðóæåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ðàçíîñòíûå ìåòîäû èõ ÷èñëåííîé ðåàëèçà-
öèè. Æóðíàë âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. 2008. Ò. 48, ¹ 9. C. 1619–1628.
11. Åãîðîâ À.È. Îñíîâû òåîðèè óïðàâëåíèÿ. Ìîñêâà: Ôèçìàòëèò, 2004. 504 ñ.
12. Àíîõèí Þ.À., Ãîðñòêî À.Á., Äàìåøåê Ë.Þ. è äð. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè è ìåòîäû óïðàâëå-
íèÿ êðóïíîìàñøòàáíûì âîäíûì îáúåêòîì. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1987.
13. Aida-zade K. R. A numerical method of restoring the parameters of a dynamic system. Cybernetics
and Systems Analysis. 2004. Vol. 40, N 2. P. 392–399.
14. Aida-zade K.R., Abdullaev V. M. On the solution of boundary value problems with nonseparated
multipoint and integral conditions. Differential Equations. 2013. Vol. 49, N 9. P. 1114–1125.
15. Abdullaev V.M., Aida-zade K.R. Numerical method of solution to loaded nonlocal boundary value
problems for ordinary differential equations. Comput. Math. Math. Phys. 2014. Vol. 54, N 7.
P. 1096–1109.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 109
16. Åâòóøåíêî Þ.Ã. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ è èõ ïðèìåíåíèå â ñèñòåìàõ îïòèìè-
çàöèè. Ìîñêâà: Íàóêà, 1982.
17. Âàñèëüåâ Ô.Ï. Ìåòîäû îïòèìèçàöèè. Ìîñêâà: Ôàêòîðèàë. 2002. 824 ñ.
18. Aida-zade K.R., Abdullayev V.M. Solution to a class of inverse problems for system of loaded
ordinary differential equations with integral conditions. Journal of Inverse and Ill-posed Problems.
2016. Vol. 24, N 5. P. 543–558.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 15.06.2016
Â.Ì. Àáäóëëàºâ
ÇÀÄÀ×À ²ÄÅÍÒÈÔ²ÊÀÖ²¯ ÔÓÍÊÖ²É ÐÅÀÊÖ²¯ ÍÀ ÍÀÂÀÍÒÀÆÅÍÍß
ÄËß ÑÒÀÖ²ÎÍÀÐÍÈÕ ÑÈÑÒÅÌ
Àíîòàö³ÿ. Äîñë³äæåíî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ïàðàìåòðè÷íî¿ ³äåíòèô³êàö³¿ íà-
âàíòàæåíèõ ñèñòåì äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü. Çàïðîïîíîâàíî ³òåðàö³éí³ ìå-
òîäè, ùî áàçóþòüñÿ íà ìåòîäàõ îïòèì³çàö³¿ ïåðøîãî ïîðÿäêó. Çíàéäåíî
ôîðìóëè äëÿ ãðà䳺íòà ö³ëüîâîãî ôóíêö³îíàëà, ÿêèé îö³íþº ñòóï³íü àäåê-
âàòíîñò³ îòðèìàíèõ ïàðàìåòð³â. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ðîçâ’ÿçàííÿ òåñòîâèõ
çàäà÷ òà ¿õí³é àíàë³ç.
Êëþ÷üîâ³ ñëîâà: íàâàíòàæåíå äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ, ðåàêö³ÿ íà íàâàí-
òàæåííÿ, îïòèìàëüíå êåðóâàííÿ, íåëîêàëüí³ óìîâè, îáåðíåíà çàäà÷à.
V.M. Abdullayev
THE PROBLEM OF IDENTIFICATION OF THE FUNCTIONS OF RESPONSE
TO LOADINGS FOR STATIONARY SYSTEMS
Abstract. We investigate the solution to the parametric identification problem
for loaded systems of differential equations. We propose to use iterative methods
based on the first-order optimization methods. For this purpose, we obtain
formulas for the gradient of the objective functional, which assesses the
adequacy degree of the obtained parameters. The results of numerical solution to
some test problems are given.
Keywords: loaded differential equations, reaction to loading, optimal control,
nonlocal conditions, inverse problem.
Àáäóëëàåâ Âàãèô Ìààðèô îãëû,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Àçåðáàéäæàíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà íåôòè
è ïðîìûøëåííîñòè; âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà,
Áàêó, å-mail: vaqif_ab@rambler.ru.
110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3
|