Модели систем управления запасами со скоропортящимися продуктами и сервером на «прогулке»
Изучена система обслуживания-запасания со скоропортящимися продуктами, в которой после завершения обслуживания заявки сервер уходит на «прогулку» при отсутствии заявок в очереди, а после окончания «прогулки» сервер приступает к обслуживанию новых заявок, если длина их очереди превышает некоторую пор...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144831 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Модели систем управления запасами со скоропортящимися продуктами и сервером на «прогулке» / В.С. Королюк, А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, А.М. Рустамов // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 35–50. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-144831 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1448312019-01-06T01:23:10Z Модели систем управления запасами со скоропортящимися продуктами и сервером на «прогулке» Королюк, В.С. Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Рустамов, А.М. Системний аналіз Изучена система обслуживания-запасания со скоропортящимися продуктами, в которой после завершения обслуживания заявки сервер уходит на «прогулку» при отсутствии заявок в очереди, а после окончания «прогулки» сервер приступает к обслуживанию новых заявок, если длина их очереди превышает некоторую пороговую величину; иначе сервер снова уходит на «прогулку». Разработаны точный и приближенный методы расчета характеристик системы. Вивчено систему обслуговування-запасання з швидкопсувними продуктами, в якій після завершення обслуговування вимоги сервер іде на «прогулянку» за відсутності вимог у черзі, а після закінчення «прогулянки» береться за обслуговування нових вимог, якщо довжина їхньої черги перевищує певну встановлену величину; інакше сервер знову йде на «прогулянку». Розроблено точний і наближений методи розрахунку характеристик системи The model of perishable queueing-inventory system with server vacations is studied. Upon service completion, server takes vacation if there are no customers in the system and it starts to service at the end of the vacation if the number of customers in the system exceeds some threshold; otherwise, it takes new vacation. Exact and approximate methods to calculate the characteristics of the system are proposed. 2018 Article Модели систем управления запасами со скоропортящимися продуктами и сервером на «прогулке» / В.С. Королюк, А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, А.М. Рустамов // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 35–50. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144831 519.21:621.391 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Королюк, В.С. Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Рустамов, А.М. Модели систем управления запасами со скоропортящимися продуктами и сервером на «прогулке» Кибернетика и системный анализ |
| description |
Изучена система обслуживания-запасания со скоропортящимися продуктами, в которой после завершения обслуживания заявки сервер уходит на «прогулку» при отсутствии заявок в очереди, а после окончания «прогулки» сервер приступает к обслуживанию новых заявок, если длина их очереди превышает некоторую пороговую величину; иначе сервер снова уходит на «прогулку». Разработаны точный и приближенный методы расчета характеристик системы. |
| format |
Article |
| author |
Королюк, В.С. Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Рустамов, А.М. |
| author_facet |
Королюк, В.С. Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Рустамов, А.М. |
| author_sort |
Королюк, В.С. |
| title |
Модели систем управления запасами со скоропортящимися продуктами и сервером на «прогулке» |
| title_short |
Модели систем управления запасами со скоропортящимися продуктами и сервером на «прогулке» |
| title_full |
Модели систем управления запасами со скоропортящимися продуктами и сервером на «прогулке» |
| title_fullStr |
Модели систем управления запасами со скоропортящимися продуктами и сервером на «прогулке» |
| title_full_unstemmed |
Модели систем управления запасами со скоропортящимися продуктами и сервером на «прогулке» |
| title_sort |
модели систем управления запасами со скоропортящимися продуктами и сервером на «прогулке» |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144831 |
| citation_txt |
Модели систем управления запасами со скоропортящимися продуктами и сервером на «прогулке» / В.С. Королюк, А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, А.М. Рустамов // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 35–50. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT korolûkvs modelisistemupravleniâzapasamisoskoroportâŝimisâproduktamiiserveromnaprogulke AT melikovaz modelisistemupravleniâzapasamisoskoroportâŝimisâproduktamiiserveromnaprogulke AT ponomarenkola modelisistemupravleniâzapasamisoskoroportâŝimisâproduktamiiserveromnaprogulke AT rustamovam modelisistemupravleniâzapasamisoskoroportâŝimisâproduktamiiserveromnaprogulke |
| first_indexed |
2025-07-10T20:18:10Z |
| last_indexed |
2025-07-10T20:18:10Z |
| _version_ |
1837292534441705472 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21:621.391
Â.Ñ. ÊÎÐÎËÞÊ, À.Ç. ÌÅËÈÊÎÂ, Ë.À. ÏÎÍÎÌÀÐÅÍÊÎ, À.Ì. ÐÓÑÒÀÌÎÂ
ÌÎÄÅËÈ ÑÈÑÒÅÌ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÇÀÏÀÑÀÌÈ ÑÎ
ÑÊÎÐÎÏÎÐÒßÙÈÌÈÑß ÏÐÎÄÓÊÒÀÌÈ È ÑÅÐÂÅÐÎÌ
ÍÀ «ÏÐÎÃÓËÊÅ»
Àííîòàöèÿ. Èçó÷åíà ñèñòåìà îáñëóæèâàíèÿ-çàïàñàíèÿ ñî ñêîðîïîðòÿùèìè-
ñÿ ïðîäóêòàìè, â êîòîðîé ïîñëå çàâåðøåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè ñåðâåð
óõîäèò íà «ïðîãóëêó» ïðè îòñóòñòâèè çàÿâîê â î÷åðåäè, à ïîñëå îêîí÷àíèÿ
«ïðîãóëêè» ñåðâåð ïðèñòóïàåò ê îáñëóæèâàíèþ íîâûõ çàÿâîê, åñëè äëèíà
èõ î÷åðåäè ïðåâûøàåò íåêîòîðóþ ïîðîãîâóþ âåëè÷èíó; èíà÷å ñåðâåð ñíîâà
óõîäèò íà «ïðîãóëêó». Ðàçðàáîòàíû òî÷íûé è ïðèáëèæåííûé ìåòîäû ðàñ÷å-
òà õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèñòåìà óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè, ñêîðîïîðòÿùèåñÿ ïðîäóê-
òû, «ïðîãóëêà» ñåðâåðà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Äàííàÿ ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì èññëåäîâàíèé, íà÷àòûõ â [1]. Íàïîì-
íèì, ÷òî â óêàçàííîé ðàáîòå ïðåäëîæåí ýôôåêòèâíûé ìåòîä ðàñ÷åòà õàðàêòå-
ðèñòèê ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ-çàïàñàíèÿ ñî ñêîðîïîðòÿùèìèñÿ ïðîäóêòàìè
(Perishable Queueing-Inventory System, PQIS) è ñåðâåðîì íà «ïðîãóëêå», â êî-
òîðîé ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ îñóùåñòâëÿþòñÿ ñîãëàñíî ïîëèòè-
êå äâóõ óðîâíåé.
Çäåñü èçó÷àþòñÿ ìîäåëè PQIS, êîòîðûå, â îòëè÷èå îò ìîäåëè [1], èìåþò ñëå-
äóþùèå îñîáåííîñòè. Âî-ïåðâûõ, ñåðâåð óõîäèò íà ïðîãóëêè ëèøü òîãäà, êîãäà
â ìîìåíò çàâåðøåíèÿ åãî ðàáîòû â ñèñòåìå îòñóòñòâóþò çàÿâêè; âî-âòîðûõ, çäåñü
èçó÷àþòñÿ êàê ìîäåëè ñ îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ, òàê è ìîäåëè ñ íåîãðàíè÷åííîé
î÷åðåäüþ çàÿâîê; è, íàêîíåö, â-òðåòüèõ, çäåñü ïî çàâåðøåíèè âðåìåíè ïðîãóëêè
ñåðâåð ïåðåõîäèò â ðàáî÷èé ðåæèì ëèøü òîãäà, êîãäà ÷èñëî çàÿâîê â ñèñòåìå
ïðåâûøàåò íåêîòîðóþ ïîðîãîâóþ âåëè÷èíó. Ó÷åò ýòèõ îñîáåííîñòåé ïîçâîëÿåò
èçó÷èòü åùå îäèí øèðîêèé êëàññ ðåàëüíûõ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ-çàïàñàíèÿ
ñî ñêîðîïîðòÿùèìèñÿ ïðîäóêòàìè.
Îñíîâíûì íàó÷íûì ðåçóëüòàòîì äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà ìåòîäà
ïðèáëèæåííîãî ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ òðåõìåðíîé öåïè Ìàðêîâà
(ÖÌ) áîëüøîé ðàçìåðíîñòè. Â ýòîé ñâÿçè óêàæåì íåêîòîðûå èçâåñòíûå ïîäõîäû
ê ðåøåíèþ äàííîé ïðîáëåìû.
Îäèí èç íèõ èñïîëüçóåò èäåþ àãðåãèðîâàíèÿ ñîñòîÿíèé öåïè. Îòìåòèì, ÷òî
èñïîëüçîâàíèå ýòîé èäåè äëÿ ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÖÌ èìååò
äîëãóþ èñòîðèþ. Â èçâåñòíîé ðàáîòå [2] (ñì. ãëàâó 6) ïîêàçàíî, ÷òî àãðåãèðîâàí-
íûé ïðîöåññ áóäåò ìàðêîâñêèì ëèøü òîãäà, êîãäà äëÿ âûáðàííîãî ðàçáèåíèÿ ôàçî-
âîãî ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé (ÔÏÑ) èñõîäíîé öåïè ñóììà âåðîÿòíîñòåé ïåðåõî-
äîâ èç ñîñòîÿíèé êàæäîãî êëàññà â ëþáîé äðóãîé êëàññ äîëæíà áûòü îäèíàêîâîé
äëÿ âñåõ ñîñòîÿíèé èñõîäíîãî êëàññà. Èíûìè ñëîâàìè, êëàññ àãðåãèðóåìûõ ÖÌ
ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî óçêèì. Íåñìîòðÿ íà ýòî, â äàëüíåéøåì ýòà èäåÿ èñïîëüçîâàíà
â ðÿäå äðóãèõ ðàáîò. Òàê, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [3–5] ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî àãðåãèðî-
âàííûå ñîñòîÿíèÿ îáðàçóþò òàêèå êëàññû, ÷òîáû ïåðåõîäû (âõîäû è âûõîäû) ìåæ-
äó íèìè îñóùåñòâëÿëèñü ëèøü ÷åðåç îäíî (ôèêñèðîâàííîå) ñîñòîÿíèå êàæäîãî
êëàññà ñîñòîÿíèé. Åñëè óäàåòñÿ îñóùåñòâèòü òàêîå ðàçáèåíèå èñõîäíîãî ÔÏÑ, òîã-
äà ïðåäëàãàþòñÿ àëãîðèòìû ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ öåïè.
Âòîðîé ïîäõîä ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî-
÷òè ïîëíîñòüþ äåêîìïîçèðóåìûõ öåïåé Ìàðêîâà. Îí èñïîëüçîâàí, íàïðèìåð,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 35
© Â.Ñ. Êîðîëþê, À.Ç. Ìåëèêîâ, Ë.À. Ïîíîìàðåíêî, À.Ì. Ðóñòàìîâ, 2018
â ðàáîòàõ [6–8]. Â íèõ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èñõîäíîå ÔÏÑ öåïè ðàçáèâàåòñÿ íà
êëàññû, êîòîðûå ïî÷òè íå ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì, è ñ ó÷åòîì ýòîãî ôàêòà
ïðåäëàãàþòñÿ èòåðàòèâíûå àëãîðèòìû äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé ïðîáëåìû.
Òðåòèé ïîäõîä ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèáëè-
æåííî àãðåãèðóåìûõ öåïåé Ìàðêîâà. Îí ïîëîæåí â îñíîâó ìåòîäà Takahashi [9].
Îòìåòèì, ÷òî âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ïîñëåäíèõ äâóõ ïîäõîäîâ äîëæíà óñòà-
íàâëèâàòüñÿ äëÿ êàæäîé êîíêðåòíîé öåïè. Ïðè ýòîì ïðîâåðêà òîãî, äåéñòâèòåëü-
íî ëè èçó÷àåìàÿ ÖÌ ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè ïîëíîñòüþ äåêîìïîçèðóåìîé èëè ïðèáëè-
æåííî àãðåãèðóåìîé, ñàìà ïî ñåáå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé ïðîáëåìîé, òàê
êàê îíà òðåáóåò íàõîæäåíèÿ âñåõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèö îãðîìíîé
ðàçìåðíîñòè, êîòîðûå çà÷àñòóþ ÿâëÿþòñÿ ïëîõî îáóñëîâëåííûìè.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ, ïðåäëîæåííûõ â ðàáî-
òàõ [3–9], òðåáóåò îò èññëåäîâàòåëÿ áîëüøîé èçîáðåòàòåëüíîñòè ïðè ïîñòðîåíèè
íàäëåæàùåãî ðàçáèåíèÿ ÔÏÑ èçó÷àåìîé öåïè Ìàðêîâà. Ñëîæíîñòü ýòîé çàäà÷è
îñîáåííî óñóãóáëÿåòñÿ ïðè èçó÷åíèè ìíîãîìåðíûõ öåïåé.
Äîñòàòî÷íî ïîäðîáíûé îáçîð ðàáîò, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ óêàçàííûå
âûøå ïîäõîäû, ìîæíî íàéòè â [10–12].
Èñïîëüçîâàííûé íàìè ìåòîä áàçèðóåòñÿ íà òåîðèè ôàçîâîãî óêðóïíåíèÿ ñî-
ñòîÿíèé ÖÌ, îñíîâû êîòîðîé ðàçðàáîòàíû â íà÷àëå 70-õ ãîäîâ ïðîøëîãî âåêà [13].
 óêàçàííîé êíèãå (ñ. 152–154) âûñêàçàíà èäåÿ íåîáõîäèìîñòè ðàçðàáîòêè èåðàð-
õè÷åñêîãî âàðèàíòà àëãîðèòìà ôàçîâîãî óêðóïíåíèÿ (ÀÔÓ) äëÿ áîðüáû ñ ïðîáëå-
ìîé «òèðàíèè ðàçìåðíîñòè» ïðè âû÷èñëåíèè ñòàöèîíàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ÖÌ
áîëüøîé ðàçìåðíîñòè. Ýòà èäåÿ â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíè íå áûëà ðåàëèçî-
âàíà íà ïðàêòèêå, è ëèøü íà÷èíàÿ ñ 2000 ãîäîâ, À.Ç. Ìåëèêîâ è Ë.À. Ïîíîìàðåíêî
ïîä ðóêîâîäñòâîì îñíîâîïîëîæíèêà ýòîé òåîðèè àêàäåìèêà Â.Ñ. Êîðîëþêà íà÷àëè
ðàçðàáîòêó ïîäîáíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ äâóìåðíûõ öåïåé Ìàðêîâà, êîòîðûå óñïåø-
íî ïðèìåíåíû â êîíêðåòíûõ ìîäåëÿõ ñèñòåì òåëåòðàôèêà [14, 15]. Â ïîñëåäíèå
ãîäû óêàçàííûé ïîäõîä ïðèìåíÿåòñÿ è äðóãèìè àâòîðàìè, êîòîðûå òàêæå óêàçûâà-
þò íà âûñîêóþ òî÷íîñòü ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ (ñì, íàïðèìåð, [16–18]).
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ PQIS Ñ ÑÅÐÂÅÐÎÌ ÍÀ «ÏÐÎÃÓËÊÅ»
Èçó÷àåìàÿ ñèñòåìà èìååò ñêëàä îãðàíè÷åííîãî îáúåìà S è ñîäåðæèò îäèí ñåð-
âåð äëÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê. Âõîäÿùèé ïîòîê çàÿâîê ÿâëÿåòñÿ ïóàññîíîâñêèì
ñ èíòåíñèâíîñòüþ � , ïðè ýòîì ïîñòóïèâøèå çàÿâêè íåçàâèñèìî îò ñîñòîÿíèÿ
ñåðâåðà è óðîâíÿ çàïàñîâ ñèñòåìû ïðèíèìàþòñÿ â î÷åðåäü è îáñëóæèâàþòñÿ
â ïîðÿäêå èõ ïîñòóïëåíèÿ. Âðåìåíà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê — íåçàâèñèìûå
è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (ñ.â.) ñ îáùåé ïîêàçàòåëü-
íîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ (ô.ð.) ñî ñðåäíèì ��1, �� � .
Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäàÿ çàÿâêà òðåáóåò çàïàñ åäè-
íè÷íîãî ðàçìåðà, èíûìè ñëîâàìè, ïîñëå çàâåðøåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè óðîâåíü
çàïàñîâ íà ñêëàäå óìåíüøàåòñÿ íà åäèíèöó. Óðîâåíü çàïàñîâ òàêæå óìåíüøàåòñÿ
â ðåçóëüòàòå èõ ïîð÷è, ò.å. êàæäàÿ åäèíèöà çàïàñà íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ ñòàíî-
âèòñÿ íåïðèãîäíîé äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïîñëå ñëó÷àéíîãî âðåìåíè, êîòîðîå èìååò ïî-
êàçàòåëüíóþ ô.ð. ñ ïàðàìåòðîì � , � � 0. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çàïàñ, êîòî-
ðûé óæå íàõîäèòñÿ íà ýòàïå âûäà÷è ïî çàÿâêå, íå ìîæåò èñïîðòèòüñÿ.
Ïîïîëíåíèå çàïàñàìè â ñèñòåìå îñóùåñòâëÿåòñÿ ñîãëàñíî ïîëèòèêå äâóõ
óðîâíåé, ò.å. ( , )s S -ïîëèòèêà, â êîòîðîé ââîäèòñÿ ïîðîãîâàÿ âåëè÷èíà s, s S� ,
è åñëè óðîâåíü çàïàñîâ ñèñòåìû âûøå ýòîé âåëè÷èíû, òî ñèñòåìà íå äåëàåò çàêà-
çîâ äëÿ ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ. Êîãäà óðîâåíü çàïàñîâ ñèñòåìû ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì
s, îòïðàâëÿåòñÿ çàêàç íà ïîñòàâêó çàïàñîâ îáúåìà S s� . Äëÿ èñêëþ÷åíèÿ ïîâòîð-
íûõ çàêàçîâ ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî s S� / 2. Ïîïîëíåíèå çàïàñîâ âûïîëíÿåòñÿ ñ íåêî-
òîðîé çàäåðæêîé, ò.å. âðåìÿ âûïîëíåíèÿ çàêàçà — ïîëîæèòåëüíàÿ ñ.â. ñ ïîêàçà-
36 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
òåëüíîé ô.ð., ïðè ýòîì åãî ñðåäíåå çíà÷åíèå çàâèñèò îò ñòàòóñà ñåðâåðà, ò.å. åñëè
çàêàç äåëàåòñÿ â ïåðèîä ïðåáûâàíèÿ ñåðâåðà íà ïðîãóëêå, òî ñðåäíåå âðåìÿ
âûïîëíåíèÿ çàêàçà ðàâíî �
0
1� , èíà÷å ýòà âåëè÷èíà ðàâíà �
1
1� .
Çäåñü ðàññìàòðèâàþòñÿ ìîäåëè ñ êîíå÷íîé è áåñêîíå÷íîé î÷åðåäüþ.  ìîäå-
ëè ñ êîíå÷íîé î÷åðåäüþ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîñòóïèâøàÿ çàÿâêà òåðÿåòñÿ ñ âå-
ðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, åñëè â ýòîò ìîìåíò â ñèñòåìå óæå èìåþòñÿ N çàÿâîê,
1� � �N . Âìåñòå ñ òåì, â ìîäåëè ñ áåñêîíå÷íîé î÷åðåäüþ ëþáàÿ ïîñòóïèâøàÿ
çàÿâêà ïðèíèìàåòñÿ â î÷åðåäü.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî åñëè ïîñëå çàâåðøåíèÿ ðàáîòû ñåðâåðà â ñèñòåìå èìååòñÿ
õîòÿ áû îäíà çàÿâêà, òî ïðè íàëè÷èè çàïàñîâ ñåðâåð íåìåäëåííî âûáèðàåò îäíó èç
íèõ äëÿ îáñëóæèâàíèÿ. Âìåñòå ñ òåì, ñåðâåð óõîäèò íà ïðîãóëêó íåçàâèñèìî îò
óðîâíÿ çàïàñîâ ñèñòåìû, åñëè ïîñëå çàâåðøåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ î÷åðåäíîé çàÿâêè
è/èëè â ðåçóëüòàòå íåòåðïåëèâîñòè çàÿâîê â ñèñòåìå íåò íè îäíîé çàÿâêè. Âðåìÿ
ïðåáûâàíèÿ ñåðâåðà íà ïðîãóëêå ÿâëÿåòñÿ ñ.â. ñ ïîêàçàòåëüíîé ô.ð. ñî ñðåäíèì � �1,
�� � . Ïîñëå çàâåðøåíèÿ ïðîãóëêè ñåðâåð ïåðåõîäèò â ðàáî÷èé ñòàòóñ íåçàâèñèìî
îò óðîâíÿ çàïàñîâ ñèñòåìû, åñëè â î÷åðåäè èìååòñÿ íå ìåíåå r çàÿâîê, r � 1. Ïðè
ýòîì, åñëè â ýòîò ìîìåíò óðîâåíü çàïàñîâ ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷è-
íîé, òî ñåðâåð ìãíîâåííî íà÷èíàåò îáñëóæèâàíèå çàÿâîê; èíà÷å ñåðâåð îïÿòü óõîäèò
íà ïðîãóëêó ñ òåì æå çàêîíîì ïðåáûâàíèÿ íà ïðîãóëêå (ìíîãîêðàòíàÿ ïðîãóëêà).
Çàÿâêè ÿâëÿþòñÿ íåòåðïåëèâûìè ëèøü âî âðåìÿ èõ îæèäàíèÿ â î÷åðåäè,
ò.å. çàÿâêà, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ â ñåðâåðå, íå óõîäèò èç ñèñòåìû, íå ïîëó÷èâ îá-
ñëóæèâàíèå. Ñòåïåíü íåòåðïåëèâîñòè çàÿâîê â î÷åðåäè â îáùåì ñëó÷àå çàâè-
ñèò îò ñòàòóñà ñåðâåðà, ò.å. åñëè ñåðâåð íàõîäèòñÿ íà ïðîãóëêå, òî äîïóñòèìûå
âðåìåíà îæèäàíèÿ â î÷åðåäè çàÿâîê — íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåí-
íûå ñ.â., èìåþùèå ïîêàçàòåëüíóþ ô.ð. ñî ñðåäíèì �
0
1� ; åñëè ñåðâåð íàõîäèòñÿ
â ðàáî÷åì ñòàòóñå, òî óêàçàííûå ñ.â. èìåþò òàêæå ïîêàçàòåëüíóþ ô.ð., íî óæå ñî
ñðåäíèì �
1
1� . Ïðè ýòîì, âîîáùå ãîâîðÿ, � �0 1� .
Çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óðîâ-
íÿ çàïàñîâ ñèñòåìû, ÷èñëà çàÿâîê â íåé è ñòàòóñà ñåðâåðà. Åå ðåøåíèå ïîçâîëèò
âû÷èñëèòü óñðåäíåííûå õàðàêòåðèñòèêè èçó÷àåìîé ñèñòåìû: ñðåäíèé óðîâåíü çà-
ïàñîâ íà ñêëàäå ( )S a� ; ñðåäíþþ èíòåíñèâíîñòü ïîð÷è çàïàñîâ ñèñòåìû ( )�a� ;
ñðåäíþþ èíòåíñèâíîñòü çàêàçîâ ( )RR ; âåðîÿòíîñòü ïðåáûâàíèÿ ñåðâåðà íà ïðîãóë-
êå ( )P ac� ; âåðîÿòíîñòü ïîòåðè çàÿâîê ( )PL ; ñðåäíþþ èíòåíñèâíîñòü ïîòåðè çàÿâîê
èç î÷åðåäè èç-çà èõ íåòåðïåëèâîñòè ( )RLa� . Îïðåäåëåíèå óêàçàííûõ õàðàêòåðèñ-
òèê ïîçâîëèò âûïîëíèòü ñòîèìîñòíûé àíàëèç ñèñòåìû.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ PQIS Ñ ÑÅÐÂÅÐÎÌ ÍÀ «ÏÐÎÃÓËÊÅ»
Èñõîäÿ èç âèäà çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â., èñïîëüçîâàííûõ â ôîðìóëèðîâêå
ìîäåëè, îïðåäåëÿåì, ÷òî ââîäèìûé ñòîõàñòè÷åñêèé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ òðåõìåð-
íîé ÖÌ (Three Dimensional Markov Chain, 3-D MC). Äåéñòâèòåëüíî, ðàáîòà
ñèñòåìû â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îïèñûâàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèì ïðî-
öåññîì, ñîñòîÿíèå êîòîðîãî çàäàåòñÿ òðåõìåðíûì âåêòîðîì n ( , , )n n1 2 , ãäå
ïåðâàÿ è âòîðàÿ êîìïîíåíòà ñîîòâåòñòâåííî òåêóùèé óðîâåíü çàïàñîâ è ÷èñëî
çàÿâîê â ñèñòåìå, à òðåòüÿ áèíàðíàÿ êîìïîíåíòà îçíà÷àåò ñòàòóñ ñåðâåðà, ò.å.
0
1
,
,
åñëè ñåðâåð íàõîäèòñÿ íà ïðîãóëêå,
åñëè ñåðâåð íàõîäèòñÿ â ðàáî åì ñîñòîÿíèè.�
�
�
Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ìîäåëü ñ êîíå÷íîé î÷åðåäüþ, ò.å. ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî çàÿâîê â ñèñòåìå (âêëþ÷àÿ çàÿâêè â ñåðâåðå) ðàâíî N ,
N � � .  ýòîì ñëó÷àå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé (ÔÏÑ) ñîîòâåòñòâóþùåé
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 37
öåïè îáîçíà÷èì E. Îíî îïðåäåëÿåòñÿ òàêèì îáðàçîì:
E E E E E
0 1 0 1� �, , (1)
ãäå E n S n N0 1 20 1 0 1 0 { }n: , , , ; , , , ;� � , E n S n1 1 20 1 1 2 {n: , , , ; , ,� �
� , ;N 1}.
Èç ôîðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêè ÔÏÑ ìîäåëè çàäàåòñÿ òî÷êàìè ñ
öåëî÷èñëåííûìè êîîðäèíàòàìè, ïðèíàäëåæàùèìè ïàðàëëåëåïèïåäàì âûñîòîé åäè-
íèöà, îñíîâàíèÿìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêè ñî ñòîðîíàìè äëèíîé N è S .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòîé öåïè íåîáõîäèìî íàéòè åå ïðîèçâîäÿùóþ ìàòðèöó
(Q-ìàòðèöó). Ýëåìåíòàìè ýòîé ìàòðèöû ÿâëÿþòñÿ èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ
ìåæäó åå ñîñòîÿíèÿìè. Èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ n â ñîñòîÿíèå �n
îáîçíà÷èì q( , )n n � , n n, � �S .
Èç îïèñàíèÿ èçó÷àåìîé ñèñòåìû âèäíî, ÷òî ïåðåõîäû ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè
ÔÏÑ E ñâÿçàíû ñî ñëåäóþùèìè ñîáûòèÿìè: (i) ïîñòóïëåíèåì çàÿâîê; (ii) çàâåðøå-
íèåì ïðîöåññà èõ îáñëóæèâàíèÿ; (iii) óõîäîì çàÿâîê èç î÷åðåäè âñëåäñòâèå èõ íå-
òåðïåëèâîñòè; (iv) çàâåðøåíèåì âðåìåíè æèçíè çàïàñîâ; (v) ïîñòóïëåíèåì çàïàñîâ;
(vi) óõîäîì ñåðâåðà íà ïðîãóëêó; (vii) âîçâðàùåíèåì ñåðâåðà èç ðåæèìà ïðîãóëêè.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ Q -ìàòðèöû ñ ó÷åòîì ìåõàíèçìà èçìåíåíèÿ óðîâíÿ çàïàñîâ
è ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå, à òàêæå ñõåìû óõîäà ñåðâåðà íà ïðîãóëêó è âîçâðàùå-
íèÿ èç ýòîãî ðåæèìà öåëåñîîáðàçíî ðàçëè÷àòü ñëåäóþùèå ñëó÷àè ïðè îïðåäåëå-
íèè èñõîäíîãî ñîñòîÿíèÿ n �E : 1) n �E0 ; 2) n �E1.
Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé n �E0 .  ýòîì ñëó÷àå âûõîäû èç äàííîãî ñîñòîÿ-
íèÿ ïî ïðè÷èíå ñîáûòèé òèïà (ii) è (vi) íåâîçìîæíû. Èíòåíñèâíîñòè âûõîäà èç ýòî-
ãî ñîñòîÿíèÿ ïðè îñòàëüíûõ ñîáûòèÿõ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè ïî-
ñòóïàåò íåêîòîðàÿ çàÿâêà (ñîáûòèÿ òèïà (i)), òî îíà ïðèñîåäèíÿåòñÿ ê î÷åðåäè ïðè
âûïîëíåíèè óñëîâèÿ n N2 � ; èíûìè ñëîâàìè, îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä èç äàííîãî
ñîñòîÿíèÿ â ñîñòîÿíèå n e� �2 0E . Èíòåíñèâíîñòü òàêîãî ïåðåõîäà ðàâíà � . Çäåñü è
äàëåå ei îçíà÷àåò i-é îðòâåêòîð òðåõìåðíîãî åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà, i 1 2 3, , .
Åñëè íåêîòîðàÿ çàÿâêà óõîäèò èç î÷åðåäè íåîáñëóæåííîé (ñîáûòèÿ òèïà (iii)),
òî ïðîèñõîäèò ïåðåõîä èç äàííîãî ñîñòîÿíèÿ â ñîñòîÿíèå n e� �2 0E ; èíòåíñèâ-
íîñòü òàêîãî ïåðåõîäà ðàâíà n2 0� . Ïî çàâåðøåíèè âðåìåíè æèçíè çàïàñà (ñîáûòèÿ
òèïà (iv)) â ñîñòîÿíèè n �E0 , n1 0� , îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä â ñîñòîÿíèå
n e� �1 0E ; èíòåíñèâíîñòü òàêîãî ïåðåõîäà ðàâíà n1�. Â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ çàêàçà
èç âûøåñòîÿùåãî ñêëàäà (ñîáûòèÿ òèïà (v)) â ñîñòîÿíèè n E� 0 , n s1 � , ïðîèñõîäèò
ïåðåõîä èç ýòîãî ñîñòîÿíèÿ â ñîñòîÿíèå n e� � �( )S s E1 0 ; èíòåíñèâíîñòü òàêîãî ïå-
ðåõîäà ðàâíà � 0 . Åñëè â ñîñòîÿíèè n �E0 , n1 0� , n r2 � , ñåðâåð âîçâðàùàåòñÿ èç ðå-
æèìà ïðîãóëêè (ñîáûòèÿ òèïà (vii)), òî ïðîèñõîäèò ïåðåõîä èç äàííîãî ñîñòîÿíèÿ
â ñîñòîÿíèå n e� �3 1E . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ñëó÷àåâ èñõîäíîãî ñîñòîÿíèÿ n �E0 ,
ýëåìåíòû Q -ìàòðèöû îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
q
r
n( , )
, ,
, , ,
n n
n n e
n n n e
�
� �
� � �
�
�
�
åñëè
åñëè
2
2 3
1 , ,
, ,
,
åñëè
åñëè
åñëè
� �
� �
�
n n e
n n e
1
2 0 2
0 1
n
n s
�
� , ( ) .� � �
�
�
��
�
�
�
� n n eS s 1
(2)
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé n �E1.  ýòîì ñëó÷àå âûõîäû èç äàííîãî ñîñòîÿ-
íèÿ èç-çà ñîáûòèé òèïà (vii) íåâîçìîæíû, à èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ äëÿ óêàçàí-
íûõ âûøå ñîáûòèé òèïà (i), (iii) è (v) îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñîîòíîøåíè-
ÿì (2). Âìåñòå ñ òåì, ïîñêîëüêó çàïàñ, êîòîðûé íàõîäèòñÿ íà ýòàïå âûäà÷è ïî çàÿâ-
êå, íå ìîæåò ïîðòèòüñÿ, òî çäåñü ïîñëå çàâåðøåíèÿ âðåìåíè æèçíè çàïàñà (ñîáûòèÿ
òèïà (iv)) â ñîñòîÿíèè n � �E n1 1 1, , îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä â ñîñòîÿíèå
n e� �1 1E ñ èíòåíñèâíîñòüþ ( )n1 1� � . Òàê êàê ïðè n1 0 íåâîçìîæíî âûïîëíèòü
38 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
îáñëóæèâàíèå çàÿâîê, òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùåãî ñîñòîÿíèÿ ïîñëå çàâåðøå-
íèÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè (ñîáûòèÿ òèïà (ii)) â ñîñòîÿíèÿõ n �E1, n1 0� , íåîáõîäè-
ìî ðàçëè÷àòü ñëåäóþùèå ñëó÷àè: 1) n2 1 ; 2) n2 2� .  ñëó÷àå 1) îñóùåñòâëÿåòñÿ
ïåðåõîä â ñîñòîÿíèå n e e e� � � �1 2 3 0E , à â ñëó÷àå 2) ñëåäóþùèì ñîñòîÿíèåì
áóäåò n e e� � �1 2 1E ; â îáîèõ ñëó÷àÿõ èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ðàâíû � . Îòìå-
òèì, ÷òî çäåñü â ñëó÷àÿõ òèïà 1) ïðîèñõîäèò óõîä ñåðâåðà íà ïðîãóëêó (ñîáûòèÿ
òèïà (vi)); óõîä ñåðâåðà íà ïðîãóëêó òàêæå ïðîèñõîäèò èç åäèíñòâåííîãî ñîñòîÿ-
íèÿ ( , , )0 1 1 1�E èç-çà íåòåðïåëèâîñòè çàÿâêè, ò.å. ïåðåõîä â íîâîå ñîñòîÿíèå
( , , )0 0 0 0�E îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ èíòåíñèâíîñòüþ �1. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ñëó÷àåâ
èñõîäíîãî ñîñòîÿíèÿ n �E1 ýëåìåíòû Q-ìàòðèöû îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
q
n
n
( , )
, ,
,
n n
n n e
n n e e
�
� �
� � � �
�
�
åñëè
åñëè 1,
èëè
2
2 1 2
2 1, ,
( ) , ,
( ) ,
� � � �
� � �
�
n n e e e
n n e
1 2 3
1 1
2 1 1
1
1
n
n n
�
�
åñëè
åñëè � � � �
� � �
0 1
0 1
0
2 2
2 1
1 2 2
1
, , ,
,
, ,
,
n
n
n n
n
n n e
n n e
�
åñëè
èëè n n
n s S s
2 2 3
1 1 1
1 � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
, ' ,
, , ( ) .
n e e
n n e� åñëè
�
�
(3)
Òàêèì îáðàçîì, ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ èçó÷àåìîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ òðåõ-
ìåðíàÿ öåïü Ìàðêîâà ñ ÔÏÑ (1), ïðè ýòîì ýëåìåíòû åå ïðîèçâîäÿùåé ìàòðèöû
îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé (2) è (3).
ÐÀÑ×ÅÒ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÌÎÄÅËÈ PQIS Ñ ÑÅÐÂÅÐÎÌ ÍÀ «ÏÐÎÃÓËÊÅ»
Ïóñòü p( )n îçíà÷àåò ñòàöèîíàðíóþ âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ n �E (ñóùåñòâîâàíèå
ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ïîñòðîåííîé êîíå÷íîìåðíîé 3-D MC âû-
òåêàåò èç òîãî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìîé). Ýòè âåëè÷èíû óäîâëåòâîðÿþò
ñèñòåìå óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ (ÑÓÐ), êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåòñÿ íà îñíîâå ñîîòíî-
øåíèé (2) è (3). Çäåñü íå ïðèâîäèòñÿ ÿâíûé âèä ýòîé ÑÓÐ èç-çà î÷åâèäíîñòè åå
ñîñòàâëåíèÿ è ãðîìîçäêîñòè.
Êàê óæå óïîìèíàëîñü, õàðàêòåðèñòèêàìè èçó÷àåìîé PQIS ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå
âåëè÷èíû: ñðåäíèé óðîâåíü çàïàñîâ íà ñêëàäå; ñðåäíÿÿ èíòåíñèâíîñòü ïîð÷è çàïà-
ñîâ ñèñòåìû; ñðåäíÿÿ èíòåíñèâíîñòü çàêàçîâ; âåðîÿòíîñòü ïðåáûâàíèÿ ñåðâåðà íà
ïðîãóëêå; âåðîÿòíîñòü ïîòåðè çàÿâîê; ñðåäíÿÿ èíòåíñèâíîñòü ïîòåðè çàÿâîê èç î÷å-
ðåäè èç-çà èõ íåòåðïåëèâîñòè. Ýòè õàðàêòåðèñòèêè îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç âåðîÿòíîñòè
ñîñòîÿíèé îïèñàííîé 3-D MC ñ ïðèìåíåíèåì ïîäõîäà, ïðåäëîæåííîãî â [1].
Ñðåäíèé óðîâåíü çàïàñîâ íà ñêëàäå âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
S k p n ka
Ek
S
�
�
�� ( ) ( , )n
n
1
1
, (4)
ãäå
( , )i j — ñèìâîëû Êðîíåêåðà.
Ïîñêîëüêó çàïàñ, êîòîðûé íàõîäèòñÿ íà ýòàïå âûäà÷è ïî çàÿâêå, íå ìîæåò
èñïîðòèòüñÿ, èìååì:
�a
E Ek
S
k
k p n k k p n k� �
� �
� �
� ��( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )n n
n n
1 1
20 1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
S
. (5)
Âåðîÿòíîñòü ïðåáûâàíèÿ ñåðâåðà â ðåæèìå ïðîãóëêè âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì:
P pac
E
�
�
� ( )n
n 0
. (6)
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, íàõîäèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîòåðè
çàÿâîê ( )PL îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 39
PL P PL P PLac ac s � �� � �( )1 , (7)
ãäå PL� — âåðîÿòíîñòü ïîòåðè çàÿâîê, êîãäà ñåðâåð íàõîäèòñÿ â ðåæèìå ïðî-
ãóëêè, è PLs — âåðîÿòíîñòü ïîòåðè çàÿâîê, êîãäà ñåðâåð íàõîäèòñÿ â ðàáî÷åì
ñîñòîÿíèè. Óêàçàííûå âåëè÷èíû ñîñòîÿò èç äâóõ ñëàãàåìûõ: âåðîÿòíîñòè ïîòå-
ðè çàÿâîê â ìîìåíòû èõ ïîñòóïëåíèÿ èç-çà ïåðåïîëíåíèÿ áóôåðà è âåðîÿòíîñ-
òè ïîòåðè çàÿâîê èç î÷åðåäè èç-çà èõ íåòåðïåëèâîñòè. Èíûìè ñëîâàìè, èìååì:
PL p n N n N P n n
E
�
� �
�
� ( )( ( , ) ( ( , )) ( , ))n
n
2 2 0 1 21
0
, (8)
ãäå P n n0 1 2( , ) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñîñòîÿíèè ( , , )n n1 2 0 çàÿâêà òåðÿåòñÿ
èç-çà íåòåðïåëèâîñòè;
PL p n N n N P n ns
E
� �
�
� ( )( ( , ) ( ( , )) ( , ))n
n
2 2 1 1 21
1
, (9)
ãäå P n n1 1 2( , ) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñîñòîÿíèè ( , , )n n1 2 1 çàÿâêà òåðÿåòñÿ
èç-çà íåòåðïåëèâîñòè.
Âåëè÷èíû P n nk ( , )1 2 , k 0 1, , â ôîðìóëàõ (8) è (9) âû÷èñëÿþòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
P n n
n
n I n N n
0 1 2
2 0
2 0 2 1
( , )
( )
� � �
�
� � �
,
P n n
n
n
n n N
n
n
1 1 2
2 1
2 1
1 2
2 1
2
0 1
1
( , )
, , ,
( )
(
�
� �
�
�
� �
�
åñëè
� � � � � �
� � �
�
��
�
�
� 1 1 1
0 1
1 1 1
1 2
) ( ) ( )
, , ,
� � � �n I n
n n Nåñëè
ãäå I A( ) — èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ñîáûòèÿ A.
Ñðåäíÿÿ èíòåíñèâíîñòü ïîòåðè çàÿâîê èç î÷åðåäè èç-çà èõ íåòåðïåëèâîñòè
îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
RL L La s� �� � �0 1 , (10)
ãäå L� è Ls — ñðåäíåå ÷èñëî çàÿâîê â î÷åðåäè, êîãäà ñåðâåð íàõîäèòñÿ íà
ïðîãóëêå è â ðàáî÷åì ñîñòîÿíèè ñîîòâåòñòâåííî, ò.å.
L k p n k
Ek
N
�
�
�� ( ) ( , )n
n
2
1 0
; L k p n ks
Ek
N
�
�
�� ( ) ( ) ( , )1 2
2 1
n
n
.
 îòëè÷èå îò [1], çäåñü ââîäèòñÿ íîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñèñòåìû — ñðåäíÿÿ
èíòåíñèâíîñòü çàêàçîâ äëÿ ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ ( )RR . Êàê îïèñàíî âûøå, çàêàçû
ôîðìèðóþòñÿ â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ: 1) åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèÿõ
òèïà n �E0 , n s1 1 � , è ïðîèñõîäèò ïîð÷à çàïàñîâ, è 2) åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ
â ñîñòîÿíèÿõ òèïà n �E1, n s1 1 � , è ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå óðîâíÿ çàïàñîâ â
ðåçóëüòàòå ïîð÷è çàïàñîâ ëèáî â ðåçóëüòàòå èõ îòïóñêà ïî çàÿâêàì.
Ñëåäîâàòåëüíî, óêàçàííàÿ õàðàêòåðèñòèêà îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
RR s p n s s p n s
E E
� � � � �
� �
��
� �
( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )1 1 11 1
0
n n
n n 1
� . (11)
Âñëåäñòâèå ñëîæíîé ñòðóêòóðû Q-ìàòðèöû ïðèìåíåíèå èçâåñòíûõ ÷èñëåííûõ
ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ÑÓÐ èçó÷àåìîé ìîäåëè ïðè áîëüøîé ðàçìåðíîñòè ÔÏÑ (1)
âëå÷åò çà ñîáîé îãðîìíûå âû÷èñëèòåëüíûå òðóäíîñòè.  ñâÿçè ñ ýòèì íèæå ïðåäëà-
ãàåòñÿ àëüòåðíàòèâíûé ïóòü ðåøåíèÿ äàííîé ïðîáëåìû, îñíîâàííûé íà ÀÔÓ [1].
Êðàòêî íàïîìíèì îñîáåííîñòè ïðèìåíåíèÿ äàííîãî àëãîðèòìà ê íàøåé ñèñòåìå.
Íà ïåðâîì óðîâíå èåðàðõèè ââîäèòñÿ ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ óêðóïíåíèÿ:
U ( )n � � , åñëè n �E , (12)
40 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 41
ãäå � � — óêðóïíåííîå ñîñòîÿíèå, âêëþ÷àþùåå âñå ñîñòîÿíèÿ èç êëàññà E ,
0 1, . Îáîçíà÷èì � � � { } : ,0 1 . Òîãäà ñîãëàñíî ÀÔÓ âåðîÿòíîñòè ñîñòî-
ÿíèé èñõîäíîé ìîäåëè îïðåäåëÿþòñÿ òàêèì îáðàçîì:
p n n( ) ( , ) ( )n � � �� � 1 2 , (13)
ãäå � ( , )n n1 2 — âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ ( , )n n1 2 âíóòðè ðàñùåïëåííîé ìîäåëè
ñ ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé E , � ( )� � — âåðîÿòíîñòü óêðóïíåííîãî ñîñòîÿíèÿ
� � � � .
Íà âòîðîì óðîâíå èåðàðõèè ê êàæäîìó êëàññó Ek , k 0 1, , âíîâü ïðèìåíÿåòñÿ
ÀÔÓ. Ïðè ýòîì äëÿ êîððåêòíîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èíòåíñèâ-
íîñòü ïîñòóïëåíèÿ çàÿâîê ñóùåñòâåííî ïðåâîñõîäèò èíòåíñèâíîñòü ïîð÷è çàïàñîâ
ñèñòåìû, ò.å. � ��� . Îòìåòèì, ÷òî ýòî äîïóùåíèå ñîîòâåòñòâóåò ðåæèìó ðàáîòû ðå-
àëüíûõ PQIS [1].
Ïðè âûïîëíåíèè óêàçàííîãî äîïóùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé E0 ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ ðàçáèåíèå:
E E i
i
S
0 0
1
� , E Ei j
0 0�
,åñëè i j� , (14)
ãäå E n n E n ii
0 1 2 0 1 � { }( , ) : , i S 1, ,� , ò.å. êëàññ ñîñòîÿíèé E i
0
âêëþ÷àåò òå
ñîñòîÿíèÿ èç E0 , â êîòîðûõ óðîâåíü çàïàñîâ ñèñòåìû ðàâåí i íåçàâèñèìî îò
÷èñëà çàÿâîê â î÷åðåäè.
Íà ýòîì óðîâíå èåðàðõèè íà îñíîâå ðàñùåïëåíèÿ (14) â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿ-
íèé E0 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ óêðóïíåíèÿ:
U n n n0 1 2 1(( , )) � � , åñëè ( , )n n E
n
1 2 0
1� , (15)
ãäå � �n1 — óêðóïíåííîå ñîñòîÿíèå, âêëþ÷àþùåå âñå ñîñòîÿíèÿ èç êëàññà E
n
0
1 .
Îáîçíà÷èì � 0 1 0 1 � � { }n i S: , , ,� .
Ñîãëàñíî ÀÔÓ èìååì:
� � �0 1 2 0 2 0 1
1( , ) ( ) ( )n n n n
n� � � , (16)
ãäå �
0 2
1n
n( ) — âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ ( , )n n1 2 âíóòðè ðàñùåïëåííîé ìîäåëè
ñ ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé E
n
0
1 , à � 0 1( )� �n — âåðîÿòíîñòü óêðóïíåííîãî ñî-
ñòîÿíèÿ � � �n1 0� .
Ïîñêîëüêó â êëàññå ñîñòîÿíèé E i
0
ïåðâàÿ êîìïîíåíòà ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé
(îíà ðàâíà i), òî ìèêðîñîñòîÿíèå ( , )i n E i
2 0
� çàäàåòñÿ âòîðîé êîìïîíåíòîé
n n N2 2 0 1, , , , � . Èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè n2 è �n2 ðàñ-
ùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÔÏÑ E i
0
îáîçíà÷èì q n n0 2 2( , )� , Ýòè ïàðàìåòðû îïðåäåëÿþò-
ñÿ òàê:
q n n
n n
n n n0 2 2
2 2
2 0 2 2
1
1
0
( , )
, ,
, ,�
� �
� �
�
�
åñëè
åñëè
â äðóãèõ ñëó àÿõ.�
�
�
�
�
(17)
Èç ñîîòíîøåíèé (17) ñëåäóåò, ÷òî âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé âíóòðè âñåõ ðàñ-
ùåïëåííûõ ìîäåëåé ñ ÔÏÑ E i
0
, i S 0 1, , ,� , ñîâïàäàþò ñ âåðîÿòíîñòÿìè ñîñòîÿ-
íèé ìîäåëè Ýðëàíãà M M N/ / / 0 ñ íàãðóçêîé � �/ 0 erl., ò.å.
�
0 2
0 2
0
0
2 0 1i
j
N
n
n
j
n N( )
( )
( )
, , , ,
�
� . (18)
42 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
Çäåñü è äàëåå ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
� �
k
k
j
j
j
( )
( / )
!
, k 0 1, .
Çàìå÷àíèå 1. Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòè �
0 2
i n( ) íå çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà i, òî
â äàëüíåéøåì âåðõíèé èíäåêñ ó ýòèõ âåëè÷èí îïóñêàåòñÿ.
Èç (2) è (18) ïîëó÷àåì, ÷òî èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ q i j0 ( , )� � � � , èç óêðóï-
íåííîãî ñîñòîÿíèÿ � � �i � 0 â äðóãîå óêðóïíåííîå ñîñòîÿíèå � � �j � 0
îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
q i j
i j i
i j j i S s0 0
1
0
( , )
, ,
, , ,� � � �
�
� � �
�
�
åñëè
åñëè
â äðóãèõ ñëó àÿõ.�
�
�
�
�
(19)
Òàêèì îáðàçîì, èç ñîîòíîøåíèé (19) ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [1] äëÿ
âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé � 0 1 1 0( ),� � � � �n n � , ïîëó÷àåì
ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
�
�
�0 1
0 1
0
1
1
0 1 0
0 1( )
( ) ( ), ,
( ) (
`
� �
� � � � �
� �n
a s n s
b s
n
n
åñëè
� � � � �
� � � � � � �
), ,
( ) ( ), ,
åñëè
åñëè
s n S s
c s S s n Sn
1
0 1 1
1
0 11
�
�
�
�
�
(20)
ãäå a
i
i
b
s
n
cn
i n
s
n n1
1
1 1
0
1
0
1
0
01
1
1
( )
( )
; ( ) ; ( )
� �
�
�
�
�
�
� �
� 0
1
1
0
n
a
i n S s
s
i
� � �
� ( ).
Âåðîÿòíîñòü � 0 1( )� � �s âû÷èñëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè, ò.å.
� 0
0 1 1
1 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )� � � � �
�
�
� �
� � �s a b ci
i
s
i
i s
S s
i S s
S
i
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
.
Èññëåäóåì ðàñùåïëåííóþ ìîäåëü ñ ÔÏÑ E1. Àíàëîãè÷íî (14) ðàññìàòðèâà-
åòñÿ ðàçáèåíèå:
E E E E i ji
i
S
i j
1 1
0
1 1
�
� �, , , (21)
ãäå E n n E ni
1 1 2 0 1 0 � { }( , ) : , i S 0 1, , ,� . Àíàëîãè÷íî (14) çäåñü íà îñíîâå
ðàñùåïëåíèÿ (21) â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé E1 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ôóíê-
öèÿ óêðóïíåíèÿ:
U n n n1 1 2 1(( , )) � �, åñëè ( , )n n E
n
1 2 1
1� , (22)
ãäå � �n1 — óêðóïíåííîå ñîñòîÿíèå, âêëþ÷àþùåå âñå ñîñòîÿíèÿ èç êëàññà E
n
1
1 .
Îáîçíà÷èì �1 1 0 1 � � { }n i S: , , ,� .
Îòìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÔÏÑ E0 , çäåñü âåðîÿò-
íîñòè ñîñòîÿíèé âíóòðè ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÔÏÑ E
1
0 è ðàñùåïëåííûõ ìîäå-
ëåé E i
1
, i S 1, ,� , íå ñîâïàäàþò. Âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ
ÔÏÑ E
1
0 âû÷èñëÿþòñÿ òàê:
�
1
0
2
1 2
2
1
1
2
1
1
1 2( )
( )
( )
, , , ,n
n
n
j
j
n N
j
N
�
�
�
� . (23)
Âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé âíóòðè âñåõ ðàñùåïëåííûõ ìîäåëåé ñ ÔÏÑ E i
1
,
i S 1, ,� , âû÷èñëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî (íå çàâèñÿò îò èíäåêñà i, i S 1, ,� ), ò.å.
�
1 2
1 2
1
0
1 2
1
1 2i
j
N
n
n
j
n N( )
( )
( )
, , , ,
�
�
�
� . (24)
Ñ ó÷åòîì (23), (24) íàõîäèì, ÷òî èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ q i j1 ( , )� � � � èç
óêðóïíåííîãî ñîñòîÿíèÿ � � �i �1 â óêðóïíåííîå ñîñòîÿíèå � � �j �1 â äàííîì
ñëó÷àå âû÷èñëÿþòñÿ òàêèì îáðàçîì:
q i j
i j i
i1
1
1
1
1 1 1 1
( , )
( ) ( ( )), ,
,� � � �
� � � �
�
� � �
�
åñëè
åñëè s j i S s, , � �
�
�
�
�0 â äðóãèõ ñëó àÿõ,�
(25)
Òîãäà èç ñîîòíîøåíèé (25) ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [1] äëÿ âû÷èñëåíèÿ
âåðîÿòíîñòåé óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé �1 1 1 1( ),� � � � �n n � , ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå
âûðàæåíèÿ:
�
�
�1 1
1 1
1
1
1
1 1 0
1 1( )
( ) ( ), ,
( ) (
`
� �
� � � � �
� �n
a s n s
b s
n
n
åñëè
� � � � �
� � � � � � �
), ,
( ) ( ), ,
åñëè
åñëè
s n S s
c s S s n Sn
1
1 1 1
1
1 11
�
�
�
�
�
(26)
ãäå
a bn
i
ii n
s
n
s
n
1
1
1
1
1 1
1 11
1
1( ) , ( )
�
� �
�
��
�
�
�
��
, c an
n i n S s
s
i1
1 1
1 11( ) ( )
� �
�
�
�
,
� i
i
i i S
� � � � �
�
�
0 0
1 1 1 1
1
1
, ,
( ) ( ( )), .� � �
Âåðîÿòíîñòü �1 1( )� � �s âû÷èñëÿåòñÿ èç ñîîòâåòñòâóþùåãî óñëîâèÿ íîðìè-
ðîâêè, ò.å.
�1
0 1 1
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )� � � � �
�
�
� �
� � �s a b ci
i
s
i s
S s
i
i S s
S
i
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
.
Èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ìåæäó êëàññàìè Ek , k 0 1, , îáîçíà÷èì
q k k( , )� � � �� . Ýòè ïàðàìåòðû îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
q k k
i k k
i r
N
( , )
( ), , ,
( )( (
� � � ��
�
�
�� �
�� �
0
1
1
1
0 1
1 1
åñëè
� � � � � �
�
�
�
� 0 1 0 1 01 1
0
1)) ( ) ( ), , .� � � åñëè k k
(27)
Èç ñîîòíîøåíèé (27) ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ èñêîìûå âåðîÿòíîñòè �( ),� �k
� � �k � , ò.å.
� � �( )
( , )
( , ) ( , )
, ( ) (� �
� � � �
� � � � � � � � �
� � �0
1 0
0 1 1 0
1 1
q
q q
� �0 ).
Còàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé èñõîäíîé öåïè îïðåäåëÿþòñÿ òàê [1]:
p n n n n( , , ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 � � � � � � � � . (28)
Îêîí÷àòåëüíî ïîñëå îïðåäåëåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå
ôîðìóëû äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê èçó÷àåìîé ìîäåëè PQIS:
S i k ka
i
i
k
S
� � �� � � � �
� �( ) ( )
0
1
1
; (29)
�a i
k i
S
i
i k i k� � � �� � � � � �
�
�� ( ) ( ) ( )
10
1
; (30)
P ac� �� � �( )0 ; (31)
PL N k i P k i
i
N
k
S
� � � � �� � � � � �
�
�
�
�
��( ) ( ) ( ) ( ) ( , )0 0 0 0 0
1
1
0
�
�
�
�
�
; (32)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 43
PL N N ks � � � � � � � � � � � �� � � � � � �( ) ( ) ( ) ( )( ( )) ( )1 0 1 01
0
1 1
1
1 1 1 1
2
1
0
k
i
N
k
S
i P k i( ) ( , ) ;
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
(33)
RR s s s s� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1 10 1 ; (34)
RL L La s� �� �� �0 1 , (35)
ãäå
L k k
k
N
� � � � �
�( ) ( )0 0
1
;
L k k k ks
k
N
� � � � � � � � �
�� � � � �( ) ( ) ( )( ( )) ( ) (1 1 1 0 0
1
1
1
2
1
0
1 )
k
N
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ìîäåëü ñ áåñêîíå÷íîé î÷åðåäüþ ðàñõîäóþùèõ çàÿâîê, ò.å.
ïðåäïîëîæèì, ÷òî N � .  ýòîì ñëó÷àå ÔÏÑ ìîäåëè E òàêæå çàäàåòñÿ ñ ïî-
ìîùüþ (1), íî çäåñü êëàññû ñîñòîÿíèé E0 è E1 ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûìè ìíî-
æåñòâàìè, ò.å. E n S n0 1 20 1 0 1 0 { }n: , , , ; , , ...;� , E n S1 1 0 1 {n : , , , ;�
n2 1 2 1 , , ...; }.
Ýëåìåíòû Q -ìàòðèöû äàííîé ìîäåëè îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñîîòíîøå-
íèÿì (2). Îòíîñèòåëüíî õàðàêòåðèñòèê ìîäåëè îòìåòèì, ÷òî çäåñü íåâîçìîæíû
ïîòåðè çàÿâîê èç-çà ïåðåïîëíåíèÿ áóôåðà, íî âîçìîæíû ïîòåðè èç î÷åðåäè èç-çà
íåòåðïåëèâîñòè çàÿâîê. Äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè îïðåäåëÿþòñÿ èç ôîðìóë (4)–(8),
(10) è (11), íî ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî N �.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ñî-
ñòîÿíèé äàííîé ìîäåëè òàêæå ìîæíî èñïîëüçîâàòü îïèñàííûé âûøå ìåòîä. Ïîñ-
êîëüêó îí äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî èçëîæåí äëÿ ìîäåëè ñ êîíå÷íûì ÔÏÑ, íèæå
ïðèâîäèòñÿ ëèøü îêîí÷àòåëüíûé âèä íåîáõîäèìûõ ôîðìóë.
Òàê, â ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé âíóòðè âñåõ ðàñùåïëåííûõ ìîäå-
ëåé ñ ÔÏÑ E i
0
, i S 0 1, , ,� , âû÷èñëÿþòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè ñî-
ñòîÿíèé ìîäåëè M M/ / � ñ íàãðóçêîé � �/ 0 erl., ò.å.
�
� �
0 0
0( ) ( )
/
i i e �
, i 0 1, ,� (36)
Âåðîÿòíîñòè óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé � 0 1 1 0( ),� � � � �n n � , â äàííîì ñëó÷àå
òàêæå âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (20).
Ïîñëå îïðåäåëåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì, ÷òî âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé ðàñ-
ùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÔÏÑ E
1
0 è E i
1
, i S 1, ,� , â äàííîì ñëó÷àå âû÷èñëÿþòñÿ òàê:
�
� �
� �1
0 1 11
11
( )
( ) /
/
j
j
j e
�
�
, j 1 2, ,� , (37)
�
� �
1 1 1 1 21i j j e j( ) ( ) , , ,
/ � �
� (38)
Çàìå÷àíèå 2. Ïðè âûâîäå ôîðìóëû (37) ó÷òåíî, ÷òî
x
j
e
x
j x
j
�
�
��
1
1
1
!
.
Âåðîÿòíîñòè óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé �1 1 1 1( ),� � � � �n n � , â äàííîì ñëó÷àå
òàêæå âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (26), íî ïðè ýòîì ñëåäóåò èìåòü
â âèäó, ÷òî âåëè÷èíà �
1
1 1( ) îïðåäåëÿåòñÿ èç ôîðìóëû (38).
Ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòè óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé �( ),� � � � �k k � , íå-
îáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî âåëè÷èíà q( , )� � � �0 1 (ñì. ôîðìóëû (27)) â äàííîì ñëó-
44 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
q i
i
r
( , ) ( )� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�0 1 1 0
0
1
� � .
Ñðåäíèé óðîâåíü ðåñóðñîâ íà ñêëàäå, ñðåäíÿÿ èíòåíñèâíîñòü ïîð÷è çàïàñîâ
ñèñòåìû, âåðîÿòíîñòü ïðåáûâàíèÿ ñåðâåðà â ðåæèìå ïðîãóëêè è ñðåäíÿÿ èíòåí-
ñèâíîñòü çàêàçîâ äëÿ ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ â äàííîé ìîäåëè âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïî-
ìîùüþ ôîðìóë (29)–(32) ñîîòâåòñòâåííî. Â äàííîé ìîäåëè âåðîÿòíîñòè ïîòåðè
çàÿâîê ïðè óñëîâèè íàõîæäåíèÿ ñåðâåðà â ïðîãóëêå è ðàáî÷åì ñîñòîÿíèè
îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
PL e k i P k i
ik
S
�
� �� �
� � � � ��
�
��( ) ( ) ( ) ( , )
/
0 0
0 0
1
0
0
; (39)
PL
e
i
i
P is
i
� � �
�
� �
��
�
�
��
� �
�
� �
( )
/
( )
( )
( , )
/
1
1
0
1
01
1
1
1
21
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
��e k i P k i
ik
S
� � �
/
( ) ( ) ( , )1
1 1 1
21
1 . (40)
Ïîñëå îïðåäåëåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàõîäèì, ÷òî ñðåäíåå ÷èñëî çàÿâîê
â î÷åðåäè, êîãäà ñåðâåð íàõîäèòñÿ â ðåæèìå ïðîãóëêè è â ðàáî÷åì ñîñòîÿíèè,
âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ôîðìóë:
L L e
e
s�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�� � � � � � � � � �
�
�
( ) ; ( ) ( )
/
/
0 1 1 0 1
1
10 1
1
1
1�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�. (41)
Äàëåå ñ ïîìîùüþ (35) ñ ó÷åòîì (41) âû÷èñëÿåòñÿ ñðåäíÿÿ èíòåíñèâíîñòü ïî-
òåðè çàÿâîê èç î÷åðåäè èç-çà èõ íåòåðïåëèâîñòè ïðè ðàçëè÷íûõ ñòàòóñàõ ñåðâåðà.
×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ
Ðàçðàáîòàííûå àëãîðèòìû ïîçâîëÿþò èçó÷èòü ïîâåäåíèå õàðàêòåðèñòèê èññëå-
äóåìûõ ñèñòåì îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ êàê èõ íàãðóçî÷íûõ, òàê è ñòðóêòóð-
íûõ ïàðàìåòðîâ. Âñëåäñòâèå îãðàíè÷åííîñòè îáúåìà ñòàòüè çäåñü ïðèâîäÿòñÿ
ðåçóëüòàòû òîëüêî äëÿ ñèñòåìû ñ îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ. Ïðè ýòîì äëÿ êîí-
êðåòíîñòè èçëîæåíèÿ èçó÷àåòñÿ ïîâåäåíèå õàðàêòåðèñòèê èññëåäóåìûõ ñèñòåì
îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ êðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ çàïàñîâ ( )s è ïîðîãîâîãî çíà÷å-
íèÿ äëèíû î÷åðåäè, ïðè êîòîðîé ñåðâåð, âîçâðàùàþùèéñÿ èç ðåæèìà ïðîãóë-
êè, ïåðåõîäèò â ðàáî÷èé ðåæèì ( )r .
Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòè õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû îò ïàðàìåòðà s.
Âõîäíûå ïàðàìåòðû ñèñòåìû âûáèðàåì ñëåäóþùèì îáðàçîì [19]:
S 50, N 200 15, � , � 4, � 0 4 , �1 6 , � 1.3, � 1, � 0 2 , �1 1 .
Çàìåòèì, ÷òî âõîäíûå ïàðàìåòðû óäîâëåòâîðÿþò ïðèíÿòûì âûøå óñëîâèÿì
äëÿ êîððåêòíîãî ïðèìåíåíèÿ ðàçðàáîòàííîãî àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäà, ò.å.
� � � ��� max , ,{ }.
Çäåñü ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà r, ò.å.
â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî r 5, à âî âòîðîé — r 20. Ðå-
çóëüòàòû ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1–5, ãäå îáîçíà÷åíèÿ è � ñîîòâåòñòâóþò ïåðâîé
è âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî.
Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ôóíêöèÿ S a� ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé îòíîñèòåëü-
íî óâåëè÷åíèÿ êðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ çàïàñîâ (ñì. ðèñ. 1). Âìåñòå ñ òåì, çäåñü íà
ïåðâûé âçãëÿä íåîæèäàííûì ÿâëÿåòñÿ ðàñïîëîæåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèè S a� ïðè
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 45
ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà r,
(ñì. ðèñ. 1), ò.å. èç ýòèõ ãðàôèêîâ âèä-
íî, ÷òî ÷åì ìåíüøå çíà÷åíèÿ ýòîãî ïà-
ðàìåòðà, òåì áîëüøå çíà÷åíèÿ óêàçàí-
íîé ôóíêöèè. Èíûìè ñëîâàìè, ñëåäî-
âàëî îæèäàòü, ÷òî ÷åì ðàíüøå ñåðâåð
ïîñëå âîçâðàùåíèÿ èç ðåæèìà ïðîãóë-
êè ïåðåõîäèò â ðàáî÷èé ðåæèì
(ò.å. ñåðâåð âêëþ÷àåòñÿ â ðàáî÷èé ðå-
æèì ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ äëèíû î÷å-
ðåäè çàÿâîê), òåì èíòåíñèâíåå áóäåò
îáñëóæèâàòüñÿ î÷åðåäü çàÿâîê, è, êàê
ñëåäñòâèå, ìåíüøèì äîëæåí áûòü ñðåä-
íèé óðîâåíü çàïàñîâ. Îäíàêî çäåñü íà-
áëþäàåòñÿ îáðàòíàÿ êàðòèíà. Îíà îáú-
ÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî äëÿ âûáðàííûõ èñõîäíûõ äàííûõ (íà êîòîðûõ îñíîâûâàþòñÿ
âñå ïîñëåäóþùèå ðàññóæäåíèÿ) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñåðâåð íàõîäèòñÿ â ðåæè-
ìå ïðîãóëêè ( )P ac� , ïðè r 20 ïî÷òè ðàâíà åäèíèöå (ñì. ðèñ. 2). Ýòî — ñëåäñòâèå
òîãî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå Ls � 0, ò.å. ïðè r 20 ñåðâåð ïî÷òè âñåãäà íàõîäèòñÿ â ðå-
æèìå ïðîãóëêè, ò.å. íå îáñëóæèâàåò çàÿâêè, ïîýòîìó ñðåäíèé óðîâåíü çàïàñîâ âî
âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ îêàçûâàåòñÿ ìåíüøèì, ÷åì â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðè-
ìåíòîâ (â ýòîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ Ls �1).
46 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü S a� îò ïàðàìåòðà s
S a�
s
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü P ac� îò ïàðàìåòðà s
P ac�
s
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü �a� îò ïàðàìåòðà s
�a�
s
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü PL îò ïàðàìåòðà s
PL
s
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü RR îò ïàðàìåòðà s
s
RR
Ñ ðîñòîì êðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ çàïàñîâ ôóíêöèÿ �a� òàêæå ðàñòåò
(ñì. ðèñ. 3), ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ îêà-
çûâàþòñÿ ÷óòü áîëüøèìè, ÷åì âî âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ (èíîãäà ïî÷òè ñî-
âïàäàþò ñ íèìè), òàê êàê ñðåäíèé óðîâåíü çàïàñîâ â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ
îêàçûâàåòñÿ áîëüøèì, ÷åì âî âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ (ñì. ðèñ. 1). Ýòè ôàê-
òû ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóþò íàøèì îæèäàíèÿì.
Ôóíêöèÿ PL ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé îòíîñèòåëüíî ðîñòà êðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ çà-
ïàñîâ, ïðè ýòîì åå çíà÷åíèÿ â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ îêàçûâàþòñÿ ñóùåñòâåí-
íî ìåíüøèìè, ÷åì âî âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ (ñì. ðèñ. 4). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì,
÷òî ïðè r 20 èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå P ac� �1 (ñì. òàêæå ôîðìóëû (7)).
Ôóíêöèÿ RR ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé îòíîñèòåëüíî ðîñòà êðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ
çàïàñîâ, ïðè ýòîì åå çíà÷åíèÿ â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ îêàçûâàþòñÿ ÷óòü
áîëüøèìè, ÷åì âî âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ (ñì. ðèñ. 5). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì,
÷òî ÷åì âûøå çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ çàïàñîâ, òåì ÷àùå óðîâåíü çàïàñîâ ñèñ-
òåìû îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì s�1, ïðè ýòîì óâåëè÷åíèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà r ïðèâîäèò
ê óìåíüøåíèþ çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè (ñìîòðè êîììåíòàðèè ê ôîðìóëå (11)).
Òåïåðü ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòè õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû îò ïàðàìåòðà r.
Çäåñü òàêæå ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà s,
ò.å. â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî s 24, à âî âòîðîé — s 12.
Ðåçóëüòàòû ïîêàçàíû íà ðèñ. 6–10, ãäå îáîçíà÷åíèÿ è � ñîîòâåòñòâóþò ïåðâîé
è âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî.
Çäåñü â îáåèõ ñåðèÿõ ýêñïåðèìåíòîâ ôóíêöèÿ S a� ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè êóñî÷-
íî-ïîñòîÿííîé îòíîñèòåëüíî óâåëè÷åíèÿ ïàðàìåòðà r (ñì. ðèñ. 6), ïðè ýòîì â ïåð-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 47
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü S a� îò ïàðàìåòðà r
S a�
r
Ðèñ. 7. Çàâèñèìîñòü P ac� îò ïàðàìåòðà r
P ac�
r
Ðèñ. 8. Çàâèñèìîñòü �a� îò ïàðàìåòðà r
�a�
r
Ðèñ. 9. Çàâèñèìîñòü PL îò ïàðàìåòðà r
PL
r
âîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ (ïðè r � 16)
èìååì S a� � 32, à ïðè r �16 çíà÷åíèå
ýòîé ôóíêöèè ïðèáëèæåííî ðàâíî 30;
âî âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ ïðè
r � 16 èìååì S a� � 24, à ïðè r �16 çíà-
÷åíèå ýòîé ôóíêöèè ïðèáëèæåííî ðàâ-
íî 23. Òàêîé ðåçóëüòàò èìååò ñëåäóþ-
ùåå îáúÿñíåíèå: íà çíà÷åíèÿ ýòîé
ôóíêöèè â îñíîâíîì âëèÿþò äâà ôàêòî-
ðà: âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ñåðâåðà
â ðàáî÷åì ñîñòîÿíèè (èëè â ðåæèìå
ïðîãóëêè) è èíòåíñèâíîñòü ïîð÷è çàïà-
ñîâ. Äëÿ âûáðàííûõ èñõîäíûõ äàííûõ
âåðîÿòíîñòü ïðåáûâàíèÿ ñåðâåðà â ðå-
æèìå ïðîãóëêè ïðè r �16 î÷åíü áëèçêà
ê åäèíèöå (ñì. ðèñ. 7). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà r
óðîâåíü çàïàñîâ ïî÷òè íå óìåíüøàåòñÿ â ðåçóëüòàòå èõ âûäà÷è ïî çàÿâêàì, à èí-
òåíñèâíîñòü ïîð÷è çàïàñîâ, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ïî÷òè íå çàâèñèò îò ïàðà-
ìåòðà r (ñì. ðèñ. 8). Òî, ÷òî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè S a� â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ
áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ, èìååò âïîëíå ëîãè÷åñêîå
îáúÿñíåíèå, ò.å ÷åì âûøå êðèòè÷åñêèé óðîâåíü çàïàñîâ, òåì âûøå ñðåäíèé
óðîâåíü çàïàñîâ.
Çäåñü ôóíêöèÿ PL ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé îòíîñèòåëüíî óâåëè÷åíèÿ ïàðà-
ìåòðà r, ïðè ýòîì åå çíà÷åíèÿ â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ îêàçûâàþòñÿ ÷óòü
ìåíüøèìè, ÷åì âî âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ (ñì. ðèñ. 9). Ôóíêöèÿ RR ÿâëÿåò-
ñÿ íåâîçðàñòàþùåé îòíîñèòåëüíî óâåëè÷åíèÿ ïàðàìåòðà r, ïðè ýòîì åå çíà÷åíèÿ
â ïåðâîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ îêàçûâàþòñÿ ïî÷òè â äâà ðàçà áîëüøèìè, ÷åì âî
âòîðîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ (ñì. ðèñ. 10). Îáúÿñíåíèå ýòîãî ôàêòà äàíî â êîì-
ìåíòàðèè ê ðèñ. 5.
 êîíöå äàííîãî ðàçäåëà îòìåòèì, ÷òî â ìîäåëè ñ íåîãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ
çàÿâîê â ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòè ïîòåðè çàÿâîê âõîäÿò òðè áåñêîíå÷-
íûõ ðÿäà (ñì. ôîðìóëû (39) è (40)), è ïîýòîìó íå óäàåòñÿ íàéòè ÿâíûå ôîðìóëû
äëÿ âû÷èñëåíèÿ èõ ñóììû. Ýòè ðÿäû ñõîäÿòñÿ, òàê êàê ñõîäÿòñÿ ìàæîðàíòíûå
ðÿäû
ki
i( )
�� 1
, k 0 1, . Ïîýòîìó çäåñü èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä îòñå÷åíèÿ õâîñòà
ðÿäà [20], ò.å. âåðõíèå ãðàíèöû êàæäîé ñóììû çàìåíÿþòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèìè
(êîíå÷íûìè) âåëè÷èíàìè, äàëåå îíè ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàþòñÿ, è ýòà ïðîöåäóðà
ïðîäîëæàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñóìì ïðàêòè÷åñêè
ïåðåñòàþò èçìåíÿòüñÿ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå èçó÷åíà ìîäåëü ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ-çàïàñàíèÿ ñ îäíèì ñåðâåðîì
è ñêîðîïîðòÿùèìèñÿ çàïàñàìè, â êîòîðîé íåòåðïåëèâûå ðàñõîäóþùèå çàÿâêè ìî-
ãóò îáðàçîâûâàòü î÷åðåäè îãðàíè÷åííîé èëè íåîãðàíè÷åííîé äëèíû.  ñëó÷àå îò-
ñóòñòâèÿ î÷åðåäè çàÿâîê ñåðâåð óõîäèò íà ìíîãîêðàòíóþ ïðîãóëêó ñ ïîêàçàòåëü-
íûì âðåìåíåì ïðåáûâàíèÿ â ðåæèìå ïðîãóëêè, ò.å. âîçâðàùàþùèéñÿ èç ðåæèìà
ïðîãóëêè ñåðâåð îïÿòü óõîäèò íà ïðîãóëêó, åñëè â ýòîò ìîìåíò ÷èñëî çàÿâîê
â î÷åðåäè íèæå îïðåäåëåííîé ïîðîãîâîé âåëè÷èíû. Èçó÷åíû ìîäåëè, â êîòîðûõ
èñïîëüçóåòñÿ ïîëèòèêà ïîïîëíåíèÿ äâóõ óðîâíåé, ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
âðåìÿ âûïîëíåíèÿ çàêàçîâ ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé ñ.â. ñ ïîêàçàòåëüíîé ô.ð. Ðàç-
ðàáîòàíû òî÷íûé è ïðèáëèæåííûé ìåòîäû äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê èç-
ó÷àåìûõ ìîäåëåé, ñ èõ ïîìîùüþ ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû.
48 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
Ðèñ. 10. Çàâèñèìîñòü RR îò ïàðàìåòðà r
RR
r
Ïðåäëîæåííûé ïðèáëèæåííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò èçó÷àòü ìîäåëè PQIS ñ äðó-
ãèìè ïîëèòèêàìè ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ è ïîâòîðíûìè çàÿâêàìè, ñ îòñðî÷åííîé
è ðàáî÷åé ïðîãóëêàìè ñåðâåðà è ò.ä., à òàêæå ðåøàòü çàäà÷è èõ îïòèìèçàöèè. Òà-
êèå çàäà÷è ìîãóò áûòü ïðåäìåòîì äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Êîðîëþê Â.Ñ., Ìåëèêîâ À.Ç., Ïîíîìàðåíêî Ë.À., Ðóñòàìîâ À.Ì. Àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç
ñèñòåìû ñ ñåðâåðîì íà «ïðîãóëêå» è ñêîðîïîðòÿùèìèñÿ çàïàñàìè. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé
àíàëèç. 2017. Ò. 53, ¹ 4. Ñ. 59–70.
2. Kemeny J.G., Snell J.L. Finite Markov chains. Princeton: University Press, 1960. 210 ð.
3. Guardabassi G., Rinaldi S. The problems in Markov chains: A topological approach. Operations
Research. 1970. Vol. 18, N 2. P. 324–333.
4. Feinberg B.N., Chiu S.S. A method to calculate steady-state distributions of large Markov chains by
aggregating states. Operations Research. 1987. Vol. 35, Iss. 2. P. 282–290.
5. Kim D.S., Smith R.L. An exact aggregation/disaggregation algorithm for large scale Markov chain.
Naval Research Logistics. 1995. Vol. 42, Iss. 7. P. 1115–1128.
6. Courtois P.J. Decomposability — Queueing and computer system applications. New York; London;
San Francisco: Academic Press, 1977. 216 p.
7. Koury J.R., McAllister D.F., Stewart W.J. Iterative methods for computing stationary distribution of
nearly completely decomposable Markov chains. SIAM J. on Algebraic and Discrete Methods. 1984.
Vol. 5, Iss. 2. P. 164–186.
8. Haviv M. Aggregation/disaggregation methods for computing the stationary distributions of a Markov
chain. SIAM J. on Numerical Analysis. 1987. Vol. 24, Iss. 4. P. 952–966.
9. Stewart W.J. Introduction to the numerical solution of Markov chains. Princeton: University Press,
1994. 539 ð.
10. Rogers D.F., Plante R. Estimating equilibrium probabilities for band diagonal Markov chains using
aggregation and disaggregation techniques. Computers & Operations Research. 1993. Vol. 20,
Iss. 8. P. 857–877.
11. Dianne P.O. Iterative methods for finding the stationary vector for Markov chain. IMA Preprint
Series. 1992. N 932. 13 p.
12. Sumita U., Rieders M. Application of the replacement process approach for computing the ergodic
probability vector of large scale row-continuous Markov chains. J. of the Operations Research
Society of Japan. 1990. Vol. 33, Iss. 4. P. 279–307.
13. Êîðîëþê Â.Ñ., Òóðáèí À.Ô. Ïîëóìàðêîâñêèå ïðîöåññû è èõ ïðèëîæåíèÿ. Êèåâ: Íàóê. äóìêà.
1976. 184 ñ.
14. Ponomarenko L., Kim C.S., Melikov A. Performance analysis and optimization of multi-traffic on
communication networks. Berlin; Heidelberg: Springer, 2010. 208 p.
15. Melikov A., Ponomarenko L. Multi-dimensional queueing models in telecommunication networks.
Heidelberg: Springer, 2014. 204 p.
16. Liang C., Luh H. Optimal services for content delivery based on business priority. Journal of the
Chinese Institute of Engineers. 2013. Vol. 36, Iss. 4. P. 422–440.
17. Liang C., Luh H. Efficient method for solving a two-dimensional Markov chain model for call
centers. Industrial Management & Data Systems. 2015. Vol. 115, Iss. 5. P. 901–922.
18. Haddad M.E., Belarbi F. Approximate analysis of an unreliable M M c/ / retrial queue with phase
merging algorithm. New Trends in Mathematical Sciences. 2016. Vol. 4, Iss. 3. P. 9–21.
19. Jajaraman B., Sivakumar B., Arivarignan G. A perishable inventory system with postponed demands
and multiple server vacations. Modeling and Simulation in Engineering (Hindawi Publishing
Corporation). Vol. 2012. Article ID 620960. 17 p.
20. Ìåëèêîâ À.Ç., Ïîíîìàðåíêî Ë.À., Áàãèðîâà Ñ.À. Ìàðêîâñêèå ìîäåëè ñèñòåì îáñëóæèâà-
íèÿ-çàïàñàíèÿ ñ ïåðåìåííûì îáúåìîì çàêàçîâ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2017. Ò. 53,
¹ 3. Ñ. 49–66.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 02.03.2017
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 49
Â.Ñ. Êîðîëþê, À.Ç. Ìåë³êîâ, Ë.À. Ïîíîìàðåíêî, À.Ì. Póñòàìîâ
ÌÎÄÅ˲ ÑÈÑÒÅÌ ÓÏÐÀÂ˲ÍÍß ÇÀÏÀÑÀÌÈ Ç ØÂÈÄÊÎÏÑÓÂÍÈÌÈ ÏÐÎÄÓÊÒÀÌÈ
ÒÀ ÑÅÐÂÅÐÎÌ ÍÀ «ÏÐÎÃÓËßÍÖ²»
Àíîòàö³ÿ. Âèâ÷åíî ñèñòåìó îáñëóãîâóâàííÿ-çàïàñàííÿ ç øâèäêîïñóâíèìè
ïðîäóêòàìè, â ÿê³é ï³ñëÿ çàâåðøåííÿ îáñëóãîâóâàííÿ âèìîãè ñåðâåð ³äå íà
«ïðîãóëÿíêó» çà â³äñóòíîñò³ âèìîã ó ÷åðç³, à ï³ñëÿ çàê³í÷åííÿ «ïðîãóëÿíêè»
áåðåòüñÿ çà îáñëóãîâóâàííÿ íîâèõ âèìîã, ÿêùî äîâæèíà ¿õíüî¿ ÷åðãè ïåðåâè-
ùóº ïåâíó âñòàíîâëåíó âåëè÷èíó; ³íàêøå ñåðâåð çíîâó éäå íà «ïðîãóëÿíêó».
Ðîçðîáëåíî òî÷íèé ³ íàáëèæåíèé ìåòîäè ðîçðàõóíêó õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìè.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñèñòåìà óïðàâë³ííÿ çàïàñàìè, øâèäêîïñóâí³ ïðîäóêòè, «ïðî-
ãóëÿíêà» ñåðâåðà.
V.S. Koroliuk, A.Z. Melikov, L.A. Ponomarenko, A.M. Rustamov
MODELS OF PERISHABLE QUEUEING-INVENTORY SYSTEMS WITH SERVER VACATIONS
Abstract. The model of perishable queueing-inventory system with server
vacations is studied. Upon service completion, server takes vacation if there are
no customers in the system and it starts to service at the end of the vacation if
the number of customers in the system exceeds some threshold; otherwise, it
takes new vacation. Exact and approximate methods to calculate the
characteristics of the system are proposed.
Keywords: inventory control, perishable items, server vacation.
Êîðîëþê Âëàäèìèð Ñåìåíîâè÷,
àêàäåìèê ÍÀÍ Óêðàèíû, ïðîôåññîð, ñîâåòíèê ïðè äèðåêöèè Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû,
Êèåâ, e-mail: vskorol@yahoo.com.
Ìåëèêîâ Àãàñè Çàðáàëè îãëû,
÷ë.-êîð. ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé îòäåëîì Èíñòèòóòà ñèñòåì
óïðàâëåíèÿ ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, Áàêó, e-mail: agassi.melikov@rambler.ru.
Ïîíîìàðåíêî Ëåîíèä Àíàòîëüåâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, ãëàâíûé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Ìåæäóíàðîäíîãî íàó÷íî-ó÷åáíîãî öåíòðà
èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé è ñèñòåì ÍÀÍ Óêðàèíû è ÌÎÍ Óêðàèíû, Êèåâ,
e-mail: laponomarenko@ukr.net.
Ðóñòàìîâ Àíàð Ìóðøèä îãëû, êàíäèäàò òåõí. íàóê, äîöåíò Áàêèíñêîãî èíæåíåðíîãî óíèâåðñèòåòà,
Àçåðáàéäæàí, e-mail: anar.rustamov@gmail.com.
50 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
|