Асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами

Асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами

Предложена модель системы обслуживания-запасания с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами, в которой время обслуживания заявок — положительная случайная величина. Сервер уходит на прогулку в случае отсутствия запасов и/или очереди заявок. По окончании прогулки он немедленно начинает обсл...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2017
Автори: Королюк, В.С., Меликов, А.З., Пономаренко, Л.А., Рустамов, А.М.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Назва видання:Кибернетика и системный анализ
Теми:
Системний аналіз
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144773
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами / В.С. Королюк, А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, А.М. Рустамов // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 59–70. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-144773
record_format dspace
spelling irk-123456789-1447732019-01-04T01:23:16Z Асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами Королюк, В.С. Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Рустамов, А.М. Системний аналіз Предложена модель системы обслуживания-запасания с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами, в которой время обслуживания заявок — положительная случайная величина. Сервер уходит на прогулку в случае отсутствия запасов и/или очереди заявок. По окончании прогулки он немедленно начинает обслуживание заявок при наличии запасов; иначе сервер возвращается в режим ожидания. Заявки в очереди являются «нетерпеливыми», и пополнение запаса осуществляется согласно политике двух уровней. Разработан метод асимптотического анализа системы. Приведены результаты численных экспериментов. Запропоновано модель системи обслуговування-запасання із сервером на «прогулянці» і швидкопсувними запасами, в якій час обслуговування вимог є додатною випадковою величиною. Сервер йде на прогулянку за відсутності запасів і/або черги вимог. Після закінчення прогулянки він негайно починає обслуговування вимог при наявності запасів; інакше сервер повертається у режим очікування. Вимоги у черзі є «нетерплячими», і поповнення запасів здійснюється згідно з політикою двох рівнів. Розроблено метод асимптотичного аналізу системи. Наведено результати чисельних експериментів. The authors propose a model of queueing-inventory system with perishable inventory and server vacations in which service times are positive random quantities. Server takes vacations if either inventory level is zero or queue is empty or both cases happen. At the end of vacation, server immediately starts serving the calls if inventory level is not zero; otherwise it takes new vacation. Calls in the queue are impatient and restocking follows the two-level policy. The method of asymptotic system analysis is developed and results of numerical experiments are presented. 2017 Article Асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами / В.С. Королюк, А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, А.М. Рустамов // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 59–70. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144773 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Системний аналіз
Системний аналіз
spellingShingle Системний аналіз
Системний аналіз
Королюк, В.С.
Меликов, А.З.
Пономаренко, Л.А.
Рустамов, А.М.
Асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами
Кибернетика и системный анализ
description Предложена модель системы обслуживания-запасания с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами, в которой время обслуживания заявок — положительная случайная величина. Сервер уходит на прогулку в случае отсутствия запасов и/или очереди заявок. По окончании прогулки он немедленно начинает обслуживание заявок при наличии запасов; иначе сервер возвращается в режим ожидания. Заявки в очереди являются «нетерпеливыми», и пополнение запаса осуществляется согласно политике двух уровней. Разработан метод асимптотического анализа системы. Приведены результаты численных экспериментов.
format Article
author Королюк, В.С.
Меликов, А.З.
Пономаренко, Л.А.
Рустамов, А.М.
author_facet Королюк, В.С.
Меликов, А.З.
Пономаренко, Л.А.
Рустамов, А.М.
author_sort Королюк, В.С.
title Асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами
title_short Асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами
title_full Асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами
title_fullStr Асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами
title_full_unstemmed Асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами
title_sort асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2017
topic_facet Системний аналіз
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144773
citation_txt Асимптотический анализ системы с сервером на «прогулке» и скоропортящимися запасами / В.С. Королюк, А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, А.М. Рустамов // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 59–70. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
series Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv AT korolûkvs asimptotičeskijanalizsistemysserveromnaprogulkeiskoroportâŝimisâzapasami
AT melikovaz asimptotičeskijanalizsistemysserveromnaprogulkeiskoroportâŝimisâzapasami
AT ponomarenkola asimptotičeskijanalizsistemysserveromnaprogulkeiskoroportâŝimisâzapasami
AT rustamovam asimptotičeskijanalizsistemysserveromnaprogulkeiskoroportâŝimisâzapasami
first_indexed 2025-07-10T20:06:49Z
last_indexed 2025-07-10T20:06:49Z
_version_ 1837291829106573312
fulltext ÓÄÊ 519.21 Â.Ñ. ÊÎÐÎËÞÊ, À.Ç. ÌÅËÈÊÎÂ, Ë.À. ÏÎÍÎÌÀÐÅÍÊÎ, À.Ì. ÐÓÑÒÀÌΠÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÑÅÐÂÅÐÎÌ ÍÀ «ÏÐÎÃÓËÊÅ» È ÑÊÎÐÎÏÎÐÒßÙÈÌÈÑß ÇÀÏÀÑÀÌÈ Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåíà ìîäåëü ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ-çàïàñàíèÿ ñ ñåðâå- ðîì íà «ïðîãóëêå» è ñêîðîïîðòÿùèìèñÿ çàïàñàìè, â êîòîðîé âðåìÿ îáñëó- æèâàíèÿ çàÿâîê — ïîëîæèòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ñåðâåð óõîäèò íà ïðîãóëêó â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ çàïàñîâ è/èëè î÷åðåäè çàÿâîê. Ïî îêîí÷àíèè ïðîãóëêè îí íåìåäëåííî íà÷èíàåò îáñëóæèâàíèå çàÿâîê ïðè íàëè÷èè çàïà- ñîâ; èíà÷å ñåðâåð âîçâðàùàåòñÿ â ðåæèì îæèäàíèÿ. Çàÿâêè â î÷åðåäè ÿâëÿ- þòñÿ «íåòåðïåëèâûìè», è ïîïîëíåíèå çàïàñà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñîãëàñíî ïî- ëèòèêå äâóõ óðîâíåé. Ðàçðàáîòàí ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîãî àíàëèçà ñèñòåìû. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèñòåìà îáñëóæèâàíèÿ-çàïàñàíèÿ, «ïðîãóëêà» ñåðâåðà, ïîëèòèêà äâóõ óðîâíåé, ñêîðîïîðòÿùèåñÿ çàïàñû. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â áîëüøèíñòâå ðàáîò ïî èçó÷åíèþ ìîäåëåé ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ-çàïàñàíèÿ (Queueing-Inventory Systems, QIS) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çàïàñû â íèõ äîëãîâå÷- íû, ò.å. íèêîãäà íå ïîðòÿòñÿ. Îäíàêî âî ìíîãèõ QIS âðåìÿ ïðèãîäíîñòè çà- ïàñîâ — êîíå÷íàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàÿ (ñ.â.). Îíè íàçûâàþòñÿ ñèñòåìàìè îáñëóæèâàíèÿ-çàïàñàíèÿ ñî ñêîðîïîðòÿùèìèñÿ ïðîäóêòàìè (Perishable Queueing-Inventory System, PQIS). Ïðèìåðàìè òàêèõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ áàíêè êðîâè, ñèñòåìû îáðàáîòêè óñòàðåâøåé èíôîðìàöèè, îáåñïå÷åíèÿ ïðîäóêòàìè ïèòàíèÿ è ò.ä. Îáçîð èçâåñòíûõ ðàáîò, ïîñâÿùåííûõ ðàññìîòðåíèþ ìîäåëåé PQIS, ïðèâåäåí â [1–3].  íåêîòîðûõ QIS ïî çàâåðøåíèè îáñëóæèâàíèÿ î÷åðåäíîé çàÿâêè ñåðâåð â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ î÷åðåäè èëè çàïàñîâ «óõîäèò» èç ñèñòåìû. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî òàêàÿ ñõåìà îáñëóæèâàíèÿ âûãîäíåå ñ ýêîíîìè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèìè ñõåìàìè, ïîñêîëüêó ÷àñòî íåò íåîáõîäèìîñòè «ñî- äåðæàòü» ñåðâåð, êîòîðûé ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ âûïîëíåíèÿ äðóãèõ ðàáîò.  êëàññè÷åñêîé òåîðèè ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ òàêèå ìîäåëè íàçûâàþò- ñÿ ìîäåëÿìè ñ ñåðâåðîì íà «ïðîãóëêå», è îíè äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî èçó÷åíû [4–6]. Âìåñòå ñ òåì ìîäåëè QIS ñ ñåðâåðîì â òàêîì ðåæèìå ìàëî èññëåäîâàíû.  äî- ñòóïíîé ëèòåðàòóðå èçâåñòíû ðàáîòû [7–15], ïîñâÿùåííûå ýòèì ìîäåëÿì. Ðàñ- ñìîòðèì êðàòêî ïîëó÷åííûå â íèõ ðåçóëüòàòû. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Âïåðâûå ìîäåëü PQIS ñ ñåðâåðîì â ðåæèìå «ïðîãóëêè» èññëåäîâàëàñü â ñòàòüå [7], â êîòîðîé ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñåðâåð óõîäèò íà ïðîãóëêó, ò.å. ïðåðûâàåò îáñëóæèâàíèå, òîëüêî òîãäà, êîãäà óðîâåíü çàïàñîâ ðàâåí íóëþ. Ïðè ýòîì çàÿâêè, ïîñòóïèâøèå â ïåðèîä îòñóòñòâèÿ çàïàñîâ, òåðÿþòñÿ. Ñ èñ- ïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ òåîðèè âîññòàíîâëåíèÿ íàéäåíû âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ìîäåëè. Äîñòàòî÷íî ñëîæíàÿ ìîäåëü QIS ñ äîëãîâå÷íûìè çàïàñàìè èçó÷åíà â ðàáî- òå [8].  íåé ïîòîê çàÿâîê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ïîñòóïëåíèÿ (MAP-ïîòîê), âðåìåíà ïðîãóëêè ñåðâåðà è âûïîëíåíèÿ çàêàçà — íåçàâèñè- ìûå ñ.â., êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ (ô.ð.) ôàçîâîãî òèïà. Åñëè ïîñëå çàâåðøåíèÿ ïðîãóëêè ñåðâåðà â ñèñòåìå îòñóòñòâóþò çàÿâêè è/èëè çà- ïàñû, òî îí ìãíîâåííî óõîäèò íà ñëåäóþùóþ ïðîãóëêó (ìíîãîêðàòíàÿ ïðîãóëêà); èíà÷å ñåðâåð ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíûì äëÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê.  ñèñòåìå èñïîëü- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 59 � Â.Ñ. Êîðîëþê, À.Ç. Ìåëèêîâ, Ë.À. Ïîíîìàðåíêî, À.Ì. Ðóñòàìîâ, 2017 çóåòñÿ ( , )s S -ïîëèòèêà ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ, ò.å. êîãäà óðîâåíü çàïàñîâ â íåé ñòà- íîâèòñÿ ìåíüøèì èëè ðàâíûì íåêîòîðîé ïîðîãîâîé âåëè÷èíå s (îíà òàêæå íàçû- âàåòñÿ òî÷êîé çàêàçà), îòïðàâëÿåòñÿ çàêàç íà îñíîâíîé ñêëàä íà ïîñòàâêó çàïàñîâ îáúåìîì S s� , ãäå S — ðàçìåð ñêëàäà ñèñòåìû. Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ øåñòèìåðíîé öåïüþ Ìàðêîâà (Six Dimensional Markov Chain, 6-D MC).  ðàáîòå íàéäåíî óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà â ýòîé öåïè è ðàçðàáîòà- íà âû÷èñëèòåëüíàÿ ïðîöåäóðà äëÿ íàõîæäåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ñèñòåìû, ÷åðåç êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ åå õàðàêòåðèñòèêè. Ìîäåëü PQIS ñ ( , )s S -ïîëèòèêîé ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ è ïîâòîðíûìè çàÿâêàìè èçó÷åíà â [9], ãäå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îáñëóæèâàíèå çàÿâêè îñóùåñòâëÿåòñÿ ìãíîâåííî è ñåðâåð óõîäèò íà ïðîãóëêó ëèøü ïðè íóëåâîì óðîâíå çàïàñîâ ñèñòå- ìû. Âñå ñ.â., èñïîëüçîâàííûå â ôîðìóëèðîâêå ìîäåëè, èìåþò ô.ð. ïîêàçàòåëüíî- ãî âèäà. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ôàêòà ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ 3-D MC; â ðàáîòå íàéäåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà â ýòîé öåïè. Ïîäîáíàÿ ìîäåëü PQIS ñ îãðàíè÷åííûì áóôåðîì äëÿ îæèäàíèÿ çàÿâîê ðàññìîòðåíà â [10]. Îäíàêî â îòëè÷èå îò [9] â íåé ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé ñ.â. ñ ïîêàçàòåëüíîé ô.ð. Äðóãàÿ îñîáåííîñòü äàííîé ñèñòåìû ñîñòîèò â òîì, ÷òî îáñëóæèâàíèå çàÿâîê ïðåêðàùàåòñÿ, åñëè óðîâåíü çà- ïàñîâ îïóñêàåòñÿ íèæå òî÷êè çàêàçà s. Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ 4-D MC; ðàçðàáîòàí àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé, à òàêæå íàéäåíû åå ñòîèìîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè.  ðàáîòå [11] èçó÷åíà ìîäåëü PQIS ñ íóëåâûì âðåìåíåì ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ è ïîëîæèòåëüíûì âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ, ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ ( , )0 S -ïîëèòè- êà ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ.  îòëè÷èå îò ðàáîò [7–10] ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñåðâåð óõîäèò íà ìíîãîêðàòíóþ ïðîãóëêó, åñëè ïî çàâåðøåíèè îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè î÷åðåäü îêàçûâàåòñÿ ïóñòîé. Çàÿâêè ìîãóò îáðàçîâàòü î÷åðåäü êîíå÷íîé äëèíû, ïðè ýòîì îíè ÿâëÿþòñÿ «íåòåðïåëèâûìè».  [12] èññëåäîâàíà áîëåå ñëîæíàÿ ìî- äåëü QIS ñ äîëãîâå÷íûìè çàïàñàìè, ïîëîæèòåëüíûì âðåìåíåì âûïîëíåíèÿ çàêà- çà è ïîâòîðíûìè çàÿâêàìè. Èñïîëüçóåòñÿ ( , )s S -ïîëèòèêà ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ è ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñåðâåð óõîäèò íà ìíîãîêðàòíóþ ðàáî÷óþ ïðîãóëêó (Working Vacations), åñëè ïî îêîí÷àíèè îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè î÷åðåäü ïóñòàÿ è/èëè óðî- âåíü çàïàñîâ íóëåâîé (â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé ñõåìû ïðîãóëêè ñåðâåð, íàõî- äÿñü íà ðàáî÷åé ïðîãóëêå, ìîæåò îáñëóæèâàòü çàÿâêè, íî ñ ìåíüøåé èíòåíñèâ- íîñòüþ, ÷åì â îáû÷íîì ðåæèìå [16, 17]). Àíàëîãè÷íàÿ [12] ìîäåëü ðàññìîòðåíà â ðàáîòå [13]. Íî â îòëè÷èå îò [12] â íåé ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñåðâåð íåíàäåæåí, ïðè ýòîì åãî îòêàçû îáðàçóþò ïóàññîíîâñêèé ïîòîê è âðåìÿ âîññòàíîâëåíèÿ èìå- åò ïîêàçàòåëüíóþ ô.ð. Êðîìå òîãî, ïîñëå çàâåðøåíèÿ ïåðèîäà ïðîãóëêè ñåðâåð íà÷èíàåò îáñëóæèâàíèå çàÿâîê òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ êîëè÷åñòâî â î÷åðåäè ïðå- âûøàåò íåêîòîðîå ïîðîãîâîå çíà÷åíèå. Ðàçðàáîòàí àëãîðèòì ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ 4-D MC, îïèñûâàþùåãî ôóíêöèîíèðîâàíèå ñèñòåìû. Ìîäåëü PQIS ñ ( , )s S -ïîëèòèêîé ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ, ïîâòîðíûìè çàÿâêàìè è äâóìÿ ðàçíîòèïíûìè ñåðâåðàìè èçó÷åíà â ðàáîòå [14], â êîòîðîé ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îäèí èç íèõ âñåãäà äîñòóïåí, à äðóãîé ìîæåò óõîäèòü íà ïðîãóëêó, åñëè óðî- âåíü çàïàñîâ îêàçûâàåòñÿ ìåíüøèì èëè ðàâíûì åäèíèöå. Âðåìåíà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê, âûïîëíåíèÿ çàêàçà è æèçíè çàïàñîâ — íåçàâèñèìûå ïîëîæèòåëüíûå ñ.â. ñ ïîêàçàòåëüíûìè ô.ð. Ðàçðàáîòàí àëãîðèòì ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî 4-D MC è âû÷èñëåíû ñòîèìîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû.  ðàáîòå [15] ðàññìîòðåíû äâà òèïà ìîäåëåé QIS ñ ïîâòîðíûìè çàÿâêàìè, îò- ëè÷àþùèåñÿ ñõåìîé óõîäà ñåðâåðà íà ïðîãóëêó. Ââîäèòñÿ íîâàÿ ñõåìà: êîãäà ñêëàä ñèñòåìû ïîëíîñòüþ îñâîáîæäàåòñÿ, íà÷èíàåòñÿ ïåðèîä ïðîñòîÿ ñåðâåðà. Åñëè â ýòî âðåìÿ çàïàñû ïîïîëíÿþòñÿ, òî îí ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíûì; èíà÷å óõîäèò íà ïðîãóëêó. Åñëè ïî îêîí÷àíèè ïðîãóëêè â ñèñòåìå èìåþòñÿ çàïàñû, òî ñåðâåð ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíûì, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îí óõîäèò íà ñëåäóþùóþ ïðîãóëêó. Ýòà ñõåìà íàçûâàåòñÿ ìîäèôèöèðîâàííîé ìíîãîêðàòíîé ïðîãóëêîé ñåðâåðà.  äðóãîé ñõåìå, êîãäà ñêëàä ñèñòåìû îñâîáîæäàåòñÿ, ñåðâåð óõîäèò íà ïðîãóëêó, 60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 à ïî åå çàâåðøåíèè ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíûì íåçàâèñèìî îò òîãî, âûïîëíåí çàêàç èëè íåò. Ýòà ñõåìà íàçûâàåòñÿ îäèíàðíîé ïðîãóëêîé ñåðâåðà. Äëÿ îáåèõ ñõåì ïðîãóëêè ñåðâåðà íàéäåíû ñòàöèîíàðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ 3-D MC, âû÷èñëåíû îïåðàöèîííûå è ñòîèìîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòàõ [7–15] èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ìîäèôèêàöèè ìàò- ðè÷íî-ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåòîäà Íüþòñà [18] äëÿ ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñ- òåé ñîñòîÿíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîãîìåðíûõ öåïåé Ìàðêîâà, ò.å. ðàçðàáîòàííûå àëãîðèòìû òðåáóþò ìíîãîêðàòíîãî âû÷èñëåíèÿ îáðàòíûõ ìàòðèö áîëüøîé ðàç- ìåðíîñòè. Êàê îòìå÷àþò àâòîðû óêàçàííûõ ðàáîò, ýòè àëãîðèòìû ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíû äëÿ ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè èç-çà âû÷èñëèòåëüíîé íåñòàáèëüíîñòè âñëåäñòâèå ïëîõîé îáóñëîâëåííîñòè èñïîëüçóåìûõ ìàòðèö áîëüøîé ðàçìåðíîñòè. Êðîìå òîãî, â [7–15] ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èíòåíñèâíîñòè ïîòåðè çàÿâîê èç-çà èõ íåòåðïåëèâîñòè, à òàêæå âðåìÿ âûïîëíåíèÿ çàêàçà — ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû. Îäíàêî î÷åâèäíî, ÷òî îíè ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò ñòàòóñà ñåðâåðà, à òàêæå äëè- íû î÷åðåäè çàÿâîê. Ïîýòîìó â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäëîæåíà ìîäåëü PQIS ñ ñåð- âåðîì íà ïðîãóëêå, ó÷èòûâàþùàÿ ýòè ìîìåíòû è áîëåå àäåêâàòíî îïèñûâàþùàÿ ðàáîòó ðåàëüíûõ ñèñòåì. Äëÿ ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê ìîäåëè ðàçðàáîòàí ýôôåê- òèâíûé ÷èñëåííûé ìåòîä, îñíîâàííûé íà èåðàðõè÷åñêîì óêðóïíåíèè ñîñòîÿíèé 3-D MC [19]. Ðàíåå ìåòîä óêðóïíåíèÿ ñîñòîÿíèé 2-D MC èñïîëüçîâàëñÿ äëÿ àíàëèçà ìîäåëåé QIS è PQIS ñ «íåïîäâèæíûì» ñåðâåðîì ñîîòâåòñòâåííî â ðàáîòàõ [20, 21]. ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÌÎÄÅËÈ PQIS Ñ ÑÅÐÂÅÐÎÌ ÍÀ ÏÐÎÃÓËÊÅ Ñèñòåìà èìååò ñêëàä îãðàíè÷åííîãî îáúåìà è ñîäåðæèò îäèí ñåðâåð äëÿ îá- ñëóæèâàíèÿ çàÿâîê. Åñëè ïî çàâåðøåíèè ðàáîòû ñåðâåðà â ñèñòåìå èìååòñÿ õîòÿ áû îäíà çàÿâêà, òî îíà íåìåäëåííî âûáèðàåòñÿ äëÿ îáñëóæèâàíèÿ; èíà÷å ñåðâåð óõîäèò íà ïðîãóëêó, äëèòåëüíîñòü êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ñ.â., èìåþùåé ïî- êàçàòåëüíóþ ô.ð. Îí òàêæå ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå îæèäàíèÿ ñ òåì æå ïàðàìåò- ðîì, åñëè â ìîìåíò çàâåðøåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè óðîâåíü çàïàñîâ ñèñòåìû ðà- âåí íóëþ. Ïî îêîí÷àíèè ïðîãóëêè ñåðâåð ìãíîâåííî ïðèñòóïàåò ê îáñëóæèâàíèþ î÷åðåäíîé çàÿâêè, åñëè â ýòîò ìîìåíò â ñèñòåìå èìåþòñÿ çàïàñû; èíà÷å, ò.å. åñëè â ýòîò ìîìåíò â ñèñòåìå íåò çàïàñîâ è/èëè â î÷åðåäè íåò õîòÿ áû îäíîé çàÿâêè, îí ñíîâà óõîäèò íà ïðîãóëêó, äëèòåëüíîñòü êîòîðîé èìååò òî æå ðàñïðåäåëåíèå. Âõîäÿùèé ïîòîê çàÿâîê ÿâëÿåòñÿ ïóàññîíîâñêèì, ïðè ýòîì ïîñòóïèâøèå çà- ÿâêè íåçàâèñèìî îò ñîñòîÿíèÿ ñåðâåðà ïðèíèìàþòñÿ â î÷åðåäü è îáñëóæèâàþòñÿ â ïîðÿäêå èõ ïîñòóïëåíèÿ. Âðåìåíà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê — íåçàâèñèìûå è îäè- íàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñ.â. ñ îáùåé ïîêàçàòåëüíîé ô.ð. Çàÿâêè ÿâëÿþòñÿ íåòåð- ïåëèâûìè ëèøü âî âðåìÿ èõ îæèäàíèÿ â î÷åðåäè, ò.å. çàÿâêà, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ â ñåðâåðå, àáñîëþòíî òåðïåëèâàÿ. Äîïóñòèìûå âðåìåíà îæèäàíèÿ çàÿâîê â î÷åðå- äè — íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñ.â., èìåþùèå ïîêàçàòåëüíóþ ô.ð.; ïðè ýòîì èõ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ çàâèñÿò îò ñòàòóñà ñåðâåðà. Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäàÿ çàÿâêà òðåáóåò çàïàñ åäèíè÷íîãî ðàçìåðà, èíûìè ñëîâàìè, ïîñëå çàâåðøåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè óðîâåíü çàïàñîâ íà ñêëàäå óìåíüøàåòñÿ íà åäèíèöó. Êàæäàÿ åäèíèöà çàïàñà íåçà- âèñèìî îò îñòàëüíûõ ñòàíîâèòñÿ íåïðèãîäíîé äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïîñëå ñëó÷àé- íîãî âðåìåíè, êîòîðîå èìååò ïîêàçàòåëüíóþ ô.ð. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çàïàñ, êîòîðûé óæå íàõîäèòñÿ íà ýòàïå âûäà÷è ïî çàÿâêå, íå ìîæåò èñïîðòèòüñÿ. Ïîïîëíåíèå çàïàñàìè âûïîëíÿåòñÿ ñ íåêîòîðîé çàäåðæêîé è îñóùåñòâëÿåòñÿ ñîãëàñíî ïîëèòèêå äâóõ óðîâíåé. Äëÿ èñêëþ÷åíèÿ ïîâòîðíûõ çàêàçîâ ïðèíèìà- åòñÿ, ÷òî òî÷êà çàêàçà ìåíüøå ïîëîâèíû îáùåãî îáúåìà ñêëàäà. Âðåìÿ âûïîëíå- íèÿ çàêàçà — ïîëîæèòåëüíàÿ ñ.â. ñ ïîêàçàòåëüíîé ô.ð.; åãî ñðåäíåå çíà÷åíèå çàâèñèò îò ñòàòóñà ñåðâåðà. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü PQIS ñ êîíå÷íîé î÷åðåäüþ, ò.å. ïîñòóïèâøàÿ çàÿâêà òåðÿåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, åñëè â ýòîò ìîìåíò ñèñòåìà ïîëíîñòüþ çàïîëíåíà. Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óðîâíÿ çàïàñîâ ñèñòåìû, ÷èñëà çàÿâîê â íåé è ñòàòóñà ñåðâåðà. Åå ðåøåíèå ïîçâîëèò âû÷èñëèòü ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 61 óñðåäíåííûå õàðàêòåðèñòèêè èçó÷àåìîé ñèñòåìû: ñðåäíèé óðîâåíü çàïàñîâ íà ñêëàäå ( )S av ; ñðåäíþþ èíòåíñèâíîñòü ïîð÷è çàïàñîâ ñèñòåìû ( )�av ; âåðîÿòíîñòü ïðåáûâàíèÿ ñåðâåðà íà ïðîãóëêå ( )Pvac ; âåðîÿòíîñòü ïîòåðè çàÿâîê ( )PL ; ñðåäíþþ èíòåíñèâíîñòü ïîòåðè çàÿâîê èç î÷åðåäè âñëåäñòâèå èõ íåòåðïåëèâîñòè ( )RLav . ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ PQIS Ñ ÑÅÐÂÅÐÎÌ ÍÀ ÏÐÎÃÓËÊÅ Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: � — èíòåíñèâíîñòü âõîäÿùåãî ïîòîêà çàÿâîê; � — èíòåíñèâíîñòü îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê; � 0 — èíòåíñèâíîñòü ïîòåðè çàÿâîê èç î÷åðåäè âñëåäñòâèå èõ íåòåðïåëèâîñòè, êîãäà ñåðâåð íàõîäèòñÿ íà ïðîãóëêå; �1 — èíòåíñèâíîñòü ïîòåðè çàÿâîê èç î÷åðåäè âñëåäñòâèå èõ íåòåðïåëèâîñòè, êîãäà ñåðâåð íàõîäèòñÿ â ðàáî÷åì ðåæèìå; � — èíòåíñèâíîñòü âîçâðàùåíèÿ ñåð- âåðà èç ðåæèìà ïðîãóëêè; � — èíòåíñèâíîñòü ïîð÷è çàïàñîâ; � 0 — èíòåíñèâ- íîñòü ïîñòóïëåíèÿ çàïàñîâ, êîãäà ñåðâåð íàõîäèòñÿ íà ïðîãóëêå; �1 — èíòåíñèâ- íîñòü ïîñòóïëåíèÿ çàïàñîâ, êîãäà ñåðâåð íàõîäèòñÿ â ðàáî÷åì ðåæèìå; N — ìàêñèìàëüíàÿ âìåñòèìîñòü ñèñòåìû, âêëþ÷àÿ çàÿâêè â ñåðâåðå; S — ìàêñèìàëü- íûé ðàçìåð ñêëàäà ñèñòåìû; s — òî÷êà çàêàçà, s S� / 2. Èñõîäÿ èç âèäà çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â., èñïîëüçîâàííûõ â ôîðìóëèðîâ- êå ìîäåëè, îïðåäåëÿåì, ÷òî ðàáîòà ñèñòåìû â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îïèñûâàåòñÿ 3-D MC. Ñîñòîÿíèå äàííîé öåïè çàäàåòñÿ âåêòîðîì n � ( , , )n n n1 2 3 , ãäå ïåðâàÿ è âòîðàÿ êîìïîíåíòà ñîîòâåòñòâåííî òåêóùèé óðîâåíü çàïàñîâ è ÷èñ- ëî çàÿâîê â ñèñòåìå, à òðåòüÿ áèíàðíàÿ êîìïîíåíòà îçíà÷àåò ñòàòóñ ñåðâåðà, ò.å. n3 0 1 � , , åñëè ñåðâåð íàõîäèòñÿ íà ïðîãóëêå, åñëè ñåðâåð íàõîäèòñÿ â ðàáî åì ñîñòîÿíèè.� � � Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé (ÔÏÑ) èçó÷àåìîé 3-D MC îáîçíà÷èì E. Îíî îïðåäåëÿåòñÿ òàêèì îáðàçîì: E E E� 0 1� , E E0 1� � , (1) ãäå E n S n N n0 1 2 30 1 0 1 0� � � �{ }n : , , , ; , , , ;� � , E n S n1 1 21 1 2� � �{n : , , ; , ,� � � , ;N n3 1� }. Èç ôîðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêè ÔÏÑ ìîäåëè çàäàåòñÿ òî÷êàìè ñ öåëî÷èñëåííûìè êîîðäèíàòàìè, ïðèíàäëåæàùèìè ïàðàëëåëåïèïåäó âûñîòîé åäè- íèöà, îñíîâàíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè äëèíîé N è S . Èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ n â ñîñòîÿíèå �n îáîçíà÷èì q S( . ' ), , 'n n n n � . Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ âåëè÷èí ñîñòàâëÿåò ïðîèçâîäÿùóþ ìàòðèöó (Q-ìàòðèöó) äàííîé 3-D MC. Èç îïèñàíèÿ ñèñòåìû âèäíî, ÷òî ïåðåõîäû ìåæäó ñî- ñòîÿíèÿìè ÔÏÑ E ñâÿçàíû ñî ñëåäóþùèìè ñîáûòèÿìè: 1) ïîñòóïëåíèåì çàÿâîê; 2) çàâåðøåíèåì ïðîöåññà èõ îáñëóæèâàíèÿ; 3) óõîäîì çàÿâîê èç î÷åðåäè âñëåäñòâèå èõ íåòåðïåëèâîñòè; 4) çàâåðøåíèåì âðåìåíè æèçíè çàïàñîâ; 5) ïîñòóïëåíèåì çàïà- ñîâ; 6) óõîäîì ñåðâåðà íà ïðîãóëêó; 7) âîçâðàùåíèåì ñåðâåðà èç ðåæèìà ïðîãóëêè. Ñ ó÷åòîì çàêîíîâ èçìåíåíèÿ óðîâíÿ çàïàñîâ, ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå è ïîâå- äåíèÿ ñåðâåðà èñêîìûå ýëåìåíòû Q-ìàòðèöû îïðåäåëÿåì èç ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé: q E n n ( , ) , , , , , , ' n n n n e n n n e � � � � � � � � � � � åñëè åñëè 2 1 1 2 11 1 � � � � � � � � � � e n n e e e n 2 1 2 1 2 3 0 1 2 1 1 0 èëè èëè åñëè n n E n n , , , , ,� � � � � � � � � � 0 1 3 1 0 1 1 1 , , , , , ( ) , , n n e n n n e n n E n E n � � åñëè åñëè 1 1 2 0 0 2 2 1 1 1 � � � � � � � � � , ' , , , , ( ) , n n e n n n e n n E n E � � åñëè åñëè 1 1 2 2 0 0 1 1 0 1, , , , , , , ( ). n n E n s S s � � � � � � � � � � n n e n n n e� åñëè , , , , ( ) ,�1 1 1 1 0 åñëè â äðóãèõ ñëó àÿõ. n n n e� � � � � � � � E n s S s � � � � � �� � � � � � � � (2) 62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 Çäåñü ei îçíà÷àåò i-é îðòâåêòîð òðåõìåðíîãî åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà, i �1 2 3, , . Òàêèì îáðàçîì, ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ äàííîé PQIS ñî æäóùèì ñåðâåðîì ÿâëÿåòñÿ òðåõìåðíàÿ öåïü Ìàðêîâà ñ ÔÏÑ (1) è ïðîèçâîäÿùåé ìàòðèöåé (2). Äàí- íàÿ 3-D MC èìååò ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðè ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà- ÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, ïîñêîëüêó îíà êîíå÷íîìåðíà è íåïðèâîäèìà. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê èçó÷àåìîé ñèñòåìû. Ïóñòü p( )n — ñòàöèîíàðíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ n �E. Ýòè âåëè÷èíû óäîâëåòâîðÿ- þò ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ (ÑÓÐ), êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåòñÿ íà îñíîâå ñîîòíîøåíèé (2). ßâíûé âèä ýòîé ÑÓÐ çäåñü íå ïðèâîäèòñÿ èç-çà ãðî- ìîçäêîñòè è î÷åâèäíîñòè ñîñòàâëåíèÿ. Õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé îïè- ñàííîé òðåõìåðíîé öåïè Ìàðêîâà. Òàê, ñðåäíèé óðîâåíü çàïàñîâ íà ñêëàäå âû- ÷èñëÿåòñÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ñ.â., ò.å. S k p n kav Ek S � �� �� ( ) ( , )n n � 1 1 , (3) ãäå �( , )i j — ñèìâîëû Êðîíåêåðà. Ïîñêîëüêó çàïàñ, êîòîðûé íàõîäèòñÿ íà ýòàïå âûäà÷è ïî çàÿâêå, íå ìîæåò èñïîðòèòüñÿ, èìååì �av E Ek S k k p n k k p n k� � � �� � ��� � �( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )n n n n 1 1 20 1 1 � � � � � � � � � � 1 S . (4) Âåðîÿòíîñòü ïðåáûâàíèÿ ñåðâåðà â ðåæèìå ïðîãóëêè âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþ- ùèì îáðàçîì: P pvac E � � � ( )n n 0 . (5) Âåðîÿòíîñòü ïîòåðè çàÿâîê ñîñòîèò èç äâóõ ñëàãàåìûõ: âåðîÿòíîñòè ïîòåðè çàÿâîê, êîãäà ñåðâåð íàõîäèòñÿ íà ïðîãóëêå ( )PLv , è âåðîÿòíîñòè ïîòåðè çàÿâîê, êîãäà ñåðâåð íàõîäèòñÿ â ðàáî÷åì ñîñòîÿíèè ( )PLs . Ýòè ñëàãàåìûå îïðåäåëÿþòñÿ òàê: PL p n N n N P n nv E � � � � ( )( ( , ) ( ( , )) ( , ))n n � �2 2 0 1 21 0 , (6) ãäå P n n0 1 2( , ) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñîñòîÿíèè ( , , )n n1 2 0 çàÿâêà òåðÿåòñÿ èç-çà íåòåðïåëèâîñòè; PL p n N n N P n ns E � � � � ( )( ( , ) ( ( , )) ( , ))n n � �2 2 1 1 21 1 , (7) ãäå P n n1 1 2( , ) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñîñòîÿíèè ( , , )n n1 2 1 çàÿâêà òàêæå òå- ðÿåòñÿ èç-çà íåòåðïåëèâîñòè. Âåëè÷èíû P n nk ( , )1 2 , k � 0 1, , â ôîðìóëàõ (6) è (7) âû÷èñëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: P n n n n I n N n 0 1 2 2 0 2 0 2 1 ( , ) ( ) � � � � � � , P n n n n I n N n 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 ( , ) ( ) ( ) � � � � � � � � , ãäå I A( ) — èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ñîáûòèÿ A. Ñðåäíÿÿ èíòåíñèâíîñòü ïîòåðè çàÿâîê èç î÷åðåäè âñëåäñòâèå èõ íåòåðïåëè- âîñòè îïðåäåëÿåòñÿ òàê: RL L Lav v s� � �0 1 , (8) ãäå Lv è Ls — ñðåäíåå ÷èñëî çàÿâîê â î÷åðåäè, êîãäà ñåðâåð íàõîäèòñÿ íà ïðîãóëêå è â ðàáî÷åì ñîñòîÿíèè ñîîòâåòñòâåííî, ò.å. L k p n kv Ek N � �� �� ( ) ( , )n n � 2 1 0 , L k p n ks k N E � � � � � �( ) ( ) ( , )1 2 2 1 n n � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 63 Âñëåäñòâèå ñëîæíîé ñòðóêòóðû Q-ìàòðèöû (2) íå óäàëîñü íàéòè àíàëèòè- ÷åñêîãî ðåøåíèÿ ÑÓÐ äëÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ñèñòåìû.  ñâÿçè ñ ýòèì äëÿ âû- ÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ñèñòåìû ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ëèáî ñòàíäàðòíûå ÷èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû, ëèáî ðàçðàáîòàòü àëãîðèòìû íà áàçå ìàòðè÷- íî-ãåîìåòðè÷åñêîãî ïîäõîäà. Îäíàêî, êàê áûëî îòìå÷åíî â íà÷àëå ñòàòüè, óêàçàí- íûå ìåòîäû íåñòàáèëüíû ïðè áîëüøèõ ðàçìåðíîñòÿõ ñèñòåìû óðàâíåíèé ðàâíîâå- ñèÿ. Äàëåå ïðèâîäèòñÿ àëüòåðíàòèâíûé ìåòîä ðåøåíèÿ äàííîé ïðîáëåìû. ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÑÈÑÒÅÌÛ Ïðåäëàãàåòñÿ èåðàðõè÷åñêèé àëãîðèòì ôàçîâîãî óêðóïíåíèÿ (ÈÀÔÓ) äëÿ ðàñ- ÷åòà ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èçó÷àåìîé 3-D MC áîëüøîé ðàçìåðíîñòè, ïîñêîëüêó ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî îáúåì ñêëàäà ñèñòåìû è ðàçìåð áóôåðà äîñòàòî÷íî áîëüøèå âåëè÷èíû. Òàêîé àëãîðèòì ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè âûïîëíåíèè íå- êîòîðûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ óñëîâèé. Äëÿ êîððåêòíîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ïðåä- ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñèñòåìà ðàáîòàåò â óñëîâèÿõ áîëüøîé íàãðóçêè, ïðè ýòîì èí- òåíñèâíîñòü ïîñòóïëåíèÿ çàÿâîê ñóùåñòâåííî ïðåâîñõîäèò èíòåíñèâíîñòü óõî- äà ñåðâåðà íà ïðîãóëêó (ïîñëåäíåå äîïóùåíèå ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíîìó óñëîâèþ ðàáîòû QIS (ñì., íàïðèìåð, [10]).  ñèëó ýòîãî äîïóùåíèÿ ïîëó÷àåì, ÷òî èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿ- íèÿìè, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â îäíîé èç äâóõ ïëîñêîñòåé, ïàðàëëåëüíûõ îñíîâàíèþ ïà- ðàëëåëåïèïåäà, íàìíîãî ïðåâûøàþò èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè èç ðàçíûõ òàêèõ ïëîñêîñòåé, ò.å. íà ïåðâîì óðîâíå èåðàðõèè ðàññìàòðèâàåòñÿ ðàññëîåíèå ÔÏÑ ìîäåëè ïî ïëîñêîñòÿì, ïàðàëëåëüíûì îñíîâàíèþ ïàðàëëåëåïèïåäà. Ôóíêöèÿ óêðóïíåíèÿ, ââîäèìàÿ íà ïåðâîì óðîâíå èåðàðõèè, îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: U n( )n � � �3 , åñëè n �En3 , (9) ãäå � �n3 — óêðóïíåííîå ñîñòîÿíèå, âêëþ÷àþùåå âñå ñîñòîÿíèÿ èç êëàññà En3 , n3 0 1� , . Îáîçíà÷èì � � � � �{ }n n3 3 0 1: , . Âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé èñõîäíîé ìîäåëè îïðåäåëÿþòñÿ òàêèì îáðàçîì: p n n nn( ) ( , ) ( )n � � � 3 1 2 3 , (10) ãäå n n n 3 1 2( , ) — âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ ( , )n n1 2 âíóòðè ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé En3 , ( )� �n3 — âåðîÿòíîñòü óêðóïíåííîãî ñîñòîÿíèÿ � ��n3 �. Èç ôîðìóëû (10) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èñ- õîäíîé 3-D MC ïîòðåáóåòñÿ íàéòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé äâóõ 2-D MC è îäíîé 1-D MC ñ äâóìÿ ñîñòîÿíèÿìè. Ïðè áîëüøîé ðàçìåðíîñòè áóôå- ðà äëÿ îæèäàíèÿ çàÿâîê è/èëè îáúåìà ñêëàäà ñèñòåìû àíàëîãè÷íûå âû÷èñëèòåëü- íûå òðóäíîñòè âîçíèêàþò è ïðè ðàñ÷åòå ñòàöèîíàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé óêàçàííûõ 2-D MC ñ ïðîñòðàíñòâàìè ñîñòîÿíèé Ek , k � 0 1, . Ïîýòîìó äëÿ ðàñ÷åòà ñòàöèîíàð- íûõ ðàñïðåäåëåíèé âíóòðè êëàññîâ Ek , k � 0 1, , ê êàæäîìó êëàññó ïðèìåíÿåòñÿ ÀÔÓ (âòîðîé óðîâåíü èåðàðõèè), è òàêèì îáðàçîì ôîðìèðóåòñÿ èåðàðõèÿ óêðóïíåííûõ ìîäåëåé. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ðàñùåïëåííóþ ìîäåëü ñ ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé E0 . Äëÿ êîððåêòíîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ïîñòóïëå- íèÿ çàÿâîê ñóùåñòâåííî ïðåâîñõîäèò èíòåíñèâíîñòü ïîð÷è çàïàñîâ ñèñòåìû (ýòî äî- ïóùåíèå òàêæå ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíîìó ðåæèìó ðàáîòû PQIS (ñì., íàïðèìåð, [10]). Ïðè âûïîëíåíèè óêàçàííîãî äîïóùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé E0 ðàñ- ñìàòðèâàåòñÿ ðàçáèåíèå E E i i S 0 0 1 � � � , E Ei j 0 0� � , åñëè i j� , (11) ãäå E n n E n ii 0 1 2 0 1� � �{ }( , ) : , i S�1, ,� , ò.å. êëàññ ñîñòîÿíèé E i 0 âêëþ÷àåò òå ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðûõ óðîâåíü çàïàñîâ ñèñòåìû ðàâåí i íåçàâèñèìî îò ÷èñëà çàÿ- 64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 âîê â î÷åðåäè. Äàëåå íà îñíîâå ðàñùåïëåíèÿ (11) â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé E0 àíàëîãè÷íî (9) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ óêðóïíåíèÿ: U n n n0 1 2 1(( , )) � � �, åñëè ( , )n n E n 1 2 0 1� , (12) ãäå � �n1 — óêðóïíåííîå ñîñòîÿíèå, âêëþ÷àþùåå âñå ñîñòîÿíèÿ èç êëàññà E n 0 1 . Îáîçíà÷èì � 0 1 0 1� � � �{ }n i S: , , ,� . Ñîãëàñíî ÀÔÓ èìååì 0 1 2 0 2 0 1 1( , ) ( ) ( )n n n n n� � � , (13) ãäå 0 2 1n n( ) — âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ ( , )n n1 2 âíóòðè ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé E n 0 1 , à 0 1( )� �n — âåðîÿòíîñòü óêðóïíåííîãî ñî- ñòîÿíèÿ � ��n1 0� . Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé âíóò- ðè êëàññîâ E i 0 , i S� 0 1, , ,� .  êëàññå ñîñòîÿíèé E i 0 ïåðâàÿ êîìïîíåíòà ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé è ðàâíà i. Ïîýòîìó ïðè èçó÷åíèè ðàñùåïëåííûõ ìîäåëåé ñ ÔÏÑ E i 0 ìèêðîñîñòîÿíèå ( , )i n E i 2 0 � ìîæíî çàäàòü òîëüêî âòîðîé êîìïîíåíòîé. Äàëåå äëÿ óäîáñòâà èçëîæåíèÿ ïðè èçó÷åíèè ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÔÏÑ E i 0 åå ñîñòîÿíèå ( , )i n2 îáîçíà÷èì êàê n n N2 2 0 1, , , ,� � . Èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäà ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè n2 è �n2 ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÔÏÑ E i 0 îáîçíà÷èì q n n0 2 2( , )� . Èç ñîîòíîøåíèé (2) âûòåêàåò, ÷òî ýòè ïàðàìåò- ðû îïðåäåëÿþòñÿ òàê: q n n n n n n n0 2 2 2 2 2 0 2 2 1 1 0 ( , ) , , , , ð � � � � � � � � � åñëè åñëè â ä óãèõ ñëó àÿõ.� � � � � (14) Èç ñîîòíîøåíèé (14) ñëåäóåò, ÷òî âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé âíóòðè âñåõ ðàñ- ùåïëåííûõ ìîäåëåé ñ ÔÏÑ E i 0 , i S� 0 1, , ,� , âû÷èñëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî (íå çàâè- ñÿò îò i, i S� 0 1, , ,� ) êàê âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé êëàññè÷åñêîé ìîäåëè Ýðëàíãà M / M / N / 0 ñ íàãðóçêîé � �/ 0 erl., ò.å. � � 0 2 0 2 0 0 i j N n n j ( ) ( ) ( ) � � � , n N2 0 1� , , ,� . (15) Çäåñü è äàëåå ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: � � � k k j j j ( ) ( / ) ! � , k � 0 1, . Èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäà èç îäíîãî óêðóïíåííîãî ñîñòîÿíèÿ � �i â äðóãîå óêðóïíåííîå ñîñòîÿíèå � �j îáîçíà÷èì q i j0 ( , )� � � � , � �i , � ��j � 0 . Ïîñëå îïðåäåëåííûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ñ ïðèìåíåíèåì ÀÔÓ ïîëó÷àåì q i j i j i i s j i S s0 0 1 0 ( , ) , , , , , ð � � � � � � � � � � � � åñëè åñëè â ä óãèõ ñëó àÿõ.� � � � � (16) Òàêèì îáðàçîì, èç ñîîòíîøåíèé (16) ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ ðàáîò [20, 21] äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé 0 1( )� �n , � ��n1 0� , ïîëó- ÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ: 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1( ) ( ) ( ), , ( ) ( ` � � � � � � � � n a s n s b s n n åñëè � � � � � � � � � � ), , ( ) ( ), , åñëè åñëè s n S s c s S s n Sn 1 0 1 1 1 0 11 � � � (17) ãäå a i i n i n s 1 1 0 101 1 ( ) ( ) ;� �� � � � � b s n n1 0 1 1 ( ) � ; c n an i i n S s s 1 1 0 00 1 ( ) ( )� � � � � � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 65 Âåðîÿòíîñòü 0 1( )� �s âû÷èñëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè, ò.å. 0 0 1 1 1 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � �s a b ci i s i i s S s i i S s S )� � � � � � � � � � 1 1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (13), (15) è (17) îïðåäåëÿþòñÿ ñòàöèî- íàðíûå âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÔÏÑ E0 . Èññëåäóåì ðàñùåïëåííóþ ìîäåëü ñ ÔÏÑ E1. Àíàëîãè÷íî (11) ðàññìàòðèâà- åòñÿ ðàçáèåíèå E E E Ei i S i j 1 1 1 1 1 � � � ,� � , åñëè i j� , (18) ãäå E n n E n ii 1 1 2 0 1� � �{ }( , ) : , i S�1, ,� . Àíàëîãè÷íî (12) íà îñíîâå ðàñùåïëå- íèÿ (18) â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé E1 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ óêðóïíåíèÿ: U n n n1 1 2 1(( , )) � � �, åñëè ( , )n n E n 1 2 1 1� , (19) ãäå � �n1 — óêðóïíåííîå ñîñòîÿíèå, âêëþ÷àþùåå âñå ñîñòîÿíèÿ èç êëàññà E n 1 1 . Îáîçíà÷èì �1 1 1� � � �{ n i S: , , }� . Äàëåå ïîâòîðÿþòñÿ îïèñàííûå âûøå ïðîöåäóðû äëÿ ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÔÏÑ E0 . Ïîýòîìó îòìåòèì òîëüêî ðàçëè÷àþùèåñÿ ìîìåíòû. Òàê, çäåñü âåðîÿò- íîñòè ñîñòîÿíèé âíóòðè âñåõ ðàñùåïëåííûõ ìîäåëåé ñ ÔÏÑ E i 1 , i S�1, ,� , âû- ÷èñëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî (íå çàâèñÿò îò i, i S�1, ,� ), ò.å. � � 1 2 1 2 2 1 0 1 2 1 1 2i j N n n n j n N( ) ( ) ( ) , , , ,� � � � � � � . (20) Èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ èç îäíîãî óêðóïíåííîãî ñîñòîÿíèÿ � �i â äðóãîå óêðóïíåííîå ñîñòîÿíèå � �j , îáîçíà÷àåìûå q i j1 ( , )� � � � , � �i , � ��j �1, â äàí- íîì ñëó÷àå âû÷èñëÿþòñÿ òàêèì îáðàçîì: q i j i j i i1 1 1 1 1 1 1 0 ( , ) ( ) ( ( )), , ,� � � � � � � � � � � � � åñëè åñëè s j i S s, , ð � � � � � � â ä óãèõ ñëó àÿõ.� (21) Çàìå÷àíèå 1.  ôîðìóëå (21) âåðõíèé èíäåêñ âåëè÷èíû 1 1( ) îïóùåí, ïîñêîëüêó îíà íå çàâèñèò îò n1 (ñì. (20)). Òîãäà èç ñîîòíîøåíèé (21) àíàëîãè÷íî (17) äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé 1 1( )� �n ,� ��n1 1� , ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ), , ( ) ( ‘ � � � � � � � � n a s n s b s n n åñëè � � � � � � � � � � ), , ( ) ( ), , åñëè åñëè s n S s c s S s n Sn 1 1 1 1 1 1 11 � � � (22) ãäå a b cn i ii n s n s n n1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1( ) ; ( ) ; ( )� � � �� � � � � �� �1 1 1 1 � n i i n S s s a ( ) � � � , � i i i i S � � � � � � � � 0 1 1 1 1 21 , , ( ) ( ( )), .� � 66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 Âåðîÿòíîñòü 1 1( )� �s âû÷èñëÿåòñÿ èç ñîîòâåòñòâóþùåãî óñëîâèÿ íîðìè- ðîâêè. Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (20) è (22) îïðåäåëÿþòñÿ ñòàöèî- íàðíûå âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÔÏÑ E1. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èñõîäíîé 3-D MC ïîòðåáóåò- ñÿ íàõîæäåíèå âåðîÿòíîñòåé óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé, ò.å. ( )� �k , � ��k � (ñì. ôîðìóëó (10)). Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ìåæäó êëàññà- ìè� �k è� �k ' . Îáîçíà÷èì ýòè âåëè÷èíû q k k( , )� � � � � . Ñ ïîìîùüþ ÀÔÓ ïîñëå îïðåäåëåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé èìååì q k k k k ( , ) ( ( ))( ( )), , , ( � � � � � � � � � � � � �� � 1 0 1 0 0 10 0 åñëè 1 1 11 1 1 1 1 0( ) ( )( ( ))), , .� � � � � � � � � � åñëè k k (23) Çàìå÷àíèå 2.  ôîðìóëå (23) è äàëåå âåðõíèå èíäåêñû âåëè÷èí 0 ( )i è 1 ( )i îïóñêàþòñÿ, ïîñêîëüêó îíè íå çàâèñÿò îò n1 (ñì. ôîðìóëû (15) è (20)). Èç ñîîòíîøåíèé (23) ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ èñêîìûå âåðîÿòíîñòè ( )� �k , � ��k � . Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì (15), (17), (19), (20), (22) è (23) íàõîäèì ñòàöèîíàð- íîå ðàñïðåäåëåíèå èñõîäíîé 3-D MC: p n n n n n nn n( , , ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 1 33 3 � � � � � . Îêîí÷àòåëüíî ïîñëå îïðåäåëåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ôîðìóëû äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê (3)–(8) ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè PQIS: S i k kav i i k S � � � � � � � � � ( ) ( ) 0 1 1 , �av i k i S i i k i k� � � � � � � � ��� ( ) ( ) ( ) 10 1 , Pvac � � � ( )0 , PL N k i P k iv i N k S � � � � � � � � � � � �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )0 0 0 0 0 1 1 0 � � � � � , PL N k i P k is i N k S � � � � � � � � � � � �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )1 1 1 1 1 2 1 1 � � � � � , RL L Lav v s� � �0 1 , ãäå L k kv k N � � � � � ( ) ( )0 0 1 ; L k ks k N � � � � � � ( ) ( ) ( )1 1 1 2 . ×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ Îïðåäåëÿåì çàâèñèìîñòè õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû îò çíà÷åíèÿ òî÷êè çàêàçà s. Âõîäíûå ïàðàìåòðû ñèñòåìû âûáèðàåì ñëåäóþùèì îáðàçîì [10]: S N� � � � � � � � �90 25 15 4 4 6 1 3 2 10 1 0 1, , , , , , . , ,� � � � � � � . Âñëåäñòâèå îãðàíè÷åííîñòè îáúåìà ñòàòüè ïðèâåäåì òîëüêî ÷àñòü ðåçóëüòà- òîâ äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà �, ò.å. â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ ïðèíèìàåòñÿ � �14. , âî âòîðîé — � � 25. . Ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 1–4, çíàêè î è � ñîîòâåòñòâóþò ïåðâîé è âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ (çàìåòèì, ÷òî âõîäíûå ïàðàìåòðû óäîâëåòâîðÿþò ïðèíÿòûì âûøå óñëîâèÿì äëÿ êîððåêòíîãî ïðèìåíåíèÿ ðàçðàáîòàííîãî àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäà, ò.å. � � � ��� max { , , }). ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 67 Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñîîòâåòñòâóþò ïðîãíîçèðóåìûì è èìåþò ëîãè÷åñêîå îáúÿñ- íåíèå. Èç íèõ ñëåäóåò, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì çíà÷åíèÿ òî÷êè çàêàçà s ïîâûøàåòñÿ ñðåäíèé óðîâåíü çàïàñîâ, ïðè ýòîì óâåëè÷åíèå çíà÷åíèé ïàðàìåòðà � ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ñðåäíåãî óðîâíÿ çàïàñîâ ñèñòåìû (ñì. ðèñ. 1). Îòìåòèì, ÷òî èíòóèòèâíî ïðåäïîëàãàå- ìîå ñîîòíîøåíèå �av avS� � (ñì. òàêæå ôîðìóëû (3) è (4)) îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì, ïðè ýòîì ñ ðîñòîì ïàðàìåòðà s òî÷íîñòü ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ïîâûøàåòñÿ, ò.å. â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ � �[ . ; . ]1 35 1 38 , à âî âòîðîé — � �[ . ; . ]2 41 2 45 . Âåðîÿòíîñòü ïðåáûâàíèÿ ñåðâåðà íà ïðîãóëêå ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé ôóíê- öèåé îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà s. ×åì áîëüøå èíòåíñèâíîñòü ïîð÷è åäèíèöû çàïàñà, òåì âûøå óêàçàííàÿ âåðîÿòíîñòü, è ñ ðîñòîì ïàðàìåòðà s îíà óìåíüøàåòñÿ ñ áîëü- øîé ñêîðîñòüþ (ñì. ðèñ. 2). Ñ ðîñòîì ïàðàìåòðà s óìåíüøàåòñÿ òàêæå âåðîÿòíîñòü ïîòåðè çàÿâîê. Çíà÷åíèÿ ýòîãî ïîêàçàòåëÿ â îáåèõ ñåðèÿõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî÷òè ñî- âïàäàþò, ò.å. â ðàçëè÷íûõ ýêñïåðèìåíòàõ åå çíà÷åíèÿ îòëè÷àþòñÿ â òðåòüåì çíàêå ïîñëå çàïÿòîé (ñì. ðèñ. 3). È íàêîíåö, ñðåäíÿÿ èíòåíñèâíîñòü ïîòåðè çàÿâîê èç î÷åðåäè âñëåäñòâèå èõ íåòåðïåëèâîñòè ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé ôóíêöèåé îòíîñè- òåëüíî ïàðàìåòðà s, íî âîçðàñòàþùåé îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà � (ñì. ðèñ. 4). Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò ðåøàòü çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ íàäëåæàùèõ çíà÷åíèé òî÷êè çàêàçà â öåëÿõ óäîâëåòâîðåíèÿ çàäàííûì îãðàíè÷åíèÿì íà îïðå- äåëåííûå (èëè íà âñå) õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû. Íàïðèìåð, åñëè â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ òðåáóåòñÿ íàéòè òàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà s, ÷òîáû óäîâëåòâî- ðèòü îãðàíè÷åíèÿ PL � �10 4 è S Sav � 0 5. , òî ëåãêî ìîæíî îïðåäåëèòü, ÷òî ðåøå- íèåì ýòîé çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ s�[ , , ]0 25� . Çàìåòèì, ÷òî äàííàÿ çàäà÷à íå èìååò ðå- øåíèÿ äëÿ âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ.  ïðîâåäåííûõ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ óìåðåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ ïàðàìåò- ðîâ S è N âûáðàíû äëÿ îöåíêè òî÷íîñòè ðàçðàáîòàííûõ ïðèáëèæåííûõ ôîðìóë. 68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 Ðèñ. 2. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòè Pvac îò ïàðàìåòðà sÐèñ. 1. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòè S av îò ïàðàìåòðà s S av s s lg Pvac 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 60 50 40 30 20 10 0 0 –0.5 –1 –1.5 –2 –2.5 –3 –3.5 –4 –4.5 Ðèñ. 3. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòè PL îò ïàðàìåòðà s Ðèñ. 4. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòè RLav îò ïàðàìåòðà s ss lg RLav lg PL 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 451 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 1 0.5 0 –0.5 –1 –1.5 –2 –2.5 –3 –3.5 0 –0.5 –1 –1.5 –2 –2.5 Èõ òî÷íîñòü äîñòàòî÷íî âûñîêà, à ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû áëèçêè ê ðåçóëüòàòàì ðàáîòû [10]. Âìåñòå ñ òåì, â îòëè÷èå îò èçâåñòíûõ ðàáîò, ïðåäëîæåííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåì ïðàêòè÷åñêè ëþáîé ðàçìåðíîñòè. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â ðàáîòå ïðåäëîæåíà ìàðêîâñêàÿ ìîäåëü ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ-çàïàñàíèÿ ñ îäíèì ñåðâåðîì è ñêîðîïîðòÿùèìèñÿ çàïàñàìè, â êîòîðîé íåòåðïåëèâûå çàÿâ- êè ìîãóò îáðàçîâûâàòü î÷åðåäü îãðàíè÷åííîé äëèíû.  ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ çàÿ- âîê è/èëè çàïàñîâ ñèñòåìû ñåðâåð óõîäèò íà ìíîãîêðàòíóþ ïðîãóëêó.  ñèñòå- ìå ïðèíÿòà ( , )s S -ïîëèòèêà ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ, ïðè ýòîì âðåìåíà âûïîëíåíèÿ çàêàçîâ è îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê — ïîëîæèòåëüíûå ñ.â. Ïîêàçàíî, ÷òî ìàòåìàòè- ÷åñêîé ìîäåëüþ ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ òðåõìåðíàÿ öåïü Ìàðêîâà. Ðàçðàáîòàíû òî÷- íûé è ïðèáëèæåííûé ìåòîäû äëÿ îïðåäåëåíèÿ åå õàðàêòåðèñòèê. Òî÷íûé ìåòîä îñíîâàí íà ðåøåíèè áàëàíñîâûõ óðàâíåíèé äëÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé è ýô- ôåêòèâåí äëÿ ñèñòåì óìåðåííîé ðàçìåðíîñòè. Ïðèáëèæåííûé ïîäõîä îñíîâàí íà èåðàðõè÷åñêîì óêðóïíåíèè ñîñòîÿíèé òðåõìåðíûõ öåïåé Ìàðêîâà. Åãî ìîæ- íî ïðèìåíÿòü äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî àíàëèçà ñèñòåì ëþáîé ðàçìåðíîñòè. Ïðåäëîæåííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò àíàëèçèðîâàòü ýêîíîìè÷åñêèå ïîêàçàòåëè ñèñòåìû, à òàêæå èçó÷àòü ìîäåëè ñ ïîâòîðíûìè çàÿâêàìè, ñ ðàáî÷åé ïðîãóëêîé è äð. Òàêèå çàäà÷è ìîãóò áûòü ïðåäìåòîì äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Nahmias S. Perishable inventory theory: A review. Operations Research. 1982. Vol. 30. Ð. 680–708. 2. Nahmias S. Perishable inventory theory. Heidelberg: Springer, 2011. 80 p. 3. Baron O., Berman O., Perry D. Continuous review inventory models for perishable items ordered in batches. Mathematics Methods of Operations Research. 2010. Vol. 72. P. 217–247. 4. Doshi B.T. Queueing systems with vacations. A survey. Queueing Systems. 1986. Vol. 1, Iss. 1. P. 29–66. 5. Tian N., Zhang Z.G. Vacation queueing models. Heidelberg: Springer, 2006. 386 p. 6. Ke J.C., Wu C.H., Zhang Z.G. Recent developments in vacation queueing models. International Journal of Operations Research. 2010. Vol. 7, Iss. 4. P. 3–8. 7. Daniel J.K., Ramanarayanan R. An ( , )s S -inventory system with two servers and rest periods to the server. Naval Research Logistics. 1988. Vol. 35. P. 119–123. 8. Narayanan V.C., Deepak T.G., Krishnamoorthy A., Krishnamoorthy B. On an ( , )s S -inventory policy with service time, vacation to server and correlated lead time. Quality Technology and Quantitative Management. 2008. Vol. 5. P. 129–143. 9. Sivakumar B. An inventory system with retrial demands and multiple server vacations. Quality Technology and Quantitative Management. 2011. Vol. 8. P. 125–146. 10. Jajaraman B., Sivakumar B., Arivarignan G. A perishable inventory system with postponed demands and multiple server vacations. Modeling and Simulation Engineering (Hindawi Publ. Cor.). 2012. Article ID 620960. 17 p. 11. Jeganathan K. Perishable inventory system at service facilities with multiple server vacations and impatient customers. Journal of Statistics Applications and Probability Letters. 2014. Vol. 3, Iss. 3. P. 63–73. 12. Kathiresan S., Anbazhagan N., Jeganathan K. An inventory system with retrial demands and working vacation. International Journal of Scientific and Research Publications. 2014. Vol. 4, Iss. 12. P. 1–25. 13. Jeganathan K., Anbazhagan N., Vigneshwaran B. Perishable inventory system with server interruptions, multiple server vacations and policy. International Journal of Operations Research and Information System. 2015. Vol. 6, Iss. 2. P. 32–52. 14. Yadavalli V.S.S., Jeganathan K. Perishable inventory model with two heterogeneous servers including one with multiple vacations and retrial customers. Journal of Control and Systems Engineering. 2015. Vol. 3, Iss. 1. P. 10–34. 15. Padmavathi I., Sivakumar B., Arivarignan G. A retrial inventory system with single and modified multiple vacation for server. Annals of Operation Research. 2015. Vol. 233, Iss. 1. P. 335–364. 16. Servi L., Finn S. M/M/1 queue with working vacations (M/M/1/WV). Performance Evaluation. 2002. Vol. 50. P. 41–52. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 69 17. Do T.V. M/M/1 retrial queue with working vacations. Acta Informatica. 2010. Vol. 47. P. 67–75. 18. Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models: An algorithmic approach. Baltimore: John Hopkins Univ. Press, 1981. 332 p. 19. Koroliuk V.S., Melikov A.Z., Ponomarenko L.A., Rustamov A.M. Methods for analysis of multi-channel queueing models with instantaneous and delayed feedbacks. Cybernetics and System Analysis. 2016. Vol. 52, N 1. P. 58–70. 20. Melikov A.Z., Ponomarenko L.A., Bagirova S.A. Analysis of queueing-inventory systems with impatience consume customers. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. Vol. 48, N 1. P. 53–68. 21. Melikov A.Z., Ponomarenko L.A., Shahmaliyev M.O. Perishable queueing-inventory models with repeated consumer customers. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. Vol. 48, N 6. P. 22–38. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 28.10.2016 Â.Ñ. Êîðîëþê, À.Ç. Ìåë³êîâ, Ë.À. Ïîíîìàðåíêî, À.Ì. Ðóñòàìîâ ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÍÈÉ ÀÍÀË²Ç ÑÈÑÒÅÌÈ ²Ç ÑÅÐÂÅÐÎÌ ÍÀ «ÏÐÎÃÓËßÍÖ²» ÒÀ ØÂÈÄÊÎÏÑÓÂÍÈÌÈ ÇÀÏÀÑÀÌÈ Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ìîäåëü ñèñòåìè îáñëóãîâóâàííÿ-çàïàñàííÿ ³ç ñåð- âåðîì íà «ïðîãóëÿíö³» ³ øâèäêîïñóâíèìè çàïàñàìè, â ÿê³é ÷àñ îáñëóãîâó- âàííÿ âèìîã º äîäàòíîþ âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ. Ñåðâåð éäå íà ïðîãóëÿíêó çà â³äñóòíîñò³ çàïàñ³â ³/àáî ÷åðãè âèìîã. ϳñëÿ çàê³í÷åííÿ ïðîãóëÿíêè â³í íåãàéíî ïî÷èíຠîáñëóãîâóâàííÿ âèìîã ïðè íàÿâíîñò³ çàïàñ³â; ³íàêøå ñåð- âåð ïîâåðòàºòüñÿ ó ðåæèì î÷³êóâàííÿ. Âèìîãè ó ÷åðç³ º «íåòåðïëÿ÷èìè», ³ ïîïîâíåííÿ çàïàñ³â çä³éñíþºòüñÿ çã³äíî ç ïîë³òèêîþ äâîõ ð³âí³â. Ðîçðîá- ëåíî ìåòîä àñèìïòîòè÷íîãî àíàë³çó ñèñòåìè. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ÷èñåëü- íèõ åêñïåðèìåíò³â. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñèñòåìà îáñëóãîâóâàííÿ-çàïàñàííÿ, «ïðîãóëÿíêà» ñåðâåðà, ïîë³òèêà äâîõ ð³âí³â, øâèäêîïñóâí³ çàïàñè. V.S. Koroliuk, A.Z. Melikov, L.A. Ponomarenko, A.M. Rustamov ASYMPTOTIC ANALYSIS OF THE SYSTEM WITH SERVER VACATION AND PERISHABLE INVENTORY Abstract. The authors propose a model of queueing-inventory system with perishable inventory and server vacations in which service times are positive random quantities. Server takes vacations if either inventory level is zero or queue is empty or both cases happen. At the end of vacation, server immediately starts serving the calls if inventory level is not zero; otherwise it takes new vacation. Calls in the queue are impatient and restocking follows the two-level policy. The method of asymptotic system analysis is developed and results of numerical experiments are presented. Keywords: queueing-inventory system, server vacations, two-level policy, perishable inventory. Êîðîëþê Âëàäèìèð Ñåìåíîâè÷, àêàäåìèê ÍÀÍ Óêðàèíû, ïðîôåññîð, ñîâåòíèê ïðè äèðåêöèè Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: vskorol@yahoo.com. Ìåëèêîâ Àãàñè Çàðáàëè îãëû, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé îòäåëîì Èíñòèòóòà ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, Áàêó, e-mail: agassi.melikov@rambler.ru. Ïîíîìàðåíêî Ëåîíèä Àíàòîëüåâè÷, äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, ãëàâíûé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Ìåæäóíàðîäíîãî íàó÷íî-ó÷åáíîãî öåíòðà èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé è ñèñòåì ÍÀÍ Óêðàèíû è ÌÎÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: laponomarenko@ukr.net. Ðóñòàìîâ Àíàð Ìóðøèä îãëû, êàíäèäàò òåõí. íàóê, äîöåíò Óíèâåðñèòåòà «Êàâêàç», Áàêó, Àçåðáàéäæàí, e-mail: anar.rustamov@gmail.com. 70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4

Схожі ресурси