Вектор Шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций

Исследуется вектор Шепли в кооперативной игре с нечетким множеством допустимых коалиций. Показано, что множество его значений является нечетким множеством типа 2 (нечеткое множество, функция принадлежности которого принимает нечеткие значения) специального вида. Построена функция принадлежности. Эле...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
Hauptverfasser:	Мащенко, С.О., Моренец, В.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системний аналіз
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144736
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Вектор Шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций / С.О. Мащенко, В.И. Моренец // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 117–126. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-144736
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1447362019-01-03T01:23:14Z Вектор Шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций Мащенко, С.О. Моренец, В.И. Системний аналіз Исследуется вектор Шепли в кооперативной игре с нечетким множеством допустимых коалиций. Показано, что множество его значений является нечетким множеством типа 2 (нечеткое множество, функция принадлежности которого принимает нечеткие значения) специального вида. Построена функция принадлежности. Элементы носителя этого множества определены как частные значения вектора Шепли. Предложена процедура их построения с максимальной достоверностью принадлежности множеству векторов Шепли и достоверностью непринадлежности, не превышающей заданной величины. Досліджується вектор Шеплі в кооперативній грі з нечіткою множиною допустимих коаліцій. Показано, що множина його значень є нечіткою множиною типу 2 (нечітка множина, функція належності якої приймає нечіткі значення) спеціального вигляду. Побудовано функцію належності. Елементи носія цієї множини визначені як частинні значення вектора Шеплі. Запропоновано процедуру їхньої побудови з максимальною достовірністю належності множині векторів Шеплі та достовірністю неналежності, яка не перевищує заданої величини. The present paper investigates Shapley value of a co-operative game with a fuzzy set of feasible coalitions. It is shown that the set of its values is a type-2 fuzzy set (a fuzzy set whose membership function takes fuzzy values) of special type. Furthermore, the corresponding membership function is given. Elements of the support of this set are defined as particular Shapley values. We also propose the procedure of constructing these elements with maximal reliability of their membership and reliability of non membership, not exceeding a given threshold. 2017 Article Вектор Шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций / С.О. Мащенко, В.И. Моренец // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 117–126. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144736 519.8 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Мащенко, С.О. Моренец, В.И. Вектор Шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций Кибернетика и системный анализ
description	Исследуется вектор Шепли в кооперативной игре с нечетким множеством допустимых коалиций. Показано, что множество его значений является нечетким множеством типа 2 (нечеткое множество, функция принадлежности которого принимает нечеткие значения) специального вида. Построена функция принадлежности. Элементы носителя этого множества определены как частные значения вектора Шепли. Предложена процедура их построения с максимальной достоверностью принадлежности множеству векторов Шепли и достоверностью непринадлежности, не превышающей заданной величины.
format	Article
author	Мащенко, С.О. Моренец, В.И.
author_facet	Мащенко, С.О. Моренец, В.И.
author_sort	Мащенко, С.О.
title	Вектор Шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций
title_short	Вектор Шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций
title_full	Вектор Шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций
title_fullStr	Вектор Шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций
title_full_unstemmed	Вектор Шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций
title_sort	вектор шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144736
citation_txt	Вектор Шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций / С.О. Мащенко, В.И. Моренец // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 3. — С. 117–126. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT maŝenkoso vektoršeplikooperativnojigrysnečetkimmnožestvomdopustimyhkoalicij AT morenecvi vektoršeplikooperativnojigrysnečetkimmnožestvomdopustimyhkoalicij
first_indexed	2025-07-10T20:00:09Z
last_indexed	2025-07-10T20:00:09Z
_version_	1837291406604894208
fulltext	ÓÄÊ 519.8 Ñ.Î. ÌÀÙÅÍÊÎ, Â.È. ÌÎÐÅÍÅÖ ÂÅÊÒÎÐ ØÅÏËÈ ÊÎÎÏÅÐÀÒÈÂÍÎÉ ÈÃÐÛ Ñ ÍÅ×ÅÒÊÈÌ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎÌ ÄÎÏÓÑÒÈÌÛÕ ÊÎÀËÈÖÈÉ Àííîòàöèÿ. Èññëåäóåòñÿ âåêòîð Øåïëè â êîîïåðàòèâíîé èãðå ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ êîàëèöèé. Ïîêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâî åãî çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì òèïà 2 (íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, ôóíêöèÿ ïðè- íàäëåæíîñòè êîòîðîãî ïðèíèìàåò íå÷åòêèå çíà÷åíèÿ) ñïåöèàëüíîãî âèäà. Ïîñòðîåíà ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè. Ýëåìåíòû íîñèòåëÿ ýòîãî ìíîæåñòâà îïðåäåëåíû êàê ÷àñòíûå çíà÷åíèÿ âåêòîðà Øåïëè. Ïðåäëîæåíà ïðîöåäóðà èõ ïîñòðîåíèÿ ñ ìàêñèìàëüíîé äîñòîâåðíîñòüþ ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâó âåêòîðîâ Øåïëè è äîñòîâåðíîñòüþ íåïðèíàäëåæíîñòè, íå ïðåâûøàþùåé çà- äàííîé âåëè÷èíû. Êëþ÷åâûå ñëîâà: íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, íå÷åòêîå ìíîæåñòâî òèïà 2, âåêòîð Øåïëè, êîîïåðàòèâíûå èãðû. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â êëàññè÷åñêèõ êîîïåðàòèâíûõ èãðàõ èãðîêè ìîãóò îáðàçîâûâàòü ëþáûå êîà- ëèöèè. Ïîñêîëüêó îïûò ðåøåíèÿ ðåàëüíûõ êîíôëèêòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî èíîãäà âîçíèêàþò ñèòóàöèè, â êîòîðûõ íå âñå êîàëèöèè âîçìîæíû, òî èçó÷åíèå èãð ñ îãðàíè÷åííîé êîîïåðàöèåé ïðåäñòàâëÿåò çíà÷èòåëüíûé èíòåðåñ. Ïåðâûå èññëåäîâàíèÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè áûëè ïðîâåäåíû R. Myerson [1], êîòîðûé îáîáùèë âåêòîð Øåïëè íà èãðû ñ çàäàííîé êîàëèöèîííîé ñòðóêòóðîé, äàë îïðåäåëåíèå è àêñèîìàòèçàöèþ. Â äàëüíåéøåì èìåííî ýòîò ïðèíöèï îïòè- ìàëüíîñòè èçó÷àëñÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ êîîïåðàöèè èãðîêîâ. Â [2] ðàñ- ñìîòðåíî ïîçèöèîííîå çíà÷åíèå èãðû. Â [3, 4] äëÿ íåêîòîðûõ ñïåöèôè÷åñêèõ êîàëèöèîííûõ ñòðóêòóð ïîñòðîåíû àíàëîãè âåêòîðà Øåïëè. Â ýòèõ ðàáîòàõ îãðàíè÷åííàÿ êîîïåðàöèÿ çàäàâàëàñü ñ ïîìîùüþ ãðàôà ñâÿçåé ìåæäó èãðîêàìè èëè íàïåðåä çàäàííîãî íàáîðà äîïóñòèìûõ êîàëèöèé. Â ñòàòüå [5] ïîñòðîåí îäíîïàðàìåòðè÷åñêèé íàáîð ðåøåíèé êîîïåðàòèâíûõ èãð, â êîòîðîì ìàêñè- ìàëüíûé ðàçìåð ðàçðåøåííûõ êîàëèöèé èñïîëüçóåòñÿ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà. Ðàáîòû [6–9] ïîñâÿùåíû îáîáùåííûì çíà÷åíèÿì âåêòîðà Øåïëè äëÿ øèðîêî- ãî êëàññà èãð. Ðàññìàòðèâàëèñü ñëó÷àè êàê äëÿ îáû÷íûõ êîîïåðàòèâíûõ èãð, òàê è äëÿ èãð ñ îãðàíè÷åííîé êîîïåðàöèåé. Ïðåäëîæåííûå àâòîðàìè ïîäõîäû îñíîâàíû íà òîì ôàêòå, ÷òî âåêòîð Øåïëè ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì íåêîòîðîé çàäà- ÷è îïòèìèçàöèè, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà òàêæå è äëÿ èãð ñ îãðà- íè÷åííîé êîîïåðàöèåé. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåíî îáîáùåíèå âåêòîðà Øåïëè íà ñëó÷àé êîî- ïåðàòèâíîé èãðû ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ êîàëèöèé. ÂÅÊÒÎÐ ØÅÏËÈ Ðàññìîòðèì êîîïåðàòèâíóþ èãðó â õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôîðìå � �N v, , ãäå N n� { }1, ,� — ìíîæåñòâî èãðîêîâ, n � 2; v RN:2 1� — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ êàæäîé êîàëèöèè èãðîêîâ T N� ñîïîñòàâëÿåò åå ãàðàíòèðî- âàííûé âûèãðûø v T( ), ïðè÷åì v( )� � 0, v S T v S v T( ) ( ) ( ) � � �S T N, , S T � �. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 117 � Ñ.Î. Ìàùåíêî, Â.È. Ìîðåíåö, 2017 Âåêòîðîì Øåïëè êîîïåðàòèâíîé èãðû â õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôîðìå � �N v, íàçûâàåòñÿ [7] ðàñïðåäåëåíèå x v x v x vn( ) ( ( ), , ( ))� 1 � ñîâîêóïíîãî âûèãðûøà v N( ) ìåæäó èãðîêàìè, â êîòîðîì êàæäûé i-èãðîê ïîëó÷àåò äîëþ x v N K K N v K v K ii K N i K ( ) (\| \| \| \| )!(\| \| )! \| \|! ( ( ) ( \ )) : � � � � � � � 1 , i N� , ãäå \| \|� — ìîùíîñòü ìíîæåñòâà. Âåêòîð Øåïëè óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì. À1 (àêñèîìà ýôôåêòèâíîñòè). Âåêòîð Øåïëè ïîçâîëÿåò ïîëíîñòüþ ðàñïðåäå- ëèòü ìåæäó èãðîêàìè ñîâîêóïíûé âûèãðûø v N( ), ò.å. x v Ni i N� � � ( ). À2 (àêñèîìà ñèììåòðè÷íîñòè). Âûèãðûø êàæäîãî èãðîêà íå çàâèñèò îò åãî ïîðÿäêîâîãî íîìåðà, ò.å. x v x vi i( ) ( )( )� � äëÿ ëþáîãî àâòîìîðôèçìà èãðû � (ïåðå- ñòàíîâêà ìíîæåñòâà èãðîêîâ N , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ v T v T( ) ( ( ))� � äëÿ ëþáîé êîàëèöèè T). À3 (àêñèîìà ëèíåéíîñòè). Åñëè � �N v, 1 è � �N v, 2 — êîîïåðàòèâíûå èãðû, òî x v v x v x v( ) ( ) ( )1 2 1 2 � , ãäå x v v( )1 2 — âåêòîð Øåïëè èãðû � �N v v, 1 2 , à x vk( ) — âåêòîð Øåïëè èãðû � �N vk, , k �1 2, . Äëÿ ëþáîé èãðû � �N v, è ëþáîãî ÷èñëà � x v x v( ) ( )� �� . À4 (àêñèîìà «áîëâàíà»). Åñëè èãðîê i N� íå âíîñèò âêëàäa â êàêóþ-ëèáî êî- àëèöèþ T N� , ê êîòîðîé îí ïðèñîåäèíÿåòñÿ, ò.å. v T v T i( ) ( \ )� �{ } 0 � � �T N i T: , òî åãî äîëÿ x vi ( ) � 0. Ñîãëàñíî òåîðåìå Øåïëè [10] åäèíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå x v( ) ñîâîêóïíî- ãî âûèãðûøà v N( ), óäîâëåòâîðÿþùåå àêñèîìàì À1–À4, — ýòî âåêòîð Øåïëè. Ñóùåñòâóþò è äðóãèå õàðàêòåðèçàöèè âåêòîðà Øåïëè [6]. Â ÷àñòíîñòè, âåê- òîð Øåïëè äëÿ èãðû � �N v, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè (\| \| )!(\| \| \| \| )! ( ) minK N K v K xi i KK N � � � � � � � � � � � � � �� 1 1 2 (1) ïðè îãðàíè÷åíèè x v Ni i N� � � ( ) . (2) Äàííîå îïòèìèçàöèîííîå îïðåäåëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî âåêòîð Øåïëè ïðè- íàäëåæèò êëàññó çíà÷åíèé êîîïåðàòèâíûõ èãð òèïà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ [7], ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ðåøåíèÿ àíàëîãè÷íûõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè. ÂÅÊÒÎÐ ØÅÏËÈ Â ÈÃÐÀÕ Ñ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÉ ÊÎÎÏÅÐÀÖÈÅÉ Ñîãëàñíî [1] êîîïåðàòèâíîé èãðîé ñ îãðàíè÷åííîé êîîïåðàöèåé íàçûâàåòñÿ òðîéêà � �N v, , � , ãäå N n� { }1 2, , ,� — êîíå÷íîå ìíîæåñòâî èãðîêîâ, n � 2; � � 2 N — ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ êîàëèöèé; v R: � � — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Èãðîêè êîàëèöèè S N� ìîãóò ñîòðóäíè÷àòü äðóã ñ äðóãîì è ïðèíî- ñèòü âûèãðûø v S( ), òîëüêî åñëè S ��. Èçâåñòíî íåñêîëüêî ìåòîäîâ àäàïòàöèè âåêòîðà Øåïëè ê èãðàì ñ îãðàíè÷åí- íîé êîîïåðàöèåé îáùåãî âèäà, êîòîðûå çàêëþ÷àþòñÿ â äîîïðåäåëåíèè õàðàêòå- ðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè íà âñåõ íåäîïóñòèìûõ êîàëèöèÿõ è ïîñëåäóþùåì ïðèìå- íåíèè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ê ïîëó÷åííîé èãðå ñ ïîëíîé êîîïåðàöèåé [4, 8]. Íàèáîëåå åñòåñòâåííî ìîæíî îáîáùèòü [9] îïòèìèçàöèîííîå îïðåäåëåíèå (1), (2). Â ýòîì ñëó÷àå âåêòîð Øåïëè äëÿ êîîïåðàòèâíîé èãðû ñ îãðàíè÷åííîé êîîïåðà- 118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 öèåé � �N v, , � îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè (\| \| )!(\| \| \| \| )! ( ) minS N S v S xi i KS � � � � � � � � � � � � � �� 1 1 2 � (3) ïðè îãðàíè÷åíèè x v Ni i N� � � ( ). (4) Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîÿñíèòü ñìûñë çàäà÷è (3), (4), ââåäåì äîïîëíèòåëüíûå ïå- ðåìåííûå y xS i i S � � � , S �� , è ïðåäñòàâèì åå â âèäå (\| \| )!(\| \| \| \| )!( ( ) ) minS N S v S yS S � � � � � � � 1 1 2 � (5) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ y xS i i S � � � � 0, S ��, (6) x v Ni i N� � � ( ). (7) Â äàííîé çàäà÷å öåëåâàÿ ôóíêöèÿ (5) ïðè óñëîâèè (7) ìèíèìèçèðóåòñÿ òîëü- êî ïî àðãóìåíòàì yS , ñîîòâåòñòâóþùèì äîïóñòèìûì êîàëèöèÿì S ��. ÈÃÐÀ Ñ ÍÅ×ÅÒÊÈÌ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎÌ ÄÎÏÓÑÒÈÌÛÕ ÊÎÀËÈÖÈÉ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èãðîêè íå ìîãóò ÷åòêî îïðåäåëèòü, êàêèå êîàëèöèè èç ìíî- æåñòâà � � 2 N N\ âñåõ âîçìîæíûõ ìîãóò áûòü äîïóñòèìûìè, à èì èçâåñòíà ëèøü ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè �( )S , S ��, íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ~ ( , ( ))� � � � � S S S� äîïóñòèìûõ êîàëèöèé. Òîãäà âîçíèêàåò êîîïåðàòèâíàÿ èãðà ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ êîàëèöèé, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ òðîéêîé � �N v, , ~ � . Åñëè îáîáùèòü îïòèìèçàöèîííîå îïðåäåëåíèå (5)–(7) âåêòîðà Øåï- ëè â èãðàõ ñ îãðàíè÷åííîé êîîïåðàöèåé íà ýòîò ñëó÷àé, òî ïîëó÷èì çàäà÷ó, êîòîðóþ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: (\| \| )!(\| \| \| \| )!( ( ) ) minS N S v S yS S � � � � � � � 1 1 2 � (8) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ y xS i i S � � � � 0, ( , ( )) ~ S S� �� , (9) x v Ni i N� � � ( ). (10) Çàïèñü âèäà (9) èíòåðïðåòèðóåì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïåðåìåííàÿ yS èìå- åòñÿ âî ìíîæåñòâå àðãóìåíòîâ, ïî êîòîðûì ìèíèìèçèðóåòñÿ öåëåâàÿ ôóíêöèÿ (8) ïðè óñëîâèè (10), ñî ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè �( )S . Äëÿ áîëåå ïîëíîãî ïîíèìà- íèÿ (9) îáîçíà÷èì F x y y xS S S i i S � � � � �{ }( , )\| 0 ìíîæåñòâî âåêòîðîâ ( , )x yS , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ y xS i i S � � � � 0 äëÿ êîàëèöèè S �� . Òîãäà çàïèñü ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 119 âèäà (9) çàäàåò ìíîæåñòâî ~ ~ ( , ( )) ~ F F S S S� � � � � , ãäå ñîãëàñíî [11] ~ ( , ( )) ~ � S S SF � �� — ïåðåñå÷åíèå íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ~ � ÷åòêèõ ìíîæåñòâ FS , êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå÷åòêîå ìíîæåñòâî òèïà 2 (ÍÌÒ-2). ÏÅÐÅÑÅ×ÅÍÈÅ ÍÅ×ÅÒÊÎÃÎ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ×ÅÒÊÈÕ ÌÍÎÆÅÑÒÂ Îïðåäåëèì äàííîå ïîíÿòèå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîäõîäîì, ïðåäëîæåííûì â [11]. Ðàññìîòðèì êîíå÷íóþ ñîâîêóïíîñòü íåêîòîðûõ ÷åòêèõ ìíîæåñòâ FS , S ��, çàäàííûõ â íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå R m , ñ ôóíêöèÿìè ïðèíàäëåæíîñòè (õà- ðàêòåðèñòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè) ñîîòâåòñòâåííî �S S S x x F x F ( ) , , , , � � � � � � 1 0 S �� . Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî x R m� ââåäåì îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ íà ìíî- æåñòâå êîàëèöèé � . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîàëèöèÿ S �� äîìèíèðóåò êîàëèöèþ T �� äëÿ x R m� , è îáîçíà÷àòü ýòî S Tx� , åñëè ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà � �S Tx x( ) ( )� , � �( ) ( )S T� è õîòÿ áû îäíî èç íèõ ñòðîãîå. Îáîçíà÷èì ~( , ) ( ), ( ), , ( ), � � x S S S PO x S PO x � � � � � � 0 ãäå PO x S T S Tx( ) \| /� � � �{ }� �� — ìíîæåñòâî íåäîìèíèðóåìûõ êîàëèöèé ïî îòíîøåíèþ �x äëÿ ôèêñèðîâàííîãî âåêòîðà x R m� . Ïåðåñå÷åíèåì íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ~ � ÷åòêèõ ìíîæåñòâ FS , S ��, ñîãëàñ- íî [11] íàçûâàåòñÿ ~ ~ ( , ( )) ~F F S S S� �� — ÍÌÒ-2, êîòîðîå çàäàåòñÿ ìíîæåñòâîì òðîåê ( , ( , ))x x z� , ãäå x — âåêòîð èç R m ; z — ýëåìåíò ìíîæåñòâà ñòåïåíåé ïðè- íàäëåæíîñòè ÍÌÒ-2 ~ F ; � � � � ( , ) max ~( , )\| ( ) , , ( ) , , x z x S x z S x z S S S S� � � � � � � �� { } 0 �S x z( ) ;! � � " �" x X� ; z �{ }0 1, — ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íåêîòîðîãî íå÷åòêîãî îòîáðàæå- íèÿ ~ #, çàäàþùåãî íå÷åòêóþ ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè ÍÌÒ-2 ~ F . Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè �( , )x z îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò íå÷åò- êîå îòîáðàæåíèå ~ #, êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ÍÌÒ-2 ~ F , äàëåå áóäåì èñïîëüçîâàòü åå. Äëÿ óäîáñòâà (÷òîáû íå ïóòàòü ñ íå÷åòêîé ôóíêöè- åé ïðèíàäëåæíîñòè) íàçîâåì �( , )x z ôóíêöèåé äîñòîâåðíîñòè ÍÌÒ-2 ~ F . Îáîçíà÷èì S T T * max ( )� � Arg � � ìíîæåñòâî êîàëèöèé ñ ìàêñèìàëüíîé ñòå- ïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè ê íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó äîïóñòèìûõ êîàëèöèé. Óïðîñòèòü ïîñòðîåíèå ôóíêöèè äîñòîâåðíîñòè �( , )x z ïîçâîëÿåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, äîêàçàííàÿ â [11]. Òåîðåìà 1. Ïóñòü FS , S ��, — ÷åòêèå ìíîæåñòâà, çàäàííûå â R m ñîîòâåò- ñòâóþùèìè ôóíêöèÿìè ïðèíàäëåæíîñòè �S x( ), S ��; �( )S , S ��, — ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà êîàëèöèé ~ �. Äëÿ òîãî ÷òîáû ÍÌÒ-2 ~ F c ôóíêöèåé äîñòîâåðíîñòè �( , )x z , x R m� , z �{ }0 1, , áûëî ïåðåñå÷åíèåì íå÷åòêî- 120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 ãî ìíîæåñòâà ~ � ÷åòêèõ ìíîæåñòâ FS , S ��, ò.å. ~ ~ ( , ( )) ~F F S S S� �� , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû � � � � � ( , ) max ( )\| ( ) , , ( ) , , , x S x S x S S S S S 0 0 0 0 � � � � � � � �� { } ( ) ,x � � � " �" 1 � � � � ( , ) max ( ), , ( ) , , , ( ) . * * x S S S x S S x S S S 1 1 0 0 � � � � � � � � � ��" �" ÍÅ×ÅÒÊÎÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ ÂÅÊÒÎÐÎÂ ØÅÏËÈ Ïðîäîëæèì ðàññìîòðåíèå èãðû ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ êîàëè- öèé. Íà îñíîâàíèè èçëîæåííûõ âûøå ñîîáðàæåíèé î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî ~ ~ ( , ( )) ~F F S S S� �� äîïóñòèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è (8)–(10) ÿâëÿåòñÿ ÍÌÒ-2, êîòî- ðîå çàäàåòñÿ ôóíêöèåé äîñòîâåðíîñòè �( , , )x y z , x R n� , y R� \| \|� , z �{ }0 1, , ãäå � � ( , , ) max ( )\| , , x y S y x S y x S S i i S S i i S0 0 0 � � ! � � � ! � � � � � � �{ } , , , ,0 0� � � � � � " � " � �S y xS i i S � (11) � � �� ( , , ) max ( ), , , , * * x y S S S y x S S y x S S i i S S 1 0 � � � � � � � � � � � � i i S� � ! � � " � " 0. (12) Îòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå �( , , )x y 0 ìîæíî ïîíèìàòü êàê äîñòîâåðíîñòü íåäî- ïóñòèìîñòè âåêòîðà ( , ) (( ) , ( ) )x y x yi i N S S� � �� â çàäà÷å (8)–(10), cîîòâåòñòâåííî çíà÷åíèå �( , , )x y 1 — êàê äîñòîâåðíîñòü åãî äîïóñòèìîñòè. Â ðåàëüíîé èãðîâîé ñèòóàöèè èãðîêè áóäóò ñòðåìèòüñÿ ìèíèìèçèðîâàòü êðîìå öåëåâîé ôóíêöèè (8) åùå äîñòîâåðíîñòü �( , , )x y 0 íåäîïóñòèìîñòè âåêòîðà ( , )x y â çàäà÷å (8)–(10), à òàêæå ìàêñèìèçèðîâàòü äîñòîâåðíîñòü �( , , )x y 1 åãî äî- ïóñòèìîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïåðåä èãðîêàìè âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ òðåõêðèòåðèàëüíàÿ çàäà÷à: g y S N S v S yS S ( ) (\| \| )!(\| \| \| \| )!( ( ) ) min� � � � � � � � 1 1 2 � , (13) �( , , ) minx y 0 � , (14) �( , , ) maxx y 1 � (15) ïðè îãðàíè÷åíèè x v Ni i N� � � ( ). (16) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 121 Îáîçíà÷èì X ìíîæåñòâî âåêòîðîâ x R n� , óäîâëåòâîðÿþùèõ (16). Òàêæå îáîçíà÷èì SO ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ïî Ñëýéòåðó (ñëàáî îïòèìàëüíûõ ïî Ïà- ðåòî) ðåøåíèé çàäà÷è (13)–(16). Íàïîìíèì, ÷òî âåêòîð ( , )* x y íàçûâàåòñÿ îïòè- ìàëüíûì ïî Ñëýéòåðó ðåøåíèåì çàäà÷è âèäà (13)–(16), åñëè � � � �/ / \| \|x X y R � , äëÿ êîòîðûõ èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: g y g y( ) ( )$ , �( , , )x y 1 % % �( , , )* x y 1 , � �( , , ) ( , , ) x y x y0 0$ . Íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì ðåøåíèé çàäà÷è (8)–(10) íàçîâåì ÍÌÒ-2 ñ ôóíêöèåé äîñòîâåðíîñòè ~ ( , , )� x y z , x X� , y R� \| \|� , z �{ }0 1, , ãäå ~ ( , , ) ( , , ), ( , ) , , ( , ) . � � x y z x y z x y SO x y SO � � � � � � 0 Äëÿ ïîñòðîåíèÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé çàäà÷è (8)–(10) íåîáõîäèìî ðàçðàáîòàòü ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ýëåìåíòîâ åãî íîñèòåëÿ SO. Â îáùåì ñëó÷àå ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ òîãî èëè èíîãî ìåòîäà ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìè- çàöèè, ðåøèâ òðåõêðèòåðèàëüíóþ çàäà÷ó (13)–(16). Îïòèìàëüíîå ïî Ñëåéòåðó ðåøåíèå ( , ) x y çàäà÷è (13)–(16) ïðè óñëîâèÿõ �( , , ) x y 0 0% è �( , , ) x y 1 0% íàçîâåì ÷àñòíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (8)–(10) ñ äîñòîâåðíîñòÿìè �( , , ) x y 0 è �( , , )x y 1 ñîîòâåòñòâåííî åãî íåäîïóñòèìîñòè è äîïóñòèìîñòè. Òðåõêðèòåðèàëüíóþ çàäà÷ó (13)–(16) íåïðîñòî ðåøèòü èç-çà ñëîæíîñòè ôóíêöèè äîñòîâåðíîñòè �( , , )x y z . Ïîýòîìó âîçíèêàåò ïðîáëåìà ðàçðàáîòêè ìåòî- äà åå ðåøåíèÿ, êîòîðûé ïîçâîëèë áû äîñòàòî÷íî ëåãêî íàõîäèòü êàêèå-òî âàðèàíòû åå ðåøåíèÿ. Îáîçíà÷èì � � � � � �{ }T T\| ( ) ìíîæåñòâî êîàëèöèé, èìåþùèõ ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó äîïóñòèìûõ êîàëèöèé ~ � íå áîëåå �( , )0 1 . Òàêæå îáîçíà÷èì: D T x y y x y x S x XT i i T S i i S � � � � % � � � �� ( , ) ( , )\| ; , \ ; { }0 0 � � , T �� , (17) D T x y y x y x S x XT i i T S i i S � � � � � $ � � � �� ( , ) ( , )\| ; , \ ; { }0 0 � � , T �� . (18) Äîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 2. Ïóñòü �( , )0 1 — çàäàííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà. Òîãäà åñëè çàäà÷à min min min ( ), min ( ( , ) ( , ) ( , ) ( , )T x y D T x y D T g y g y � � �� ) � � � & ' ( (19) èìååò îïòèìàëüíîå ðåøåíèå ( , ) x y , òî îíî áóäåò ÷àñòíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (8)–(10) ñ äîñòîâåðíîñòüþ äîïóñòèìîñòè � �max max ( )� �S S � è äîñòîâåðíîñòüþ íåäîïóñòèìîñòè íå áîëåå ÷åì . Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Q x y x y y x S x XS i i S ( ) ( , )\| ( , , ) ; , \ ; � � $ � � � � � � �{ }0 0 0 � � . (20) 122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 Îáîçíà÷èì P D T D T T ( ) ( ( , ) ( , )) � � � � . Îòñþäà ñ ó÷åòîì (17), (18) ïî- ëó÷èì P x y y x y x S x X T T i i T S i i S ( ) ( , ) \| ; , \ ; � � ! � � � � � � � � �� 0 0 � � " �" & ' " (" � � � � � � � � � & ' (� �( , ) \| , \ ;x y y x S x XS i i S 0 � � � � � T T i i T x y y x x X � � � ! � � � � � � � � �� {( , )\| ;0 . (21) Ñíà÷àëà äîêàæåì P Q( ) ( ) � . (22) Ïîêàæåì âêëþ÷åíèå P Q( ) ( ) � . Åñëè P ( ) � �, òî îíî î÷åâèäíî. Ïóñòü ( , ) ( ) x y P� ! � . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ÷òî ( , ) ( ) x y Q� . Òîãäà ñîãëàñ- íî (20) âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ. Â ïåðâîì ñëó÷àå � ( , , ) x y 0 % . Îòñþäà è èç ôîð- ìóëû (11) ïîëó÷èì � � ( , , ) max ( )\| * * x y S y x S S i i S 0 0� � ! % � � � � { } . Òîãäà � �S � �\ , äëÿ êîòîðîé y xS i i S � ! � � 0. Ïîýòîìó ñîãëàñíî (21) ( , ) ( ) x y P� . Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Âî âòîðîì ñëó÷àå � �S � �\ , äëÿ êîòîðîãî y xS i i S � ! � � 0. Îòñþäà è èç (21) ïîëó÷èì ( , ) ( ) x y P� . Òàêæå ïîëó÷èëè ïðî- òèâîðå÷èå. Òàêèì îáðàçîì, ( , ) ( ) x y Q� è ïîýòîìó P Q( ) ( ) � . Ïîêàæåì âêëþ÷åíèå Q P( ) ( ) � . Åñëè Q( ) � �, òî îíî î÷åâèäíî. Ïóñòü ( , ) ( ) x y Q� ! � . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ÷òî ( , ) ( ) x y P� . Òîãäà ñîãëàñ- íî (21) âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ. Â ïåðâîì ñëó÷àå � �S � �\ y xS i i S � ! � � 0. Îòñþ- äà è èç (20) ñëåäóåò, ÷òî ( , ) ( ) x y Q� . Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Âî âòîðîì ñëó- ÷àå ( , ) ( , )\| ; x y x y y x x X T T i i T � � ! � � � � � { }0 . Òîãäà � �T � y xT i i T � � � � 0. Ïîñêîëüêó � � � � � �{ }T T\| ( ) , èç (11) ñëåäóåò, ÷òî ëèáî � �( , , ) max ( ) \| x y S S 0 � �� { , ëèáî �( , , ) x y 0 0� . Â îáoèõ ñëó÷àÿõ ñîãëàñíî (20) ( , ) ( ) x y Q� . Òàêæå ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Òàêèì îáðàçîì, ( , ) ( ) x y P� è ïîýòîìó Q P( ) ( ) � . Ðàâåíñòâî (22) äîêàçàíî. Çàâåðøèì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Èç (22) ñëåäóåò ýêâèâàëåíòíîñòü (19) è çàäà÷è g y x y Q ( ) min ( , ) ( ) � � . (23) Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî çàäàííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà �( , )0 1 , ïðè êîòîðîì çàäà÷à (23) èìååò îïòèìàëüíîå ðåøåíèå, îíî áóäåò ÷àñòíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (8)–(10) ñ äîñòîâåðíîñòüþ äîïóñòèìîñòè � �max max ( )� �S S � è äîñòîâåðíîñòüþ íåäîïóñòèìîñòè íå áîëåå ÷åì . Îáîçíà÷èì ( , ) x y îïòèìàëüíîå ðåøåíèå çà- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 123 äà÷è (23) äëÿ íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ �( , )0 1 . Òîãäà èç (20) è (12) âûòåêàåò � � �( , , ) max ( ) * maxx y S S 1 � � �� . (24) Èç (20) òàêæå ñëåäóåò 0 0$ �� ( , , )* x y . Ïîêàæåì, ÷òî ( , ) x y SO� . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ÷òî ( , ) x y SO� . Òîãäà � ��x X , � �� \| \|y R � , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: g y g y( � ) ( )$ , � �( �, �, ) ( , , )* x y x y1 1% , � �( �, �, ) ( , , ) x y x y0 0$ . Îòñþäà èìååì � � �( �, �, ) ( , , ) * maxx y x y1 1% � . Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå ñ (24). Òàêèì îáðàçîì, ( , )* x y SO� , ïðè÷åì � � �( , , ) max ( ) * maxx y S S 1 � � �� è 0 0$ �� ( , , )* x y . Òåîðåìà äîêàçàíà. Îáîçíà÷èì SO x X y R x y SOx � � � � �{ }\| ( , )\| \|� ìíîæåñòâî ïîäâåêòîðîâ x ýëå- ìåíòîâ ( , )x y íîñèòåëÿ SO íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé çàäà÷è (8)–(10). Èç ïî- ñòðîåíèÿ ýòîé çàäà÷è è ñîãëàñíî ïðèíöèïó îáîáùåíèÿ L. Zadeh [12, 13] ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ìíîæåñòâî âåêòîðîâ Øåïëè êîîïåðàòèâíîé èãðû G ñ íå÷åò- êèì ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ êîàëèöèé òàêæå îáðàçóåò ÍÌÒ-2, íî ñ íîñèòåëåì SOx è ôóíêöèåé äîñòîâåðíîñòè � ( , ) max ( , , )\| ( , ) , , , , x z x y z x y SO x SO x SO y x x � � � � � � " �" { } 0 ãäå x X� , z �{ }0 1, . Çäåñü ( , )x 0 ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê äîñòîâåðíîñòü íåïðèíàäëåæ- íîñòè x xi i N� �( ) ìíîæåñòâó âåêòîðîâ Øåïëè êîîïåðàòèâíîé èãðû G ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ êîàëèöèé, à ( , )x 1 — êàê äîñòîâåðíîñòü ïðèíàäëåæíîñòè. Âåêòîð x SOx � íàçîâåì ÷àñòíûì çíà÷åíèåì âåêòîðà Øåïëè â êîîïåðàòèâ- íîé èãðå G ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ êîàëèöèé ñ äîñòîâåðíîñòÿìè ( , )x 0 è ( , )x 1 ñîîòâåòñòâåííî åãî íåïðèíàäëåæíîñòè è ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâó âåêòîðîâ Øåïëè. ÏÐÎÖÅÄÓÐÀ ÏÎÑÒÐÎÅÍÈß ×ÀÑÒÍÛÕ ÇÍÀ×ÅÍÈÉ ÂÅÊÒÎÐÀ ØÅÏËÈ Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 2 äîñòàòî÷íî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ: — âûáðàòü ÷èñëî �( , )0 1 , êîòîðîå ñîãëàñíî òåîðåìå 2 õàðàêòåðèçóåò ìàêñè- ìàëüíóþ äîñòîâåðíîñòü íåïðèíàäëåæíîñòè íàéäåííîãî ðåøåíèÿ ìíîæåñòâó âåêòî- ðîâ Øåïëè êîîïåðàòèâíîé èãðû G ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ êîàëèöèé; — ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî êîàëèöèé � � � � � �{ }S S\| ( ) , èìåþùèõ ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè ê äîïóñòèìûì êîàëèöèÿì íå áîëåå �( , )0 1 ; — äëÿ êàæäîé êîàëèöèè T �� ðåøèòü çàäà÷ó (\| \| )!(\| \| \| \| )!( ( ) ) minS N S v S yS S � � � � � � � 1 1 2 � (25) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ y xS i i S � � � � 0, S �� \ , (26) y xT i i T � % � � 0, (27) x v Ni i N� � � ( ) (28) 124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 è çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè (25) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (26), (28), à òàêæå óñëîâèè y xT i i T � � � 0; ðåøåíèå êàæäîé çàäà÷è, åñëè îíî ñóùåñòâóåò, îáîçíà÷èì ñîîò- âåòñòâåííî ( , )( ) ( )x yT T è ( , )( ) ( )x yT T � � , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûáèðàåì äðóãóþ êîàëèöèþ — T �� ; — èç ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé ( , )( ) ( )x yT T , ( , )( ) ( )x yT T � � , T �� , âûáèðàåì ðåêîðä- íîå çíà÷åíèå ( �, � )x y ïî öåëåâîé ôóíêöèè, ò.å. ( �, � )x y � � �arg { }min min ( ), ( )( ) ( ) T T Tg y g y � . ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â ðàáîòå îïèñàíû êîíöåïöèÿ ìíîæåñòâà âåêòîðîâ Øåïëè â êîîïåðàòèâíûõ èã- ðàõ ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ êîàëèöèé è ìåòîä åãî ïîñòðîåíèÿ. Ñîãëàñíî ïðåäëîæåííîìó ïîäõîäó ýòî ìíîæåñòâî ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ÍÌÒ-2, ïîëó÷åííîå â ðåçóëüòàòå ðåàëèçàöèè îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè — ïåðåñå÷å- íèÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Îñîáåííîñòü òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ â òîì, ÷òî ýëåìåíòû íîñèòåëÿ ìíîæåñòâà (÷àñòíûå ðåøåíèÿ Øåïëè) õàðàêòå- ðèçóþòñÿ äâóìÿ ïîêàçàòåëÿìè: äîñòîâåðíîñòüþ èõ ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâó âåêòîðîâ Øåïëè è äîñòîâåðíîñòüþ íåïðèíàäëåæíîñòè. Ñàì íîñèòåëü ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ïîäâåêòîðîâ îïòèìàëüíûõ ïî Ñëåéòåðó ðåøåíèé òðåõêðèòåðèàëü- íîé çàäà÷è îïòèìèçàöèè. Ðàçðàáîòàí ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé íàõîäèòü ÷àñòíûå çíà÷åíèÿ âåêòîðîâ Øåïëè ñ ìàêñèìàëüíîé äîñòîâåðíîñòüþ èõ ïðèíàäëåæíîñ- òè ìíîæåñòâó âåêòîðîâ Øåïëè è äîñòîâåðíîñòüþ íåïðèíàäëåæíîñòè íå áîëåå çàäàííîãî ÷èñëà. Ïðåäëîæåííûé ïîäõîä ðàñøèðÿåò îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ òåî- ðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ â êîîïåðàòèâíûõ èãðàõ ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì äî- ïóñòèìûõ êîàëèöèé è ìîæåò ãåíåðèðîâàòü íîâûå ïîäõîäû ê ðåøåíèþ äðóãèõ ïîñòàíîâîê èãðîâûõ çàäà÷ ñ íå÷åòêîé ñòðóêòóðîé. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Myerson R.B. Graphs and cooperation in games. Mathematics of Operations Research. 1977. Vol. 2. P. 225–229. 2. Borm P., Owen G., Tijs S. On the position value for communication situations. SIAM Journal on Discrete Mathematics. 1992. Vol. 5. P. 305–320. 3. Algaba E., Bilbao J.M., Borm P., L�pez J.J. The Myerson value for union stable structure. Mathematical Methods of Operations Research. 2001. Vol. 54. P. 359–371. 4. Algaba E., Bilbao J.M., van den Brink R., Jim�nez-Losada A. An axiomatization of the Banzhaf value for cooperative games on antimatroids. Mathematical Methods of Operations Research. 2004. Vol. 59. P. 147–166. 5. Êàöåâ È.Â., ßíîâñêàÿ Å.Á. Ïðîìåæóòî÷íûå ìåæäó ïðåä k- è ïðåä n-ÿäðàìè ðåøåíèÿ êîîïåðà- òèâíûõ èãð. Óïðàâëåíèå áîëüøèìè ñèñòåìàìè. 2009. Ò. 26-1. Ñ. 32–54. 6. Charnes A., Golany B., Keane M., Rousseau J. Extremal principle solutions of games in characteristic function form: core, Chebyshev and Shapley value generalizations. In: Econometrics of planning and efficiency. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 1988. P. 123–133. 7. Ruiz L.M., Valenciano F., Zarzuelo J.M. The family of least square values for transferable utility games. Games and Economic Behavior. 1998. Vol. 24. P. 109–130. 8. Derks J., Peters H. A Shapley value for games with restricted coalitions. Int. J. Game Theory. 1993. Vol. 21. P. 351–360. 9. Katsev I.V. The least square values for games with restricted cooperation (July 22, 2013). URL: http://ssrn.com.secure.sci-hub.bz/abstract=2364998. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3 125 10. Shapley L. S. A value for N -person games. In: Contributions to the Theory of Games. Vol II. Princeton: Princeton University Press, 1953. P. 307–317. 11. Ìàùåíêî Ñ.Î. Çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ îãðàíè÷åíèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2013. ¹ 1. Ñ. 62–68. 12. Ñåìåíîâà Í.Â., Êîëå÷êèíà Ë.Í., Íàãîðíàÿ À.Í. Âåêòîðíûå çàäà÷è îïòèìèçàöèè ñ ëèíåéíûìè êðèòåðèÿìè íà íå÷åòêî çàäàííîì êîìáèíàòîðíîì ìíîæåñòâå àëüòåðíàòèâ. Êèáåðíåòèêà è ñèñ- òåìíûé àíàëèç. 2011. ¹ 2. Ñ. 88–99. 13. Zadeh L. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning-I. Information Sciences. 1975. Vol. 8. P. 199–249. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 06.12.2016 Ñ.Î. Ìàùåíêî, Â.². Ìîðåíåöü ÂÅÊÒÎÐ ØÅÏË² ÊÎÎÏÅÐÀÒÈÂÍÎ¯ ÃÐÈ Ç ÍÅ×²ÒÊÎÞ ÌÍÎÆÈÍÎÞ ÄÎÏÓÑÒÈÌÈÕ ÊÎÀË²Ö²É Àíîòàö³ÿ. Äîñë³äæóºòüñÿ âåêòîð Øåïë³ â êîîïåðàòèâí³é ãð³ ç íå÷³òêîþ ìíîæèíîþ äîïóñòèìèõ êîàë³ö³é. Ïîêàçàíî, ùî ìíîæèíà éîãî çíà÷åíü º íå÷³òêîþ ìíîæèíîþ òèïó 2 (íå÷³òêà ìíîæèíà, ôóíêö³ÿ íàëåæíîñò³ ÿêî¿ ïðèéìàº íå÷³òê³ çíà÷åííÿ) ñïåö³àëüíîãî âèãëÿäó. Ïîáóäîâàíî ôóíêö³þ íà- ëåæíîñò³. Åëåìåíòè íîñ³ÿ ö³º¿ ìíîæèíè âèçíà÷åí³ ÿê ÷àñòèíí³ çíà÷åííÿ âåê- òîðà Øåïë³. Çàïðîïîíîâàíî ïðîöåäóðó ¿õíüî¿ ïîáóäîâè ç ìàêñèìàëüíîþ äîñòîâ³ðí³ñòþ íàëåæíîñò³ ìíîæèí³ âåêòîð³â Øåïë³ òà äîñòîâ³ðí³ñòþ íåíà- ëåæíîñò³, ÿêà íå ïåðåâèùóº çàäàíî¿ âåëè÷èíè. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: íå÷³òêà ìíîæèíà, íå÷³òêà ìíîæèíà òèïó 2, âåêòîð Øåïë³, êîîïåðàòèâí³ ³ãðè. S.O. Mashchenko, V.I. Morenets SHAPLEY VALUE OF A CO-OPERATIVE GAME WITH A FUZZY SET OF FEASIBLE COALITIONS Abstract. The present paper investigates Shapley value of a co-operative game with a fuzzy set of feasible coalitions. It is shown that the set of its values is a type-2 fuzzy set (a fuzzy set whose membership function takes fuzzy values) of special type. Furthermore, the corresponding membership function is given. Elements of the support of this set are defined as particular Shapley values. We also propose the procedure of constructing these elements with maximal reliability of their membership and reliability of non membership, not exceeding a given threshold. Keywords: fuzzy set, type 2 fuzzy set, Shapley value, co-operative games. Ìàùåíêî Ñåðãåé Îëåãîâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: s.o.mashchenko@gmail.com. Ìîðåíåö Âëàäèìèð Èãîðåâè÷, àñïèðàíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: v.i.morenets@gmail.com. 126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 3

Вектор Шепли кооперативной игры с нечетким множеством допустимых коалиций

Institution

Ähnliche Einträge