Интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем
Дано определение понятия интенсивности пересечений однородным полем заданного уровня как среднего количества попаданий точек поверхности уровня в расширяющееся пространство. Показано, что независимо от положения центра расширяющегося пространства задача отыскания интенсивности сводится к подсчету по...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144799 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем / Д.В. Евграфов // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 151–159. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-144799 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1447992019-01-05T01:23:07Z Интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем Евграфов, Д.В. Системний аналіз Дано определение понятия интенсивности пересечений однородным полем заданного уровня как среднего количества попаданий точек поверхности уровня в расширяющееся пространство. Показано, что независимо от положения центра расширяющегося пространства задача отыскания интенсивности сводится к подсчету поверхностей уровня в единице объема. Сформулирована возможность отыскания количества поверхностей уровня как характеристики, зависящей от количества поверхностно порождающих точек. Найдено дифференциальное уравнение, связывающее интенсивности точек локальных максимумов и локальных минимумов с искомой интенсивностью поверхностей уровня. На гауссовом стационарном процессе проверена достоверность полученных результатов, которые полностью совпадают с выражением, впервые найденным Райсом. Наведено визначення поняття інтенсивності перетинів однорідним полем заданого рівня як середньої кількості потрапляння точок поверхні рівня у розширному просторі. Показано, що незалежно від положення центру розширного простору задача відшукування інтенсивності зводиться до підрахунків кількості поверхонь рівня в одиниці об’єму. Сформульовано можливість відшукування кількості поверхонь рівня як характеристики, що залежить від кількості поверхнево породжувальних точок. Знайдено диференційне рівняння, яке зв’язує інтенсивності точок локальних максимумів і локальних мінімумів з шуканою інтенсивністю поверхонь рівня. На гаусівському стаціонарному процесі перевірено достовірність отриманих результатів, які повністю збігаються з виразом, уперше знайденим Райсом. The author defines the concept of the intensity of crossings of a given level by a homogeneous field as the average number of points of level surface that hit the expanding space. It is shown that irrespective of the position of the center of expanding space, the problem of finding the intensity reduces to counting the level surfaces per unit volume. The author formulates the possibility of finding the number of level surfaces as a characteristic that depends on birth-surface points. A differential equation is found that relates the intensities of points of local maxima and local minima with the desired intensity of level surfaces. The accuracy of the results is verified for the stationary Gaussian process. The results completely coincide with the expression found by Rice for the first time. 2017 Article Интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем / Д.В. Евграфов // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 151–159. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144799 519.212 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Евграфов, Д.В. Интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем Кибернетика и системный анализ |
| description |
Дано определение понятия интенсивности пересечений однородным полем заданного уровня как среднего количества попаданий точек поверхности уровня в расширяющееся пространство. Показано, что независимо от положения центра расширяющегося пространства задача отыскания интенсивности сводится к подсчету поверхностей уровня в единице объема. Сформулирована возможность отыскания количества поверхностей уровня как характеристики, зависящей от количества поверхностно порождающих точек. Найдено дифференциальное уравнение, связывающее интенсивности точек локальных максимумов и локальных минимумов с искомой интенсивностью поверхностей уровня. На гауссовом стационарном процессе проверена достоверность полученных результатов, которые полностью совпадают с выражением, впервые найденным Райсом. |
| format |
Article |
| author |
Евграфов, Д.В. |
| author_facet |
Евграфов, Д.В. |
| author_sort |
Евграфов, Д.В. |
| title |
Интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем |
| title_short |
Интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем |
| title_full |
Интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем |
| title_fullStr |
Интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем |
| title_full_unstemmed |
Интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем |
| title_sort |
интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144799 |
| citation_txt |
Интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем / Д.В. Евграфов // Кибернетика и системный анализ. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 151–159. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT evgrafovdv intensivnostʹperesečenijzadannogourovnâodnorodnymslučajnympolem |
| first_indexed |
2025-07-10T20:11:18Z |
| last_indexed |
2025-07-10T20:11:18Z |
| _version_ |
1837292100097409024 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.212
Ä.Â. ÅÂÃÐÀÔÎÂ
ÈÍÒÅÍÑÈÂÍÎÑÒÜ ÏÅÐÅÑÅ×ÅÍÈÉ ÇÀÄÀÍÍÎÃÎ ÓÐÎÂÍß
ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÌ ÑËÓ×ÀÉÍÛÌ ÏÎËÅÌ
Àííîòàöèÿ. Äàíî îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ èíòåíñèâíîñòè ïåðåñå÷åíèé îäíî-
ðîäíûì ïîëåì çàäàííîãî óðîâíÿ êàê ñðåäíåãî êîëè÷åñòâà ïîïàäàíèé òî÷åê
ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ â ðàñøèðÿþùååñÿ ïðîñòðàíñòâî. Ïîêàçàíî, ÷òî íåçàâè-
ñèìî îò ïîëîæåíèÿ öåíòðà ðàñøèðÿþùåãîñÿ ïðîñòðàíñòâà çàäà÷à îòûñêàíèÿ
èíòåíñèâíîñòè ñâîäèòñÿ ê ïîäñ÷åòó ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ â åäèíèöå îáúåìà.
Ñôîðìóëèðîâàíà âîçìîæíîñòü îòûñêàíèÿ êîëè÷åñòâà ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ
êàê õàðàêòåðèñòèêè, çàâèñÿùåé îò êîëè÷åñòâà ïîâåðõíîñòíî ïîðîæäàþùèõ
òî÷åê. Íàéäåíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå èíòåíñèâíîñòè
òî÷åê ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ è ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ ñ èñêîìîé èíòåíñèâ-
íîñòüþ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ. Íà ãàóññîâîì ñòàöèîíàðíîì ïðîöåññå ïðîâå-
ðåíà äîñòîâåðíîñòü ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ, êîòîðûå ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò
ñ âûðàæåíèåì, âïåðâûå íàéäåííûì Ðàéñîì.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïåðåñå÷åíèÿ ôèêñèðîâàííîãî óðîâíÿ ñíèçó ââåðõ (ñâåðõó
âíèç) ñëó÷àéíûì ïîëåì, îæèäàåìîå êîëè÷åñòâî âûáðîñîâ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ,
ðàñïðåäåëåíèå àáñîëþòíîãî ìàêñèìóìà ñëó÷àéíîãî ïîëÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ òåîðèè âåðîÿòíîñòè ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ
ìîäåëåé íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé èëè âåðîÿòíîñòíûå õà-
ðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëÿåìûå ñâîéñòâàìè ðåàëèçàöèé ñëó÷àéíûõ ïîëåé. Ñðåäè
ïîäîáíûõ çàäà÷ çíà÷èòåëüíûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò îòûñêàíèå èíòåíñèâíîñòè
ïîòîêà ñîáûòèé, îáóñëîâëåííûõ ìîìåíòàìè ïåðåñå÷åíèé ñëó÷àéíûì ïîëåì çà-
äàííîãî óðîâíÿ. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî íàéòè àíàëîã ðåçóëüòàòà, ïîëó÷åííîãî
Ðàéñîì [1] äëÿ îäíîìåðíîãî îäíîðîäíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ (ñòàöèîíàðíîãî
ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà).
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Âûðàæåíèÿ, õàðàêòåðèçóþùèå èíòåíñèâíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ ïðîöåññîì óðîâíÿ u
ñíèçó ââåðõ è ñâåðõó âíèç èìåþò âèä ñîîòâåòñòâåííî
��
�
� �( ) ( , )u yw u y dy
0
, (1)
��
� �
� � �( ) ( , )u yw u y dy
0
, (2)
ãäå w u y( , ) — ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà
è åãî ïðîèçâîäíîé. Íàéäåì ïîäîáíîå (1) è (2) âûðàæåíèå äëÿ ìíîãîìåðíûõ
ñëó÷àéíûõ ïîëåé.
Àíàëîãè÷íûå çàäà÷è âîçíèêàþò â ïðîöåññå îòûñêàíèÿ êîëè÷åñòâà âêëþ÷å-
íèé êàêèõ-ëèáî ïîðîãîâûõ óñòðîéñòâ â çàâèñèìîñòè îò ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ïàðà-
ìåòðîâ, à òàêæå äëÿ ñèñòåì îáðàáîòêè îïòè÷åñêîé èíôîðìàöèè è ðàñ÷åòà íàäåæ-
íîñòè [2]. Âàæíûìè ÿâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòû îòûñêàíèÿ èíòåíñèâíîñòåé, èñïîëüçóå-
ìûõ â ìåõàíèêå [3] äëÿ èçó÷åíèÿ âîïðîñîâ ðàçðóøåíèÿ, â òîì ÷èñëå äëÿ ðàñ÷åòà
íàäåæíîñòè ñòðîèòåëüíûõ êîíñòðóêöèé íà õðóïêîå ðàçðóøåíèå [4, 5], à òàêæå
äëÿ ðåøåíèÿ äðóãèõ çàäà÷ [6, 7].
Èíòåíñèâíîñòè ïåðåñå÷åíèé ïûòàëèñü íàéòè ó÷åíûå ñîâåòñêîé [8] è çàïàä-
íîé [9] íàó÷íûõ øêîë. Ïåðâûå ðåçóëüòàòû ïîäîáíûõ ñèñòåìíûõ èññëåäîâàíèé
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 151
© Ä.Â. Åâãðàôîâ, 2017
îïóáëèêîâàíû â ðàáîòå Àäëåðà, â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà
âûáðîñîâ ñëó÷àéíîãî öåíòðèðîâàííîãî îäíîðîäíîãî ãàóññîâà ïîëÿ X ( )t , t �R N ,
N — ðàçìåðíîñòü ñëó÷àéíîãî ïîëÿ, çà óðîâåíü u âûðàæåíèåì
� � �
�
�
� � � �� �
�
�
�
�( ) ( ) | | exp( )/ / ( )u
uN N2
2
1 2 1 2 2 1
2
2
�
� �
�
�
�
� �� ( )
( )!
!
[( )/ ]
1
2
2
2
1
2
0
1 2
1 2j
j
j
N
j
j
N
N jj
j
C u� , (3)
ãäå � 2 2� E X{ }( )t — äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ, C
N
k — ÷èñëî ñî÷åòàíèé
áåç ïîâòîðåíèé, � — êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà ïåðâûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
ïîëÿ X ( )t .
Äëÿ N �1 (3) ñîâïàäàåò ñ (1) è (2):
� �
�
� �
� �� � �
�
�
�
( ) ( ) expu u
u2
2
22 2
, (4)
ãäå � 2 — âòîðîé ñïåêòðàëüíûé ìîìåíò ïðîöåññà. Îäíàêî äëÿ N � 2 ïîëó÷àåì
âûðàæåíèå
�
� � �
� � �
�
�
�
( )
( )
| | exp
/
/u u
u1
2 23 2 3
1 2
2
2
� ,
â êîòîðîì èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ñîáûòèé îòðèöàòåëüíà ïðè u� 0. Íà äàííîå
íåñîîòâåòñòâèå ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó âåëè÷èíû �� ( )u
âïåðâûå óêàçàë Íîñêî [8], ññûëàÿñü íà áîëåå ðàííþþ ñîâìåñòíóþ ðàáîòó Àä-
ëåðà è Õàñîôåðà [9].
Ñïóñòÿ áîëåå äâàäöàòè ëåò Àäëåð â ðàçâèòèå ñâîåé òåîðèè ïðåäñòàâèë íîâûé
ðåçóëüòàò äëÿ èçîòðîïíîãî ñëó÷àéíîãî ãàóññîâà ïîëÿ [10], êàðäèíàëüíî îòëè÷àþ-
ùèéñÿ îò (3). Èñïîëüçóÿ ýéëåðîâñêèå õàðàêòåðèñòèêè, Àäëåð ïðåäëîæèë àíàëè-
çèðîâàòü êîëè÷åñòâî âûáðîñîâ # ( ) , # , , ,{ }� Au � 0 1 2 � , ñëó÷àéíîãî ïîëÿ çà óðî-
âåíü u â ïðîñòðàíñòâå îáúåìîì T S N� [ , ]0 è íàøåë ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò
êîëè÷åñòâà âûáðîñîâ âèäà
E A
u C T
u
N
k k k
k
{ { }}# ( ) exp
( )
/
( )/
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
2
2
2
2
1 22 2
H
u u
k
k
N
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 1
1 � �
� , (5)
ãäå �( ) expx
s
ds
x
� �
�
�
�
�
�
1
2 2
2
�
, H xk ( ) — ïîëèíîìû Ýðìèòà.
Áåçðàçìåðíîå âûðàæåíèå (5) äëÿ T �1 î÷åâèäíî îïèñûâàåò âåëè÷èíó �� ðàç-
ìåðíîñòè 1/ t N : � �� �( ) # ( )u E Au{ { }}, íî ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî N ìàòåìàòè-
÷åñêîå îæèäàíèå E Au{ { }}# ( )� �1, êîãäà u � �� , ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íå ñî-
îòâåòñòâóåò (4) ïðè N �1. Ê òîìó æå (5) íå óñòðàíÿåò íåäîñòàòêèîâ (3), ñâÿçàí-
íûõ ñ îòðèöàòåëüíûìè çíà÷åíèÿìè äëÿ �� ( )u , î êîòîðûõ óïîìèíàëîñü ðàíåå.
Íàïðèìåð, äëÿ N � 2 è � �1 âûðàæåíèå (5)
E A
T
u
T u
u{ { }}
2 2
2
1/2
# ( )
( )
exp
/
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�2
2
3 2
22
2
�
�
��( )u
áóäåò îòðèöàòåëüíûì ïðè îïðåäåëåííûõ îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ u.
Àäëåð íå ñ÷èòàë îòðèöàòåëüíîñòü êîëè÷åñòâà âûáðîñîâ ïîìåõîé äëÿ ïðèçíà-
íèÿ ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà è îáúÿñíÿë ýòî ñëåäóþùèì îáðàçîì [10, ñ. 204]: «Ãå-
îìåòðè÷åñêèé ñìûñë îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé (5) íåîáõîäèìî ïîíÿòü. Îíè îá-
152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5
óñëîâëåíû âûáðîñàìè, èìåþùèìè â ñðåäíåì áîëüøå îòâåðñòèé, ÷åì ñâÿçíûõ
êîìïîíåíò, õàðàêòåðíûõ äëÿ áîëüøèíñòâà îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé u». Íå âäàâà-
ÿñü â ïîäðîáíîñòè òåðìèíîëîãèè ýéëåðîâîé ãåîìåòðèè, òàêîå îáúÿñíåíèå òðóäíî
ïðèíÿòü, òåì áîëåå åãî òîëêîâàíèå ðåçóëüòàòà (5) äëÿ u � �� [10, ñ. 202]: «Óðî-
âåíü u ãåîìåòðè÷åñêè íàõîäèòñÿ íèæå âûáðîñîâ: ýòî ïðîñòî». Äàëåå Àäëåð ñäå-
ëàë âûâîä î òîì, ÷òî, êîãäà u � ��, îáúåì âûáðîñà A Tu � è ïîýòîìó
# ( ){ }� Au �1.
Ïîñëåäíåå îáúÿñíåíèå íå èìååò îñîáîãî çíà÷åíèÿ, à ñêîðåå õàðàêòåðèçóåò îáúå-
ìû âûáðîñîâ äëÿ u � �� , êîòîðûå äåéñòâèòåëüíî ñòðåìÿòñÿ ê T . Íå ñëåäóåò ïó-
òàòü êîëè÷åñòâî âûáðîñîâ â åäèíèöå îáúåìà ñ êîëè÷åñòâîì ïåðåñå÷åíèé ñëó÷àé-
íûì ïîëåì óðîâíÿ u, ïîïàäàþùèõ â äàííóþ åäèíèöó îáúåìà. Èçíà÷àëüíî, ïîñòà-
âèâ çàäà÷ó: íàéòè êîëè÷åñòâî ïåðåñå÷åíèé, Àäëåð ñâåë åå ê ïðîñòîìó ïîäñ÷åòó
âûáðîñîâ áåç ó÷åòà òîãî, áûëî ëè ïîëå â íà÷àëüíûé ìîìåíò t 0 íèæå óðîâíÿ u —
äëÿ àíàëèçà âûáðîñîâ ñíèçó ââåðõ, è âûøå óðîâíÿ u — äëÿ àíàëèçà âûáðîñîâ
ñâåðõó âíèç. Ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ u � �� ñòðå-
ìèòñÿ ê íóëþ, âåðîÿòíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ ïîëåì áåñêîíå÷íî íèçêîãî óðîâíÿ òàêæå
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à ïîýòîìó è ïåðåñå÷åíèå ïðîèñõîäèò êðàéíå ðåäêî. Èíûìè ñëî-
âàìè, ïåðåñå÷åíèé òàì áûòü íå ìîæåò, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî âûáðîñ ñ åäèíè÷íîé âå-
ðîÿòíîñòüþ íàõîäèòñÿ íàä áåñêîíå÷íî íèçêèì óðîâíåì u.
Ïîäîáíûå çàáëóæäåíèÿ âñòðå÷àþòñÿ è â áîëåå ïîçäíèõ ðàáîòàõ [11, 12],
à â ïðîåêòå êíèãè Àäëåðà, Òåéëîðà è Âîðñëè, êîòîðàÿ ñ 2014 ã. ãîòîâèòñÿ ê ïóáëèêà-
öèè, äàííûå îøèáêè ïîêà íå èñïðàâëåíû. Ïîñêîëüêó íèêàêèõ áîëåå âåñîìûõ ïóáëè-
êàöèé â ýòîé îáëàñòè íå èìååòñÿ, à ïðèâåäåííûå ðåçóëüòàòû êàæóòñÿ îøèáî÷íûìè
óæå äëÿ N � 2, ïîñòàâèì òàêóþ æå çàäà÷ó è íàéäåì åå ïðàâèëüíîå ðåøåíèå.
Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû: íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ �� ( )u è �� ( )u îäíîðîäíûõ
ñëó÷àéíûõ ïîëåé êîíå÷íîé ðàçìåðíîñòè N .
Ðàññìîòðèì îäíîðîäíîå, ñëó÷àéíîå ïîëå X ( )t ñ äèñïåðñèåé � 2 � E X{ }2 ( )t �
�E X2 { }( )t è êîíå÷íûì îïðåäåëèòåëåì | |� � � êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû � ïåð-
âûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëÿ. Ïóñòü X ( )t çàäàíî â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå
t �R N , N — êîíå÷íàÿ ðàçìåðíîñòü åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Çàäàäèì ìíîæåñ-
òâà L R X uu
N� � �{ }s s: ( ) , ÿâëÿþùèåñÿ ïîâåðõíîñòÿìè óðîâíÿ u, è ëþáóþ òî÷-
êó t 0� , äëÿ êîòîðîé X u( )t 0� � , à òàêæå t 0� , äëÿ êîòîðîé X u( )t 0� � , ãäå u — íå-
êîòîðûé ôèêñèðîâàííûé âåùåñòâåííûé óðîâåíü. Î÷åâèäíî, íàïðèìåð, ÷òî äëÿ
N �1 äàííûìè ïîâåðõíîñòÿìè áóäóò òî÷êè ïåðåõîäà ïðîöåññà ÷åðåç óðîâåíü u,
äëÿ N � 2 — ëèíèè ñå÷åíèÿ ïîëÿ ïëîñêîñòüþ ñ âûñîòîþ u, ïðè N � 3 — ïîâåðõ-
íîñòè, ñîñòîÿùèå èç òî÷åê X u( )s � .
Ââåäåì � � ( , )u T , � � ( , )u T — ñ÷åò÷èêè ïåðåñå÷åíèé ïîëåì X ( )t óðîâíÿ u,
êîòîðûå ïîäñ÷èòûâàþò êîëè÷åñòâî âñåõ ñàìûõ áëèæàéøèõ s-òî÷åê Lu -ïîâåðõ-
íîñòåé, ò.å. s u -òî÷åê
� �� � � �� � � �( , ) # ( , ) #u T u Tu T u T{ }, { }s s� � , (6)
ïîïàâøèõ â øàðû ñ ðàäèóñîì r è îáúåìîì T ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ t 0� è t 0� :
� �T
N
j j
j
N
T
N
jR t t r R t� �
�
�� � � �
�
�
�
��
�
�
�
��
� ��t t: ( ) , : (0
2 2
1
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
� t rj
j
N
0
2 2
1
) .
Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìûå èíòåíñèâíîñòè ïîòîêîâ ïåðåñå÷åíèé ïîëåì óðîâíÿ u
ðàâíû óñðåäíåííîìó ïî T êîëè÷åñòâó (6)
�
�
�
��
��( ) lim
( , )
u
u T
TT
, �
�
�
��
��( ) lim
( , )
u
u T
TT
. (7)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 153
ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×È
Îòìåòèì, ÷òî, êàêèì áû íè áûë âûáîð òî÷åê t 0� è t 0� , èì ñîîòâåòñòâóþò
îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ (6), ïîñêîëüêó ëþáîé s u -òî÷êå ñîîòâåòñòâóåò òîëüêî
îäíà Lu -ïîâåðõíîñòü (ðèñ. 1), ò.å.
� � �� �� �( ) ( ) ( )u u uL , (8)
ãäå �L u( ) — èíòåíñèâíîñòü ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ u.  êà÷åñòâå îáëàñòåé �T �
è �T � , êðîìå âûáðàííûõ øàðîâ, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëþáóþ îáëàñòü ñ ãëàä-
êîé ãðàíèöåé.
Íàõîæäåíèå èíòåíñèâíîñòåé ïîòîêîâ ïåðåñå÷åíèé ïîëåì çàäàííîãî óðîâ-
íÿ ñîãëàñíî (8) ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ èíòåíñèâíîñòè Lu -ïîâåðõíîñòåé. Èçâåñò-
íî, ÷òî äëÿ ëþáîé âûáîðî÷íîé ôóíêöèè îäíîðîäíîãî ïîëÿ ñ åäèíè÷íîé âåðîÿò-
íîñòüþ, èíòåãðèðóåìîé ïî Ðèìàíó â �T -îáëàñòè (íà N -ìåðíûõ êóáàõ
T S S S N� � � �[ , ] [ , ]0 0� ), èíòåíñèâíîñòü, êàê è â ñëó÷àå (7), ðàññ÷èòûâàåòñÿ
â ñîîòâåòñòâèè ñ èíòåãðàëîì [13]
� �L L
T
T T
L Nu E u
T
u dt dt
N N
( ) ( ) lim ( , )
/ /
� �
�� � �{ } N
1
0 0
1
1 1
� �t � � , (9)
åñëè íåêîòîðûé ôóíêöèîíàë N L u( , )t âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà, îïðåäåëåí-
íûì îáðàçîì õàðàêòåðèçóþùèé ïîëå X ( )t , ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì.
Ïîíÿòèå «èçìåðèìûé» îáû÷íî ïðèìåíÿþò ê òî÷å÷íûì ñëó÷àéíûì ìíîæåñ-
òâàì, à â äàííîì ñëó÷àå ïðèõîäèòñÿ ïîäñ÷èòûâàòü êîëè÷åñòâî ïîâåðõíîñòåé. Ñó-
ùåñòâóåò ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî êîëè÷åñòâî Lu -ïîâåðõíîñòåé â îïðåäåëåííîì îáú-
åìå ïðîñòðàíñòâà ìîæíî ïîäñ÷èòàòü, îäíàêî âîçíèêàåò âîïðîñ, êàêèì îáðàçîì
ïðîâåñòè ïîäîáíûé ïîäñ÷åò.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ èçâåñòíû ïîäõîäû ê îöåíêå íåêîòîðûõ ñâîéñòâ Lu -ïîâåðõ-
íîñòåé. Äîêàçàííàÿ Êîððñèíîì òåîðåìà [14] ïîçâîëÿåò íàéòè ñðåäíþþ äëèíó ëè-
íèé Lu -ïîâåðõíîñòåé äëÿ N � 2 èëè ñðåäíþþ ïëîùàäü Lu -ïîâåðõíîñòåé äëÿ N � 3
íà çàäàííûõ ïëîùàäÿõ èëè îáúåìàõ ïðîñòðàíñòâà ñîîòâåòñòâåííî. Îäíàêî ïðèìå-
íèòü ýòè ðåçóëüòàòû äëÿ ðàñ÷åòà ñðåäíåãî êîëè÷åñòâà Lu -ïîâåðõíîñòåé íåâîçìîæ-
íî. Òåì íå ìåíåå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñðåäíåå êîëè÷åñòâî Lu -ïîâåðõíîñòåé â íå-
êîòîðîì ïðîñòðàíñòâå îáúåìîì T ñâÿçàíî ñî ñðåäíèì êîëè÷åñòâîì íåêîòîðûõ t-òî-
÷åê â àíàëîãè÷íîì îáúåìå ïðîñòðàíñòâà. Áóäåì íàçûâàòü òàêèå òî÷êè
ïîâåðõíîñòíî ïîðîæäàþùèìè [15].
Ïðèìåì âíà÷àëå íå òðåáóþùåå ñòðîãîãî äîêàçàòåëüñòâà çàêëþ÷åíèå. Ïîñ-
êîëüêó Lu -ïîâåðõíîñòè ðàçäåëÿþò âñå òî÷êè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà íà ÷åòêî çà-
äàííûå îáëàñòè ñ íåíóëåâûìè îáú-
åìàìè, â êîòîðûõ X u( )t � è
X u( )t � , äëÿ øèðîêîãî êëàññà ïî-
ëåé Lu -ïîâåðõíîñòè âñåãäà
çàìêíóòûå, à èõ êîëè÷åñòâî â êî-
íå÷íîì îáúåìå ôàçîâîãî ïðîñòðà-
íñòâà ìîæíî ïîäñ÷èòàòü, òàê êàê
îíî çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà ïîâåðõ-
íîñòíî ïîðîæäàþùèõ òî÷åê.
×òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, ðàñ-
ñìîòðèì ýâîëþöèþ Lu -ïîâåðõíîñ-
òåé ïðè ïåðåìåùåíèè óðîâíÿ u îò
áåñêîíå÷íîñòè âíèç. Äëÿ íàãëÿä-
íîñòè ïðèìåì çäåñü N � 2, õîòÿ ïî-
äîáíûå âûâîäû ìîæíî ñäåëàòü ïî
êðàéíåé ìåðå äëÿ N � 3.  ñëó÷àå
154 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5
Lu
Lu
Lu rsu
su
su
t0�
Ðèñ. 1. Ïðèìåðû su-òî÷åê ñëó÷àéíîãî ïîëÿ äëÿ
ðàñøèðÿþùåãîñÿ èç òî÷êè t0� øàðà
áîëüøèõ u (u u� 1, ñì. ðèñ. 2, à) Lu -ïîâåðõíîñòè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðåäêèå ýë-
ëèïñû âîêðóã òî÷åê ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ ïîëÿ, íàõîäÿùèõñÿ âûøå óðîâíÿ u1.
Ïî ìåðå ïîíèæåíèÿ u (u u� 2 , ñì. ðèñ. 2, á) ðàçìåðû ðàíåå ïîðîæäåííûõ
Lu -ïîâåðõíîñòåé óâåëè÷èâàþòñÿ, à ê íèì äîáàâëÿþòñÿ íîâûå ýëëèïñû âîêðóã òî-
÷åê ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ ïîëÿ, íàõîäÿùèõñÿ ìåæäó óðîâíÿìè u2 è u1, à òàêæå
ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ ïîëÿ, íàõîäÿùèõñÿ íèæå óðîâíÿ u2 . Ïðè ýòîì ôîðìà êîí-
òóðîâ ñòàíîâèòñÿ íåïðàâèëüíîé, à èõ ðàñøèðåíèå ïðèâîäèò ê ñëèÿíèþ.
Äàëüíåéøåå ñíèæåíèå u (u u� 3 , ñì. ðèñ. 2, â) ïðèâîäèò ê áîëüøåìó ñëèÿíèþ
êîíòóðîâ è îáðàçîâàíèþ âíóòðè íèõ íîâûõ êîíòóðîâ, ðàñïîëîæåííûõ âîêðóã òî-
÷åê ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ íèæå óðîâíÿ u3 .
Àíàëèç ýâîëþöèè Lu -ïîâåðõíîñòåé ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä: êîëè÷åñòâî
Lu -ïîâåðõíîñòåé â çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå îáúåìîì T çàâèñèò òîëüêî îò êîëè÷åñò-
âà òî÷åê t min ( )u ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ � t u T� ( , ) � �# ( )min{ }t u T� è êîëè÷åñòâà
òî÷åê t max ( )u ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ � t Tu T u� � �( , ) # ( )max{ }t � ñëó÷àéíîãî
ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå ñ àíàëîãè÷íûì îáúåìîì T . Èíòåãðàë â (9) ìîæíî òàêæå âû-
ðàçèòü ÷åðåç ôóíêöèþ
�
0 0
1
1 1T T
L N L t
N N
u dt dt u T f u T
/ /
( , ) ... ( , ) [ ( , ),� � � � �N t � � � t u T� ( , )], (10)
îïðåäåëåííûì îáðàçîì ñâÿçûâàþùóþ � L u T( , ) — ñëó÷àéíîå êîëè÷åñòâî
Lu -ïîâåðõíîñòåé â ïðîñòðàíñòâå îáúåìîì T , ñî ñëó÷àéíûìè êîëè÷åñòâàìè òî-
÷åê ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ � t u T� ( , ) è ìàêñèìóìîâ � t u T� ( , ) â ïðîñòðàíñòâå
îáúåìîì T .
Íàéäåì ôóíêöèþ f u T u Tt t[ ( , ), ( , )]� �� � , âîñïîëüçîâàâøèñü âûâîäîì, ñäå-
ëàííûì ïðè àíàëèçå ýâîëþöèè Lu -ïîâåðõíîñòåé. Îòûùåì ïðîèçâîäíóþ, êëàññè-
÷åñêè îïðåäåëèâ åå â âèäå ïðåäåëà
�
� �� �
�
f u T u T
u
u u T u Tt t
u
L L[ ( , ), ( , )]
lim
( , ) ( , )� � � �
!
!
!0 u
, (11)
ãäå � L u T( , ) è � L u u T( , )� ! — êîëè÷åñòâî ïîâåðõíîñòåé óðîâíåé u è u u� ! ñî-
îòâåòñòâåííî â �T -îáëàñòè îáúåìîì T .
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáûõ êîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ îáúåìîì T èõ ðàçíîñòü âñåã-
äà êîíå÷íà:
! !� � �L L Lu T u u T u T( , ) ( , ) ( , )� � � � � , (12)
ò.å. èíòåãðàë âèäà (9) ñóùåñòâóåò äëÿ (12).
Ñ ó÷åòîì ïðåäñòàâëåíèÿ îá ýâîëþöèè Lu -ïîâåðõíîñòåé î÷åâèäíî, ÷òî îáùåå
êîëè÷åñòâî � L u T( , ) ñîñòàâÿò Lu -ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííûå òî÷êàìè ëîêàëüíûõ
ìàêñèìóìîâ t max ( )u u� ! , è ïîâåðõíîñòè � L u u T( , )� ! , îáðàçîâàííûå òî÷êàìè ëî-
êàëüíûõ ìèíèìóìîâ t min ( )u . Äðóãèå ïîâåðõíîñòè êðèòè÷åñêèõ óðîâíåé � L u T( , )
è � L u u T( , )� ! ïðè !u � 0 òîëüêî íåìíîãî ñìåñòÿòñÿ â �T -îáëàñòè, à ðàçíîñòü (12)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 155
Ðèñ. 2. Ýâîëþöèÿ Lu-ïîâåðõíîñòåé: äëÿ u u� 1 (à), äëÿ u u� 2 (á), äëÿ u u� 3 (â) ïðè u u u1 2 3� �
à á â
ìåæäó èõ êîëè÷åñòâîì áóäåò ðàâíà íóëþ. Ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî òî÷åê
t max ( )u u� ! è t min ( )u â êîíå÷íîì îáúåìå T êîíå÷íî, èìååì
lim [ ( , ) ( , )] lim [ ( , ) (
! !
!
u
L L
u
t tu u T u T u T u
� �
� �� � � �
0 0
� � � � � �!u T, )]
� �� �� �t tu T u T( , ) ( , ),
à äëÿ !u � 0 ìîæíî çàïèñàòü (12) â âèäå
!� � �L t tu T u T u T( , ) ( , ) ( , )� �� � . (13)
Âûðàæåíèÿ äëÿ � t u T� ( , ) è � t u T� ( , ) èçâåñòíû è ïðåäñòàâëåíû, íàïðèìåð,
â [16]. Êîëè÷åñòâî ìàêñèìóìîâ (ìèíèìóìîâ) ñëó÷àéíîãî ïîëÿ â èíòåðâàëå çíà÷å-
íèé [ , ],u u u u� �! ! 0, êîòîðûå ïîïàëè â ïðîñòðàíñòâî îáúåìîì T , ðàâíû
� t
z
i j nu T uT z w u z
i j
� � �( , ) | | | || | ( , , ..., ,
|| ||
,
,
!
� 0
0 0det 11
1
, , )
, ,
� z d zNN
i j
i j N
ij
�
�
" ,
� t
z
i j nu T uT z w u z
i j
� � �( , ) | | | || | ( , , ..., ,
|| ||
,
,
!
� 0
0 0det 11
1
, , ) ,
, ,
� z d zNN
i j
i j N
ij
�
�
" (14)
ãäå w u y y z zn N NN( , , ... , , , , )1 11 � — ñîâìåñòíàÿ n N N� � �( ) /2 3 2 2-ìåðíàÿ
ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ X u( )t � , åãî ïåðâûõ ÷àñòíûõ ïðî-
èçâîäíûõ
y
t t t
�
�
�
�
X
t
X
t
X
t N
( )
,
( )
, ,
( )
1 2
�
è åãî âòîðûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
z
t
�
�
2
1
X
t t
i j N
i j
( )
, , , ,
äëÿ ëþáîé òî÷êè t ; ñèìâîëàìè � 0 è � 0 îáîçíà÷åíû îòðèöàòåëüíàÿ è ïîëîæè-
òåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü ìàòðèöû z � | | | |,zi j ñîîòâåòñòâåííî.
Ñ ó÷åòîì (10), (13) è (14) ìîæíî çàïèñàòü (11) â âèäå
�
�� �� � �L t tu T
u
f u T u T
u
( , ) [ ( , ), ( , )]
�
#
$
%
% �T z w u z z
z
i j n NN
i j|| ||
,
,
| | | | | | ( , , , , , ,
�
� �
0
110 0det )
, ,
i j
i j N
ijdz
�
�
" �
1
� �
�|| ||
,
,
| | | | | | ( , , , , , , )
z
i j n NN
i j
i
i j
z w u z z
�
� �
0
110 0det
, ,j N
ijdz
�
"
&
'
(
(
1
,
à ïðîèçâîäíóþ îò (9) — â âèäå
d u
du
z w u zL
z
i j n
i j
� ( )
| | | || | ( , , , ,
|| ||
,
,
�
#
$
%
% �
�
�
0
10 0det 1
1
, , )
, ,
� z dzNN
i j
i j N
ij
�
�
" �
� �
�
| | | | | | ( , , , , , , ),
|| ||,
det z w u z zi j
z
n NN
i j
i
i j �
� �
0
110 0
, ,j N
ijdz
�
"
&
'
(
(
1
. (15)
156 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5
Ïîñêîëüêó d u duL u� ( ) / | �� � 0, äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëÿþ-
ùèìèñÿ ïåðåìåííûìè (15) ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòîå ðåøåíèå, çàïèñàííîå ñ ó÷å-
òîì (8) â âèäå
� �� �� � �( ) ( ) | | | || | ( , , , ,
|| ||
,
,
u u z w h z
z
i j n
i j �
�
0
110 0det , , )
, ,
� z dz dhNN
i j
i j N
ij
u �
�
�
"� �
1
� ��
�
|| ||
,
,
| | | | | | ( , , , , , , )
z
i j
u
n NN
i
i j
z w h z z
�
� �
0
110 0det
�
�
"
j
i j N
ijdz dh
, ,1
. (16)
Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ äëÿ ëþáûõ ðàñïðåäåëåíèé
ñëó÷àéíîãî îäíîðîäíîãî, íå îáÿçàòåëüíî èçîòðîïíîãî ïîëÿ. Êðîìå òîãî, (16) íå
èìååò íåäîñòàòêîâ «îòðèöàòåëüíîñòè», ïðèñóùåé âûðàæåíèÿì (3) è (5). Â ýòîì
ëåãêî óáåäèòüñÿ. Ïåðâûé ÷ëåí (16) âñåãäà áîëüøå âòîðîãî, òàê êàê ñóììàðíîå êî-
ëè÷åñòâî òî÷åê ìàêñèìóìà äëÿ ëþáîãî îäíîðîäíîãî ïîëÿ âñåãäà áîëüøå ñóììàð-
íîãî êîëè÷åñòâà òî÷åê ìèíèìóìà, íàõîäÿùèõñÿ âûøå ôèêñèðîâàííîãî óðîâíÿ u,
çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ, êîãäà u � �� .
Äëÿ ðàñ÷åòîâ â ñîîòâåòñòâèè ñ (16) íåîáõîäèìî 1 1 2� �N N( ) / -êðàòíîå èí-
òåãðèðîâàíèå. Ïðåäñòàâèì åãî â óäîáíîì äëÿ ïîíèìàíèÿ âèäå õîòÿ áû, êîãäà
N �1 2, . Äëÿ N �1 (ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà)
�L
uu
u dh z w h z dz dh z w h z dz( ) | | ( , , ) | | ( , , )� �
��
��
� ��
0
3 3
0
0 0
�
� �
� �
��
��
�� dh zw h z dz
u
3 0( , , ) , (17)
ãäå w h y z3 ( , , ) — ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà,
åãî ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ â ñîâïàäàþùèå ìîìåíòû âðåìåíè.
Äëÿ N � 2 ïðèõîäèòñÿ ïðèáåãàòü ê ÷åòûðåõêðàòíîìó èíòåãðèðîâàíèþ, à z-ìàò-
ðèöà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, êîãäà z z z11 22 12
2 0� � .  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîãî
ôèêñèðîâàííîãî z12 äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî z z z22 12
2
11� / , ÷òî ñîîòâåò-
ñòâóåò çàøòðèõîâàííîé îáëàñòè âûøå ãèïåðáîëû â ïåðâîì, âòîðîì è òðåòüåì
êâàäðàíòàõ (ðèñ. 3).
Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ îòðèöàòåëüíî-îïðåäåëåííîé z-ìàòðèöû îáëàñòè èíòåã-
ðèðîâàíèÿ íàõîäÿòñÿ â íåçàøòðèõîâàííûõ îáëàñòÿõ ïåðâîãî, òðåòüåãî è ÷åòâåð-
òîãî êâàäðàíòîâ (ñì. ðèñ. 3), à ðåçóëüòàòû èíòåãðèðîâàíèÿ ïîñëå îáúåäèíåíèÿ
äâóõ ïàð èíòåãðàëîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
�L
u
u dh dz dz z z z w h z( ) ( ) ( , , ,� �
� �
�
� �
��
��� 12 22 11 22 12
2
6 0 0 11 12 22 11
0
, , )z z dz
��
�
#
$
%
%
�
� �
&
'
(
(
�
� ( ) ( , , , , , )z z z w h z z z dz11 22 12
2
6 11 12 22 11
0
0 0 ,
ãäå w h y y z z z6 1 2 11 12 22( , , , , , ) — ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ðàñïðåäåëå-
íèÿ ïðîöåññà, åãî äâóìåðíîé ñêîðîñòè è ñîâìåñòíûõ óñêîðåíèé â ñîâïàäàþ-
ùèå ìîìåíòû âðåìåíè, z z z11 12 22, , — ÷ëåíû ìàòðèöû óñêîðåíèÿ
z �
z z
z z
11 12
21 22
,
â êîòîðîé z z21 12� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 157
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ðåçóëüòàòû äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî N
ïóòåì 1 1 2� �N N( ) / -êðàòíîãî èíòåã-
ðèðîâàíèÿ ( ) /N N2 3 2 2� � -ìåðíûõ
ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè ðàñïðåäåëå-
íèÿ ïîëÿ, åãî ïåðâûõ è âòîðûõ ÷àñ-
òíûõ ïðîèçâîäíûõ. Îäíàêî ñ ðîñòîì
N îïðåäåëèòü îáëàñòè èíòåãðèðîâà-
íèÿ ñòàíîâèòñÿ ñëîæíåå, à ñ ó÷åòîì
òîãî, ÷òî ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ àíà-
ëèòè÷åñêè ãðîìîçäêè, ðàñ÷åòû ëåã÷å
ïðîâîäèòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèêëàä-
íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïàêåòîâ, ïðåäó-
ñìîòðåííûõ äëÿ òàêèõ ñëó÷àåâ.
 çàêëþ÷åíèå ïîëåçíî ïðîâå-
ðèòü (17) äëÿ ñòàöèîíàðíîãî öåíòðè-
ðîâàííîãî ãàóññîâà ñëó÷àéíîãî ïðî-
öåññà ñ äèñïåðñèåé � 2 .  ýòîì ñëó÷àå
w h y z
D D
D h D hz D y D z3 11
2
13 22
2
33
21
2 2
1
2
2( , , ) exp ( )� � � � �
#
� � $
%
&
'
( , (18)
D � �� � � �6
2 4( )
2
2 , D11
2
2 4� � � � , D13
4� � �
2
2 , D22
4
4� �� � �( )
2
2 , D33
4
2� � � ,
� 2 — êàê è ðàíåå, êîíå÷íûé âòîðîé ñïåêòðàëüíûé ìîìåíò ïðîöåññà, � 4 —
÷åòâåðòûé ñïåêòðàëüíûé ìîìåíò ïðîöåññà.
Ïîäñòàíîâêà (18) â (17) è èíòåãðèðîâàíèå â (17) âíà÷àëå ïî z, à ïîòîì ïî h
ïðèâîäèò ê îæèäàåìîìó ðåçóëüòàòó (4).
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
1. Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è íå íóæíû ãðîìîçäêèå êîíñòðóêöèè ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì ñïåöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ýéëåðîâñêèõ õàðàêòåðèñòèê, êàê ýòî
ñäåëàíî â ðàáîòàõ [10–12].
2. Êàê è äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ, èíòåíñèâíîñòè ïåðåñå÷åíèé ðåãóëÿðíûì
ñëó÷àéíûì ïîëåì óðîâíÿ u ñíèçó ââåðõ è ñâåðõó âíèç îäèíàêîâû.
3. Äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ â äàííîì íàïðàâëåíèè èíòåðåñíû äëÿ íåãàóñ-
ñîâûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé, à òàêæå äëÿ ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ ñ ðàçìåðíîñòüþ N ) 3.
Ýòî ïîòðåáóåò 1 1 2� �N N( ) / - êðàòíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ( ) /N N2 3 2 2� � -ìåðíûõ
ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ, åãî ïåðâûõ è âòîðûõ ÷àñòíûõ ïðî-
èçâîäíûõ, ÷òî çàòðóäíÿåò ïîëó÷åíèå ðåçóëüòàòà â àíàëèòè÷åñêîì âèäå.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Rice S.O. Mathematical analysis of random noise. The Bell System Technical Journal. 1944. Vol. 23,
N 3; 1945. Vol. 24, N 1. Ïåðåâîä â ñá. «Òåîðèÿ ïåðåäà÷è ýëåêòðè÷åñêèõ ñèãíàëîâ ïðè íàëè÷èè
ïîìåõ». Ïîä ðåä. Í.À. Æåëåçíîâà. Mîñêâà: Èçä-âî èíîñòðà. ëèò., 1953. 284 c.
2. Áåëÿåâ Þ.Ê. Ðàñïðåäåëåíèå ìàêñèìóìà ñëó÷àéíîãî ïîëÿ è åãî ïðèëîæåíèå ê çàäà÷àì íàäåæ-
íîñòè. Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Òåõí. êèáåðíåòèêà. 1970. ¹ 2. Ñ. 77–84.
3. Íàäàè À. Ïëàñòè÷íîñòü è ðàçðóøåíèå òâåðäûõ òåë. Ïîä ðåä. Ã.Ñ. Øàïèðî. Ò. 1. Ìîñêâà:
Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1954. 647 ñ.
4. Áîëîòèí Â.Â. Îñíîâû òåîðèè íàäåæíîñòè ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì.  êí. Ïðî÷íîñòü, óñòîé÷è-
âîñòü, êîëåáàíèÿ. Ìîñêâà: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1968. Ò. 1 Ñ. 164–182.
5. Øóêàéëî Â.Ô. Î ðàñïðåäåëåíèè àáñîëþòíîãî ìàêñèìóìà ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåñ-
ñà. Ðàäèîòåõíèêà è ýëåêòðîíèêà. 1968. Ò. 13, ¹ 6. C. 996–1006.
158 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5
z11
z22
Ðèñ. 3. Îïðåäåëåíèå îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ
N � 2 è ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé z-ìàòðèöû
6. Ëîíãå-Õèããèíñ Ì.Ñ. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé. Ñá. Ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ íå-
óñòîé÷èâîñòü. Ìîñêâà: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1964. Ñ. 124–167.
7. Ëîíãå-Õèããèíñ Ì.Ñ. Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç ñëó÷àéíîé äâèæóùåéñÿ ïîâåðõíîñòè. Ñá. Âåòðî-
âûå âîëíû. Ìîñêâà: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1962, C. 125–218.
8. Íîñêî Â.Ï. Îá îïðåäåëåíèè ÷èñëà âûáðîñîâ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ çà ôèêñèðîâàííûé óðîâåíü. Òåî-
ðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèå. 1979. Ò. 24, ¹ 3. Ñ. 3–5.
9. Adler R.J. The geometry of random fields. New York: John Wiley & Sons, 1981. 280 p.
10. Adler R.J., Taylor J.E. Random field and their geometry. New York: Springer, 2003. 288 p.
11. Adler R.J., Taylor J.E. Random field and geometry. New York: Springer, 2007. 448 p.
12. Adler R.J. The geometry of random fields. Philadelphia: Society for Industrial and Applied
Mathematics, 2010. 295 p.
13. Íîñêî Â.Ï. Ëîêàëüíàÿ ñòðóêòóðà ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé â îêðåñòíîñòè âûñîêèõ áëè-
êîâ. Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1969. Ò. 189, ¹ 4. Ñ. 714–717.
14. Corrsin S. A measure of area of homogeneous random surface in space. Quart. Appl. Math. 1954.
Vol. 12. P. 404–408.
15. Åâãðàôîâ Ä.Â. Ðàñïðåäåëåíèå àáñîëþòíîãî ìàêñèìóìà îäíîðîäíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ. Ïðîáëå-
ìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2008. ¹ 1. Ñ. 96–103.
16. Áåëÿåâ Þ.Ê. Î âñïëåñêàõ è áëèêàõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé. Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1967. Ò. 176, ¹ 3.
Ñ. 495–497.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 07.02.2017
Ä.Â. ªâãðàôîâ
²ÍÒÅÍÑÈÂͲÑÒÜ ÏÅÐÅÒÈͲ ÇÀÄÀÍÎÃΠвÂÍß ÎÄÍÎвÄÍÈÌ ÂÈÏÀÄÊÎÂÈÌ ÏÎËÅÌ
Àíîòàö³ÿ. Íàâåäåíî âèçíà÷åííÿ ïîíÿòòÿ ³íòåíñèâíîñò³ ïåðåòèí³â îäíîð³äíèì
ïîëåì çàäàíîãî ð³âíÿ ÿê ñåðåäíüî¿ ê³ëüêîñò³ ïîòðàïëÿííÿ òî÷îê ïîâåðõí³
ð³âíÿ ó ðîçøèðíîìó ïðîñòîð³. Ïîêàçàíî, ùî íåçàëåæíî â³ä ïîëîæåííÿ öåíòðó
ðîçøèðíîãî ïðîñòîðó çàäà÷à â³äøóêóâàííÿ ³íòåíñèâíîñò³ çâîäèòüñÿ äî ï³äðà-
õóíê³â ê³ëüêîñò³ ïîâåðõîíü ð³âíÿ â îäèíèö³ îá’ºìó. Ñôîðìóëüîâàíî ìîæ-
ëèâ³ñòü â³äøóêóâàííÿ ê³ëüêîñò³ ïîâåðõîíü ð³âíÿ ÿê õàðàêòåðèñòèêè, ùî çàëå-
æèòü â³ä ê³ëüêîñò³ ïîâåðõíåâî ïîðîäæóâàëüíèõ òî÷îê. Çíàéäåíî äèôå-
ðåíö³éíå ð³âíÿííÿ, ÿêå çâ’ÿçóº ³íòåíñèâíîñò³ òî÷îê ëîêàëüíèõ ìàêñèìóì³â ³
ëîêàëüíèõ ì³í³ìóì³â ç øóêàíîþ ³íòåíñèâí³ñòþ ïîâåðõîíü ð³âíÿ. Íà
ãàóñ³âñüêîìó ñòàö³îíàðíîìó ïðîöåñ³ ïåðåâ³ðåíî äîñòîâ³ðí³ñòü îòðèìàíèõ ðå-
çóëüòàò³â, ÿê³ ïîâí³ñòþ çá³ãàþòüñÿ ç âèðàçîì, óïåðøå çíàéäåíèì Ðàéñîì.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ïåðåòèíè ô³êñîâàíîãî ð³âíÿ çíèçó ââåðõ (çâåðõó âíèç) âè-
ïàäêîâèì ïîëåì, î÷³êóâàíà ê³ëüê³ñòü âèêèä³â âèïàäêîâîãî ïîëÿ, ðîçïîä³ë àá-
ñîëþòíîãî ìàêñèìóìó âèïàäêîâîãî ïîëÿ.
D.V. Yevgrafov
INTENSITY OF CROSSINGS A GIVEN LEVEL OF HOMOGENEOUS RANDOM FIELD
Abstract. The author defines the concept of the intensity of crossings of a given
level by a homogeneous field as the average number of points of level surface
that hit the expanding space. It is shown that irrespective of the position of the
center of expanding space, the problem of finding the intensity reduces to
counting the level surfaces per unit volume. The author formulates the
possibility of finding the number of level surfaces as a characteristic that
depends on birth-surface points. A differential equation is found that relates the
intensities of points of local maxima and local minima with the desired intensity
of level surfaces. The accuracy of the results is verified for the stationary
Gaussian process. The results completely coincide with the expression found by
Rice for the first time.
Keywords: up-crossings (down-crossings) of the fixed level by random field,
expected number of excursion sets for the random field, distribution of absolute
maximum of random field.
Åâãðàôîâ Äìèòðèé Âèêòîðîâè÷,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê, äîöåíò êàôåäðû Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî
óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èíñòèòóò èìåíè Èãîðÿ Ñèêîðñêîãî»,
e-mail: ramgraf@bigmir.net.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2017, òîì 53, ¹ 5 159
|