Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости

Получены как порядковые оценки (в случае приближения в равномерной метрике), так и точные по порядку оценки (в случае приближения в интегральной метрике) для наилучшего m-членного тригонометрического приближения периодических функций обобщенной смешанной гладкости из классов, близких классам типа Ни...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автор:	Стасюк, С.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2016
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/145081
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости / С.А. Стасюк // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 3. — С. 408-420. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-145081
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1450812019-01-15T01:23:35Z Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости Стасюк, С.А. Получены как порядковые оценки (в случае приближения в равномерной метрике), так и точные по порядку оценки (в случае приближения в интегральной метрике) для наилучшего m-членного тригонометрического приближения периодических функций обобщенной смешанной гладкости из классов, близких классам типа Никольского–Бесова. При этом каждая из верхних оценок реализуется конструктивным методом, основанным на жадных алгоритмах. The order bounds (in the case of uniform metrics) and exact order bounds (in the case of integral metrics) for the best m-term trigonometric approximation of periodic functions with generalized mixed smoothness from classes close to the Nikol’skii–Besov-type ones are obtained. Every of the upper bounds is realized by a constructive method based on greedy algorithms. 2016 Article Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости / С.А. Стасюк // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 3. — С. 408-420. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 41A10, 41A25, 41A30, 41A46, 41A63. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/145081 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Получены как порядковые оценки (в случае приближения в равномерной метрике), так и точные по порядку оценки (в случае приближения в интегральной метрике) для наилучшего m-членного тригонометрического приближения периодических функций обобщенной смешанной гладкости из классов, близких классам типа Никольского–Бесова. При этом каждая из верхних оценок реализуется конструктивным методом, основанным на жадных алгоритмах.
format	Article
author	Стасюк, С.А.
spellingShingle	Стасюк, С.А. Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости Український математичний вісник
author_facet	Стасюк, С.А.
author_sort	Стасюк, С.А.
title	Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости
title_short	Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости
title_full	Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости
title_fullStr	Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости
title_full_unstemmed	Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости
title_sort	конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/145081
citation_txt	Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости / С.А. Стасюк // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 3. — С. 408-420. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT stasûksa konstruktivnyerazrežennyetrigonometričeskiepribliženiâdlâfunkcijobobŝennojsmešannojgladkosti
first_indexed	2025-07-10T20:48:26Z
last_indexed	2025-07-10T20:48:26Z
_version_	1837294432362168320
fulltext	Український математичний вiсник Том 13 (2016), № 3, 408 – 420 Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости Сергей А. Стасюк (Представлена В.Я. Гутлянским) Аннотация. Получены как порядковые оценки (в случае прибли- жения в равномерной метрике), так и точные по порядку оценки (в случае приближения в интегральной метрике) для наилучшего m-членного тригонометрического приближения периодических фун- кций обобщенной смешанной гладкости из классов, близких классам типа Никольского–Бесова. При этом каждая из верхних оценок реа- лизуется конструктивным методом, основанным на жадных алгори- тмах. 2010 MSC. 41A10, 41A25, 41A30, 41A46, 41A63. Ключевые слова и фразы. Нелинейное приближение, разрежен- ное приближение, обобщенная смешанная гладкость, порядковые оценки. 1. Введение В настоящей работе изучаются вопросы, связанные с получением как порядковых оценок (в случае приближения в равномерной метри- ке), так и точных по порядку оценок (в случае приближения в инте- гральной метрике) для наилучших m-членных тригонометрических приближений классов периодических функций нескольких перемен- ных, которые близки к функциональным классам типа Никольского– Бесова с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности специального вида. Отметим, что полученные оценки сверху реали- зуются конструктивными методами, основанными на жадных алго- ритмах, т. е. являются конструктивными оценками сверху для наи- лучших m-членных тригонометрических приближений упомянутых классов типа Никольского–Бесова обобщенной смешанной гладкости. Статья поступила в редакцию 16.08.2016 Работа выполнена при частичной поддержке FP7-People-2011-IRSES (проект № 295164 (EUMLS: EU–Ukrainian Mathematicians for Life Sciences)). ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України С.А. Стасюк 409 Пусть Lp := Lp(Td), 1 ≤ p ≤ ∞, Td := ∏d j=1[0, 2π), — пространство функций f(x) = f(x1, . . . , xd), 2π-периодических по каждой перемен- ной и суммируемых в степени p, 1 ≤ p < ∞ (соответственно суще- ственно ограниченных при p = ∞), на Td, с такой нормой ∥f∥p := ∥f∥Lp(Td) := ( (2π)−d ∫ Td \|f(x)\|p dx )1/p , ∥f∥∞ := ∥f∥L∞(Td) := ess sup x∈Td \|f(x)\|. Пусть Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — заданная функция типа смешанно- го модуля непрерывности порядка l, т.е. функция, определенная и непрерывная при tj ≥ 0, j = 1, . . . , d, которая удовлетворяет следую- щим условиям: 1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, . . . , d; Ω(t) = 0, ∏d j=1 tj = 0; 2) Ω(t) возрастает по каждой переменной; 3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤ C ∏d j=1m l jΩ(t), mj ∈ N, j = 1, . . . , d. Предполагаем, что функция Ω(t) дополнительно удовлетво- ряет условиям (Sα), (Sγ), которые называют условиями Бари– Стечкина [1] и которые опишем в терминах двух понятий, предло- женных С. Н. Бернштейном [2]. Неотрицательная функция ϕ(τ), τ ∈ (0,∞) почти возрастает (убывает), если существует постоянная C1 > 0 (C2 > 0) такая, что ϕ(τ1) ≤ C1ϕ(τ2) (ϕ(τ1) ≥ C2ϕ(τ2)) для любых τ1, τ2, 0 < τ1 < τ2. Функция одной переменной φ(τ) ≥ 0 удовлетворяет условию (Sα), если существует α > 0 такое, что функция φ(τ)/τα почти возрастает при τ > 0. Функция φ(τ) ≥ 0 удовлетворяет условию (Sγ), если существует γ, 0 < γ < l, такое, что функция φ(τ)/τγ почти убывает при τ > 0. Будем говорить, что функция Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) удовлетворя- ет условиям (Sα) и (Sγ), если она удовлетворяет этим условиям по каждой переменной tj при фиксированных значениях остальных пе- ременных. Множество функций Ω, для которых выполняются сформулиро- ванные выше условия 1–3, а также условия Бари–Стечкина (Sα) и (Sγ), будем обозначать через Φα,γ . Заметим, что более детально со свойствами смешанных модулей непрерывности можно ознакомиться в обзоре [3]. Для 1 < p <∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, Ω ∈ Φα,γ пространство MBΩ p,θ опреде- ляется следующим образом (см. [4] (θ = ∞) и [5] (1 ≤ θ <∞)): MBΩ p,θ := { f ∈ Lp(Td) : \|\|f \|\|MBΩ p,θ <∞ } , (1.1) 410 Конструктивные разреженные приближения... где \|\|f \|\|MBΩ p,θ := (∑ s ( Ω(2−s) )−θ \|\|δs(f)\|\|θp ) 1 θ , 1 ≤ θ <∞, (1.2) \|\|f \|\|MBΩ p,∞ := \|\|f \|\|MHΩ p := sup s \|\|δs(f)\|\|p Ω(2−s) , (1.3) а Ω(2−s) := Ω(2−s1 , . . . , 2−sd), δs(f) := δs(f,x) := (f ∗ Dρ(s))(x), Dρ(s) := ∑ k∈ρ(s) e i(k,x), (k,x) := k1x1 + · · · + kdxd, ρ(s) :={ k = (k1, . . . , kd) : 2sj−1≤ \|kj \| <2sj , sj∈ Z+, kj∈ Z, j= 1, . . . , d } (сим- волом “∗” обозначена операция свёртки двух функций, т. е. (φ ∗ g)(x) := (2π)−d ∫ Td φ(y) g(x− y) dy для φ, g ∈ L1(Td)). Заметим, что при θ = ∞ MBΩ p,∞ ≡ MHΩ p . Шкала пространств MBΩ p,θ является естественным обобщением шкалы функциональных пространств (смешанной гладкости) Никольского–Бесова MBr p,θ (см., например, [6, 7]) и MBΩ p,θ ≡ MBr p,θ при Ω(t) = tr11 . . . trdd , 0 < rj < l, j = 1, . . . , d. Заметим, что при предельном значении параметра θ, т.е. при θ = ∞, MBr p,θ ≡ MHr p — пространства С.М. Никольского, а при конечном значении параметра θ, т.е. при 1 ≤ θ < ∞, MBr p,θ — пространства О.В. Бесова. Иногда функциональные пространства MBr p,θ, 1 ≤ θ ≤ ∞, называют пространствами Никольского–Бесова– Аманова (см., например, [8, 9]). Единичные шары пространств MBΩ p,θ будем обозначать MBΩ p,θ и называть их классами. С аппроксимативной точки зрения классы MBΩ p,θ с мажорантой Ω ∈ Φα,γ наиболее общего вида исследовались в ограниченном числе работ (см., например, [10–12,14,15], а также [16] для непериодических функций), в отличие от случая, когда Ω имеет вид (1.4). Итак, далее будем рассматривать пространства MBΩ p,θ в случае, когда гладкостная функция Ω имеет вид Ω(t) = ω(t1 . . . td), (1.4) где ω(τ), ω ∈ Φα,γ , — функция одной переменной типа модуля не- прерывности порядка l, l ∈ N. Для пространств MBΩ p,θ с функцией Ω, определяемой с помощью (1.4), будем использовать обозначение MBω p,θ вместо MBΩ p,θ. Наряду с пространствами MBω p,θ рассмотрим близкие к ним про- странства MHω p,θ, 1 < p <∞, 1 ≤ θ < ∞, ω ∈ Φα,γ , которые опреде- ляются таким образом: MHω p,θ := { f ∈ Lp(Td) : \|\|f \|\|MHω p,θ <∞ } , (1.5) С.А. Стасюк 411 где \|\|f \|\|MHω p,θ := sup j ( ∑ \|\|s\|\|1=j ( ω(2−\|\|s\|\|1) )−θ \|\|δs(f)\|\|θp ) 1 θ , (1.6) а \|\|s\|\|1 := s1 + · · · + sd. При θ = ∞ полагаем MHω p,∞ ≡MHω p , а \|\|f \|\|MHω p,∞ := \|\|f \|\|MHω p (см. (1.3)). Для определенных выше функциональних пространств, исходя из определений (1.1), (1.2), (1.3), (1.5), (1.6), виполняются такие вложе- ния: MBω p,θ ⊂MHω p,θ ⊂MHω p , 1 ≤ θ <∞, (1.7) MHω p,θ1 ⊂MHω p,θ2 , 1 ≤ θ1 < θ2 <∞. Через MBω p,θ и MHω p,θ обозначим единичные шары пространств MBω p,θ и MHω p,θ соответственно, т.е. MBω p,θ := { f ∈MBω p,θ : \|\|f \|\|MBωp,θ ≤ 1 } , (1.8) MHω p,θ := { f ∈MHω p,θ : \|\|f \|\|MHω p,θ ≤ 1 } . (1.9) В случае ω(τ) = τ r, r > 0, имеем MBω p,θ ≡ MBr p,θ, MHω p,θ ≡ MHr p,θ. Классы MHr p,θ введены В.Н. Темляковым [17]. Вопросы, свя- занные с нахождением порядковых оценок нелинейного приближения классов MHr p,θ изучались в [17–20] (для m-членного приближения по тригонометрической системе) и в [21] (для m-членного приближения по тензорной системе Хаара). Пусть Θm — произвольный набор из m точек с целочисловой ре- шетки Zd. Для P (Θm,x) := m∑ k=1 cke i(nk,x), ck ∈ C, и f ∈ Lq(Td) рассмотрим величину σm(f)q := inf Θm inf P (Θm,·) \|\|f(·) − P (Θm, ·)\|\|q, (1.10) которая называется наилучшим m-членным тригонометрическим приближением функции f в метрике пространства Lq(Td) и является одним из видов разреженного тригонометрического приближения. Для функционального класса F ⊂ Lq(Td) положим σm(F )q := sup f∈F σm(f)q. (1.11) 412 Конструктивные разреженные приближения... Детальнее с историей исследования величин (1.10) и (1.11) можно ознакомиться, например, из монографии [22], обзора [19], и работ [17, 18, 23]. Касательно исследования поведения величины σm(MBω p,θ)q с целью установления для нее порядковых оценок (при определенных соотношениях между параметрами) отметим работы [20,24–26]. Приведём ещё необходимые определения и утверждения. Пусть Π(N, d) := {(a1, . . . , ad) ∈ Rd : \|aj \| ≤ Nj , Nj ∈ Z+, j = 1, . . . , d}, T (N, d) := { t : t = ∑ k∈Π(N,d) cke i(k,x) } , тогда dim T (N, d) = d∏ j=1 (2Nj + 1) =: ϑ(N). (1.12) Далее, обозначим \|\|f \|\|A := ∑ k f̂(k), T d := {ei(k,x)}k∈Zd , m := max{1,m}. Теорема А [17]. Существуют конструктивные методы аппро- ксимации типа жадных Gqm(·), приводящие к m-членным многочле- нам по системе T d со следующими свойствами: при 2 ≤ q <∞ \|\|f −Gqm(f)\|\|q ≤ C1(d)(m)−1/2q1/2\|\|f \|\|A, (1.13) \|\|Gqm(f)\|\|A ≤ C2(d)\|\|f \|\|A, а при q = ∞ и f ∈ T (N, d) \|\|f −G∞ m (f)\|\|∞ ≤ C3(d)(m)−1/2(lnϑ(N))1/2\|\|f \|\|A, (1.14) \|\|Gqm(f)\|\|A ≤ C4(d)\|\|f \|\|A. Заметим, что для двух положительных величин A и B запись A ≍ B означает, что существует положительная величина C такая, что C−1A ≤ B ≤ CA. В случае B ≥ C−1A или B ≤ CA будем пи- сать B ≫ A или B ≪ A соответственно. Для величин Cj , j ∈ N, которые будут встречаться в работе явным или неявным образом, существенным является то, что они не зависят от одного, обозначен- ного контекстом параметра. В некоторых случаях для величин Cj , j ∈ N, существенным будет являться то, что они не будут зависеть от нескольких параметров, обозначенных контекстом. С.А. Стасюк 413 Теорема Б [24, 25]. Пусть 1 < p < q ≤ ∞, q > 2, 1 ≤ θ ≤ ∞, ω ∈ Φα,γ, α > max{1/p; 1/2}, тогда σm(MBω p,θ)q ≍ ω ( logd−1m m )( m logd−1m )(1/p−1/2)+ (logm)(d−1)(1/2−1/θ) (1.15) для 2 < q <∞, а ω ( logd−1m m )( m logd−1m )(1/p−1/2)+ (logm)(d−1)(1/2−1/θ) ≪ σm(MBω p,θ)∞ ≪ ω ( logd−1m m )( m logd−1m )(1/p−1/2)+ (logm)(d−1)(1/2−1/θ)++1/2, (1.16) где a+ := max{a; 0}. Заметим, что (1.15) и (1.16) установлены в [24] и [25] соответствен- но. Установление оценок сверху в (1.15) (1.15) и (1.16) (1.16) базиро- валось на использовании следующих двух лемм неконструктивного характера (более детально об этом еще будет идти речь в следующем разделе). Лема A. [27]. Пусть 2 < q < ∞. Тогда для любого тригоно- метрического полинома Q(ΘN , x) и для любого M < N найдется тригонометрический полином P (ΘM , x), такой что \|\|Q(ΘN , ·) − P (ΘM , ·)\|\|q ≪ √ NM−1\|\|Q(ΘN , ·)\|\|2, и при этом ΘM ⊂ ΘN . Лема Б. [28]. Для любого тригонометрического полинома Q(ΘN , x) степени не превосходящей K и для любого M < N суще- ствует тригонометрический полином P (ΘM , x), такой что \|\|Q(ΘN , ·) − P (ΘM , ·)\|\|∞ ≪ √ NM−1 logK\|\|Q(ΘN , ·)\|\|2, и при этом ΘM ⊂ ΘN . В завершение этого раздела приведем определение еще одного функционального класса, исследуемого в данной работе с аппрокси- мационной точки зрения и с точки зрения некоторых вложений. При f ∈ L1 положим fj := ∑ \|\|s\|\|1=j δs(f), j ∈ Z+. 414 Конструктивные разреженные приближения... и рассмотрим класс функций MWλ,b A := {f : \|\|fj \|\|A ≤ λ(2−j)j(d−1)b}, где λ ∈ Φα,γ , b ∈ R. Заметим, что в случае λ(τ) = τ r, r > 0, классы MWλ,b A совпадают с классами MWr,b A , предложенными для рассмо- трения В.Н. Темляковым [17]. В следующем, втором, разделе будут приведены полученные ре- зультаты и комментарии к ним. Дальнейший, последний, т.е. третий раздел будет содержать доказательства результатов, сформулирован- ных во втором разделе. В завершение текущего раздела отметим, что полученные в данной работе для более широких (за исключени- ем случая, когда θ = ∞) классов оценки их наилучшего m-членного тригонометрического приближения по сути те же, что и в теореме Б. Но отличительной особенностью является то, что оценки сверху при этом реализуются конструктивными методами и в то же время яв- ляются конструктивными оценками сверху, которые базируются на жадных алгоритмах, в (1.15) и (1.16). 2. Основные результаты и комментарии к ним Имеют место следующие утверждения. Лемма 2.1. Пусть 2 ≤ q ≤ ∞, λ ∈ Φα,γ с некоторым α > µ > 0, тогда имеется конструктивный метод Am(·, q, µ), опирающийся на жадные алгоритмы, который для f ∈ MWλ,b A приводит к оценке \|\|f −Am(f, q, µ)\|\|q ≪ λ ( logd−1m m ) m−1/2(logm)(d−1)b, 2 ≤ q <∞, (2.1) \|\|f −Am(f,∞, µ)\|\|∞ ≪ λ ( logd−1m m ) m−1/2(logm)(d−1)b+1/2. (2.2) Теорема 2.1. Пусть 1 < p < q ≤ ∞, q > 2, 1 ≤ θ ≤ ∞, ω ∈ Φα,γ, α > max{1/p; 1/2}, тогда σm(MHω p,θ)q ≍ ω ( logd−1m m )( m logd−1m )(1/p−1/2)+ (logm)(d−1)(1/2−1/θ) (2.3) С.А. Стасюк 415 для 2 < q <∞, а ω ( logd−1m m )( m logd−1m )(1/p−1/2)+ (logm)(d−1)(1/2−1/θ) ≪ σm(MHω p,θ)∞ ≪ ω ( logd−1m m )( m logd−1m )(1/p−1/2)+ (logm)(d−1)(1/2−1/θ)+1/2. (2.4) Оценки сверху обеспечиваются конструктивным методом A(·, q, µ), основанным на жадных алгоритмах. В завершение сформулированных результатов приведём некото- рые комментарии. Замечание 1. В случаях λ(τ) = τ r, r > µ > 0 и ω(τ) = τ r, r > max{1/p; 1/2} лемма 2.1 для классов MWr,b A и теорема 2.1 для классов MHr p,θ установлены В.Н. Темляковым [17]. Замечание 2. Сравнивая результаты теоремы 2.1 с результатами теоремы Б, вследствие вложения (1.7) можем записать ω ( logd−1m m )( m logd−1m )(1/p−1/2)+ (logm)(d−1)(1/2−1/θ) ≪ σm(MBω p,θ)q ≤ σm(MHω p,θ)q ≪ ω ( logd−1m m )( m logd−1m )(1/p−1/2)+ (logm)(d−1)(1/2−1/θ)+[1−1/q]/2, (2.5) где 2 < q ≤ ∞, a [a] — целая часть числа a. Из (2.5) делаем вывод о совпадении точных по порядку оценок величины σm(F )q на классах F = MHr p,θ и F = MBr p,θ при 2 < q <∞. В случае q = ∞ верхняя и нижняя оценки в (2.5) уже не сов- падают по порядку (отличаются на (logm)1/2). Кроме этого, при 1 ≤ θ < 2 удалось достичь улучшения оценки сверху для σm(MBr p,θ)∞ (см. (2.5)) в сравнении с установленной ранее оценкой (1.16). Замечание 3. Теорема 2.1 дополняет теорему Б в том смысле (см. (2.5)), что для σm(MBω p,θ)q дает оценки сверху, которые являются конструктивными, в то время, как полученные в теореме Б оцен- ки сверху для σm(MBω p,θ)q не являлись конструктивными, поскольку построение приближающего m-членного тригонометрического поли- нома для реализации оценок сверху в (1.15) и (1.16) базировалось на применении неконструктивных лемм А и Б, соответственно. 416 Конструктивные разреженные приближения... 3. Доказательства результатов 3.1. Доказательство леммы 2.1. Пусть m ≍ 2nnd−1, (3.1) и f ∈ MWλ,b A . Докажем сначала (2.2). По теореме А для q = ∞, учитывая (1.12), имеем \|\|fj −G∞ mj (fj)\|\|∞ ≪ (mj) −1/2(ln 2j)1/2\|\|fj \|\|A ≪ (mj) −1/2j1/2λ(2−j)j(d−1)b. (3.2) Положим mj := [2n−µ(j−n)jd−1], j = n, n+ 1, . . . , (3.3) Am(f, q, µ) := SQn(f) + ∑ j>n Gqmj (fj), 2 ≤ q ≤ ∞, (3.4) где SQn(f) := (f ∗ DQn)(x), DQn := ∑ k∈Qn e i(k,x), Qn := ∑ \|\|s\|\|1≤n ρ(s). Убедимся, что приближающий полином Am(f, q, µ) в действитель- ности содержит по порядку не более, чем m гармоник. Вследствие ♯Qn ≍ 2nnd−1, (3.3) и (3.1) имеем dimAm(f, q, µ) = ♯Qn + ∑ j>n mj ≪ 2nnd−1 + 2n+µn ∑ j>n 2−µjjd−1 ≪ 2nnd−1 ≍ m. Учитывая (3.4), (3.2), (3.3), λ ∈ Φα,γ , α > µ > 0, а также (3.1), получим \|\|f −Am(f,∞, µ)\|\|∞ ≤ ∑ j>n \|\|fj −G∞ mj (fj)\|\|∞ ≪ ∑ j>n (mj) −1/2λ(2−j)j(d−1)b+1/2 ≤ 2−(n+µn)/2 ∑ j>n λ(2−j) 2−αj 2−(α−µ/2)jj(d−1)(b−1/2)+1/2 ≪ 2−(n+µn)/2 λ(2−n) 2−αn ∑ j>n 2−(α−µ/2)jj(d−1)(b−1/2)+1/2 С.А. Стасюк 417 ≍ λ(2−n)2−n/2n(d−1)(b−1/2)+1/2 ≍ λ ( logd−1m m ) m−1/2(logm)(d−1)b+1/2. Доказательство (2.1) аналогично доказательству (2.2) и, по сути, содержит те же шаги. Отличие состоит лишь в том, что вместо (1.14), использованного для оценки mj-членного приближения к fj ∈ L∞, мы воспользуемся (1.13) для оценки mj-членного приближения к fj ∈ Lq, 2 ≤ q <∞. Лемма 2.1 доказана. 2 3.2. Доказательство теоремы 2.1. Доказательство. Для начала покажем, что при 1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, λ(τ) = ω(τ)τ−1/p, ω ∈ Φα,γ с α > 1/p имеет место вложение MHω p,θ ⊂ MW λ,1−1/θ A . (3.5) Вследствие элементарных преобразований, учитывая (1.3), (1.8) и соотношение ∑ \|\|s\|\|1=j 1 ≍ jd−1, (3.6) для θ = ∞ имеем \|\|fj \|\|A ≤ ∑ \|\|s\|\|1=j \|\|δs(fj)\|\|A ≪ ∑ \|\|s\|\|1=j 2\|\|s\|\|1/p\|\|δs(fj)\|\|p = ω(2−j)2j/p ∑ \|\|s\|\|1=j (ω(2−\|\|s\|\|1))−1\|\|δs(fj)\|\|p ≤ ω(2−j)2j/p \|\|f \|\|MHω p ∑ \|\|s\|\|1=j 1 ≤ ω(2−j)2j/p ∑ \|\|s\|\|1=j 1 ≍ ω(2−j)2j/pjd−1. (3.7) Далее, аналогично, учитывая (1.6) и (1.9), для θ = 1 получаем \|\|fj \|\|A ≪ ω(2−j)2j/p ∑ \|\|s\|\|1=j (ω(2−\|\|s\|\|1))−1\|\|δs(fj)\|\|p ≤ ω(2−j)2j/p \|\|f \|\|MHω p,1 ≤ ω(2−j)2j/p. (3.8) Для 1 < θ < ∞ вследствие неравенства Гельдера, а также (1.6), (1.9) и (3.6) имеем 418 Конструктивные разреженные приближения... \|\|fl\|\|A ≪ ω(2−j)2j/p ∑ \|\|s\|\|1=j (ω(2−\|\|s\|\|1))−1\|\|δs(fj)\|\|p ≤ ω(2−j)2j/p ( ∑ \|\|s\|\|1=j ((ω(2−\|\|s\|\|1))−1\|\|δs(fj)\|\|p)θ )1/θ( ∑ \|\|s\|\|1=j 1 )1/θ′ ≪ ω(2−j)2j/p \|\|f \|\|MHω p,θ j(d−1)/θ′ ≤ ω(2−j)2j/pj(d−1)(1−1/θ), (3.9) где 1/θ + 1/θ′ = 1. Из (3.7), (3.8), (3.9) делаем вывод о выполнении вложения (3.5). Далее, в случаях 1 < p ≤ 2 < q <∞ и 1 < p ≤ 2, q = ∞, применяя лемму 1 с λ(τ) = ω(τ)τ−1/p, b = 1 − 1/θ, вследствие вложения (3.5), для f ∈MHω p,θ получаем соответственно σm(f)q ≤ \|\|f −Am(f, q, µ)\|\|q ≪ λ ( logd−1m m ) m−1/2(logm)(d−1)b = ω ( logd−1m m )( m logd−1m )1/p−1/2 (logm)(d−1)(1/2−1/θ) (3.10) и σm(f)∞ ≤ \|\|f −Am(f, q, µ)\|\|∞ ≪ ω ( logd−1m m )( logd−1m m )−1/p ×m−1/2(logm)(d−1)(1−1/θ)+1/2 = ω ( logd−1m m )( m logd−1m )1/p−1/2 (logm)(d−1)(1/2−1/θ)+1/2. (3.11) Оценки сверху в случаях 2 < p < q < ∞ и 2 < p < ∞, q = ∞ получаем вследствие вложения MHω p,θ ⊂ MHω 2,θ, p > 2, и доказанных выше оценок (3.10) и (3.11) при p = 2. Оценки снизу в (2.3) и (2.4) получаем (см. (2.5)) вследствие при- менения теоремы Б с учетом вложения (1.7). Теорема 2.1 доказана. Данная работа была завершена во время пребывания в Centre de Recerca Matemàtica (г. Барселона, Испания) в рамках научно- исследовательской программы по конструктивной теории приближе- ний и гармоническому анализу. С.А. Стасюк 419 Литература [1] Н. К. Бари, С. Б. Стечкин, Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва, 2 (1952), 489– 523. [2] С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений: в 4 т., Т. 2, Конструктивная теория функций (1931–1953), М., Изд-во АН СССР, 1954. [3] M. K. Potapov, B. V. Simonov, S. Yu. Tikhonov, Mixed moduli of smoothness in Lp: a survey // Surveys in Approximation Theory, 8 (2013), 1–57. [4] Н. Н. Пустовойтов, Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывности // Anal. Math., 20 (1994), No. 1, 35–48. [5] Y. Sun, H. Wang, Representation and approximation of multivariate peri- odic functions with bounded mixed moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова, 219 (1997), 356–377. [6] В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной произво- дной // Тр. МИАН СССР, 178 (1986), 1–112. [7] П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной глад- кости с декомпозиционной точки зрения // Тр. МИАН СССР, 187 (1989), 143–161. [8] Т.И. Аманов, Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной, Алма-Aта, Наука, 1976. [9] Г. А. Акишев, Оценки колмогоровских поперечников классов Никольского– Бесова–Аманова в пространстве Лоренца // Тр. ИММ УрО РАН, 21 (2015), No. 4, 3–13. [10] Н. Н. Пустовойтов, Приближение многомерных функций с заданной ма- жорантой смешанных модулей непрерывности // Мат. заметки, 65 (1999), No. 1, 107–117. [11] С. А. Стасюк, Наилучшие приближения периодических функций многих пе- ременных из классов BΩ p,θ // Матем. заметки, 87 (2010), No. 1, 108–121. [12] С. А. Стасюк, Приближение суммами Фурье и колмогоровские поперечники классов MBΩ p,θ периодических функций нескольких переменных // Тр. ИММ УрО РАН, 20 (2014), No. 1, 247—257. [13] С. А. Стасюк. Приближение классов MBΩ p,θ суммами Валле Пуссена в рав- номерной метрике // Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики: Зб. праць Iн-ту математики НАН України, Київ, Iн-т матема- тики НАН України, 11 (2014), No. 4, 308–317. [14] Н. В. Дерев’янко, Наближення класiв HΩ p перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi Lq // Укр. мат. журн., 66 (2014), No. 5, 634–644. [15] Ш. А. Балгимбаева, Т. И. Смирнов, Оценки поперечников Фурье классов пе- риодических функций со смешанным модулем гладкости // Тр. ИММ УрО РАН, 21 (2015), No. 4, 78–94. [16] S. A. Stasyuk, S. Ya. Yanchenko, Approximation of functions from Ni- kolskii–Besov type classes of generalized mixed smoothness // Anal. Math., 41 (2015), No. 4, 311–334. 420 Конструктивные разреженные приближения... [17] В. Н. Темляков, Конструктивные разреженные тригонометрические при- ближения и другие задачи для функций смешанной гладкости // Матем. сб., 206 (2015), No. 11, 131—160. [18] V. N. Temlyakov, Constructive sparse trigonometric approximation for functions with small mixed smoothness, arXiv: 1503.00282v1 [math.NA] 1 Mar 2015, 1–30. [19] D. Dũng, V. N. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic Cross Approximation, 2016, arXiv: 1601.03978v1 [math.NA] 15 Jan 2016, 1–154. [20] С. А. Стасюк, Найкраще m-членне тригонометричне наближення перiоди- чних функцiй малої мiшаної гладкостi з класiв типу Нiкольського–Бєсова // Укр. мат. журн., 68 (2016), No. 7, 983–1003. [21] С. А. Стасюк, Приближение некоторых гладкостных классов периодических функций многих переменных полиномами по тензорной системе Хаара // Тр. ИММ УрО РАН, 21 (2015), No. 4, 251—260. [22] А. С. Романюк, Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных, Київ, Iнститут математики НАН України, 2012, Т. 92, Працi Iнституту математики НАН України, 353 с. [23] S. A. Stasyuk, Best m-term trigonometric approximation of periodic functions of several variables from Nikol’skii–Besov classes for small smoothness // J. Approx. Theory, 177 (2014), 1–16. [24] С. А. Стасюк, Найкращi M-членнi тригонометричнi наближення класiв функцiй багатьох змiнних BΩ p,θ // Укр. мат. журн., 54 (2002), No. 3, 381– 394. [25] С. А. Стасюк, Наближення класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiн- них у рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн., 54 (2002), No. 11, 1551–1559. [26] А. Ф. Конограй, С. А. Стасюк, Найкращi M-членнi тригонометричнi набли- ження класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi Lq // Укр. мат. журн., 60 (2008), No. 9, 1206–1224. [27] Э. С. Белинский, Приближение плавающей системой экспонент на класах периодических функций с ограниченной смешанной производной // Иссле- дования по теории функций многих вещественных переменных, Ярославль, Яросл. ун-т, 1988, 16–33. [28] E. S. Belinskii, Approximation of functions of several variables by trigonometric polynomials with given number of harmonics and estimates of ε-entropy // Anal. Math., 15 (1989), No. 2, 67–74. Сведения об авторах Сергей Андреевич Стасюк Институт математики НАН Украины, Киев, Украина E-Mail: stasyuk@imath.kiev.ua

Конструктивные разреженные тригонометрические приближения для функций обобщенной смешанной гладкости

Репозитарії

Схожі ресурси