Устойчивость стохастических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями
С помощью аппарата функционалов Ляпунова–Красовского исследована устойчивость по вероятности, асимптотическая стохастическая устойчивость, устойчивость в среднем квадратическом, экспоненциальная устойчивость в среднем квадратическом в целом стохастических динамических систем случайной структуры с ма...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144776 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Устойчивость стохастических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями / Т.О. Лукашив, В.К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 96–104. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-144776 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1447762019-01-04T01:23:13Z Устойчивость стохастических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями Лукашив, Т.О. Ясинский, В.К. Системний аналіз С помощью аппарата функционалов Ляпунова–Красовского исследована устойчивость по вероятности, асимптотическая стохастическая устойчивость, устойчивость в среднем квадратическом, экспоненциальная устойчивость в среднем квадратическом в целом стохастических динамических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями. За допомогою апарату функціоналів Ляпунова–Красовського досліджено стійкість за ймовірністю, асимптотичну стохастичну стійкість, стійкість в середньому квадратичному, експоненційну стійкість в середньому квадратичному в цілому стохастичних динамічних систем випадкової структури з марковськими перемиканнями і збуреннями. The authors use Lyapunov–Krasovsky functionals to investigate the stability in probability, asymptotic stability in probability, stability in the mean square, exponential stability in the mean square in the whole of stochastic dynamic systems of random structure with Markov switchings and perturbation. 2017 Article Устойчивость стохастических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями / Т.О. Лукашив, В.К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 96–104. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144776 519.217; 519.718 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Лукашив, Т.О. Ясинский, В.К. Устойчивость стохастических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями Кибернетика и системный анализ |
| description |
С помощью аппарата функционалов Ляпунова–Красовского исследована устойчивость по вероятности, асимптотическая стохастическая устойчивость, устойчивость в среднем квадратическом, экспоненциальная устойчивость в среднем квадратическом в целом стохастических динамических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями. |
| format |
Article |
| author |
Лукашив, Т.О. Ясинский, В.К. |
| author_facet |
Лукашив, Т.О. Ясинский, В.К. |
| author_sort |
Лукашив, Т.О. |
| title |
Устойчивость стохастических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями |
| title_short |
Устойчивость стохастических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями |
| title_full |
Устойчивость стохастических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями |
| title_fullStr |
Устойчивость стохастических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями |
| title_full_unstemmed |
Устойчивость стохастических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями |
| title_sort |
устойчивость стохастических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144776 |
| citation_txt |
Устойчивость стохастических систем случайной структуры с марковскими переключениями и возмущениями / Т.О. Лукашив, В.К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 4. — С. 96–104. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT lukašivto ustojčivostʹstohastičeskihsistemslučajnojstrukturysmarkovskimipereklûčeniâmiivozmuŝeniâmi AT âsinskijvk ustojčivostʹstohastičeskihsistemslučajnojstrukturysmarkovskimipereklûčeniâmiivozmuŝeniâmi |
| first_indexed |
2025-07-10T20:07:18Z |
| last_indexed |
2025-07-10T20:07:18Z |
| _version_ |
1837291844804804608 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.217; 519.718
Ò.Î. ËÓÊÀØÈÂ, Â.Ê. ßÑÈÍÑÊÈÉ
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ ÑËÓ×ÀÉÍÎÉ
ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ Ñ ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÌÈ ÏÅÐÅÊËÞ×ÅÍÈßÌÈ
È ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÌÈ
Àííîòàöèÿ. Ñ ïîìîùüþ àïïàðàòà ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî èñ-
ñëåäîâàíà óñòîé÷èâîñòü ïî âåðîÿòíîñòè, àñèìïòîòè÷åñêàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ
óñòîé÷èâîñòü, óñòîé÷èâîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì, ýêñïîíåíöèàëüíàÿ
óñòîé÷èâîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì â öåëîì ñòîõàñòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñ-
êèõ ñèñòåì ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè è âîçìó-
ùåíèÿìè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, àñèìïòîòè÷åñêàÿ
óñòîé÷èâîñòü, ýêñïîíåíöèàëüíàÿ óñòîé÷èâîñòü, óñòîé÷èâîñòü ïî âåðîÿòíîñ-
òè, óñòîé÷èâîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îäíè èç ïåðâûõ èññëåäîâàíèé óñòîé÷èâîñòè âåðîÿòíîñòíûõ ñèñòåì â ðàçëè÷-
íûõ ïîñòàíîâêàõ ïðîâîäèëèñü â ðàáîòàõ [1–4]. Îäíàêî îñîáåííî çíà÷èìû ðà-
áîòû [5, 6], â êîòîðûõ ïðåäëîæåí ïîäõîä, ïðåäóñìàòðèâàþùèé èñïîëüçîâàíèå
äëÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ êëàñ-
ñè÷åñêîé òåîðèè óñòîé÷èâîñòè, ÷òî ïðèâåëî ê ïîëó÷åíèþ ðÿäà õàðàêòåðíûõ
ñâîéñòâ âåðîÿòíîñòíûõ ñèñòåì. Ýòî ïîçâîëèëî ïðèìåíÿòü ìåòîä ôóíêöèé Ëÿ-
ïóíîâà, ðàíåå èñïîëüçîâàâøèéñÿ òîëüêî äëÿ äåòåðìèíèðîâàííûõ óðàâíåíèé.
 [6] ïðåäñòàâëåíà ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàðêîâñêèìè ïàðà-
ìåòðàìè, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ðàññìàòðèâàòü óñòîé÷èâîñòü ñèñòåì ñ ðàçðûâíûìè
ôàçîâûìè òðàåêòîðèÿìè.  [7] èçó÷åíà óñòîé÷èâîñòü äåòåðìèíèðîâàííûõ ðàç-
íîñòíûõ è äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ó÷åòîì ìàðêîâñêèõ ïàðàìåòðîâ è èìïóëüñíûõ
ìàðêîâñêèõ ïåðåêëþ÷åíèé.
Ðåçóëüòàòû ðàáîò [6, 7] îáîáùåíû â [8, 9].  íèõ ðàññìîòðåíî ñòîõàñòè÷åñ-
êîå äèôôóçèîííîå óðàâíåíèå ñ ìàðêîâñêèìè ïàðàìåòðàìè, îáóñëîâëèâàþùèìè
âíóòðåííåå èçìåíåíèå ñòðóêòóðû ñèñòåìû ïî È.ß. Êàöó [6], ñ ó÷åòîì èìïóëüñíûõ
âîçìóùåíèé òèïà öåïè Ìàðêîâà ïî Å.Ô. Öàðüêîâó [7]. Äàëüíåéøåå èçó÷åíèå
ñèñòåì òàêîãî òèïà ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü îïðåäåëåííûå ðåçóëüòàòû â äðóãèõ ïî-
ñòàíîâêàõ çàäà÷. Íàïðèìåð, â [10, 11] èññëåäîâàíà ïðîáëåìà ñòàáèëèçàöèè äëÿ
ñòîõàñòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû ñ èìïóëüñíûìè
ìàðêîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè, à â [12–16] — óñòîé÷èâîñòü ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñ-
òåì ñ ìàðêîâñêèìè ïàðàìåòðàìè è ïåðåêëþ÷åíèÿìè â ðàçëè÷íûõ ïîñòàíîâêàõ.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå èçó÷åíà óñòîé÷èâîñòü ñòîõàñòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ
ñèñòåì ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû ñ êîíå÷íûì ïîñëåäåéñòâèåì è ìàðêîâñêèìè ïåðå-
êëþ÷åíèÿìè, ïðåáûâàþùèõ ïîä âîçäåéñòâèåì âíåøíèõ âîçìóùåíèé, èñòî÷íè-
êîì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûé ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , , , )� F F FF P� � � �{ }t t t0 0 ðàññìîòðèì ñòîõàñ-
òè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå
dx t t a t t x dt b t t x dw tt t( ) ( ) ( , ( ), ) ( , ( ), ) ( )� � �� � � , t t S �
[ , ) \0 , (1)
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4
� Ò.Î. Ëóêàøèâ, Â.Ê. ßñèíñêèé, 2017
ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè
�x t g t t xt t k k k tk k
( )| ( , ( ), , )�
�
� � , t S t nk n � { }, N , lim
n
nt
�
� �
, (2)
è ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
x t t t y ht
m
0 0 0 0 0� �
� � � � � � �( ) ([ , ], ), ( ) ,D D R Y H . (3)
Çäåñü �( ),t t t� 0 , — ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ñî çíà÷åíèÿìè â èçìåðèìîì ïðî-
ñòðàíñòâå Y ; � k , k � 0, — öåïü Ìàðêîâà ñî çíà÷åíèÿìè â èçìåðèìîì ïðîñòðà-
íñòâå H ; x x tt � �( )� , � �
[ , ]t t0 0 , � � 0; w t t t( ), � 0 , — ñòàíäàðòíûé îäíî-
ìåðíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ [17–19]; �( ),t t t� 0 , — îãðàíè÷åííûé ñ âåðî-
ÿòíîñòüþ 1 ïðè êàæäîì çàäàííîì t t� 0 ñëó÷àéíûé ïðîöåññ; �( )t , �( ), ( )t w t ,
t t� 0 , è � k , k � 0, — Ft -èçìåðèìûå è íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè; D �
�
D R([ , ], )t t m
0 0� — ïðîñòðàíñòâî Ñêîðîõîäà íåïðåðûâíûõ ñïðàâà ôóíêöèé,
èìåþùèõ ëåâîñòîðîííèå ïðåäåëû [4, 20] ñ íîðìîé
| | | | | ( )|� � �
� �
�
� �
sup
t t0 0
. (4)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èçìåðèìûå ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ îòîáðàæåíèÿ
a t m:[ , )0 �
� � �Y D R , b t m:[ , )0 �
� � �Y D R è g t m:[ , )0 �
� � � �Y H D R
óäîâëåòâîðÿþò ïî ïîñëåäíåìó àðãóìåíòó óñëîâèþ Ëèïøèöà ðàâíîìåðíî ïî âñåì
äðóãèì àðãóìåíòàì
| ( , , ) ( , , )| | ( , , ) ( , , )|a t y a t y b t y b t y� � � �1 2
2
1 2
2
�
�
�
�
�| ( , , , ) ( , , , )| | | | | ,g t y h g t y h L L� � � �1 2
2
1 2
2 0 (5)
� �t t0 , y Y , h H , � �1 2, D,
è óñëîâèþ
| ( , , )| | ( , , )| | ( , , , )| , ,a t y b t y g t y h c t t y h0 0 0 0� � � �
� � Y H , (6)
êðîìå òîãî, � � �
T
sup
y
T
b t y dt
� � �
Y D,
| ( , , )|
�
� 2
0
. (7)
Ïîíÿòíî, ÷òî âûïîëíåíèå óñëîâèé (5)–(7) ñ íîðìîé (4) ãàðàíòèðóåò
ñóùåñòâîâàíèå åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1)–(3) [14, 20].
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß
Ñëó÷àéíûå èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû ïàðàìåòðà � â óðàâíåíèè (1) áóäåì ó÷èòû-
âàòü îäíèì èç ñëåäóþùèõ ñïîñîáîâ [6, 7].
I. Ïóñòü ïàðàìåòð �( ),t t t� 0 , — öåïü Ìàðêîâà ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñîñòîÿ-
íèé Y : , , ,� { }y y yN1 2 � è ãåíåðàòîðîì Q.
 ìîìåíò s èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû ïàðàìåòðà � ñèñòåìû ( y yi j� ) ïðîèñõî-
äèò ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå ôàçîâîãî âåêòîðà xs, äëÿ êîòîðîãî èçâåñòíà ïåðå-
õîäíàÿ âåðîÿòíîñòü Pij s A( , , )� :
P P Dij s s i js A x A x s y s y A( , , ): / , ( ) , ( ) ,� � � �� �
� �
{ }0 .
II. Â ìîìåíò èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû y yi j� ôàçîâûé âåêòîð èçìåíÿåòñÿ ïî
äåòåðìèíèðîâàííîìó çàêîíó x s x sij( ) ( ( ))�
� 0 , i j� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 97
III. ×èñòî ðàçðûâíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ �( )t , t t� 0 , äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå
âåðîÿòíîñòåé
P{ }� �
( ) [ , ]| ( ) ( , , ) ( )t t t p t t o t� � � � � �� � � � � ,
P{�
( )s � , t s t t t p t t o t� � � � �
�� � �| ( ) ( , ) ( )�
} 1 ,
à â ìîìåíòû ñêà÷êà � ôàçîâûé âåêòîð èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî.
Ìîæíî äîêàçàòü [21], ÷òî ïàðà { }x tt , ( )� ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôåëëåðîâñêèé
ìàðêîâñêèé ïðîöåññ, è ðàññìîòðåòü îïåðàòîð Ëÿïóíîâà íà èçìåðèìûõ ôóíêöèÿõ
v t y h t( , , , , ) : [ , )� � 0
1 1�
� � � � �Y H D R R , çàäàííûé ðàâåíñòâîì [18]
Lv t y h
t
v t t t t
t o y h
t( , , , , ): lim [ ( , ( )
, ,
( )� � �
�
� � �
�� �
� �
1
E { , ( ), , ( ))� �t t x t tt t� �
�� �� }
v t y h( , , , , )]� � , (8)
ãäå E E
y h
t
tv v t y t h x t
, ,
( ) : / ( ) , ( ) , , ( )
�
� � � � �� � � � �{ }, � �( ):t k� , t t tk k� � �1,
k � 0.
Îïðåäåëåíèå 1. Ôóíêöèîíàëîì Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî äëÿ ñèñòåìû ñëó÷àé-
íîé ñòðóêòóðû (1)–(3) íàçîâåì íåîòðèöàòåëüíóþ ôóíêöèþ v t y h( , , , , )� � , äëÿ êî-
òîðîé âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
— ïðè âñåõ k y h� 0, , ,Y H D� îïðåäåëåí îïåðàòîð Ëÿïóíîâà (8);
— ïðè r �
v r v t y h
y h
r
( ) ( , , , , )
, ,
|| ||
� �
�
inf
Y H
�
� � ; (9)
— ïðè r � 0 v r v t y h
y h
r
( ) sup ( , , , , )
, ,
|| ||
� �
�
Y H
�
� � 0 .
Çäåñü v r( ) è v r( ) íåïðåðûâíû è ìîíîòîííû.
Çàìå÷àíèå 1. Íå íàðóøèâ îáùíîñòè, ðàññìîòðèì óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ
x � 0 ñèñòåìû (1)–(3), ò.å. âûïîëíåíèå (6) ïðè c � 0.
Ïîñêîëüêó ñèëüíîå ðåøåíèå x t( ), t t� 0 , óðàâíåíèÿ (1) îäíîçíà÷íî îïðå-
äåëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (3), òî äàëåå áóäåì îáîçíà÷àòü åãî
x t y h x t t y ht ( , , , , ): ( , , , , , )0 0� � � � �� � ,
� �� � 0.
Îïðåäåëåíèå 2. Ñèñòåìó ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) íàçîâåì:
— óñòîé÷èâîé ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì, åñëè � � �� �1 20 0, ìîæíî óêàçàòü
òàêîå �� 0, ÷òî èç íåðàâåíñòâà | | | |� �� ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
P sup
t t
tx t y h
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0 1 2| | ( , , , , )| |� � � � � y Y , h H , � D;
— àñèìïòîòè÷åñêè ñòîõàñòè÷åñêè óñòîé÷èâîé â öåëîì, åñëè îíà óñòîé÷èâà
ïî âåðîÿòíîñòè è äëÿ ëþáîãî �� 0 ñóùåñòâóåò òàêîå �1 0� , ÷òî èç íåðàâåíñòâà
| | | |� �� 1 ñëåäóåò
lim | | ( , , , , )| |
T t T
tx t y h
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�P sup 0 0� � � � y Y , h H , � D è T t� �0 0;
— p-óñòîé÷èâîé (ïðè íåêîòîðîì p� 0) â öåëîì, åñëè � �� 0 ìîæíî óêàçàòü
òàêîå �2 0� , ÷òî èç íåðàâåíñòâà | | | |� �� 2 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
E{ }| | ( , , , , )| |x t y ht
p
0 � � �� � y Y , h H , � D è t t� �0 0;
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4
— àñèìïòîòè÷åñêè p-óñòîé÷èâîé (ïðè íåêîòîðîì p� 0) â öåëîì, åñëè îíà
p-óñòîé÷èâà è ñóùåñòâóåò òàêîå �3 0� , ÷òî èç íåðàâåíñòâà | | | |� �� 3 ñëåäóåò
lim | | ( , , , , )| |
, ,t y h
t
px t y h
�
�sup { }
Y H D
E
�
� �0 0
ïðè âñåõ t t� �0 0 (çàìåòèì, ÷òî ïðè p � 2 áóäåì èìåòü óñòîé÷èâîñòü â ñðåä-
íåì êâàäðàòè÷åñêîì (l.i.m));
— ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâîé â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì â öåëîì, åñëè ñó-
ùåñòâóåò òàêîå �4 0� , ÷òî èç íåðàâåíñòâà | | | |� �� 4 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
E{ }| | ( , , , , )| | | | | |
( )
x t y h Met
t t
0
2 20� � �
�
ïðè íåêîòîðûõ M � 0,
� 0 è äëÿ âñåõ y Y , h H , � D, t t� �0 0.
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
Äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ ïîíàäîáèòñÿ îöåíêà ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)–(3) íà
èíòåðâàëàõ [ , )t tk k�1 [12].
Ëåììà 1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (5)–(7) ïðè âñåõ k � 0 äëÿ ñèëüíîãî ðå-
øåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1)–(3) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
E Esup { }
t t t
t k
k k
x L x t
� � �
�
�
�
�
�
�
� � �
1
2 215 1 4| | | | ( )[ ( ) 2 2
1c t tk k( )]�
�
� �
�exp{ }5 1 42
1
2L L t tk k( )( ) . (10)
Çàìå÷àíèå 2.  äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî c � 0 (ñì. çàìå÷àíèå 1),
à òàêæå èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå
k
k t t t t
t t
k
0
0 0 1
10
�
� �
�
�
�
sup{ } äëÿ
0 ïðè
N : ,
[ , ).
Òåîðåìà 1. Ïóñòü
1) 0 0 01�
� � ��| | , ,t t kk k � � ;
2) âûïîëíåíî óñëîâèå Ëèïøèöà (5);
3) ñóùåñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî
v t y hk ( , , , , )� � è a t y h kk ( , , , , ),� � � 0, òàêèå, ÷òî â ñèëó ñèñòåìû èìååò ìåñòî
íåðàâåíñòâî
Lv t y h a t y hk k( , , , , ) ( , , , , )� � � ��
. (11)
Òîãäà ñèëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1), (3) ñ ìàðêîâñêè-
ìè âîçìóùåíèÿìè òèïà öåïè Ìàðêîâà (2) àñèìïòîòè÷åñêè ñòîõàñòè÷åñêè
óñòîé÷èâî â öåëîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì Ftk
ìèíèìàëüíóþ �-àëãåáðó, îòíîñèòåëüíî êî-
òîðîé èçìåðèìû �( )t ïðè âñåõ t t tk [ , ]0 è � n ïðè n k� . Òîãäà óñëîâíîå ìàòåìà-
òè÷åñêîå îæèäàíèå âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå [18]
E{ }v t t x tk k k k t k tk k� � � � ��
�1 1 1 1 11
( , ( ), , , ( )) /� � � F
�
�
�
�
� � � �lim [ ( , ( ), ( ), ,
t t
k k k k t
k k
kt
v t t t x
1
1
1
1 1 1 1
�
E{ � � �( ))tk�
1 }
v t t t x tk k k k t kk
( , ( ), ( ), , ( ))]� � � . (12)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 99
Ïî îïðåäåëåíèþ îïåðàòîðà Ëÿïóíîâà Lv t y hk ( , , , , )� � èç ðàâåíñòâà (12) ïîëó-
÷àåì, ó÷èòûâàÿ (11), íåðàâåíñòâî
E{ }v t t x tk k k k t k tk k� � � � ��
�1 1 1 1 11
( , ( ), , , ( )) /� � � F
� �v t t x t v t t x tk k k k t k k k k k tk k
( , ( ), , , ( )) ( , ( ), , , (� � � � � �L k tv x
k
)) (| | | | )� . (13)
Èç ëåììû 1 è ñâîéñòâ ôóíêöèè v ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå óñëîâíîãî ìàòåìà-
òè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (13).
Òåïåðü íà îñíîâàíèè (12) çàïèøåì îïåðàòîð Ëÿïóíîâà Lv t tk k k( , ( ),�
� �k t kx t
k
, , ( )) âäîëü ðåøåíèé (1)–(3)
Lv t t x t v t tk k k k t k k k k kk
( , ( ), , , ( )) ( , ( ),� � � � �� � � � �E{ 1 1 1 1 11
, , ( )) /x tt k tk k� �
� F }
�
v t t x t a t t x tk k k k t k k k k k tk k
( , ( ), , , ( )) ( , ( ), , , (� � � � � � k )) � 0. (14)
Òîãäà ïðè k � 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
E{ }v t t x t v tk k k k t k t k kk k� � � � ��
�1 1 1 1 11
( , ( ), , , ( )) / (� � � F , ( ), , , ( )))� � �t x tk k t kk
,
à çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí v t t x tk k k k t kk
( , ( ), , , ( ))� � �
ïðè k N îáðàçóåò ñóïåðìàðòèíãàë îòíîñèòåëüíî Ftk
.
Äàëåå, èñïîëüçóÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà (14),
ñóììèðóÿ ïî k îò n k� 0 äî N ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ, èìååì
E E{ } {v t t x t v tN N N N t N n nN� � � � ��
1 1 1 1 11
( , ( ), , , ( )) ( ,� � � �( ), , , ( ))t x tn n t nn
� � } �
� �
�
�E{ }Lv t t x tk k k k t k
k n
N
k
( , ( ), , , ( ))� � �
�
�
�
�E{ }a t t x tk k k k t k
k n
N
k
( , ( ), , , ( ))� � � 0. (15)
Çàòåì ïîëó÷àåì
P P
N
{sup } {sup sup
t t
t
n t
x t y h
k n�
� �
�
0 0 1
0 1| | ( , , , , )| |� � �
� � �
� �
t t
t
k n
x t y h
0
0 1| | ( , , , , )| |� � � }
� � �
�
P
N
{sup }
n
tx t y h
k n
| | ( , , , , )| |
0 1 0 1� � �
�
�
�
�
�
�
P
N
{sup
n
k n k n k n k n t
v t t x
k n0 0 0 0
0
1 1 1 1( , ( ), ,� �
1
,
� �( )) ( )t vk n0 1 1�
� } � ��1 0. (16)
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè sup| | | |x rtk
� , òî íà îñíîâàíèè (9) äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ
íåðàâåíñòâî
sup inf
k k
k k k k t k
k k y
h
v t t x t
k
� �
�
0 0
( , ( ), , , ( ))
, ,
, |
� � �
Y
H | ||
( , , , , ) ( )
�
� �
�
�
r
kv t y h v r .
Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûì íåðàâåíñòâîì äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ñó-
ïåðìàðòèíãàëîâ [17] äëÿ îöåíêè ïðàâîé ÷àñòè (16):
P
N
{sup
n
k n k n k n k n tv t t x
k n
�
�
�
�
�
0 0 0 0 0
1 1 1 1( , ( ), ,� �
1 0 1 1, ( )) ( )� �t vk n�
� �}
� �
1
1 1
0v
v t y h
v
v
k
( )
( , , , , )
(| | | | )
( )�
� �
�
�
. (17)
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4
C ó÷åòîì (16) íåðàâåíñòâî (17) ãàðàíòèðóåò âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà
P{sup }
t t
tx t y h
�
� �
0
0 1 2| | ( , , , , )| |� � � � � � �� �1 20 0, ,
à ýòî çíà÷èò, ÷òî ñèñòåìà (1)–(3) óñòîé÷èâà ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì.
Èç íåðàâåíñòâà (15) ñëåäóåò îöåíêà
E{ }v t t x t v t y hN N N N t N kN� � � � ��
�1 1 1 1 11 0
( , ( ), , , ( )) ( , ,� � � , , )� �
�
�
�E{ }a t t x t v t y hk k k k t k
k k
N
kk
( , ( ), , , ( )) ( , , , , )� � � � �
0
0
� � N k y h0 , , ,Y H D� . (18)
 ñèëó òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }ak , k � 0, îáðàçóåò ôóíêöèîíàëû Ëÿ-
ïóíîâà–Êðàñîâñêîãî, ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíûå ñòðîãî ìîíîòîííûå ôóíêöèè
a r( ) è a r( ) òàêèå, ÷òî
a a t y h ak(| | | | ) ( , , , , ) (| | | | )� � � �� � � k N , y Y , h H , � D, a a( ) ( )0 0 0� � .
Òàêèì îáðàçîì, èç ñõîäèìîñòè ðÿäà â (18) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà
E
k k
ta x t y h
k
�
�
0
0{ }(| | ( , , , , )| | )� � � �t0 0, y Y , h H , � D.
Òîãäà â ñèëó íåïðåðûâíîñòè a r( ) è ðàâåíñòâà a( )0 0� èìååì
lim | | ( , , , , )| |
k
tx t y h
k�
�0 0� � . (19)
Èç (19) ñëåäóåò ñòðåìëåíèå ê íóëþ ïî âåðîÿòíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
v x t y htk
(| | ( , , , , )| | )0 � � ïðè k �
äëÿ âñåõ t0 0� , y Y , h H , � D.
Çíà÷èò, èç ñâîéñòâ ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî [7] çàêëþ÷àåì, ÷òî íå-
îòðèöàòåëüíûé ñóïåðìàðòèíãàë v t t x tk k k k t kk
( , ( ), , , ( ))� � � ïðè k � �
ñòðåìèòñÿ
ê íóëþ ïî âåðîÿòíîñòè ïðè âñåõ ðåàëèçàöèÿõ ïðîöåññà � è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � k .
Äàëåå íåîòðèöàòåëüíûé îãðàíè÷åííûé ñâåðõó ñóïåðìàðòèíãàë èìååò ïðåäåë
ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà [17]. Òîãäà èñïîëüçóÿ (10), ïîëó÷àåì
lim | | ( , , , , )| |
T t T
tx t y h
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�P sup 0 0� � �
äëÿ âñåõ y Y , h H , � D è T t� �0 0, ÷òî ïîäòâåðæäàåò àñèìïòîòè÷åñêóþ
ñòîõàñòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü â öåëîì ñèëüíîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1)–(3).
Òåîðåìà 1 äîêàçàíà. �
Êàê ñëåäñòâèå òåîðåìû 1 ñëåäóåò óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1, 2 òåîðåìû 1, à â ñèëó ñèñòåìû
(1)–(3) äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî { }v kk , � 0
èìååò ìåñòî Lv t y hk ( , , , , )� � � 0 � k N , y Y , h H è � D.
Òîãäà èìïóëüñíàÿ ñèñòåìà (1)–(3) óñòîé÷èâà ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–3 òåîðåìû 1 è ôóíêöèîíàëû Ëÿïó-
íîâà–Êðàñîâñêîãî { }vk , { }ak , k � 0, óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì
c v t y h ck1
2
2
2| | | | ( , , , , ) | | | |� � � �� � , (20)
c a t y h ck2
2
4
2| | | | ( , , , , ) | | | |� � � �� � (21)
ïðè íåêîòîðûõ ci � 0, i �1 4, , äëÿ âñåõ k � 0, y Y , h H , � D.
Òîãäà ñèñòåìà ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà
â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì â öåëîì.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 101
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçîâàâ íåðàâåíñòâî (14) ïðè n k� 0 , íà îñíîâàíèè
(20) ëåãêî ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
E E{ } {| | | | ( , ( ), , , (x
c
v t t xt N N N N tN N� �
� � � � �1 1
2
1
1 1 1 1
1
� � � t N � �1 ))}
� �
1
1
2
1
2
0 0 0 0 0 0c
v t t x t
c
c
k k k k t kk
E{ }( , ( ), , , ( )) | | | |� � � �
äëÿ âñåõ N k� 0 , k N0 , � D è íà÷àëüíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ ñëó÷àéíîãî âåê-
òîðà { }� �( ),tk k0 0
. Ïîýòîìó ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
E{ }| | ( , , , , )| |x t y ht 0
2 0� � � �� � � ,
à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèñòåìà (1)–(3) óñòîé÷èâà â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì.
Äàëåå, èñïîëüçîâàâ íåðàâåíñòâà (15), (20) è (21), ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
E E{ } {| | | | ( , ( ), , ,x
c
a t t xt
k k
N
k k
N
k k k k tN k�
� �
� ��
1
0 0
2
3
1
� � �( ))tk } �
� �
1
3
2
3
2
0 0 0 0 0 0c
v t t x t
c
c
k k k k t kk
E{ }( , ( ), , , ( )) | | | |� � � � ,
ãàðàíòèðóþùåå ñõîäèìîñòü ðÿäà, ÷ëåíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ E{ }| | | |xtN� 1
2 äëÿ
ëþáûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ xtk0
� � è íà÷àëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîãî
âåêòîðà { }� �( ),tk k0 0
. Òàêèì îáðàçîì,
lim | | ( , , , , )| |
, ,k y h
tx t y h
k�
�sup { }
Y H D
E
�
� �0
2 0 ïðè âñåõ t0 0� ,
÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó 3. �
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2 è èìååò ìåñòî íåðàâåí-
ñòâî (20), òî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå — äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà (1)–(3) óñòîé÷èâà
â l.i.m. â öåëîì.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 3 è ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî
�1 0� , ÷òî
| |t tk k�
�1 1� � �k 0. (22)
Òîãäà ñèñòåìà (1)–(3) ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâà â l.i.m. â öåëîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íà îñíîâàíèè (10) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî íåðàâåíñòâî
èç îïðåäåëåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè â l.i.m. â öåëîì âûïîëíÿåòñÿ
� x m
R , t S , ïîñêîëüêó äëÿ t t tk k �[ , )1 , k n� , èç îïðåäåëåíèÿ k0 ñëåäóåò íå-
ðàâåíñòâî
e e e
t t t tk k k
�
( ) ( )0 0 1�
.
Âîñïîëüçóåìñÿ îáîçíà÷åíèÿìè èç òåîðåìû 1 è äîêàçàííûì ðàíåå ðàâåíñòâîì
E{ }v t t x tk k k k t k tk k� � � � ��
�1 1 1 1 11
( , ( ), , , ( )) /� � � F
� �v t t x t v t t x tk k k k t k k k k k tk k
( , ( ), , , ( )) ( , ( ), , , (� � � � � �L k )) (23)
äëÿ ëþáûõ k � 0 è íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé xt0
, � �( ),t0 0 .
Èç óñëîâèé òåîðåìû 4 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
Lv t y h a t y h c
c
c
v tk k k( , , , , ) ( , , , , ) | | | | ( ,� � � � ��
�
�
3
2 3
2
y h, , , )� � .
Òîãäà èç (23) ëåãêî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî
E E{ { }}v t t x tk k k k t k tk k� � � � ��
�1 1 1 1 11
( , ( ), , , ( )) /� � � F
�
�
�
!
"
##1 3
2
c
c
v t t x tk k k k t kk
E{ }( , ( ), , , ( ))� � � .
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4
Åñëè k0 1� , òî èç ïîñëåäíåé îöåíêè � �k k0 ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
E E{ { }}v t t x tk k k k t k tk k
( , ( ), , , ( )) /� � � F �
�
�
�
!
"
##
1 3
2
0
0 0 0 0 0 0
c
c
v t t x t
k k
k k k k t kk
E{ ( , ( ), , , (� � � ))}.
Îòñþäà, èñïîëüçóÿ óñëîâèå òåîðåìû 3, ïîëó÷àåì
E E{ } {| | ( , , , , )| | ( , ( ), , , (x t y h
c
v t t xt k k k k tk k0
2
1
1
� � � � �� tk ))} �
�
�
�
!
"
##
c
c
c
c
x
k k
tk
2
1
3
2
21
0
| | | | .
Íå òåðÿÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü c c2 3� . Òîãäà 1 0 13
2
�
�
!
"
##
c
c
( , ).
Îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ íåðàâåíñòâîì (10), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó 4. �
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû ñ ìàðêîâñêè-
ìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè è âíåøíèìè âîçìóùåíèÿìè ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëî-
âèÿ óñòîé÷èâîñòè â ðàçëè÷íûõ âåðîÿòíîñòíûõ ñìûñëàõ, à èìåííî: óñòîé÷èâîñ-
òè ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì, àñèìïòîòè÷åñêîé ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè
â öåëîì, óñòîé÷èâîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì â öåëîì, àñèìïòîòè÷åñêîé
óñòîé÷èâîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì â öåëîì, ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷è-
âîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì â öåëîì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Àíäðîíîâ À.À., Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ., Âèòò À.À. Î ñòîõàñòè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè äèíàìè÷åñêèõ
ñèñòåì. ÆÝÒÒ. 1933. Âûï. 3, ¹ 3. Ñ. 165–180.
2. Ìèëüìàð Â.Ä., Ìûøêèñ À.Ä. Îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ïðè íàëè÷èè òîë÷êîâ Ñèá. ìàòåì.
æóðí. 1960. Ò. 1, ¹ 2. Ñ. 233–237.
3. Âîðîâè÷ Í.Í. Îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ïðè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèÿõ. Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð.
Ìàòåì. 1965. Ò. 20, ¹ 1. Ñ. 43–48.
4. Ãèõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â. Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðèìåíåíèÿ.
Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1982. 612 ñ.
5. Êàö È.ß., Êðàñîâñêèé Í.Í. Îá óñòîé÷èâîñòè ñèñòåì ñî ñëó÷àéíûìè ïàðàìåòðàìè Ïðèêë. ìàò.
è ìåõàí. 1960. Ò. 1, ¹ 2. Ñ. 809–823.
6. Êàö È.ß. Ìåòîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà â çàäà÷àõ óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè ñèñòåì ñëó÷àéíîé
ñòðóêóòðû. Åêàòåðèíáóðã: Èçä-âî Óðàëüñêîé ãîñàêàäåìèè ïóòåé ñîîáùåíèÿ, 1998. 222 ñ.
7. Ñâåðäàí Ì.Ë., Öàðüêîâ Å.Ô. Óñòîé÷èâîñòü ñòîõàñòè÷åñêèõ èìïóëüñíûõ ñèñòåì. Ðèãà: ÐÒÓ,
1994. 300 ñ.
8. Lukashiv T.O., Yurchenko I.V., Yasinskii V.K. Lyapunov function method for investigation of
stability of stochastic Ito random-structure systems with impulse Markov switchings. I. General
theorems on the stability of stochastic impulse systems. Cybernetics and Systems Analysis. 2009.
Vol. 45, N 2. P. 281–290.
9. Lukashiv T.O., Yurchenko I.V., Yasinskii V.K. Lyapunov function method for investigation of
stability of stochastic Ito random-structure systems with impulse Markov switchings. II.
First-approximation stability of stochastic impulse systems with markov parameters. Cybernetics and
Systems Analysis. 2009. Vol. 45, N 3. P. 464–476.
10. Lukashiv T.O., Yasinskiy V.K., Yasinskiy E.V. Stabilization of stochastic diffusive dynamical
systems with impulse Markov switchings and parameters. Part I. Stability of impulse stochastic
systems with Markov parameters. Journal of Automation and Information Sciences. 2009. Vol. 41,
N 2. P. 1–24.
11. Lukashiv T.O., Yasinskaya L.I., Yasinskiy V.K. Stabilization of stochastic diffusive dynamical
systems with impulse Markov switchings and parameters. Part II. Stabilization of dynamical systems
of random structure with external Markov switchings. Journal of Automation and Information
Sciences. 2009. Vol. 41, N 4. P. 26–42.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4 103
12. Ëóêàø³â Ò.Î., ×àáàíþê ß.Ì., ßñèíñüêèé Â.Ê. Âèáðàí³ ïèòàííÿ ñò³éêîñò³ ñèñòåì âèïàäêîâî¿
ñòðóêòóðè ç³ ñê³í÷åííîþ ï³ñëÿ䳺þ ç óðàõóâàííÿì çîâí³øí³õ ìàðêîâñüêèõ ïåðåìèêàíü. ³ñíèê
Íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó «Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà». Cåð.: Ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. 2010.
¹ 601. Ñ. 67–72.
13. Yasinsky V.K. Stability of stochastic dynamic random-structure systems with aftereffect and external
Markov switchings. Cybernetics and Systems Analysis. 2013. Vol. 49, N 5. P. 706–719.
14. Ëóêàø³â Ò.Î., ßñèíñüêèé Â.Ê. Ñò³éê³ñòü çà éìîâ³ðí³ñòþ â ö³ëîìó ñòîõàñòè÷íèõ äèíàì³÷íèõ
ñèñòåì âèïàäêîâî¿ ñòðóêòóðè ç ïîñò³éíèì çàï³çíåííÿì. Âîëèíñüêèé ìàòåìàòè÷íèé â³ñíèê.
Ñåð.: Ïðèêëàäíà ìàòåìàòèêà. 2013. Âèï. 10 (191). Ñ. 140–151.
15. Yasinsky V.K. Stability in the first approximation of random-structure diffusion systems with
aftereffect and external Markov switchings. Cybernetics and Systems Analysis. 2014. Vol. 50, N 2.
P. 248–259.
16. Koroliuk V.S., Yurchenko I.V., Yasinskyy V.K. Behavior of the second moment of the solution to
the autonomous stochastic linear partial differential equation with random parameters in the
rigth-hand side. Cybernetics and Systems Analysis. 2015. Vol. 51, N 1. P. 56–63.
17. Äóá Äæ. Âåðîÿòíîñòíûå ïðîöåññû. Ìîñêâà: Ôèçìàòãèç, 1963. 605 ñ.
18. Äûíêèí Å.Á. Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. Ìîñêâà: Ôèçìàòãèç., 1969. 859 ñ.
19. Ethier S.N., Kurtz T.G. Markov processes. Characterization and convergence. New York: Wiley,
2005. 552 p.
20. Ñêîðîõîä À.Â. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1987. 328 ñ.
21. Öàðüêîâ Å.Ô. Ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé. Ðèãà:
Çèíàòíå, 1989. 421 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 21.12.2016
Ò.Î. Ëóêàø³â, Â.Ê. ßñèíñüêèé
ÑÒ²ÉʲÑÒÜ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÍÈÕ ÑÈÑÒÅÌ ÂÈÏÀÄÊÎÂί ÑÒÐÓÊÒÓÐÈ Ç ÌÀÐÊÎÂÑÜÊÈÌÈ
ÏÅÐÅÌÈÊÀÍÍßÌÈ ² ÇÁÓÐÅÍÍßÌÈ
Àíîòàö³ÿ. Çà äîïîìîãîþ àïàðàòó ôóíêö³îíàë³â Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñüêîãî
äîñë³äæåíî ñò³éê³ñòü çà éìîâ³ðí³ñòþ, àñèìïòîòè÷íó ñòîõàñòè÷íó ñò³éê³ñòü,
ñò³éê³ñòü â ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó, åêñïîíåíö³éíó ñò³éê³ñòü â ñåðåäíüî-
ìó êâàäðàòè÷íîìó â ö³ëîìó ñòîõàñòè÷íèõ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì âèïàäêîâî¿
ñòðóêòóðè ç ìàðêîâñüêèìè ïåðåìèêàííÿìè ³ çáóðåííÿìè.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñòîõàñòè÷íà äèíàì³÷íà ñèñòåìà, àñèìïòîòè÷íà ñò³éê³ñòü,
åêñïîíåíö³éíà ñò³éê³ñòü, ñò³éê³ñòü çà éìîâ³ðí³ñòþ, ñò³éê³ñòü ó ñåðåäíüîìó
êâàäðàòè÷íîìó.
T.O. Lukashiv, V.K. Yasinsky
STABILITY OF STOCHASTIC SYSTEMS OF RANDOM STRUCTURE
WITH MARKOV SWITCHINGS AND PERTURBATIONS
Abstract. The authors use Lyapunov–Krasovsky functionals to investigate the
stability in probability, asymptotic stability in probability, stability in the mean
square, exponential stability in the mean square in the whole of stochastic
dynamic systems of random structure with Markov switchings and perturbation.
Keywords: stochastic dynamic systems, asymptotic stability, exponential
stability, stability over probability, stability in the mean square.
Ëóêàøèâ Òàðàñ Îëåãîâè÷,
àññèñòåíò êàôåäðû ×åðíîâèöêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Þðèÿ Ôåäüêîâè÷à,
e-mail: t.lukashiv@gmail.com.
ßñèíñêèé Âëàäèìèð Êèðèëëîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð ×åðíîâèöêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà
èìåíè Þðèÿ Ôåäüêîâè÷à, e-mail: yasinsk@list.ru.
104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 4
|