Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно-дифференциального подхода

Выполнено математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики аномального процесса конвективной диффузии растворимых веществ при плоско-вертикальной установившейся фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью. В рамках модели с обобщенной производной дробного порядка Капуто—Гераси...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Богаенко, В.А., Булавацкий, В.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2018
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Інформатика та кібернетика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/145818
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно дифференциального подхода / В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 12. — С. 21-29. — Бібліогр.: 15Х назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-145818
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1458182019-02-01T01:23:00Z Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно-дифференциального подхода Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. Інформатика та кібернетика Выполнено математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики аномального процесса конвективной диффузии растворимых веществ при плоско-вертикальной установившейся фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью. В рамках модели с обобщенной производной дробного порядка Капуто—Герасимова поставлена соответствующая нелинейная краевая задача, приведена конечно-разностная методика ее приближенного решения, изложены результаты компьютерных экспериментов. Виконано математичне моделювання дробово-диференціальної динаміки аномального процесу конвективної дифузії розчинних речовин при плоско-вертикальній установленій фільтрації ґрунтових вод з вільною поверхнею. В рамках моделі з узагальненою похідною дробового порядку Капуто—Герасимова поставлена відповідна нелінійна крайова задача, наведена скінченно-різницева методика її наближеного розв’язання, викладені результати комп’ютерних експериментів. The mathematical modeling of the fractional differential dynamics of the process of anomalous convective diffusion of soluble substances is conducted for the case of flat-vertical steady state groundwater filtration with free surface. Within the framework of the model with a generalized Caputo—Gerasimov fractional derivative, the corresponding non-linear boundary-value problem is posed, a finite-difference method for its approximated solution is given, and the results of computer experiments are described. 2018 Article Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно дифференциального подхода / В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 12. — С. 21-29. — Бібліогр.: 15Х назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2018.12.021 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/145818 517.9:519.6 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно-дифференциального подхода Доповіді НАН України
description	Выполнено математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики аномального процесса конвективной диффузии растворимых веществ при плоско-вертикальной установившейся фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью. В рамках модели с обобщенной производной дробного порядка Капуто—Герасимова поставлена соответствующая нелинейная краевая задача, приведена конечно-разностная методика ее приближенного решения, изложены результаты компьютерных экспериментов.
format	Article
author	Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М.
author_facet	Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М.
author_sort	Богаенко, В.А.
title	Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно-дифференциального подхода
title_short	Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно-дифференциального подхода
title_full	Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно-дифференциального подхода
title_fullStr	Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно-дифференциального подхода
title_full_unstemmed	Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно-дифференциального подхода
title_sort	компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно-дифференциального подхода
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/145818
citation_txt	Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно дифференциального подхода / В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 12. — С. 21-29. — Бібліогр.: 15Х назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT bogaenkova kompʹûternoemodelirovaniedinamikiprocessamigraciirastvorimyhveŝestvprifilʹtraciigruntovyhvodsosvobodnojpoverhnostʹûnaosnovedrobnodifferencialʹnogopodhoda AT bulavackijvm kompʹûternoemodelirovaniedinamikiprocessamigraciirastvorimyhveŝestvprifilʹtraciigruntovyhvodsosvobodnojpoverhnostʹûnaosnovedrobnodifferencialʹnogopodhoda
first_indexed	2025-07-10T22:34:56Z
last_indexed	2025-07-10T22:34:56Z
_version_	1837301137740398592
fulltext	21ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 12 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ В данном сообщении излагается методика математического моделирования динамики ло- кально-неравновесного во времени процесса конвективной диффузии растворимых веществ при плоско-вертикальной установившейся фильтрации со свободной поверхностью из рек, каналов или накопителей промышленных стоков. Такого рода задачи возникают, в частно- сти, в вопросах рассоления и промывки почв при мелиорации земель, опреснения грунто- вых вод и их очистки от засоления и загрязнения промышленными и бытовыми стоками [1—3]. Теория и практика мате матического моделирования в таких задачах, поставленных в рамках классических моделей, в настоящее время существенно разработана [1—7]. В [8] выполнено ма тематическое моделирование дробно-дифференциальной динамики локаль- но-не рав новесного во времени процесса конвективной диффузии растворимых веществ при двумерной установившейся плоско-вертикальной фильтрации со свободной поверх- ностью. В настоящей работе (в отличие от [8]) соответствующая математическая модель базируется на понятии обобщенной производной Капуто—Герасимо ва ( ) ,t gD fα , как произ- © В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий, 2018 doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.12.021 УДК 517.9:519.6 В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев E-mail: sevab@ukr.net, v_bulav@ukr.net Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью на основе дробно-дифференциального подхода Представлено академиком НАН Украины А.А. Чикрием Выполнено математическое моделирование дробно-дифференциальной динамики аномального процесса кон вективной диффузии растворимых веществ при плоско-вертикальной установившейся фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью. В рамках модели с обобщенной производной дробного порядка Капуто—Герасимова поставлена соответствующая нелинейная краевая задача, приведена конечно-разно- стная методика ее приближенного решения, изложены результаты компьютерных экспериментов. Ключевые слова: динамика конвективно-диффузионных процессов, установившаяся плоско-вертикальная фильтрация грунтовых вод, математическое и компьютерное моделирование, дробно-дифференциальные математические модели, обобщенная производная Капуто—Герасимова, нелинейные краевые задачи, ко неч- но-разностные решения. ІНФОРМАТИКА 22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 12 В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий водной от функции по другой функции, что позволяет в неко тором смысле управлять процессом моделирования изучаемого явления с помощью надлежащего выбора “проб- ной” функции ( )g t . В качестве соответствующей фильтрационной схемы рассматривает- ся схема распространения загрязнений из рек, каналов или хранилищ промышленных стоков из работы [4]. Построение математической модели процесса и постановка краевой задачи. Рас смот- рим фильтрационную схему, соответствующую задаче конвективной диффузии загрязнений из рек, каналов или поверхностных накопителей промышленных стоков (см. [8], рис.1, а). Предполагаем осуществление процесса фильтрации в потенциальном поле скоростей ( , ) , 0x yv v v div v= = ∇ϕ = , где khϕ = − — потенциал скорости фильтрации v ; k — усредненный коэффициент фильт- рации; h — пьезометрический напор. Для фильтрационной схемы, соответствующей задаче конвективной диффузии загрязнений из рек, каналов или поверхностных накопителей про- мышленных стоков, известна область комплексного потенциала течения iω = ϕ+ ψ (ψ — функция тока), а также решение соответствующей задачи фильтрации, т.е. известна [4] ха- рактеристическая функция течения ( )z f= ω . При этом область комплексного потенциала течения Gω имеет вид горизонталь ной полуполосы (см. [8] рис. 1, б) и решение соответ- ствующей задачи фильтрации записывается в виде [4] 2 sin 2 Qx He Q k πϕ ⎛ ⎞πψ ψ= +⎜ ⎟⎝ ⎠ , (1) 2 cos 2 Qy He Q k πϕ ⎛ ⎞πψ ϕ= +⎜ ⎟⎝ ⎠ , (2) где 2 L Q k H ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ — фильтрационный расход; ,L H — геометрические параметры водо ема. Как известно, уравнение математической модели конвективной диффузии включает в себя коэффициент конвективной диффузии D (учитывающий гидро динамическую дис- персию и молекулярную диффузию [1, 2]). В рассматриваемой ниже математической модели предполагается зависимость коэф- фициента конвективной диффузии как от скорости переноса v , так и от концентрации C растворимых веществ в виде [7]: ( ) ( , ) ( , )m k C D D v C D v x y k = = + λ , (3) где mD — коэффициент молекулярной диффузии; λ — параметр гидродинамической дисперсии; ( )k C — коэффициент фильтрации пористой среды, как функция концент- рации C [9]. Тогда для математического описания особенностей дробно-дифференциальной ди- намики процесса конвективной диффузии растворимых веществ в установившемся по- 23ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 12 Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации... тен циальном поле фильтрационных скоростей с учетом эффектов памяти получаем сле- дующее модельное уравнение: ( ) , ( , ) ( , )t g x y C C C C D C D v C D v C v v x x y y x y β ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞σ = + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ , (4) где C — функция концентрации; σ — пористость среды; ( , ),x xv v x y= ( , )y yv v x y= — со- ставляющие вектора скорости фильтрации; ( ) ,t gD Cβ — производная Капуто—Герасимова по переменной t порядка β < β <(0 1) от функции C по функции g , определяемая соотноше- нием [10, 11]: β τ β τ τ′ = Γ −β − τ∫( ) , 0 ( , , )1 ( , , ) (1 ) [ ( ) ( )] t t g C x y d D C x y t g t g , (5) где [ )1( ) 0, , ( ) 0 ( 0), (0) 0g t C g t t g∈ +∞ > ≥ =′ , ( )zΓ — гамма-функция Эйлера [12]. В частном случае ( )g t t≡ из (5) очевидно получаем соотношение, на котором бази- руется определение общепринятой дробной производной Капуто—Герасимова [13, 14]. Если на входе фильтрационного потока известна концентрация 0C растворимых ве- ществ, то краевые условия для (4) запишутся в виде [8] 0 0 , , 0, 0,AC t AB CB C C C C n = ∂= = = ∂ (6) где n — внешняя нормаль к соответствующей кривой; AB — ось симметрии потока; CB — линия тока (см. [8], рис. 1). Поскольку область фильтрации zG является областью с частично неизвестной грани- цей, то эффективный способ решения краевых задач для уравнения (4) может быть осно- ван на переходе к новым переменным ( , )ϕ ψ — точкам геометрически более простой об- ласти комплексного потенциала течения {( , ) : 0 , 0 }G Qω = ϕ ψ < ϕ < +∞ < ψ < ([8], рис.1, б). Тогда краевая задача (4), (6) для исследования динамики рассматриваемого миграцион- ного процесса математически может быть сформулирована для области комплексного по- тенциала в виде Рис. 1 Рис. 2 24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 12 В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий ( ) 2 , ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , , )t g C C C D C t v D C D Cβ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂σ ϕ ψ = ϕ ψ ϕ ψ + ϕ ψ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ϕ ∂ϕ ∂ψ ∂ψ ∂ϕ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ (7) (( , , ) (0, ))t Gωϕ ψ ∈ × +∞ , 00 0 0, , 0, 0t Q C C C Cϕ= = ψ= ψ= ∂= = = ∂ψ , (8) где 2 ( , )v ϕ ψ определяется явным соотношением, приведенным в [8], а коэффициент диф- фузии D — согласно (3). Методика получения приближенного решения краевой задачи. Ниже кратко изло- жена конечно-разностная методика получения решения краевой задачи (7), (8). Введем в рассмотрение сеточную область, ограничивая область комплексного потен- циала течения справа прямой ,e Qϕ = ϕ 1 2{( , , ) : ( 0, 1), ( 0,5) ( 0, 1), ( 0, 1)}h i k j i k jt ih i m h k k n t j j Nτω = ϕ ψ ϕ = = + ψ = − = + = τ = + , где 1 2, ,h h τ — соответственно шаги сетки по геометрическим переменным и времени и по- ставим в соответствие рассматриваемой задаче следующий линеаризованный вариант ло- кально-одномерной [15] разностной схемы А.А. Самарского: β ϕ ϕ ϕ σ ⎛ ⎞Δ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) 2 0( ) 2 t C v DC C , (9) ( ) 2ˆ ˆ( ) 2 t C v DCβ ψ ψ σ Δ = , (10) где 1 1/2 1/2 ˆ , , , 2 j j j j jC C C C C C t t+ + + τ= = = = + и сеточные функции ,D D вычисляются по формулам [15] 1, , 10,5( ), 0,5( )ik i k ik ik i k ikD D D D D D− −= + = + . При этом разностные аналоги обобщенного оператора дробного дифференцирования в первом приближении определим такими соотношениями: 1 ( ) 1/2 ( ) 11 2 ( ) ( ) j j j j s s t j s s o C b C C b C C − β + + = ⎛ ⎞ Δ = − + −⎜ ⎟τ ⎝ ⎠ ∑ , (11) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1/2 ( ) 0 2ˆ ( ) j j s j j s j s t s s s s s C b C q b C q Cβ + + = ⎡ ⎤Δ = + −⎢ ⎥τ ⎣ ⎦ ∑ . (12) Здесь 1/2 1 ( ) 1/2 1/2 1 1 , (1 ) (1 )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) j s j s t t j j s j jt t d d b b g t g g t g + + β β + + τ τ= = Γ −β Γ −β− τ − τ∫ ∫ , 25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 12 Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации... 1/2 1 ( ) ( ) 1/2 1/21/2 1 1 , (1 ) (1 )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) s s s s t t j j s s j jt t d d q b g t g g t g + + β β + ++ τ τ= = Γ −β Γ −β− τ − τ∫ ∫ . Расписывая в (9) разностные операторы с учетом (11), (12) и приводя подобные чле- ны, получаем на полуцелом временном слое 1/2jt + следующую систему линейных алгебра- ических уравнений: 1/2 1/2 1/2 1, 1, j j j j j j j ik i k ik ik ik i k ikA C B C S C+ + + + −− + = Φ ( 1, ; 1, ; 0, )i m k n j N= = = , (13) где + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 1, 1 1 0,5 j i kj ik ik Dv A h h , ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 1 0,5 j j ik ik ik Dv S h h , j j j jik ik ikB b A S σ= + + τ , −= + = + λ1, ( ) 0,5( ), j j j j j ik m ikik i k ik ik k C D D D D D v k , 1 ( ) 1 0 1 ( ) 2 j j jj s s s ik ik jik ik s b C C b C − + = ⎛ ⎞σΦ = − −⎜ ⎟τ ⎝ ⎠ ∑ . Аналогично на целом временном слое из (10) получаем систему: 1 1 1 , 1 , 1 j j j j j j j ik i k ik ik ik i k ikP C Q C R C+ + + + −− + = Ω ( 1, ; 1, ; 0, )i m k n j N= = = , (14) где введены обозначения + σ= = = + + τ 2 2 , 1 ( ) 2 2 2 2 , , , j j ik i k ikj j j j j jik jik ik ik ik ik v D v D P R Q b P R h h 1 1/2 ( ) 1/2 1/2( ) ( ) 1 0 0 ( ) ( ) j j j s j j sj s j s s ik s ikjik ik ik ik s s q C C b C b C C − + + ++ = = ⎛ ⎞σΩ = − − + −⎜ ⎟τ ⎝ ⎠ ∑ ∑ . Решения трехдиагональных систем уравнений (13), (14) согласно методу прогонки [15] запишутся в виде + + + + += α +β1/2 1/2 1, 1, 1, j j j j ik i k i k i kC C ( 1, ; 1, ; 0, )i m k n j N= = = , (15) + + + + += α +β1 1 , 1 , 1 , 1 j j j j i kik i k i kC C ( 1, ; 1, ; 0, )i m k n j N= = = , (16) где прогоночные коэффициенты вычисляются по формулам 1, j j ik i k j j j ik ik ik A B S+α = − α , 1, 1, ( ) j i kj j j j i k ik ik ikj ik S A + + α β = β −Φ , (17) 26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 12 В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий , 1 j j ik i k j j j ik ik ik P Q R+α = − α , , 1 , 1 ( ) j i kj j j j i k ik ik ikj ik R P + + α β = β −Ω ( 1, ; 1, ; 0, )i m k n j N= = = , (18) 01 10,j j k k Cα = β = ( 1, ; 0, )k n j N= = , 1 11, 0j j i iα = β = ( 1, ; 0, )i m j N= = , (19) 1,1/2 1, 1, ( 1, ; 0, ) 1 j m kj m k j m k C k n j N++ + + β = = = −α , ++ + + β = −α , 11 , 1 , 11 j i nj i n i n C ( 1, ; 0, )i m j N= = . (20) Соотношения (15)—(20) позволяют вычислить решение на целом временном слое. При этом устойчивость метода прогонки для (13), (14) вытекает из факта диагонального пре- обладания в матрицах коэффициентов этих систем линейных алгебраических уравнений. Последующий переход в физическую область zG осуществляется согласно соотноше- ниям (1), (2). Результаты численных экспериментов и выводы. Численное моделирование осо бен- ностей дробно-дифференциальной динамики изучаемого процесса миграции растворимых веществ в рамках описанной выше неклассической конвективно-диффузионной математи- ческой модели выполнено для входных данных из работы [7]. При этом в расчетах исполь- зована следующая эмпирическая полиномиальная зависимость коэффициента фильтрации среды k от концентрации C солевого раствора для суглинков, предложенная в работе [9]: 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5( )k C a a C a C a C a C a C= + + + + + , (21) где 3 2 2 1 0 1 2 31,0054 10 , 1,0563 10 , 7,4311 10 , 1,7051 10 ,a a a a− − − −= ⋅ = ⋅ = − ⋅ = ⋅ 1 4 1,6703 10 ,a −= − ⋅ 2 5 5,9404 10 ,a −= ⋅ [0,1]C ∈ — обезразмеренная величина концентрации. Некоторые из полученных при этом результатов в безразмерных переменных 0 ,t t t=′ 0, ,Q Q C C Cϕ = ϕ ψ = ψ =′ ′ ′ ( 0t — характерный временной параметр, численное значе- ние которого в расчетах принималось равным t0 = 5 cут ) графически изображены на рис. 1—4 (знак “штрих” над безразмерными величинами опущен). На рис. 1 показано распределение полей концентраций вдоль линии тока 0,5ψ = при β = 0,8 в фиксированный момент времени 10t = , при учете нелинейной зависимости ( )k k C= согласно (21) (кривая 1) в сравнении со случаем усредненного ( constk = ) зна чения коэф- Рис. 3 Рис. 4 27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 12 Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации... фициента фильтрации (кривая 2 соответствует величине 0,00084k = ) для мо дели с класси- ческой производной Капуто—Герасимова, соответствующей ( )g x x= . Распределение полей концентраций для этой же модели с классической дробной про- изводной в зависимости от величины порядка производной β при учете зависимости ( )k k C= представлено на рис. 2 −β = −β = −β = =( 1,0, 0,8, 0,6; 10)1 2 3 t . На рис. 3 при- ведены (соответствующие моменту времени 10t = ) графики полей концентраций при ( )k k C= и фиксированном значении порядка дробной производной 0,8α = в зависимости от вида “пробной” функции 1 2 2( ( ) , ( ) , ( ) )1 g x x 2 g x x 3 g x x− = − = − = . На рис. 4 изображены соответствующие графики концентраций в фиксированной точ- ке (1,25; 0,5) области комплексного потенциала течения при ( )k k C= в зависимости от безразмерной временной переменной t 1 2 2( ( ) , ( ) , ( ) )1 g x x 2 g x x 3 g x x− = − = − = . Анализ результатов численных экспериментов позволяет сделать следующие выводы об особенностях динамики полей концентраций растворимых веществ при описании миг- рационного процесса на основе рассматриваемой математической модели с обобщенной производной Капуто—Герасимова. 1. В случае моделирования дробно-дифференциальной динамики миграционного про- цесса в рамках модели со стандартной производной Капуто—Герасимова ( ( )g x x= ) фронт концентрации растворимых веществ при учете функциональной зависимости ( )k k C= зна- чительно опережает фронт концентрации, рассчитанный при constk = (см. рис. 1). 2. В предположении наличия нелинейной зависимости ( )k k C= с уменьшением зна- чений порядка дробной производной β происходит запаздывание развития фронта концен- трации в жидкой фазе (см. рис. 2). 3. Вид функции ( )g x существенным образом влияет на результаты моделирования процесса конвективной диффузии в рамках изучаемой нелинейной модели, давая как суб- диффузионную (кривые 2 на рис. 3; 4) , так и супердиффузионную (кривые 3 на рис. 3; 4) картины распределения полей концентраций. Таким образом, предложенная диффузионная математическая модель (основанная на соответствующем дробно-дифференциальном уравнении с производной вида (5)) позволя- ет в определенном смысле управлять процессом моделирования изучаемого явления с по- мощью надлежащего выбора “пробной” функции. При этом в зависимости от вида функции ( )g t данная модель позволяет описывать как “сверхмедленные” так и ”сверхбыстрые” диф- фузионные режимы для процесса фильтрационно-конвективной диффузии в пористых сре- дах со сложной внутренней структурой. Игнорирование аномальных свойств процессов миграции в случае моделирования конвективно-диффузионной динамики растворимых ве- ществ при разработке инженерных решений (например, в области проектирования систем экологически безопасного функционирования поверхностных накопителей промышлен- ных или бытовых стоков в сложных горно-геологических условиях и геосредах фракталь- ной структуры) может привести к серьезным ошибкам в прогнозах степени безопасности указанных объектов. 28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 12 В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Лаврик В.И., Фильчакова В.П., Яшин А.А. Конформные отображения физико-топологических моде- лей. Киев: Наук. думка, 1990. 376 с. 2. Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопереноса в по- ристых средах. Киев: Наук. думка, 1991. 264 с. 3. Мистецкий Г.Е. Гидростроительство. Автоматизация расчета массопереноса в почвогрунтах. Киев: Будівельник, 1985. 136 с. 4. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. Москва: Наука, 1977. 664 с. 5. Булавацький В.М., Кривонос Ю.Г., Скопецький В.В. Некласичні математичні моделі процесів тепло- та масопереносу. Київ: Наук. думка, 2005. 283 с. 6. Богаенко В.А., Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Параллельный алгоритм расчета фильтрационно- конвективной диффузии загрязнений из водоносных горизонтов. Управляющие системы и машины. 2008. № 5. С. 18—23. 7. Власюк А.П., Остапчук О.П. Математичне моделювання переносу сольових розчинів при фільтрації підземних вод у грунтових масивах. Рівне: НУВГП, 2015. 214 с. 8. Bulavatsky V.M. Mathematical modeling of dynamics of the process of filtration convection diffusion under the condition of time nonlocality. J. Automation and Information Science. 2012. 44, № 2. P. 13—22. 9. Власюк А.П., Мартинюк П.М. Математичне моделювання консолідації грунтів при фільтрації сольо- вих розчинів в неізотермічних умовах. Рівне: НУВГП, 2008. 416 с. 10. Булавацкий В.М., Кривонос Ю.Г. Математические модели с функцией контроля для исследования дробно-дифференциальной динамики геомиграционных процессов. Проблемы управления и информа- тики. 2014. № 3. С. 138—147. 11. Almeida R. A. Caputo fractional derivative of a function with respect to another function. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. 44. P. 460—481. 12. Abramovitz M., Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1965. 831 p. 13. Podlubny I. Fractional differential equations. New York: Academic Press, 1999. 341 p. 14. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p. 15. Samarskii A.A. The Theory of Difference Schemes. New York: CRC Press, 2001. 766 p. Поступило в редакцию 14.06.2018 REFERENCES 1. Lavryk, V. I., Filchakova, V. P. & Yashyn, A. A. (1990). Conformal mappings of physical topological models. Kiev: Naukova Dumka (in Russian). 2. Liashko, I. I., Demchenko, L. I. & Mystetskyj, G. E. (1991). Numerical solution of heat and mass transfer problems in porous media. Kiev: Naukova Dumka (in Russian). 3. Mystetskyj, G. E. (1985). Hydroconstruction. Automation of computations of mass transfer in soils. Kiev: Budivelnyk (in Russian). 4. Polubarinova-Kochina, P. Ia. (1977). Theory of groundwater movement. Moscow: Nauka (in Russian). 5. Bulavatskyj, V. M., Kryvonos, Iu. G. & Skopetskyj, V. V. (2005). Non-classical mathematical models of heat and mass transfer. Kyiv: Naukova Dumka (in Ukrainian). 6. Bohaienko, V. A., Bulavatskyj, V. M., Skopetskyj, V. V. (2008). Parallel algorithm for computing filtrational convective pollutants diffusion from aquiferous strata. Upravliaiushchie sistemy i machyny, No. 5, pp. 18-23 (in Russian). 7. Vlasiuk, A. P. & Ostanchuk, O. P. (2015). Mathematical modelling of salt solutions movement in the case of ground water filtration in soil massifs. Rivne: NUVGP (in Ukrainian). 8. Bulavatsky, V. M. (2012). Mathematical modeling of dynamics of the process of filtration convection diffusion under the condition of time nonlocality. J. Automation and Information Science, 44, No. 2, pp. 13-22. 9. Vlasiuk, A. P. & Martyniuk, P. M. (2008). Mathematical modelling of soil consolidation in the case of salt solutions filtration in non-isothermal conditions. Rivne: NUVGP (in Ukrainian). 29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 12 Компьютерное моделирование динамики процесса миграции растворимых веществ при фильтрации... 10. Bulavatskyj, V. M. & Kryvonos, Iu. G. (2014). Mathematical models with control functions for studying fractional differential dynamics of geomigration processes. Problemy upravlenija i informatiki, No. 3, pp. 138-147 (in Russian). 11. Almeida, R. A. (2017). Caputo fractional derivative of a function with respect to another function. Com- munications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 44, pp. 460-481. 12. Abramovitz, M. & Stegun, I.A. (1965). Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover. 13. Podlubny, I. (1999). Fractional differential equations. New York: Academic Press. 14. Kilbas, A. A., Srivastava, H. M. & Trujillo, J. J. (2006). Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier. 15. Samarskii, A. A. (2001). The Theory of Difference Schemes. New York: CRC Press. Received 14.06.2018 В.А. Богаєнко, В.М. Булавацький Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ E-mail: sevab@ukr.net, v_bulav@ukr.net КОМП’ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ ПРОЦЕСУ МІГРАЦІЇ РОЗЧИННИХ РЕЧОВИН ПРИ ФІЛЬТРАЦІЇ ҐРУНТОВИХ ВОД З ВІЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ НА ОСНОВІ ДРОБОВО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ПІДХОДУ Виконано математичне моделювання дробово-диференціальної динаміки аномального процесу конвектив- ної дифузії розчинних речовин при плоско-вертикальній установленій фільтрації ґрунтових вод з вільною поверхнею. В рамках моделі з узагальненою похідною дробового порядку Капуто—Герасимова поставлена відповідна нелінійна крайова задача, наведена скінченно-різницева методика її наближеного розв’язання, викладені результати комп’ютерних експериментів. Ключеві слова: динаміка конвективно-дифузійних процесів, установлена плоско-вертикальна фільтрація ґрунтових вод, математичне і комп’ютерне моделювання, дробово-диференціальні математичні моделі, узагальнена похідна Капуто—Герасимова, нелінійні крайові задачі, скінченно-різницеві розв'язки. V.A. Bogaenko,V.М. Bulavatsky V. M. Glushkov Institute of Cybernetics of the NAS of Ukraine, Kiev E-mail: sevab@ukr.net, v_bulav@ukr.net COMPUTER MODELING OF THE DYNAMICS OF MIGRATION PROCESSES OF SOLUBLE SUBSTANCES IN THE CASE OF GROUNDWATER FILTRATION WITH FREE SURFACE ON THE BASE OF THE FRACTIONAL DERIVATIVE APPROACH The mathematical modeling of the fractional differential dynamics of the process of anomalous convective dif- fusion of soluble substances is conducted for the case of flat-vertical steady state groundwater filtration with free surface. Within the framework of the model with a generalized Caputo—Gerasimov fractional derivative, the corresponding non-linear boundary-value problem is posed, a finite-difference method for its approximated so- lution is given, and the results of computer experiments are described. Keywords: dynamics of convective and diffusive processes, steady state flat-vertical groundwater filtration, ma- thematical and computer modeling, fractional differential mathematical models, generalized Caputo—Gerasimov derivative, non-linear boundary-value problems, finite-difference solutions.

Репозитарії

Схожі ресурси