Абстрактное интерполирование цепными дробями типа Тиле
Построено и обосновано обобщение цепных дробей Тиле на случай интерполирования нелинейных операторов, действующих из линейного топологического пространства X в алгебру Y с единицей I. Показано, что важными частными случаями этого обобщения являются интерполяционные непрерывные дроби типа Тиле для ве...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144839 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Абстрактное интерполирование цепными дробями типа Тиле / В.Л. Макаров, И.И. Демкив // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 137–144. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-144839 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1448392019-01-06T01:23:06Z Абстрактное интерполирование цепными дробями типа Тиле Макаров, В.Л. Демкив, И.И. Системний аналіз Построено и обосновано обобщение цепных дробей Тиле на случай интерполирования нелинейных операторов, действующих из линейного топологического пространства X в алгебру Y с единицей I. Показано, что важными частными случаями этого обобщения являются интерполяционные непрерывные дроби типа Тиле для векторных и матричных функций, а также для функционалов от нескольких переменных. Побудовано й обґрунтовано узагальнення ланцюгових дробів типу Тіле на випадок інтерполювання нелінійних операторів, що діють з лінійного топологічного простору X в алгебру Y з одиницею I. Показано, що важливими окремими випадками такого узагальнення є інтерполяційні ланцюгові дроби типу Тіле для векторних і матричних функцій та для функціоналів від декількох змінних. We obtain and substantiate the generalization of continued Thiele-type fractions for the interpolation of nonlinear operators acting from a linear topological space X into an algebra Y with a unit I. We show that the interpolation continued Thiele-type fractions for vector-valued and matrix-valued functions and those for functionals of many variables can be deduced from such a generalization as its important special cases. 2018 Article Абстрактное интерполирование цепными дробями типа Тиле / В.Л. Макаров, И.И. Демкив // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 137–144. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144839 519.6 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Макаров, В.Л. Демкив, И.И. Абстрактное интерполирование цепными дробями типа Тиле Кибернетика и системный анализ |
| description |
Построено и обосновано обобщение цепных дробей Тиле на случай интерполирования нелинейных операторов, действующих из линейного топологического пространства X в алгебру Y с единицей I. Показано, что важными частными случаями этого обобщения являются интерполяционные непрерывные дроби типа Тиле для векторных и матричных функций, а также для функционалов от нескольких переменных. |
| format |
Article |
| author |
Макаров, В.Л. Демкив, И.И. |
| author_facet |
Макаров, В.Л. Демкив, И.И. |
| author_sort |
Макаров, В.Л. |
| title |
Абстрактное интерполирование цепными дробями типа Тиле |
| title_short |
Абстрактное интерполирование цепными дробями типа Тиле |
| title_full |
Абстрактное интерполирование цепными дробями типа Тиле |
| title_fullStr |
Абстрактное интерполирование цепными дробями типа Тиле |
| title_full_unstemmed |
Абстрактное интерполирование цепными дробями типа Тиле |
| title_sort |
абстрактное интерполирование цепными дробями типа тиле |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144839 |
| citation_txt |
Абстрактное интерполирование цепными дробями типа Тиле / В.Л. Макаров, И.И. Демкив // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 137–144. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT makarovvl abstraktnoeinterpolirovaniecepnymidrobâmitipatile AT demkivii abstraktnoeinterpolirovaniecepnymidrobâmitipatile |
| first_indexed |
2025-07-10T20:19:37Z |
| last_indexed |
2025-07-10T20:19:37Z |
| _version_ |
1837292626001264640 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Â.Ë. ÌÀÊÀÐÎÂ, È.È. ÄÅÌÊÈÂ
ÀÁÑÒÐÀÊÒÍÎÅ ÈÍÒÅÐÏÎËÈÐÎÂÀÍÈÅ
ÖÅÏÍÛÌÈ ÄÐÎÁßÌÈ ÒÈÏÀ ÒÈËÅ
Àííîòàöèÿ. Ïîñòðîåíî è îáîñíîâàíî îáîáùåíèå öåïíûõ äðîáåé Òèëå íà
ñëó÷àé èíòåðïîëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ èç ëèíåé-
íîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X â àëãåáðó Y ñ åäèíèöåé I . Ïîêàçàíî,
÷òî âàæíûìè ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ýòîãî îáîáùåíèÿ ÿâëÿþòñÿ èíòåðïîëÿöè-
îííûå íåïðåðûâíûå äðîáè òèïà Òèëå äëÿ âåêòîðíûõ è ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé,
à òàêæå äëÿ ôóíêöèîíàëîâ îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: öåïíàÿ äðîáü òèïà Òèëå, èíòåðïîëèðîâàíèå, íåëèíåéíûé
îïåðàòîð, êîíòèíóàëüíûå óçëû.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îáîáùåíèå öåïíûõ äðîáåé òèïà Òèëå ðàññìîòðåíî âî ìíîãèõ ïóáëèêàöèÿõ
(íàïðèìåð, [1–8]). Ýòè èññëåäîâàíèÿ ìîæíî óñëîâíî ðàçäåëèòü íà äâå ãðóïïû:
ðàáîòû, ñâÿçàííûå ñ îáîáùåíèåì íà ñëó÷àé ôóíêöèé íåñêîëüêèõ (êàê ïðàâè-
ëî, äâóõ) ïåðåìåííûõ [1–4, 6], è èññëåäîâàíèÿ äðîáåé òèïà Òèëå äëÿ âåêòîð-
íûõ è ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé [2, 5]. Êðîìå òîãî, ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû ïîñòðîå-
íèÿ ìàòðè÷íûõ èíòåðïîëÿíòîâ äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ [7].
 îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêèõ äðîáåé Òèëå âñå óïîìÿíóòûå âûøå äðîáíûå èíòåð-
ïîëÿíòû èìåþò ñóùåñòâåííûé íåäîñòàòîê — ïðè çàìåíå ïîñëåäíåãî óçëà èíòåðïî-
ëèðîâàíèÿ íà ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà èíòåðïîëÿíò íå îá-
ðàùàåòñÿ â èíòåðïîëèðóåìóþ ôóíêöèþ (âåêòîðíóþ èëè ìàòðè÷íóþ). Çàìåòèì òàê-
æå, ÷òî çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ âåêòîðíîãî èëè ìàòðè÷íîãî èíòåðïîëÿíòà ýêâèâàëåíòíà
òðàäèöèîííîé çàäà÷å èíòåðïîëèðîâàíèÿ, à çíà÷èò, íåîáõîäèìîñòü â òàêîì ïîñòðîå-
íèè äîëæíà áûòü îáîñíîâàíà â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå ïðèëîæåíèÿ.
Öåëü äàííîé ðàáîòû — îáîáùåíèå öåïíûõ äðîáåé òèïà Òèëå íà ñëó÷àé èí-
òåðïîëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ (äåéñòâóþùèõ èç ëèíåéíîãî òîïîëîãè-
÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X â àëãåáðó Y ñ åäèíèöåé I ), êîòîðàÿ íå èìååò óêàçàííîãî
âûøå íåäîñòàòêà. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ïðåäëîæåííîå îáîáùåíèå
öåïíûõ äðîáåé òèïà Òèëå ïðèìåíèìî äëÿ ôóíêöèé ëþáîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ
áåç êàêèõ-ëèáî ãåîìåòðè÷åñêèõ îãðàíè÷åíèé íà ðàñïîëîæåíèå èíòåðïîëÿöèîí-
íûõ óçëîâ. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî òàêîå îáîáùåíèå â êà÷åñòâå ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ñî-
äåðæèò áîëüøèíñòâî èçâåñòíûõ â ëèòåðàòóðå ðåçóëüòàòîâ [9, 10]. Ðåçóëüòàòû
ðàáîòû áûëè àíîíñèðîâàíû â [11].
ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÈÂÍÎÅ ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈÎÍÍÎÉ ÖÅÏÍÎÉ ÄÐÎÁÈ ÒÈÏÀ ÒÈËÅ
Âíà÷àëå ðàññìîòðèì äàííîå ïîñòðîåíèå íà ïðèìåðå äâóõýòàæíîé äðîáè:
T u F u l u u I l u u2 0 1 0 2 1
1( ) ( ) ( )[ ( )]� � � � � � , (1)
ãäå l1, l2 — ëèíåéíûå îïåðàòîðû, F — íåëèíåéíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé
èç ëèíåéíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X â àëãåáðó Y ñ åäèíèöåé I ,
à ýëåìåíòû u u u u X, , ,0 1 2 � .
Îáîçíà÷èì F u ii i i i( ( )), [ ; ], ,,� � �1 0 1 1 2� � , çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà F íà ìíî-
æåñòâå êîíòèíóàëüíûõ óçëîâ
u u g u ui i i i i i ii� � �� � � �1 1 1 0 1, ( ) ( ), [ ; ]� �� , i �1 2, . (2)
Çäåñü g z — çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà z ëèíåéíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â X
è èìåþùèé ñâîéñòâà:
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 137
© Â.Ë. Ìàêàðîâ, È.È. Äåìêèâ, 2018
g E g O g g g0 1� � �, , max ,� � � � , � �, [ ; ]� 0 1 , (3)
ãäå E, O — ñîîòâåòñòâåííî òîæäåñòâåííûé è íóëåâîé îïåðàòîðû, äåéñòâóþ-
ùèå â X .
Âïåðâûå êîíòèíóàëüíûå èíòåðïîëÿöèîííûå óçëû áûëè ââåäåíû â ðàáî-
òàõ [7, 8]. Ñîâîêóïíîñòü ôèêñèðîâàííûõ ýëåìåíòîâ u u u X0 1 2, , � íàçûâàåòñÿ
êàðêàñîì êîíòèíóàëüíûõ èíòåðïîëÿöèîííûõ óçëîâ (2).
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû îïåðàòîðîâ g z ñî ñâîéñòâàìè (3) (ñì. òàêæå [12, 13]).
Ïðèìåð 1. Ïóñòü X Q� [ ; ]0 1 — ïðîñòðàíñòâî êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ ôóíê-
öèé íà îòðåçêå [0, 1]. Òîãäà îïåðàòîð g z èìååò âèä
g x t H t x t x Q� �( ( )) ( ) ( ), ( ) [ ; ]� � � � 0 1 ,
ãäå H t( ) — ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (3).
Ïðèìåð 2. Ïóñòü X H� — ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, A — ñàìîñîïðÿæåí-
íûé îïåðàòîð, 0 è 1 — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû åãî ñïåêòðà ñîîòâåòñòâåííî.
Òîãäà, ñîãëàñíî [12], îïåðàòîðó A ñîîòâåòñòâóåò ñåìåéñòâî ñàìîñîïðÿæåííûõ
îïåðàòîðîâ
g H A I� � �� � � �( ), 0 1,
ãäå H t( ) — ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (3) è èìåþùèõ
ïðåäñòàâëåíèå
g H dE� �� �� �� ( )
0
1
,
ãäå E � — ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà A .
Ëèíåéíûå îïåðàòîðû l1, l2 çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè
l u u F u g u u dg u u F u F1 0 1 0 1 0 0
0
1
11 1
( ) ( ( )) ( ), ( ) (� � � � � � �� � � u) ,
l u u F u g u u dg u u2 1 2 1 2 1 1
0
1
2 2
( ) ( ( )) ( ),� � � � � �� � � (4)
F u l u u F u F u2 1 0 0
1( ) ( )[ ( ) ( )]� � � �
è îïðåäåëÿþò ðàçäåëåííûå ðàçíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå äâàæäû
äèôôåðåíöèðóåìûõ ïî Ãàòî îïåðàòîðîâ, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóþò èíòåãðàëû
â (4) (ñì. [14, 15]).
Î÷åâèäíî, ÷òî óñëîâèå èíòåðïîëèðîâàíèÿ T u F u2 0 0( ) ( )� âûïîëíåíî. Ïîêà-
æåì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ êîíòèíóàëüíûå óñëîâèÿ èíòåðïîëèðîâàíèÿ
T u F u2 1 2 2 1 2 2 2 0 1( ( )) ( ( )) [ ; ], ,� � ��
� . (5)
Ïîäñòàâëÿÿ u1 2 2, ( )� â (4) è ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà (3), èìååì
l u F u F u1 1 0 1( ) ( ) ( )� � � ,
l u u F u g u u dg g u u2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
0
2 2 2
( ( ) ) ( ( )) ( ), � � � �� � � � � �
1
� �
� � � � � �� F u g u u dg u u2 1 2 1 2 1
1
2 2
2
( ( )) ( )� �
�
� � � ��
d
d
F u g u u d
�
��
� 2
2 1 2 1 2
1
2
2
( ( )) � � �F u F u2 1 2 1 2 2( ) ( ( )), �
� � � � ��l u u F u F u1 1 0 1 0
1( ) [ ( ) ( )] l u u F u F u1 1 2 2 0 1 2 2 0
1( ( ) )[ ( ( )) ( )], ,� �� � ��
� � � � � �I l u u F u F u1 1 2 2 0 1 2 2 0
1( ( ) )[ (( ( )) ( )], ,� � .
138 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (1) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (5).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôîðìóëà (1) ÿâëÿåòñÿ àáñòðàêòíîé èíòåðïîëÿöèîííîé
öåïíîé äðîáüþ òèïà Òèëå ñ êîíòèíóàëüíûìè óçëàìè èíòåðïîëèðîâàíèÿ u1 2 2, ( )�
è îáû÷íûì óçëîì u0 .
Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê îáùåìó ñëó÷àþ, âû÷èñëèì T u2 ( ) ïðè u u2 � . Èìååì
l u u F u g u u d g u u2 1 2 1 1 1
0
1
2 2 2
( ) ( ( )) ( )� � � � � � �� � � �
� � � � ��
d
d
F u g u u d
�
��
2
2 1 1 2
0
1
2
( ( )) � � �F u F u2 1 2( ) ( )
� � � � ��l u u F u F u1 1 0 1 0
1( ) [ ( ) ( )] l u u F u F u1 0 0
1( )[ ( ) ( )]� � ��
� � � � � �I l u u F u F u1 0 0
1( )[ ( ) ( )] .
Ñäåëàåì âàæíîå çàìå÷àíèå, êîòîðîå ñôîðìóëèðóåì â âèäå òîæäåñòâà
T u F uu u2 2
( ) ( )� � äëÿ âñåõ u, äëÿ êîòîðûõ ýòî òîæäåñòâî èìååò ñìûñë.
 îáùåì ñëó÷àå n-ýòàæíîé äðîáè èìååì
T un ( ) �
� � � � � � � � � �F u l u u I l u u I l u u I l u un n( ) ( )[ ( ) [ ( ) [ (0 1 0 2 1 3 2 1� )] ] ]� � � �1 1 1
�
�
�
�
�
D
l u u
Ip
n
p p
1
1( ) (6)
(ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ ñèìâîëè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì äðîáè), ãäå
l u u F u g u u dg u uk k k k k k kk k
( ) ( ( )) ( ),� � � � � ��
� � ��1 1 1 1
0
1
� � k n�1, ,� ,
F u F u1 ( ) ( )� ,
(7)
F u l u u I l u u l u u I li i i i i( ) ( )[ ( ) [ ( )[� � � � � � � �� � � �1 2 2 3 1 0 0� ( )] ] ] ,u � � �1 1 1
�
i �1 2, , ... , u l u F u F u I� � � � � �1 0 00, ( ) ( ) ( ) . (8)
Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èí-
òåðïîëÿöèîííîãî ñâîéñòâà äðîáè (6). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
T u T u F u i kn i i i i( ) ( ) ( ), , , ,� � � 0 1 0� , (9)
è äîêàæåì ðàâåíñòâî (9) ïðè i k� �1 . Èìååì
l u u F u g u u dg uk k k k k k k kk k� � � � �� � � � �
� �1 1 1 1 11 1
( ) ( ( )) (� � � �� uk )
0
1
� � �
�
�
�� � �
�
�
� � � �
F u F u D
l u u
I
Dk k k k
p
k
k p k k p
p
1 1 1
1
1
1 1( ) ( )
( )
�
�
� � ��
�
�
1
1
1
k
k p k k pl u u
I
( )
�
�
�
� � � �
�
�
� � � �
�
�
�
D
l u u
I
l u u I D
l
p
k
k p k k p
k k k
p
k
1
1
1 1
1
2
1( )
( ) k p k k pu u
I
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �1
1
( )
� � � �
�
�
�
�
�
�
�� �
�
�
� � � �
�
l u u I D
l u u
I
k k k
p
k
k p k k p( )
( )
1 1
2
1
1 1
1
� I .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 139
Òîãäà
I l u u I l u uk k k k k k� � � � �� � � �
�( )[ ( )]1 1 1 1
1
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
� � � �
D
l u u
I
D
l u u
p
k
k p k k p
p
k
k p k k p
2
1
1 1
1
1 1( ) ( )
�I
,
I l u u I l u u I l u uk k k k k k k k k� � � � � �� � � � � � �1 1 2 1 1 1 1( )[ ( )[ ( )]� � �1 1]
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
� � � � �
D
l u u
I
D
l u u
p
k
k p k k p
p
k
k p k k p
2
1 1
1
1
1 1( ) ( 2 )
,
�I
� ,
I l u uk� � ��2 1 1( )
� � � � � � �� � � � � � �[ [ ( )[ ( )[ (� I l u u I l u u I l uk k k k k k k k1 1 2 1 1 1 1 uk )] ] ] ]� � � � �1 1 1 1
�
� � � � � �� �
�
� �l u u I l u l u u F u F uk k k k1 1 0 0 1
1
1 1 0 1( )[ ( )] ( )[ ( ) ( 0
1)]� ,
îòêóäà ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (6) ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå
T u T u F u k nn k k k k( ) ( ) ( ), , , ,� � � �� � � � �1 1 1 1 1 0 1� . (10)
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ âûïîëíåíèå êîíòèíóàëüíîãî óñëîâèÿ èíòåðïîëè-
ðîâàíèÿ
T u F un n n( ( )) ( ( )) [ ; ]� ��
�1 1 0 1� � � . (11)
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü F u( ) — n ðàç äèôôåðåíöèðóåìûé ïî Ãàòî îïåðàòîð, è
äðîáü (6) äëÿ íåãî èìååò ñìûñë. Òîãäà ôîðìóëà (6) îïðåäåëÿåò àáñòðàêòíóþ èí-
òåðïîëÿöèîííóþ öåïíóþ äðîáü òèïà Òèëå, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò èíòåðïîëÿöè-
îííîìó óñëîâèþ (10) è êîíòèíóàëüíîìó èíòåðïîëÿöèîííîìó óñëîâèþ (11).
Çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó àáñòðàêòíàÿ èíòåðïîëÿöèîííàÿ öåïíàÿ äðîáü òèïà
Òèëå (6) óäîâëåòâîðÿåò òîëüêî îäíîìó êîíòèíóàëüíîìó èíòåðïîëÿöèîííîìó
óñëîâèþ (11), åå ïîñòðîåíèå ìîæíî óïðîñòèòü, çàìåíÿÿ îïåðàòîð g� íà îïåðàòîð
( )1� � I . Óñëîâèå (10) òàêæå âûïîëíÿåòñÿ.
Èìååò ìåñòî îáîáùåíèå íà àáñòðàêòíîì óðîâíå ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè
êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé â âèäå äðîáè Òèëå, ïðèâåäåííîå â [20, ôîðìóëà (23)],
êîòîðîå ñôîðìóëèðóåì â ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü îïåðàòîð óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 1, òîãäà èìååò
ìåñòî òàêîå òîæäåñòâî
T u F un u un
( ) ( )� � , (12)
äëÿ âñåõ u , äëÿ êîòîðûõ ýòà ôîðìóëà èìååò ñìûñë.
Äîêàçàòåëüñòâî îñóùåñòâëÿåòñÿ òàê æå, êàê â ñëó÷àå T u u u2 2
( ) � .
Ôîðìóëà (12) èãðàåò âàæíóþ ðîëü ïðè îöåíêå ïîãðåøíîñòè èíòåðïîëÿöèè
â ñëó÷àå ïðèìåíåíèÿ àáñòðàêòíîé äðîáè òèïà Òèëå (6)–(8) â êîíêðåòíûõ ñèòóà-
öèÿõ. Ñâîéñòâàìè (12) íå îáëàäàåò íè îäíî èç îáîáùåíèé äðîáåé Òèëå íà âåê-
òîðíîçíà÷íûé è ìàòðè÷íîçíà÷íûé ñëó÷àè, êîòîðûå èñïîëüçóþò òàê íàçûâàåìîå
îáðàùåíèå âåêòîðîâ ïî Ñàìåëüñîíó (Samelson).
Ðàññìîòðèì äâà âàæíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ, âûòåêàþùèõ èç îáùåãî ïîñòðîåíèÿ.
ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈÎÍÍÀß ÄÐÎÁÜ ÒÈÏÀ ÒÈËÅ ÄËß ÂÅÊÒÎÐÎÂ È ÌÀÒÐÈÖ
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ìàòðè÷íîçíà÷íóþ èíòåðïîëÿöèþ òèïà Òèëå, õîòÿ
â ëèòåðàòóðå óäåëÿëîñü âíèìàíèå êàê âåêòîðíîçíà÷íîé, òàê è ìàòðè÷íîçíà÷-
íîé èíòåðïîëÿöèÿì. Âåêòîðíûé ñëó÷àé èçó÷åí ìíîãèìè àâòîðàìè (ñì., íàïðè-
ìåð, [1, 4, 16, 17] è óïîìÿíóòûå òàì ññûëêè). Â áîëüøèíñòâå ïóáëèêàöèé
ïðèìåíÿåòñÿ òàê íàçûâàåìîå îáðàùåíèå âåêòîðîâ ïî Ñàìåëüñîíó êàê ÷àñòíûé
ñëó÷àé îáùåé ïðîöåäóðû ïñåâäîîáðàùåíèÿ ìàòðèöû ïîëíîãî ðàíãà (ñì., íà-
ïðèìåð, óòâåðæäåíèå 6.46 â [18]). Òîò æå ïîäõîä ïðèìåíÿåòñÿ â ñëó÷àå ìàò-
140 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
ðè÷íîãî èíòåðïîëèðîâàíèÿ òèïà Òèëå, ïðè êîòîðîì ìàòðèöû ïðåäâàðèòåëüíî
ïðåîáðàçóþòñÿ â âåêòîðû (íàïðèìåð, [5, 9, 19]).
Ïóñòü Y — àëãåáðà m m� -ìàòðèö, I E� — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Òîãäà ôîðìó-
ëû (6)–(8) ïðèíèìàþò âèä
l u u
u u
u u
F u F u kk k
k
k k
k k k k( )
( )
( )
[ ( ) ( )],� � �
�
�
� ��
�
�
�1
1
1
1 1, , ,2 � n,
F u F u1 ( ) ( )� ,
F ui ( ) �
� � � � � � � � �� � � � � �l u u E l u u E l u ui i i i i i1 2 2 3 3 4( )[ ( )[ ( )[... E l u� � � �
0
1 1 1( ) ] ] ] ,�
i u� ��1 2 01, , ,� ,
l u F u F u E0 0( ) ( ) ( )� � � .
Ðàññìîòðèì ïðèìåð.
Ïðèìåð 3. Ïóñòü çàäàíû ìàòðè÷íûå èíòåðïîëÿöèîííûå óñëîâèÿ
F u
i
F u
i
F u
i
( ) , ( ) , ( )0 1 2
2 0
0
1 0
1
0
1 0
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� ,
u u u0 1 21 0 1� � � �, , .
Òîãäà
T u
z z
z z i z z
z z i z
2 2
21
6 3
3 4 7 4 1
1 3 3 2
( ) ( )
( )( ) (
�
� �
� � � � �
� � � � � �
�
�
�
�
�
z 2 )
,
÷òî ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì ïðèìåðà 2.8 â ðàáîòå [9].
ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈÎÍÍÀß ÄÐÎÁÜ ÒÈÏÀ ÒÈËÅ
ÄËß ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÎÂ ÎÒ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ
Ïóñòü X k� � , Y — ïðîñòðàíñòâî m m� -ìàòðèö, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþò-
ñÿ ôóíêöèîíàëû îò k ïåðåìåííûõ. Ãëàäêîñòü è îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèî-
íàëîâ ïðåäïîëàãàþòñÿ òàêèìè, ÷òîáû âñå èñïîëüçóåìûå íèæå ôîðìóëû èìåëè
ñìûñë. Ïîëîæèì
F u f x y wi j
k
( ) [ . ( ( ), ( ), , ( )),� � � ��
�����������������
ïåðåìåííûõ
] , , ,i j m�1 �
è îïðåäåëèì çíà÷åíèÿ F us s( ( )),�1 � , s n�1 2, , ,� , ýòîãî ìàòðè÷íîãî ôóíêöèîíà-
ëà íà ìíîæåñòâå êîíòèíóàëüíûõ óçëîâ
u u x t x t x t y t ys s s s s s s� � � � �� � � �1 1 1 1, ( ) ( ( ) ( ( ) ( )), ( ) (� � � ( ) ( ))t y ts� � ��1 �
..., ( ) ( ( ) ( )))w t w t w ts s s
T
� �� �1 1� , � �[ , ]0 1 ,
Ôîðìóëû (7), (8) ïðèíèìàþò âèä
l u u F u u u dr r r r r r r r( ) ( ( ))( ),� � � �� � ��1 1 1
0
1
� �
� � � � �� � �� F u u u u u d r nr r r r r r r( ( ))( ) , , , ,1 1 1
0
1
1 2� � � ,
F u F u1 ( ) ( )� ,
F u u u
x
f ur r r r r i j r r r
i
� �
�
�
�
�
�
��
� � �( ( ))( ) ( ( )), , ,1 1 1� �
, , , ,
( ( ) ( ))
j m
rx x
�
�� � � �
1 2
1
�
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 141
�
�
�
�
�
�
�
� � � ��
�
�
y
f u y yi j r r r
i j m
r, ,
, , , ,
( ( )) ( ( ) ( )1
1 2
1�
�
)� ��
�
�
�
�
�
�
��
� � ��
�
�
w
f u w wi j r r r
i j m
r, ,
, , , ,
( ( )) ( ( ) ( )1
1 2
1�
�
) ,
F u D
l u u
I
ii
p
i
i p i p( )
( )
, , ,�
�
�
�
�
� � �
1
1 1 2 � ,
u l u F u F u I� � � � �1 0 00, ( ) ( ) ( ) .
Ïðèìåð 4. Ïóñòü X R� 2 è
F u f x y
x y
yx x y
i j i j( ) [ ( , )]
,
,
, , ,� �
�
�
�
�
�
�
��1 2 2 2
1
.
Òîãäà ïðè òàêèõ èíòåðïîëÿöèîííûõ óçëàõ
u0 05 1� ( . , ), u1 1 2� ( , ), u2 15 1� ( . , )
áóäåì èìåòü
F u t u u f t ti j i j( ( )) [ ( . . , )], , ,0 1 0 0 105 05 1� � � � � � ,
l u u
x y
x y x y
1 0
05 1
15 1 0 75 15 3 75 3
( )
. ,
. ( ) . , . .
� �
� �
� � � �
�
�
�
�
� ,
l u u F u u u u u d2 1 2
0
1
1 2 2 1 1 2( ) ( ( )) ( )� � � � �� � � ,
F u l u F u F u2 1 0
1( ) ( )[ ( ) ( )]� � ��
�
� �
� � � �
�
�
�
�
�� 1 05 1
15 1 0 75 15 3 75 3
( , )
. ,
. ( ) . , . .
x y
x y
x y x y�
� � �
� �
�
�
�
�
� �x y y
yx x
2 2 125 1
05 05
. ,
. , .
� �
�� 1
1 22( , )[ ( , )], , ,x y f x yi j i j ,
f x y x x y y yx2 05 125 1 051 1
2 2
, ( , ) ( . )( . ) ( )( . )� � � � � � � ,
f x y2 01 2, ( , ) � ,
f x y x y x y x2 15 1 0 75 125 15 3 752 1
2 2
, ( , ) ( . ( ) . )( . ) ( . .� � � � � � � � �3 05y yx)( . ) ,
f x y x y x x y2 15 3 75 3 05 15 1 0 752 2, ( , ) ( . . )( . ) ( . ( ) . )(� � � � � � � y �1),
� ( , ) . . . . .x y x x x y y xy� � � � � � �3 2 2125 05 05 0125 05 ,
l u u
l l
2 1
2 1 2 2
1 0
2 2
( )
,
, ,
� �
�
�
�
�
� ,
l
x y
dl
2
0352 0 797 0574
2
2 1,
( . . . )
�
� �
, l
dl
2
1
2
2 1, � , dl x y2 0384 1267 0058� � �. . . .
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
T x y
x y
t x y t x y
2
2 1 2 2
1
2 2
( , )
,
( , ), ( , ), ,
�
��
�
�
�
� ,
142 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
t x y
x y x x
2 05
0352 0 797 0574 05 15
2 1, ( , ) .
( . . . )( . ) . (
� �
� � � � �1 05
2
� . )y
dt
,
t x y
x y y x
2 125
0352 0 797 0574 1 15 2
2 2, ( , ) .
( . . . )( ) . (
� �
� � � � � . )5 2
2
� y
dt
,
dt x y2 0384 1267 0058� � �. . . .
Ïðèìåð 5. Ðàññìîòðèì ïðèìåð 3.6 èç ðàáîòû [10]. Ïóñòü X R� 2 è
F u f x y
x y x y
x y
i j i j( ) [ ( , )]
sin ( ) , cos ( )
, / (
, , ,� �
� �
�
�1 2 2 1 1 )
�
�
�
�
� .
Äëÿ ìàòðèöû A ââåäåì ñëåäóþùóþ
íîðìó || || | | ,A a i j
j
n
i
n
�
��
�� 2
11
.
Âûáåðåì ñëåäóþùèå èíòåðïîëÿöèîí-
íûå óçëû
u0 0 0� ( , ), u1 003 003� ( . , . ), u2 006 006� ( . , . ) .
Ïîñòðîèì äðîáü òèïà Òèëå T x y2 ( , ).
Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé çàíåñåì â òàáë. 1.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû, îòíîñÿùèåñÿ ê ïîñòðîåíèþ è îáîñíîâàíèþ
îáîáùåíèÿ öåïíûõ äðîáåé Òèëå íà ñëó÷àé èíòåðïîëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ îïå-
ðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ èç ëèíåéíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X â àëãåá-
ðó Y ñ åäèíèöåé I . Ýòè ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ åñòåñòâåííûì ïðîäîëæåíèåì èñ-
ñëåäîâàíèé, îïóáëèêîâàííûõ â ðàáîòàõ [7, 8].
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Levrie P., Bultheel A. A note on Thiele n-fractions. Numerical Algorithms. 1993. Vol. 4, N 2.
P. 225–239.
2. Tan J., Fang Y. Newton–Thiele’s rational interpolants. Numerical Algorithms. 2000. Vol. 24, N 1.
P. 141–157.
3. Gensane Th. Interpolation on the hypersphere with Thiele type rational interpolants. Numerical
Algorithms. 2012. Vol. 60, N 3. P. 523–529.
4. Graves-Morris P.R. Vector Valued rational interpolants I. Numerische Mathematik. 1983. Vol. 42,
N 3. P. 331–348.
5. Chuanqing Gu. Thiele-type and Lagrange-type generalized inverse rational interpolation for
rectangular complex matrices. Linear Algebra and Its Applications. 1999. Vol. 295, N 1–3. P 7–30.
6. Êó÷ì³íñüêà Õ.É. Äâîâèì³ðí³ íåïåðåðâí³ äðîáè. Ëüâ³â: ²íñòèòóò ïðèêëàäíèõ ïðîáëåì ìåõàí³êè
³ ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2010. 217 ñ.
7. Ìàêàðîâ Â.Ë., Äåìê³â ².². ²íòåãðàëüíèé ³íòåðïîëÿö³éíèé ëàíöþãîâèé äð³á òèïó Ò³ëå. Äîï.
ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2016. ¹ 1. Ñ. 12–18.
8. Ìàêàðîâ Â.Ë., Äåìê³â ².². ²íòåðïîëÿö³éíèé ³íòåãðàëüíèé ëàíöþãîâèé äð³á òèïó Ò³ëå. Ìàòåìà-
òè÷í³ ìåòîäè òà ô³çèêî-ìåõàí³÷í³ ïîëÿ. 2014. Ò. 57, ¹ 4, Ñ. 44–50.
9. Chuanqing Gu. Generalized inverse matrix Pade approximation on the basis of scalar products.
Linear Algebra and Its Applications. 2001. Vol. 322. P. 141–167.
10. Rongrong Cui, Chuanqing Gu. Bivariate generalized inverse Newton–Thiele type matrix Pade’
approximation. Applied Mathematics and Computation. 2014. Vol. 236. P. 202–214.
11. Makarov V.L., Demkiv I.I. Abstract interpolation Thiele type fraction. 2015. P. 1–10.
URL: https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1511/1511.06877.pdf.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 143
Ò à á ë è ö à 1
( , )x y || ( , ) ( ) ||T x y F u2 �
(0.06, 0.06) 0
(0.05, 0.05) 4.253e-5
(0.04, 0.04) 3.447e-5
(0.03, 0.03) 0
(0.02, 0.02) 3.541e-5
(0.01, 0.01) 4.488e-5
(0.0, 0.0) 0
12. Àõèåçåð Í.È., Ãëàçìàí È.Ì. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ìîñ-
êâà: Íàóêà, 1966. 534 ñ.
13. Ìàêàðîâ Â.Ë., Õëîáèñòîâ Â.Â., Äåìêiâ I.I. Ïðî êîíòèíóàëüíi âóçëè iíòåðïîëÿöi¿ ôîðìóë òèïó
Íüþòîíà òà Åðìiòà â ëiíiéíèõ òîïîëîãi÷íèõ ïðîñòîðàõ. Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2007. ¹ 12. Ñ. 22–27.
14. ßíîâè÷ Ë.À. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå êîíòèíóàëüíûõ èíòåãðàëîâ ïî ãàóññîâûì ìåðàì.
Ìèíñê: Íàóêà è òåõíèêà, 1976. 384 ñ.
15. Åãîðîâ À.Ä., Ñîáîëåâñêèé Ï.È., ßíîâè÷ Ë.À. Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ êîíòèíóàëü-
íûõ èíòåãðàëîâ. Ìèíñê: Íàóêà è òåõíèêà, 1985. 310 ñ.
16. Xiaolin Zhu, Gongqin Zhu. A note on vector-valued rational interpolation. Journal of Computational
and Applied Mathematics. 2006. Vol. 195. P. 341–350.
17. Van Barel M., Bultheel A. A new approach to the rational interpolation problem: the vector case.
Journal of Computational and Applied Mathematics. 1990. Vol. 33, N 3. P. 331–346.
18. Âîåâîäèí Â.Â., Êóçíåöîâ Þ.À. Ìàòðèöû è âû÷èñëåíèÿ. Ìîñêâà: Íàóêà, 1984. 320 ñ.
19. Gong-Qin Zhu, Jie-Qing Tan. A note on matrix-valued rational interpolants. Journal of
Computational and Applied Mathematics. 1999. Vol. 10, N 1. P. 129–140.
20. Jones W.B., Thron W.J. Continued fractions. Analytic theory and applications. London:
Addison-Wesley Publishing Company, 1980. 414 p.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 06.07.2017
Â.Ë. Ìàêàðîâ, ².². Äåìê³â
ÀÁÑÒÐÀÊÒÍÅ ²ÍÒÅÐÏÎËÞÂÀÍÍß ÇÀ ÄÎÏÎÌÎÃÎÞ ËÀÍÖÞÃÎÂÈÕ ÄÐÎÁ²Â ÒÈÏÓ Ò²ËÅ
Àíîòàö³ÿ. Ïîáóäîâàíî é îá´ðóíòîâàíî óçàãàëüíåííÿ ëàíöþãîâèõ äðîá³â
òèïó Ò³ëå íà âèïàäîê ³íòåðïîëþâàííÿ íåë³í³éíèõ îïåðàòîð³â, ùî ä³þòü ç
ë³í³éíîãî òîïîëîã³÷íîãî ïðîñòîðó X â àëãåáðó Y ç îäèíèöåþ I . Ïîêàçàíî,
ùî âàæëèâèìè îêðåìèìè âèïàäêàìè òàêîãî óçàãàëüíåííÿ º ³íòåðïîëÿö³éí³
ëàíöþãîâ³ äðîáè òèïó Ò³ëå äëÿ âåêòîðíèõ ³ ìàòðè÷íèõ ôóíêö³é òà äëÿ
ôóíêö³îíàë³â â³ä äåê³ëüêîõ çì³ííèõ.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: íåïåðåðâíèé äð³á òèïó Ò³ëå, ³íòåðïîëÿö³ÿ, íåë³í³éíèé îïå-
ðàòîð, êîíòèíóàëüí³ âóçëè.
V.L. Makarov, I.I. Demkiv
ABSTRACT INTERPOLATION BY MEANS
OF CONTINUED THIELE-TYPE FRACTIONS
Abstract. We obtain and substantiate the generalization of continued Thiele-type
fractions for the interpolation of nonlinear operators acting from a linear
topological space X into an algebra Y with a unit I . We show that the
interpolation continued Thiele-type fractions for vector-valued and matrix-valued
functions and those for functionals of many variables can be deduced from such
a generalization as its important special cases.
Keywords: continued Thiele-type fraction, interpolation, nonlinear operator,
continual nods.
Ìàêàðîâ Âëàäèìèð Ëåîíèäîâè÷,
àêàäåìèê ÍÀÍ Óêðàèíû, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåcñîð, çàâåäóþùèé îòäåëîì Èíñòèòóòà
ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: makarovimath@gmail.com.
Äåìêèâ Èãîðü Èâàíîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, ïðîôåññîð êàôåäðû Èíñòèòóòà ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè
è ôóíäàìåíòàëüíûõ íàóê Íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà «Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà», Ëüâîâ,
e-mail: ihor.demkiv@gmail.com.
144 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
|