Дискретные УНЧ-моды в магнитосфере Земли вблизи минимума альвеновской частоты

Получено уравнение малых колебаний для УНЧ-волн в магнитосфере Земли с учетом быстрой магнитозвуковой волны. С помощью этого уравнения исследован спектр дискретных альвеновских мод вблизи минимума альвеновской частоты....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
Hauptverfasser:	Черемных, С.О., Жук, И.Т.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Головна астрономічна обсерваторія НАН України 2017
Schriftenreihe:	Кинематика и физика небесных тел
Schlagworte:	Космическая физика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/149635
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дискретные УНЧ-моды в магнитосфере Земли вблизи минимума альвеновской частоты / С.О. Черемных, И.Т. Жук // Кинематика и физика небесных тел. — 2017. — Т. 33, № 1. — С. 38-54. — Бібліогр.: 30 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-149635
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1496352019-03-02T01:23:09Z Дискретные УНЧ-моды в магнитосфере Земли вблизи минимума альвеновской частоты Черемных, С.О. Жук, И.Т. Космическая физика Получено уравнение малых колебаний для УНЧ-волн в магнитосфере Земли с учетом быстрой магнитозвуковой волны. С помощью этого уравнения исследован спектр дискретных альвеновских мод вблизи минимума альвеновской частоты. Отримано рівняння малих коливань для УНЧ-хвиль в магнітосфері Землі з урахуванням швидкої магнітозвукової хвилі. За допомогою цього рівняння досліджено спектр дискретних альвенівських мод поблизу мінімуму альвенівської частоти. The equation of small oscillations of ULF waves in the magnetosphere of the Earth was received taking into account the fast magnetosonic waves. The spectrum of discrete Alfven modes near the minimum Alfven frequency was investigated with the help of this equation. 2017 Article Дискретные УНЧ-моды в магнитосфере Земли вблизи минимума альвеновской частоты / С.О. Черемных, И.Т. Жук // Кинематика и физика небесных тел. — 2017. — Т. 33, № 1. — С. 38-54. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. 0233-7665 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/149635 533.951 ru Кинематика и физика небесных тел Головна астрономічна обсерваторія НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Космическая физика Космическая физика
spellingShingle	Космическая физика Космическая физика Черемных, С.О. Жук, И.Т. Дискретные УНЧ-моды в магнитосфере Земли вблизи минимума альвеновской частоты Кинематика и физика небесных тел
description	Получено уравнение малых колебаний для УНЧ-волн в магнитосфере Земли с учетом быстрой магнитозвуковой волны. С помощью этого уравнения исследован спектр дискретных альвеновских мод вблизи минимума альвеновской частоты.
format	Article
author	Черемных, С.О. Жук, И.Т.
author_facet	Черемных, С.О. Жук, И.Т.
author_sort	Черемных, С.О.
title	Дискретные УНЧ-моды в магнитосфере Земли вблизи минимума альвеновской частоты
title_short	Дискретные УНЧ-моды в магнитосфере Земли вблизи минимума альвеновской частоты
title_full	Дискретные УНЧ-моды в магнитосфере Земли вблизи минимума альвеновской частоты
title_fullStr	Дискретные УНЧ-моды в магнитосфере Земли вблизи минимума альвеновской частоты
title_full_unstemmed	Дискретные УНЧ-моды в магнитосфере Земли вблизи минимума альвеновской частоты
title_sort	дискретные унч-моды в магнитосфере земли вблизи минимума альвеновской частоты
publisher	Головна астрономічна обсерваторія НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Космическая физика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/149635
citation_txt	Дискретные УНЧ-моды в магнитосфере Земли вблизи минимума альвеновской частоты / С.О. Черемных, И.Т. Жук // Кинематика и физика небесных тел. — 2017. — Т. 33, № 1. — С. 38-54. — Бібліогр.: 30 назв. — рос.
series	Кинематика и физика небесных тел
work_keys_str_mv	AT čeremnyhso diskretnyeunčmodyvmagnitosferezemlivbliziminimumaalʹvenovskojčastoty AT žukit diskretnyeunčmodyvmagnitosferezemlivbliziminimumaalʹvenovskojčastoty
first_indexed	2025-07-12T22:34:45Z
last_indexed	2025-07-12T22:34:45Z
_version_	1837482317835141120
fulltext	ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÀß ÔÈÇÈÊÀ ÓÄÊ 533.951 Ñ. Î. ×åðåìíûõ, È. Ò. Æóê Èíñòèòóò êîñìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé Íàöèîíàëüíîé àêàäåìèè íàóê Óêðàèíû è Ãîñóäàðñòâåííîãî êîñìè÷åñêîãî àãåíòñòâà Óêðàèíû Ïðîñïåêò Àêàäåìèêà Ãëóøêîâà 40, êîðï. 4/1, Êèåâ 187, ÃÑÏ 03680 ikdchereremnykh@gmail.com, zhukigor@gmail.com Äèñêðåòíûå ÓÍ×-ìîäû â ìàãíèòîñôåðå Çåìëè âáëèçè ìèíèìóìà àëüâåíîâñêîé ÷àñòîòû Ïîëó÷åíî óðàâíåíèå ìàëûõ êîëåáàíèé äëÿ ÓÍ×-âîëí â ìàãíèòîñôåðå Çåìëè ñ ó÷åòîì áûñòðîé ìàãíèòîçâóêîâîé âîëíû. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî óðàâíåíèÿ èññëåäîâàí ñïåêòð äèñêðåòíûõ àëüâåíîâñêèõ ìîä âáëèçè ìèíèìóìà àëüâåíîâñêîé ÷àñòîòû. ÄÈÑÊÐÅÒÍ² ÓÍ×-ÌÎÄÈ Â ÌÀÃÍ²ÒÎÑÔÅÐ² ÇÅÌË² ÏÎÁËÈÇÓ Ì²Í²ÌÓÌÓ ÀËÜÂÅÍ²ÂÑÜÊÎ¯ ×ÀÑÒÎÒÈ, ×åðåìíèõ Ñ. Î., Æóê ². Ò. — Îòðèìàíî ð³âíÿííÿ ìàëèõ êîëèâàíü äëÿ ÓÍ×-õâèëü â ìàãí³òîñôåð³ Çåìë³ ç óðàõóâàííÿì øâèäêî¿ ìàãí³òîçâóêîâî¿ õâèë³. Çà äîïîìîãîþ öüîãî ð³âíÿííÿ äîñë³äæåíî ñïåêòð äèñêðåòíèõ àëüâåí³âñüêèõ ìîä ïîáëèçó ì³í³ìóìó àëüâåí³âñüêî¿ ÷àñòîòè. DIS CRETE ULF MODES IN THE EARTH’S MAG NETO SPHERE NEAR THE ALFVEN FRE QUENCY MIN I MUM, by Cheremnykh S. O., Zhuk I. T. — The equa tion of small os cil la tions of ULF waves in the mag neto sphere of the Earth was re ceived tak ing into ac count the fast magnetosonic waves. The spec trum of dis crete Alfven modes near the min i mum Alfven fre quency was in ves ti gated with the help of this equation. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Óëüòðàíèçêî÷àñòîòíûå (ÓÍ×) âîëíû â ìàãíèòîñôåðå Çåìëè ðåãóëÿð - íî ôèêñèðóþòñÿ ñ ïîìîùüþ íàçåìíûõ ìàãíèòîìåòðîâ, ðàäàðîâ è ñïóò íèêîâ [14, 15]. Âàæíîñòü ýòèõ âîëí äëÿ ôèçèêè ìàãíèòîñôåðû îï - ðå äåëÿåòñÿ èõ ñïîñîáíîñòüþ óñêîðÿòü çàðÿæåííûå ÷àñòèöû äî ðåëÿ òè - âè ñòñêèõ ýíåðãèé, ñëóæèòü òðèããåðàìè ìàãíèòîñôåðíûõ ñóááóðü è 38 ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ È ÔÈÇÈÊÀ ÍÅÁÅÑÍÛÕ ÒÅË òîì 33 ¹ 1 2017 © Ñ. Î. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, È. Ò. ÆÓÊ, 2017 39 ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÅ ÓÍ×-ÌÎÄÛ Â ÌÀÃÍÈÒÎÑÔÅÐÅ ÇÅÌËÈ ñðåä ñòâîì äëÿ äèàãíîñòèêè ìàãíèòîñôåðû. Äîëãîïåðèîäè÷åñêèå ÓÍ×- âîë íû (äèàïàçîíû Pc 4 — Pc 5) â íàñòîÿùåå âðåìÿ îáû÷íî äåëÿò íà äâà òèïà [3]. Ê ïåðâîìó òèïó îòíîñÿò âîëíû ñ ìàëûìè àçèìóòàëü íû - ìè âîëíîâûìè ÷èñëàìè (m ~ 1) . Âîëíû âòîðîãî òèïà èìåþò áîëüøèå àçèìóòàëüíûå âîëíîâûå ÷èñëà (m >> 1) . Â íåäàâíèõ ðàáîòàõ [11, 12] ÓÍ×-âîëíû ñ áîëüøèìè àçèìó òàëü - íû ìè âîëíîâûìè ÷èñëàìè èññëåäîâàëèñü â ðàìêàõ îäíîìåð íî-íåîä - íî ðîäíîé öèëèíäðè÷åñêîé ìîäåëè ìàãíèòîñôåðû (ñì. ðèñ. 1, à). Â ýòîé ìîäåëè ñèëîâûå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàññìàòðèâàëèñü êàê êîí öåíòðè÷åñêèå îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì r â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäè - íà òàõ r, j, z. Ñ÷èòàëîñü, ÷òî âñå ðàâíîâåñíûå ïàðàìåòðû (äàâëåíèå, ïëîò íîñòü, ìàãíèòíîå ïîëå è ò. ä.) èçìåíÿþòñÿ ïîïåðåê ìàãíèòíûõ ïî - âåðõíîñòåé r = const. Ýòà ìîäåëü ñóùåñòâåííî óïðîñòèëà äèôôåðåí öè - àëü íûå óðàâíåíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé äëÿ àçèìóòàëü íî-ìåëêî ìàñ - øòàáíûõ âîçìóùåíèé è ïîçâîëèëà ïðîâåñòè äîâîëüíî ïîëíîå èññëå - äî âàíèå èõ ïîïåðå÷íîé (ê ìàãíèòíîìó ïîëþ) ñòðóêòóðû â ëîêàëüíîì ïðèáëèæåíèè. Âìåñòå ñ òåì çà ðàìêàìè ðàáîò [11, 12] îñòàëñÿ âîïðîñ îá óñëîâèÿõ ïðèìåíèìîñòè öèëèíäðè÷åñêîé ìîäåëè ìàãíèòîñôåðû. ×àñòè÷íî îòâåò íà ýòîò âîïðîñ áóäåò ïîëó÷åí â íàñòîÿùåé ðàáîòå. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ îïèñàíèÿ ÓÍ×-âîçìóùåíèé â ìàãíèòîñôåðå Çåì ëè íàèáîëåå ïîäõîäÿùåé ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü äèïîëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ñì. ðèñ. 1, á), êîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ó÷èòûâàåò êðèâèçíó ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ðàäèàëüíóþ íåîäíîðîäíîñòü ñðåäû, ðàñïðåäåëåíèå òîðîèäàëüíîãî òîêà è äàâëåíèÿ [4, 18]. Â ýòîé ðàáîòå ìû ïîêàæåì, ÷òî ìîäåëü äèïîëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ìîäåëü îä íî - ìåð íîãî íåîäíîðîäíîãî öèëèíäðè÷åñêîãî øíóðà, èñïîëüçîâàííàÿ â ðà áî òàõ [11, 12], ïðèâîäÿò ê îäíèì è òåì æå óðàâíåíèÿì äëÿ ïî ïå ðå÷ - íîé ñòðóêòóðû àçèìóòàëüíî-ìåëêîìàñøòàá íûõ ÓÍ×-âîçìóùåíèé. Òåì ñàìûì ìû îáîñíóåì ïðèìåíèìîñòü ìîäåëè öèëèíäðè÷åñêîãî øíóðà äëÿ îïèñàíèÿ ÓÍ×-âîçìóùåíèé â ìàãíèòîñôåðå. Êðîìå òîãî, ïîëó÷åííûå íàìè óðàâíåíèÿ áóäóò çàïèñàíû â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êî - îð äèíàò x, y, z, ÷òî ñóùåñòâåííî óïðîùàåò èõ àíàëèç è ñðàâíåíèå ñ Ðèñ. 1. Ìîäåëè ìàãíèòîñôåðû Çåìëè: a — îäíîìåðíî-íåîäíîðîäíûé ïëàçìåííûé öèëèíäð ñ ïðîäîëüíûì òîêîì [11], á — äèïîëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ òîðîèäàëüíûì òîêîì [18] äðóãèìè ðåçóëüòàòàìè. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ óðàâíåíèé ìû âîñïðîèçâåäåì ðÿä èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ, à òàêæå ïîëó÷èì óñëîâèå ðåàëèçàöèè äèñ - ê ðåòíûõ ðåçîíàíñíûõ ìîä âáëèçè ìèíèìóìà àëüâåíîâñêîé ÷àñ òî òû. Ýòîò ðåçóëüòàò äîïîëíÿåò ðåçóëüòàò ðàáîòû [12], ñîãëàñíî êîòî ðî ìó äèñêðåòíûå ìîäû ðåàëèçóþòñÿ âáëèçè ìàêñèìóìà àëüâåíîâñêîé ÷àñ - òîòû. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀËÛÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ Â ÄÈÏÎËÜÍÎÌ ÌÀÃÍÈÒÍÎÌ ÏÎËÅ Â êà÷åñòâå èñõîäíûõ áåðåì ëèíåàðèçîâàííûå ÌÃÄ-óðàâíåíèÿ â äè - ïîëü íîì ìàãíèòíîì ïîëå, êîòîðûå èñïîëüçîâàëèñü â ðàáîòàõ [13, 23] äëÿ îïèñàíèÿ óëüòðàíèçêî÷àñòîòíûõ ÌÃÄ-ìîä â ìàãíèòîñôåðå Çåìëè: r w y x y x d x g 2 2 2 1 1 2 \| \| \| \| ( Ñ + ×Ñ Ñ ×Ñ æ è çç ö ø ÷÷ + + ¢ + r r r B B p p pdivx c y y ) \| \| r ×Ñ Ñ = 2 = Ñ ×Ñ Ñ y d y p1 2\| \| , (1) r w a h a h j d j 2 1 2 1 s s B B p + ×Ñ ×Ñ æ è çç ö ø ÷÷ = Ñ ×Ñ Ñ r r \| \| , (2) rw t g x2 0+ ×Ñ =pB r r ( )div , (3) d g x x c xp p B1 2 2= - - + ×^div div r r r r ( ). (4) Ñèñòåìà (1) — (4) îïèñûâàåò «çàöåïëåííûå» ÷åðåç êðèâèçíó ñèëî - âûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ àëüâåíîâñêèå ìàãíèòîçâóêîâûå ìîäû. Çäåñü èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: w — ÷àñòîòà âîçìó ùå - íèé, r B — ðàâíîâåñíîå ìàãíèòíîå ïîëå, p è r — ðàâíîâåñíûå äàâëåíèå è ïëîòíîñòü ïëàçìû, r x — âåêòîð ñìåùåíèÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà ïëàç ìû, a s = B2 / \| \|Ñy 2 , r c — âåêòîð êðèâèçíû ñèëîâûõ ëèíèé ìàã íèò - íîãî ïîëÿ, p¢ = dp d/ y, íèæíèì èíäåêñîì ̂ îáîçíà÷åíà âåëè÷èíà, ïåð - ïåíäèêóëÿðíàÿ ê ìàãíèòíîìó ïîëþ, g — ïîêàçàòåëü àäèàáàòû, dp1— âîç ìóùåííîå ïîëíîå äàâëåíèå ïëàçìû. Ïðè çàïèñè (1)—(4) èñïîëü çî - âàíî ìàñøòàáèðîâàíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ â âèäå r B/ 4p ® r B. Âåêòîð r x ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå (ñì. Ïðèëîæåíèå 1) r r x x y y h j j t= Ñ Ñ + Ñ Ñ + \| \| \| \|2 2 2 B B , (5) ãäå y — ïîëîèäàëüíûé ìàãíèòíûé ïîòîê, j — òîðîèäàëüíûé óãîë. Ýòè âåëè÷èíû îïðåäåëÿþò äèïîëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå [8] r B = Ñ ´ Ñ[ ]y j . (6) 40 Ñ. Î. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, È. Ò. ÆÓÊ Èç âûðàæåíèÿ (6) âèäíî, ÷òî âåëè÷èíû Ñy, Ñj è r B ÿâëÿþòñÿ âçà - èì íî îðòîãîíàëüíûìè íà ëþáîé ìàãíèòíîé ïîâåðõíîñòè, âñëåäñòâèè ÷åãî ïî ýòèì íàïðàâëåíèÿì ìîæíî ðàçëîæèòü ëþáóþ ôèçè÷åñêóþ âå - ëè ÷èíó, íàïðèìåð âåêòîð ñìåùåíèÿ r x. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî íàâîäèò íà ìûñëü èñïîëüçîâàòü íàïðàâëåíèÿ Ñy, Ñj è r B â êà÷åñòâå íàïðàâ ëå íèé ëîêàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ïðîèçâîëüíî âûáðàííîé ìàã íèò íîé ïîâåðõíîñòè. Äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà óäîáíî ïðåîáðàçîâàòü óðàâíåíèå (3). Âûðàçèì â (4) div r x ÷åðåç dp1 , xè t: div r r r r r x g t c x d = + æ è çç ö ø ÷÷ ×Ñ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ - × - B p B B B p2 2 2 12 \| \| \| \| r B 2 æ è ç ç ö ø ÷ ÷ è ïîäñòàâèì ðåçóëüòàò â (3), â èòîãå ïîëó÷àåì rw t t2 2 2 + ×Ñ ×Ñ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷ = r r B c B B T = ×Ñ ×Ñ Ñ æ è çç ö ø ÷÷ + ×Ñ + æ è çç r r r B c B c c c pT s s A 2 2 2 2 2 1 2c y y x d \| \| ö ø ÷÷, (7) ãäå cA — àëüâåíîâñêàÿ ñêîðîñòü, cs — ñêîðîñòü çâóêà, cT — êàñïîâàÿ ñêîðîñòü: c B A 2 2 = r , c p s 2 = g r , c c c c c T s A s A 2 2 2 2 2 = + . Óðàâíåíèÿ (1), (2), (4) è (7) ÿâëÿþòñÿ èñõîäíûìè è áóäóò èñïîëü - çî âàòüñÿ íèæå. Ïîñêîëüêó îíè èìåþò äîâîëüíî ãðîìîçäêèé âèä, à èõ êî ýôôèöèåíòû ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåííûìè [21, 22], òî îáû÷íî îíè ðåøà - þòñÿ ÷èñëåííî [7] è òðåáóþò ñóùåñòâåííîãî óïðîùåíèÿ äàæå äëÿ ïî - ëó ÷åíèÿ òàêèõ ðåøåíèé. ÓÏÐÎÙÅÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Â ËÎÊÀËÜÍÎÌ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÈ Ñëåäóÿ [5], çàïèøåì (1), (2), (4) è (7) â ëîêàëüíîì ïðèáëèæåíèè. Ñ ýòîé öåëüþ âåäåì åäèíè÷íûå îðòîãîíàëüíûå îðòû (ñì. óðàâíåíèå (6)) r ex = Ñ Ñ y y\| \| , r e y = Ñ Ñ j j\| \| , r r e B B z = (8) è çàïèøåì âåêòîð ñìåùåíèÿ r x â âèäå r r r r x x x x= + +x x y y z ze e e . (9) Ñðàâíèâàÿ (5) è (8), ïîëó÷àåì x x y x = Ñ\| \| , x h y y = Ñ\| \| , x t z B = . (10) 41 ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÅ ÓÍ×-ÌÎÄÛ Â ÌÀÃÍÈÒÎÑÔÅÐÅ ÇÅÌËÈ Èç (8) íàõîäèì âûðàæåíèÿ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ â êîîðäèíàòàõ x, y, z: Ñ ×Ñ Ñ = ¶ ¶ y y\| \| x , Ñ ×Ñ Ñ = ¶ ¶ j j\| \| y , r B B z ×Ñ = ¶ ¶ . (11) Â îòëè÷èå îò ðàáîò [17, 27, 29] ìû õîòèì óäåëèòü îñíîâíîå âíè ìà - íèå ïîïåðå÷íîé ñòðóêòóðå ÓÍ×-âîçìóùåíèé, à íå ïðîäîëüíîé. Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì ýëåìåíòàðíûé îáúåì ìàãíèòîñôåðíîé ïëàçìû (ðèñ. 2), êîòîðûé áóäåì ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì ïî íàïðàâëåíèÿì y è z, à ïî x — íåîäíîðîäíûì, è äëÿ íåãî óïðîñòèì èñõîäíûå óðàâíåíèÿ. Ïðè òàêîì ïîäõîäå ìû ôàêòè÷åñêè ïðåíåáðåãëè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè íà èîíîñôåðå (äåòàëè ñì. â ðàáîòàõ [20, 26]), ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îíè ìàëî âëèÿþò íà èñêîìîå ðåøåíèå. Âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåìà îò - äåëü íóþ ôóðüå-ãàðìîíèêó ïðîèçâîëüíîé âîçìóùåííîé âåëè÷èíû X ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå X x y z t X x i t ik y ik zy z( , , , ) ( )exp( )= - + +w . (12) Ñ ó÷åòîì (9)—(12) óðàâíåíèÿ (1), (2), (4) è (7) â ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x, y, z ïðèíèìàþò âèä r w w x r x c x c( )2 2 22 2- - ¶ ¶ + æ è ç ö ø ÷A x A x x x xc x + + 2 2 2p c kp x x A y y xc c x r x c- = ¶ ¶x pd 1 , (13) r w w x d( )2 2 1- =A y yik p , (14) r w w x d r c x( )2 2 2 2 1 22- = + æ è çç ö ø ÷÷T z z T A T x xik c c p c , (15) d r x r x r x rp c c x i c c k i c k cs A x s A y y s z z1 2 2 2 2 2 2= - + ¶ ¶ - + - -( ) ( ) A x x 2 c x , (16) ãäå c x — ïðîåêöèÿ âåêòîðà êðèâèçíû ñèëîâîé ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà x-íàïðàâëåíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ê ìàãíèòíûì ïîâåðõíîñòÿì, c p— ìàñøòàá èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ ïëàçìû â íàïðàâëåíèè x, êîòîðîå ñî îòâåòñòâóåò ðàäèàëüíîìó íàïðàâëåíèþ îò Çåìëè â ðåàëüíîé ìàãíè - òî ñôåðå, w A x( ) = k c xz A ( ), ws = k c xz s ( ), wT x( ) = k c xz T ( ). 42 Ñ. Î. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, È. Ò. ÆÓÊ Ðèñ. 2. Ëîêàëüíîå ïðèáëèæåíèå â äèïîëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå, x, y, z — ëîêàëüíûå êîîð äè íà - òû) Óðàâíåíèÿ (13)—(16) ñïðàâåäëèâû äëÿ ïëàçìåííûõ îáúåìîâ ñ äî - ñòà òî÷íî áîëüøèì äàâëåíèåì ïëàçìû, íàïðèìåð äëÿ ðàäèàöèîííûõ ïîÿñîâ Çåìëè. ÐÅÇÎÍÀÍÑÍÛÅ ÌÎÄÛ Âûðàçèì â (14) è (15) àìïëèòóäû âîçìóùåíèé x y è x z ÷åðåç dp1 è x x : ik k p y y y A x d r w w = - - 2 1 2 2( ) , ik k c c c p c c c c z z z s s A s A s A x x x d r c x r = - + + + é ë ê ù û ú 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ( )w w2 2- T è ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â (16). Ïîñëå íåêîòîðûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé íàõîäèì d r w w x c x b w w w w p k m x x A y x x x s T 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = - + ¶ ¶ + + - - ( ) ( ) ( ) ( 2 ) é ë ê ù û ú, (17) ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå m c c c c s A s A T s A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = - - + - = ( )( ) ( )( ) , w w w w w w b , (18) êîòîðîå ðàíåå èñïîëüçîâàëîñü äëÿ îïèñàíèÿ ÌÃÄ-âîçìóùåíèé â ñîë - íå÷ íûõ ìàãíèòíûõ òðóáêàõ [10, 24, 25]. Ïîäñòàâëÿÿ (17) è âûðàæåíèå äëÿ x y â (13), ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ x x : d dx k m d dx d dx c m k m A y x x x A y r w w x x c r ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 - + é ë ê ù û ú - + é ë ê ù û ú = = - + - + + r w w x c c x rc x w ( ) (2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4A x p x x x A x y s s Ap c m k c c c2 2 2 2 2 )( )w w- + T yk m . (19) Ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèé óðàâíåíèå (19) ñîâïàäàåò ñ óðàâíå - íè åì (19) ðàáîòû [11]. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ìîäåëü ðà äèàëüíî-íåîäíîðîäíîãî ïëàçìåííîãî öèëèíäðà è ìîäåëü äèïîëü íî - ãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ îäèíàêîâî îïèñûâàþò ÓÍ×-âîëíû â ìàãíèòî ñôåð - íîé ïëàçìå. Ïîêàæåì, ÷òî èç óðàâíåíèÿ (19) ñëåäóåò ðÿä èçâåñòíûõ ðåçóëü òà - òîâ. Èç ñòðóêòóðû óðàâíåíèÿ (19) ñëåäóåò, ÷òî ïðè êîíå÷íûõ k y è k z îíî èìååò ñèíãóëÿðíîñòè ïðè w2 = w A 2 è w2 = wT 2 [2, 8]. Ïîÿâëåíèå ñèí - 43 ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÅ ÓÍ×-ÌÎÄÛ Â ÌÀÃÍÈÒÎÑÔÅÐÅ ÇÅÌËÈ ãó ëÿðíîñòåé ïðèâîäèò ê äâóì âåòâÿì êîëåáàíèé ñ íåïðåðûâíûìè ñïåêò ðàìè: min[ ( )] max[ ( )]w w wA Ax x2 2 2£ £ , min[ ( )] max[ ( )]w w wT Tx x2 2 2£ £ . Òî÷êè x A è xT , â êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ w2 = w A 2 (x A ) èëè w2 = wT 2 (xT ), îòâå÷àþò ïîëîæåíèÿì ñèíãóëÿðíûõ ìàãíèòíûõ ïî - âåðõ íîñòåé. Íà ýòèõ ïîâåðõíîñòÿõ, êîòîðûå íåïðåðûâíî çàïîëíÿþò ïðîñòðàíñòâî â íàïðàâëåíèè x, îáðàçóÿ êîíòèíóóì, ÌÃÄ-âîëíû àíî - ìàëü íî ïîãëîùàþòñÿ, è ïî ýòîé ïðè÷èíå îíè óñòîé÷èâû. Ïåðâîå íåðà - âåíñòâî îïðåäåëÿåò àëüâåíîâñêèé êîíòèíóóì, à âòîðîå — êàñïîâûé. ×èñëèòåëü â ïåðâîì ñëàãàåìîì óðàâíåíèÿ (19) îïðåäåëÿåò ðåçî - íàíñ íûå òî÷êè, à çíàìåíàòåëü — òî÷êè îòñå÷êè w = w+ ( )x è w = w- ( )x . Â ýòèõ òî÷êàõ, êàê îáû÷íî, âîëíà ñòàíîâèòñÿ íåðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ [2]. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ÓÍ×-âîëíû ñ çàäàííîé ÷àñòîòîé w â íåîäíî - ðîä íîé ìàãíèòîñôåðíîé ïëàçìå çíà÷åíèÿ ÷àñòîò w A , wT , w+ è w- èç ìå - íÿ þòñÿ, â ðåçóëüòàòå èçìåíÿåòñÿ è âèä âîëíû. Â ñëó÷àå àçèìó òàëü - íî-ìåëêîìàñøòàáíûõ ÓÍ×-âîçìóùåíèé ýòîò âîïðîñ áûë ÷àñòè÷íî èñ ñëåäîâàí â ðàáîòå [11]. Åñëè â (19) ïðåíåáðå÷ü êðèâèçíîé ñèëîâûõ ëèíèé, òî îíî ñóùåñò - âåí íî óïðîñòèòñÿ ê âèäó, ÷àñòî èñïîëüçóåìîìó â ðàáîòàõ ïî ñîëíå÷ - íîé ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå [8]: d dx x x k m x d dx xA y x A r w w x r w w ( )( ( )) ( ) ( )( 2 2 2 2 2 2- + é ë ê ù û ú = - ( ))x xx . (20) Äëÿ «õîëîäíîé ïëàçìû» (p » 0) èç (18) íàõîäèì m K k K c x z A 2 2 2 2 2 2 = - + =, ( ) w . Â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (20) ïðèíèìàåò âèä d dx B K k K k k d dx B K kz y z x z x 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) - - - é ë ê ù û ú + - = x x 0. (21) Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàáîòå [6], óðàâíåíèå (21) èìååò ðåçîíàíñíîå ðåøåíèå, ëîêàëèçîâàííîå âáëèçè òî÷êè x0 , â êîòîðîé K x2 0( ) = k z 2 . Òàêîå ðåøåíèå ðåàëèçóåòñÿ òîëüêî ïðè óñëîâèè k y ¹ 0, ïîñêîëüêó ïðè k y = 0 â óðàâíåíèè (21) èñ÷åçàåò ðåçîíàíñ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïëàçìåííàÿ ñðåäà ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé â íà - ïðàâ ëåíèè x, òîãäà èç (20) ïîëó÷àåì õîðîøî èçâåñòíîå äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå äëÿ ÌÃÄ-âîëí: ( )[ ( ) ]w w w w2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 0- - + + =A s A z s Ak c c k k c c , ãäå k 2 = k x 2 + k y 2 + k z 2 . Ïåðâàÿ ñêîáêà â ýòîì óðàâíåíèè îïèñûâàåò àëü - âå íîâñêèå âîëíû, à âòîðàÿ — áûñòðóþ è ìåäëåííóþ ìàãíèòî çâó êîâûå âîë íû. Â ðàáîòå [9] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî åñëè â óðàâíåíèÿõ (1)—(4) 44 Ñ. Î. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, È. Ò. ÆÓÊ ïîëîæèòü dp1= 0, òî óêàçàííûå óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò àëüâå íîâ ñêèå ìî äû è ìåäëåííóþ ìàãíèòîçâóêîâóþ âîëíó. Áûñòðàÿ ìàãíè òî çâóêî - âàÿ âîëíà â ýòîì ñëó÷àå îòñóòñòâóåò, ÷òî ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåð íûì äëÿ çàìêíóòûõ ïëàçìåííûõ ñèñòåì. Òàêèì îáðàçîì, ïðè dp1= 0 ðåàëèçóþòñÿ òîëüêî ñîáñòâåííûå ìàã - íè òîñôåðíûå ìîäû. Èç ïðèâåäåííîãî àíàëèçà ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå âíåøíåãî âîç äåé - ñò âèÿ íà ìàãíèòîñôåðíóþ ñèñòåìó [14, 15], êîãäà dp1¹ 0, â íåé ìîæåò ðåàëèçîâàòüñÿ áûñòðàÿ ìàãíèòîçâóêîâàÿ âîëíà. Ïîñëåäíÿÿ ìîæåò ðåà - ëè çîâàòüñÿ òîëüêî â îòêðûòûõ ïëàçìåííûõ ñèñòåìàõ, êîòîðîé ÿâëÿ åò - ñÿ ìàãíèòîñôåðà. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (19) îïèñûâàåò ìàãíèòî ñôåðíûå ÌÃÄ- âîëíû, ãåíåðèðóåìûå âíåøíèìè âîçäåéñòâèÿìè. Îòìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (19) è (20) íå ÿâ - ëÿ þòñÿ î÷åâèäíûìè. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ïðîàíàëèçèðîâàíî ëèøü íå ñêîëüêî ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ [10]. Èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèÿ (19) è (20) ñî äåðæàò êàê íåïðåðûâíûå, òàê è äèñêðåòíûå ðåøåíèÿ. Ïðè ñîîòâåò - ñò âó þùèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ ýòè óðàâíåíèÿ îáû÷íî èññëå äóþò ÷èñ - ëåííî. Íèæå ìû ñîñðåäîòî÷èì ñâîå âíèìàíèå íà ñëó÷àå, äëÿ êîòîðîãî ìîæ íî ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû è êîòîðûé èìååò íå ïî - ñðåä ñòâåííîå îòíîøåíèå ê èññëåäîâàíèþ ÓÍ×-âîçìóùåíèé ñ ïî ìî - ùüþ êîñìè÷åñêèõ àïïàðàòîâ. ÌÎÄÛ Ñ ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÌ ÑÏÅÊÒÐÎÌ ÂÁËÈÇÈ w Amin Ïîñêîëüêó àëüâåíîâñêàÿ ÷àñòîòà w A èìååò â ìàãíèòîñôåðå Çåìëè õà - ðàê òåðíûå ìèíèìóì è ìàêñèìóì íà ðàññòîÿíèè 3-4 ðàäèóñîâ [28], òî åñòåñòâåííî ðàññìîòðåòü äèñêðåòíûå ìîäû, ëåæàùèå â îêðåñòíîñòè ìè íèìóìà (ðèñ. 3). Ìîòèâàöèåé òàêîãî ðàññìîòðåíèÿ ÿâëÿåòñÿ õî - ðîøî èçâåñòíûé ðåçóëüòàò [30] î ñóùåñòâîâàíèè ó óðàâíåíèé âèäà (19) ðåøåíèé â âèäå äèñêðåòíûõ àëüâåíîâñêèõ ìîä ñ ÷àñòîòàìè wn (n — ðàäèàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî), ëåæàùèõ íèæå ìèíèìóìà àëüâå - íîâ ñêîãî íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà, ò. å. wn 2 < ( )minw A 2 . Ïîëîæèì, ÷òî â òî÷êå x0 àëüâåíîâñêàÿ ÷àñòîòà w A ïðèíèìàåò ìè - íèìàëüíîå çíà÷åíèå, ò. å. 45 ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÅ ÓÍ×-ÌÎÄÛ Â ÌÀÃÍÈÒÎÑÔÅÐÅ ÇÅÌËÈ Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü àëüâåíîâñêîé ÷àñòîòû îò ðàññòîÿ íèÿ â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè (L = r rE/ , rE — ðàäèóñ Çåìëè) [28]: 1 — äèñêðåòíûå ÓÍ×-ìîäû, îáíàðóæåííûå â ðàáîòå [12], 2 — äèñêðåòíûå ÓÍ×-ìîäû, èññëåäî âàí - íûå â äàííîé ðàáîòå w¢ =A x\| , 0 0 w¢¢ >A x\| 0 0. Ðàçëîæèâ óðàâíåíèå (19) âáëèçè òî÷êè x0 ïîñëå ïðîñòûõ, íî äî ñòà - òî÷íî ãðîìîçäêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå d dy y d dy y Gr r r( ) ( )1 1 02 2 2+ é ë ê ù û ú - + + = x x xG . (22) Ïðè ïîëó÷åíèè (22) ïðåäïîëàãàëàñü ðàäèàëüíàÿ ìåëêî ìàñ øòàá - íîñòü âîçìóùåíèé. Çäåñü èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ y x x = - 0 D , D2 2 2 2 0 1= - æ è çç ö ø ÷÷l xA w w ( ) , l A A x 2 2 2 2 0 = ¢¢ w w( ) , G D2 2 2= k y , G k l k y z x p x= - 2 2 2 2b c c gc( ). (23) Âûðàæåíèå äëÿ D2 ââåäåíî ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèÿ w < w A x( )0 . Ïîñêîëüêó äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ìîä ñïðàâåäëèâî óñëîâèå k ly 2 2 >> 1, òî âåëè÷èíà G 2 áóäåò äîñòàòî÷íî áîëüøîé âåëè÷èíîé ïðè w < w A x( )0 è áóäåò îáðàùàòüñÿ â íîëü íà ãðàíèöå àëüâåíîâñêîãî êîíòèíóóìà (w = = w A x( )0 ) . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ [19], ÷òî çàìåíà ïåðåìåííûõ y = shz, x r = = -( ) ( )/chz z1 2 y ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü (22) â âèäå óðàâíåíèÿ Øðå äèí - ãå ðà: d dz E U z 2 2 0 y y+ - =( ( )) (24) c ïîòåíöèàëîì U z z z( ) ( )= + -G 2 2 22ch ch (25) è ýíåðãèåé E G= -1 4/ . (26) Â ðåçóëüòàòå çàäà÷à î íàõîæäåíèè äèñêðåòíûõ ìîä ñâåëàñü ê îòûñêàíèþ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå (25) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ ôóíêöèè y âèäà y \| z ®±¥® 0. Â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå (25) åñòü òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå äèñêðåòíûå óðîâíè ýíåðãèè, ïîñêîëüêó îíà ñóùåñòâóåò òîëüêî ïðè G 2> 0 è óäîâ ëå - òâî ðÿåò íåðàâåíñòâó U z( ) > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé â ïîòåíöèàëå (25) èìååò âèä G - ³1 4 0/ . (27) Íåðàâåíñòâî (27) â ôèçè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ èìååò âèä c gc b c p c z y x k k l ³ + 1 4 2 2 2 (28) è ðåàëèçóåòñÿ òîëüêî â êðèâîëèíåéíîì ìàãíèòíîì ïîëå è â ïëàçìå ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì äàâëåíèåì. 46 Ñ. Î. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, È. Ò. ÆÓÊ Íåðàâåíñòâî (27) ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ãðóáûì, ïîñêîëüêó îíî íå ó÷è òûâàåò ôîðìó ïîòåíöèàëüíîé ÿìû. Â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé âå - ëè÷èíû G ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà (25) ìîæåò ïðèíèìàòü äâà êà÷åñòâåííî ðàç ëè÷íûõ âèäà (ñì. ðèñ. 4): • ïðè G ³ 1/2 ïîòåíöèàë U z( ) èìååò åäèíñòâåííûé ìèíèìóì U ( )0 = = G 2+ 1/4 â òî÷êå z = 0 è ìîíîòîííî óâåëè÷èâàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì \|z\| (ðèñ. 4, à); • ïðè 0 1 2£ <G / ïîòåíöèàë U(z) èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì U ( )0 = = G 2 + 1/4 â òî÷êå z = 0 è äâà ñèììåòðè÷íûõ ìèíèìóìà U z( )± 0 = G â òî÷êàõ ± z0 = Arcch[( ) ]/2 1 2G - (ðèñ. 4, á). Â îáëàñòÿõ \|z\| > z0 ïîòåíöèàë U z( ) ìîíîòîííî óâåëè÷èâàåòñÿ ñ óâå - ëè ÷åíèåì \|z\|. Òîãäà èç î÷åâèäíîãî óñëîâèÿ E > U min ïîëó÷àåì îöåíêó äëÿ óðîâ - íåé ýíåðãèè â ðàññìàòðèâàåìîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå: G > +1 4/ G (0 1 42£ <G / ), (29) G ³ +1 2/ G, (G 2 1 4³ / ). (30) Íåðàâåíñòâî (29) îïèñûâàåò ìîäû ñ ÷àñòîòàìè, áëèçêèìè ê ÷àñòî - òå àëüâåíîâñêîãî êîíòèíóóìà w A x( )0 . Ïðè G® 0 ÷àñòîòà ñîâïàäàåò ñ w A x( )0 . Íåðàâåíñòâî (30) îïèñûâàåò äèñêðåòíûå ìîäû ñ ÷àñòîòàìè, ìåíüøèìè w A x( )0 . Åñëè G 2 1> , òî íåðàâåíñòâî (30) îïèñûâàåò äèñ ê - ðåòíóþ ìîäó ñ ÷àñòîòîé, ìàêñèìàëüíî îòñòîÿùåé îò ãðàíè÷íîé ÷àñ òî - òû àëüâåíîâñêîãî êîíòèíóóìà. Èç (30) ïðè G 2 >> 1 ïîëó÷àåì G 2~ G, îò êóäà íàõîäèì, ÷òî ìèíèìàëüíî âîçìîæíàÿ äèñêðåòíàÿ ÷àñòîòà èìå - åò âèä w w bc c gcmin ( ) ( )» - - é ë ê ù û úA x z p xx k 2 0 2 1 . (31) Ïîêàæåì, ÷òî â èíòåðâàëå w min £ w < w A x( )0 ëåæèò áåñêîíå÷íîå ìíî æåñòâî ÷àñòîò wn ñ òî÷êîé ñãóùåíèÿ íà ãðàíèöå àëüâåíîâñêîãî êîí òèíóóìà w = w A (x0). Èñõîäèì èç õîðîøî èçâåñòíîãî ôàêòà, ÷òî â ñëó÷àå êâàçèêëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ ýíåðãèåé E â ïîòåí - öèàëüíîé ÿìå U z( ) ðàçìåð îáëàñòè äâèæåíèÿ L E( ) ñîäåðæèò öåëîå 47 ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÅ ÓÍ×-ÌÎÄÛ Â ÌÀÃÍÈÒÎÑÔÅÐÅ ÇÅÌËÈ Ðèñ. 4. Âèä ïîòåíöèàëà (25) â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ G: a — G ³1/2, á — 0 < G < 1/2, â — G = 0 ÷èñëî ïîëóïåðèîäîâ âîëíû äå Áðîéëÿ l = [ ( )] /E U z- -1 2 . Â îáùåì ñëó - ÷àå l çàâèñèò îò êîîðäèíàòû z, îäíàêî äëÿ îöåíêè âûñîêîëåæàùèõ ýíåð ãåòè÷åñêèõ óðîâíåé ìîæíî ïîëîæèòü l » En -1 2/ , ïîñêîëüêó äëÿ íèõ ýíåð ãèÿ îòñ÷èòûâàåòñÿ îò äíà ÿìû. Ýòî ñîîáðàæåíèå ïîçâîëÿåò çàïè - ñàòü ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèå äëÿ ñòàöèîíàðíîãî óðîâíÿ ýíåðãèè En : L E n nT E n n ( ) / = » l 2 1 2 . (32) Õàðàêòåðíûé ðàçìåð îáëàñòè, â êîòîðîé ìîæåò äâèãàòüñÿ ÷àñòèöà, L En( ) = \|L L2 1- \|, ãäå L1 è L2 — òî÷êè ïîâîðîòà, îïðåäåëÿåìûå èç óðàâíåíèÿ E U z L Ln = =( , )1 2 . (33) Ðåøàÿ óðàâíåíèå (33), íàõîäèì L E E En n n ( ) ln( / ), / , ln( / ), / ./ = < > ì í î G G G G 1 2 2 1 21 2 (34) Ïîäñòàâëÿÿ (34) â (32) è èñïîëüçóÿ äëÿ ýíåðãèè ÿâíîå âûðàæåíèå (26), ïîëó÷àåì G G n G n G G 2 1 2 2 1 4 1 4 1 2 1 4 » - - - é ë ê ù û ú > - ( / )exp ( / ) , / , ( / ) ex / p p ( / ) , / . / - - é ë ê ù û ú < ì í ï ï î ï ï 2 1 4 1 2 1 2 pn G G (35) Îòìåòèì, ÷òî ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n çíà÷åíèå Gn 2 ýêñïîíåí öè - àëüíî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, èìååòñÿ ñ÷åòíàÿ áåñêîíå÷íîñòü ñîáñòâåííûõ çíà - ÷åíèé G ñ òî÷êîé ñãóùåíèÿ G = 0 (w w= A x( )0 ) , ïðè÷åì îòíîøåíèå ïî - ñëåäîâàòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé G G G n n n G n G + » - - é ë ê ù û ú > - - 1 2 2 1 21 4 1 2 2 1 exp ( / ) , / , exp ( / / p p 4 1 2 1 2) , / / é ë ê ù û ú < ì í ï ï î ï ï G (36) íå çàâèñèò îò n. Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå G ® 0, ñòåíêà ïîòåíöèàëüíîé ÿìû (25) óäà - ëÿ åòñÿ íà áåñêîíå÷íîñòü. Èçâåñòíî, ÷òî â áåñêîíå÷íî øèðîêîé ïîòåí - öè àëüíîé ÿìå óðîâíè ýíåðãèè ñòðåìÿòñÿ êî äíó ÿìû, ÷òî â íàøåì ñëó - ÷àå ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ G ® 1/4 . Âèäíî, ÷òî óðàâíåíèå (35) ñîäåð - æèò ýòîò ðåçóëüòàò. Ïðè G = 0 (w w= A x( )0 ) ïîòåíöèàë ïðåâðàùàåòñÿ â ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð (ñì. ðèñ. 4, â), â êîòîðîì óðîâíè ýíåðãèè îòñóò - ñò âóþò. Ïîëó÷åííûå âûøå ðåçóëüòàòû õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ðåçóëüòà òà - ìè áîëåå àêêóðàòíûõ ðàñ÷åòîâ, ïðèâåäåííûõ â ðàáîòå [16, 19]. 48 Ñ. Î. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, È. Ò. ÆÓÊ Îñòàíîâèìñÿ íà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèÿõ äèñêðåòíûõ ìîä. Íà÷íåì ðàññìîòðåíèå ñ ðàäèàëüíîé ñòðóêòóðû è ìîä ñ ìèíèìàëüíîé ÷àñòîòîé. Ñ óâåëè÷åíèåì G ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà (25) ñóæàåòñÿ, è ïðè äîñòàòî÷íî áîëü øèõ çíà÷åíèÿõ (G >> 1) åå ôîðìà ñòðåìèòñÿ ê ïàðàáîëè÷åñêîé, õà - ðàê òåðíîé äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïî - çâî ëÿåò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñïåêòð íèçêîëåæàùèõ óðîâíåé ïðàêòè ÷åñ - êè ñîâïàäàåò ñî ñïåêòðîì êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ðàç - ëî æèâ ïîòåíöèàë (25) â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z = 0, ïðè õî - äèì ê çàäà÷å îá îïðåäåëåíèè óðîâíåé ýíåðãèè ãàðìîíè÷åñêîãî îñ öèë - ëÿòîðà: d dz z 2 2 2 0 y e y+ - =[ ] , (37) ãäå e = - - æ è ç ö ø ÷ - æ è ç ö ø ÷ - G 1 2 1 4 2 2 1 2 G G / . Èç (37) íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ óðîâíåé ýíåðãèè â ñëó÷àå G 2 >> 1 â âèäå e n n= +2 1, èëè G nn = + + + - æ è ç ö ø ÷ 1 2 2 1 1 4 2 2 1 2 G G( ) / . (38) Óðîâíè ýíåðãèè (38) ñîãëàñóþòñÿ ñ ðàíåå ïîëó÷åííûì ðåçóëü òà - òîì (29) äëÿ íèæíåãî óðîâíÿ (n = 0). Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè â ýòîì ñëó÷àå ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíû s ® z ñîâïàäàþò ñ ôóíêöèÿìè (20). Èç îáùèõ ñâîéñòâ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ýíåð ãå - òè ÷åñêèõ óðîâíåé, ëåæàùèõ âûøå äíà ïîòåíöèàëüíîé ÿìû, ñîáñò âåí - íûå ôóíêöèè äîëæíû èìåòü âèä ñèíóñîèä â îêðåñòíîñòè z = 0 è ýêñïî - íåí öèàëüíî óáûâàþùèõ ôóíêöèé ïðè z ® ±¥. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ñëó÷àé G –1/4 >> G 2 , 1/4. Ïîñêîëüêó â ýòîì ïðåäïîëîæåíèè ïî òåíöèàëüíàÿ ÿìà (25) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî òî÷êè z = 0, òî äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ðåøåíèåì íà èíòåðâàëå (0, ¥). Â îáëàñòè z < 1 óðàâíåíèå (24) óïðîùàåòñÿ è ïðèâîäèòñÿ ê ñëå äó - þùåìó âèäó: d dz 2 2 2 0 y s y+ = , s 2 1 4 = -G . (39) Î÷åâèäíî, ÷òî ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ðåøåíèÿìè ýòîãî óðàâ íå - íèÿ áóäóò ôóíêöèè y s sI z z= (cos ,sin ). (40) Â ñëó÷àå, êîãäà expz >> 1, óðàâíåíèå (24) ïðèíèìàåò âèä d dz z 2 2 2 2 4 2 0 y s y+ - é ë ê ù û ú = G exp( ) . (41) 49 ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÅ ÓÍ×-ÌÎÄÛ Â ÌÀÃÍÈÒÎÑÔÅÐÅ ÇÅÌËÈ Â êà÷åñòâå ðåøåíèÿ (41), óáûâàþùåãî ïðè z ® +¥, íåîáõîäèìî âçÿòü ôóíêöèþ Áåññåëÿ âòîðîãî ðîäà ñ ìíèìûì ïîðÿäêîì (ñì. Ïðè - ëîæåíèå 2): y II izK z= æ è ç ö ø ÷ G 2 exp . (42) Ñøèâàÿ ðåøåíèÿ (40) è (42) â îáëàñòè 1 < exp(2z) < s 2 /G 2 , ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå: G 2 2 216 1 2= - +( / ) exp[ ( / ) / ]e ns p s . (43) ãäå êîíñòàíòà e — îñíîâàíèå íàòóðàëüíîãî ëîãàðèôìà. Ñðàâíåíèå äèñïåðñèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ (43) ñ ïåðâûì ñîîòíîøå - íèåì (G > 1/2) â (35), ïîëó÷åííûì èç êà÷åñòâåííîãî àíàëèçà â êâàçè - êëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè, ïîêàçûâàåò, ÷òî îíè ïðàêòè÷åñêè ñîâïà - äàþò. Îòëè÷èå ñîñòîèò ëèøü â ïîñòîÿííîì ïðåäýêñïîíåíöèàëüíîì ìíî æè òåëå. Ïðîâåäåííîå ðàññìîòðåíèå ïîäòâåðæäàåò íàøè ñîîáðà - æå íèÿ î âèäå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé äëÿ äèñêðåòíûõ ìîä, ëåæàùèõ âíóò ðè èíòåðâàëà w min 2 £ w2£ w A x2 0( ). ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ Â ðàáîòå ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû: — ïîêàçàíî, ÷òî èñïîëüçîâàííàÿ â ðàáîòàõ [11, 12] ìîäåëü ðà äè - àëü íî-íåîäíîðîäíîãî ïëàçìåííîãî öèëèíäðà àäåêâàòíî îïèñûâàåò ÓÍ×-âîçìóùåíèÿ â ìàãíèòîñôåðå Çåìëè; — ïîëó÷åíî óðàâíåíèå ìàëûõ êîëåáàíèé (19) äëÿ ÓÍ×-ìîä. Ïî êà - çàíî, ÷òî ýòî óðàâíåíèå ó÷èòûâàåò áûñòðóþ ìàãíèòîçâóêîâóþ âîëíó, ÷òî ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíûì äëÿ îòêðûòîé ìàãíèòîñôåðíîé ñèñòåìû; — óñòàíîâëåíî, ÷òî ïîÿâëåíèå áûñòðîé ìàãíèòîçâóêîâîé âîëíû â ìàãíèòîñôåðíîé ïëàçìå ïðèâîäèò ê ãåíåðàöèè àëüâåíîâñêèõ âîëí ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì. Ýòîò ðåçóëüòàò ïîäòâåðæäàåò ðåçóëüòàò ðàáîòû [12], â êîòîðîé áûëî ïîêàçàíî, ÷òî òàêèå ìîäû ãåíåðèðóþòñÿ âáëèçè ìàêñèìóìà àëüâåíîâñêîé ÷àñòîòû. Â äàííîé ðàáîòå ïîêàçàíî, ÷òî äèñêðåòíûå àëüâåíîâñêèå ìîäû ãåíåðèðóþòñÿ òàêæå âáëèçè ìèíèìóìà àëüâåíîâñêîé ÷àñòîòû. ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ 1 Âûâîä óðàâíåíèÿ (5). Â ðàáîòàõ ïî ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå â ïëàç - ìåííûõ ñèñòåìàõ ñ ìàã íèòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè îáû÷íî (ñì., íà ïðè - ìåð, ðàáîòó [9]) âåêòîð ñìåùåíèÿ ýëåìåíòàðíîãî îáú¸ìà ïëàçìû ïðåä - ñòàâëÿåòñÿ â âèäå r r r x x h t= Ñ Ñ + ´ Ñ + a a B a B B B\| \| [ ] 2 2 2 , (Ï1.1) 50 Ñ. Î. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, È. Ò. ÆÓÊ ãäå ôóíêöèÿ à, íàçûâàåìàÿ ìåòêîé ìàãíèòíîé ïîâåðõíîñòè, óäîâ ëå - òâîðÿåò óñëîâèþ r B a×Ñ = 0. (Ï1.2) Ïîñêîëüêó äèïîëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå èìååò âèä r B = Ñ ´ Ñ[ ]y j , (Ï1.3) ãäå y — ïîëîèäàëüíûé ìàãíèòíûé ïîòîê, a j — âîñòî÷íàÿ ãåî ìàã íèò - íàÿ äîëãîòà, òî èç óðàâíåíèé (Ï1.2) è (Ï1.3) ñëåäóåò, ÷òî â êà÷åñòâå ìåòêè ìàãíèòíîé ïîâåðõíîñòè óäîáíî âûáðàòü ïîëîèäàëüíûé ìàãíèò - íûé ïîòîê, ò. å. ïîëîæèòü a = y. (Ï1.4) Èç (Ï1.1), (Ï1.3) è (Ï1.4) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî r r x x y y h y j y y j t= Ñ Ñ + Ñ ´ Ñ ´ Ñ Ñ Ñ + = \| \| [[ ] ] \| \| \| \|2 2 2 2 B B = Ñ Ñ + Ñ Ñ +x y y h j j t \| \| \| \|2 2 2 r B B . (Ï.1.5) Âèäíî, ÷òî óðàâíåíèå (Ï1.5) ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì (5). ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ 2 Ðåøåíèå (42) è åãî ñâîéñòâà. Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå (41) èìååò ðå - øåíèå (42). Ââåä¸ì ïåðåìåííóþ x z= G 2 exp( ). (Ï2.1) Òîãäà d dz dx dz d dx x d dx = = . (Ï2.2) Â ðåçóëüòàòå óðàâíåíèå (41) ïðèíèìàåò âèä x d dx x d dx x y s y æ è ç ö ø ÷ + - =[ ]2 2 0. (Ï2.3) Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå óäîáíî ïåðåïèñàòü â âèäå x d dx x d dx i x2 2 2 2 2 0 y y s y+ - + =[( ) ] . (Ï2.4) Ìîäèôèöèðîâàííûå ôóíêöèè Áåññåëÿ ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè äèô - ôå ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âèäà 51 ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÅ ÓÍ×-ÌÎÄÛ Â ÌÀÃÍÈÒÎÑÔÅÐÅ ÇÅÌËÈ y d W dy y dW dy y W2 2 2 2 2 0+ - + =[ ]n . (Ï2.5) Ôèãóðèðóþùèå â óðàâíåíèè (Ï2.5) âåëè÷èíû n è y ìîãóò áûòü ëþáû - ìè ÷èñëàìè, â òîì ÷èñëå è êîìïëåêñíûìè [1]. Óáûâàþùåå ïðè y ® ¥ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (Ï2.5) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ìîäèôèöèðîâàííóþ ôóíêöèþ Áåññåëÿ W K y= n ( ). (Ï2.6) Èç (Ï2.4) — (Ï2.6) ïîëó÷àåì ðåøåíèå (42): y s= æ è ç ö ø ÷K zi G 2 exp . (Ï2.7) Â îáëàñòè (G / 2)expz < s ðåøåíèå (Ï2.7) èìååò àñèìïòîòèêó (ñì. ðàáîòó [1]) K x p x e b m p xip p m m m m( ) ( )/= - + æ è ç ö ø ÷ - ´- = -å 2 2 1 24 2 2 2 0 1 2 2p G é ë ê ´ + - - + æ è ç ö ø ÷ ù û úsin ( ) m p p x p x p p 2 4 2 2Arch , b0 1= , b x p 1 2 2 1 1 8 5 24 1= - - æ è çç ö ø ÷÷ - . (Ï2.8) Àñèìïòîòèêà (Ï2.8) áûëà èñïîëüçîâàíà íàìè ïðè ïîëó÷åíèè äèñ - ïåð ñèîííîãî óðàâíåíèÿ (43). Ìû òàêæå èñïîëüçîâàëè ïðè ïîëó÷åíèè ýòîãî äèñïåðñèîííîãî óðàâíåíèÿ ðàâåíñòâî Arch p x p x » æ è ç ö ø ÷ln 2 , ñïðàâåäëèâîå ïðè p >> x. Ðàáîòà ïîääåðæàíà Öåëåâîé êîìïëåêñíîé ïðîãðàììîé ÍÀÍ Óêðàèíû ïî ôèçèêå ïëàçìû (Ñ. Î. ×åðåìíûõ) è Öåëåâîé êîìïëåêñíîé ïðîãðàììîé ÍÀÍ Óêðàèíû ïî êîñìè÷åñêèì èññëåäîâàíèÿì (È. Ò. Æóê). 1. Áåéòìàí Ã., Ýðäåéí À. Âûñøèå òðàíñöåíäåíòíûå ôóíêöèè. Ôóíêöèè ïàðàáîëè - ÷åñêîãî öèëèíäðà, îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû. — Ì.: Íàóêà,1974.—296 ñ. 2. Ãóññåíñ Ì. Ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ âîëíà è âîëíîâîé íàãðåâ íåîäíîðîäíîé ïëàçìû // Êîñìè÷åñêàÿ ìàãíèòíàÿ ãèäðîäèíàìèêà / Ïîä ðåä. Ý. Ïðèñòà, À. Õó - äà. — Ì.: Ìèð, 1995.—Ñ. 144—178. 3. Êëèìóøêèí Ä. Þ. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ ñòðóêòóðà àçèìóòàëüíî-ìåëêîìàñøòàáíûõ ãèäðîìàãíèòíûõ âîëí â àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íîé ìàãíèòîñôåðå ñ êîíå÷íûì äàâëåíèåì ïëàçìû // Ôèçèêà ïëàçìû.—1997.—23, ¹ 10.—Ñ. 931—944. 4. Ëàäèêîâ-Ðîåâ Þ. Ï., ×åðåìíûõ Ñ. Î. Î ðàñïðåäåëåíèè ïëàçìåííîãî äàâëåíèÿ â ýê - âà òîðèàëüíîé îáëàñòè ìàãíèòîñôåðû çåìëè // Êîñì³÷íà íàóêà ³ òåõíîëîã³ÿ.— 2010.—16, ¹ 1.—Ñ. 86—89. 52 Ñ. Î. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, È. Ò. ÆÓÊ 5. Ìàçóð Í. Ã., Ôåäîðîâ Å. Í., Ïèëèïåíêî Â. À. Äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ áàë - ëîí íûõ ìîä è óñëîâèå èõ óñòîé÷èâîñòè â îêîëîçåìíîé ïëàçìå // Ãåîìàãíåòèçì è àýðîíîìèÿ.—2012.—52.—Ñ. 1—10. 6. Íèøèäà À. Ãåîìàãíèòíûé äèàãíîç ìàãíèòîñôåðû. — Ì.: Ìèð, 1980.—306 ñ. 7. Ïàðíîâñêèé À. Ñ., ×åðåìíûõ Î. Ê. Ñïåêòð áàëëîííûõ âîçìóùåíèé ñ ïðîèçâîëüíîé ïîëÿðèçàöèåé âî âíóòðåííåé ìàãíèòîñôåðå Çåìëè // Êîñì³÷íà íàóêà ³ òåõíî - ëîã³ÿ.—2006.—12, N 1.—P. 49—56. 8. Ïðèñò Ý. Ð. Ñîëíå÷íàÿ ìàãíèòîãèäðîäèíàìèêà. — Ì.: Ìèð, 1985.—589 ñ. 9. Ïóñòîâèòîâ Â. Ä., Øàôðàíîâ Â. Ä. Ðàâíîâåñèå è óñòîé÷èâîñòü ïëàçìû â ñòåëëà ðà - òî ðàõ // Âîïðîñû òåîðèè ïëàçìû.—1987.—Âûï. 15.—Ñ. 146—293. 10. Ðîáåðòñ Á. Ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèå âîëíû íà Ñîëíöå // Êîñìè÷åñêàÿ ìàãíèò íàÿ ãèäðîäèíàìèêà / Ïîä ðåä. Ý. Ïðèñòà, À. Õóäà. — Ì.: Ìèð, 1995.—Ñ. 112— 143. 11. ×åðåìíûõ Î. Ê., Êëèìóøêèí Ä. Þ., Êîñòàðåâ Ä. Â. Î ñòðóêòóðå àçèìóòàëü íî- ìåë êî ìàñøòàáíûõ ÓÍ×-êîëåáàíèé ãîðÿ÷åé êîñìè÷åñêîé ïëàçìû â êðèâîì ìàã íèòíîì ïîëå. Ìîäû ñ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì // Êèíåìàòèêà è ôèçèêà íå - áåñ. òåë.—2014.—30, ¹ 5.—Ñ. 3—21. 12. ×åðåìíûõ Î. Ê., Êëèìóøêèí Ä. Þ., Ìàãåð Ï. Í. Î ñòðóêòóðå àçèìóòàëüíûõ ìåë - êî ìàñøòàáíûõ ÓÍ×-êîëåáàíèé ãîðÿ÷åé êîñìè÷åñêîé ïëàçìû â êðèâîì ìàã - íèò íîì ïîëå. Ìîäû ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì // Êèíåìàòèêà è ôèçèêà íåáåñ. òåë. —2016.—32, ¹ 3.—Ñ. 26—39. 13. ×åðåìíûõ Ñ. Î. Î ïîëÿðèçàöèè ïîïåðå÷íî-ìåëêîìàñøòàáíûõ ÌÃÄ-ìîä â ìàã - íèòîñôåðå Çåìëè // Êîñì³÷íà íàóêà ³ òåõíîëîã³ÿ.—2013.—19, ¹ 4.—Ñ. 57—64. 14. Agapitov O., Cheremnykh O. Magnetospheric ULF waves driven by ex ter nal sources // arXiv preprint arXiv: 1512. 00919.—2015. 15. Agapitov O., Cheremnykh O. Nat u ral os cil la tions of the Earth mag neto sphere as so ci - ated with so lar wind sud den im pulses // Ukrayins’kij Fyzichnij Zhurnal.—2008.— 53, N 5.—P. 506—510. 16. Andrushchenko Zh. N., Cheremnykh O. K., Edenstrasser J. W. Global Alfven eigenmodes in a stellarator with trapped en er getic par ti cles // Phys. Plas mas.— 1999.—6, N 6.—P. 2462—2471. 17. Burdo Î. S., Cheremnykh O. K., Verkhoglyadova Î. P. Study of bal loon ing modes in the in ner mag neto sphere of the Earth // Izvestiya Akad. Nauk. Ser. Fiziches - kaya.—2000.—64, N 9.—P. 1896—1900. 18. Cheng C. Z. Magnetospheric equi lib rium with anisotropic pres sure // J. Geophys. Res.—1992.—97A, N 2.—P. 1497—1510. 19. Cheremnykh O. K., Revenchuk S. M. Dis per sion re la tions for the Suydam prob lem // Plasma Phys. and Contr. Fu sion.—1992.—34, N 1.—P. 55—75. 20. Cheremnykh O. K., Parnowski A. S. Flute and bal loon ing modes in the in ner mag neto - sphere of the earth: sta bil ity and in flu ence of the ion o spheric con duc tiv ity // Space sci ence: New re search / Ed. by S. N. Maravell. — New York: Nova Sci ence Pub lish - ers Inc., 2006.—P. 78—108. 21. Cheremnykh O. K. Transversally small-scale per tur ba tions in ar bi trary plasma con fig u - ra tions with mag netic sur faces // Plasma Phys. and Contr. Fu sion.—2010.—52, N 9.—095006. 22. Cheremnykh O. K., Danilova V. Transversal small-scale MHD peturbations in space plasma with magnetic sur faces // Ki ne mat ics and Phys ics of Ce les tial Bod ies.— 2011.—27.—P. 98—108. 23. Cheremnykh S. O., Agapitov O. V. MHD waves in the plasma sys tem with di pole mag - ne tic field configuration // Adv. Astron. and Space Phys.—2012.—2.—P. 103— 106. 53 ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÅ ÓÍ×-ÌÎÄÛ Â ÌÀÃÍÈÒÎÑÔÅÐÅ ÇÅÌËÈ 24. Edwin P. M., Rob erts B. Wave prop a ga tion in a mag netic cyl in der // So lar Phys.— 1983.—88.—P. 179—191. 25. Erdelyi R., Fedun V. Lin ear MHD sau sage waves in com press ible mag net i cally twisted flux tubes // So lar Phys.—2007.—246.—P. 101—118. 26. Hameiri E., Kivelson M. G. Magnetospheric waves and at mo sphere — ion o sphere layer // J. Geophys. Res.—1991.—96A, N 12.—P. 21125—21134. 27. Hameiri F., Laurence P., Mond M. The bal loon ing in sta bil ity in space plas mas // J. Geophys. Res.—1991.—96A, N 2.—P. 1513—1518. 28. Leonovich A. S., Kozlov D. A., Pilipenko A. Magnetosonic res o nance in di pole-like mag neto sphere // Ann. Geophys.—2006.—24.—P. 2277—2289. 29. Mager P. N., Klimushkin D. Yu., Pilipenko A., Sch&&afer S. Field-aligned struc ture of poloidal Alfven waves in a fi nite pres sure plasma // Ann. Geophys.—2009.—27. —P. 3875—3882. 30. Mahajan S. M., Ross D. W., Chen G. L. Dis crete Alfven spec trum in magneto gydro - dynamics // Phys. Flu ids.—1983.—26, N 8.—P. 2195 —2199. Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 28.04.16 54 Ñ. Î. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, È. Ò. ÆÓÊ

Дискретные УНЧ-моды в магнитосфере Земли вблизи минимума альвеновской частоты

Institution

Ähnliche Einträge