Нелінійне нормування випадкової еволюції у схемі апроксимації Леві
Розглянуто випадкові еволюції у схемі апроксимації Леві. Еволюції визначено неперервним справа марковським процесом. Запропоновано нормування процесу нескінченно малою нелінійною функцією. Показано слабку збіжність генератора випадкової еволюції до граничного генератора. Знайдено функції нормування....
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144878 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелінійне нормування випадкової еволюції у схемі апроксимації Леві / О.А. Ярова // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 160–165. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-144878 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1448782019-01-09T01:23:02Z Нелінійне нормування випадкової еволюції у схемі апроксимації Леві Ярова, О.А. Системний аналіз Розглянуто випадкові еволюції у схемі апроксимації Леві. Еволюції визначено неперервним справа марковським процесом. Запропоновано нормування процесу нескінченно малою нелінійною функцією. Показано слабку збіжність генератора випадкової еволюції до граничного генератора. Знайдено функції нормування. Рассмотрены случайные эволюции в схеме аппроксимации Леви. Эволюции определены непрерывным справа марковским процессом. Предложено нормирование процесса бесконечно малой нелинейной функцией. Показана слабая сходимость генератора случайной эволюции к предельному генератору. Найдены функции нормирования. Random evolutions in the Levy approximation scheme are considered. The evolutions are determined by a continuous Markov process. The normalization of the process by an infinitely small nonlinear function is proposed. The weak convergence of the random evolution generator to the limit generator is shown. Normalizing functions are found. 2018 Article Нелінійне нормування випадкової еволюції у схемі апроксимації Леві / О.А. Ярова // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 160–165. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144878 519.217 uk Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Ярова, О.А. Нелінійне нормування випадкової еволюції у схемі апроксимації Леві Кибернетика и системный анализ |
| description |
Розглянуто випадкові еволюції у схемі апроксимації Леві. Еволюції визначено неперервним справа марковським процесом. Запропоновано нормування процесу нескінченно малою нелінійною функцією. Показано слабку збіжність генератора випадкової еволюції до граничного генератора. Знайдено функції нормування. |
| format |
Article |
| author |
Ярова, О.А. |
| author_facet |
Ярова, О.А. |
| author_sort |
Ярова, О.А. |
| title |
Нелінійне нормування випадкової еволюції у схемі апроксимації Леві |
| title_short |
Нелінійне нормування випадкової еволюції у схемі апроксимації Леві |
| title_full |
Нелінійне нормування випадкової еволюції у схемі апроксимації Леві |
| title_fullStr |
Нелінійне нормування випадкової еволюції у схемі апроксимації Леві |
| title_full_unstemmed |
Нелінійне нормування випадкової еволюції у схемі апроксимації Леві |
| title_sort |
нелінійне нормування випадкової еволюції у схемі апроксимації леві |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144878 |
| citation_txt |
Нелінійне нормування випадкової еволюції у схемі апроксимації Леві / О.А. Ярова // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 160–165. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT ârovaoa nelíníjnenormuvannâvipadkovoíevolûcííushemíaproksimacííleví |
| first_indexed |
2025-07-10T20:25:11Z |
| last_indexed |
2025-07-10T20:25:11Z |
| _version_ |
1837292981171781632 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.217
Î.À. ßÐÎÂÀ
ÍÅ˲ͲÉÍÅ ÍÎÐÌÓÂÀÍÍß ÂÈÏÀÄÊÎÂί ÅÂÎËÞÖ²¯
Ó ÑÕÅ̲ ÀÏÐÎÊÑÈÌÀÖ²¯ ËŲ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî âèïàäêîâ³ åâîëþö³¿ ó ñõåì³ àïðîêñèìàö³¿ Ëåâ³. Åâî-
ëþö³¿ âèçíà÷åíî íåïåðåðâíèì ñïðàâà ìàðêîâñüêèì ïðîöåñîì. Çàïðîïîíîâàíî
íîðìóâàííÿ ïðîöåñó íåñê³í÷åííî ìàëîþ íåë³í³éíîþ ôóíêö³ºþ. Ïîêàçàíî
ñëàáêó çá³æí³ñòü ãåíåðàòîðà âèïàäêîâî¿ åâîëþö³¿ äî ãðàíè÷íîãî ãåíåðàòîðà.
Çíàéäåíî ôóíêö³¿ íîðìóâàííÿ.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: âèïàäêîâà åâîëþö³ÿ, àïðîêñèìàö³ÿ Ëåâ³, ïðîöåñ ç íåçàëåæ-
íèìè ïðèðîñòàìè, ïðîöåñ Ìàðêîâà.
³äîìî, ùî âèïàäêîâà åâîëþö³ÿ ç ëîêàëüíî íåçàëåæíèìè ïðèðîñòàìè âèçíà-
÷àºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿì [1]:
� � �( ) ( ; ( ))t ds x s
t
� � �0
0
, t � 0 ,
äå �( ; )t x — íåïåðåðâíèé ñïðàâà ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ, ùî º ïðîöåñîì ç ëî-
êàëüíî íåçàëåæíèìè ïðèðîñòàìè òà âèçíà÷àºòüñÿ ãåíåðàòîðîì
� �( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( , ; )x u b u x u u u u u d x� � � � � �� �� � � � � � �
R
� .
Âèïàäêîâ³ åâîëþö³¿ ðîçãëÿíóòî ó ðîáîòàõ [1–6]. Çîêðåìà, ó ìîíîãðàô³¿
Â.Ñ. Êîðîëþêà òà Í. ˳ìí³îñà [1] îïèñàíî ê³ëüêà ìîäåëåé äëÿ ïðîöåñ³â ç íåçà-
ëåæíèìè ïðèðîñòàìè òà ³ìïóëüñíèõ ïðîöåñ³â ó ñõåìàõ ïóàññîíîâî¿ àïðîêñèìàö³¿
òà àïðîêñèìàö³¿ Ëåâ³. Ïðîòå ó çàçíà÷åíèõ ðîáîòàõ âèïàäêîâ³ ïðîöåñè íîðìóþòü
ëèøå ë³í³éíèì ìíîæíèêîì. Ìåòîþ ö³º¿ ñòàòò³ º âèçíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â íîðìó-
âàííÿ ÿê íåë³í³éíèõ ôóíêö³é.
Ðîçãëÿíåìî âèïàäêîâó åâîëþö³þ â ñõåì³ àïðîêñèìàö³¿ Ëåâ³ ç íîðìóâàëüíèì
ìíîæíèêîì g2 ( )�
� � �
�
� �
�( ) ;
( )
t ds x
s
g
t
� �
��
�
��
�
�
�
�
��0
0 2
,
äå x t t( ), � 0 , — ð³âíîì³ðíî åðãîäè÷íèé ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ ç³ ñòàö³îíàðíèì
ðîçïîä³ëîì �( )A , g2 0 0( ) ,� �� � , ÿêà çàäîâîëüíÿº òàê³ óìîâè.
Óìîâà EL1. Ìຠì³ñöå àïðîêñèìàö³ÿ ñåðåäí³õ:
b u x u d x g b u x g b u x
b�
� �� � � � �( ; ) ( , ; ) ( ) ( ; ) ( )( ( ; ) (� � � �� 1 1 2 u x
R
; ))�
òà
ñ u x u d x g c u x u xc
R
�
� ��� � � �( ; ) ( , ; ) ( )( ( ; ) ( ; ))*� � �� � 2 ,
äå � * — òðàíñïîíîâàíèé âåêòîð äî âåêòîðà �, g o g2 1( ) ( ( ))� �� , g1 ( )� ,
g2 0( )� � , � � 0 .
Çíåõòóâàí³ äîäàíêè ��
b
u x( ; ) , ��
c u x( ; ) çàäîâîëüíÿþòü óìîâó
sup
x E
u x
�
�| ( ; )|�� 0 , g2 0 0( ) ,� �� � .
160 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
© Î.À. ßðîâà, 2018
Óìîâà EL2. ßäðî ³íòåíñèâíîñòåé ìຠâèãëÿä
� � �q q q
R
u x q u d x g u x u x� � �� � � �( ; ) ( ) ( , ; ) ( ) ( ( ; ) ( ; ))� � �� 2
äëÿ âñ³õ q C R� 3 ( ) , ³ ÿäðî �q u x( ; ) îáìåæåíå äëÿ âñ³õ q C R� 3 ( ) òàê, ùî
| ( ; )|� �q qu x � � const.
ßäðî �q u x( ; ) âèçíà÷àºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿì
� �q
R
u x q u d x( ; ) ( ) ( , ; )� � � � .
Óìîâà EL3. Âèêîíóºòüñÿ óìîâà áàëàíñó:
�( ) ( ; )dx b u x
E
1 0�� .
Óìîâà EL4. Âèêîíóþòüñÿ óìîâè íà ïî÷àòêîâ³ çíà÷åííÿ:
sup
�
��
�
� � �
0
0
E C| | ,
| |� ��
0 0� , g2 0( )� � , � � 0 .
Óìîâà EL5. Ìຠì³ñöå ð³âíîì³ðíà êâàäðàòè÷íà ³íòåãðîâí³ñòü:
lim ( , ; )*
ñ x E c
u d x
�� � �
��sup �� �
�
� 0 .
Óìîâà EL6. Âèêîíóºòüñÿ óìîâà çðîñòàííÿ: ³ñíóº äîäàòíà êîíñòàíòà L òàêà, ùî
| ( ; )| ( | | )b u x L u� �1 , | ( ; )| ( | | )c u x L u� �1 2
äëÿ âñ³õ ä³éñíîçíà÷íèõ íåâ³ä’ºìíèõ ôóíêö³é f ( )� , � �R, òàêèõ, ùî
( ( )) | |
\{ }
1 2
0
� � �� f d
R
� � � , | ( , , )| ( )( | | )� u x Lf u� �� �1 ,
äå �( , , )u x� — ïîõ³äíà Ðàäîíà–ͳêîäèìà ÿäðà �( , ; )u B x â³äíîñíî ì³ðè Ëåáåãà
d� â R, òîáòî
� �( , ; ) ( , ; )u d x u x d� � �� .
Óìîâà EL7. Âèêîíóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ sup
x E
ht
xe F dt H
�
�
� � ��� ( )
0
, h � 0 .
Óìîâà EL8. Äëÿ äîâ³ëüíîãî r � 0 ³ñíóº êîíñòàíòà lr òàêà, ùî
| � ( ) � ( ) | | ( ) ( )| | � ( , ) � ( , ) |b u b u u u u u l� � � � � � � � � � �2 2 � � r u u| |� � ,
ÿêùî | |u R� , � � R.
Òåîðåìà 1. Çà óìîâ EL1–EL7 ìຠì³ñöå ñëàáêà çá³æí³ñòü
� �� ( ) ( )t t� 0 , g2 0( )� � , � � 0 .
Ãðàíè÷íèé ïðîöåñ �0 ( )t çà óìîâè EL8 âèçíà÷àºòüñÿ ãåíåðàòîðîì
� ( ) � ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) � ( , )� �� � � � � �� �u b u u u u u u d
R
� � � � � � �� ,
äå � ( ) ( ) ( ; )b u dx b u x
E
� � � , � �( ) ( ) ( , ; )u dx u d x
E
� � � � .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 161
Äîâåäåííÿ.  îñíîâ³ äîâåäåííÿ ëåæèòü íàï³âìàðòèíãàëüíå ïðåäñòàâëåííÿ
ïðîöåñó [7].
Ïåðåäáà÷óâàí³ õàðàêòåðèñòèêè íàï³âìàðòèíãàëó ìàþòü òàêèé âèãëÿä:
B t g b s x ds b s x ds
tt
s
�
�
� � � �� � �( ) ( ( )) ( ( ); ) ( ( ); )� ��
��2
1
00
s
b
� �� ,
C t g c s x ds c s x ds
tt
s
�
�
� � � �� � �( ) ( ( )) ( ( ); ) ( ( ); )� ��
��2
1
00
s c� �� ,
� � �� � � � �� � � � � �( ) ( ( )) ( ) ( ( ), ; ) ( ) (t g q s d x ds q
R
s
R
� ��
� �2
1 � � �� �( ), ; )s d x dss
tt
���
00
�
,
äå x x
t
g
t
�
�
�
��
�
��
2 ( )
, t � 0 , sup
x E�
�| |�� 0 , g2 0( )� � , � � 0 .
Ñòðèáêîâà ìàðòèíãàëüíà ÷àñòèíà íàï³âìàðòèíãàëó âèçíà÷àºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿì
�
� � �� � � � � �( ) ( ( , ; ) ( ( ), ; ) )t ds d x s d x dss s
R
t
� ��� �
0
,
äå
�� ( , ; )ds d x — ñ³ì’ÿ ë³÷èëüíèõ ì³ð, ïðè÷îìó
E ds d x u d x ds
� �� �( , ; ) ( , ; )� � .
Ïîçíà÷èìî A t� ( ) îñíîâíó ÷àñòèíó áóäü-ÿêî¿ ç ïåðåäáà÷óâàíèõ õàðàêòåðèñòèê.
Ðîçãëÿíåìî ðîçøèðåíèé ëàíöþã Ìàðêîâà
A A x nn n n n n
� � � � � �� � �� �
0
0( ), , , , ,
äå x xn n
� � ��� ( ) , x t x
t
g
�
�
( )
( )
�
��
�
��
2
, � � �� � �
n n� ( ) , � � � �� � �
n n ng
�
� �
1 2 ( ) ,
P t x x F t P t
n n x x( | ) ( ) ( )� �� �
�
� � � � �
1
.
Êîìïåíñóâàëüíèé îïåðàòîð ðîçøèðåíîãî ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó â³äíîâëåííÿ
ìຠïðåäñòàâëåííÿ [1]
L u x t�� �( , ; , ) �
� �
�
�g q x F ds A u x x P x dy u y tx s s2
0
( ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( , ) ( , ; ,� � �� ��
E
g s u x t� �
�
�
�
�
�2 ( ) ( , ; , )� � � ,
äå ��s x( ) , s � 0 , — ñ³ì’ÿ íàï³âãðóï, ùî â³äïîâ³äຠãåíåðàòîðó � � ( )x , x E� ,
A u xs� ( ; ) — ñ³ì’ÿ íàï³âãðóï ç ãåíåðàòîðîì A u x u a u x u( ; ) ( ) ( ; ) ( )� �� � .
Öåé ãåíåðàòîð ìຠòàêå àñèìïòîòè÷íå ïðåäñòàâëåííÿ:
L u x g Q x A u x P�� � � � � �( , ; ) ( ( )) ( , ; ) ( ; ) ( , ; )� � � � � � ��
2
1
� � � �� � �� � � � �( ) ( , ; ) ( ) ( ) ( , ; )x P u g x P u x2 ,
äå P — îïåðàòîð ïåðåõîäó, àñîö³éîâàíèé ç P x B( , ) ,
a Q x q x P x dy y
E
� �( ) ( ) ( , )( ( ; )� � �� �( ; ))� x .
162 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Äëÿ äîâåäåííÿ çá³æíîñò³ ïåðåäáà÷óâàíèõ õàðàêòåðèñòèê äîñòàòíüî ðîçãëÿ-
íóòè ä³þ îïåðàòîðà L� íà òåñò-ôóíêö³ÿõ äâîõ çì³ííèõ.
Ó öüîìó ðàç³ îïåðàòîð ìຠòàêå ïðåäñòàâëåííÿ:
L x g Q A u x P g x P x� �� � � � � � �( ; ) (( ( )) ( ; ) ( ) ( ) ) ( ; )� � ��
2
1
2 .
Çàäà÷à ñèíãóëÿðíîãî çáóðåííÿ äëÿ îïåðàòîðà ìຠâèãëÿä L L� � �� � � �� �� , äå
� � � � � � �� ( ; ) ( ) ( ) ( ; )x g x� � 2 1 .
Ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ ñèíãóëÿðíîãî çáóðåííÿ ìຠïðåäñòàâëåííÿ
� � ( )L A u� , � ( ) ( ; ) ( ) ( , )A u A u x dx A u x
E
� � �� � � .
Îòæå,
� ( ) ( ) � ( ) ( )A u u a u� � �� � , äå � ( ) ( ) ( ; )a u dx a u x
E
� � � .
Ó ðåçóëüòàò³ ï³äñòàíîâêè îïåðàòîð³â B u x( ; ) , C u x( ; ) , �( ; )u x çàì³ñòü A u x( ; )
ìàºìî òàê³ ïåðåäáà÷óâàí³ õàðàêòåðèñòèêè:
B t b s ds
t
0
0
0( ) � ( ( ))� � � , C t c s ds
t
0
0
0( ) � ( ( ))� � � , � �q q
t
t s ds0
0
0( ) � ( ( ))� � � .
Îòæå, ñëàáêó çá³æí³ñòü äîâåäåíî.
Àñèìïòîòè÷íå ïðåäñòàâëåííÿ ãåíåðàòîðà îòðèìóºìî ç àñèìïòîòè÷íîãî ïðåä-
ñòàâëåííÿ íà òåñò-ôóíêö³ÿõ âèãëÿäó � � � � � � �� ( ; ) ( ) ( ) ( ; )x g x� � 2 1 .
Òåîðåìó äîâåäåíî.
Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä ñ³ì’¿ ìàðêîâñüêèõ ïðîöåñ³â � � , äëÿ ÿêî¿ âèêîíóþòüñÿ
óìîâè
P b u x g p� �� ��
�
�
�
�
�
�( , ) ( )2 ,
P g u x g b u x g p� � � � �� � ��
�
�
�
�
�
� �1 1 2 1 21( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) .
Çíàéäåìî ïåðøèé òà äðóãèé ìîìåíòè äëÿ � � :
E g pb u x g u x g b u x g g� � � � � �� � � � �2 1 1 2 1 1 2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )( (
� �
� � � �
p u x
g pb u x g u x g pb
1
2
2
1 1 1 2
�
� � � u x b u x o g, ) ( , )) ( ( )),� �1 2 �
E g pb u x g u x g b u x( ) ( ) ( , ) ( ( ) ( , ) ( ) ( , )) (� � � � �� 2
2
2
1 1 2 1
2� � � 1 2
2
2
2
� �
� �
g p
g pb u x o g
( ) )
( ) ( , ) ( ( )).
�
� �
Òàêèì ÷èíîì, ñ³ì’ÿ ìàðêîâñüêèõ ïðîöåñ³â � � çàäîâîëüíÿº óìîâè àïðîêñè-
ìàö³¿ Ëåâ³.
³äïîâ³äíî äî òåîðåìè 1 ³ñíóº ñëàáêà çá³æí³ñòü
� �� ( ) ( )t t� 0 , g2 0( )� � , � � 0 .
Ç ö³º¿ çá³æíîñò³ âèïàäêîâèõ ïðîöåñ³â âèïëèâຠçá³æí³ñòü ãåíåðàòîð³â, ÿêèìè
ìàðêîâñüê³ ïðîöåñè îïèñóþòüñÿ, òîáòî
sup sup
| | | |
| ( )| | � ( )|
�
�
�
� �
� �
�
1 1
� �u u .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 163
Çàïèøåìî ãåíåðàòîðè ó ðîçãîðíóòîìó âèãëÿä³
sup
| |
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( , ; )
�
�� � � � �� �
�
� � � � � ��
1
b u u u u u u d x
R
� �
� � � � � � �
�
�sup
| |
}
� ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) � (
�
�� � � � ��
1
1b u u u u u I u� , ; )d x
R
�� .
Òîìó
sup sup
| | | |
| ( ) ( )| | � ( ) ( )|
� �
� �
� �
� � �
1 1
b u u b u u ,
sup sup
| | | |
| ( ( ) � ( )) ( )| | ( ) � ( )| |
� �
� �
� �
� � � �
1 1
b u b u u b u b u � �( )|u 0.
Îòæå,
| ( ) � ( )|b u b u� � 0 ,
b u b u b u b u b u
b u N
b u b u
Q( ) � ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ( ) ,
( ), (
� � � � �� �
�
� �
0
) .�
�
�
� RQ
Çã³äíî ç óìîâîþ EL1 ìàºìî
b u b g b g
b
( ) ( ( ) )( ( ))� � � ��
�
�� � �1 1 2
1 0 ,
b g b
g b
� ��
�
�
�
� �1 1
2
( )
( )
�
�
� �
�� � � �
�
�
� � ��
�
� �( , ; ) ( )
( )
( ) ( , ; )u d x g b
g
g u d x g
R
b
1 1
2
2 1 ( )
( )
�
�
��
b
g
R
b
1
2
�
� �
� � � �� � �
�
�
���( , ; )
( )
( )
u d x
g
g
b
R
b
1
2
1 0 .
Òàêèì ÷èíîì,
g
g
u d x
b
R
b
1
2 1
( )
( )
( , ; )
�
�
� � ��
�
�� �
.
Àíàëîã³÷íî ðîçãëÿíåìî ³íòåãðàëüíó çá³æí³ñòü
sup
| |
( ( ) ( ) ( )) ( , ; )
�
�� � � �� �
�
� � � � ��
1
u u u u d x
R
�
� � � � �
�
��sup
| |
{ }( ( ) ( ) ( ) ) ( , ; )
�
�� � � �� �
1
1u u u I u d x
R
� ,
sup
| |
( ( ) ( ))( ( , ; ) � ( , ; ))
�
�� � � � �
�
� � � ��
1
0u u u d x u d x
R
� � .
Çâ³äñè
� �� ( , ) � ( , )u x u x� .
Çã³äíî ç óìîâîþ EL2
g u x u x2 0( )( ( , ) ) ( , )� ��� ��
�
� � � , g
u x
u x
dx u d x
u x
R
2 ( )
( , )
( , )
( ) ( , ; )
( , )
�
�
� �
�� �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� �
.
164 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3
Çàïèøåìî íîðìóâàëüíó ôóíêö³þ g1 ( )� ó âèãëÿä³:
g
u d x
b
g
u d x
R
b
R
b
1
1
2( )
( , ; )
( )
( , ; )
�
� � �
�
� � �� �
�
�
�
�
�
�� �� �
�
�
�
�
� � �
��
( ) ( , ; )
( ( , ) )
dx u d x
b u x
R
�
�
�1
.
Îòæå, çíàéäåíî íåë³í³éí³ íîðìóâàëüí³ ôóíêö³¿ äëÿ âèïàäêîâèõ åâîëþö³é ó
ñõåìàõ àïðîêñèìàö³¿ Ëåâ³.
ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ
1. Koroliuk V.S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. Singapore: World Scientific
Publishing Company, 2005. 348 p.
2. Êîðîëþê Â.Ñ., Òóðáèí À.Ô. Ïîëóìàðêîâñêèå ïðîöåññû è èõ ïðèëîæåíèÿ. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1976.
184 ñ.
3. Êîðîëþê Â.Ñ., Ñàìîéëåíêî ².Â. Ïîòåíö³àëüíèé îïåðàòîð ïðîöåñó Îðíøòåéíà–Óëåíáåêà òà éîãî çà-
ñòîñóâàííÿ. Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2013. ¹ 3. Ñ. 21–27.
4. Êîðîëþê Â.Ñ. Ïðîáëåìà âåëèêèõ â³äõèëåíü äëÿ ìàðêîâñüêèõ âèïàäêîâèõ åâîëþö³é ç íåçàëåæíèìè
ïðèðîñòàìè ó ñõåì³ àñèìïòîòè÷íî ìàëî¿ äèôó糿. Óêðà¿íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë. 2010. Ò. 62,
¹ 5. Ñ. 643–650.
5. Ñâèùóê À.Â. Ðåøåíèå ìàðòèíãàëüíîé ïðîáëåìû äëÿ ïîëóìàðêîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ýâîëþöèé.
Àñèìïòîòè÷åñêèå è ïðèêëàäíûå çàäà÷è òåîðèè ñëó÷àéíûõ ýâîëþöèé. Êèåâ: Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè
ÀÍ ÓÑÑÐ, 1990. Ñ. 102–111.
6. Ñâèùóê À.Â. Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ïîëóìàðêîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ýâîëþöèé â ñõåìå óñðåäíåíèÿ (ìàðòèí-
ãàëüíûé ïîäõîä). Óêðàèíñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. 1989. ¹ 12. Ñ. 1680–1686.
7. Cinlar E., Jacod J., Protter P., Sharpe M.J. Semimartingale and Markov processes. Z. Wahrschein. verw.
Gebiete. 1980. N 54. P. 161–219.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 17.07.2017
Î.À. ßðîâàÿ
ÍÅËÈÍÅÉÍÎÅ ÍÎÐÌÈÐÎÂÀÍÈÅ ÑËÓ×ÀÉÍÎÉ ÝÂÎËÞÖÈÈ
 ÑÕÅÌÅ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ ËÅÂÈ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíû ñëó÷àéíûå ýâîëþöèè â ñõåìå àïïðîêñèìàöèè
Ëåâè. Ýâîëþöèè îïðåäåëåíû íåïðåðûâíûì ñïðàâà ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì.
Ïðåäëîæåíî íîðìèðîâàíèå ïðîöåññà áåñêîíå÷íî ìàëîé íåëèíåéíîé ôóíêöè-
åé. Ïîêàçàíà ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ãåíåðàòîðà ñëó÷àéíîé ýâîëþöèè ê ïðåäåëü-
íîìó ãåíåðàòîðó. Íàéäåíû ôóíêöèè íîðìèðîâàíèÿ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñëó÷àéíàÿ ýâîëþöèÿ, àïïðîêñèìàöèÿ Ëåâè, ïðîöåññ ñ íå-
çàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, ïðîöåññ Ìàðêîâà.
O.A. Yarova
NONLINEAR NORMALIZATION OF RANDOM EVOLUTION IN THE SCHEME
OF LEVY APPROXIMATION
Abstract. Random evolutions in the Levy approximation scheme are considered.
The evolutions are determined by a continuous Markov process. The
normalization of the process by an infinitely small nonlinear function is
proposed. The weak convergence of the random evolution generator to the limit
generator is shown. Normalizing functions are found.
Keywords: random evolution, Levi approximation, process with independent
increments, Markov process.
ßðîâà Îêñàíà Àíàòî볿âíà,
àñï³ðàíòêà Ëüâ³âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ ²âàíà Ôðàíêà,
e-mail: oksanayarova93@gmail.com.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 3 165
|