Многочлены с целыми коэффициентами и полиномы Чебышева
Статья посвящена популяризации одной из тем на границе между анализом и теорией чисел, связанной с целочисленными полиномами.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/145082 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Многочлены с целыми коэффициентами и полиномы Чебышева / Р.М. Тригуб // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 3. — С. 421-448. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-145082 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1450822019-01-15T01:23:36Z Многочлены с целыми коэффициентами и полиномы Чебышева Тригуб, Р.М. Статья посвящена популяризации одной из тем на границе между анализом и теорией чисел, связанной с целочисленными полиномами. The paper is devoted to the popularization of one of the topics at the border between analysis and number theory that is related to polynomial with integer coefficients. 2016 Article Многочлены с целыми коэффициентами и полиномы Чебышева / Р.М. Тригуб // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 3. — С. 421-448. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 11Rxx, 11R04, 12D10, 41A17, 41A29. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/145082 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Статья посвящена популяризации одной из тем на границе между анализом и теорией чисел, связанной с целочисленными полиномами. |
| format |
Article |
| author |
Тригуб, Р.М. |
| spellingShingle |
Тригуб, Р.М. Многочлены с целыми коэффициентами и полиномы Чебышева Український математичний вісник |
| author_facet |
Тригуб, Р.М. |
| author_sort |
Тригуб, Р.М. |
| title |
Многочлены с целыми коэффициентами и полиномы Чебышева |
| title_short |
Многочлены с целыми коэффициентами и полиномы Чебышева |
| title_full |
Многочлены с целыми коэффициентами и полиномы Чебышева |
| title_fullStr |
Многочлены с целыми коэффициентами и полиномы Чебышева |
| title_full_unstemmed |
Многочлены с целыми коэффициентами и полиномы Чебышева |
| title_sort |
многочлены с целыми коэффициентами и полиномы чебышева |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/145082 |
| citation_txt |
Многочлены с целыми коэффициентами и полиномы Чебышева / Р.М. Тригуб // Український математичний вісник. — 2016. — Т. 13, № 3. — С. 421-448. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT trigubrm mnogočlenyscelymikoéfficientamiipolinomyčebyševa |
| first_indexed |
2025-07-10T20:48:33Z |
| last_indexed |
2025-07-10T20:48:33Z |
| _version_ |
1837294443664769024 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 13 (2016), № 3, 421 – 448
Многочлены с целыми коэффициентами и
полиномы Чебышева
Роальд М. Тригуб
Аннотация. Статья посвящена популяризации одной из тем на
границе между анализом и теорией чисел, связанной с целочислен-
ными полиномами.
2010 MSC. 11Rxx, 11R04, 12D10, 41A17, 41A29.
Ключевые слова и фразы. Экстремальные свойства многочле-
нов, трансфинитный диаметр, основная теорема о симметричных
многочленах, целочисленный полином, теорема Минковского о выпу-
клых телах, степень алгебраического числа, критерий Эйзенштейна,
асимптотический закон распределения простых чисел, аппроксима-
ция функций целочисленными полиномами и полиномами с нату-
ральными коэффициентами, наилучшее приближение константы.
Введение
Пусть
qn(z) =
n∑
k=0
ckz
k
ненулевой многочлен с целыми коэффициентами (целочисленный по-
лином от z степени не выше n). Здесь ck (0 ≤ k ≤ n) — комплексные
числа, а Re ck и Im ck (0 ≤ k ≤ n) — целые и
n∑
k=0
|ck|2 > 0.
Нули (корни) таких полиномов c вещественными целыми коэф-
фициентами называют алгебраическими числами, а при старшем ко-
эффициенте cn = 1 — целыми алгебраическими числами. Степень
алгебраического числа, по определению, равна наименьшей степени
такого полинома, нулем которого он является. Другие нули этого по-
линома называются его алгебраически сопряженными.
Как связан максимум модуля qn на компакте с его нулями на этом
компакте?
Статья поступила в редакцию 15.09.2016
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
422 Многочлены с целыми коэффициентами...
Если |qn(zk)| < 1, где {zk}m1 — целые алгебраические числа вместе
со всеми (алгебраически) сопряженными, то qn(zk) = 0 (1 ≤ k ≤ m).
Действительно,
m∏
k=1
q(zk)
число целое в силу основной теоремы о симметрических многочленах
(см., напр., [1], 11.2) и по модулю меньше единицы, т.е. равно нулю,
а тогда и q(zk) = 0 (1 ≤ k ≤ m).
Кронекер доказал, что если z1 — целое алгебраическое число, а
z2, . . . , zm — его сопряженные, то существует полином qn такой, что
qn(z1) ̸= 0, а qn(zk) = 0 (2 ≤ k ≤ m). А если {xk}m1 — целые алгебраи-
ческие числа вместе с сопряженными лежат на [−a, a] (0 < a < 2), то
xk = 2 cos 2πyk, yk — рациональные. См., напр., [2].
Д. Гильберт, используя теорему Минковского о выпуклых телах
в Rn, указал оценку сверху для малых по модулю qn на отрезке веще-
ственной оси R в зависимости от длины отрезка и степени n, конечно.
См. ниже в разделе 2.
М. Фекете (1954) нашел критерий, т.е. необходимое и достаточное
условие, равномерного приближения непрерывной функции полино-
мами qn на отрезке. В этом критерии есть ограничение на длину
отрезка и арифметические условия на функцию (см. в разделе 3).
А. О. Гельфонд и Л. Г. Шнирельман связали вопрос о малых по
модулю qn на [0, 1] с распределением простых чисел (см. в разделе 2).
E. Hewitt и H. Zuckerman (1959) доказали, что следующие два
множества совпадают (длина отрезка меньше четырех).
I. Множество всех целых алгебраических чисел, лежащих на отрез-
ке вместе с сопряженными.
II. Множество точек отрезка, являющиеся нулями любого поли-
нома q с максимумом модуля на отрезке меньше единицы.
На вопрос С. Н. Бернштейна на I Всесоюзном съезде математиков
СССР в Харькове о наилучшем приближении константы полиномами
qn на отрезке вещественной оси, не содержащем целых чисел, сразу
откликнулись Р. О. Кузьмин и Л. В. Канторович.
При изучении этого и других вопросов аппроксимации функций
в зависимости от степени полиномов qn понадобились экстремальные
свойства полиномов, а именно, полиномов Чебышева (см. раздел 1),
как и арифметические свойства их коэффициентов (см. раздел 3).
Публикации о приближении целочисленными полиномами до 1960 г.
имели еще Г. Сегё и А. О. Гельфонд (см. обзорную статью автора [3]
(1971)).
Р. М. Тригуб 423
А теорему о равномерной аппроксимации полиномами qn см. та-
кже в [4].
Отметим еще, что I. Schur рассмотрел задачу о возможном росте
при n→ ∞ модуля коэффициента qn при старшей степени xn в пред-
положении, что все нули qn простые и лежат на [−1, 1]. См. уточнение
в [5].
В разделе 1 настоящей статьи приведены нужные экстремальные
свойства полиномов (Чебышева и др.).
В разделе 2 изучается вопрос о малых максимумах модулей qn.
В разделе 3 приведены некоторые результаты о приближении
функций многочленами с целыми и натуральными коэффициентами.
1. Трансфинитный диаметр и полиномы Чебышева
Через pn будем обозначать полином степени не выше n с любыми
коэффициентами.
Пусть E — бесконечное множество комплексных чисел, являюще-
еся компактом в C и p∗n = p∗n(E) — полином со старшим коэффици-
ентом единица такой, что
∥∥p∗n∥∥∞ =
∥∥p∗n∥∥C(E)
= max
E
∣∣p∗n(z)
∣∣ = min
{ck}
max
z∈E
∣∣∣zn +
n−1∑
k=0
ckz
k
∣∣∣
(такой полином существует при любом n в силу компактности шара
в конечномерном пространстве).
М. Фекете (1923) ввел и изучил понятие трансфинитного диаме-
тра d(E):
d(E) = lim
n→∞
n
√∥∥p∗n∥∥∞.
Существование предела вытекает из следующей леммы (Фекете):
если положительная последовательность {xn}∞1 удовлетворяет ус-
ловию: xn+m ≤ xn ·xm (m и n ∈ N), то существует предел n
√
xn при
n→ ∞.
Действительно, при xn =
∥∥p∗n∥∥
xn+m =
∥∥p∗n+m∥∥∞ ≤
∥∥p∗n · p∗m∥∥∞ ≤
∥∥p∗n∥∥∞ ·
∥∥p∗m∥∥∞ = xn · xm.
При этом в определении d(E) можно брать только полиномы со
всеми нулями в E.
Очевидно, что для любого c ∈ C d(E + c) = d(E), а d(cE) =
|c|d(E).
424 Многочлены с целыми коэффициентами...
Примеры
Трансфинитный диаметр круга (или просто окружности) равен
радиусу, эллипса — полусумме его полуосей, прямолинейного отрезка
— четверти его длины, компакта из двух отрезков [−β,−α] ∪ [α, β]
(0 < α < β) — 1
2
√
β2 − α2, лемнискаты
∣∣zm + ...
∣∣ ≤ L — m
√
L.
Полином
Tn =
p∗n∥∥p∗n∥∥∞
называют полиномом Чебышева компакта E.
Среди всех полиномов степени n с данной нормой (единица) он
имеет наибольший модуль старшего коэффициента, а этот коэффи-
циент положительный.
Определим полином Чебышева для E = [−1, 1] при n ≥ 1 (T0 ≡ 1).
На вещественной оси рассматривают полином pn (и qn) с веществен-
ными коэффициентами.
Среди всех полиномов степени n ≥ 1 со старшим коэффициентом
как у Tn, полином Чебышева имеет наименьшую норму (область зна-
чений в [−1, 1]). При этом область значений совпадает с [−1, 1], так
как в противном случае добавлением к Tn малого числа по модулю
можно уменьшить sup-норму, не меняя старшего коэффициента.
Легко видеть, что именно в концах отрезка его модуль равен еди-
нице, так как d(a, b) = b−a
2 d(−1, 1). Таких точек, в которых Tn прини-
мает значения ±1 с чередующимися знаками должно быть не менее
n+ 1 (чебышевский альтернанс).
Действительно, предположим, что имеется только m ≤ n точек
x1 < x2 < ... < xm таких, что при k ∈ [1,m]
Tn(xk) = (−1)m−k∥Tn∥∞ = (−1)m−k.
Тогда при достаточно малом δ > 0
max
[−1,1]
∣∣Tn(x) − δ(x− x1)...(x− xm−1)
∣∣ < ∥∥Tn∥∥∞ = 1,
а степень полинома и его старший коэффициент не изменились. Про-
тиворечие.
И такой полином единственный, так как если T̃n — полином с той
же нормой и старшим коэффициентом, то у их разности (полином
степени ≤ n − 1) не менее n нулей и Tn ≡ T̃n. Для доказательства
нужно учесть, что если в двух соседних точках альтернанса одного из
них они не совпадают (разность принимает значения разных знаков),
то они совпадают в некоторой промежуточной точке. Если же Tn =
T̃n во внутренней точке альтернанса, то в ней и T ′
n = T̃ ′
n (локальные
экстремумы).
Р. М. Тригуб 425
Зная о существовании альтернанса из (n+1)-й точки, составляют
и решают для определения Tn дифференциальное уравнение(
1 − x2
)
(y′)2 = n2
(
1 − y2
)
.
Здесь определим Tn составляя и решая функциональное уравне-
ние.
Как видно из графика, T1(x) = x, а T2(x) = 2x2 − 1.
Обозначим нули Tn через {ξk}n1 : xk < ξk < xk+1 (1 ≤ k ≤ n).
Тогда полином 2T 2
n(x) − 1 степени 2n с нормой единица имеет
2n+ 1 точек альтернанса:
x1, ξ1, x2, ξ2, ..., ξn, xn+1.
Следовательно, 2T 2
n(x) − 1 ≡ T2n(x).
Но и полином Tn(2x2 − 1) обладает таким же свойством. Альтер-
нанс (2n+ 1 точек) следующий:
−
√
1 + xn+1
2
, −
√
1 + xn
2
, ...,
√
1 + xn
2
,
√
1 + xn+1
2
.
Так что и Tn(2x2 − 1) ≡ T2n(x). Следовательно,
2T 2
n(x) − 1 ≡ Tn(2x2 − 1).
Уже видно, что старший коэффициент Tn равен 2n−1.
Для решения возникшего функционального уравнения f(2x2 −
1) = 2f2(x) − 1 на [−1, 1] сделаем замену x = cos t:
2F 2(t) − 1 = F (2t), F (t) = f(cos t).
Считая, что F ∈ C∞ в некоторой окрестности нуля, можно после-
довательным дифференцированием найти все значения F (k)(0) (k ≥
0).
F (0) = 1 или F (0) = −1
2 , F
′(0) = 0 (в двух случаях), F ′′(0) = λ ∈
R (произвольное) или F ′′(0) = 0. Далее производные определяются
однозначно.
Получаем в первом случае F (t) = cosλt или F (t) = chλt (λ > 0),
а во втором F (t) ≡ −1
2 .
Но нас интересует решение с нормой единица и периодом 2π. Так
что F (t) = cosnt и cos t = x.
Tn(x) = Tn(x;−1, 1) = cosn arccosx (x ∈ [−1, 1])
426 Многочлены с целыми коэффициентами...
или при x = cos t (t ∈ [0, π]), используя формулы Эйлера,
Tn(x) = cosnt =
1
2
(
eint + e−int
)
=
1
2
[
(cos t+ i sin t)n + (cos t− i sin t)n
]
=
1
2
[
(x+
√
x2 − 1)n + (x−
√
x2 − 1)n
]
=
[n
2
]∑
k=0
(
n
2k
)(
x2 − 1
)k
xn−2k (x ∈ R) (1)
При четном n — это четный полином, а при n нечетном — нече-
тный.
Точки альтернанса xk = cos n−k+1
n π (1 ≤ k ≤ n + 1), а нули ξk =
sin 2k−1
2n (1 ≤ k ≤ n).
Заметим, что, как доказано в [6], существует единственное непре-
рывное и 2π-периодическое решение уравнения F (2t) = 2F 2(t) − 1,
определяющее функцию F (t) = cos t.
Приведем еще несколько формул для Tn при n ≥ 1.
Tn
(
Tm(x)
)
= Tnm(x), Tn
(x+ 1
x
2
)
=
1
2
(
xn +
1
xn
)
,
Tn+2k(x) + Tn(x) = 2Tk(x)Tn+k(x), (2)(
1 − x2
)
T ′′
n (x) − xT ′
n(x) + n2Tn(x) ≡ 0,(
1 − x2
)
T (k+1)
n (x) − (2k − 1)xT (k)
n (x) +
(
n2 − (k − 1)2
)
T (k−1)
n (x) ≡ 0,
Следующие два соотношения легко получить из этого дифферен-
циального уравнения при x = 1 и x = 0.
T (k)
n (1) =
n2
(
n2 − 1
)
...
(
n2 − (k − 1)2
)
(2k − 1)!!
,
Tn(x) =
1
2
[n
2
]∑
k=0
(−1)k
n
n− k
(
n− k
k
)
(2x)n−2k. (3)
Таким образом,
Tn(x) = Tn(x;−1, 1) = 2n−1xn + ...
Tn(x; a, b) = Tn
(2x− a− b
b− a
;−1, 1
)
=
1
2
( 4
b− a
)n
xn + ...,
Tn(x) = Tn
(b− a
2
x+
a+ b
2
; a, b
)
, d(a, b) =
b− a
4
. (4)
Р. М. Тригуб 427
Понадобятся еще некоторые экстремальные свойства полиномов
Чебышева.
I. Среди всех полиномов степени не выше n и максимумом моду-
ля на [−1, 1] равным 1, полином Чебышева имеет наибольшие модули
коэффициентов.
Точнее: пусть k ∈ [0, n] и n(k) = n или n−1 при n(k)−k ≡ 0(mod2).
Тогда для любого полинома pn∣∣p(k)n (0)
∣∣ ≤ ∣∣T (k)
n(k)(0)
∣∣ · max
[−1,1]
∣∣pn(x)
∣∣.
Или (см. (4))∣∣∣p(k)n
(a+ b
2
)∣∣∣ ≤ ( 2
b− a
)k∣∣∣T (k)
n(k)(0)
∣∣∣ · max
[a,b]
∣∣pn(x)
∣∣.
II. Среди тех же полиномов, что и в I, полиномы Чебышева,
как и их производные, вне (−1, 1) растут по модулю быстрее всех.
Точнее: для любого полинома pn и k ∈ [0, n] при x ∈ R \ (−1, 1)∣∣p(k)n (x)
∣∣ ≤ ∣∣T (k)
n (x)
∣∣ · max
[−1,1]
∣∣pn(x)
∣∣.
Или при x ∈ R \ (a, b)∣∣p(k)n (x)
∣∣ ≤ ( 2
b− a
)k∣∣∣T (k)
n
(2x− a− b
b− a
)∣∣∣ · max
[a,b]
∣∣pn(x)
∣∣.
Доказательство проведем методом от противного, основываясь на
альтернансе из (n + 1)-й точки, теореме Ролля и количестве нулей
ненулевого полинома.
Начнем с доказательства свойства II.
Доказательство. Считая, что max
[−1,1]
∣∣pn(x)
∣∣ = 1, предположим, что
существует x0 ∈ R \ (−1, 1):∣∣p(k)n (x0)
∣∣ > ∣∣T (k)
n (x0)
∣∣.
Тогда при некотором δ ∈ (−1, 1)
Pn(x) = Tn(x) − δpn(x), P (k)
n (x0) = 0.
В точках альтернанса {xk}n+1
1
Pn(xk)(−1)n+1−k > 0.
Следовательно, полином Pn имеет на (−1, 1) n нулей. По теореме
Ролля у P
(k)
n на (−1, 1) не менее n − k нулей. А вместе с x0 число
нулей больше степени n− k ненулевого полинома. Противоречие.
428 Многочлены с целыми коэффициентами...
Доказательство. I. Введем полином (четный или нечетный)
pn(k)(x) =
1
2
(
pn(x) + (−1)kpn(−x)
)
.
Очевидно, что
p
(k)
n(k)(0) = p(k)n (0), max
[−1,1]
∣∣pn(k)(x)
∣∣ ≤ max
[−1,1]
∣∣pn(x)
∣∣.
Поэтому достаточно доказать неравенство:∣∣p(k)n(k)(0)
∣∣ ≤ ∣∣T (k)
n(k)(0)
∣∣ · max
[−1,1]
∣∣pn(k)(x)
∣∣.
Предположим, что для некоторого полинома pn
max
[−1,1]
∣∣pn(k)(x)
∣∣ = 1,
∣∣p(k)n(k)(0)
∣∣ > ∣∣T (k)
n(k)(0)
∣∣.
Тогда при некотором δ ∈ (−1, 1) и m ∈ [1, n+ 1]
Pn(k) = Tn(k) − δpn(k), Pn(k)(xm)(−1)n(k)+1−m > 0, P
(k)
n(k)(0) = 0.
В силу определения полинома Чебышева модуль старшего коэф-
фициента pn(k) не больше старшего коэффициента Tn(k). Следова-
тельно, степень Pn(k) равна n(k).
Из-за альтернанса полином Pn(k) имеет ровно n(k) нулей, а в силу
теоремы Ролля P (k−1)
n(k) имеет ровно n(k)−k+1 нулей (и такова же его
степень). Но это нечетный полином и P (k−1)
n(k) (0) = 0. Но еще P (k)
n(k)(0) =
0 и число нулей больше степени.
Противоречие доказывает I.
Г. Пойя доказал, что для любого компакта E ⊂ R с мерой Лебега
h > 0
max
x∈E
∣∣xn + ...
∣∣ ≥ 2
(h
4
)n
и равенство имеет место лишь в случае отрезка.
А П. Эрдеш высказал гипотезу, что длина графика Tn на [−1, 1]
наибольшая среди графиков полиномов степени n и максимумом мо-
дуля 1 на [−1, 1].
Эту гипотезу подтвердили независимо А. Г. Бакан (Киев) и Б. Бо-
янов (София) в 1981–1982 г.г.
Р. М. Тригуб 429
Замечание 1 (Lp-нормы). Если в определении трансфинитного ди-
аметра отрезка заменить sup-норму на Lp-норму, то при любом p ∈
[1,+∞)
d(a, b)p = lim
n→∞
(
min
{ck}
b∫
a
∣∣∣xn +
n−1∑
k=0
ckx
k
∣∣∣pdx) 1
np
= d(a, b) =
b− a
4
.
Это следует из следующей цепочки неравенств ([a, b] = [−1, 1])
1
2(n+ 1)2
∥pn∥∞ ≤ ∥pn∥1 ≤ 2
1− 1
p ∥pn∥p ≤ 2∥pn∥∞.
Третье (последнее) неравенство очевидно, а второе следует из не-
равенства Гельдера.
Выведем первое неравенство из II при x = 1:∣∣p′n(1)
∣∣ ≤ T ′
n(1) · ∥pn∥∞ = n2∥pn∥∞.
При фиксированном x ∈ [−1, 1] введем полином от y
pn,x(y) = pn
(1 + y
2
(1 ± x) − 1
)
.
Очевидно, что при y ∈ [−1, 1]
1 + y
2
(1 ± x) − 1 ∈ [−1, 1].
Поэтому
1 ± x
2
∣∣p′n(±x)
∣∣ =
∣∣∣{ d
dy
pn,x(y)
}
y=1
∣∣∣ ≤ T ′
n(1) · ∥pn∥∞.
Так что для всех x ∈ [−1, 1] при любом pn∣∣p′n(x)
∣∣ ≤ 2
1 + |x|
T ′
n(1) · ∥pn∥∞ ≤ 2T ′
n(1) · ∥pn∥∞.
Следовательно, для x ∈ [−1, 1]
|pn(x)| =
∣∣∣ d
dx
1∫
x
pn(y)dy
∣∣∣ ≤ 2(n+1)2 max
[−1,1]
∣∣∣ 1∫
x
pn(y)dy
∣∣∣ ≤ 2(n+1)2∥pn∥1
и первое неравенство доказано.
На самом деле, для отрезка [−1, 1] при любом k ∈ [1, n]∥∥p(k)n
∥∥
∞ ≤ T (k)
n (1) · ∥pn∥∞.
430 Многочлены с целыми коэффициентами...
Это классическое неравенство А. А. Маркова (k = 1) и В. А. Мар-
кова (k ≥ 2).
А А. И. Коркин и Е. И. Золотарев доказали, что при p = 1
min
{ck}
b∫
a
∣∣∣xn +
n−1∑
k=0
ckx
k
∣∣∣dx = 4
(b− a
4
)n+1
и min равен L1-норме производной полинома Чебышева T ′
n+1(x; a, b)
при соответствующей нормировке.
Полиномам Чебышева посвящена книга [7].
Рассмотрим теперь аналогичную I задачу с заменой sup-нормы
на L2-норму на [−1, 1].
Ответ в задаче о наибольшем старшем коэффициенте в L2 с весом
(Якоби, напр.) дают соответствующие ортогональные полиномы при
необходимой нормировке.
Напр.,
min
{ck}
1∫
−1
∣∣∣xn +
n−1∑
k=0
ckx
k
∣∣∣2dx =
1∫
−1
∣∣p∗n(x)
∣∣2dx,
где p∗n — полином Лежандра
p∗n(x) =
n!
(2n)!
· d
n
dxn
(x2 − 1)n,
1∫
−1
(
p∗n(x)
)2
dx =
( n!
(2n)!
)2
(2n)!
1∫
−1
(
1 − x2
)
dx =
1
3
· (n!)2
(2n)!
≍ 4n
√
n
(применяем n-кратное интегрирование по частям и формулу Стир-
линга).
Отсюда
min
{ck}
( b∫
a
∣∣∣xn +
n−1∑
k=0
ckx
k
∣∣∣2dx) 1
2
=
(b− a
2
)n+ 1
2
min
{bk}
( 1∫
−1
∣∣∣tn +
n−1∑
k=0
bkt
k
∣∣∣2dt) 1
2
≍ n
1
4
(b− a
4
)n+ 1
2
.
Р. М. Тригуб 431
III. Если µ > −1
2 и {pk}n1 — различные числа больше −1
2 , то
min
{ck}n1
1∫
0
∣∣∣tµ +
n∑
k=1
ckt
pk
∣∣∣2dt =
1
2µ+ 1
n∏
k=1
( pk − µ
pk + µ+ 1
)2
.
Ответ в задаче о наилучшем приближении в гильбертовом про-
странстве выражается через определители Грама, а определители
Грама в этом случае вычислены (см.[8]).
IV. Если 2m+ 1 и s+ 1 ∈ N, то при любом N ∈ N и N1 =
[
N+1
2
]
1∣∣∣T (2m+1)
N(2m+1)(0)
∣∣∣ ≤ min
{ak}
max
[−1,1]
∣∣∣x2m+1 + x2m+1+2s
N∑
k=1
akx
2k
∣∣∣
≤ (2m+ 1) min
{bk}
1∫
0
∣∣∣x2m + x2m+2s
N∑
k=1
bkx
2k
∣∣∣dx
≤ (2m+ 1) min
{ck}
1∫
0
∣∣∣xm + xm+s
N1∑
k=1
ckx
2k
∣∣∣2dx ≤ (2m+ 1)γs,m(N),
где
γs,m(N) =
(
s+ 2m+ 1
2m+ 1
)(
N1 + s+ 2m+ 1
2m+ 1
)−1
.
Доказательство. Первое неравенство в IV следует из I (sup-норма
указанного полинома на [−1, 1] совпадает с sup-нормой на [0, 1] после
замены x на −x).
Далее очевидно, что
max
[0,1]
|p(x) − p(0)| ≤
1∫
0
∣∣p′(x)
∣∣dx.
Очевиден и переход от L1-нормы к L2-норме, чтобы применить
III:
N1∏
k=1
( 2k + s
2k + s+ 2m+ 1
)2
.
Но при k ≥ 0 и 0 ≤ a < b(2k + a
2k + b
)2
≤ k + a
k + b
432 Многочлены с целыми коэффициентами...
и
γs,m(N) =
N1∏
k=1
k + s
k + s+ 2m+ 1
=
(
s+ 2m+ 1
2m+ 1
)(
N1 + s+ 2m+ 1
2m+ 1
)−1
.
V. В тех же обозначениях, что в IV ,
1
22m+1T
(2m+1)
N (1)
≤ min
{ak}
max
[0,1]
∣∣∣x2m+1 + x2m+1+s
N∑
k=1
akx
k
∣∣∣
≤ (2m+ 1) min
{bk}
1∫
0
∣∣∣x2m + x2m+s
N∑
k=1
bkx
k
∣∣∣dx
≤ (2m+ 1) min
{ck}
1∫
0
∣∣∣xm + xm+s
N1∑
k=1
ckx
k
∣∣∣2dx ≤ (2m+ 1)γ2s,m(N).
Доказательство. Первое неравенство следует из II при x = 1. А
последний min в силу III равен
N1∏
k=1
( k + s
k + s+ 2m+ 1
)2
= γ2s,m(N).
Замечание 2. При фиксированных m и s, а N → ∞ найден точный
порядок убывания наилучшего приближения x2m+1 более высокими
степенями x в C, L1 и L2.
В IV — это N−(2m+1), а в V — N−(4m+2). Существенная разница
связана с разным положением нуля: в IV — это внутренняя точка, а
в V — граничная.
Кстати, замена x 7→ x
b (b > 0) не изменит порядок этой величины.
2. Целочисленные полиномы с малой нормой
Пусть E — компакт в C, состоящий из бесконечного числа точек,
и полином q∗n такой, что
max
E
∣∣q∗n(z)
∣∣ = min
qn ̸≡0
max
E
|qn(z)|.
По определению
q(E) = lim
n→∞
max
E
∣∣q∗n(z)
∣∣ 1n .
Р. М. Тригуб 433
Предел существует по той же лемме Фекете (см. в начале раз-
дела 1).
Очевидно, что d(E) ≤ q(E). Для круга с центром в нуле q(E) =
d(E) = R. Подробнее о q(a, b) см. ниже.
Полином qn ̸≡ 0 с малой нормой существуют только при q(E) < 1.
Проверим, что
d(E) < 1 ⇒ q(E) < 1
и при d(E) < 1 существует полином q с нормой меньше единицы и
старшим коэффициентом 1.
Если d(E) < 1, то существует последовательность полиномов {pn}
таких, что при некотором ρ < 1
max
E
|pn(z)| = max
E
∣∣zn + a
(n)
n−1z
n−1 + a
(n)
n−2z
n−2 + ...+ a
(n)
0
∣∣ ≤Mρn.
Через [a] обозначим ближайшее целое к a,
∣∣a− [a]
∣∣ ≤ 1√
2
.
Тогда
max
E
∣∣∣pn(z) −
(
a
(n)
n−1 −
[
a
(n)
n−1
])
pn−1(z)
∣∣∣ ≤Mρn +
1√
2
Mρn−1.
У этого нового полинома уже первых два коэффициента — целые
числа. Продолжая таким же образом, получаем∣∣∣zn+
[
a
(n)
n−1
]
zn−1+...+
[ ]
zm+1+
m∑
ν=0
b(n)ν zν
∣∣∣ ≤Mρn+
M√
2
∞∑
k=m+1
ρk. (5)
Выбираем m так, чтобы при всех n ≥ N правая часть была < 1
2 . А
так как величины h
(n)
ν = b
(n)
ν −
[
b
(n)
ν
]
ограничены по n, то существуют
сходящиеся подпоследовательности и N1 ≥ N и N2 ≥ N такие, что
max
E
∣∣∣ m∑
ν=0
(
h(N1)
ν − h(N2)
ν
)
zν
∣∣∣ < 1
2
.
А тогда разность двух полиномов из (5) при n = N1 и n = N2, у
которых вместо b(n)ν стоит
[
b
(n)
ν
]
, имеет целые коэффициенты и норму
меньше 1.
Далее считаем, что E = [a, b].
Поскольку d(a, b) = b−a
4 (см. (4)), то q(a, b) < 1 только при b− a <
4. А при b−a ≥ 4 наименее уклоняющимися от нуля является q0 ≡ 1.
Д. Гильберт для оценки сверху q(a, b) в метрике L2 применил те-
орему Минковского о выпуклых телах в Rn.
М. Фекете повторил это рассуждение в C[a, b].
434 Многочлены с целыми коэффициентами...
Теорема 1 (Гильберт–Фекете). Для любого отрезка [a, b] существу-
ет полином qn ̸≡ 0 такой, что
max
[a,b]
|qn(x)| ≤ 2(n+ 1)
(b− a
4
)n
2
.
Лемма 1 (Г. Минковский). В любом замкнутом, выпуклом и симме-
тричным относительно нуля множестве в Rn с объемом не меньше
2n содержатся не менее 2n+1 точек с целыми координатами. В ча-
стности, существуют целочисленные ненулевые решения линейной
системы неравенств∣∣∣ n∑
k=1
ak,mx
k
∣∣∣ ≤ bm (1 ≤ m ≤ n),
если
det(ak,m)nk,m=1 ̸= 0 и
n∏
m=1
bm ≥
∣∣det(ak,m)
∣∣.
См., напр., [9]. См. также [10].
Доказательство теоремы 1. Если qn разложить по полиномам Че-
бышева
Tm(x; a, b) = cosm arccos
2x− a− b
b− a
=
1
2
( 4
b− a
)m
xm + ...,
а именно,
qn(x) =
n∑
k=0
ckx
k =
n∑
m=0
amTm(x; a, b),
то
max
[a,b]
|qn(x)| ≤
n∑
m=0
|am|
и задача сводится к подбору целых {ck}n1 , чтобы |am| (0 ≤ m ≤ n)
были как можно меньше.
Линейные формы {am} имеют треугольную матрицу с определи-
телем
∆ =
1
2
n∏
m=0
2
(b− a
4
)m
= 2n
(b− a
4
)n(n+1)
2
.
Поэтому можно подобрать целые {ck}n1 , не все равные нулю, та-
кие, что
|am| ≤ ∆
1
n+1 ≤ 2
(b− a
4
)n
2
.
Р. М. Тригуб 435
Но тогда
|qn(x)| ≤
n∑
m=0
|am| ≤ 2(n+ 1)
(b− a
4
)n
2
.
Так что q(a, b) ≤
√
d(a, b).
Как доказано в замечании 1 (раздел 1), в любой метрике Lp[a, b],
p ≥ 1,
q(a, b)p = q(a, b).
Для некоторых отрезков можно указать оценку снизу для q(a, b).
Теорема 2. В случае отрезка
[
1
m+4 ,
1
m
]
(m ∈ N)
q
( 1
m+ 4
,
1
m
)
≥ 2
m+ 2 +
√
m2 + 4m
.
А при m→ ∞
q
( 1
m+ 4
,
1
m
)
=
√
d
( 1
m+ 4
,
1
m
)
+O
(
d
( 1
m+ 4
,
1
m
))
.
Доказательство. Все коэффициенты полинома Чебышева для [-2,2]
Tn+2(x;−2, 2) = 2Tn+2
(x
2
)
= xn+2 + ...
целые. Если учесть, что T1(x) = x, а T2(x) = 2x2 − 1, то это следует,
напр., из рекуррентного соотношения (2):
2Tn+2
(x
2
)
= x
(
2Tn+1
(x
2
))
− 2Tn
(x
2
)
.
Его нули лежат на [−2, 2] вместе с сопряженными.
Пусть n+2 — число простое. Убедимся в том, что все нули четного
полинома
1
x
· 2Tn+2
(x
2
)
алгебраические числа степени n+ 1.
Коэффициенты этого полинома известны (см. (3)):
1
x
· 2Tn+2
(x
2
)
=
n+1
2∑
k=0
(−1)k
n+ 2
n+ 2 − k
(
n+ 2 − k
k
)
xn+1−2k.
436 Многочлены с целыми коэффициентами...
Применим следующий признак Эйзенштейна неприводимости над
кольцом целых чисел (см., напр., [1], 6.2):
если свободный член целочисленного полинома (значение его в ну-
ле) делится на простое число p, но не делится на p2, а все остальные
коэффициенты, кроме старшего, делятся на p, то полином непри-
водим.
В рассматриваемом случае свободный член равен (−1)
n+1
2 (n+ 2),
а целый коэффициент при xn+1−2k (1 ≤ k ≤ n−1
2 )
(−1)k(n+ 2)
(n+ 1 − k)!
k!(n+ 2 − 2k)!
делится на (n+ 2), т.к. все множители в знаменателе меньше n+ 2.
Нули полинома
2
x−m− 2
Tn+2
(x−m− 2
2
)
обозначим через {ηk}n+1
1 . Они лежат на (m,m + 4) и имеют степень
n+ 1, а ∣∣∣ n+1∏
k=1
ηk
∣∣∣ =
2
m+ 2
Tn−2
(m+ 2
2
)
.
Поэтому любой полином qn обладает тем свойством, что
qn
( 1
ηk
)
=
Qn(ηk)
ηnk
,
где Qn — целочисленный полином и Qn(ηk) ̸= 0 (1 ≤ k ≤ n+ 1).
Но тогда в силу теоремы о симметрических полиномах
n+1∏
k=1
Qn(ηk) ∈ Z \ {0}.
Поэтому ∣∣∣ n+1∏
k=1
qn
( 1
ηk
)∣∣∣ ≥ 1∣∣∣ n+1∏
k=1
ηnk
∣∣∣
и в силу (1)
2
m+ 2
Tn+2
(m+ 2
2
)
=
∣∣∣ n+1∏
k=1
ηk
∣∣∣
≤ 2
m+ 2
(m+ 2
2
+
√(m+ 2
2
)2
− 1
)n+2
.
Р. М. Тригуб 437
Следовательно, для любого qn
2n+1(m+ 2)
(m+ 2 +
√
m2 + 4m)n+2
≤ 1∣∣∣ n+1∏
k=1
ηk
∣∣∣ ≤
∣∣∣ n+1∏
k=1
qn
( 1
ηk
)∣∣∣ 1n
≤ max[
1
m+4
, 1
m
] |qn(x)|
n+1
n
и после возведения в степень 1
n+1 и перехода к пределу при n→ ∞
q
( 1
m+ 4
,
1
m
)
≥ 2
m+ 2 +
√
m2 + 4m
.
Это рассуждение при m = 1 принадлежит Д. С. Горшкову (1959).
Отметим еще, что Б. С. Кашин [11] доказал оценку сверху при
b− a > 1, из которой следует, что в этом случае
q(a, b) <
√
d(a, b) =
(b− a
4
) 1
2
.
Изложим теперь интересную идею, высказанную А. О. Гельфон-
дом и Л. Г. Шнирельман.
Пусть qn — наименее уклоняющийся от нуля на [0, 1] ненулевой
целочисленный полином.
Если φ(n) — наименьшее общее кратное чисел 1, 2, ..., n, то
φ(2n+ 1)
1∫
0
q2n(x)dx ≥ 1.
При ε > 0 и достаточно больших n
1∫
0
q2n(x)dx ≤ max
[0,1]
|qn(x)|2 ≤ (q(0, 1) + ε)2n.
Если p1, p2, ..., pm — все простые числа, не превосходящие n, а
m = π(n), то
φ(n) = pα1
1 · pα2
2 · ... · pαmm ≤ nm = nπ(n).
Поэтому
(2n+ 1)π(2n+1)(q(0, 1) + ε)2n ≥ 1
438 Многочлены с целыми коэффициентами...
или
π(2n+ 1) ln(2n+ 1) ≥ 2n ln
( 1
q(0, 1) + ε
)
и
lim
n→∞
π(2n+ 1) ln(2n+ 1)
2n+ 1
≥ ln
1
q(0, 1)
.
Для оценки снизу q(0, 1) заметим, что при четном n можно счи-
тать qn симметричным относительно x = 1
2 (целочисленный полином
степени n
2 относительно x(1 − x)). Поэтому q(0, 1) =
√
q
(
0, 14
)
.
В силу теоремы 2 при m = 4
q(0, 1) =
√
q
(
0,
1
4
)
≥
√
q
(1
8
,
1
4
)
≥
( 1
3 + 2
√
2
) 1
2
=
√
2 − 1 > 0, 4142.
Следовательно, q(0, 1) > 0, 368 > 1
e .
Однако, возможно, что пользуясь этим приемом в случае полино-
мов многих переменных (подобно тому, как поступил K. Roth (1955)
в проблеме приближения алгебраических чисел рациональными, см.
[9], 127–146) можно получить новое доказательство асимптотического
закона распределения простых чисел.
Заметим, что аналогично предыдущему, т.е. заменой переменных,
можно доказать, что
q(−a, a) =
√
q(0, a),
q
(
− 1
2
,
1
2
)
=
√
q
(
0,
1
4
)
= q(0, 1) = q2(−1, 1) = q4(−
√
2,
√
2).
(в последнем равенстве — замена x 7→ x2 − 1).
В разделе 3 понадобится знание нулей полинома q с максимумом
модуля на [a, b] меньше единицы и старшим коэффициентом 1.
При a = −b можно воспользоваться теоремой Кронекера, приве-
денной во введении.
Назовем теперь давно известные такие полиномы для отрезков
[−1, 1], [−
√
2,
√
2], [−
√
3,
√
3] и [−1, 2], соответственно,
x(x2 − 1), x(x2 − 1)(x2 − 2),
x2(x2−1)(x2−2)(x2−x+1)(x2+x+1)(x2−3), x(x2−1)(x2−x−1)(x−2).
Вернемся к отрезку [0, 1].
Если взять полином
qn(x) =
{
x3(1 − x)3(2x− 1)(5x2 − 5x+ 1)
}[n
9
]
,
Р. М. Тригуб 439
максимум модуля которого легко подсчитать, то получим
q(0, 1) < 0, 435.
На самом деле [5],
0, 4213 < q(0, 1) < 0, 42291334.
При этом оценка снизу получена неэлементарным методом.
При 0 ≤ α < β ≤ 1 q(α, β) = q(1 − β, 1 − α), а оценку сверху при
0 < α < β < 1 см. в следствии из теоремы 3 в разделе 3.
3. Приближение функций целочисленными полинома-
ми
Любая непрерывная на отрезке [a, b] функция является пределом
равномерно сходящейся последовательности полиномов {pn}. Это
классическая аппроксимационная теорема Вейерштрасса.
Очевидно, что отрезок можно заменить любым компактом в R,
если воспользоваться теоремой Титце–Урысона о продолжении не-
прерывных функций. Понятно, что коэффициенты pn можно считать
рациональными и двоично–рациональными, т.е. вида l
2m , где l ∈ Z,
а m ∈ N. Следовательно, достаточно уметь приближать одночлены
1
2x
k или просто 1
2 .
С другой стороны, если хотя бы одну функцию, отличную от поли-
нома, можно аппроксимировать с любой погрешностью, то существу-
ет ненулевой целочисленный полином X(x) с нормой меньше 1 (ра-
зность двух разных приближающих полиномов больших степеней).
Получаем необходимое условие: d(E) < 1 или (см. начало 2) суще-
ствует целочисленный полином с нормой меньше единицы и старшим
коэффициентом 1.
Теорема 1. Если f ∈ Lp[a, b], p ∈ (0,+∞), b−a < 4, то существует
последовательность {qn} такая, что при n→ ∞
b∫
a
|f(x) − qn(x)|pdx→ 0.
Доказательство. Достаточно приблизить одну функцию f(x) ≡ 1
2 .
Пусть |X(x)| ≤ 1
2 .
Берем последовательность
qN (x) =
n∑
k=1
(−1)k+1
(
n
k
)
2k−1X2k(x).
440 Многочлены с целыми коэффициентами...
Учитывая, что
1
2
≤ 1 − 2X2(x) ≤ 1,
получаем
b∫
a
∣∣∣1
2
− qN (x)
∣∣∣pdx =
b∫
a
1
2p
(
1 − 2X2(x)
)pn
dx.
Число нулей X(x) конечно, поэтому мера множества Eδ точек
x ∈ [a, b], в которых |X(x)| < δ вместе с δ стремится к нулю.
Тогда
b∫
a
∣∣∣1
2
− qN (x)
∣∣∣pdx ≤ 1
2p
measEδ +
1
2p
∫
[a,b]\Eδ
(
1 − 2δ2
)pn
dx.
Выбираем достаточно малым δ > 0, а затем достаточно большим
n.
То же доказательство, очевидно, годится и для любого компакта
E ⊂ R с трансфинитным диаметром меньше единицы.
Если же для компакта E существует полином X(x) такой, что для
x ∈ E
0 < X(x) < 1,
то таким же образом получаем теорему о равномерной сходимости
вместо сходимости в среднем.
А в случае, если есть x1 ∈ E ∩ Z, то и f(x1) = lim
n→∞
qn(x1) ∈ Z.
Более того, если x1 — целое алгебраическое число, которое вместе
с сопряженными x2, ..., xm принадлежит E, а X1(x) =
m∏
1
(x− xk), то
интерполяционный (лагранжевский) полином, определяемый значе-
ниями f(xk) (1 ≤ k ≤ m), должен быть целочисленным, так как он
является пределом целочисленных полиномов, а именно, остатков от
деления qn на X1(x) (в предположении, что f − qn → 0).
Теорема 2. Пусть f ∈ C[a, b], b− a < 4 и существует целочислен-
ный полином X(x) со старшим коэффициентом 1 и max
[a,b]
|X(x)| < 1,
все нули которого вместе с сопряженными лежат на [a, b]. Для то-
го чтобы существовала последовательность {qn}, равномерно схо-
дящаяся на [a, b] к f , необходимо и достаточно, чтобы интерполя-
ционный полином, определяемый значениями функции в нулях X(x)
был целочисленным.
Р. М. Тригуб 441
Доказательство. Необходимость уже доказана.
Достаточность. После вычитания из f ее интерполяционного по-
линома можно считать, что f(x) = 0 во всех нулях X(x).
В силу непрерывности f ее можно равномерно приблизить не-
прерывной функцией, которая равна нулю уже в некоторых малых
окрестностях нулей X (обозначим ее той же буквой f).
При ε > 0 выберем s так, чтобы |X(x)|s < ε (s ∈ N).
По теореме Вейерштрасса найдется полином p такой, что
max
[a,b]
∣∣∣ f(x)
Xs(x)
− p(x)
∣∣∣ < ε.
Делением представим полином p в виде
p(x) =
N∑
k=0
ak(x)Xk(x),
где ak — полиномы меньшей степени, чем у X(x).
Так что при x ∈ [a, b]
∣∣∣f(x) −Xs(x)
N∑
k=0
ak(x)Xk(x)
∣∣∣ < ε2.
Заменяя коэффициенты ak(x) на ближайшие целые, получим це-
лочисленный полином [ak], при котором
max
[a,b]
∣∣ak(x) − [ak(x)]
∣∣ ≤M,
где M зависит только от max
{
|a|, |b|
}
и степени X.
Следовательно,
∣∣∣f(x) −Xs(x)
N∑
k=0
[ak(x)]Xk(x)
∣∣∣ ≤ ε2 +M |X(x)|s ·
∑
k≥0
|X(x)|k ≤
≤ ε2 +Mε
1
1 − |X(x)|
.
Теперь рассмотрим вопрос о наилучшем приближении констан-
ты целочисленными полиномами на отрезке, не содержащем целых
чисел. Не уменьшая общности, считаем 0 < α < β ≤ 1 − α.
442 Многочлены с целыми коэффициентами...
Теорема 3. Пусть λ ∈ (0, 1). Если α ∈
(
0, 12
)
, а β ∈ (α, 1 − α], то
Een(λ;α, β) = min
qn
max
[α,β]
|λ− qn(x)| ≤ 2(n+ 1)ρn,
где
ρ = max
{
β,
√
β −
√
α√
β +
√
α
}
.
При β = 1 − α
Een(λ;α, 1 − α) ≤ (n+ 1)ρn1 , ρ1 = max
{1
2
,
1 − 2α
1 + 2
√
α(1 − α)
}
.
Уменьшить ρ и ρ1 нельзя в общем случае.
Доказательство. Пусть полином Чебышева степени m для [α, β] ра-
вен
Tn(x) = cosm arccos
2x− α− β
β − α
= Tm(0) − xTm(0)pm−1(x).
Тогда при x ∈ [α, β]∣∣1 − xpm−1(x)
∣∣ ≤ ∣∣∣Tm(x)
Tm(0)
∣∣∣ ≤ 1
|Tm(0)|
.
Умножая это неравенство на axs и меняя степень m, если нужно,
получаем приближение этого одночлена более высокими степенями
x.
Если
λxpn−1(x) =
n∑
k=1
a1,kx
k,
то заменяя a1,1 на [a1,1], получим∣∣∣λ− [a1,1]x−
n∑
k=2
a2,kx
k
∣∣∣ ≤ λ
|Tn(0)|
+
x
|Tn−1(0)|
.
Продолжая таким же образом, приходим к неравенству∣∣∣λ−
n∑
k=1
[ak,k]x
k
∣∣∣ ≤ 1
|Tn(0)|
+
n∑
k=1
xk
|Tn−k(0)|
.
Но x ≤ β, а вне [α, β] (см. II в разделе 1 и (1))
|Tm(0)| ≥ 1
2
(α+ β
β − α
+
√(α+ β
β − α
)2
− 1
)m
=
1
2
(√β −
√
α√
β +
√
α
)m
.
Р. М. Тригуб 443
Следовательно,
Een(λ;α, β) ≤ 2(n+ 1) max
0≤k≤n
βk
(√β −
√
α√
β +
√
α
)n−k
≤ 2(n+ 1)ρn.
Если β ∈ (0, 1), а α ≤ β
(
1−β
1+β
)2
, то ρ =
√
β−
√
α√
β+
√
α
и меньше быть не
может, т.к. в силу II (1) (Een(λ) = max
∣∣λ− q∗n(x)
∣∣).
∣∣λ− [λ]
∣∣ ≤ ∣∣λ− q∗n(0)
∣∣ ≤ Een(λ) · |Tn(0)| ≤ Een(λ)
(√β +
√
α√
β −
√
α
)n
.
При α > β
(
1−β
1+β
)2
ρ = β и в случае β = 1
m (m — натуральное
число из [2, 10]) число ρ может быть меньше лишь для чисел вида l
ms
(l и s ∈ N), так как при λ ̸= l
ms
Een(λ;α, β) ≥ inf
qn
∣∣∣λ− qn
( 1
m
)∣∣∣ = inf
k∈Z
∣∣∣λ− k
mn
∣∣∣ ≥ 1
mn+2
= βn+2
для следующей бесконечной последовательности n: после n-го знака
в m-ичном разложении λ не следуют подряд два 0 или (m− 1).
А используя полином
qn(x) =
1
m
− 1
m
(1 −mx)n,
индукцией по s легко доказать, что при β = 2
m − α
Een
( l
ms
;α, β
)
≤ c(s)(1 −mα)n = c(s)
(β − α
β + α
)n
и эта оценка не может быть усилена при α = r
rm+1 (r ∈ N), во всяком
случае.
Случай β = 1 − α в теореме рассмотрим отдельно.
Можно считать, что qn(x) = qn(1 − x) и приближать целочислен-
ными полиномами от x(1 − x).
Применяя еще доказанную уже оценку приближения, получаем
Ee
n(λ;α, 1 − α) = Ee[n
2
]
(
λ;α(1 − α),
1
4
)
≤ 2
([n
2
]
+ 1
)
ρn−1
1 ,
где
ρ1 = max
{1
4
,
1
2 −
√
α(1 − α)
1
2 +
√
α(1 − α)
} 1
2
= max
{1
2
,
1 − 2α
1 + 2
√
α(1 − α)
}
.
”Переключение” — при α = 1
10 .
444 Многочлены с целыми коэффициентами...
Следствие 1. При α+β < 1 q(α, β) ≤ ρ, а при α+β = 1 q(α, β) ≤ ρ1.
Для доказательства достаточно в теореме 3 взять λ = 1
2 и умно-
жить на 2.
Найден точный порядок наилучшего приближения константы λ ∈
(0, 1) в Lp[a, b], p ∈ [1,+∞), b− a < 4.
Если внутри отрезка нет целых чисел, то
Een(λ; [a, b])p = min
qn
∥λ− qn∥p ≍
1
n
2
p
,
а если есть хотя бы одно, то
Ee
n(λ; [a, b])p ≍
1
n
1
p
.
Точный порядок приближения константы показывает разницу в
убывании с ростом n En(f) и Een(f) любой функции.
Здесь и далее En(f ; [a, b]) и Een(f ; [a, b]) — наилучшие приближе-
ния f в C[a, b] полиномами pn с любыми коэффициентами и целочи-
сленными qn.
Рассмотрим приближение непрерывных функций только на “бли-
жайших” к [α, β] отрезках.
Теорема 4. а) Если f ∈ C[0, 1] и f(0) и f(1) ∈ Z, то
Een(f ; [0, 1]) ≤ 2En(f ; [0, 1]) +O
( 1
n2
)
.
б) Если f ∈ C[−1, 1] и f(0) и 1
2(f(−1) ± f(1)) ∈ Z, то
Een(f ; [−1, 1]) ≤ 9
4
En(f ; [−1, 1]) +O
( 1
n
)
и нельзя заменить в обоих случаях O на o.
Доказательство. Если f1(x) = 1
2x(1 − x), а f2(x) = 1
2x(1 − x2), то в
силу V при m = 0 и IV при m = 0 (раздел 1), соответственно, при
некотором c > 0
Een(f1; [0, 1]) ≥ c
n2
, Een(f2; [−1, 1]) ≥ c
n
.
В доказательстве теоремы ограничимся случаем отрезка [0, 1]
(для [−1, 1] рассуждение аналогичное).
Здесь важно, что имеется полином X1(x) = x(1 − x) ≥ 0.
Р. М. Тригуб 445
Пусть
En(f ; [0, 1]) = max
[0,1]
∣∣f(x) − p∗n(x)
∣∣
и интерполяционный полином по двум точкам 0 и 1
q1(f ;x) = f(0)(1 − x) + f(1)x.
Тогда
q1(f − p∗n;x) ≤ En(f ; [0, 1])(1 − x+ x) = En(f ; [0, 1])
и ∣∣f(x) − p∗n(x) − q1(f − p∗n;x)
∣∣ ≤ 2En(f ; [0, 1]).
Остается приблизить полином p∗n−q1(p∗n), который делится на X1,
т.е. имеет вид
N1∑
k=1
ak(x)Xk
1 (x),
где {ak(x)} — линейные полиномы.
Через N1 и N2 обозначаем разные величины порядка n.
Заменяем a1(x) на [a1(x)] и применяем V (раздел 1) при m = 0
(см. еще замечание 2 в конце раздела 1)
max
[0,1]
∣∣∣X1(x) −
N2∑
k=2
bkX
k
1 (x)
∣∣∣ = O
( 1
n2
)
.
После простых преобразований
N1∑
k=2
(
a1(x) − [a1(x)]
)
bkX
k
1 (x) =
N2∑
k=2
ck(x)Xk
1 (x)
(
1 −X1(x)
)N2−k,
где {ck(x)} — некоторые линейные полиномы.
Заменяем ck(x) на [ck(x)] и учитываем, что
N2∑
k=2
Xk
1 (x)
(
1 −X1(x)
)N2−k ≤
N2∑
k=N2−1
Xk
1 (x)
(
1 −X1(x)
)N2−k
+
1(
N2
2
) N2−2∑
k=2
(
N2
k
)
Xk
1 (1 −X1)
N2−k
≤ 2XN2−1
1 (x) +
1(
N2
2
)(X1 + 1 −X1)
N2−k = O
( 1
n2
)
.
446 Многочлены с целыми коэффициентами...
Таким образом,
Een(f ; [0, 1]) ≤ 2En(f ; [0, 1]) +O
( 1
n2
)
.
Пусть теперь коэффициенты полиномов еще и положительные.
Если на бесконечном множестве точек R+ = [0,+∞), образующем
компакт E, функция f является пределом последовательности поли-
номов {p+n } (с положительными коэффициентами), а x1 = supE, то
при |z| ≤ x1 ∣∣p+n (z)
∣∣ ≤ p+n (x1) = O(1).
Но тогда по свойствам аналитических функций существует под-
последовательность, которая вместе с производными сходится равно-
мерно в любом круге |z| ≤ r < x1, а функция f является сужением
на E аналитической в круге |z| < x1 функции и непрерывной при
|z| ≤ x1 с условиями
f (k)(0)
k!
≥ 0 (k ≥ 0).
А если дополнительно коэффициенты целые, то и f (k)(0)
k! (k ≥ 0)
— целые, а тогда и x1 ≤ 1, если функция — не полином.
Рассмотрим только случай отрезка [−1, 0].
Теорема 5. Если f ∈ C[−1, 0], f(0) ∈ Z+ = R+ ∩ Z, f(−1) ∈ Z, то
существует последовательность {q+n } (с коэффициентами из Z+)
такая, что при n→ ∞
max
[−1,0]
∣∣f(x) − q+n (x)
∣∣→ 0.
Доказательство. Данная функция f допускает равномерное при-
ближение полиномами qn, как и f(−x) на [0, 1] (см. теорему 2 или
4а). А поменять отрицательные знаки у некоторых одночленов мо-
жно с помощью следующего предложения.
Лемма 2. При любом n ≥ 1 существует полином q+n такой, что при
x ∈ [−1, 0]
0 ≤ −x− x2q+n (x) ≤ 4
n2
.
Р. М. Тригуб 447
Доказательство. Пусть 2s ≤ n < 2s+1, где s ∈ Z+.
Если полином Чебышева
Tn(x) = cosn arccosx (x ∈ [−1, 1]),
то искомый полином равен
T2s(1) − T2s(2x+ 1)
2T ′
2s(1)
= −x− ...
Коэффициент при xk (k ∈ [1, 2s]) равен −2k−1 T
(k)
2s (1)
k!T ′
2s (1)
.
Как видно из (1), T
(ν)
n (1)
ν! ∈ N при 0 ≤ ν ≤ n, T ′
n(1) = n2.
Убедимся, что при k ≥ 2
2
k!
· T
(k)
2s (1)
T ′
2s(1)
∈ N.
При k = 2
T2(x) = 2x2 − 1 = 2(x− 1)2 + 4(x− 1) + 1,
а далее проводим индукцию по s, исходя из равенства
T2s+1(x) = 2T 2
2s(x) − 1.
Получаем
1
22s+1
· T2s+1(1)
k!
=
1
22s
· 1
k!
(
T2s(x) · T2s(x)
)(k)
=
1
4s
k∑
ν=0
(
k
ν
)
1
k!
T
(ν)
2s (1)T
(k−ν)
2s (1) =
1
4s
k∑
ν=0
T
(ν)
2s (1)
ν!
· T
(k−ν)
2s (1)
(k − ν)!
=
[ 1
2
(k−1)]∑
ν=0
T
(ν)
2s (1)
ν!
( 2
4s
· T
(k−ν)
2s (1)
(k − ν)!
)
+
1 + (−1)k
2 · 4s
(T [ k
2
]
2s (1)
[k2 ]!
)2
.
По предположению индукции все слагаемые в сумме — числа це-
лые, а при четном k и
1
4s
(T [ k
2
]
2s (1)
[k2 ]!
)2
=
( 1
22s−1
· T
[ k
2
]
2s (1)
[k2 ]!
)2
· 22s−2 ∈ N.
С другой стороны,
0 ≤ T2s(1) − T2s(2x+ 1)
2T ′
2s(1)
≤ 1
T ′
2s(1)
=
1
4s
≤ 4
n2
.
Лемма 2 и теорема 5 доказаны.
448 Многочлены с целыми коэффициентами...
Более общие теоремы о порядке приближения функций полино-
мами qn и q+n на отрезке вещественной оси см. [12].
Отметим еще, что С. Н. Мергелян (1951) описал все компакты в
комплексной плоскости, на которых любая непрерывная и аналитиче-
ская во внутренних точках функция является равномерным пределом
последовательности полиномов {pn} с любыми коэффициентами.
Литература
[1] В. В. Прасолов. Многочлены, изд. III., М.: МЦНМО, 2003.
[2] Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы из анализа. ч. II., М., Гостехиздат, 1956.
[3] Р. М. Тригуб. Приближение функций с диофантовыми условиями много-
членами с целыми коэффициентами // Сб. Метрические вопросы теории
функций и отображений, в. II., К., Наукова думка, 1971, 267–333.
[4] Le Baron O. Ferquson. What can be approximated by polinomials with integer
coefficients // Amer. Math. Monthly, 113 (2006), No. 5, 403–414.
[5] Igor E. Pritsker. Polinomials with integer coefficients and their zeroes //
arXiv:1307.6200v.1 [math.NT], 23 juli 2013, 18 p.
[6] A. N. Sharkovskii. Characterization of the cosine // Aeg. Math., 9 (1973), 121–
128.
[7] T. I. Rivlin. Chebyshev Polinomials, New York, John Wiley, 1990.
[8] Н. И. Ахиезер. Лекции по теории аппроксимации, изд. II., М., 1965.
[9] Дж. В. С. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений, М., ИЛ,
1961.
[10] И. Н. Санов. Новое доказательство теоремы Минковского // Изв. АН СССР,
сер. матем., 16 (1952), No. 2, 101–112.
[11] Б. С. Кашин. Об алгебраических многочленах с целыми коэффициентами
мало уклоняющихся от нуля на отрезке // Матем. зам., 50 (1991), No. 3,
58–67.
[12] R. M. Trigub. Approximation of functions by polynomials with various constrai-
nts // Изв. НАН Армении, Математика, 44 (2009), No. 4, 35–52.
Сведения об авторах
Роальд
Михайлович
Тригуб
Сумский государственный университет,
Суми, Украина
E-Mail: roald.trigub@gmail.com
|