Оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевого условия Дирихле
Получена оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации на девятиточечном шаблоне для первой краевой задачи для уравнения Пуассона в прямоугольнике на обобщенных решениях. В оценке учтено влияние краевого условия Дирихле и показано, что точность схемы, порядок которой по...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144840 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевого условия Дирихле / Н.В. Майко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 145–153. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-144840 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1448402019-01-06T01:23:02Z Оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевого условия Дирихле Майко, Н.В. Системний аналіз Получена оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации на девятиточечном шаблоне для первой краевой задачи для уравнения Пуассона в прямоугольнике на обобщенных решениях. В оценке учтено влияние краевого условия Дирихле и показано, что точность схемы, порядок которой по шагу равен четырем во внутренних узлах сеточного множества, повышается соответственно на полпорядка и на порядок вблизи сторон и углов прямоугольника. Отримано оцінку з вагою точності різницевої схеми підвищеного порядку апроксимації на дев’ятиточковому шаблоні для першої крайової задачі для рівняння Пуассона в прямокутнику на узагальнених розв’язках. В оцінці враховано вплив крайової умови Діріхле і встановлено, що точність схеми, порядок якої за кроком дорівнює чотирьом у внутрішніх вузлах сіткової множини, збільшується відповідно на півпорядку і на порядок поблизу сторін і кутів прямокутника. We obtain the weighted error estimate of the finite-difference scheme of the increased approximation order on a nine-point template for the first boundary-value problem for Poisson’s equation in a rectangle on generalized solutions. The estimate takes into account the influence of the Dirichlet boundary condition and shows that the accuracy order is higher near the sides of the rectangle than at the inner points of the mesh set. 2018 Article Оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевого условия Дирихле / Н.В. Майко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 145–153. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144840 519.6 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Майко, Н.В. Оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевого условия Дирихле Кибернетика и системный анализ |
| description |
Получена оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации на девятиточечном шаблоне для первой краевой задачи для уравнения Пуассона в прямоугольнике на обобщенных решениях. В оценке учтено влияние краевого условия Дирихле и показано, что точность схемы, порядок которой по шагу равен четырем во внутренних узлах сеточного множества, повышается соответственно на полпорядка и на порядок вблизи сторон и углов прямоугольника. |
| format |
Article |
| author |
Майко, Н.В. |
| author_facet |
Майко, Н.В. |
| author_sort |
Майко, Н.В. |
| title |
Оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевого условия Дирихле |
| title_short |
Оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевого условия Дирихле |
| title_full |
Оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевого условия Дирихле |
| title_fullStr |
Оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевого условия Дирихле |
| title_full_unstemmed |
Оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевого условия Дирихле |
| title_sort |
оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для двумерного уравнения пуассона с учетом эффекта от краевого условия дирихле |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144840 |
| citation_txt |
Оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для двумерного уравнения Пуассона с учетом эффекта от краевого условия Дирихле / Н.В. Майко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 145–153. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT majkonv ocenkasvesomtočnostiraznostnojshemypovyšennogoporâdkaapproksimaciidlâdvumernogouravneniâpuassonasučetoméffektaotkraevogousloviâdirihle |
| first_indexed |
2025-07-10T20:19:47Z |
| last_indexed |
2025-07-10T20:19:47Z |
| _version_ |
1837292634040696832 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Í.Â. ÌÀÉÊÎ
ÎÖÅÍÊÀ Ñ ÂÅÑÎÌ ÒÎ×ÍÎÑÒÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÉ ÑÕÅÌÛ
ÏÎÂÛØÅÍÍÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ
ÄËß ÄÂÓÌÅÐÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÓÀÑÑÎÍÀ
Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÝÔÔÅÊÒÀ ÎÒ ÊÐÀÅÂÎÃÎ ÓÑËÎÂÈß ÄÈÐÈÕËÅ
Àííîòàöèÿ. Ïîëó÷åíà îöåíêà ñ âåñîì òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû ïîâû-
øåííîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè íà äåâÿòèòî÷å÷íîì øàáëîíå äëÿ ïåðâîé
êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â ïðÿìîóãîëüíèêå íà îáîáùåííûõ
ðåøåíèÿõ. Â îöåíêå ó÷òåíî âëèÿíèå êðàåâîãî óñëîâèÿ Äèðèõëå è ïîêàçàíî,
÷òî òî÷íîñòü ñõåìû, ïîðÿäîê êîòîðîé ïî øàãó ðàâåí ÷åòûðåì âî âíóòðåí-
íèõ óçëàõ ñåòî÷íîãî ìíîæåñòâà, ïîâûøàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íà ïîëïîðÿäêà
è íà ïîðÿäîê âáëèçè ñòîðîí è óãëîâ ïðÿìîóãîëüíèêà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óðàâíåíèå Ïóàññîíà, êðàåâàÿ çàäà÷à, óñëîâèå Äèðèõëå,
ðàçíîñòíàÿ ñõåìà, îöåíêà òî÷íîñòè ñ âåñîì, ó÷åò âëèÿíèÿ êðàåâîãî óñëîâèÿ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÅÅ ÊÎÍÅ×ÍÎ-ÐÀÇÍÎÑÒÍÀß ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß
Îöåíêè òî÷íîñòè ðàçíîñòíûõ ñõåì ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ êðàåâûõ è íà÷àëüíûõ
óñëîâèé ïîëó÷åíû â ðÿäå ïóáëèêàöèé (íàïðèìåð, [1–7]).  ðàáîòàõ [1–4] ðàñ-
ñìîòðåíû òðàäèöèîííûå êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå àïïðîêñèìàöèè êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ
óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â ïðÿìîóãîëüíèêå è ïàðàëëåëåïèïåäå è äîêàçàíî ïîâûøå-
íèå òî÷íîñòè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé âáëèçè òîé ÷àñòè ãðàíèöû îáëàñòè, ãäå
çàäàíî êðàåâîå óñëîâèå Äèðèõëå. Âëèÿíèå íà÷àëüíûõ è êðàåâûõ óñëîâèé äëÿ
îäíî- è äâóìåðíîãî óðàâíåíèé òåïëîïðîâîäíîñòè èçó÷åíû â ðàáîòàõ [5–7].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäîâàíà ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà àï-
ïðîêñèìàöèè íà äåâÿòèòî÷å÷íîì øàáëîíå äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â ïðÿìî-
óãîëüíèêå ñ êðàåâûì óñëîâèåì Äèðèõëå. Öåëü ðàáîòû — èçó÷èòü âëèÿíèå êðàå-
âîãî óñëîâèÿ íà ïîâûøåíèå òî÷íîñòè ñåòî÷íîãî ðåøåíèÿ â ïðèãðàíè÷íûõ óçëàõ
è ïîëó÷èòü îöåíêó ïîãðåøíîñòè â íîðìå ñ âåñîì.  ïðèìåíÿåìîé äëÿ ýòîãî ìåòî-
äèêå (ñì. òàêæå [4]) èñïîëüçóåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ñ ïî-
ìîùüþ ðàçíîñòíîé ôóíêöèè Ãðèíà, äëÿ êîòîðîé äîêàçûâàåòñÿ îöåíêà â ñåòî÷íîé
íîðìå. Äëÿ îöåíèâàíèÿ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè íà îáîáùåííûõ ðåøåíèÿõ
èñõîäíîé çàäà÷è îáû÷íûì îáðàçîì ïðèìåíÿåòñÿ ëåììà Áðýìáëà–Ãèëüáåðòà.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó
�u x f x x D( ) ( ),� � � ,
u x x( ) ,� �0 �, (1)
ãäå x x x� ( , )1 2 , � �
�
�
�
�
�
2
1
2
2
2
2x x
, D x x x x l� � �{ ( , ): , , }1 2 0 1 2� � � — ïðÿìî-
óãîëüíèê, � � �D — ãðàíèöà ïðÿìîóãîëüíèêà D.
Èñïîëüçóåì òðàäèöèîííûå îáîçíà÷åíèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì [8]. Ââåäåì
ñåòî÷íûå ìíîæåñòâà:
� � � � � � � � � �� � � � �{ , , , / }x i h i N h l N1 1 , N �
2 — öåëîå,
� �� �� � �{ } { }0 1 , � �1 2, ;
� � �� �1 2 — ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ óçëîâ, � � �� �1 2 ,
� � �� \ — ìíîæåñòâî ãðàíè÷íûõ óçëîâ;
� � �� � � �� � �� � � �{ : , }x x x0 3 3 , � � �� � � �� � �� � � �{ : , }x x x1 3 3 ,
� � �� � �� �� � , � �1 2, .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 145
© Í.Â. Ìàéêî, 2018
Ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðîâ [9]
T x
h
h x x d x
x h
x h
1
1
2 1 1 2
1
1 1
1 1
� � � � � �( ) ( | | ) ( , ) ,� � � �
�
�
,
T x
h
h x x d x
x h
x h
2
2
2 2 2 1
1
2 2
2 2
� � � � � �( ) ( | | ) ( , ) ,� � � �
�
�
,
àïïðîêñèìèðóåì çàäà÷ó (1) ðàçíîñòíîé ñõåìîé
� � �y x
h h
y x T T f x x
y x x
( ) ( ) ( ), ,
( ) , ,
�
�
� � �
� �
1
2
2
2
1 2 1 2
12
0
�
�
(2)
ãäå � � �� �1 2 , �� � �
�y x y x xx x( ) ( ),� � , � �1 2, .
Äëÿ ïîãðåøíîñòè z x y x u x( ) ( ) ( )� � èìååì çàäà÷ó
� � �z x
h h
z x x x( ) ( ) ( ),�
�
� � �1
2
2
2
1 2
12
� �,
(3)
z x x( ) ,� �0 �,
ãäå � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( )x T T f x u x
h h
u x x� � �
�
� � �1 2
1
2
2
2
1 2 1 1 2
12
� � � � � 2 ( )x — ïî-
ãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè,
� � �
�
�( ) ( ) ( ) ( )x T u x u x
h
u x� � ��
�
�3
3
2
3
12
� , x �� ( , )� �1 2 .
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÎÏÅÐÀÒÎÐÎÂ
Ââåäåì ïðîñòðàíñòâî Hh
0
ñåòî÷íûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà � è îáðàùàþùèõñÿ
â íóëü íà � , ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
( , ) ( , ) ( ) ( )( )y y h h y x xL
x
� � ��
�
� �
�
�2 1 2
è íîðìîé
|| || || || ( , ) ( ) .( )
/
� � � � ��
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�L
x
h h x
2 1 2
2
1 2
Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ � � ( )x îïðåäåëåíà â óçëàõ x � �� � � è îáðàùàåòñÿ â íóëü
â óçëàõ x �� � . Äîîïðåäåëèì åå íóëåì íà îñòàëüíîé ÷àñòè ãðàíèöû �; òîãäà
� � � H
h
0
. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷ó (3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ
� � �A z A A1 1 2 2� � , z H h, � � �
0
, (4)
ãäå A A A
h h
A A� � � �
�
1 2
1
2
2
2
1 2
12
, A y� �� �� , A H Hh h� :
0 0
� , � �1 2, .
Ëåììà 1. Îïåðàòîð A� ñàìîñîïðÿæåí è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí â H h
0
. Äëÿ
íåãî ñïðàâåäëèâû îöåíêè
2
3
A A A� � � , (5)
2
3
0
|| || || || || ||Ay A y Ay y H h� � � � � , (6)
ãäå A A A� �1 2 .
146 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
Äîêàçàòåëüñòâî. Îïåðàòîðû A1 è A2 ñàìîñîïðÿæåíû: A A� �
* � , ïîñêîëüêó
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( ,A y y y y A y Hx x x x h� �� � � � � �
� � � �
� � � � � � � �
0
1 2) ;
ïåðåñòàíîâî÷íû: A A A A1 2 2 1� , òàê êàê
A A y y y A A y y Hx x x x x x x x h1 2 2 1
0
2 2 1 1 1 1 2 2
� � � � �( ) ( ) ;
óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì [8]
( , ) cos || || || ||A y y
h
h
l
y
h
y y H h�
�
�
� �
� � � �
4
2
4
2
2 2
2
2
0
,
( , ) sin || || || ||A y y
h
h
l
y
l
y y H h�
�
�
� �
� �
4
2
8
2
2 2
2
2
0
,
ò.å.
8 4
2 2l
I A
h
I
�
�
�
� � (� �1 2, ), I — òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, îòêóäà, â ÷àñò-
íîñòè, ñëåäóåò ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü îïåðàòîðîâ A1 è A2 .
Òîãäà îïåðàòîð A A1 2 ñàìîñîïðÿæåí: ( )*A A A A1 2 1 2� , òàê êàê
( )* * *
A A A A A A A A1 2 2 1 2 1 1 2� � � ;
ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí: A A
l l
E1 2
1
2
2
2
64
, òàê êàê
( , ) ( , ) ( , ) (/ / / /A A y y A A A y y A A A y y A A1 2 1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
1� � �
2
1 2
2
1 2/ /, )y A y
�
� �
8 8 8 8
1
2 2
1 2
2
1 2
1
2 2
1
2
2
2
2
l
A y A y
l
A y y
l l
y y( , ) ( , ) || ||/ / �H h
0
.
Îòñþäà ñëåäóåò ñàìîñîïðÿæåííîñòü è ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü îïåðàòîðîâ
A è A� , à òàêæå íåðàâåíñòâî A A� � â (5). Äîêàæåì òåïåðü îöåíêó
2
3
A A� � â (5):
A A A
h h
A A A E
h
A A E
h
� � � �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�� �1 2
1
2
2
2
1 2 1
2
2
2 2
1
2
12 12 12
1A
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �A E
h
h
E A E
h
h
E1
2
2
2
2 2
1
2
1
212
4
12
4 2
3
2
3
1 2( )A A A� � .
Èç îöåíîê (5) ñëåäóþò íåðàâåíñòâà (6). Äåéñòâèòåëüíî, èìååì
|| || ( , ) ( , ) ( , )/ / / /Ay Ay Ay AA y A y A A y A y2 1 2 1 2 1 2 1 23
2
� � � � �
� � � � �
3
2
3
2
( , ) || || || ||A y Ay A y Ay ,
îòêóäà
2
3
|| || || ||Ay A y� � ; àíàëîãè÷íî || || || ||� �A y Ay . �
Èç ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè îïåðàòîðà A� ñëåäóåò îäíîçíà÷íàÿ ðàçðå-
øèìîñòü çàäà÷è (4).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 147
Ïîëó÷èì òåïåðü âàæíûå äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ îöåíêè. Èìååì
|| || || || ( , )�
� � � � �A y A y A y A y A y A y2 2
1 2 1 2
4
9
4
9
� � �
�
4
9
2
8
9
1
2
2
2
1 2 1 2( || || || || ( , )) ( , )A y A y A y A y A y A y
� � � �
�
�
8
9
8
9
1 2
2
0
1 1 2 2
h h y y B y y Hx x x x
x
k h
�
|| ||*
*
,
ãäå îïåðàòîðû B H Hk h h
* *:
0
� îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì:
à) B y yx x1 1 2
* � � , á) B y yx x2 1 2
* � � , â) B y yx x3 1 2
* � � , ã) B y yx x4 1 2
* � � ,
à H h
* — ïðîñòðàíñòâî ñåòî÷íûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà ñåòêå ~� :
à) ~� � �� �� �
1 2
, á) ~� � �� �� �
1 2 , â) ~� � �� �� �
1 2 , ã) ~� � �� �� �
1 2
,
ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , ) ( ) ( )*
~
y h h y x x
x
� �
�
�
�
� 1 2 è íîðìîé || || ( , )* *y y y� .
Äëÿ ñîïðÿæåííîãî ê Bk
* îïåðàòîðà B H Hk h h: * �
0
èìååì
( , ) ( , ) ,* *B y y B y H Hk k h h� � �� � � � �
0
,
ãäå
à) B y yx x1 1 2
� � , á) B y yx x2 1 2
� � , â) B y yx x3 1 2
� � , ã) B y yx x4 1 2
� � .
Äàëåå íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå [9, ñ. 54].
Ëåììà 2. Ïóñòü:
1) A H H: � — ëèíåéíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé
â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , )y � è íîðìîé
|| || ( , )y y y� ;
2) B H H: * � — ëèíåéíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé èç ãèëüáåðòîâà
ïðîñòðàíñòâà H * ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , )*y � è íîðìîé || || ( , )* *y y y�
â ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî H (H H* � );
3) ñóùåñòâóåò A�1;
4) || || || ||*
*B A� � �� � �� H , ãäå B H H* *: � — îïåðàòîð, ñîïðÿæåííûé ê
îïåðàòîðó B H H: * � .
Òîãäà
|| || || || *A B� �1 � � � � �� H * .
Ïðèìåíÿÿ ëåììó 2 ê îïåðàòîðàì A H Hh h� �:
0 0
, B H Hk h h: * �
0
, B H Hk h h
* *:
0
�
( , )k �1 4 , èç íåðàâåíñòâà
|| || || ||*
*B y A yk � �
3
2 2
� �y H h
0
ïîëó÷àåì îöåíêó
|| || || ||* *� ��A B y yk
1 3
2 2
� �y H h
* . (7)
ÎÖÅÍÊÀ ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÈ ÃÐÈÍÀ
Îáîçíà÷èì G x G x x( , ) ( , ; , )� � �� 1 2 1 2 ôóíêöèþ Ãðèíà ðàçíîñòíîé êðàåâîé çàäà÷è
� � �� � �� �
�
�
G x
h h
G x
x x
h
( , ) ( , )
( , ) ( , )
�
�
� �1
2
2
2
1 2
1 1 2 2
112 h
G x
2
0
, ,
( , ) ,
� �
� � ��
�
� �
(8)
148 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
ãäå
( , )m n — ñèìâîë Êðîíåêåðà. Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è (3) ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü â âèäå
z x G x h h G x x( ) ( ( , ), ( )) ( , ) ( ) ,� � � � �
�
�� � � � �
� �
1 2 . (9)
Ïîëó÷èì îöåíêó ôóíêöèè Ãðèíà.
Ëåììà 3. Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
|| ( , ) || ( ) ,G x x x� � �
3
2 2
� � ,
ãäå || ( , ) || ( , )
/
G x h h G x� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 1 2
2
1 2
�
� �
,
�( ) min , ( ), ( ) , ( )( )x x x x l x l x x l x l x� � � � �{ }1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì H s( ) ôóíêöèþ Õåâèñàéäà: H s
s
s
( )
, ,
, .
�
�
��
1 0
0 0
Çàäà÷ó (8) ìîæíî çàïèñàòü èíà÷å:
� � �� � �� � � �G x
h h
G x H x H x( , ) ( , ) ( ( ) ( ))�
�
� � � �1
2
2
2
1 2 1 1 2 2
12
� � � �
1 2
, ,�
G x( , ) ,� � �� �0 ,
èëè â îïåðàòîðíîì âèäå:
� � � � �A G x B H x H x� �� � �( , ) ( ( ) ( ))1 1 1 2 2 .
Îòñþäà ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (7) èìååì
|| ( , ) || || ( ( ) ( )) || || (G x A B H x H x H x� � � � � � � � ��
� �
1
1 1 2 1
3
2 2
� � � � �) ( ) ||*H x2
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
3
2 2
1 2
2
1 1
2
2 2
1 2
1 2
h h H x H x( ) ( )
/
� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
3
2 2
1
2
1 1
1 2
2
2
2 2
1 1 2 2
h H x h H x( ) ( )
/
� �
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2/
(10)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
3
2 2
3
2 2
1
1 2
2
1 2
1 1
1
2 2
2
h h
h
x
h
x
� �
/ /
x x1 2 .
Çàäà÷ó (8) ìîæíî òàêæå çàïèñàòü â âèäå
� � �� � �� � � �G x
h h
G x H x H x( , ) ( , ) ( ( ) ( ))�
�
� � � �1
2
2
2
1 2 1 1 2 2
12
� � � �
1 2
, � ,
G x( , ) ,� � �� �0 ,
ò.å.
� � � � �A G x B H x H x� �� � �( , ) ( ( ) ( ))2 1 1 2 2 .
Ïðèìåíÿÿ îöåíêó (7), ïîëó÷àåì
|| ( , ) || || ( ( ) ( )) || || (G x A B H x H x H� � � � �� �� � � ��
� �
1
2 1 2
3
2 2
x H x1 2) ( ) ||*� � �
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 149
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
3
2 2
1 2
2
1 1
2
2 2
1 2
1 2
h h H x H x( ) ( )
/
� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
3
2 2
1
2
1 1
1 2
2
2
2 2
1 1 2 2
h H x h H x( ) ( )
/
� �
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2/
(11)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
3
2 2
1
1 2
2
1
1 1
1 1
2 2
2 2
h h
x
l h
x
l h
� �
/ /
( )( )
2
1 1 2 2
3
2 2
� � �l x l x .
Çàïèøåì çàäà÷ó (8) èíà÷å:
� � �� � � �� � � �G x
h h
G x H x H x( , ) ( , ) ( ( ) ( ))�
�
� � �1
2
2
2
1 2 1 1 2 2
12 1 2� � �, � ,
G x( , ) ,� � �� �0 ,
èëè â îïåðàòîðíîì âèäå:
� � � �A G x B H x H x� �� � �( , ) ( ( ) ( ))3 1 1 2 2 .
Îòñþäà ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (7) èìååì
|| ( , ) || || ( ( ) ( )) || || (G x A B H x H x H x� � � � � �� � ��
� �
1
3 1 2 1
3
2 2
� �� �) ( ) ||*H x2
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
3
2 2
1 2
2
1 1
2
2 2
1 2
1 2
h h H x H x( ) ( )
/
� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
3
2 2
1
2
1 1
1 2
2
2
2 2
1 1 2 2
h H x h H x( ) ( )
/
� �
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2/
(12)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
� �
3
2 2
1
1 2
2
1 2
1 1
1
2 2
2 2
h h
h
x
x
l h
� �
/ /
3
2 2
1 2 2x l x( )� .
Çàäà÷ó (8) ìîæíî çàïèñàòü è òàêèì îáðàçîì:
� � �� � � �� � � �G x
h h
G x H x H x( , ) ( , ) ( ( ) ( ))�
�
� � �1
2
2
2
1 2 1 1 2 2
12 1 2
0
� � �
� � �
, ,
( , ) , ,
�
� �G x
ò.å.
� � � �A G x B H x H x� �� � �( , ) ( ( ) ( ))4 1 1 2 2 .
Òîãäà
|| ( , ) || || ( ( ) ( )) || || (G x A B H x H x H x� � � �� �� � ���
� �
1
4 1 2
3
2 2
1 2) ( ) ||*H x �� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
3
2 2
1 2
2
1 1
2
2 2
1 2
1 2
h h H x H x( ) ( )
/
� �
� � �
150 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
3
2 2
1
2
1 1
1 2
2
2
2 2
1 1 2 2
h H x h H x( ) ( )
/
� �
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2/
(13)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
3
2 2
1
1 2
2
1 2
1 1
1 1
2 2
2
h h
x
l h
h
x
� �
/ /
3
2 2
1 1 2( )l x x� .
Èç îöåíîê (10)–(13) ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû. �
ÀÏÐÈÎÐÍÀß ÎÖÅÍÊÀ ÒÎ×ÍÎÑÒÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÉ ÑÕÅÌÛ
Ïðèìåíèì ïîëó÷åííóþ â ëåììå 3 îöåíêó ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
îñíîâíîãî óòâåðæäåíèÿ.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ðåøåíèå u x x( , )1 2 çàäà÷è (1) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
u W D�
2
6 ( ) . Òîãäà äëÿ òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû (2) ïðè 0 1 1 2 2 � �C h h C/
èìååò ìåñòî àïðèîðíàÿ îöåíêà ñ âåñîì
|| || | | | |
( )
�� �1 4
2
6z M h u
W D
,
ãäå �( ) min , ( ), ( ) , ( )( )x x x x l x l x x l x l x� � � � �{ }1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 , M — íå çà-
âèñÿùàÿ îò h1 è h2 êîíñòàíòà, | |h h h� �
1
2
2
2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïðåäñòàâëåíèÿ (9) èìååì
| ( ) | | ( ( , ), ( )) | || ( , )|| || || ( ) ||z x G x G x x� � � � � � �� � � �
3
2 2
|| , x ��. (14)
Ðàññìîòðèì ìíîæèòåëü || ||� , ãäå � � �( ) ( ) ( )x x xx x x x� � �1 21 1 2 2
,
� � �
�
� �
( ) ( ) ( ) ( )x T u x u x
h
u xx x� � ��
�
� �3
3
2
12 3 3
, x �� ( , )� �1 2 ,
îöåíèâàÿ ñëàãàåìûå �1 1 1x x x( ) è � 2 2 2x x x( ) .
Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë �1 1 1x x x( ) . Ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé çàìåíû
( ) / ,�� � � �� �x h s � �1 2, , îòîáðàçèì ÿ÷åéêó
e x x h( ) { ( , ): | | , , }� � � �� � � � �� � �1 2 1 2
íà êâàäðàò E s s s s� � �{ ( , ): | | , , }1 2 1 1 2� � è ïîëîæèì
u u x h s x h s U s s( , ) ( , ) ( , )� �1 2 1 1 1 2 2 2 1 2� � � � .
Ôóíêöèîíàë �1 1 1x x x( ) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
�1
1
2 2 2 2 21 1
1
1 1 2 0 1x x x
h
s U s U s U s d( ) ( | | ) ( ( , ) ( , ) ( , ))� � � � � s2
1
1
�
�
�
�
�
�
� � � � �( ( , ) ( , ) ( , ))U U U1 0 2 0 0 1 0
� � � � � � �
1
12
1 1 2 1 0 1 1
1
6
0 1 2 0 0 0( ( , ) ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ) (U U U U U U , ))� �1
� � � � � � �
�
!
1
12
1 1 2 1 0 1 1( ( , ) ( , ) ( , ))U U U .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 151
Ýòîò ôóíêöèîíàë îãðàíè÷åí â ïðîñòðàíñòâå W E
2
6 ( ) âñëåäñòâèå âëîæåíèÿ
W E C E
2
6 ( ) ( )" è îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ïîëèíîìàõ ïÿòîé ñòåïåíè. Íàïðèìåð,
äëÿ ïîëèíîìà x
2
2 èìååì
� � � �1
2
2 2 2
2
2
2 2
2
1 1
2 2
2 21
12
x x
x h
x h
x
h
h x d x
h
( ) ( | | )� � � � �
�
�
( )x x x
x x
2
2
2 2
1 1
�
�
�
��
�
�
�
��
�
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
h
x x
h
x x
2
2
2
2
2
2 2
2
6 12
2 0
1 1
.
Òîãäà ñîãëàñíî ëåììå Áðýìáëà–Ãèëüáåðòà [9, ñ. 29] ïîëó÷èì îöåíêó
| ( ) |
~
| |
( )
�1
1
21 1 2
6x x W E
x
M
h
U� ,
ãäå
~
M — íå çàâèñÿùàÿ îò h h1 2, è U ïîñòîÿííàÿ, | |
( )
U
W E2
6 — ïîëóíîðìà â W E
2
6 ( ):
| |
( , )
( )
U
U s s
s s
ds d
W E2
6
1 2
1 2
2 1 2
1 2
2
1�
�
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
�� �
� �
s
E
2
6
0 0
1 2
1 2
�
� �
� �
� �( , )
.
Âîçâðàùàÿñü ê ïåðåìåííûì � �1 2, è ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ ds ds
d d
h h
1 2
1 2
1 2
�
� �
,
�
�
�
�
�
U
s
s s
u
� ��
� �( , ) ( , )1 2 1 2 ( , )� �1 2 , èìååì
| ( ) |
~
| |
| |
( ( ))
�1
1
2
6
1 2
1 1 2
6x x W e x
x
M
h
h
h h
u� ,
îòêóäà ïðè óñëîâèè 0 1 1 2 2 � �C h h C/ ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
| ( ) |
| |
| | ,
( ( ))
� �1 1
4
1 2
1 1 2
6x x W e x
x M
h
h h
u x� � . (15)
Àíàëîãè÷íî îöåíèâàåòñÿ è ôóíêöèîíàë � 2 2 2x x x( ) :
| ( )|
| |
| | ,
( ( ))
� �2 2
4
1 2
2 2 2
6x x W e x
x M
h
h h
u x� � . (16)
 îöåíêàõ (15) è (16) êîíñòàíòû M1 è M 2 íå çàâèñÿò îò h h1 2, è u ;
| |
( ( ))
u
W e x2
6 — ïîëóíîðìà â W e x
2
6 ( ( )).
Èç íåðàâåíñòâ (15) è (16) ñëåäóåò îöåíêà
|| || || || || ||� � �� � �1 21 1 2 2x x x x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�M h u M h u
W e x
x
W e
1
4 2
1 2
2
4
2
6
2
6
| | | | | | | |
( ( ))
/
(
�
( ))
/
( )
| | | |
x
x
W D
M h u2
1 2
3
4
2
6
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
êîòîðàÿ ñ (14) äàåò íåðàâåíñòâî
| ( ) | ( ) | | | | ,
( )
z x M x h u x
W D
� �4
4
2
6� �. (17)
Îòñþäà îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì îöåíêó ñ âåñîì || || | | | |
( )
�� �1 4
2
6z M h u
W D
;
çäåñü êîíñòàíòû M M M3 4, , íå çàâèñÿò îò h h1 2, è u, à | |
( )
u
W D2
6 — ïîëóíîðìà
â W D
2
6 ( ) . �
152 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1
Îöåíêà (17) ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (2) èìååò ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê
òî÷íîñòè, ïðè÷åì òî÷íîñòü âûøå âáëèçè ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà D , ÷òî îòðàæà-
åò âëèÿíèå êðàåâîãî óñëîâèÿ Äèðèõëå.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ãàëáà Å.Ô. Î ïîðÿäêå òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ñî ñìåøàííûì
ãðàíè÷íûì óñëîâèåì. Îïòèìèçàöèÿ àëãîðèòìîâ ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ÝÂÌ. Êèåâ: Èí.-ò
êèáåðíåòèêè èìåíè Â.Ì. Ãëóøêîâà ÀÍ ÓÑÑÐ, 1985. C. 30–34.
2. Makarov V. On a priori estimate of difference schemes giving an account of the boundary effect. C.R.
Acad. Bulg. Sci. (Proceedings of the Bulgarian Academy of Sciences). 1989. Vol. 42, N 5. P. 41–44.
3. Makarov V.L., Demkiv L.I. Weight uniform accuracy estimate of finite-difference method for
Poisson equation taking into account boundary effect. Numerical Analysis and Its Application,
4th International Conference, Lozentz, Bulgaria, 2008, June 16–20. P. 92–103.
4. Ìàéêî Í.Â., Ðÿáè÷åâ Â.Ë. Îöåíêà òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ
Ïóàññîíà ñ ó÷åòîì ýôôåêòà îò êðàåâûõ óñëîâèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2016.
T. 52, ¹ 5. Ñ. 113–124.
5. Ìàéêî Í.Â. Îöåíêè òî÷íîñòè ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ îäíîìåðíîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
ñ ó÷åòîì ýôôåêòà îò íà÷àëüíûõ è êðàåâûõ óñëîâèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2014.
¹ 5. Ñ. 154–163.
6. Mayko N.V. The boundary effect in the error estimate of the finite-difference scheme for the
two-dimensional heat equation. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2013.
N 3(113). P. 91–106.
7. Ìàéêî Í.Â. Óëó÷øåííûå îöåíêè òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ äâóìåðíîãî ïàðàáîëè÷åñêî-
ãî óðàâíåíèÿ ñ ó÷åòîì ýôôåêòà îò êðàåâûõ è íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé
àíàëèç. 2017. T. 53, ¹ 1. Ñ. 99–107.
8. Samarskii A.A. The theory of difference schemes. New York: Marcel Dekker, Inc., 2001. 762 p.
9. Ñàìàðñêèé A.A., Ëàçàðîâ Ð.Ä., Ìàêàðîâ Â.Ë. Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé ñ îáîáùåííûìè ðåøåíèÿìè. Mîñêâà: Âûñøàÿ øêîëà, 1987. 296 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 14.12.2016
Í.Â. Ìàéêî
ÎÖ²ÍÊÀ Ç ÂÀÃÎÞ ÒÎ×ÍÎÑÒ² вÇÍÈÖÅÂί ÑÕÅÌÈ Ï²ÄÂÈÙÅÍÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÓ
ÀÏÐÎÊÑÈÌÀÖ²¯ ÄËß ÄÂÎÂÈ̲ÐÍÎÃΠвÂÍßÍÍß ÏÓÀÑÑÎÍÀ Ç ÓÐÀÕÓÂÀÍÍßÌ
ÅÔÅÊÒÓ Â²Ä ÊÐÀÉÎÂί ÓÌÎÂÈ Ä²Ð²ÕËÅ
Àíîòàö³ÿ. Îòðèìàíî îö³íêó ç âàãîþ òî÷íîñò³ ð³çíèöåâî¿ ñõåìè ï³äâèùåíîãî
ïîðÿäêó àïðîêñèìàö³¿ íà äåâ’ÿòèòî÷êîâîìó øàáëîí³ äëÿ ïåðøî¿ êðàéîâî¿ çà-
äà÷³ äëÿ ð³âíÿííÿ Ïóàññîíà â ïðÿìîêóòíèêó íà óçàãàëüíåíèõ ðîçâ’ÿçêàõ.
 îö³íö³ âðàõîâàíî âïëèâ êðàéîâî¿ óìîâè ijð³õëå ³ âñòàíîâëåíî, ùî
òî÷í³ñòü ñõåìè, ïîðÿäîê ÿêî¿ çà êðîêîì äîð³âíþº ÷îòèðüîì ó âíóòð³øí³õ
âóçëàõ ñ³òêîâî¿ ìíîæèíè, çá³ëüøóºòüñÿ â³äïîâ³äíî íà ï³âïîðÿäêó ³ íà ïîðÿ-
äîê ïîáëèçó ñòîð³í ³ êóò³â ïðÿìîêóòíèêà.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ð³âíÿííÿ Ïóàññîíà, êðàéîâà çàäà÷à, óìîâà ijð³õëå, ð³çíèöå-
âà ñõåìà, îö³íêà òî÷íîñò³ ç âàãîþ, âðàõóâàííÿ âïëèâó êðàéîâî¿ óìîâè.
N.V. Mayko
THE WEIGHTED ERROR ESTIMATE OF THE FINITE-DIFFERENCE SCHEME
OF THE INCREASED APPROXIMATION ORDER FOR THE TWO-DIMENSIONAL POISSON
EQUATION WITH ALLOWANCE FOR THE DIRICHLET BOUNDARY CONDITION
Abstract. We obtain the weighted error estimate of the finite-difference scheme
of the increased approximation order on a nine-point template for the first
boundary-value problem for Poisson’s equation in a rectangle on generalized
solutions. The estimate takes into account the influence of the Dirichlet
boundary condition and shows that the accuracy order is higher near the sides of
the rectangle than at the inner points of the mesh set.
Keywords: Poisson’s equation, boundary value problem, Dirichlet’s boundary
condition, finite-difference scheme, weighted error estimate, boundary effect.
Ìàéêî Íàòàëèÿ Âàëåíòèíîâíà,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà
Øåâ÷åíêî, e-mail: mayko@knu.ua.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 1 153
|