К теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре

Получено уравнение малых колебаний для плазменного шнура круглого сечения с винтовым магнитным полем. Показано, что это уравнение эквивалентно уравнению Хайна — Люста, однако имеет более простой вид. Приведенное уравнение позволило получить ряд ранее известных результатов, а также проанализировать п...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автор:	Черемных, О.К.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Головна астрономічна обсерваторія НАН України 2015
Назва видання:	Кинематика и физика небесных тел
Теми:	Космическая физика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/149534
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре / О.К. Черемных // Кинематика и физика небесных тел. — 2015. — Т. 31, № 5. — С. 3-19. — Бібліогр.: 36 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-149534
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1495342019-02-26T01:23:29Z К теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре Черемных, О.К. Космическая физика Получено уравнение малых колебаний для плазменного шнура круглого сечения с винтовым магнитным полем. Показано, что это уравнение эквивалентно уравнению Хайна — Люста, однако имеет более простой вид. Приведенное уравнение позволило получить ряд ранее известных результатов, а также проанализировать поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения: получен критерий устойчивости этих мод, выражение для максимального инкремента, определены области распространения как устойчивых, так и неустойчивых мод. Полученные результаты могут быть использованы для интерпретации поведения солнечных магнитных трубок. Отримано рівняння малих коливань для плазмового шнура круглого перерізу з гвинтовим магнітним полем. Показано, що це рівняння еквівалентне рівнянню Гайна — Люста, проте має простіший вигляд. Приведене рівняння дозволило отримати ряд раніше відомих результатів, а також проаналізувати поперечно-дрібномасштабні МГД-збурення: отримано критерій стійкості цих мод, вираз для максимального інкремента, визначено області поширення як стійких, так і нестійких мод. Отримані результати можна використати для інтерпретації поведінки сонячних магнітних трубок. The equation of small oscillations for a circular cross-section plasma column with a helical magnetic field is received. It is shown that this equation is equivalent to Hain — Lust equation, however has simpler appearance. The given equation allows to receive a number of earlier known results, and to analyse also transversal small-scale MHD perturbations: the criterion of stability of these modes, expression for the maximum increment are obtained, areas of propagation of both stable and unstable modes are defined. The obtained results can be used for interpretation of behavior of solar magnetic tubes. 2015 Article К теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре / О.К. Черемных // Кинематика и физика небесных тел. — 2015. — Т. 31, № 5. — С. 3-19. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. 0233-7665 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/149534 533.951 ru Кинематика и физика небесных тел Головна астрономічна обсерваторія НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Космическая физика Космическая физика
spellingShingle	Космическая физика Космическая физика Черемных, О.К. К теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре Кинематика и физика небесных тел
description	Получено уравнение малых колебаний для плазменного шнура круглого сечения с винтовым магнитным полем. Показано, что это уравнение эквивалентно уравнению Хайна — Люста, однако имеет более простой вид. Приведенное уравнение позволило получить ряд ранее известных результатов, а также проанализировать поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения: получен критерий устойчивости этих мод, выражение для максимального инкремента, определены области распространения как устойчивых, так и неустойчивых мод. Полученные результаты могут быть использованы для интерпретации поведения солнечных магнитных трубок.
format	Article
author	Черемных, О.К.
author_facet	Черемных, О.К.
author_sort	Черемных, О.К.
title	К теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре
title_short	К теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре
title_full	К теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре
title_fullStr	К теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре
title_full_unstemmed	К теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре
title_sort	к теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре
publisher	Головна астрономічна обсерваторія НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Космическая физика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/149534
citation_txt	К теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре / О.К. Черемных // Кинематика и физика небесных тел. — 2015. — Т. 31, № 5. — С. 3-19. — Бібліогр.: 36 назв. — рос.
series	Кинематика и физика небесных тел
work_keys_str_mv	AT čeremnyhok kteoriipoperečnomelkomasštabnyhmodvcilindričeskomplazmennomšnure
first_indexed	2025-07-12T22:21:31Z
last_indexed	2025-07-12T22:21:31Z
_version_	1837481485199736832
fulltext	ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÀß ÔÈÇÈÊÀ ÓÄÊ 533.951 Î. Ê. ×åðåìíûõ Èíñòèòóò êîñìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé Íàöèîíàëüíîé àêàäåìèè íàóê Óêðàèíû è Ãîñóäàðñòâåííîãî êîñìè÷åñêîãî àãåíòñòâà Óêðàèíû Ïðîñïåêò àêàäåìèêà Ãëóøêîâà 40, êîðï. 4/1, Êèåâ 187, ÌÑÏ 03680 oleg.cheremnykh@gmail.com Ê òåîðèè ïîïåðå÷íî-ìåëêîìàñøòàáíûõ ìîä â öèëèíäðè÷åñêîì ïëàçìåííîì øíóðå Ïîëó÷åíî óðàâíåíèå ìàëûõ êîëåáàíèé äëÿ ïëàçìåííîãî øíóðà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ñ âèíòîâûì ìàãíèòíûì ïîëåì. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòî óðàâíåíèå ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ Õàéíà — Ëþñòà, îäíàêî èìååò áîëåå ïðî ñ - òîé âèä. Ïðèâåäåííîå óðàâíåíèå ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü ðÿä ðàíåå èç - âåñò íûõ ðåçóëüòàòîâ, à òàêæå ïðîàíàëèçèðîâàòü ïîïåðå÷íî-ìåëêî - ìàñøòàáíûå ÌÃÄ-âîçìóùåíèÿ: ïîëó÷åí êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ýòèõ ìîä, âûðàæåíèå äëÿ ìàêñèìàëüíîãî èíêðåìåíòà, îïðåäåëåíû îá ëàñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ êàê óñòîé÷èâûõ, òàê è íåóñòîé÷èâûõ ìîä. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ èíòåðïðå òà - öèè ïîâåäåíèÿ ñîëíå÷íûõ ìàãíèòíûõ òðóáîê. ÄÎ ÒÅÎÐ²¯ ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÄÐ²ÁÍÎÌÀÑØÒÀÁÍÈÕ ÌÎÄ Ó ÖÈË²Í Ä - ÐÈ×ÍÎÌÓ ÏËÀÇÌÎÂÎÌÓ ØÍÓÐ², ×åðåìíèõ O. K. — Îòðèìàíî ð³âíÿííÿ ìàëèõ êîëèâàíü äëÿ ïëàçìîâîãî øíóðà êðóãëîãî ïåðåð³çó ç ãâèíòîâèì ìàãí³òíèì ïîëåì. Ïîêàçàíî, ùî öå ð³âíÿííÿ åêâ³âàëåíòíå ð³âíÿííþ Ãàéíà — Ëþñòà, ïðîòå ìàº ïðîñò³øèé âèãëÿä. Ïðèâåäåíå ð³âíÿííÿ äîçâîëèëî îòðèìàòè ðÿä ðàí³øå â³äîìèõ ðåçóëüòàò³â, à òà - êîæ ïðîàíàë³çóâàòè ïîïåðå÷íî-äð³áíîìàñøòàáí³ ÌÃÄ-çáóðåííÿ: îò - ðè ìàíî êðèòåð³é ñò³éêîñò³ öèõ ìîä, âèðàç äëÿ ìàêñèìàëüíîãî ³íê - ðåìåíòà, âèçíà÷åíî îáëàñò³ ïîøèðåííÿ ÿê ñò³éêèõ, òàê ³ íåñò³éêèõ ìîä. Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè ìîæíà âèêîðèñòàòè äëÿ ³íòåðïðåòàö³¿ ïîâåä³íêè ñîíÿ÷íèõ ìàãí³òíèõ òðóáîê. TO THE THE ORY OF TRANSVERSAL SMALL-SCALE MODES IN A CY LIN DRI CAL PLASMA COLUMN, by Cheremnykh O. K. — The equation of small oscillations for a circular cross-section plasma column with a helical magnetic field is received. It is shown that this equa tion is 3 ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ È ÔÈÇÈÊÀ ÍÅÁÅÑÍÛÕ ÒÅË òîì 31 ¹ 5 2015 © Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, 2015 4 Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ equiv a lent to Hain — Lust equa tion, how ever has sim pler ap pear ance. The given equa tion al lows to re ceive a num ber of ear lier known re sults, and to ana lyse also transversal small-scale MHD per tur ba tions: the cri te rion of sta bil ity of these modes, ex pres sion for the max i mum in cre ment are ob tained, ar eas of prop a ga tion of both sta ble and un sta ble modes are de fined. The ob tained re sults can be used for in ter pre ta tion of behavior of solar magnetic tubes. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Öèëèíäðè÷åñêèé ïëàçìåííûé øíóð êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ñ âèíòîâûì ìàãíèòíûì ïîëåì ÿâëÿåòñÿ óäîáíîé ïëàçìåííîé ìîäåëüþ äëÿ ýêñïå - ðèìåíòàëüíîãî è òåîðåòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ÌÃÄ-âîç - ìó ùåíèé. Òàêàÿ ìîäåëü â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíè ñëóæèò îáúåê - òîì èññëåäîâàíèé â êîñìè÷åñêîé [10, 15, 17] è âûñîêîòåìïåðàòóðíîé [1, 6, 18] ïëàçìàõ. Ýòà ãåîìåòðèÿ òàêæå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðàñ - ñìîò ðåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðîáëåì ôèçèêè ïëàçìû [2, 7, 14, 24]. Íåñìîòðÿ íà çíà÷èòåëüíóþ ðàáîòó ïî òåîðåòè÷åñêîìó èññëåäîâàíèþ ïîâåäåíèÿ ïëàçìû â öèëèíäðè÷åñêîé ãåîìåòðèè, ìíîãèå âîïðîñû ïî- ïðåæíåìó îñòàþòñÿ íåÿñíûìè. Îò÷àñòè ýòî ñâÿçàíî ñ òåì îáñòîÿ òåëü - ñòâîì, ÷òî äëÿ èçó÷åíèÿ êîëåáàíèé â óêàçàííîé ãåîìåòðèè îáû÷íî èñ - ïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå Õàéíà — Ëþñòà [30] èëè åãî ìîäèôèêàöèè (ñì., íàïðèìåð, [3]), êîòîðûå èìåþò äîâîëüíî ñëîæíûé âèä. Ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé ñâÿçàíî ñ ñóùåñòâåííûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè. Â äàííîé ðàáîòå ïîëó÷åíî óðàâíåíèé ìàëûõ êîëåáàíèé, êîòîðîå ñó - ùåñò âåííî ïðîùå ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòàíäàðòíûì âèäîì óðàâíåíèÿ Õàé íà — Ëþñòà [3]. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ïîëó - ÷åíî èç óðàâíåíèÿ Õàéíà — Ëþñòà ïîñëå íåêîòîðûõ ñóùåñòâåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïðîäåìîíñòðèðîâàíî, ÷òî ïîëó÷åí - íîå óðàâíåíèå ïðèâîäèò ê ðÿäó õîðîøî èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ. Îíî òàê æå ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü ïîïåðå÷íî-ìåëêîìàñøòàáíûå âîçìóùå - íèÿ ïëàçìû, êîòîðûå â ðÿäå ñëó÷àåâ ïðèâîäÿò ê íåóñòîé÷èâîñòÿì æå - ëîáêîâûõ è áàëëîííûõ ìîä, èãðàþùèõ âàæíóþ ðîëü â ôèçèêå ïëàçìû [4, 5, 8, 21, 23, 25, 27]. Â äàííîé ðàáîòå îñíîâíîå âíèìàíèå áóäåò ñîñðåäîòî÷åíî íà óñëîâèÿõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ è óñòîé÷èâîñòè ïîïå ðå÷ - íî-ìåëêîìàñøòàáíûõ âîçìóùåíèé ñ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì â íåîä - íî ðîäíîì ïëàçìåííîì øíóðå. ÈÑÕÎÄÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Íàø àíàëèç îñíîâûâàåòñÿ íà ëèíåàðèçîâàííûõ ÌÃÄ-óðàâíåíèÿõ ìà - ëûõ êîëåáàíèé äëÿ èäåàëüíîé ïëàçìû, êîòîðûå ìû çàïèøåì, ïðåäïî - ëàãàÿ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè exp( )-i tw â ñëåäóþùåì âèäå rw x d d d2 1 0 r r r r r - Ñ + ×Ñ + ×Ñ =p B B B B( ) ( ) , (1) ãäå d d d g x x c xp p B B p B1 2 2= + × = - - + ×^ ^ r r r r r r div div( ), dr rx= -div( ) r , d x g xp p p= - ×Ñ - r r div , (2) d x r r r B B= ´rot[ ], d d r r j B= rot , divd r B = 0. Ñèìâîë d èñïîëüçîâàí â (1), (2) äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âîçìóùåííûõ âåëè - ÷èí. Çäåñü ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: r — ðàâíîâåñíàÿ ïëîò - íîñòü ïëàçìû, p — åå äàâëåíèå, g — ïîêàçàòåëü àäèàáàòû, r x — âåêòîð ñìåùåíèÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà ïëàçìû, r j — ïëîòíîñòü òîêà, r B — ìàã íèòíîå ïîëå, r k — âåêòîð êðèâèçíû ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïî - ëÿ. Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè ìû èñïîëüçîâàëè ñëåäóþùåå ìàñøòà áè - ðîâàíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ r B è ïëîòíîñòè òîêà r j: r rB B 4p ® , 4p c j j r r ® . Äàëåå ïîëàãàåì, ÷òî ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå ïëàçìû îáëàäàåò ñèì - ìåòðèåé öèëèíäðà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ è ÷òî â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (r z, ,j ) âñå ðàâíîâåñíûå ïàðàìåòðû ïëàçìû è ìàãíèòíîãî ïîëÿ çàâèñÿò òîëüêî îò ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòû, à ìàãíèòíûå ïîâåðõ - íîñòè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âëîæåííûå öèëèíäðû ðàäèóñà r. Ðàâíî âåñ - íîå ìàãíèòíîå ïîëå â îáùåì ñëó÷àå èìååò âèä r r r B B r e B r ez z= +j j( ) ( ) , (3) è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ìàãíèòîñòàòè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ d dr p B B r + æ è çç ö ø ÷÷ + = 2 2 2 0 j . (4) Åñëè ôèãóðèðóþùèé â (1) è (2) âåêòîð ñìåùåíèÿ r x çàïèñàòü â âèäå r r r r x x x xj j= + +r r z ze e e , òî (r z, ,j ) — êîìïîíåíòû óðàâíåíèÿ (1) ñ ó÷å - òîì ðàâåíñòâà r k = ×Ñ æ è çç ö ø ÷÷ r r B B B B = - æ è çç ö ø ÷÷ r e r B B r j 2 è ïðàâèë äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îðòîâ ¶ ¶ = r r e er / j j , ¶ ¶ = - r r e erj j/ ïðèìóò âèä rw x d d d j j2 1 2 0r r d dr p B B r ik B B- - + =\|\| , (5) rw x d d dj j j 2 1 0- + + = im r p B r d dr rB ik B Br ( ) \|\| , (6) rw x d d d2 1 0z z r z zik p B d dr B ik B B- + + =\|\| . (7) Ïðè ïîëó÷åíèè (5) — (7) áûëî ó÷òåíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû ëèíå - àðèçîâàííûõ ÌÃÄ-óðàâíåíèé äëÿ êðóãëîãî öèëèíäðà íå çàâèñÿò îò êî - 5 Ê ÒÅÎÐÈÈ ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÌÎÄ îðäèíàò q è z. Ïîýòîìó îòäåëüíûå ôóðüå-ãàðìîíèêè â ýòèõ êîîðäè - íàòàõ íåçàâèñèìû, è ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ëèøü îäíó ôóðüå-ãàðìîíèêó âèíòîâîãî âîçìóùåíèÿ âèäà r r r x x w j( , ) ( )exp [ ]r t r i t m k zz= - + + , ãäå k n Rz = - / , m è n — öåëûå ÷èñëà, ðàññòîÿíèå R îïðåäåëÿåò äëèíó L ïëàçìåííîãî öèëèíäðà, L R= 2p . Ïîñêîëüêó àìïëèòóäà r x( )r ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî ðàäèóñà, òî çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ îäíîìåðíîé. Ôèãó - ðèðóþùàÿ â (5) — (7) ïðîäîëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âîëíîâîãî âåêòîðà k \|\| èìååò âèä k k e m r B B k B B z z \|\| \|\|= × = + r r j , à êîìïîíåíòû âîçìóùåííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ íàõîäÿòñÿ èç (2): d xB ik Br r= \|\| , d x x xj j j jB ik B B r Bz z z r= - - ¶ ¶ ( ) ( ), (8) d x x xj jB im r B B r r r Bz z z r z= - - ¶ ¶ ( ) ( ) 1 . Âîçìóùåííîå ïîëíîå äàâëåíèå dp1 èìååò âèä d g x x x jp p B ik B B r r 1 2 2 22= - + + +( ) \|\| \|\|div r , (9) ãäå div r x x x xj= ¶ ¶ + + 1 r r r im r ikr z z( ) . Äëÿ àíàëèçà âîçìóùåíèé óäîáíî ïåðåéòè â óðàâíåíèÿõ (5) — (7) (ñì. ðèñ. 1) îò j- è z-ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà ñìåùåíèÿ r x ê êîìïîíåíòàì, íàïðàâëåííûì ïî áèíîðìàëè (x b) è âäîëü ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ (x \|\|) 6 Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ Ðèñ. 1. Áèíîðìàëüíàÿ (b) è ïðîäîëüíàÿ (\|\|) êîìïîíåíòû âåêòîðà ñìåùåíèÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà ïëàçìû r r r r x x x x= + +r r b be e e\|\| \|\|, x x xj j j j b z z b z z B B B B e e B B e B B = - = -, r r r , (10) x x xj j j j \|\| \|\|,= + = + B B B B e e B B e B B z z z zr r r . Â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (5) — (7) ïðèíèìàþò âèä ( )\|\| \|\|rw x d x j2 2 2 1 2- - ¶ ¶ - +k B r p ik B B r r z b + + ¶ ¶ =2 2 0 2 ik B r B r r Bb b r j j jx x( ) , (11) ( )\|\| \|\|rw x d x j 2 2 2 1 2 0- - + =k B ik p ik r B Bb b r z , (12) rw g b x b b d xj2 2 1 2 1 1 2- + æ è ç ö ø ÷ - + - æ è ç ç ö ø ÷ ÷ k p ik p B r r \|\| \|\| \|\| = 0. (13) Ôèãóðèðóþùèå â (11) — (13) âåëè÷èíû dp1 , div r x è k b âûðàæåíû ÷åðåç àìïëèòóäû x x xr b, , \|\|: d g x x x jp p B iB k B r r 1 2 2 22= - + + +( ) \|\| \|\|div r , div r x x x x= ¶ ¶ + + 1 r r r ik ikr b b( ) \|\| \|\|, (14) k m r B B k B B b z z= - j . Óðàâíåíèÿ (11) — (14) ÿâëÿþòñÿ èñõîäíûìè äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà. ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÌÀËÛÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ Ñâåäåì óðàâíåíèÿ (11) — (13) ê îäíîìó óðàâíåíèþ ìàëûõ êîëåáàíèé äëÿ ðàäèàëüíîé êîìïîíåíòû âåêòîðà ñìåùåíèÿ x r . Èç (12) — (13) ñëåäóåò k i k p k k r B Bb b A b b r zx r w w d x j= - - æ è ç ö ø ÷ ( ) \|\|2 2 2 1 2 , (15) k ik c c p B rT T A r\|\| \|\| \|\| ( ) x r w w d x j = - - æ è ç ç ö ø ÷ ÷ 2 2 2 2 2 1 22 . (16) Çäåñü èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ w w wA A s s T Tk c k c k c2 2 2 2 2 2 2 2= = =\|\| \|\| \|\|, , , 7 Ê ÒÅÎÐÈÈ ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÌÎÄ c B c p c c c c A s T s s A 2 2 2 2 2 2 21 = = = + = r g r b b, , , . Ïîäñòàâëÿÿ (15) è (16) â (14), ïîëó÷àåì d c r w w x x j j p k r r r k k r B B B rb A r b r z1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 = + - ¶ ¶ + +( ) ( ) \|\| x cr 2 é ë ê ù û ú, (17) ãäå c w w w w w w 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = - - + - ( )( ) ( )( ) A s s A Tc c . Èç (4), (11), (15) è (17) ñëåäóåò èñêîìîå óðàâíåíèå ìàëûõ êîëåáàíèé: d dr k r d dr r r d dr B r k A b r r r w w c x x cj( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 21 2 - + é ë ê ù û ú + b z b b B B r k k k2 2 2 2 2+ + + é ë ê ù û ú = c c j \|\| = - + æ è çç ö ø ÷÷ - + r w w x x x r c c j j j ( )2 2 2 2 2 2 2 2 4A r r r b B d dr B r B r k ( ) ( ) \|\|k B k Bz b A - - j w w 2 2 2 . (18) Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî óðàâíåíèå (18) ïîëíîñòüþ ýêâèâà ëåíòíî õî - ðîøî èçâåñòíîìó óðàâíåíèþ Õàéíà — Ëþñòà [3, 30]. Â ñëó ÷àå Bj = 0, B z ¹ 0 óðàâíåíèå (18) ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì ìàëûõ êîëå áàíèé, ïðèâåäåííûì â [11, 12]. Åñëè æå Bj ¹ 0, B z = 0, òî (18) ïåðåõî äèò â óðàâíåíèå (19) ðàáîòû [17]. Â ñëó÷àå íåñæèìàåìûõ âîçìóùåíèé (cs ® ¥, w wT A 2 2® ) èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (14) è óðàâíåíèé (15), (16) è (17) ïîëó÷àåì óñëîâèå div r x = 0, êîòîðîå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ òàêèõ âîçìóùåíèé. Óðàâ - íåíèå (18) äëÿ íåñæèìàåìûõ âîçìóùåíèé ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ d dr k m r r d dr r r d dr BB r A z r r r w w x x j( ) / ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 - + é ë ê ù û ú + k m r k m rz \|\|( / ) /2 2 2+ é ë ê ù û ú - - - + æ è çç ö ø ÷÷ - + x r w w j j j r A z B d dr B r B r k m r k ( ) ( / ) / 2 2 2 2 2 2 2 2 4 z A A 2 2 2 2 0 w w w- é ë ê ù û ú = . (19) Óðàâíåíèå (19) ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì ìàëûõ êîëåáàíèé (17.36) êíèãè [6]. Â ýòîì óðàâíåíèè ïðîäîëüíàÿ êîìïîíåíòà âîëíîâîãî âåêòîðà k \|\| íå ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íóëü, ïîñêîëüêó ïðè åãî ïîëó÷åíèè ïîëàãàëîñü k cs\|\| ® ¥. Èç ñòðóêòóðû óðàâíåíèÿ (18) ñëåäóåò, ÷òî ïðè êîíå÷íûõ k b è k \|\| îíî èìååò ñèíãóëÿðíîñòü â òî÷êàõ, ãäå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâà w w= A r( ) (20) è w w= T r( ). (21) 8 Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ Óñëîâèå (19) îïðåäåëÿåò àëüâåíîâñêèé êîíòèíóóì, à (20) — êàñïî - âûé, èëè ÌÌÇ-êîíòèíóóì. Ñèíãóëÿðíûå ìàãíèòíûå ïîâåðõíîñòè èìå þò ðàäèàëüíûå êîîðäèíàòû rA è rT , ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèÿìè óðàâ - íåíèé (19) è (20), ñîîòâåòñòâåííî. Äàëåå òî÷êè rA è rT ìû áóäåì íà - çûâàòü òî÷êàìè àëüâåíîâñêîãî è êàñïîâîãî (èëè ÌÌÇ) ðåçîíàíñà ñî - îò âåòñòâåííî. Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (19) èìååò ðåçîíàíñû òîëüêî â òî÷êàõ rA , óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (20). ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÕÀÉÍÀ — ËÞÑÒÀ Ââèäó âàæíîñòè óðàâíåíèÿ (18) äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è, ïîëó - ÷èì åãî èç õîðîøî èçâåñòíîãî óðàâíåíèÿ Õàéíà — Ëþñòà, çàïèñàâ ïîñëåäíåå â âèäå, ïðåäëîæåííîì â [3]: d dr D C r d dr r r d dr C rC C rD C r r 2 1 2 3 1 2 ( )x x é ë ê ù û ú - æ è çç ö ø ÷÷ - + C rD2 1 0 é ë ê ù û ú = . (22) Çäåñü èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ D c cs A A T= + - -r w w w w( )( )( )2 2 2 2 2 2 , C B r B r k B m r c cs A T1 4 2 2 2 2 22 2 = - + -w w w j j \|\| ( )( ), C m r k c cz s A T2 4 2 2 2 2 2 2 2= - + æ è çç ö ø ÷÷ + -w w w( )( ), (23) C D B d dr B r B r A3 2 2 2 2= - + æ è çç ö ø ÷÷ é ë ê ù û ú æ è ç ç ö ø ÷ ÷ r w w wj j j ( ) 4 - - + -4 2 2 2 2 2 2 r w w w j ( )( )c c B r S A T A . Èç (2) è (23) ïîëó÷àåì D C k A b2 2 2 2 2 = - - + r w w c ( ) , C C k B r B B r k k c c c b z b s A s A 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + × - - + c c w w j j \|\| [ ( )] ( )( )c cs A T 2 2 2 2+ - é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú w w , (24) C D B r c c B k r s A A T 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + - - - w r w w w w r w j j ( )( )( ) ( \|\| 2 2 2 2 2 - - -w r w w j A b z A B r k k B ) ( ) \|\| , 9 Ê ÒÅÎÐÈÈ ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÌÎÄ C D B d dr B r B r A A A 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 = - + æ è çç ö ø ÷÷ - - +r w w w w w j j j ( ) + æ è ç ç ö ø ÷ ÷ + - - 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 w r w w w w jB r c cs A A T( )( )( ) . Âåëè÷èíà c 2 â (24) è äàëåå ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè - ÷èíîé â (18). Èç (24) ñëåäóåò C C D C D C C C D C D 1 2 2 3 1 2 1 3- = - = = + × + - - + æ è ç ç ö ø ÷ ÷4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B r k k k B b b s A b j j c w w w w r w ( ) ( T s Ac c2 2 2 2- + é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú + w )( ) + - + 4 2 2 2 2 2 2 2 2 B B r k k z A b j r w w c c \|\| ( ) - - + +8 3 2 2 2 2 2 2 B B r k k k z b A b j r w w c c \|\| ( ) 2 2 2 2 2 r d dr p B z A+ æ è çç ö ø ÷÷ - -r w w( ). (25) Ïîäñòàâëÿÿ (24), (25) â (23), ïîñëå íåêîòîðûõ ãðîìîçäêèõ ïðåîá - ðàçîâàíèé íàõîäèì r w w x( )2 2 22 2 - - + æ è çç ö ø ÷÷ -A r z r r d dr p B - + + - - + æ è ç ç ö ø ÷ ÷ x c w w w w r j j r z b b s A b B B k k k B 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )w wT s Ac c2 2 2 2- + é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú + ì í ï ï î ï ï + - + - - 4 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 B B r k k B B r k kz A b z bj j r w w c c r w \|\| \|\| ( ) ( w c cA bk2 2 2 2) + ü ý þ = = - + é ë ê ù û ú d dr k r d dr rA b r r w w c x ( ) ( ) 2 2 2 2 1 + + + é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 2 2 2 2 2 2 2 r d dr B r B B k k r k r z b b x c c j j \|\| . (26) 10 Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ Ïðÿìûìè ðàñ÷åòàìè ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â (26) âûðàæåíèå â ôè - ãóðíûõ ñêîáêàõ ðàâíî 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B r k k B B rb z A j jc c r w w+ - + æ è ç ç ö ø ÷ ÷( ) . (27) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî k B k B k Bz z b 2 2 21 = -( )\|\| j , èç (26) è (27) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (18). ÊÐÈÒÅÐÈÉ ÑÀÉÄÅÌÀ Èñïîëüçóÿ (18), ïîëó÷èì õîðîøî èçâåñòíûé ðåçóëüòàò èç òåîðèè óñ - òîé ÷èâîñòè öèëèíäðè÷åñêîãî ïëàçìåííîãî øíóðà — êðèòåðèé Ñàé äå - ìà, êîòîðûé îïðåäåëÿåò ãðàíèöó óñòîé÷èâîñòè æåëîáêîâûõ âîçìóùå - íèé. Íà ãðàíèöå óñòîé÷èâîñòè (w2 = 0), óðàâíåíèå (18) ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì Ýéëåðà äëÿ x r , ìèíèìèçèðóþùèì ôóíêöèîíàë ïîòåí öè - àëüíîé ýíåðãèè äëÿ öèëèíäðè÷åñêîãî ïëàçìåííîãî øíóðà [2, 5, 7, 14, 16, 25]: d dr f d dr gr r x x æ è ç ö ø ÷ = , (28) ãäå f r m r B k B m r k z z z = + æ è ç ö ø ÷ + j 2 2 2 2 , g k m r k dp dr r m r B k B k m r k z z z z z z = + + + æ è ç ö ø ÷ + - + 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 j m r 2 2 + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r k m r k k B m r Bz z z z + æ è çç ö ø ÷÷ - æ è çç ö ø ÷÷j . Äëÿ ìåëêîìàñøòàáíûõ âîçìóùåíèé ñ ( / , )m r k z ® ¥ âòîðîå ïîëî - æè òåëüíîå ñëàãàåìîå â âûðàæåíèè äëÿ g ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Íå óñòîé÷èâîñòü ìîæåò âîçíèêíóòü òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè óêàçàííîå ñëà ãàåìîå áóäåò î÷åíü ìàëåíüêèì. Ýòî ðåàëèçóåòñÿ, åñëè íà íåêî òî - ðîì ðàäèóñå r0 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî k B\|\| 2 2 = m r B k Bz zj + æ è ç ö ø ÷ 2 = 0, ò. å. âîç ìóùåíèÿ èìåþò âèä «æåëîáêîâ» [4, 5, 15]. Âáëèçè ðàäèóñà ëîêàëè - çàöèè r r= 0 óðàâíåíèå (28) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå, ïðèâåäåííîå â [2, 11 Ê ÒÅÎÐÈÈ ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÌÎÄ 5], d dx x d dx q x r r r r 2 2 2 22x x x h x+ + = , (29) ãäå x r r= - 0 , p dp dr ¢ = , m m ¢ = d dr , m j = B rB z , q r B p z = - ¢ ¢ 2 2 2 2 m m( ) , h2 2 2 2 2 = m B r B z . Ïðè x r m<< 1 / ~ /h ïðàâîé ÷àñòüþ â óðàâíåíèè (29) ìîæíî ïðå - íåáðå÷ü, è ðåøåíèå èìååò âèä ñòåïåííîé ôóíêöèè x n r x= , ãäå n = = - ± - 1 2 1 4 q. Åñëè 1/4 – q > 0, òî ïðè x > 0 ðåøåíèå äëÿ x r x( ) ðàñõîäèòñÿ ïðè x ® 0, òàê ÷òî åãî íåâîçìîæíî ñøèòü ñ ðåøåíèåì ïðè x < 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè 1/4 – q > 0 íåïðåðûâíîå ðåøåíèå äëÿ x r îòñóòñòâóåò, ÷òî ãîâîðèò îá óñòîé÷èâîñòè ïëàçìåííîé ñèñòåìû. Åñëè æå 1/4 – q < 0, òî ðåøåíèå äëÿ x r ìîæíî çàïèñàòü â âèäå x r x q x x ( ) sin( \| / \| ln ) / = -1 4 1 2 . Ýòî ðåøåíèå ñèëüíî îñöèëëèðóåò ïðè x ® 0, òàê ÷òî ïîñòðîåíèå íåïðåðûâíîãî ðåøåíèÿ îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì. Òàêèì îáðàçîì, öè ëèí äðè÷åñêèé ïëàçìåííûé øíóð áóäåò ëîêàëü - íî óñòîé÷èâ ïðè 1/4 – q > 0 èëè â ôèçè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ r B dp drz4 2 0 2 2 m m ¢æ è ç ö ø ÷ + > . (30) Èç (30) ñëåäóåò, ÷òî ïðè p¢ < 0, ñòàáèëèçèðóþùèì ôàêòîðîì ÿâ ëÿ - åòñÿ ïåðåêðåùåííîñòü ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ, m¢ ¹ 0. Ýòî óñ - ëî âèå óñòîé÷èâîñòè öèëèíäðè÷åñêîãî ïëàçìåííîãî øíóðà ñ âèíòîâûì ìàã íèòíûì ïîëåì îòíîñèòåëüíî æåëîáêîâûõ âîçìóùåíèé áûëî ïîëó - ÷å íî Ñàéäåìîì [13]. Äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ íåóñòîé÷èâîñòè äîñòàòî÷íî íà ëè÷èÿ ðàäèóñà ëîêàëèçàöèè âíóòðè øíóðà r0 è âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (30). ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß Êðèòåðèé Ñàéäåìà (30) îïðåäåëÿåò ãðàíèöó óñòîé÷èâîñòè öèëèíä ðè - ÷åñêîé ïëàçìû îòíîñèòåëüíî æåëîáêîâûõ âîçìóùåíèé, âûòÿíóòûõ âäîëü ñèëîâûõ ëèíèé, è ìåëêîìàñøòàáíûõ ïîïåðåê ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Â îòëè÷èå îò æåëîáêîâûõ ìîä áàëëîííûå ìîäû [24, 25, 29, 30] íå ÿâ ëÿ - þò ñÿ ïî÷òè ïîñòîÿííûìè âäîëü ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ (k \|\| ¹ 0). ×àñòî æåëîáêîâûå è áàëëîííûå ìîäû íàçûâàþòñÿ ïîïåðå÷ - íî-ìåë êî ìàñøòàáíûìè ìîäàìè. Ýòè ìîäû îïðåäåëÿþò óñòîé÷èâîñòü ìàãíè òî ñôåðíîé ïëàçìû [18, 22, 25, 27] è âûñîêîòåìïåðàòóðíîé ïëàçìû [4, 6, 35]. Îíè òàêæå â ðÿäå ñëó÷àåâ îïðåäåëÿþò óñòîé÷èâîñòü 12 Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ ïëàçìåííûõ ñòðóêòóð íà Ñîëíöå [16, 36]. Ïîïåðå÷ íî-ìåëêî ìàñ - øòàáíûå ñòîÿ÷èå ÌÃÄ-âîëíû â ìàãíèòîñôåðå Çåìëè [19, 20, 26, 28, 32, 34, 35] ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè âîëíàìè, îïðåäåëÿþùèìè âîëíîâóþ ýíåð ãåòèêó ìàãíèòîñôåðíîé ïëàçìû. Íèæå ìû, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åí - íûå ðåçóëüòàòû, îñòàíîâèìñÿ íà óñëîâèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ è óñòîé÷è - âîñ òè òàêèõ âîçìóùåíèé â íåîäíîðîäíîì ïëàçìåííîì öèëèíäðå. Â ïðèáëèæåíèè ïîïåðå÷íîé ìåëêîìàñøòàáíîñòè âîçìóùåíèé k k k Lb b>> >>\|\| , 1, (31) ãäå L — õàðàêòåðíûé ìàñøòàá ïîïåðå÷íîé íåîäíîðîäíîñòè ïëàçìû, óðàâíåíèå (18) äîïóñêàåò óïðîùåíèå d dr k r d dr r B r A b r A r rr w w x r w w x x j( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 21 2-é ë ê ù û ú - - - d dr B r jæ è çç ö ø ÷÷ + + - - + = 4 0 4 2 2 2 2 2 2 2 B r c c r s T s A jx w w w w( )( ) . (32) Íàëè÷èå â óðàâíåíèè (32) áîëüøîãî ïàðàìåòðà, ïðîïîðöèîíàëüíîãî k b 2 , óêàçûâàåò íà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèå ïî ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòå. Ïðåäñòàâèì x r â âèäå x w r is re= ( , ) . (33) Ôèãóðèðóþùóþ â (33) ôàçó s ìîæíî ðàçëîæèòü â àñèìïòîòè÷åñêèé ðÿä ïî ïàðàìåòðó k b s s s s= + +0 1 2 , ãäå s O k b0 1~ ( ), s O k b1 0~ ( ), s O k b2 1~ ( )- è ò. ä. Íèæå ìû îãðàíè÷èìñÿ ãëàâíûì ïîðÿäêîì ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèÿ, ò. å. ó÷òåì òîëüêî ïåðâûé ÷ëåí ðàç ëîæåíèÿ. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåëè÷èíó k r k ds dr r = 0 , (34) êîòîðóþ óñëîâíî ìîæíî íàçâàòü ðàäèàëüíîé êîìïîíåíòîé âîëíîâîãî âåêòîðà. Â îòëè÷èå îò áèíîðìàëüíîé êîìïîíåíòû k b âîëíîâîãî âåêòî - ðà, âåëè÷èíà k r íå ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìûì ïàðàìåòðîì, è íàõîäèòñÿ èç ðå øåíèÿ óðàâíåíèÿ (32). Ïîäñòàâëÿÿ (33) â (32) è ó÷èòûâàÿ (34), ïîëó÷àåì çàâèñèìîñòü k r 2 îò ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòû è ÷àñòîòû k k B d dr B r r b A 2 2 2 2 1 2 = - - - æ è çç ö ø ÷÷ + j j r w w( ) + - - - + 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B r c c s T A s A j r w w w w w w( )( )( ) . (35) Óðàâíåíèå (35) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå 13 Ê ÒÅÎÐÈÈ ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÌÎÄ k r k r r r r b A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) w w w w w w w w = - - æ è çç ö ø ÷÷ - - + - wT r2 ( ) æ è çç ö ø ÷÷ , (36) ãäå ÷àñòîòû w± 2 îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè w w w w w w w w w w± = + - ± + - - +2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 4 4 2 4 ( ) , w w r j j 1 2 2 2 = - æ è çç ö ø ÷÷A B d dr B r , w w2 2 2= T , w r j 3 2 4 2 2 2 2 4 1 = + B r c cs A , w r wj 4 4 4 2 2 2 2 2 4 1 = + B r c c s s A . (37) ×àñòîòû w w w2 2 3 2 4 2, , âñåãäà ïîëîæèòåëüíû. ×àñòîòà w1 2 ÿâëÿåòñÿ âåëè ÷èíîé çíàêîïåðåìåííîé. Èç (37) ñëåäóþò íåðàâåíñòâà w w w w- +< <2 2 2 2 T A, . (38) ×àñòîòà w+ ìîæåò áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå àëüâåíîâñêîé ÷àñòîòû w A . Èç íåðàâåíñòâ (38) ñëåäóåò, ÷òî óñòîé÷èâûå ìîäû ãåíåðèðóþòñÿ ïðè óñëîâèè w- 2 > 0. Èç (37) íàõîäèì, ÷òî ýòî óñëîâèå ðåàëèçóåòñÿ â ñëó÷àå w w w1 2 2 2 4 4 0- > . (39) Â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå ìîãóò ðåàëèçîâàòüñÿ íåóñòîé÷èâûå ïîïåðå÷íî-ìåëêîìàñøòàáíûå ìîäû. ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÂÎËÍÛ Â ôèçè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ íåðàâåíñòâî (39) èìååò âèä k B B d dr B r B r B \|\| 2 2 4 2 4 2 4 > æ è çç ö ø ÷÷ + j j j . (40) Â ýòîì ñëó÷àå, êàê âèäíî èç óðàâíåíèÿ (36) èìåþòñÿ îáëàñòè ëîêàëèçàöèè («ïðîçðà÷íîñòè») ïîïåðå÷íî-ìåëêîìàñøòàáíûõ âîëí, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ, k r 2 > 0. Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü k r 2 îò w2 äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ. Âèäíî, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó w+ 2 è w A 2 ðåàëèçóþòñÿ äâå îáëàñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí. Åñëè â (40) ïîëîæèòü k \|\| = 0, òî ïîëó÷àåì êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè äëÿ æåëîáêîâûõ âîçìóùåíèé - æ è çç ö ø ÷÷ - > B r d dr B r B r cA j j j r 2 0 4 3 2 . (41) 14 Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ Íåðàâåíñòâî (41) ìîæíî èñïîëüçîâàòü, åñëè k \|\| = 0 â íåêîòîðîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå Dr, ò. å. â ñëó÷àÿõ, êîãäà ñóùåñòâóåò èíòåðâàë Dr, â êîòîðîì îòñóòñòâóåò øèð ìàãíèòíîãî ïîëÿ m¢ = ( / )B rB zj ¢ = 0. Ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ (4) è ðàâåíñòâà B B B B r z z ¢ - ¢ - = j j 1 0, âûòåêàþùåãî èç óñëîâèÿ m¢ = 0, íåðàâåíñòâî (41) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå dp dr > 0. (42) Íåðàâåíñòâî (42) òàêæå ñëåäóåò èç êðèòåðèÿ Ñàéäåìà (30), åñëè â ïîñëåäíåì ïîëîæèòü øèð ðàâíûì íóëþ, ò. å. m¢ = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â ïðèáëèæåíèè áåñêîíå÷íî ìàëîãî øèðà êðèòåðèé Ñàéäåìà è êðèòåðèé (40) äàþò îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò. Òàêèì îáðàçîì, êðèòåðèé (40) îáîáùàåò êðèòåðèè (30) íà ñëó÷àé ïîïåðå÷íî-ìåëêîìàñøòàáíûõ âîçìóùåíèé ñ k \|\| ¹ 0 â öèëèíäðè÷åñêîì ïëàçìåííîì øíóðå ñ ìàëûì äàâëåíèåì. Ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ ìàãíèòî - ñòà òè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ (4) êðèòåðèé (40) ñ k \|\| ¹ 0 ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå k r B B B rB d dr p Bz z \|\| 2 2 2 2 4 2 24 2 2 + > - + æ è çç ö ø ÷÷ j . (43) Åñëè â íåðàâåíñòâå (43) ïîëîæèòü B z = 0, òî îíî ïðèíèìàåò âèä k p r\|\| 2 > bc c , (44) ãäå c p p dp dr = 1 — õàðàêòåðíûé ìàñøòàá èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ, c r r= -1 / — ðàäèàëüíàÿ êðèâèçíà ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ, b = 2 2p B/ . Íåðàâåíñòâî (44) ñîâïàäàåò ñ õîðîøî èçâåñòíûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ïëàçìû îòíîñèòåëüíî áàëëîííûõ ìîä [4, 9, 25]. Ïðè 15 Ê ÒÅÎÐÈÈ ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÌÎÄ Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü kr 2 îò w2 â ñëó÷àÿõ w w+ <2 2 A (à) è w w+ >2 2 A (á) Bj= 0 èç (4) è (43) ïîëó÷àåì óñëîâèå k \|\| 2 > 0, êîòîðîå çàâåäîìî ðåàëè çó - åòñÿ, è ïîýòîìó óñòîé÷èâûå ïîïåðå÷íî-ìåëêîìàñøòàáíûå ìîäû â ýòîì ñëó÷àå ðåàëèçóþòñÿ âñåãäà. ÁÀËËÎÍÍÀß ÍÅÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ Ïîëîæèì, ÷òî íåðàâåíñòâà (40) è (43) èçìåíåíû íà ïðîòèâîïîëîæíûå, òàê ÷òî w- 2 < 0. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå èíêðåìåíò íåóñòîé÷èâîñòè g ( )g w2 2= - è ïåðåïèøåì (36) â âèäå k kr b A T 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + - + + + -( )(\| \| ) ( )( ) g w w g g w g w . (45) Âèäíî, ÷òî óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ íåóñòîé÷èâûõ ìîä k r 2 > 0 ðåàëèçó - åòñÿ ïðè óñëîâèè \| \|w g- >2 2 . Ïîýòîìó ìàêñèìàëüíûé èíêðåìåíò áàë ëîí - íîé íåóñòîé÷èâîñòè ðàâåí g wmax \| \|2 2= - . (46) Ïðè g 2 0» ðåàëèçóþòñÿ äîëãîæèâóùèå áàëëîííûå è êàñïîâûå ìîäû ñ k r 2 , ðàâíûì ( )k r 0 2 : ( ) \| \|k k r b A T 0 2 2 2 2 2 2 = + -w w w w . (47) Çàâèñèìîñòü (45) êà÷åñòâåííî ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 3. Âèäíî, ÷òî îáëàñòü ïðîçðà÷íîñòè íåóñòîé÷èâûõ áàëëîííûõ ìîä ïðèìûêàåò ê îá - ëàñ òè ðàñïðîñòðàíåíèÿ êàñïîâûõ âîëí. Â ñëó÷àå k r = 0 è g = 0 èç (45) ñëåäóåò \| \|w- 2 = 0 èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, (ñì. (37)) w w w4 4 1 2 2 2 0- = , ò. å. ïîëó÷àåì óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ãðàíèöó áàëëîííîé íåóñòîé - ÷èâîñòè. 16 Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü kr 2 îò w2 äëÿ áàëëîííîé íåóñòîé÷èâîñòè â ñëó÷àÿõ w w+ <2 2 A (à) è w w+ >2 2 A (á) ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû ñâîäÿòñÿ ê ñëåäóþùèì. — Ïîëó÷åíî óðàâíåíèå ìàëûõ êîëåáàíèé (18) â öèëèíäðè÷åñêîé íåîäíîðîäíîé ïî ðàäèóñó ïëàçìå, óäåðæèâàåìîé âèíòîâûì ìàãíèò - íûì ïîëåì ñ êîìïîíåíòàìè Bj è B z . — Óñòàíîâëåíî, ÷òî óðàâíåíèå (18) ïîëíîñòüþ ýêâèâàëåíòíî õîðî øî èçâåñòíîìó óðàâíåíèþ Õàéíà — Ëþñòà (22). Â òî æå âðåìÿ óðàâíåíèå (18) èìååò áîëåå ïðîñòîé âèä. — Ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå Bj = 0 èëè B z = 0 óðàâíåíèå (18) ïåðå õî - äèò â ðàíåå ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ. Â ñëó÷àå íåñæèìàåìûõ âîçìóùå - íèé îíî òàêæå ñâîäèòñÿ ê èçâåñòíîìó óðàâíåíèþ (19). Ðàçúÿñíåíî, ïî - ÷å ìó â ýòîì óðàâíåíèè íåëüçÿ ïðîäîëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ âîëíîâîãî âåêòîðà k \|\| îáðàùàòü â íîëü. — Èç óðàâíåíèÿ (18) ñëåäóåò êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè Ñàéäåìà (30) îòíîñèòåëüíî æåëîáêîâûõ âîçìóùåíèé. — Èç (18) ïîëó÷åíî óðàâíåíèå (32) äëÿ ïîïåðå÷íî-ìåëêîìàñ øòàá - íûõ ìîä, êîòîðîå ðåøåíî â ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèè. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷åíî âûðàæåíèå (36) äëÿ ýéêîíàëà. — Ñ ïîìîùüþ (36) ïîëó÷åí êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè (40) äëÿ áàë - ëîí íûõ ìîä, à òàêæå âûðàæåíèå (46) äëÿ ìàêñèìàëüíîãî èíêðåìåíòà ýòèõ ìîä. Ïîêàçàíî, ÷òî â ïðåäåëå ìàëîãî øèðà êðèòåðèè (30) è (40) äàþò îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò. Óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè îïðåäåëåííîì âûðàæåíèè äëÿ ýéêîíàëà (ñì. (45)) ðåàëèçóþòñÿ äîëãîæèâóùèå áàë - ëîí íûå è êàñïîâûå ìîäû. — Ñ ïîìîùüþ (36) îïðåäåëåíû îáëàñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ â íåîäíîðîäíîé öèëèíäðè÷åñêîé ïëàçìå óñòîé÷èâûõ àëüâåíîâñêèõ è êàñïîâûõ ìîä è íåóñòîé÷èâûõ áàëëîííûõ ìîä. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû êà÷åñòâåííî îïèñûâàþò ïîâåäåíèå ÓÍ×-ìîä ñ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì â íåîäíîðîäíûõ ïëàçìåííûõ öè - ëèíä ðàõ è ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ èíòåðïðåòàöèè ïîâåäåíèÿ ñîëíå÷íûõ ìàãíèòíûõ òðóáîê. Ðàáîòà âûïîëíåíà â ðàìêàõ Êîìïëåêñíîé íàó÷íîé ïðîãðàììû ÍÀÍ Óêðàèíû ïî êîñìè÷åñêèì èññëåäîâàíèÿì è Ïðîãðàììû ÍÀÍ Óêðàèíû ïî ôèçèêå ïëàçìû. Ðàáîòà áûëà ÷àñòè÷íî ïîääåðæàíà Óêðàèíñêèì íàó÷íî-òåõíè÷åñ - êèì öåíòðîì ïî ïðîåêòó ¹ 6060. Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü Ä. Þ. Êëèìóøêèíó è À. Ñ. Ïàð - íîâ ñêîìó çà îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ. 1. Áåéòìàí Ã. ÌÃÄ-íåóñòîé÷èâîñòè. — Ì.: Ýíåðãîèçäàò, 1982.—200 ñ. 2. Áåðíøòåéí À. Íåóñòîé÷èâîñòè ïëàçìû // Îñíîâû ôèçèêè ïëàçìû / Ïîä ðåä. À. À. Ãà ëååâà, Ð. Ñóäàíà. — Ò. 1. —Ñ. 365—392. 3. Ãóññåíñ Ì. Ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèå âîëíû è âîëíîâîé íàãðåâ íåîäíîðîäíîé ïëàçìû // Êîñìè÷åñêàÿ ìàãíèòíàÿ ãèäðîäèíàìèêà / Ïîä ðåä. Ý. Ïðèñòà, À. Õó - äà. — Ì.: Ìèð, 1995.—Ñ. 144—178. 17 Ê ÒÅÎÐÈÈ ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÌÎÄ 4. Çàãîðîäíèé À. Ã., ×åðåìíûõ Î. Ê. Ââåäåíèå â ôèçèêó ïëàçìû. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2014.—696 ñ. 5. Êàäîìöåâ Á. Á. Ãèäðîìàãíèòíàÿ óñòîé÷èâîñòü ïëàçìû // Âîïðîñû òåîðèè ïëàçìû / Ïîä. ðåä. Ì. À. Ëåîíòîâè÷à. — Ì.: Ãîñàòîìèçäàò, 1963.—Âûï. 2.—Ñ. 132— 176. 6. Êåíðî Ìèÿìîòî. Îñíîâû ôèçèêè ïëàçìû è óïðàâëÿåìîãî ñèíòåçà. — Ì.: Ôèçìàò - ëèò, 2007.—424 ñ. 7. Ëàäèêîâ-Ðîåâ Þ. Ï.,×åðåìíûõ Î. Ê. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñïëîøíûõ ñðåä. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2010.—552 ñ. 8. Ìàçóð Í. Ã., Ôåäîðîâ Å. Í., Ïèëèïåíêî Â. À. Äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ áàëëîííûõ ìîä è óñëîâèå èõ óñòîé÷èâîñòè â îêîëîçåìíîé ïëàçìå // Ãåî ìàã íå - òèçì è àýðîíîìèÿ.—2012.—52, ¹ 5.—Ñ. 639—648. 9. Ìèõàéëîâñêèé À. Á. Òåîðèÿ ïëàçìåííûõ íåóñòîé÷èâîñòåé. — Ì.: Àòîìèçäàò, 1977.—Ò. 2.—306 ñ. 10. Ïàðêåð Å. Êîñìè÷åñêèå ìàãíèòíûå ïîëÿ. Èõ îáðàçîâàíèå è ïðîÿâëåíèÿ. ×àñòü 1. — Ì.: Ìèð, 1982.—608 ñ. 11. Ïðèñò Ý. Ð. Ñîëíå÷íàÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìèêà. — Ì.: Ìèð, 1985.—590 ñ. 12. Ðîáåðòñ Á. Ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèå âîëíû íà Ñîëíöå // Êîñìè÷åñêàÿ ìàã - íèò íàÿ ãèäðîäèíàìèêà / Ïîä ðåä. Ý. Ïðèñòà, À. Õó äà. — Ì.: Ìèð, 1995.—Ñ. 112—143. 13. Ñàéäåì Á. Óñòîé÷èâîñòü ñàìîñæàòîãî ëèíåéíîãî ðàçðÿäà // Òð. âòîðîé ìåæäóíàð. êîíô. ïî ìèðíîìó èñïîëüçîâàíèþ àòîìíîé ýíåðãèè. — Ì.: Àòîìèçäàò, 1959.— Ñ. 89—93. 14. Òðóáíèêîâ Á. À. Òåîðèÿ ïëàçìû. — Ì.: Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1996.—464 ñ. 15. Ôèëèïïîâ Á. Ï. Ýðóïòèâíûå ïðîöåññû íà Ñîëíöå. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2007.— 216 ñ. 16. Öàï Þ. Ò., Êîïûëîâà Þ. Ã., Ñòåïàíîâ À. Â. Áàëëîííàÿ íåóñòîé÷èâîñòü è êîëå áà - íèÿ êîðîíàëüíûõ ïåòåëü // Àñòðîí. æóðí.—2006.—¹ 12.—Ñ. 1142—1152. 17. ×åðåìíûõ Î. Ê., Êëèìóøêèí Ä. Þ., Êîñòîðåâ Ä. Â. Î ñòðóêòóðå àçèìóòàëüíî- ìåëêîìàñøòàáíûõ ÓÍ×-êîëåáàíèé ãîðÿ÷åé êîñìè÷åñêîé ïëàçìû â êðèâîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ìîäû ñ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì // Êèíåìàòèêà è ôèçèêà íåáåñ. òåë.—2014.—30, ¹ 5.—Ñ. 3—21. 18. Øàôðàíîâ Â. Ä. Ê âîïðîñó î ãèäðîìàãíèòíîé óñòîé÷èâîñòè ïëàçìåííîãî øíóðà ñ òîêîì â ñèëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå // Æóðí. ýêñïåðèì. è òåîðåò. ôèçèêè.— 1970.—40.—Ñ. 241—253. 19. Agapitov A. V., Cheremnykh O. K. Nat u ral os cil la tions of the Earth magnrtosphere as - so ci ated with so lar wind sud den im pulses // Ukr. J. Phys.—2008.—53, N 5.— P. 508—512. 20. Agapitov A. V., Cheremnykh O. K. Po lar iza tion of ULF waves in the Earth's mag ne to - sphere // Ki ne mat ics and Phys ics of Celestial Bod ies.—2011.—27, N 3.— P. 117— 123. 21. Burdo O. S., Cheremnykh O. K., Revenchuk S. M., Pustovitov V. D. Gen eral geo met ric dis per sion re la tions for to roid al plasma con fig u ra tion // Plasma Phys. and Con trolled Fu sion.—1994.—36, N 4.—P. 641—656. 22. Burdo O. S., Cheremnykh O. K., Verkhoglyadova O. P. Study of bal loon ing modes in the in ner magnetosdhere of the Earth // Izv. Akad. Nauk. Fiz.—2000.—69, N 9.— P. 51896—1900. 23. Cheremnykh O. K. Transversally small-scale per tur ba tion in ar bi trary plasma con fig u - ra tions with mag netic sur faces // Plasma Phys. and Con trolled Fu sion.—2010.—52, N 9.—095006. 18 Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ 24. Cheremnykh O. K., Andrushchenko Z. M., Edenstrasser J. W., Taranov V. B. Re lax - ation of non-ideal magnetohydrodynamic plasma in cy lin dri cal col umn // Phys. Plas - mas.—1994.—1 (8).—P. 2525—2530. 25. Cheremnykh O. K., Danilova V. V. Trans verse small-scale MHD-per tur ba tions in space plasma with mag netic survaces // Ki ne mat ics and Phys ics of Ce les tial Bod ies.— 2011.—27, N 2.—P. 98—108. 26. Cheremnykh O. K., Parnovski A. S. The the ory of bal loon ing per tur ba tions in the in ner mag neto sphere of the Earth // Adv. Space Res.—2004.—33, N 5.—P. 769—773.— DOI:10.1016/S0273-1177(03)00642-2. 27. Cheremnykh O. K., Parnovski A. S. Flute and bal loon ing modes in the in ner mag neto - sphere of the Earth: Sta bil ity and in flu ence of the ion o spheric con duc tiv ity // Space Sci ence: New re search / Ed. by N. S. Maravell. — New York: Nova Sci ence Pub lish - ers, 2006.— P. 71—108. 28. Cheremnykh O. K., Parnovski A. S. In flu ence of ion o spheric con duc tiv ity of the bal - loon ing modes in the in ner mag neto sphere of the Earth // Adv. Space Res.—2006.— 37, N 3.—P. 599—603.—DOI:10.1016/j.asr.2005.01.073. 29. Dewar R. L., Glas ser A. H. Balloning mode spec trum in gen eral to roid al sys tems // Phys. Flu ids.—1983.—26.—P. 3038—3052. 30. Hain K., Lust R. Z. Zur Stabilit@t Zylinder symmetrischer Plasma Konfigurationen mit Volumenstr`men // Naturforsh.—1958.—13a.—S. 936—940. 31. Klimushkin D. Yu. Spa tial struc ture of transversally small-scale hydromagnetic wawes in plane fi nite-beta model mag neto sphere // Planet. Space Sci.—1997.—45.— P. 269—279.—DOI:10.1016/S0032-0633(96)00078-5. 32. Klimushkin D. Yu., Leonovich A. S., Mazur V. A. On the prop a ga tion of transversally small-scale stand ing Alfven waves in a three-dimensionally inhomogeneous mag - neto sphere // J. Geophys. Res.—1995.—100A, N 6.—P. 9527—9534.—DOI: 10.1029/94JA03233. 33. Kruskal M. D., Johnson J. L., Gottlieb M. B., Goldman L. M. Hydromagnetic in sta bil ity in stellarator // Phys. Flu ids.—1958.—1.—P. 217—224. 34. Leonovich A. S., Mazur V. A. A the ory of trans verse small-scale stand ing Alfven waves in an ax i ally sym met ric mag neto sphere // Planet. Space Sci.—1993.—41.— P. 697—717.—DOI: 10.1016/0032-0633(93)90055-7. 35. Mercier C. Critere de stabilite d'un system to roid al hydromagnetique en pres sure scalaire // Nucl. Fus. Suppl.—1962.—2.—P. 801—808. 36. Stepanov A. V., Shibasaki K., Kopylova Yu. G., Tsap Yu. T. MHD-os cil la tions of co ro - nal loops and di ag nos tics of flare plasma // So lar Phys ics with Nobeyama Radio - helio graph: Proc. Nobeyama Sym po sium.—NSRO.—2004.—Re port N 1.—P. 23— 31. Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 13.04.15 19 Ê ÒÅÎÐÈÈ ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÕ ÌÎÄ

К теории поперечно-мелкомасштабных мод в цилиндрическом плазменном шнуре

Репозитарії

Схожі ресурси