Некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности

Рассматриваются некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности и приводится их анализ с точки зрения критериев Вальда и Сэвиджа. В зависимости от анализируемого критерия, получаемые математические модели отличаются различной степенью сложности с точки зрения их оптимизации....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Годонога, А.Ф., Голбан, Л.Л., Чумаков, Б.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Schriftenreihe:	Теорія оптимальних рішень
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144982
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности / А.Ф. Годонога, Л.Л. Голбан, Б.М. Чумаков // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2018. — № 17. — С. 130-137. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-144982
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1449822019-01-13T01:23:39Z Некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности Годонога, А.Ф. Голбан, Л.Л. Чумаков, Б.М. Рассматриваются некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности и приводится их анализ с точки зрения критериев Вальда и Сэвиджа. В зависимости от анализируемого критерия, получаемые математические модели отличаются различной степенью сложности с точки зрения их оптимизации. Розглядаються деякі моделі прийняття рішень в умовах невизначеності та наводиться їх аналіз з точки зору критеріїв Вальда і Севіджа. Залежно від аналізованого критерія, отримувані математичні моделі відрізняються різним ступенем складності з точки зору їх оптимізації. The considered models of decision-making under uncertainty are analyzed from the point of view of the Wald and Savage criteria. Depending on the investigated criterion, the resulting mathematical models differ in varying degrees of complexity from the point of view of their optimization. 2018 Article Некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности / А.Ф. Годонога, Л.Л. Голбан, Б.М. Чумаков // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2018. — № 17. — С. 130-137. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 2616-5619 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144982 519.21 ru Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассматриваются некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности и приводится их анализ с точки зрения критериев Вальда и Сэвиджа. В зависимости от анализируемого критерия, получаемые математические модели отличаются различной степенью сложности с точки зрения их оптимизации.
format	Article
author	Годонога, А.Ф. Голбан, Л.Л. Чумаков, Б.М.
spellingShingle	Годонога, А.Ф. Голбан, Л.Л. Чумаков, Б.М. Некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности Теорія оптимальних рішень
author_facet	Годонога, А.Ф. Голбан, Л.Л. Чумаков, Б.М.
author_sort	Годонога, А.Ф.
title	Некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности
title_short	Некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности
title_full	Некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности
title_fullStr	Некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности
title_full_unstemmed	Некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности
title_sort	некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/144982
citation_txt	Некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности / А.Ф. Годонога, Л.Л. Голбан, Б.М. Чумаков // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2018. — № 17. — С. 130-137. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Теорія оптимальних рішень
work_keys_str_mv	AT godonogaaf nekotoryemodeliprinâtiârešenijvusloviâhneopredelennosti AT golbanll nekotoryemodeliprinâtiârešenijvusloviâhneopredelennosti AT čumakovbm nekotoryemodeliprinâtiârešenijvusloviâhneopredelennosti
first_indexed	2025-07-10T20:36:53Z
last_indexed	2025-07-10T20:36:53Z
_version_	1837293710242480128
fulltext	130 ISSN 2616-5619. Теорія оптимальних рішень. 2018, № 17 ТЕОРІЯ ОПТИМАЛЬНИХ РІШЕНЬ Рассматриваются некоторые мо- дели принятия решений в условиях неопределенности и приводится их анализ с точки зрения критериев Вальда и Сэвиджа. В зависимости от анализируемого критерия, по- лучаемые математические моде- ли отличаются различной степе- нью сложности с точки зрения их оптимизации.  А.Ф. Годонога, Л.Л. Голбан, Б.М. Чумаков, 2018 УДК 519.21 А..Ф. ГОДОНОГА, Л.Л. ГОЛБАН, Б.М. ЧУМАКОВ НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Теория принятия решений в условиях не- определенности предлагает достаточно кри- териев, чтобы дать лицу принимающего решение (ЛПР) инструмент для оценки воз- можных потерь или выигрышей, даже если вероятности наступления различных вари- антов событий неизвестны. Ситуации, когда решения принимаются в условиях неопределенности часто рас- сматриваются на языке теории игр, где друг другу противостоят два игрока, игрок A (от- ветственный за принятие решений) и игрок B (природа или сознательная группа), и для каждого возможного набора ( , ) ,u U   игроку А соответствует определенная функ- ция полезности ( , ).r u  Не ограничивая общности, в качестве ( , )r u  рассматривает- ся некоторая функция стоимости, по отно- шению к игроку А. В экономических терми- нах ( , )r u  – доход, прибыль либо затраты системы, которая контролируется и управ- ляется интересами игрока А. Если a priori была бы известна конкретная реализация состояния природы , то естественным является выбор допустимого решения ( ) ,u u U   которое также определяет ми- нимум функции стоимости ( ( ), ) min[ ( , )] u U r u r u      . Неопределенность проявляется в том, что трудно или даже невозможно предсказать конкретный вариант, которым реализуется состояние природы . . Тем сложнее будет действие, связанное с принимаемым решением, что требует апробации и вне- дрения раньше, или намного раньше, мо- мента наступления конкретной реализации состояния . НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ISSN 2616-5619. Теорія оптимальних рішень. 2018, № 17 131 Если оба множества U и  конечны  1 2, ,..., ,nU u u u  1 2, ,..., ,m    тогда ситуацию, в условиях которой принято решение можно описать как мат- ричную игру, где ( , ),ij i jr r u  1, ,i n 1,j m – элементы матрицы стоимости. Такие случаи широко изучены в работах [1 – 4]. Пусть множество допустимых вариантов принятия решений U – это выпук- лая и компактная в евклидовом пространстве, а ( , )r u  для любого фиксирован- ного элемента  – выпуклая и непрерывная функция на множестве U. По аналогии с ситуациями, в которых и U и  конечны, естественно было бы анализировать известные критерии принятия решений и для множества U, содержащее бесконечное число элементов. Критерий Вальда («пессимистический критерий»). При применении данно- го критерия, оптимальное решение u U будет определять значение стоимости ( ),WR u в соответствии с правилом: ( ) min ( ) min max ( , ).W W u U u U R u R u r u       Таким образом, в данном случае лицо, принимающее решение ,u U ожи- дает максимальных потерь max ( , )r u   но, действуя рационально (используя свои возможности), будет стремиться потери свести к минимуму. Известно, что функция Вальда ( ) max ( , )WR u r u    выпукла на множестве U [2]. Критерий Сэвиджа (критерий сожалений). Концепция сожаления считается эквивалентной оценке потерь, вызванных выбором не лучшей альтернативы по отношению определенного состояния природы [4]. Сэвидж пытается объяснить (что кажется вполне логичным), что рациональное решение будет способство- вать минимизации максимально возможного сожаления. В отношении каждого состояния природы , для принятого решения Uu оценивается значение сожаления:  ( , ) ( , ) min ( , ) , u U r u r u r u       которое представляет собой дополнительную потерю (или цену), соответствую- щую паре ( , ),u  относительно наилучшего решения для заданного состояния  неконтролируемого фактора. Итак, если лицо, принимающее решение ,u принимает решение при состоянии природы , то может сожалеть, что, не используя наилучшего решения, потеряет ( , )r u  дополнительных денежных единиц. Определение. Функция ( , )r u  называется функцией сожалений по отноше- нию к состоянию природы , а ( ) max ( , )SR u r u    – функцией Сэвиджа. Имея функцию или матрицу сожалений ( , ),r u  в соответствии с концеп- цией Сэвиджа, применяется минимаксный критерий: А.Ф. ГОДОНОГА, Л.Л. ГОЛБАН, Б.М. ЧУМАКОВ 132 ISSN 2616-5619. Теорія оптимальних рішень. 2018, № 17 min ( ) min max ( , ),S S u U u U R R u r u       где значение * SR – это самая низкая дополнительная плата при реализации самого неблагоприятного состояния  из множества  . Не сложно доказать, что если ( , )r u  выпуклая функция на выпуклом мно- жестве U, для любой ситуации неконтролируемого состояния, функция сожале- ний ( , )r u  также является выпуклой функцией на U для любого . Дей- ствительно. Пусть ,u v – два произвольных элемента из U и числа  и  такие, что , [0;1],  1.  Обозначим * min ( , ). u U r r u    Функция сожалений ( , ) ( , ) .r u r u r    Тогда ( , ) ( ; ) ( , ) ( , )r u v r u v r r u r v              * * ( ( , ) ) ( ( , ) ) ( , ) ( , ).r r u r r v r r u r v               Задача минимизации функции ( ) max ( , ),SR u r u    на допустимом множестве U управляющих факторов, в общих чертах, сталкива- ется со следующими трудностями:  для каждого состояния природы невозможно точно вычислить значения min ( , ) u U r u   и, более того, значение функции сожаления ( , );r u   в случае если множество  содержит, очень много элементов или даже бесконечное число элементов, становится проблематичной «корректная» оценка функции ( ),SR u без которой невозможно решить задачу в целом. В этом контексте особый интерес представляет определение конструктив- ных и эффективных схем решения задачи, даже в выпуклых случаях, в которых присутствует функция сожалений Сэвиджа. Далее, предполагается, что множество состояний природы  состоит из конечного числа элементов: 1{ ,..., ,..., }.i m    На основе метода проекции обобщенного градиента рас- сматривается численная схема решения проблемы минимизации функции Сэвиджа на множестве U. Для этого параллельно строятся 1m вычислитель- ный процесс, подобных, самому методу проекции обобщенного градиента. То есть, для каждого i=1,2,..., m инициируются m итерационных вычислитель- ных процессов, каждый из которых определяет приближенные значения 1min ( , ) u U r u   , 2min ( , ) u U r u   ,..., min ( , )m u U r u   , 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ( , )),k k k i U i i k i iu u h gradr u      1, .i m Здесь ( )( , )k i igradr u  обобщенный градиент функции ( , )ir u  для ( ) k iu u . Следовательно принимается во внимание, что с ростом значений k, величина ( )( , )k i ir u  будет все ближе и ближе к величине ( )( , ) min ( , ),i i i u U r u r u     1, .i m НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ISSN 2616-5619. Теорія оптимальних рішень. 2018, № 17 133 При этом оценки ( )( , )k i ir u  используются для построения ( 1)m -го итера- ционного процесса (причем, последний процесс, выполняется параллельно с первыми m процессами): 1 ( ( )),k k k U k Su u h gradR u     где 0,u любой элемент из ,U а ( ) 1 ( ) max[ ( , ) ( , )].k k k S i i i i m R u r u r u       При реализации соответствующих вычислительных процессов, предполага- ется выполнение необходимых условий относительно величин шаговых мно- жителей, для обеспечения сходимости последовательностей { 1 ku }, { 2 ku }, ..., ..., { k mu } и :ku ( ) 0;i kh  ( ) 0;i kh  ( )0 ;i kk h     1, ,i m 0;kh  0;kh  0 .kk h     Линейная модель. Пусть модель имеет такой вид: 1 ( , ) ( ) , n j j j r u C u      (1) 1 , 1, , , 1, n ij j i j j j j a u b i m u u u j n             (2) где – ( , )r u  полезность (например, гипотетический доход предприятия), выра- женная в денежном эквиваленте, в зависимости от пары ( , ).u  С точки зрения критерия Вальда требуется определить значение: * D D ( ) max ( ) max min ( , ),W W u u R u R u r u      где D – множество, определенное ограничениями (2). Таким образом, в этом случае, задача maxmin, а не minmax. Необходимо на множестве D решить задачу ( ) min ( , ) max.W u R u r u     Описание алгоритма. Определяются следующие функции 1 ( ) , 1, , n i ij j i j u a u b i m       и множество   1 ,..., ,..., : , 1, .j n j j jU u u u u u u u j n     Для 0,1,...,k  применяя правило проектирования, определяется последовательность 0 1 1, ,..., , ,... .k ku u u u U   1 ,k k k U ku u h              1 1 ( ) ,..., ,..., , если ( ) 0 i 1, 2, ..., ; – , ..., , ..., , , если ( ) 0. k k k k T k k k k W j n i k T k i i j i n i grad R u C C C u m a a a u                    ( )k Wgrad R u – обобщенный градиент функции ( );WR u для ,ku u     ( ) , min , , ,k k k k k WR u r u r u          1 ( ) max ( ), 1, 2, ..., . k k k k i i i m u u i m       А.Ф. ГОДОНОГА, Л.Л. ГОЛБАН, Б.М. ЧУМАКОВ 134 ISSN 2616-5619. Теорія оптимальних рішень. 2018, № 17 Критерий Сэвиджа. Допустим, что известно решение * ( ) : ( ( ), )u r u    max ( , ). u r u  Рассматривается функция ( , )Sr u   ( ( ), ) ( , ) 0r u r u     , пред- ставляющая стоимость сожаления. На рис. 1 показаны графики функций Вальда ( )WR u и Сэвиджа  SR u для двух состояний природы. Таким образом, в данном случае необходимо на множестве D, описанным ограничениями (2) минимизи- ровать функцию Сэвиджа  .SR u РИС. 1. Графическая интерпретация функций Вальда, Сэвиджа и соответствующие варианты решения * ,Wu * Su Численное исследование предлагаемых алгоритмов. Пусть  1 2, ,   1 1 2( , ) 3 9r u u u   2 1 2( , ) 6 4 .r u u u   Множество U определено на следующих интервалах (0,0) :u  (90,120);u  а первая подсистема ограничений (2) имеет вид: 1 23 1 240;u u  1 25,7 5 360;u u  1 27 4 420.u u  Максимальное количество итерации max 100000.k  На рис. 2 показаны полученные оптимальные значения: а) критерий Вальда * (41,37815;24,82751).Wu  Согласно алгоритму опти- мальные значения ( )W WR u изменяются между: 2( , )Wr u   347,5789, * 1( , ) 347,58203.Wr u   Критерий предполагает, что ЛПР, внимательно рассмат- ривает альтернативы, чтобы выбрать вариант, который имеет максимальную полезность в самых неблагоприятных условиях, независимо от того, какое усло- вие будет происходить; НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ISSN 2616-5619. Теорія оптимальних рішень. 2018, № 17 135 РИС. 2. Графическое изображение оптимальных вариантов согласно критериям Вальда и Сэвиджа б) критерий Сэвиджа. Для * Su = (8,95; 61,79) функции цели оцениваются 1( , )r u  582,99062 и 2( , )r u  300,89167. Следует отметить, что, хотя целевые функции имеют разные значения, сожаление по каждому из них одно и то же. ЛПР, кто предпочитает применять критерий Сэвиджа, более подвержены риску, чем ЛПР, кто предпочитает критерий Вальда. В этом случае, даже если шансы на достижение двух состояний природы неизвестны, ЛПР, скорее всего, предпочтет выбрать стратегию * Su для экономической системы, в которой он работает. Задача транспортного типа и критерий Сэвиджа. Рассматривается модель транспортной задачи (ТЗ), в которой стоимости перевозок зависят от возможных «состояний природы», т. е. величин . 1 1 ( , ) ( ) , m n ij ij i j Z x C x       (3) , 1 1, , n ij i j x a i m    1 , 1, , m ij j i x b j n    0.ijx  (4) 1 2{ , ,..., }.r    (5) А.Ф. ГОДОНОГА, Л.Л. ГОЛБАН, Б.М. ЧУМАКОВ 136 ISSN 2616-5619. Теорія оптимальних рішень. 2018, № 17 В случае, когда отсутствует информация об  принятие решения следует проецировать на концепцию «минимального сожаления» или критерий Сэвиджа. Предлагается модель  ( ) max ( , ) ( ) min,SZ x Z x Z       где ( )Z   min ( , ), x D Z x    , ( )SZ x – недифференцируемая, кусочно-линейная выпук- лая функция и вычисление субградиента функции не представляет существен- ных трудностей. В условиях (4), (5) рассматриваются r задач: 1 1 ( , ) ( ) min m n k k ij ij i j Z x C x        , k = 1,2, ... r. Пусть * min ( , ),k kZ Z x  а ( , )k kZ x Z  – величина сожаления, если со- стояние природы .k  Тогда   1 ( ) max ( , )k S k k r Z x Z x Z      – это минимальное значение сожаления при плане перевозок { },ijx x 1, ;i m 1, .j n Алгоритм определения варианта * Sx : ( ) min ( ).S S S x D Z x Z x   Определяем функции 1 1 ( ,..., ) , n i i in ij i j x x x a     1, ;i m 1 1 ( ,..., ) , m j j mj j ij i x x b x     1, .j n Пусть начальное решение  0 0 0: 0ij ijx x x  из  { },ijX x x  1, ; 1, : 0 .iji m j n x   Далее, применяется модифицированный [3] метод обобщенного градиента, адаптированный к структуре данных и определяется следующий итеративный процесс последовательного определения матриц 1 1,..., , s sx x x  ( ).s s sX x g   Здесь  s s ijg g определяет направление движе- ния на итерации (s+1), s – регулируется автоматически: 0,s  0,s  0 ,s s      { }s s ijx x , 1, ;i m 1,j n – принятое решение на итерации s. Пусть ( ) 0i   и ( ) 0j   для ,sx x тогда ,s s ij ijg C   1 : ( ) max ( , ) .s s s k S k k r C Z x Z x Z      В этом случае ( , ) ( ) .s k k s ij ij i j Z x C x    Пусть 1( ) 0i   ,..., ( ) 0il   и/или 1( ) 0j   ,..., ( ) 0jt   , 1 l m  ; 1 t n  . В таких случаях если 1 ( ,..., ) 0,s s i i inx x  тогда 1s ijg  ; если 1 ( ,..., ) 0s s i i inx x  , тогда 0;s ijg  если 1 ( ,..., ) 0s s j j jmx x  , 1s ijg   ; если 1 ( ,..., ) 0s s j j jmx x  , тогда 0s ijg  ; если 1 ( ,..., ) 0s s i i inx x  и 1 ( ,..., ) 0s s j j jmx x  тогда 1, если ( ) ( ) . 1, если ( ) ( ) i js ij i j g                   НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ISSN 2616-5619. Теорія оптимальних рішень. 2018, № 17 137 Описаны теоретические и практические аспекты важности процесса приня- тия решений в условиях неопределенности и анализированы два наиболее важ- ных критерия принятия решений: Вальда и Сэвиджа. Предлагаемые алгоритмы для условий, в которых ЛПР имеют бесконечное количество альтернатив, могут обеспечить эффективные, в режиме реального времени, решения различных практических ситуаций. В представленном исследовании подчеркиваются осо- бенности каждой модели. Полученные результаты подтверждают их эффектив- ность и точность. Такие алгоритмы необходимы для лиц, принимающих реше- ния в рамках экономической системы, но которые не имеют достаточной соот- ветствующей информации о проявлении неконтролируемых факторов. А.Ф. Годонога, Л.Л. Голбан, Б.М. Чумаков ДЕЯКІ МОДЕЛІ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ Розглядаються деякі моделі прийняття рішень в умовах невизначеності та наводиться їх аналіз з точки зору критеріїв Вальда і Севіджа. Залежно від аналізованого критерія, отримувані математичні моделі відрізняються різним ступенем складності з точки зору їх оптимізації. A.F. Godonoga, L.L. Golban, B.M. Chumakov SOME MODELS FOR DECISION-MAKING IN UNDERSTANDING CONDITIONS The considered models of decision-making under uncertainty are analyzed from the point of view of the Wald and Savage criteria. Depending on the investigated criterion, the resulting mathematical models differ in varying degrees of complexity from the point of view of their optimization. Список литературы 1. Hamdy A. Taha. Operations research an introduction, 3rd edition. London. 1982. 2. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев. Наук. думка, 1979. 3. Anatol Godonoagă, Anatolie Baractari. Modele economice nediferentiabile. Aspecte decizionale. Editura ASEM, Chisinău. 2011. Р. 52 – 100. 4. Savage L.J. The theory of statistical decision. J. Amer. Statist. Assoc. 1951. Vol. 46, N 1. Р. 55 – 67. 5. Andrei Gamețchi, Dumitru Solomon. Cercetări operaționale. Vol. I. Chișinău, Evrica, 2015. Р. 209 – 216. Получено 17.04.2018

Некоторые модели принятия решений в условиях неопределенности

Institution

Ähnliche Einträge