Определение стационарных характеристик некоторых систем обслуживания с эрланговскими распределениями
Предложен метод исследования систем обслуживания M/Es/1/m, Er/Es/1/m и Er/M/n/m, включая случай m=∞. Получены рекуррентные соотношения для вычисления стационарного распределения числа заявок в системе и стационарных характеристик. Построенные алгоритмы проверены на примерах с использованием имитацио...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144798 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Определение стационарных характеристик некоторых систем обслуживания с эрланговскими распределениями / Ю.В. Жерновый // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 141–150. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-144798 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1447982019-01-05T01:23:06Z Определение стационарных характеристик некоторых систем обслуживания с эрланговскими распределениями Жерновый, Ю.В. Системний аналіз Предложен метод исследования систем обслуживания M/Es/1/m, Er/Es/1/m и Er/M/n/m, включая случай m=∞. Получены рекуррентные соотношения для вычисления стационарного распределения числа заявок в системе и стационарных характеристик. Построенные алгоритмы проверены на примерах с использованием имитационных моделей, созданных с помощью инструментальных средств GPSS World. Запропоновано метод дослідження систем обслуговування M/Es/1/m, Er/Es/1/m та Er/M/n/m, в тому числі для випадку m=∞. Отримано рекурентні співвідношення для обчислення стаціонарного розподілу кількості замовлень у системі та стаціонарних характеристик. Побудовані алгоритми перевірено на прикладах з використанням імітаційних моделей, створених за допомогою інструментальних засобів GPSS World . We propose a method to study M/Es/1/m, Er/Es/1/m, and Er/M/n/m queueing systems, including the case of m=∞. Recurrence relations are obtained to compute the stationary distribution of the number of customers in the system and the steady-state characteristics. The developed algorithms are tested on examples using simulation models constructed with the assistance of the GPSS World tools . 2017 Article Определение стационарных характеристик некоторых систем обслуживания с эрланговскими распределениями / Ю.В. Жерновый // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 141–150. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144798 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Жерновый, Ю.В. Определение стационарных характеристик некоторых систем обслуживания с эрланговскими распределениями Кибернетика и системный анализ |
| description |
Предложен метод исследования систем обслуживания M/Es/1/m, Er/Es/1/m и Er/M/n/m, включая случай m=∞. Получены рекуррентные соотношения для вычисления стационарного распределения числа заявок в системе и стационарных характеристик. Построенные алгоритмы проверены на примерах с использованием имитационных моделей, созданных с помощью инструментальных средств GPSS World. |
| format |
Article |
| author |
Жерновый, Ю.В. |
| author_facet |
Жерновый, Ю.В. |
| author_sort |
Жерновый, Ю.В. |
| title |
Определение стационарных характеристик некоторых систем обслуживания с эрланговскими распределениями |
| title_short |
Определение стационарных характеристик некоторых систем обслуживания с эрланговскими распределениями |
| title_full |
Определение стационарных характеристик некоторых систем обслуживания с эрланговскими распределениями |
| title_fullStr |
Определение стационарных характеристик некоторых систем обслуживания с эрланговскими распределениями |
| title_full_unstemmed |
Определение стационарных характеристик некоторых систем обслуживания с эрланговскими распределениями |
| title_sort |
определение стационарных характеристик некоторых систем обслуживания с эрланговскими распределениями |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144798 |
| citation_txt |
Определение стационарных характеристик некоторых систем обслуживания с эрланговскими распределениями / Ю.В. Жерновый // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 141–150. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT žernovyjûv opredeleniestacionarnyhharakteristiknekotoryhsistemobsluživaniâsérlangovskimiraspredeleniâmi |
| first_indexed |
2025-07-10T20:11:08Z |
| last_indexed |
2025-07-10T20:11:08Z |
| _version_ |
1837292090272251904 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Þ.Â. ÆÅÐÍÎÂÛÉ
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ
ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÑÈÑÒÅÌ ÎÁÑËÓÆÈÂÀÍÈß Ñ ÝÐËÀÍÃÎÂÑÊÈÌÈ
ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈßÌÈ
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ
M E ms/ / /1 , E E mr s/ / /1 è E M n mr / / / , âêëþ÷àÿ ñëó÷àé m � �. Ïîëó÷åíû
ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå è ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê. Ïîñòðîåííûå àëãî-
ðèòìû ïðîâåðåíû íà ïðèìåðàõ ñ èñïîëüçîâàíèåì èìèòàöèîííûõ ìîäåëåé,
ñîçäàííûõ ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ GPSS World.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèñòåìà îáñëóæèâàíèÿ, ýðëàíãîâñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ,
ìåòîä ôèêòèâíûõ ôàç, ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ, ñòàöèîíàðíûå õàðàê-
òåðèñòèêè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Àíàëèç ýôôåêòèâíîñòè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ
íåïóàññîíîâñêèì âõîäÿùèì ïîòîêîì è ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè îáñëóæèâà-
íèÿ, îòëè÷íûì îò ïîêàçàòåëüíîãî, ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûì è âûïîëíÿåò-
ñÿ òîëüêî äëÿ ïðîñòûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàçðàáîòàíû ìå-
òîäèêè, îáåñïå÷èâàþùèå âîçìîæíîñòü ïðîâåäåíèÿ àíàëèçà íåìàðêîâñêèõ ñèñ-
òåì ñ ïîìîùüþ ìàðêîâñêèõ ìîäåëåé. Òàêîé ïîäõîä ñâîäèòñÿ ê èñïîëüçîâàíèþ
ìåòîäà ôèêòèâíûõ ôàç, îñíîâàííîãî íà ïðåäñòàâëåíèè íåïîêàçàòåëüíûõ ðàñ-
ïðåäåëåíèé â âèäå ðàñïðåäåëåíèé ôàçîâîãî òèïà [1–6]. Èññëåäóåìàÿ ñèñòåìà
«ìàðêîâèçèðóåòñÿ» ïðåäñòàâëåíèåì èñõîäíûõ ðàñïðåäåëåíèé â âèäå ïîñëåäî-
âàòåëüíîé (ðàñïðåäåëåíèå Ýðëàíãà), ïàðàëëåëüíîé (ãèïåðýêñïîíåíöèàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå) èëè ïàðàëëåëüíî-ïîñëåäîâàòåëüíîé ñèñòåìû ôàç ñ ïîêàçàòåëü-
íî ðàñïðåäåëåííûì âðåìåíåì ïðåáûâàíèÿ â êàæäîé èç íèõ.
Ó÷åò ôàç òðåáóåò ôèêñàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîñòîÿíèé è ïðèâîäèò ê óâåëè÷å-
íèþ ãðîìîçäêîñòè îïèñàíèÿ ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè ôàçîâîãî
òèïà. Íåïîñðåäñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñ-
òåé ñîñòîÿíèé ìîæåò îêàçàòüñÿ íåâîçìîæíûì ââèäó áîëüøîé ðàçìåðíîñòè ìàòðèöû
êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû. Íàèáîëåå öåëåñîîáðàçíûì ÿâëÿåòñÿ àëãîðèòìè÷åñêèé
ïîäõîä, ïðåäïîëàãàþùèé ïîëó÷åíèå ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé ëèáî â âèäå ðå-
êóððåíòíûõ ôîðìóë, ëèáî â âèäå ìàòðè÷íî-ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé è àëãîðèò-
ìîâ. Ìàòðè÷íî-ãåîìåòðè÷åñêèé ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé â [1, 3, 4], îñíîâàí íà
ïðåäâàðèòåëüíîì àíàëèçå ðåøàåìîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî
îíà ðàçáèâàåòñÿ íà ïîäñèñòåìû ìåíüøåãî ïîðÿäêà, ñâÿçàííûå ìåæäó ñîáîé ðåêóð-
ðåíòíûìè çàâèñèìîñòÿìè. Åñëè ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ýòèõ ïîäñèñòåì óäàåòñÿ
îáðàòèòü, òî âñëåäñòâèå èõ ðåêóððåíòíîé ñâÿçàííîñòè ìîæíî ïîëó÷èòü ðåêóððåí-
òíûå ôîðìóëû â ìàòðè÷íîì èëè ñêàëÿðíîì âèäå äëÿ ðåøåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû.
Ðàçðàáîòàííûé â [2, 5, 6] ìàòðè÷íûé ðåêóððåíòíî-èòåðàöèîííûé ìåòîä ðå-
øåíèÿ âåêòîðíî-ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé áàëàíñà ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè
äëÿ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè ôàçîâîãî òèïà èìååò ðÿä íåäîñòàò-
êîâ: âûïîëíåíèå óñëîâèé ñõîäèìîñòè èòåðàöèé ïðèâîäèò ê äîïîëíèòåëüíûì òðå-
áîâàíèÿì, ïðåäúÿâëÿåìûì ê ìàòðèöàì ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè, à íàëè÷èå
ñàìèõ èòåðàöèé óâåëè÷èâàåò âðåìÿ ñ÷åòà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 141
© Þ.Â. Æåðíîâûé, 2017
Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû — ïîñòðîåíèå ðåêóððåíòíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñëåäóþùèõ ñèñòåìàõ îá-
ñëóæèâàíèÿ ñ ýðëàíãîâñêèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè: M E ms/ / /1 , E E mr s/ / /1 è
E M n mr / / / , âêëþ÷àÿ ñëó÷àé m � � . Ïðåäëàãàåìûé ìåòîä îñíîâàí íà èñïîëüçî-
âàíèè ïðÿìûõ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé, ñëåäóþùèõ íåïîñðåäñòâåííî èç
óðàâíåíèé ñèñòåìû äëÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé.  îòëè÷èå îò ðåêóððåíò-
íî-èòåðàöèîííîãî ìåòîäà îí íå ñîäåðæèò èòåðàöèé, à â îòëè÷èå îò ìàòðè÷íî-ãåî-
ìåòðè÷åñêîãî ïîäõîäà îí íå ïðåäïîëàãàåò ïðåäâàðèòåëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ðå-
øàåìîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Àíàëîãè÷íûé ïîäõîä èñïîëüçîâàëñÿ ðàíåå â [7, 8],
ãäå ðàçðàáîòàíû ðåêóððåíòíûå àëãîðèòìû äëÿ ñèñòåì M E m/ / /2 2 ,
M E/ / /2 2 �, M E m/ / /2 3 è M E/ / /2 3 � , à òàêæå äëÿ òàêèõ æå ñèñòåì ñî
ñëó÷àéíûì îòáðàñûâàíèåì çàÿâîê.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÑÈÑÒÅÌÛ M E ms/ / /1
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó M E ms/ / /1 , ãäå m — ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî çàÿâîê, êîòî-
ðûå îäíîâðåìåííî ìîãóò íàõîäèòüñÿ â î÷åðåäè. Âõîäÿùèé ïîòîê çàÿâîê —
ïðîñòåéøèé, ò.å. èíòåðâàëû âðåìåíè ìåæäó ìîìåíòàìè ïðèáûòèÿ ñîñåäíèõ ïî
âðåìåíè çàÿâîê ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ïîêàçàòåëü-
íî ðàñïðåäåëåííûìè ñ ïàðàìåòðîì � . Âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ êàæäîé çàÿâêè
ðàñïðåäåëåíî ñîãëàñíî îáîáùåííîìó çàêîíó Ýðëàíãà ïîðÿäêà s , ò.å. ïðåäñòàâ-
ëÿåò ñóììó s íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïîêàçàòåëüíî ðàñïðåäåëåííûõ
ñîîòâåòñòâåííî ñ ïàðàìåòðàìè � � �1 2, , ,� s.
Íà îñíîâàíèè ìåòîäà ôàç ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ñîñòîÿíèé
ñèñòåìû: s0 — â ñèñòåìå íåò çàÿâîê; sk i — â ñèñòåìå k çàÿâîê ( )1 1� � �k m , îá-
ñëóæèâàåìàÿ çàÿâêà ïðåáûâàåò íà i-é ôàçå îáñëóæèâàíèÿ ( )1 � �i s . Ñòàöèîíàð-
íûå âåðîÿòíîñòè ïðåáûâàíèÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèÿõ s0 è sk i îáîçíà÷èì p0 è pk i
ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷èì ñèñòåìó
óðàâíåíèé:
� � �� �p ps s0 1 0 ;
� � � � �( )� � � �1 11 0 2 0p p ps s ;
� � � � � �� �( ) ,,� � �i i i ip p i s1 1 1 1 0 2 ; (1)
� � � � � � �� �( ) ,, ,� � � �1 1 1 1 1 0 2p p p k mk k s k s ;
� � � � � � � � �� � �( ) , ,, ,� � � �i k i k i i k ip p p k m i s1 1 1 0 2 2 ;
� � ��� �1 1 1 1 0p pm m, ;
� � � � � �� � � �� � �i m i m i i m ip p p i s1 1 1 1 0 2, , , ;
p pk i
i
s
k
m
0
11
1
1� �
��
�
�� . (2)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
�
�
�
�
�
�
i
i
i
i
k i
k i
i s i s p
p
p
k m i� � � � � � � � � � � �, ; , ; ~ , ,1 2 1 1 1
1 0
s ,
òîãäà ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (1) íàõîäèì
~p s s1 � � ; ~ ~
,p pi
i
i
i1
1 1
1 1�
� �
�
� �
�
, i s s� � �1 2 1, , ,� ;
142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5
~ (( )~ )p ps
s
2 1 11 1
1
1� � �
�
� � ;
~ (( ) ~ ~ ), ,, ,p p p k m i sk i
i
i k i k i� � � � � � �� � � �
1
2 11 1 1 1 1 1
�
� � � , , ,s�2 1� ;
~ (( )~ ~ ),, ,p p p k mk s
s
k k� � � � �� �
1
1 31 1 1 1 2 1
�
� � ; (3)
~ ~ ; ~ ( ~ ~ ),, , ,p p p p pm m m i
i
m i i m i� � � � �� � �1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2�
�
� � � �i s.
Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ (3) ïîçâîëÿþò âû÷èñëÿòü íåèçâåñòíûå ~pk i â ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè ~p s1 ; ~p i1 , i s s� � �1 2 1, , ,� ; ~p s2 ; ~p i2 , i s s� � �1 2 1, , , ;� � ,
~ ; ~ ,p p i sm s m i � �1 , s p p i sm m i� � �� �2 1 21 1 1, , ; ~ ; ~ ,, ,� . Çàòåì, èñïîëüçóÿ óñëîâèå
íîðìèðîâêè (2), îïðåäåëÿåì ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè ïî ôîðìóëàì
p p p p p p pk
k
m
k k i
i
s
k k0
1
1
1
1
01 1� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �~ , ~ ~ , ~ , � � �k m 1,
ãäå pk — ñòàöèîíàðíàÿ âåðîÿòíîñòü íàëè÷èÿ â ñèñòåìå k çàÿâîê.
Ñòàöèîíàðíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû M E ms/ / /1 , à èìåííî ñðåäíåå ÷èñ-
ëî çàÿâîê â ñèñòåìå E( )C , ñðåäíþþ äëèíó î÷åðåäè E( )Q , âåðîÿòíîñòü îáñëóæè-
âàíèÿ ïîñòóïèâøåé çàÿâêè (îòíîñèòåëüíóþ ïðîïóñêíóþ ñïîñîáíîñòü ñèñòåìû)
Psv è ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ E( )W , íàõîäèì ïî ôîðìóëàì
E E( ) , ( ) ( )C kp Q k p
k
m
k
k
m
k� � �
�
�
�
�
� �
1
1
2
1
1 ; (4)
Psv � � �1 1pm , E
E
P
( )
( )
W
Q
�
� sv
.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÑÈÑÒÅÌÛ E E mr s/ / /1
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó E E mr s/ / /1 , êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò ñèñòåìû M E ms/ / /1
òåì, ÷òî èíòåðâàëû âðåìåíè ìåæäó ìîìåíòàìè ïðèáûòèÿ ñîñåäíèõ ïî âðåìåíè
çàÿâîê ïðåäñòàâëÿþò ñóììó r íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïîêàçàòåëüíî
ðàñïðåäåëåííûõ ñîîòâåòñòâåííî ñ ïàðàìåòðàìè � � �1 2, , ,� r .
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû: s i0 — â ñèñòåìå
íåò çàÿâîê, èíòåðâàë âðåìåíè äî ïðèáûòèÿ ïåðâîé çàÿâêè íàõîäèòñÿ â i-é ôàçå
( )1 � �i r ; sk i j — â ñèñòåìå k çàÿâîê ( )1 1� � �k m , èíòåðâàë âðåìåíè äî ïðèáû-
òèÿ î÷åðåäíîé çàÿâêè íàõîäèòñÿ â i-é ôàçå ( )1 � �i r , îáñëóæèâàåìàÿ çàÿâêà ïðå-
áûâàåò íà j-é ôàçå îáñëóæèâàíèÿ ( )1 � �j s . Ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè ïðåáûâà-
íèÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèÿõ s i0 è sk i j îáîçíà÷èì p i0 è pk i j ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé:
� � �� �1 01 11 0p ps s ;
� � � � � �� �� � �i i i i s i sp p p i r0 1 0 1 1 0 2, , ;
� � � � �( )� � � �1 1 111 0 21 0p p pr r s s ;
� � � � � �� �( ) ,,� � �1 11 1 11 1 0 2j j j jp p j s ;
� � � � � � �� �( ) ,, ,� � � �1 1 11 1 1 1 1 0 2p p p k mk r k r s k s ;
� � � � � � � � �� � �( ) , ,, ,� � � �1 1 1 1 1 1 0 2 2j k j r k rj j k jp p p k m j s ;
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 143
� � � � � � � � �� � �( ) , ,, , ,� � � �i k i i k i s k i sp p p k m i r1 1 1 1 1 1 0 1 2 ;
� � � � � � � � �� � � �( ) , ,, , ,� � � �i j k i j i k i j j k i jp p p k m i1 1 1 1 0 1 2 r j s, 2 � � ;
� � � � �� �( ) ( ), ,� � �1 1 1 11 1 1 1 0p p pm r m r m r ;
� � � � � �� � � �( ) ,, , ,� � �i m i i m ip p i r1 1 1 1 1 1 1 0 2 ; (5)
� � � � � �� � � � �( ) ( ) ,, , , ,� � � �1 1 1 1 1 1 1 1 0j m j r m rj m rj j m jp p p p 2 � �j s;
� � � � � �� � � � � � �( ) ,, , , , ,� � � �i j m i j i m i j j m i jp p p1 1 1 1 1 1 1 0 2 i r j s� � �, 2 ;
p pi
i
r
k i j
j
s
i
r
k
m
0
1 111
1
1
� ���
�
� ���� � . (6)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
�
�
�
�
�
�
i j
i
j
j
j
i
i
i r j s j s p
p
p
i� � � � � � � � � �, , ; , ; ~ ,1 1 2 1
1
0
0
01
� r;
~ , , , ; ~ , ,p
p
p
k m i r j s p q i r qk i j
k i j
i i� � � � � � � � � � �
01
0 11 1 1 1 1 �1,
òîãäà ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (5) íàõîäèì
~ ; ~ ~ , , , ,,p p p j s ss s j
j
j
j11 1 11
11 1
11 1 1 2 1� �
�
� � �
�
��
� �
�
� ;
~ ( ),,p q q i ri s
s
i i i i1 1 1 1 1
1
2� � � �� �
�
� � ;
~ (( )~ )p p qs
s
r r21 11 111 1
1
1� � �
�
� � ;
~ (( )~ ~ ),, ,p p p k mk s
s
k r k r1 11 1 11 1 2 1
1
1 3 1� � � � � �� �
�
� � ;
~ (( )~ ~ ),, , , ,p p p kk j
j
j k j r k r j1 11 1 1 1 1 1 1
1
2� � � � �� � � �
�
� � � m j s s, , , ,� � �1 2 1� ;
~ (( )~ ~ ),, , , ,p p p k mk i s
s
i k i i k i� � � � �� � � �
1
1 21 1 1 1 1 1 1 1
�
� � � � �1 2, i r ; (7)
~ (( )~ ~ ), , , ,p p pk i j
j
i j k i j i k i j� � �� � � � �
1
1 1 1 1 1 1 1
�
� � � ,
1 1 2 1 2 1� � � � � � � �k m i r j s s, , , , ,� ;
~ (( )~ (~ ~
, , , ,p p p pm j
j
j m j r m r j� � � � �� � � �1 1 11 1 1 1 1 1 1
1
�
� � � m r j� �1 1, , ) ,
j s s� � �1 2 1, , ,� .
Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ (7) ïîçâîëÿþò âû÷èñëÿòü íåèçâåñòíûå ~pk i j êàê
ôóíêöèè îò qi , 2 � �i r, â òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
~ ; ~ , , , , ; ~ , ; ~ , ,p p j s s p i r p j ss j i s j11 11 1 121 2 1 2 1� � � � � � �� s�2 1, , ;�
~ , , , , ; , ~ , , , ,p j s s p j s sj r j13 11 2 1 1 2 1� � � � � �� � � ;
144 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5
~ ; ~ , , , , ; ~ , ; ~ , ,p p j s s p i r p j ss j i s j21 21 2 221 2 1 2 1� � � � � � �� s�2 1, , ;�
~ , , , , ; , ~ , , , ,p j s s p j s sj r j23 21 2 1 1 2 1� � � � � �� � � ;
..............................................................................
~ ; ~ , , , , ; ~ , ; ~ , ,p p j s s p i r p j sm s m j m i s m j1 1 21 2 1 2 1� � � � � � �� s�2 1, , ;�
~ , , , , ; , ~ , , , ,p j s s p j s sm j m r j3 1 2 1 1 2 1� � � � � �� � � ;
~ ; ~ ,, ,p p i rm s m i s� � � �1 1 1 2 ; ~ ,, ,p i rm i s� � � �1 1 2 ; ~
, ,pm s� �1 1 1;
~ ,, ,p i rm i s� � � �1 2 2 ; ~
, ,pm s� �1 1 2 ;
......................................
~ , ; ~
, ,p i r pm i m� �� �1 1 1 112 .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ q i ri , 2 � � , ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëþáûå r �1
óðàâíåíèé èç ñëåäóþùèõ r óðàâíåíèé ñèñòåìû (5):
� � � � �� �( ) ( ), ,� � �1 1 1 11 1 1 1 0p p pm r m r m r ;
� � � � � �� � � �( ) ,, , ,� � �i m i i m ip p i r1 1 1 1 1 1 1 0 2 .
Ýòè óðàâíåíèÿ íå áûëè çàäåéñòâîâàíû ïðè ïîëó÷åíèè ñîîòíîøåíèé (7). Çàòåì,
èñïîëüçóÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè (6), îïðåäåëÿåì ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè ïî
ôîðìóëàì
p p p p pi
i
r
k
k
m
i
i
r
01 0
2 1
1
1
0 0
1
1� � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
� � �~ ~ ; ~ ~ ; ~ ~ ,p p k mk k i j
j
s
i
r
� � � �
��
��
11
1 1;
p p p k mk k� � � �01 0 1~ , .
Ñòàöèîíàðíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû E E mr s/ / /1 íàõîäèì ïî ôîðìó-
ëàì (4) è ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâ
E
E
( )
( )
W
Q
P
�
� sv
, Psv � �
�
�
( )1 0p , �
�
�
�
�
1
1
1 ii
r
, �
�
�
�
�
1
1
1 jj
s
.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÑÈÑÒÅÌÛ E M n mr / / /
Ðàññìîòðèì n-êàíàëüíóþ ñèñòåìó E M n mr / / / , â êîòîðîé èíòåðâàëû âðåìåíè
ìåæäó ìîìåíòàìè ïðèáûòèÿ ñîñåäíèõ ïî âðåìåíè çàÿâîê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ñóììó r íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïîêàçàòåëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñ ïà-
ðàìåòðàìè � � �1 2, , ,� r ñîîòâåòñòâåííî, à âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ êàæäîé çàÿâ-
êè ðàñïðåäåëåíî ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðîì � .
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû: sk i — â ñèñòåìå k
çàÿâîê ( )0 � � �k m n , èíòåðâàë âðåìåíè äî ïðèáûòèÿ î÷åðåäíîé çàÿâêè íàõîäèò-
ñÿ â i-é ôàçå ( )1 � �i r . Ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè ïðåáûâàíèÿ ñèñòåìû â ñîñòî-
ÿíèÿõ sk i îáîçíà÷èì pk i . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷èì
ñèñòåìó óðàâíåíèé:
� � �� �1 01 11 0p p ;
� � � � � �� �� � �i i i i ip p p i r0 1 0 1 1 0 2, , ;
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 145
� � � � � � � � �� �( ) ( ) ,, ,� � � �1 1 1 1 11 0 1 1k p p k p k nk r k r k ;
� � � � � � � � � � �� � �( ) ( ) , ,, ,� � � �i k i i k i k ik p p k p i r k n1 1 11 0 2 1 1;
� � � � � � � � �� �( ) ,, ,� � � �1 1 1 1 1 0 1n p p n p n k n mk r k r k ; (8)
� � � � � � � � � � �� � �( ) , ,, ,� � � �i k i i k i k in p p n p i r n k n m1 1 1 0 2 1;
� � � � �� � � �( ) ( ), , ,� � �1 1 1 0n p p pn m r n m r n m r ;
� � � � � �� � � �( ) ,, ,� � �i n m i i n m in p p i r1 1 0 2 ;
pk i
i
r
k
n m
��
�
�� �
10
1. (9)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
�
�
�
i
i i r� � �, 1 ; ~
,
p
p
p
k i
k i
n m r
�
�
, 0 1� � � � �k n m i r, ,
òîãäà ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (8) íàõîäèì:
~ ; ~ ~ , , , ,, , ,p p
n
p i r rn m r n m i
i
i
n m i� �
�
� �� �
�
� � �1 1 2 11
1
�
�
� ;
~ ~
, ,p
n
pn m r
r
n m� � ��
�
�1
1
1 1
�
�
;
~ (( )~ ~ ), ,p n p npk i
i
i k i k i� � �� � � �
1
1 1 1 1
�
� , k n m� � �1 , n m n� �2, ,� ;
i r r� � �1 2 1, , ,� ;
~ (( )~ ~ ), , , ,, ,p n p np k n m n m nk r
r
k k� � � � � � � �� �
1
2 31 1 1 2 1
�
� � �1;
~ (( )~ ( )~ ), , ,, ,p k p k p k n nk r
r
k k� � � � � � � �� �
1
1 2 2 31 1 1 2 1
�
� � , 0; (10)
~ (( )~ ( )~ ), ,, ,p k p k p k n nk i
i
i k i k i� � � � � � �� � � �
1
1 1 21 1 1 1
�
� , , ; , , , ;� �1 1 2 1i r r� � �
~ ( ~ ~ ), , , ,, ,p p p i r ri
i
i i i0 1 0 1 1 1
1
1 2 1� � � � �� � �
�
� � .
Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ (10) ïîçâîëÿþò âû÷èñëÿòü íåèçâåñòíûå ~pk i â òà-
êîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
~ , , , , ; ~
, ,p i r r pn m i n m r� � �� � �1 2 1 1� ;
~ , , , , ; ~
, ,p i r r pn m i n m r� � � �� � �1 21 2 1� ;
~ , , , , ; ~
, ,p i r r pn m i n m r� � � �� � �2 31 2 1� ;
....................................................................
~ , , , , ; ~ ;p i r r pi r1 01 2 1� � � �
~ , , , ,p i r ri0 1 2 1� � � � .
Èñïîëüçóÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè (9), îïðåäåëÿåì ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè ïî
ôîðìóëàì
p p pn m r n m i
i
r
k
k
n m
� �
�
�
�
� �
�
� � �
�
�
�
� �, ,
~ ~1
1
1
0
1
1
;
~ ~p pk k i
i
r
�
�
�
1
, p p pk n m r k� � ,
~ , 0 � � �k n m.
146 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5
Ñòàöèîíàðíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû E M n mr / / / íàõîäèì ïî ôîðìóëàì
E E E
E
P
( ) , ( ) ; ( )
( )
C kp Q kp W
Q
k
m n
k
k
m
n k� � �
�
�
�
�� �
1 1 � sv
;
Psv � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�k
n
k
k n
n m
k
ii
r
kp n p
1
1
1
1
1
, / .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ
ÑÈÑÒÅÌ M Es/ / /1 � , E Er s/ / /1 � , E M nr / / / �
Äëÿ ñèñòåì M Es/ / /1 �, E Er s/ / /1 �, E M nr / / / � îãðàíè÷åíèå íà äëèíó î÷å-
ðåäè îòñóòñòâóåò è äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çà-
ÿâîê äëÿ ýòèõ ñèñòåì äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñîîòâåòñòâåííî óñëîâèÿ
� � � �� �, , � �� n .
Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p kk ( )� 0 äëÿ ñèñòåìû M Es/ / /1 �
ìîæíî íàéòè ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé (3), çàïèñàííûõ
â ñëåäóþùåì âèäå:
~ ; ~ ~ , , , ,,p p p i s ss s i
i
i
i1 1
1 1
1 1 1 2 1� �
�
� � ��
��
� �
�
� ;
~ (( )~ )p ps
s
2 1 11 1
1
1� � �
�
� � ;
~ (( )~ ~ ), , ,, ,p p p k i s sk i
i
i k i k i� � � � � �� � � �
1
2 11 1 1 1 1 1
�
� � � �2 1, ,� ;
~ (( )~ ~ ),, ,p p p kk s
s
k k� � � �� �
1
1 31 1 1 1 2 1
�
� � ;
p p p p p p kk k i
i
s
k k0
1
01 1� � � � �
�
�
�
�
, ~ ~ , ~ , .
Äëÿ ñèñòåìû E Er s/ / /1 � èìååì p0 1� �
�
�
. Îòûñêàíèå ïðèáëèæåííûõ çíà÷å-
íèé ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p kk ( )� 1 äëÿ ñèñòåìû E Er s/ / /1 � è
p kk ( )� 0 äëÿ ñèñòåìû E M nr / / / � ñâîäèòñÿ ê èñïîëüçîâàíèþ ñîîòâåòñòâåí-
íî ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé (7) è (10) äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé m . Ïóñòü äëÿ
ýòèõ ñèñòåì N n m� � . ×èñëî N âûáèðàåì íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òîáû âûïîë-
íÿëîñü îäíî èç óñëîâèé (èëè êàæäîå óñëîâèå), çàäàþùèõ òî÷íîñòü îïðåäåëå-
íèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé. Ýòè óñëîâèÿ ìîæíî çàäàòü, íàïðèìåð, â âèäå
E E E E( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )C C Q QN N N N� � � �� �1 1 1 2� � . (11)
Çäåñü � �1 2, — ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, çàäàþùèå òðåáóåìóþ òî÷íîñòü âû÷èñ-
ëåíèé; E( ) ( )C N è E( ) ( )Q N — ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòå-
ðèñòèê E( )C è E( )Q , âû÷èñëåííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíî-
ñòåé p k Nk N( ) ( )0 � � ; pk N( ) — ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ñòàöèîíàðíîé âåðî-
ÿòíîñòè pk , ïîëó÷åííîå â ðåçóëüòàòå óñå÷åíèÿ áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé äëÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé.
ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû îïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê ñëåäóþùèõ ñèñòåì
îáñëóæèâàíèÿ: M E/ / /100 1 10, E E3 50 1 10/ / / , E M100 10 10/ / / , E M2 5/ / / �.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 147
148 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5
Ò à á ë è ö à 2
×èñëî çàÿâîê
â ñèñòåìå, k
Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé pk
E M100 10 10/ / / E M2 5/ / / �
Ðåêóððåíòíûé
ìåòîä
GPSS
World
Ðåêóððåíòíûé
ìåòîä
GPSS
World
0 5,57 � 10-10 0,000000 0,005031 0,005173
1 2,42 � 10-8 0,000001 0,031107 0,031166
2 4,38 � 10-7 0,000001 0,084558 0,083728
3 0,000005 0,000006 0,137913 0,136979
4 0,000031 0,000023 0,154252 0,153420
5 0,000152 0,000154 0,127862 0,127433
6 0,000552 0,000555 0,100017 0,100434
7 0,001555 0,001439 0,078236 0,078978
8 0,003483 0,003183 0,061199 0,061907
9 0,006330 0,006131 0,047872 0,048805
10 0,009535 0,009529 0,037446 0,038017
11 0,013542 0,013490 0,029292 0,029510
12 0,019235 0,018833 0,022913 0,023252
13 0,027319 0,027174 0,017923 0,018196
14 0,038802 0,038687 0,014020 0,013870
15 0,055112 0,054987 0,010967 0,010991
16 0,078282 0,078169 0,008579 0,008425
17 0,111178 0,111005 0,006710 0,006581
18 0,157293 0,157165 0,005249 0,004911
19 0,216249 0,216963 0,004106 0,003834
20 0,261344 0,262504 0,003212 0,003156
30 – – 0,000275 0,000341
40 – – 0,000024 0,000029
50 – – 2,03 � 10-6 0,000005
Ò à á ë è ö à 1
×èñëî
çàÿâîê
â ñèñòåìå, k
Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé pk
M E/ / /100 1 10 E E3 50 1 10/ / /
Ðåêóððåíòíûé
ìåòîä
GPSS
World
Ðåêóððåíòíûé
ìåòîä
GPSS
World
0 0,003606 0,003634 0,000004 0,000003
1 0,008282 0,008254 0,000032 0,000035
2 0,013205 0,013315 0,000105 0,000118
3 0,019430 0,019286 0,000305 0,000291
4 0,028232 0,028171 0,000881 0,000883
5 0,040973 0,040644 0,002545 0,002613
6 0,059464 0,059122 0,007357 0,007595
7 0,086301 0,086010 0,021265 0,021211
8 0,125249 0,125691 0,061430 0,061851
9 0,181775 0,181820 0,175503 0,175747
10 0,263811 0,264213 0,433036 0,431969
11 0,169672 0,169840 0,297536 0,297684
Çàäàäèì ïàðàìåòðû ïîêàçàòåëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé: � � 1 2, äëÿ ñèñòåìû
M E/ / /100 1 10 ; � � 0 1, äëÿ ñèñòåìû E M100 10 10/ / / ; � � 0 2, äëÿ ñèñòåìû
E M2 5/ / / �. Äëÿ ðàñïðåäåëåíèé Ýðëàíãà ïîëîæèì � i i� � �100 1 100,
( / / / )M E100 1 10 ; � � � �1 2 3 3 6 50 1 50� � � � � �, , ,i i ( / / / )E E3 50 1 10 ; � i � 120,
1 100� �i ( / / /E M100 10 10); � �1 2 5 3� � / ( / / / )E M2 5 � .
Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé pk è ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê
äëÿ ñèñòåì M E/ / /100 1 10, E E3 50 1 10/ / / , E M100 10 10/ / / , E M2 5/ / / �, íàé-
äåííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé, ïîëó÷åííûõ â íàñòîÿ-
ùåé ðàáîòå, ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 1–3. Â òàáëèöàõ ïðèâåäåíû òàêæå ðåçóëüòà-
òû âû÷èñëåíèé, ðåàëèçîâàííûõ ñ ïîìîùüþ èìèòàöèîííûõ ìîäåëåé ïåðå÷èñ-
ëåííûõ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ äëÿ çíà÷åíèÿ âðåìåíè ìîäåëèðîâàíèÿ t �106 .
Èìèòàöèîííûå ìîäåëè ïîñòðîåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì èíñòðóìåíòàëüíûõ
ñðåäñòâ GPSS World [9].
Ïðè âû÷èñëåíèè ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé pk
äëÿ ñèñòåìû E M2 5/ / / � çíà÷åíèå N âûáèðàëîñü íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òîáû
âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ (11) ïðè � �1 2
910� � � . Ïîëó÷åííîå ìèíèìàëüíîå çíà÷å-
íèå N , ïðè êîòîðîì âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (11), ðàâíî 100.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ôèêòèâíûõ ôàç ïîñòðîåíû ðåêóððåíò-
íûå àëãîðèòìû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê
â ñëåäóþùèõ ñèñòåìàõ îáñëóæèâàíèÿ ñ ýðëàíãîâñêèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè:
M E ms/ / /1 , E E mr s/ / /1 è E M n mr / / / , âêëþ÷àÿ ñëó÷àé m � � . Ðàññìàòðèâà-
åìûé ðåêóððåíòíûé ìåòîä íå ñîäåðæèò èòåðàöèé è ïðåîáðàçîâàíèé ïîäãîòî-
âèòåëüíîãî õàðàêòåðà, ÷òî ïîçâîëÿåò ñîêðàòèòü îáúåì âû÷èñëåíèé ïî ñðàâíå-
íèþ ñ èçâåñòíûìè ìåòîäàìè. Ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñ-
òèê ïîäòâåðæäåíû ðåçóëüòàòàìè èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Neuts M. F. Matrix-geometric solutions in stochastic models. Baltimore: The John’s Hopkins University
Press, 1981. 390 p.
2. Takahashi Y., Takami Y. A numerical method for the steady-state probabilities of a GI/G/c queueing system
in a general class. J. Oper. Res. Soc. Japan. 1976. Vol. 19, N 2. P. 147–157.
3. Áî÷àðîâ Ï. Ï., Ïå÷èíêèí À. Â. Òåîðèÿ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. Ìîñêâà: ÐÓÄÍ, 1995. 529 c.
4. Áî÷àðîâ Ï. Ï., Ëèòâèí Â. Ã. Ìåòîäû àíàëèçà è ðàñ÷åòà ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ðàñïðåäåëå-
íèÿìè ôàçîâîãî òèïà. Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1986. ¹ 5. Ñ. 5–23.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 149
Ò à á ë è ö à 3
Ñèñòåìà Ìåòîä
Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê
E( )C E( )Q E( )W Psv
M E/ / /100 1 10
Ðåêóððåíòíûé ìåòîä 8,514 7,518 7,545 0,830
GPSS World 8,518 7,521 7,549 0,830
E E3 50 1 10/ / /
Ðåêóððåíòíûé ìåòîä 9,885 8,885 8,885 0,833
GPSS World 9,883 8,881 8,880 0,834
E M100 10 10/ / /
Ðåêóððåíòíûé ìåòîä 17,610 7,631 7,647 0,832
GPSS World 17,623 7,643 7,668 0,831
E M2 5/ / / �
Ðåêóððåíòíûé ìåòîä 6,276 2,109 2,531 1,000
GPSS World 6,279 2,108 2,528 1,000
5. Ðûæèêîâ Þ. È. Ðåêóððåíòíûé ðàñ÷åò ìíîãîêàíàëüíûõ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ ñ íåîãðàíè÷åííîé î÷å-
ðåäüþ. Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1985. ¹ 6. Ñ. 88–93.
6. Ðûæèêîâ Þ. È. Àëãîðèòì ðàñ÷åòà ìíîãîêàíàëüíîé ñèñòåìû ñ ýðëàíãîâñêèì îáñëóæèâàíèåì.
Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1980. ¹ 5. Ñ. 30–37.
7. Æåðíîâûé Ê. Þ. Îïðåäåëåíèå ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê äâóõêàíàëüíûõ ñèñòåì ñ ýðëàíãîâñêèì
ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2017. Ò. 53, ¹ 1.
Ñ. 108–121.
8. Æåðíîâûé Þ. Â., Æåðíîâûé Ê. Þ. Îïðåäåëåíèå ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê òðåõêàíàëüíûõ ñèñòåì
ñ ýðëàíãîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2017.
Ò. 53, ¹ 2. Ñ. 134–145.
9. Zhernovyi Yu. Creating models of queueing systems using GPSS World: Programs, detailed explanations
and analysis of results. Saarbr��ucken: LAP Lambert Academic Publishing, 2015. 220 p.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 28.11.2016
Þ.Â. Æåðíîâèé
ÂÈÇÍÀ×ÅÍÍß ÑÒÀÖ²ÎÍÀÐÍÈÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÄÅßÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ
ÎÁÑËÓÃÎÂÓÂÀÍÍß Ç ÅÐËÀÍòÂÑÜÊÈÌÈ ÐÎÇÏÎIJËÀÌÈ
Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä äîñë³äæåííÿ ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ
M E ms/ / /1 , E E mr s/ / /1 òà E M n mr / / / , â òîìó ÷èñë³ äëÿ âèïàäêó m � �.
Îòðèìàíî ðåêóðåíòí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ äëÿ îá÷èñëåííÿ ñòàö³îíàðíîãî ðîç-
ïîä³ëó ê³ëüêîñò³ çàìîâëåíü ó ñèñòåì³ òà ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê. Ïîáó-
äîâàí³ àëãîðèòìè ïåðåâ³ðåíî íà ïðèêëàäàõ ç âèêîðèñòàííÿì ³ì³òàö³éíèõ ìî-
äåëåé, ñòâîðåíèõ çà äîïîìîãîþ ³íñòðóìåíòàëüíèõ çàñîá³â GPSS World.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñèñòåìà îáñëóãîâóâàííÿ, åðëàíã³âñüê³ ðîçïîä³ëè, ìåòîä
ô³êòèâíèõ ôàç, ðåêóðåíòí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ, ñòàö³îíàðí³ õàðàêòåðèñòèêè.
Yu.V. Zhernovyi
DETERMINING STEADY-STATE CHARACTERISTICS OF CERTAIN
QUEUEING SYSTEMS WITH ERLANGIAN DISTRIBUTIONS
Abstract. We propose a method to study M E ms/ / /1 , E E mr s/ / /1 and
E M n mr / / / queueing systems, including the case of m � �. Recurrence
relations are obtained to compute the stationary distribution of the number of
customers in the system and the steady-state characteristics. The developed
algorithms are tested on examples using simulation models constructed with the
assistance of the GPSS World tools.
Keywords: queueing systems, Erlangian distribution, fictitious phase method,
recurrence relations, steady-state characteristics .
Æåðíîâûé Þðèé Âàñèëüåâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Ëüâîâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà
èìåíè Èâàíà Ôðàíêî, e-mail: yu.zhernovyi@lnu.edu.ua.
150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5
|