Системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета FreeFem++ и распараллеливания вычислений

Описан способ построения математических моделей взаимосвязанных процессов в пористых средах, исходя из сложной многокомпонентной системы. Показаны возможности пакета FreeFem++ при решении соответствующих краевых задач для систем квазилинейных параболических уравнений в областях с подвижными границам...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Герус, В.А., Иванчук, Н.В., Мартынюк, П.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системний аналіз
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144858
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета FreeFem++ и распараллеливания вычислений / В.А. Герус, Н.В. Иванчук, П.Н. Мартынюк // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 123–133. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-144858
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1448582019-01-06T01:23:19Z Системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета FreeFem++ и распараллеливания вычислений Герус, В.А. Иванчук, Н.В. Мартынюк, П.Н. Системний аналіз Описан способ построения математических моделей взаимосвязанных процессов в пористых средах, исходя из сложной многокомпонентной системы. Показаны возможности пакета FreeFem++ при решении соответствующих краевых задач для систем квазилинейных параболических уравнений в областях с подвижными границами методом конечных элементов с использованием распараллеливания вычислений. Описано спосіб побудови математичних моделей взаємозв’язаних процесів у пористих середовищах з точки зору теорії складних багатокомпонентних систем. Показано можливості пакету FreeFem++ з розв’язування відповідних крайових задач для систем квазілінійних параболічних рівнянь в областях з рухомими межами методом скінченних елементів з використанням розпаралелювання обчислень. A porous media is a complex multicomponent system. The method of constructing the mathematical models of interrelated processes in such systems is described. The capabilities of FreeFem++ package in solving the corresponding free boundary-value problems for systems of quasilinear parabolic equations using the finite-element method and parallel computing are shown. 2018 Article Системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета FreeFem++ и распараллеливания вычислений / В.А. Герус, Н.В. Иванчук, П.Н. Мартынюк // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 123–133. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144858 517.9:519.6 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Герус, В.А. Иванчук, Н.В. Мартынюк, П.Н. Системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета FreeFem++ и распараллеливания вычислений Кибернетика и системный анализ
description	Описан способ построения математических моделей взаимосвязанных процессов в пористых средах, исходя из сложной многокомпонентной системы. Показаны возможности пакета FreeFem++ при решении соответствующих краевых задач для систем квазилинейных параболических уравнений в областях с подвижными границами методом конечных элементов с использованием распараллеливания вычислений.
format	Article
author	Герус, В.А. Иванчук, Н.В. Мартынюк, П.Н.
author_facet	Герус, В.А. Иванчук, Н.В. Мартынюк, П.Н.
author_sort	Герус, В.А.
title	Системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета FreeFem++ и распараллеливания вычислений
title_short	Системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета FreeFem++ и распараллеливания вычислений
title_full	Системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета FreeFem++ и распараллеливания вычислений
title_fullStr	Системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета FreeFem++ и распараллеливания вычислений
title_full_unstemmed	Системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета FreeFem++ и распараллеливания вычислений
title_sort	системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета freefem++ и распараллеливания вычислений
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144858
citation_txt	Системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета FreeFem++ и распараллеливания вычислений / В.А. Герус, Н.В. Иванчук, П.Н. Мартынюк // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 123–133. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT gerusva sistemnyjpodhodkmatematičeskomuikompʹûternomumodelirovaniûgeomigracionnyhprocessovsispolʹzovaniempaketafreefemirasparallelivaniâvyčislenij AT ivančuknv sistemnyjpodhodkmatematičeskomuikompʹûternomumodelirovaniûgeomigracionnyhprocessovsispolʹzovaniempaketafreefemirasparallelivaniâvyčislenij AT martynûkpn sistemnyjpodhodkmatematičeskomuikompʹûternomumodelirovaniûgeomigracionnyhprocessovsispolʹzovaniempaketafreefemirasparallelivaniâvyčislenij
first_indexed	2025-07-10T20:22:30Z
last_indexed	2025-07-10T20:22:30Z
_version_	1837292802719875072
fulltext	ÓÄÊ 517.9:519.6 Â.À. ÃÅÐÓÑ, Í.Â. ÈÂÀÍ×ÓÊ, Ï.Í. ÌÀÐÒÛÍÞÊ ÑÈÑÒÅÌÍÛÉ ÏÎÄÕÎÄ Ê ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ È ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÌÓ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÞ ÃÅÎÌÈÃÐÀÖÈÎÍÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ ÏÀÊÅÒÀ FreeFem++ È ÐÀÑÏÀÐÀËËÅËÈÂÀÍÈß ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ Àííîòàöèÿ. Îïèñàí ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé âçàèìîñâÿ- çàííûõ ïðîöåññîâ â ïîðèñòûõ ñðåäàõ, èñõîäÿ èç ñëîæíîé ìíîãîêîìïîíåíò- íîé ñèñòåìû. Ïîêàçàíû âîçìîæíîñòè ïàêåòà FreeFem++ ïðè ðåøåíèè ñîîò- âåòñòâóþùèõ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ñèñòåì êâàçèëèíåéíûõ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé â îáëàñòÿõ ñ ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåí- òîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ âû÷èñëåíèé. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòåìàòè÷åñêîå è êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå, ìíîãî- êîìïîíåíòíûå ïîðèñòûå ñðåäû, õèìè÷åñêàÿ è ìåõàíè÷åñêàÿ ñóôôîçèè, ôèëüòðàöèîííàÿ êîíñîëèäàöèÿ, òåïëîìàññîïåðåíîñ, ñâîáîäíàÿ ïîäâèæíàÿ ãðàíèöà, ñèñòåìû êâàçèëèíåéíûõ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ìåòîä êîíå÷- íûõ ýëåìåíòîâ, FreeFem++, ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëåíèÿ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ãåîèíôîðìàòèêè, èñ- ïîëüçóåìàÿ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ äèíàìèêè ïðîöåññà íåèçîòåðìè÷åñ- êîé ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè äå- ôîðìèðóåìûõ ïîðèñòûõ ñðåä. Èçó÷åíèå êîíñîëèäàöèîííûõ ïðîöåññîâ â íà- ñûùåííûõ äåôîðìèðóåìûõ ïîðèñòûõ ñðåäàõ ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé çàäà÷åé, â ÷àñòíîñòè â ñâÿçè ñ âîïðîñàìè îáåñïå÷åíèÿ áåçîïàñíîñòè è íàäåæíîñòè òà- êèõ èíæåíåðíûõ îáúåêòîâ, êàê ïîâåðõíîñòíûå íàêîïèòåëè áûòîâûõ è ïðî- ìûøëåííûõ ñòîêîâ, îõðàíû ïîäçåìíûõ âîä îò çàãðÿçíåíèé òîêñè÷íûì ñîäåð- æèìûì íàêîïèòåëåé è äð. [1–4]. Íåðåäêî íàêîïèòåëè çàïîëíÿþòñÿ îòõîäàìè ïðîìûøëåííîñòè — êîíöåíòðèðîâàííûìè õèìè÷åñêèìè ðàñòâîðàìè. Äëÿ îöåíêè ïðîöåññîâ êîíñîëèäàöèè èõ îñíîâàíèé íåêîððåêòíî èñïîëüçîâàòü êëàñ- ñè÷åñêóþ òåîðèþ ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè, îñíîâàííóþ íà ïðåäïîëîæå- íèè, ÷òî ôèëüòðàò â ìàññèâå ÿâëÿåòñÿ ÷èñòîé âîäîé. Êðîìå òîãî, ïðèðîäíûå ïîðèñòûå ñðåäû ìíîãîêîìïîíåíòíû è èññëåäîâàíèå ôèçèêî-õèìè÷åñêèõ ïðî- öåññîâ â íèõ òðåáóåò ó÷åòà âçàèìîâëèÿíèÿ è âçàèìîçàâèñèìîñòåé ýòèõ ïðîöåñ- ñîâ, à òàêæå ðàññìîòðåíèÿ ïîðèñòîé ñðåäû êàê ñëîæíîé ìíîãîêîìïîíåíòíîé ñèñòåìû [5]. Âçàèìîñâÿçàííûå ïðîöåññû, â ÷àñòíîñòè òåïëîïåðåíîñ â ïîðèñ- òûõ ñðåäàõ, èññëåäîâàíû â [6, 7]. Â ðàáîòàõ [1–4, 8, 9] èçó÷åíû âçàèìîñâÿçàí- íûå ïðîöåññû â ãðóíòàõ, îäíèì èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ìèãðàöèÿ ñîëåé, èîíîâ è íàëè÷èå â ïîðàõ ãðóíòà ýëåêòðîëèòîâ (â îáùåì — ïðîöåññû ìàññîïåðåíîñà). Â [3, 10, 11] ðàññìîòðåíû âçàèìîñâÿçàííûå ïðîöåññû ôèëüòðîâàíèÿ, ìèãðàöèè íàíî÷àñòèö, ñóôôîçèè è êîëüìàòàöèè â ïîðèñòûõ ñðåäàõ. Â ñëó÷àå èññëåäîâàíèÿ â ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ïîðèñòûõ ñðåäàõ íåñêîëüêèõ âçàèìîñâÿçàííûõ ïðîöåññîâ èõ âçàèìíûå âëèÿíèÿ ìîãóò ó÷èòûâàòüñÿ äâóìÿ ñïî- ñîáàìè: 1) íåïîñðåäñòâåííîå âçàèìîäåéñòâèå ïîòîêîâ êîìïîíåíòîâ (õèìè÷åñêèé îñìîñ, òåðìè÷åñêèé îñìîñ, òåðìîäèôôóçèÿ ðàñòâîðåííûõ âåùåñòâ è ò.ï. [4; 12, chap. 9]); 2) çàäàíèå çàâèñèìîñòè ïàðàìåòðîâ ïîðèñòîé ñðåäû (ïîðèñòîñòü, êîýô- ôèöèåíò ïîðèñòîñòè, êîýôôèöèåíò ôèëüòðàöèè è ò.ä.) îò îïðåäåëÿþùèõ ïàðà- ìåòðîâ ïðîöåññîâ (òåìïåðàòóðà, êîíöåíòðàöèÿ õèìè÷åñêèõ âåùåñòâ, êîíöåíòðà- öèÿ ñóôôîçèîííûõ ÷àñòèö, íàïîð â ïîðîâîé æèäêîñòè). Â ðàáîòàõ [13, 14] ñèñ- òåìíûå âçàèìîçàâèñèìîñòè õàðàêòåðèñòèê ïðîöåññîâ (êîíöåíòðàöèÿ õèìè÷åñêèõ âåùåñòâ, êîíöåíòðàöèÿ ñóôôîçèîííûõ ÷àñòèö, òåìïåðàòóðà, íàïîð èëè äàâëåíèå ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 123 � Â.À. Ãåðóñ, Í.Â. Èâàí÷óê, Ï.Í. Ìàðòûíþê, 2018 â ïîðîâîé æèäêîñòè è ò.ä.) è ïàðàìåòðîâ ïîðèñòîé ñðåäû ïðåäëîæåíî îïðåäåëÿòü íå èç íåïîñðåäñòâåííûõ ñîîáðàæåíèé ïðè âûâîäå óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ïîðèñòîé ñðåäû, à ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëíîé ïðîèçâîäíîé âî âðåìåíè. Òîãäà, íàïðèìåð, óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè æèäêîãî êîìïîíåíòà ãðóíòà ïðèîáðåòàåò âèä d dt p p ( ) ( ) � � �� u 0. Çäåñü � — ïîðèñòîñòü ïîðèñòîé ñðåäû, � p — ïëîòíîñòü ïîðîâîé æèäêîñòè, u — âåêòîð ñêîðîñòè ôèëüòðàöèè. Â òàêîì ñëó÷àå ïðè âîçíèêíîâåíèè íîâî- ãî ôàêòîðà åãî âëèÿíèå íà óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè ó÷èòûâàåòñÿ àâòîìàòè- ÷åñêè, ïîñêîëüêó d dt t s s ti i i n� � � � � � � � � � �� 1 , ãäå S � � { }si i n 1 — âåêòîð-ôóíêöèÿ ôàêòîðîâ âëèÿíèÿ. Ïðè îòñóòñòâèè ôàêòîðîâ âëèÿíèÿ d dt t � � � � � è ïîëó÷àåì êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè æèäêîãî êîìïîíåíòà. Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü ôàêòîðû âëèÿíèÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî èçâåñòíà çàâèñèìîñòü � �� ( , )t S (èç òåîðåòè÷åñêèõ ñîîáðàæå- íèé èëè íàòóðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ). Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû è äëÿ óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè òâåðäîãî êîìïîíåíòà ïîðèñòîé ñðåäû. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè âçàèìîñâÿçàííûõ ïðîöåññîâ â ãåòåðîãåííûõ ïîðèñ- òûõ ñðåäàõ, êàê ïðàâèëî, îïèñûâàþòñÿ íåëèíåéíûìè êðàåâûìè çàäà÷àìè. Íàëè- ÷èå íåñêîëüêèõ ïðîöåññîâ, êðîìå òîãî, ïðèâîäèò ê êðàåâûì çàäà÷àì äëÿ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðå- íèÿ ìíîãèå ïðîöåññû ïðåäóñìàòðèâàþò íàëè÷èå ïîäâèæíûõ ãðàíèö â îáëàñòÿõ, â êîòîðûõ òàêèå ïðîöåññû èññëåäóþòñÿ. Â ÷àñòíîñòè, ýòî ñâÿçàíî ñ íàáóõàíèåì ïîðèñòûõ ñðåä ïðè èçìåíåíèè ðåæèìà âëàæíîñòè, òåðìè÷åñêèì ðàñøèðåíèåì êîìïîíåíòîâ ïîðèñòûõ ñðåä ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû, ðàñòâîðåíèåì è êðèñ- òàëëèçàöèåé (õèìè÷åñêàÿ ñóôôîçèÿ), ïðîñåäàíèåì ïîâåðõíîñòè ãðóíòà â ñëó÷àå âîçâåäåíèÿ çäàíèé, ôèëüòðàöèîííûìè ðàçðóøåíèÿìè (ðàçìûâ, ñóôôîçèÿ) ïîðèñ- òûõ ñðåä è äð. Ïîýòîìó ïîñòðîåííûå ìîäåëè îòíîñÿòñÿ ê çàäà÷àì ñòåôàíîâñêîãî òèïà. Îòñþäà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â ýôôåêòèâíûõ ìåòîäàõ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òàêèõ êðàåâûõ çàäà÷ [15–17]. Äàííàÿ ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà ðàçðàáîòêå ìåòîäèêè ñèñòåìíîãî ïîäõîäà ê ìàòå- ìàòè÷åñêîìó è êîìïüþòåðíîìó ìîäåëèðîâàíèþ âîçäåéñòâèÿ ÿâëåíèé ñóôôîçèè íà ïðîñåäàíèå ïîâåðõíîñòè ïîðèñòîé ñðåäû â õîäå ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäà- öèè ãðóíòà ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ âçàèìîñâÿçàííûõ ïðîöåññîâ òåïëî- è ñîëåïåðåíîñà. Öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ òàêæå îïðåäåëåíèå âîçìîæíîñòåé ïàêåòà FreeFem++ [18] ïðè ðåøåíèè ïîñòàâëåííûõ íåëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷ ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ (ÌÊÝ) ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ âû÷èñëåíèé. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ È ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè ãðóíòà ñ ó÷åòîì ÿâëåíèé õèìè÷åñêîé è ìåõàíè÷åñêîé ñóôôîçèé, êîòîðûé çàíèìàåò îáëàñòü � ñ ãðàíè- öåé . Ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü óêàçàííîé çàäà÷è ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ ðàáîò [13, 14] è âëèÿíèÿ òåïëî-ñîëåïåðåíîñà îïèøåì ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷åé: R a R h t e s t e N tN � � �1 1 1 1 12 2 � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � e T T t c c t T T tp p p m m m1 1 � � � � � � N N t � � � � � � � � � � � � � � (1) � � � � � � � �( ) ( ( , , , ) ), ( ),1 0e c T s N h c T t tc TK K K Zh � , 124 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 � � � � � 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �c c c t c c cp p p p ( )D uc � � �c � � � � � � � � � � � � � � � � � c T T t T T N tp p p � � � � u , Z � �� ( ),t t 0, (2) � � � � � � s t s ser( )D us � , Z � �� ( ),t t 0, (3) c T t T c T c s t c N t TT p p s s N N � � � � � � � � � � � � � � � �( )� � � �u , Z � �� ( ), ,t t 0 (4) � � � N t C cm� 1 ( ), Z �� ( )t , t � 0, (5) u K K Kh� � � � � �( , , , )c T s N h c Tc T , Z �� ( )t , t � 0, (6) q Z D uc c( , )t c c� � � , Z �� ( )t , t � 0, (7) q Z uT ( , )t T c Tp p� � �� , Z �� ( )t , t � 0, (8) q Z D us s( , )t s ser� � � � , Z �� ( )t , t � 0, (9) h t H t( , )\| ( , ),Z Z Z 1 1 1� � , ( ( , ), )\|u Z nt 2 0� , (10) c t C t( , )\| ( , ),Z Z Z 1 1 1� � , ( ( , ), ) \|q Z nc t 2 0� , (11) T t T t( , )\| ( , ),Z Z Z 1 1 1� � , ( ( , ), )\|q Z nT t 2 0� , (12) s t S t( , )\| ( , ),Z Z Z 1 1 1� � , ( ( , ), )\|q Z ns t 2 0� , (13) dl t dt e e T T t cpl t L p p( , ) ( ) ( , ) ( ) X X X � � � � � � � � � � � � � � � � 1 c t� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� e e T T t N N t s s tm m m m � � � � ( )1 u � dz, (14) l t lt( , )\| ( )X X� �0 0 , (15) h h( , ) ( )Z Z0 0� , c C( , ) ( )Z Z0 0� , T T( , ) ( )Z Z0 0� , N N( , ) ( )Z Z0 0� , s S( , ) ( )Z Z0 0� , Z ��. (16) Çäåñü R — ðàçìåðíîñòü çàäà÷è; � — êîýôôèöèåíò áîêîâîãî äàâëåíèÿ ãðóíòà; � p — ïëîòíîñòü ïîðîâîãî ðàñòâîðà; c t( , )Z — êîíöåíòðàöèÿ ñîëåé â ïîðîâîì ðàñòâîðå; � — óäåëüíûé âåñ ñîëåâîãî ðàñòâîðà; a — êîýôôèöèåíò ñæèìàåìîñ- òè ãðóíòà; h t( , )Z — íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ èçáûòî÷íûõ íàïîðîâ â ïîðîâîé æèäêîñòè; t — âðåìÿ; e — êîýôôèöèåíò ïîðèñòîñòè ãðóíòà; s t( , )Z — îòíîñè- òåëüíàÿ îáúåìíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ñóôôîçèîííûõ ÷àñòèö; � N — ïëîòíîñòü òâåðäîãî êîìïîíåíòà ñîëåé; N t( , )Z — ìàññîâàÿ êîíöåíòðàöèÿ ñîëåé â òâåð- äîì êîìïîíåíòå; T t( , )Z — òåìïåðàòóðà ïîðèñòîé ñðåäû; � m — ïëîòíîñòü òâåðäûõ ÷àñòèö ãðóíòà (âêëþ÷àÿ âîäîðàñòâîðèìûå è íåðàñòâîðèìûå êîìïî- íåíòû); Kh (Ô) — êîýôôèöèåíò ôèëüòðàöèè, çàâèñÿùèé îò âåêòîðà ôàêòîðîâ ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 125 âëèÿíèÿ Ô � ( , , , )c T s N ; Kc , KT — êîýôôèöèåíòû õèìè÷åñêîãî è òåðìè÷åñêî- ãî îñìîñà ñîîòâåòñòâåííî; � — ïîðèñòîñòü ãðóíòà (� � � e e1 , ãäå e — êîýôôè- öèåíò ïîðèñòîñòè ãðóíòà); Dc — êîýôôèöèåíò êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè õèìè- ÷åñêîãî ðàñòâîðà â ïîðîâîé æèäêîñòè; u — âåêòîð ñêîðîñòè ôèëüòðàöèè ñîëå- âîãî ðàñòâîðà; cT — îáúåìíàÿ òåïëîåìêîñòü ãðóíòà; � — êîýôôèöèåíò ýôôåêòèâíîé òåïëîïðîâîäíîñòè âëàæíîãî ãðóíòà; cp , cN , cs — óäåëüíûå òåï- ëîåìêîñòè ïîðîâîãî ðàñòâîðà, òâåðäîãî êîìïîíåíòà ñîëåé è ñóôôîçèîííûõ ÷àñòèö ñîîòâåòñòâåííî; Ds — êîýôôèöèåíò äèñïåðñèè ñóôôîçèîííûõ ÷àñòèö; � er — êîýôôèöèåíò ðàçìûâà ãðóíòà; � 1 — êîíñòàíòà ñêîðîñòè ìàññîîáìåíà; Cm — êîíöåíòðàöèÿ ïðåäåëüíîãî íàñûùåíèÿ; qc , qT, qs — âåêòîðû ïîòîêîâ ðàñòâîðåííûõ ñîëåé, òåïëà, à òàêæå ñóôôîçèîííûõ ÷àñòèö ñîîòâåòñòâåííî; n — âåêòîð íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ âíåøíåé íîðìàëè ê ãðàíèöå îáëàñòè; ( , )a b — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ — a è b; H t1 ( , )Z , C t1 ( , )Z , T t1 ( , )Z , S t1 ( , )Z , h0 ( )Z , C0 ( )Z , T0 ( )Z , S 0 ( )Z , N 0 ( )Z — çàäàííûå ôóíêöèè. Óðàâíåíèå (1) îïèñûâàåò èçìåíåíèå èçáûòî÷íûõ íàïîðîâ â ïîðîâîé æèäêîñ- òè ãðóíòà, êîòîðûé íàõîäèòñÿ â ïðîöåññå êîíñîëèäàöèè; ñõåìà åãî âûâîäà ïðèâå- äåíà â ðàáîòå [13]. Ñèñòåìíûé ó÷åò âçàèìîñâÿçàííûõ ïðîöåññîâ â ìàòåìàòè÷åñ- êîé ìîäåëè (1)–(16) îñóùåñòâëåí äâóìÿ ïóòÿìè: 1) â ôîðìóëå (6) ó÷òåíî âçàèì- íîå âëèÿíèå ãðàäèåíòîâ íåèçâåñòíûõ ôàêòîðîâ (òåìïåðàòóðà, êîíöåíòðàöèÿ ñîëåé, íàïîð) íà ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè; 2) òàêèå âëèÿíèÿ ó÷òåíû ïîñðåäñòâîì çà- âèñèìîñòè ïàðàìåòðîâ ïîðîâîé æèäêîñòè (ïëîòíîñòü, êîýôôèöèåíò ôèëüòðàöèè) è ïàðàìåòðîâ òâåðäîãî êîìïîíåíòà îò ôóíêöèé-ôàêòîðîâ âîçäåéñòâèÿ. Óñëî- âèå (14) âûâåäåíî â ðàáîòå [14] è îïèñûâàåò èçìåíåíèå ïîëîæåíèÿ âî âðåìåíè âåðõíåé ïîäâèæíîé ãðàíèöû ãðóíòà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ãðóíò ìîæåò ïðîñåäàòü òîëüêî çà ñ÷åò âåðòèêàëüíûõ ñìåùåíèé. Â ìîìåíò âðåìåíè t âåðõíÿÿ ãðàíèöà ãðóíòà â òî÷êå Z � ( , , )x y z îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì z l t� ( , )X , ãäå X � ( , )x y . Çäåñü èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âåðòèêàëüíîìó îòðåçêó [ ( , ); ( )]l t LX X , l t( , )X — âåðõíÿÿ ãðàíèöà ãðóíòà, L( )X — íèæíÿÿ íåïîäâèæíàÿ ãðàíèöà ãðóíòà. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (10)–(13) çàäàíû íà ÷àñòÿõ 1 è 2 ãðàíèöû ; âî èçáåæà- íèå ëèøíèõ îáîçíà÷åíèé ýòè óñëîâèÿ âûáðàíû îäèíàêîâûìè äëÿ âñåõ íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé. Íà ïðàêòèêå âûäåëåííûå óñëîâèÿ ìîãóò îòëè÷àòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò õà- ðàêòåðà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè. Ïîëàãàåì òàêæå 1 2� � , 1 2� � �. ÑÕÅÌÀ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È ÌÅÒÎÄÎÌ ÊÎÍÅ×ÍÛÕ ÝËÅÌÅÍÒÎÂ Äëÿ îòûñêàíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ïîëó÷åííîé íåëèíåéíîé êðàåâîé çàäà- ÷è èñïîëüçóåì ÌÊÝ. Ïðèáëèæåííîå îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1)–(16) èùåì â âèäå ( ( , ); ( , ); ( , ); ( , ); ( , )) ( ) ( )( )h t c t T t s t N t a tj k jZ Z Z Z Z Z� � j n k� � � � � � �� 1 1 5 , (17) ãäå n — êîëè÷åñòâî óçëîâ â êîíå÷íîýëåìåíòíîì ïîêðûòèè çàìûêàíèÿ � ( )t îá- ëàñòè � ( )t ; a tj k( ) ( ), j n�1, , k �1 5, , — íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû, çàâèñÿùèå òîëüêî îò âðåìåíè; � j ( )Z — ïîëèíîìèàëüíûå áàçèñíûå ôóíêöèè ÌÊÝ. Èñïîëüçóÿ èçâåñòíóþ ïðîöåäóðó ÌÊÝ [4, 16–18], ñ ó÷åòîì (17) ïîëó÷àåì çà- äà÷ó Êîøè äëÿ ñèñòåìû íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëü- íî âåêòîðà A A( ) ( )( )t tk k � � { } 1 5 R A G A A F( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )pk k k pk k k id dt� � � �� 1 5 1 5 , p �1 5, , (18) R A F( ) ( )( ) ( ), ,p p p p0 1 5� � , (19) 126 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 ãäå A ( ) ( )( ) ( )k i k i nt a t� � { } 1 , A A( )( ) ( ) ( )\|k k tt0 0� � , R ( ) ( ) , ( )pk ij pk i j nr t� � { } 1 , G ( ) ( ) , ( )pk ij pk i j ng t� � { } 1 , F ( ) ( )k i k i nf� � { } 1 , R ( ) ( ) , ( )k ij k i j nr t� � { } 1 , F ( ) ( )k i k i nf� � { } 1 , r R R dij i j ( ) ( ) 11 1 1 � � �� Z � , r e a c dij p p i j ( )12 � � �� Z � , r e a T e a T dij p p m m i j ( )13 � � � � � � � � � � �� Z � , r e a dij i j ( ) ( )14 21 � � � � � � Z � , r e a e a N dij N m m j j ( ) ( )15 21 � � � � � � � � � �� Z � , g e a dij i j ( ) ( ) ( )11 1 � � � �� K Ô Zh � , g e a dij i j ( ) ( )12 1 � � � �� K Zc � , g e a dij i j ( ) ( )13 1 � � � �� K ZT � , r c c dij p p i j ( )22 1� � � � � � � � �� Z , r c T dij p p i j ( )23 � � �� Z � , r dij j i ( )25 � � � � Z � , g d c c dij i j p p j i ( )22 1� � � � � � � � � � � � �� D Z u Zc � � � � � � � � , g c T dij p p j i ( )23 � � � �� u Z � , r c dij T i j ( )33 � � � � Z � , r c dij s s i j ( )34 � � � � � Z � , r c dij N N i j ( )35 � � � � � Z � , g d c dij i j p p j i ( )33 � � � � �� Z u Z � � , r dij i j ( )44 � � � � Z � , g d dij i j er j i ( )44 � � � � �� D Z u Zs � � � � � � � , r dij i j ( )55 � � � � Z � , g dij i j ( )25 1� � � � � Z � , f C di m i ( )5 1� � � � Z � , r dij k i j ( ) � � � � Z � , k � 2 5, , f h di i ( )1 0� � � Z � , f C di i ( )2 0� � � Z � , f T di i ( )3 0� � � Z � , f S di i ( )4 0� � � Z � , f N di i ( )5 0� � � Z � . Ýëåìåíòû ìàòðèö â (18), (19), êîòîðûå íå îïðåäåëåíû ñîãëàñíî óêàçàííûì ôîðìóëàì, ïðèíèìàþòñÿ ðàâíûìè íóëþ. Äëÿ îòûñêàíèÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (18), (19) ðàçäåëèì âðå- ìåííîé îòðåçîê [ ; ]max0 t íà M îäèíàêîâûõ ÷àñòåé ñ øàãîì � � t M max . Îáîçíà÷èì A A( ) ( )( )m m k k � � { } 1 5 ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (18), (19) ïðè t m� �. Ââåäåì åùå îáîçíà÷åíèå A A A( / ) ( ) ( )( )m m m� �� 1 2 11 2 . Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 127 ñèñòåìû íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (18) ïîëó÷èì ñ ïîìîùüþ ñõåìû Êðàíêà–Íèêîëñîíà [16] R A A G A A( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) (( )pk k m k m k pk k m � � � �� 1 5 1 1 5 1 2 � m k m p� ��1 2 1 2)( ) ( )( )F , p �1 5, , m M� 0 1 2 1, , , ..., . Ïîñêîëüêó ñõåìà Êðàíêà–Íèêîëñîíà òðåáóåò ðåøåíèÿ íà êàæäîì âðåìåííîì ñëîå ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé, âî èçáåæàíèå ýòèõ òðóäíîñòåé ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ìîæíî èñêàòü, èñïîëüçóÿ ñõåìó ïðåäèêòîð-êîððåêòîð [16]. ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß ÑÂÎÁÎÄÍÎÉ ÃÐÀÍÈÖÛ Ñîãëàñíî [15] â àëãîðèòìàõ àïïðîêñèìàöèè ñâîáîäíûõ ãðàíèö âûäåëÿþò äâå áîëüøèå ãðóïïû: àëãîðèòìû îòñëåæèâàíèÿ è àëãîðèòìû óëàâëèâàíèÿ. Óñëî- âèå (14) ïîçâîëÿåò ëåãêî îòñëåæèâàòü ïîëîæåíèå ñâîáîäíîé ãðàíèöû z l t� ( , )X âî âðåìåíè. Äëÿ ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ïðåäëîæåííîãî àëãîðèòìà ïðåîáðà- çóåì ïðàâóþ ÷àñòü (14). Èç óðàâíåíèÿ (1) èìååì � � � � � � � � � � � � � � �u R a R e h t e s t e N tN � � �( ( ) )( ) ( ) 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �e e T T t c c t T T tp p p m m 1 1 1 � � � � � � m N N t� � � � � � � � � � � . Ïîäñòàâèâ ýòî ðàâåíñòâî â (14), ïîëó÷èì dl t dt R a R e h t e s t e N N ( , ) ( ( ) )( ) ( ) X � � � � � � � � � �� 1 1 1 1 1 � � � � � �� t dz l t L ( , ) ( ) X X . (20) Ïðåèìóùåñòâî óñëîâèÿ (20) ïåðåä (14) î÷åâèäíî (â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ÌÊÝ). Íàëè÷èå â óñëîâèè (14) �u ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è ïî êðàéíåé ìåðå äâàæäû äèôôåðåíöèðîâàííû. Ýòî òðåáîâàíèå íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèÿ íà èñïîëüçîâàíèå áàçèñíûõ ôóíêöèé â (17); â ÷àñòíîñ- òè, íåâîçìîæíî ïðèìåíåíèå êóñî÷íî-ëèíåéíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé. Â îáùåì, ñõåìàòè÷åñêèé àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)–(16) èìååò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó. Ïðè èçâåñòíîì ïîëîæåíèè ñâîáîäíîé ãðàíèöû l l tm m m ( ) ( )( , )� X íåèç- âåñòíûå ôóíêöèè èùóòñÿ íà ñëåäóþùåì âðåìåííîì øàãå tm�1, m � 0 1 2, , , ... Çäåñü X ( )m îçíà÷àåò ïåðåìåííóþ òî÷êó íà ñâîáîäíîé ãðàíèöå, îïðåäåëåííóþ ïðè t mm � �. Äàëåå, ñ èñïîëüçîâàíèåì íàéäåííûõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ íîâîå ïîëî- æåíèå l l tm m m ( ) ( )( , )� � ��1 1 1X . Ýòà îïåðàöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðà- çîì. Ïåðåáèðàþòñÿ âñå óçëû Zi m i m i m i mx y z( ) ( ) ( ) ( )( , , )� , i n�1, , êîíå÷íîýëåìåíòíîé ñåòêè. Äëÿ óïðîùåíèÿ ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáëàñòü, â êîòîðîé èññëåäóåòñÿ ïðî- öåññ, âûïóêëà. Ñîãëàñíî óïðîùàþùèì ïðåäïîëîæåíèÿì [14] â óñëîâèè (20) ó÷è- òûâàþòñÿ òîëüêî âåðòèêàëüíûå ïðîñåäàíèÿ. Òîãäà â íîâîì ïîëîæåíèè Zi m( )�1 óçëà Zi m( ) íåèçâåñòíîé è ïåðåìåííîé áóäåò òîëüêî zi m( )�1 , â òî âðåìÿ êàê x xi m i m( ) ( )� �1 , y yi m i m( ) ( )� �1 . Ñ ó÷åòîì (20) èìååì 128 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 z z R a R e h hi m i m m m( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )( ) � � � � � � � 1 1 1 1 1� � � � z L i m i m ( ) ( ) ( )X � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 e s s e N N dz m m N m m � � � . (21) Èíòåãðàëû â (21) íà îòðåçêå [ ; ( )]( ) ( )z Li m i mX íàõîäèì, èñïîëüçóÿ ëþáóþ ôîð- ìóëó ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîñêîëüêó ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé â (17) — ïîëèíîìû, öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü, íàïðèìåð, êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû Ãàóññà. Ïàêåò FreeFem++ [18] ïîçâîëÿåò àâòîìàòèçèðîâàòü ðåøåíèå êðàåâûõ çàäà÷ ÌÊÝ è ñîäåðæèò ýëåìåíòû C++-ïîäîáíîãî îáúåêòíî-îðèåíòèðîâàííîãî ÿçûêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïîëüçîâàòåëü çàäàåò îáëàñòü, â êîòîðîé èùåòñÿ ðåøåíèå çàäà- ÷è, ïóòåì àíàëèòè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêè óðàâíåíèé åå ãðàíèöû. Äëÿ ïðèáëèæåííî- ãî ðåøåíèÿ çàäà÷è òðåáóåòñÿ çàïèñü åå ñëàáîé ïîñòàíîâêè, ò.å. ñâåäåíèå çàäà÷è ê âèäó (18), (19) ñèñòåìà ôàêòè÷åñêè îñóùåñòâëÿåò ñàìà. Ïðàêòè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ñõåìû (21) â ñðåäå FreeFem++ íå âûçûâàåò ïðèíöèïèàëüíûõ òðóäíîñòåé — ýòî äâà âëîæåííûõ öèêëà: âíåøíèé ðåàëèçóåò ïåðåáîð âñåõ óçëîâ ñåòêè, à âíóòðåííèé — íåêîòîðóþ êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó. Îáðàùåíèå ê íîìåðàì è êîîðäèíàòàì óçëîâ êîíå÷íîýëåìåíòíîé ñåòêè îñóùåñòâëÿåòñÿ ñòàíäàðòíî, êàê ê ñâîéñòâàì îáúåêòîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ êëàññîâ. Îäíîé èç ïîëîæèòåëüíûõ âîçìîæíîñòåé FreeFem++ ÿâ- ëÿåòñÿ øèðîêèé íàáîð ñðåäñòâ äëÿ âèçóàëèçàöèè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé. ÐÀÑÏÀÐÀËËÅËÈÂÀÍÈÅ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ Ðàñïàðàëëåëèâàíèå âû÷èñëåíèé — ýôôåêòèâíûé èíñòðóìåíò óìåíüøåíèÿ çà- òðàò ìàøèííîãî âðåìåíè íà ðåøåíèå ïðèêëàäíûõ çàäà÷ [19–23]. Âîçìîæíîñòè ïàêåòà FreeFem++ îòíîñèòåëüíî ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ êàñàþòñÿ ïðèìåíåíèÿ ïà- ðàëëåëüíûõ ðåøàòåëåé äëÿ ðàçðåæåííûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ) [18, chap. 11]. Îäíèì èç òàêèõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ MUMPS (MUltifrontal Massively Parallel Solver) [24]. Äëÿ äåòàëüíîãî îçíàêîìëåíèÿ ñ âîçìîæíîñòÿìè ìåòîäà îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùåãî ïàêåòà ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì äëÿ ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ âû÷èñëåíèé èìååòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëèòå- ðàòóðà, íàïðèìåð [18, chap. 11, § 11.2.1]. Íà ðèñ. 1 ãðàôè÷åñêè îò- ðàæåíî âëèÿíèå ýôôåêòà ðàñ- ïàðàëëåëèâàíèÿ íà âðåìÿ ðå- øåíèÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è (1)–(16) ñî çíà÷åíèÿìè êîýô- ôèöèåíòîâ, îïðåäåëåííûìè äàëåå. Êàê âèäíî, ýôôåêò íà- ÷èíàåò ïðîÿâëÿòüñÿ ïðè ïðå- âûøåíèè êîëè÷åñòâà óçëîâ 50 òûñÿ÷. Ïðè êîëè÷åñòâå óçëîâ îêîëî 82 òûñÿ÷ âðåìÿ âûïîë- íåíèÿ ñ 15 ìèí óìåíüøàåòñÿ äî 10 ìèí. Çàìåòèì, ÷òî ó ïî- ëüçîâàòåëÿ-èññëåäîâàòåëÿ åñòü âîçìîæíîñòü äîïèñûâàòü è ïîäãðóæàòü ñîáñòâåííûå ìî- äóëè ê ïàêåòó FreeFem++, ðåà- ëèçóþùèå àâòîðñêèå ìåòîäû è èäåè êàñàòåëüíî àëãîðèòìîâ ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé â ÌÊÝ. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 129 Ðèñ. 1. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòè âðåìåíè ðåøåíèÿ çàäà÷è îò êîëè÷åñòâà óçëîâ: 1 — ñ ðàñïàðàëëåëèâàíèåì, 2 — áåç ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ Âðåìÿ, ñ Êîëè÷åñòâî óçëîâ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ È ÈÕ ÀÍÀËÈÇ Â ñåðèè ïðîâåäåííûõ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ èñïîëüçîâàëèñü ñëåäóþùèå çàâèñèìîñòè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ êðàåâîé çàäà÷è (1)–(16). Â ÷àñòíîñòè, êîýô- ôèöèåíò îáúåìíîé òåïëîåìêîñòè ïîðèñòîé ñðåäû c c c s c N cT p p s s N N m m� � � � � � � � � �( )1 0 , ãäå � 0 — ïîðèñòîñòü «ñêåëåòà» ïîðèñòîé ñðåäû (ïîðèñòîñòü â ñëó÷àå ïîëíîãî îòñóòñòâèÿ ñóôôîçèîííûõ è âîäîðàñòâîðèìûõ ÷àñòèö). Ôîðìóëà çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè âîäíîãî ðàñòâîðà NaCl îò åãî êîíöåíòðàöèè c (%) è òåìïåðàòóðû T (�Ñ) èñïîëüçîâàíà èç ðàáîòû [13]. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ôèëüòðàöèè îò ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèõ è õèìè÷åñêèõ ôàêòîðîâ îïðåäåëÿëàñü ñ ïîìîùüþ ìî- äèôèöèðîâàííîé ôîðìóëû Êîçåíè–Êàðìàíà K k c T e e e e h � � � � � � � ��0 0 0 3 1 1 ( , ) , ãäå e0 — íà÷àëüíîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ïîðèñòîñòè; e — êîýôôèöèåíò ïîðèñòîñòè e � � � � � � � �1 ; � � � � ( , ) ( , ) ( , ) Z Z Z t N t s t N s � 0 . Çàâèñèìîñòü k c T0 ( , ) àï- ïðîêñèìèðîâàëàñü ìåòîäîì ðàäèàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé ñîãëàñíî äàííûì íà- òóðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ èç [25]. Êîýôôèöèåíò äèñïåðñèè ñóôôîçèîííûõ ÷àñòèö: Ds � �\| \|u , ãäå � — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò, óñòàíàâëèâàåìûé ýêñïåðèìåíòàëüíî. Çíà÷åíèÿ îñòàëüíûõ âõîäíûõ äàííûõ ñëåäóþùèå: � 0 0 7� . ; e0 0 01 � � � ; c Ñp � �4 128. /êÄæ êã � ; � s � 2200 3êã ì/ ; c Cs � �092. /êÄæ êã � ; � N � 2170 3êã ì/ ; c ÑN � �0 8709. /êÄæ êã � ; � m �1500 3êã ì/ ; c Ñm � �0 8. /êÄæ êã � ; kc � � � 2 8 10 6 5. /ì êã ñóò; k CT � � � 28 10 7 2. /ì ñóò� ; Dc � � 9 51 10 5 2. /ì ñóò; � 1 7 110� ñóò ; � �108 êÄæ ì ñóò/ �Ñ ; � er � 001. ; � � 0 1. ì; Cm � 350 ã ë/ ; C C2 8� �min /ã ë; C Cm4 � ; C C0 � min ; H 2 20� ì; H 4 1� ì; T T0 4� �min �C; N 0 120� êã ì 3/ ; S S2 1� �min /êã ì 3; S S4 � min ; S 0 80� êã ì 3/ . Â êà÷åñòâå ìîäåëüíîé çàäà÷è ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ èññëåäîâàí ïðîöåññ ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè ñóôôîçèîííîãî ãðóíòà ïîä áåòîííûì ãèäðîòåõíè- ÷åñêèì ñîîðóæåíèåì, ãäå ó÷èòûâàþòñÿ ÿâëåíèÿ êàê õèìè÷åñêîé, òàê è ìåõàíè÷åñ- êîé ñóôôîçèé (ðèñ. 2). Íà ãðàíèöàõ 3 è 6 çàäàíû óñëîâèÿ íåïðîíèöàåìîñòè, 1 è 5 — óñëîâèÿ ñèììåòðè÷íîñòè, à ãðàíèöû 2 è 4 äðåíèðîâàííûå. Êîíöåíòðà- öèÿ õèìè÷åñêèõ âåùåñòâ â âåðõíåì áüåôå (ãðàíèöà 2) ðàâíà 350 ã ë ./ Ïðè ýòîì ó÷òåíû ñåçîííûå êîëåáàíèÿ òåìïåðàòóðû îò T Cmax � 40� äî T Cmin � 4� íà ãðàíè- öå êîíòàêòà ãðóíòà ñ àòìîñôåðîé. Ðàçìåðû îáëàñòè ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè (â ìåòðàõ): b1 20� , b2 20� , l �10, l1 10� , l2 10� . Ïîëó÷åíû çíà÷åíèÿ òåìïåðàòó- ðû, êîíöåíòðàöèè ñîëåé â ïîðîâîì ðàñòâîðå, êîíöåíòðàöèè ñóôôîçèîííûõ ÷àñòèö, êîíöåíòðàöèè ñîëåé â òâåðäîì êîìïîíåíòå ãðóíòà è íàïîðîâ íà ïåðèîä âðåìåíè äî 3600 ñóò âêëþ÷èòåëüíî (ïðèìåðíî 10 ëåò). Â òàáë. 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ïðîñåäàíèÿ íåêîòîðûõ òî÷åê âåðõíåé ãðà- íèöû ãðóíòà äëÿ ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ: 1 — áåç ó÷åòà âëèÿíèÿ ñóôôîçèîííûõ ÿâ- ëåíèé; 2 — ñ ó÷åòîì ìåõàíè÷åñêîé ñóôôîçèè; 3 — ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ ìåõàíè÷åñ- êîé è õèìè÷åñêîé ñóôôîçèé. Ïðè ñðàâíåíèè ðåçóëüòàòîâ ïðîñåäàíèÿ ãðóíòà ÷å- ðåç 10 ëåò â ñëó÷àÿõ ó÷åòà è íåó÷åòà âëèÿíèÿ ÿâëåíèé ñóôôîçèé âèäíî, ÷òî îíè ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ (èçìåíåíèå â ïðåäåëàõ 13–108 %). 130 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 Êà÷åñòâåííûé àíàëèç ôèçèêî-õèìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â ãðóíòå ïîçâîëÿåò ñäå- ëàòü âûâîäû î âëèÿíèè ìåõàíèêî-õèìè÷åñêîé ñóôôîçèè íà íåðàâíîìåðíûå ïðî- ñåäàíèÿ ïîâåðõíîñòè ãðóíòà. Îäíàêî ðåàëüíûå ÷èñëîâûå ïðîãíîçû ìîæíî ïîëó- ÷èòü òîëüêî ñðåäñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî è êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííîãî ýêñïåðèìåíòà äëÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è óêàçûâàþò íà âîçìîæíîñòü çíà÷èòåëüíîãî âëèÿíèÿ íà ïðîñåäàíèå ãðóíòà ÿâëåíèé ìåõàíèêî-õèìè- ÷åñêîé ñóôôîçèè. Ïðè ðåøåíèè ðåàëüíûõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ çàäà÷ ïðåäâàðèòåëü- íî äîëæíû áûòü èçâåñòíû âñå ïàðàìåòðû ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ è ãðóíòà êàê ñèñòåìû. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ìíîãîêîìïîíåíòíîñòü èñêóññòâåííûõ è ïðèðîäíûõ ïîðèñòûõ ñðåä, à òàêæå âçàèìîñâÿçàííîñòü è âçàèìîçàâèñèìîñòü ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â íèõ, òðå- áóþò ìåòîäîëîãè÷åñêè ñèñòåìíîãî ïîäõîäà ê ìàòåìàòè÷åñêîìó è êîìïüþòåð- íîìó ìîäåëèðîâàíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÿâëåíèé. Â ñòàòüå ïðåäñòàâëåíû ýëå- ìåíòû ñèñòåìíîãî ïîäõîäà íà ïðèìåðå çàäà÷è êîíñîëèäàöèè íàñûùåííîé ïî- ðèñòîé ñðåäû ñ ó÷åòîì ïðîñåäàíèé åå ïîâåðõíîñòè, à òàêæå âëèÿíèÿ âçàèìîñâÿçàííûõ ïðîöåññîâ ñóôôîçèè, òåïëî- è ñîëåïåðåíîñà. Ïîñòðîåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, â êîòîðîé âëèÿíèå âçàèìîñâÿçàííûõ ïðîöåññîâ ó÷èòûâà- åòñÿ äâóìÿ ñïîñîáàìè: ïåðâûé (èçâåñòíûé) — ó÷åò íåïîñðåäñòâåííîãî âçàèìî- äåéñòâèÿ ïîòîêîâ êîìïîíåíòîâ (õèìè÷åñêèé îñìîñ, òåðìè÷åñêèé îñìîñ è ò.ï.), âòîðîé (â íåêîòîðîé ñòåïåíè àâòîðñêèé) — ÷åðåç çàâèñèìîñòè ïàðàìåòðîâ ïîðèñ- òîé ñðåäû îò îïðåäåëÿþùèõ ïðîöåññû ôóíêöèé (òåìïåðàòóðà, êîíöåíòðàöèÿ õè- ìè÷åñêèõ âåùåñòâ, íàïîð â ïîðîâîé æèäêîñòè) è èñïîëüçîâàíèå â óðàâíåíèÿõ íå- ðàçðûâíîñòè êîìïîíåíòîâ ïîðèñòîé ñðåäû ïîëíîé ïðîèçâîäíîé âî âðåìåíè. Ïðè ïðèìåíåíèè òàêîãî ïîäõîäà âûâîä ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé óïðîùàåòñÿ. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 131 x y O (b2; l) � (b1; l) (b1; 0) (b2; 0)(l1; 0) (l2; 0) 5 4 1 2 3 6 H2 H4 Ðèñ. 2. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå îáëàñòè � ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè Ñëó÷àè ïðîñåäàíèÿ òî÷åê ãðóíòà Ðàñ÷åòíûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí (cì) ïðîñåäàíèÿ òî÷åê ïîâåðõíîñòè ãðóíòà ñ êîîðäèíàòàìè 20 10 0 10 20 1 0,14 0,85 9,98 19,91 28,34 2 0,23 ( %)� 68 1,70 ( %)�100 12,81 ( %)� 28 23,53 ( %)�18 32,10 ( %)�13 3 0,26 ( %)�90 1,77 ( %)�108 12,97 ( %)� 30 23,76 ( %)�19 32,20 ( %)�14 Ò à á ë è ö à 1 Ïîêàçàíû âîçìîæíîñòè ïàêåòà FreeFem++ ïî ðåàëèçàöèè ñõåì ÌÊÝ îòíîñè- òåëüíî ìîäåëåé, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ êðàåâûìè çàäà÷àìè äëÿ ñèñòåì êâàçèëèíåé- íûõ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé â îáëàñòÿõ ñ ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè. Èçìåíåíèÿ ïîëîæåíèÿ âåðõíåé ãðàíèöû èññëåäóåìîãî ìàññèâà ãðóíòà — ñëåäñòâèå êàê óïëîòíå- íèÿ (êîíñîëèäàöèè), òàê è ðàñòâîðåíèÿ ñîëåé (õèìè÷åñêàÿ ñóôôîçèÿ), à òàêæå âû- íîñà ÷àñòè òâåðäûõ ÷àñòèö ôèëüòðàöèîííûì ïîòîêîì çà ïðåäåëû îáëàñòè (ìåõàíè- ÷åñêàÿ ñóôôîçèÿ). Íà ïðèìåðå ìîäåëüíîé çàäà÷è ïîêàçàíû èçìåíåíèÿ ïðîñåäàíèé ãðóíòà (13–108%) ïðè ó÷åòå ÿâëåíèé ñóôôîçèè. Ýôôåêò ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ âû- ÷èñëåíèé (â ïàêåòå FreeFem++) ê ñèñòåìå ÷åòûðåõ êâàçèëèíåéíûõ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé íà÷èíàåò ïðîÿâëÿòüñÿ ïðè ïðåâûøåíèè êîëè÷åñòâà óçëîâ 50 òûñÿ÷ (ïðè èñïîëüçîâàíèè êâàäðàòè÷åñêèõ áàçèñíûõ ôóíêöèé è òðåóãîëüíûõ êîíå÷íûõ ýëå- ìåíòîâ). Èññëåäîâàòåëü ìîæåò ëåãêî ïîäêëþ÷àòü àâòîðñêèå ïðîãðàììû-ìîäóëè ê óêàçàííîìó ïàêåòó è ïðîâîäèòü èññëåäîâàíèÿ èõ ýôôåêòèâíîñòè âìåñòå ñ ÌÊÝ íåëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷, çàäà÷ äëÿ ñèñòåì óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, çàäà÷ â îáëàñòÿõ ñ ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Bulavatsky V.M., Skopetskii V.V. Generalized mathematical model of the dynamics of consolidation processes with relaxation. Cybernetics and Systems Analysis. 2008. Vol. 44, N 5. P. 646–654. 2. Bulavatsky V.M., Skopetsky V.V. On an unconventional mathematical model of geoinformatics. Journal of Automation and Information Sciences. 2010. Vol. 42, N 10. P. 16–25. 3. Áîìáà À.ß., Áóëàâàöüêèé Â.Ì., Ñêîïåöüêèé Â.Â. Íåë³í³éí³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ïðîöåñ³â ãåîã³äðîäèíàì³êè. Ê.: Íàóê. äóìêà, 2007. 291 ñ. 4. Âëàñþê À.Ï., Ìàðòèíþê Ï.Ì. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ êîíñîë³äàö³¿ ´ðóíò³â ïðè ô³ëüòðàö³¿ ñîëüîâèõ ðîç÷èí³â â íå³çîòåðì³÷íèõ óìîâàõ. Ð³âíå: ÍÓÂÃÏ, 2008. 416 ñ. 5. Kolditz O., Gîrke U.-J., Shao H., Wang W., Bauer S. Thermo-hydro-mechanical-chemical processes in fractured porous media: Modelling and benchmarking: Benchmarking. Cham: Springer, 2016. 243 p. 6. Ballarini E., Graupner B., Bauer S. Thermal–hydraulic–mechanical behavior of bentonite and sand-bentonite materials as seal for a nuclear waste repository: Numerical simulation of column experiments. Applied Clay Science. 2017. Vol. 135. P. 289–299. 7. Beyer C., Popp S., Bauer S. Simulation of temperature effects on groundwater flow, contaminant dissolution, transport and biodegradation due to shallow geothermal use. Environmental Earth Sciences. 2016. Vol. 75. P. 12–44. 8. Bayesteh H., Mirghasemi A.A. Numerical simulation of pore fluid characteristic effect on the volume change behavior of montmorillonite clays. Computers and Geotechnics. 2013. Vol. 48. P. 146–155. 9. Jambhekar V.A., Helmig R., Schrîder N., Shokri N. Free-flow–porous-media coupling for evaporation-driven transport and precipitation of salt in soil. Transp. Porous Med. 2015. Vol. 110, N 2. P. 251–280. 10. Golay F., Bonelli S. Numerical modeling of suffusion as an interfacial erosion process. European Journal of Environmental and Civil Engineering. 2011. Vol. 15, N 8. P. 1225–1241. 11. Seghir A., Benamar A., Wang H. Effects of fine particles on the suffusion of cohesionless soils. Experiments and modeling. Transp. Porous Med. 2014. Vol. 103, N 2. P. 233–247. 12. Mitchell J.K., Soga K. Fundamentals of soil behavior. Hoboken: Wiley, 2005. 592 p. 13. Ãåðóñ Â.À., Ìàðòèíþê Ï.Ì. Óçàãàëüíåííÿ ð³âíÿííÿ êîíñîë³äàö³¿ ´ðóíò³â ç óðàõóâàííÿì âïëè- âó ô³çèêî-õ³ì³÷íèõ ôàêòîð³â. Â³ñíèê Õàðê³âñüêîãî íàö. óí-òó ³ì. Â. Í. Êàðàç³íà. Ñåð. Ìàòåìà- òè÷íå ìîäåëþâàííÿ. ²íôîðìàö³éí³ òåõíîëîã³¿. Àâòîìàòèçîâàí³ ñèñòåìè óïðàâë³ííÿ. 2015. Âèï. 27. Ñ. 41–52. 14. Ãåðóñ Â.À., Ìàðòèíþê Ï.Ì., Ì³÷óòà Î.Ð. Çàãàëüíà ê³íåìàòè÷íà ãðàíè÷íà óìîâà â òåîð³¿ ô³ëüòðàö³éíî¿ êîíñîë³äàö³¿ ´ðóíò³â. Ô³çèêî-ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ òà ³íôîðìàö³éí³ òåõ- íîëîã³¿. 2015. Âèï. 22. Ñ. 23–30. 15. Áóðàãî Í.Ã., Êóêóäæàíîâ Â.Í. Îáçîð êîíòàêòíûõ àëãîðèòìîâ. Èçâ. ÐÀÍ, ÌÒÒ. 2005. ¹ 1. Ñ. 44–85. 16. Ñåðãèåíêî È.Â., Ñêîïåöêèé Â.Â., Äåéíåêà Â.Ñ. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è èññëåäîâà- íèå ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ. Ê.: Íàóê. äóìêà, 1991. 432 ñ. 17. Òðóøåâñüêèé Â.Ì., Øèíêàðåíêî Ã.À., Ùåðáèíà Í.Ì. Ìåòîä ñê³í÷åííèõ åëåìåíò³â ³ øòó÷í³ íåé- ðîíí³ ìåðåæ³: òåîðåòè÷í³ àñïåêòè òà çàñòîñóâàííÿ. Ëüâ³â: ËÍÓ ³ìåí³ ²âàíà Ôðàíêà, 2014. 396 ñ. 132 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 18. Hecht F., Auliac S., Pironneau O., Morice J., Le Hyaric A., Ohtsuka K. FreeFem++. Paris: Univ. Pierre et Marie Curieõ, 2013. 378 p. 19. Sergienko I.V., Molchanov I.N., Khimich A.N. Intelligent technologies of high-performance computing. Cybernetics and Systems Analysis. 2010. Vol. 46, N 5. P. 833–844. 20. Khimich A., Nikolaevskaya E., Chistyakova T. Programming with multiple precision. Berlin: Springer-Verlag, 2012. 206 p. 21. Òðóøåâñüêèé Â.Ì., Øèíêàðåíêî Ã.À. Ðîçïàðàëåëåíà àïðîêñèìàö³ÿ åë³ïòè÷íèõ êðàéîâèõ çàäà÷ øòó÷íîþ íåéðîìåðåæåþ ç ðàä³àëüíî-áàçèñíèìè ôóíêö³ÿìè. Â³ñí. Ëüâ³â. óí-òó. Ñåð. ïðèêë. ìà- òåì. òà ³íô. 2014. Âèï. 22. Ñ. 108–117. 22. Baranov A.Yu., Bilous M.V., Sergienko I.V., Khimich A.N. Hybrid algorithms to solve linear systems for finite-element modeling of filtration processes. Cybernetics and Systems Analysis. 2015. Vol. 51, N 4. P. 594–602. 23. Smith I.M., Griffiths D.V., Margetts L. Programming the finite element method. Chichester: Wiley, 2014. 664 p. 24. Duff I. S., Erisman A.M., Reid J.K. Direct methods for sparse matrices. Oxford: Oxford Univ. Press, 2017. 429 p. 25. Ì³÷óòà Î.Ð., Ìàðòèíþê Ï.Ì., Ãåðóñ Â.À. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ïðîöåñ³â õ³ì³÷íî¿ òà êîíòàêòíî¿ ñóôîç³é â ãðóíòàõ. Ð³âíå: ÍÓÂÃÏ, 2016. 207 ñ. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 22.05.2017 Â.À. Ãåðóñ, Í.Â. ²âàí÷óê, Ï.Ì. Ìàðòèíþê ÑÈÑÒÅÌÍÈÉ Ï²ÄÕ²Ä ÄÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÍÎÃÎ ² ÊÎÌÏ’ÞÒÅÐÍÎÃÎ ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÃÅÎÌ²ÃÐÀÖ²ÉÍÈÕ ÏÐÎÖÅÑ²Â Ç ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍÍßÌ ÏÀÊÅÒÓ FreeFem++ ÒÀ ÐÎÇÏÀÐÀËÅËÞÂÀÍÍß ÎÁ×ÈÑËÅÍÜ Àíîòàö³ÿ. Îïèñàíî ñïîñ³á ïîáóäîâè ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé âçàºìîçâ’ÿçàíèõ ïðîöåñ³â ó ïîðèñòèõ ñåðåäîâèùàõ ç òî÷êè çîðó òåîð³¿ ñêëàäíèõ áàãàòîêîìïî- íåíòíèõ ñèñòåì. Ïîêàçàíî ìîæëèâîñò³ ïàêåòó FreeFem++ ç ðîçâ’ÿçóâàííÿ â³äïîâ³äíèõ êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ ñèñòåì êâàç³ë³í³éíèõ ïàðàáîë³÷íèõ ð³âíÿíü â îáëàñòÿõ ç ðóõîìèìè ìåæàìè ìåòîäîì ñê³í÷åííèõ åëåìåíò³â ç âèêîðèñòàí- íÿì ðîçïàðàëåëþâàííÿ îá÷èñëåíü. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìàòåìàòè÷íå òà êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ, áàãàòîêîìïîíå- íòí³ ïîðèñò³ ñåðåäîâèùà, õ³ì³÷íà òà ìåõàí³÷íà ñóôîç³¿, ô³ëüòðàö³éíà êîí- ñîë³äàö³ÿ, òåïëîìàñîïåðåíåñåííÿ, â³ëüíà ðóõîìà ìåæà, ñèñòåìè êâàç³ë³í³éíèõ ïàðàáîë³÷íèõ ð³âíÿíü, ìåòîä ñê³í÷åííèõ åëåìåíò³â, FreeFem++, ïàðàëåëüí³ îá÷èñëåííÿ. V.A. Herus, N.V. Ivanchuk, P.M. Martyniuk A SYSTEM APPROACH TO MATHEMATICAL AND COMPUTER MODELING OF GEOMIGRATION PROCESSES BY USING FreeFem++ AND PARALLELIZATION OF CALCULATIONS Abstract. A porous media is a complex multicomponent system. The method of constructing the mathematical models of interrelated processes in such systems is described. The capabilities of FreeFem++ package in solving the corresponding free boundary-value problems for systems of quasilinear parabolic equations using the finite-element method and parallel computing are shown. Keywords: mathematical and computer modeling, multicomponent porous media, chemical and mechanical suffusion, filtration consolidation, heat and mass transfer, free moveable boundary, system of quasilinear parabolic equations, finite element method, FreeFem++, parallel computations. Ãåðóñ Âëàäèìèð Àíäðååâè÷, àñïèðàíò Íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà âîäíîãî õîçÿéñòâà è ïðèðîäîïîëüçîâàíèÿ, Ðîâíî, e-mail: v.a.gerus@nuwm.edu.ua. Èâàí÷óê Íàòàëüÿ Âèòàëüåâíà, ñòàðøèé ïðåïîäàâàòåëü êàôåäðû Íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà âîäíîãî õîçÿéñòâà è ïðèðîäîïîëüçîâàíèÿ, Ðîâíî, e-mail: n.v.medvid@nuwm.edu.ua. Ìàðòûíþê Ïåòð Íèêîëàåâè÷, äîêòîð òåõí. íàóê, äîöåíò, çàâåäóþùèé êàôåäðîé Íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà âîäíîãî õîçÿéñòâà è ïðèðîäîïîëüçîâàíèÿ, Ðîâíî, e-mail: p.m.martyniuk@nuwm.edu.ua. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 2 133

Системный подход к математическому и компьютерному моделированию геомиграционных процессов с использованием пакета FreeFem++ и распараллеливания вычислений

Institution

Ähnliche Einträge