Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів

Досліджено відкриту економічну систему, сформовану споживачами, що є ненасичуваними. Частина споживачів спроможна виробляти товари. Застосовано принципи рівноваги вальрасового типу. Використано наближення моделі економіки з постійними інтересами споживачів. Запропоновано алгоритм розв’язання задачі...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автор:	Махорт, А.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2016
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/150937
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів / А.П. Махорт // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 4. — С. 95-107. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-150937
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1509372019-04-20T01:25:00Z Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів Махорт, А.П. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Досліджено відкриту економічну систему, сформовану споживачами, що є ненасичуваними. Частина споживачів спроможна виробляти товари. Застосовано принципи рівноваги вальрасового типу. Використано наближення моделі економіки з постійними інтересами споживачів. Запропоновано алгоритм розв’язання задачі про економічну рівновагу, який враховує можливість залежності споживчих уподобань суб’єктів економічної системи від додаткових характеристик. Отримано обмеження на модельні характеристики, які забезпечують існування рівноваги такої економічної системи. Знайдено стани рівноваги з характеристиками, що належать заданим інтервалам значень. Указано на зв’язок між вибором стратегії оподаткування та реалізацією конкретного стану рівноваги економічної системи. Исследована открытая экономическая система, сформированная ненасыщающимися потребителями. Часть потребителей способна производить товары. Используются принципы равновесия вальрасового типа. Применено приближение модели экономики с постоянными интересами потребителей. Предложен алгоритм решения задачи об экономическом равновесии, который учитывает возможность зависимости потребительских предпочтений субъектов экономической системы от дополнительных характеристик. Полученные ограничения на модельные характеристики обеспечивают существование равновесия такой экономической системы. Определены состояния равновесия с характеристиками, принадлежащими заданным интервалам значений. Указано на связь между выбором стратегии налогообложения и реализацией конкретного состояния равновесия экономической системы. There is an open economy created by insatiable consumers. The part of consumers can product own goods. The equilibrium principles are of a Walrasian type. The model uses the approach of an economy with regular interests of consumers. There is an algorithm for solving the equilibrium problem. The algorithm takes into account a possibility of consumers interests of subjects of the economy depended on additional characteristics. Obtained limitations of model characteristics of the economy prove an equilibrium existence. The characteristics of discovered equilibrium states belong to a defined area of values. The relation between a selection of a taxation strategy and the realization of a particular equilibrium state is indicated. 2016 Article Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів / А.П. Махорт // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 4. — С. 95-107. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1681–6048 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.4.10 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/150937 519.86 uk Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
spellingShingle	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Махорт, А.П. Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів Системні дослідження та інформаційні технології
description	Досліджено відкриту економічну систему, сформовану споживачами, що є ненасичуваними. Частина споживачів спроможна виробляти товари. Застосовано принципи рівноваги вальрасового типу. Використано наближення моделі економіки з постійними інтересами споживачів. Запропоновано алгоритм розв’язання задачі про економічну рівновагу, який враховує можливість залежності споживчих уподобань суб’єктів економічної системи від додаткових характеристик. Отримано обмеження на модельні характеристики, які забезпечують існування рівноваги такої економічної системи. Знайдено стани рівноваги з характеристиками, що належать заданим інтервалам значень. Указано на зв’язок між вибором стратегії оподаткування та реалізацією конкретного стану рівноваги економічної системи.
format	Article
author	Махорт, А.П.
author_facet	Махорт, А.П.
author_sort	Махорт, А.П.
title	Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів
title_short	Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів
title_full	Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів
title_fullStr	Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів
title_full_unstemmed	Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів
title_sort	про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/150937
citation_txt	Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів / А.П. Махорт // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 4. — С. 95-107. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT mahortap proalgoritmiviznačennâstanívrívnovagivídkritoíekonomíčnoísistemizanaâvnostímonopolístív
first_indexed	2025-07-13T00:57:17Z
last_indexed	2025-07-13T00:57:17Z
_version_	1837491286897065984
fulltext	 А.П. Махорт, 2016 Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 95 УДК 519.86 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2016.4.10 ПРО АЛГОРИТМИ ВИЗНАЧЕННЯ СТАНІВ РІВНОВАГИ ВІДКРИТОЇ ЕКОНОМІЧНОЇ СИСТЕМИ ЗА НАЯВНОСТІ МОНОПОЛІСТІВ А.П. МАХОРТ Анотація. Досліджено відкриту економічну систему, сформовану споживача- ми, що є ненасичуваними. Частина споживачів спроможна виробляти товари. Застосовано принципи рівноваги вальрасового типу. Використано наближення моделі економіки з постійними інтересами споживачів. Запропоновано алго- ритм розв’язання задачі про економічну рівновагу, який враховує можливість залежності споживчих уподобань суб’єктів економічної системи від додатко- вих характеристик. Отримано обмеження на модельні характеристики, які за- безпечують існування рівноваги такої економічної системи. Знайдено стани рівноваги з характеристиками, що належать заданим інтервалам значень. Ука- зано на зв’язок між вибором стратегії оподаткування та реалізацією конкрет- ного стану рівноваги економічної системи. Ключові слова: рівновага, попит, пропозиція, рівноважні ціни. ВСТУП Дослідження рівноваги економічних систем, зокрема рівноваги за Вальра- сом [1, 2], дає змогу отримати достатньо інформації про можливості їх функціонування. Перебування в деякому стані рівноваги означає для економічної системи певний баланс і стабільність значень характеристик системи. На поведінку економічних систем впливають різні чинники. Зміна стану рівноваги зумовлена зміною економічних характеристик, що спричи- няють впливи цих чинників. За значеннями економічних характеристик можна виявити, чи призводить дія чинників до дестабілізації і погіршення умов функціонування, або ж навпаки, їх дія корисна для економічної систе- ми і сприяє зростанню. Урахування у моделі економіки наявності певних чинників залежить від потреби дослідити той чи інший аспект функціонування економічної сис- теми. Монополізм є вагомим чинником впливу і потребує уваги у процесі побудови моделі. Серед чинників є і такі, потреба в урахуванні яких залежить від додат- кових обставин. У цьому випадку важливо, щоб модель допускала можли- вість надалі враховувати їх дію. Особливості формування споживчих уподо- бань саме і належать до подібних чинників. Мета дослідження — з’ясування впливу монопольних явищ на рівно- вагу економічної системи та побудова алгоритму визначення характеристик тих станів рівноваги, перебування в яких забезпечуватиме ефективне функ- ціонування всіх суб’єктів економічної системи. Алгоритм має враховувати можливість деталізації чинників впливу на формування споживчих упо- добань. А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 96 ОПИС МОДЕЛІ ЕКОНОМІЧНОЇ СИСТЕМИ Нехай економічна система сформована l суб’єктами, які всі є споживачами товарів. Споживачі є ненасичуваними, тобто мають витрачати весь свій здо- бутий фінансовий ресурс на придбання нових товарів. Витрати, пов’язані зі споживанням товарів, частина суб’єктів економічної системи компенсує за рахунок власного виробництва товарів. А перерозподіл прибутків виробників є джерелом фінансування решти споживачів. Вважатимемо, що в економічній системі є n різновидів товарів, кожен з яких виготовляє один виробник. Обсяги випуску товарів в економічній системі описуватимуть компоненти вектора n iixx 1}{  . Також припускати- мемо, що поряд з виготовленням свого товару виробники можуть мати запа- си товарів інших виробників. Для i -го виробника обсяги такого запасу ви- значатимуть компоненти вектора nib n kki ,1,}{ 1 1  . Технології виробництва товарів задаватимемо матрицею вигляду n jkjkjkj xba 1, /   , де величини kja визначають витрати на виготовлення одиниці випуску j -го товару в нату- ральних показниках k -м виробником, а значення характеристик kjb стосу- ються постійних витрат, необхідних для утримання всього виробництва у працездатному стані. Рівень пропозиції k k -го товару на ринку складається як з обсягів його випуску, так і з обсягів його запасів за умови, що частина товарів використовується для потреб виробництва: ,,1, 1 1 11 nkiebbxax kk n i ki n i ki n i ikikk    (1) де також враховано можливість взаємодії економічної системи із зовнішнім оточенням і n iie 1}{  — вектор експорту товарів, а n iii 1}{  — вектор імпорту. Реалізація наявних у виробників товарів на ринку дозволяє їм отриму- вати фінансові ресурси для подальшого функціонування. Фінансові надход- ження суб’єктів економічної системи оподатковуються. Оподаткований прибуток, який може отримати виробник у результаті своєї діяльності, записується за допомогою виразу ,,1,)(~ 1 1 11 njpbpbpapxpD n k kkjj n k kkjj n k kkjjjjj          (2) де n ii 1}{  — вектор оподаткування. Оподаткування і є механізмом перерозподілу капіталу для забезпечення фінансування тих споживачів, які не є виробниками. Величина їх прибутків l njj pD 1)}(~{  має формуватись з урахуванням вимоги .)()1()(~ 11    n j jj l nj j pDpD (3) Споживання товарів в економічній системі формується на підставі упо- добань суб’єктів економічної системи. Максимальний набір бажаних Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи … Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 97 товарів, що ними цікавиться i -й споживач, визначатиме ненульовий вектор ,}{ 1 n kkic  li ,1 . Значення величин kic можуть бути і функцією деякої економічної характеристики 0z , )( 0zkiki cc  . Припускатимемо, що в побудованій за елементами kic матриці ln jkkjcC , 1,1   немає нульових рядків і стовпців. Попит споживачів, або ж їх остаточний вибір товарів зі списку бажаних залежить від ціни цих товарів. Тому попит i -го споживача на k -й товар )( pik можна подати у вигляді ,,1,,1,)( 1 nkli pc pcp n s ssi kki ik    (4) де n iipp 1}{  — вектор цін на товари. Вибір споживачів створює попит на товари в економічній системі. Вираз для попиту на k -й товар k складати- меться з попиту окремих споживачів та їх спроможності придбати цей товар: .,1,)(~)(1 1 nkpDp p l i iik k k    (5) Споживач прагне мати той рівень прибутку, що дозволить йому при- дбати бажаний набір товарів у повному обсязі. Мірою досягнення потрібного рівня прибутку є вектор ступенів задоволення потреб споживачів l iiyy 1}{  . Його компоненти набувають значень в інтервалі ]1,0( . Якщо компонента вектора y дорівнює одиниці, відповідний споживач може при- дбати весь потрібний набір товарів, інакше його бажання задовольнятимуть- ся частково. Тоді оподаткований, або чистий прибуток кожного суб’єкта економічної системи як споживача набуває вигляду .,1,)(~ 1 ljpcypD s n s sjjj    (6) Для виробників вираз (6) має збігатися з виразом (2). ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Аналіз поведінки економічної системи можна виконати за значеннями її ха- рактеристик. Після того, коли суб’єкти економічної системи оберуть стратегії своєї поведінки, частина з характеристик стануть визначеними. Зокрема виробники мають обрати технології виготовлення своїх товарів, а споживачі вирішити, яких товарів вони потребують. Вважатимемо, що в моделі заданими є елементи матриць технологічних коефіцієнтів n jkkja 1,  , n jkkjb 1,  , обсяги запасу товарів та коефіцієнти споживання товарів суб’єктів економічної системи, які сформують матриці n jkkjb 1, 1  та ln jkkjc , 1,1  . Зада- А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 98 ною вважатимемо і структуру зовнішньоекономічних зв’язків, подану век- торами n iie 1}{  та n iii 1}{  . Важливими економічними характеристиками є ціни й обсяги випусків товарів. Очевидно, що виробники впливають на обсяги випусків своїх товарів. За наявності певного обсягу товару на ринку ціна на нього утворюється в результаті згоди між покупцем і продавцем. Зокрема, така згода досягається внаслідок установлення балансу між попитом і пропозицією, або ж установлення економічної рівноваги. Але серед виробників в економічній системі можуть бути присутні й монополісти, які мають змогу впливати на рівень цін своїх товарів. У випадку заданих цін на товари баланс між попитом і пропозицією досягатиметься за рахунок зміни обсягів випуску товарів. Тому вважатимемо, що в моделі задано ціни на то- вари монополістів ),,( 00 1 nt pp  і обсяги випусків товарів решти виробників ),,( 00 1 txx  . Модель ураховує наявність оподаткування прибутків суб’єктів економічної системи, а відповідно до економічних реалій, принаймні для тих виробників, які не є монополістами, стратегію оподаткування слід вва- жати заданою ),,( 00 1 t  . Інші характеристики, такі як рівні споживання суб’єктів економічної системи, подані компонентами вектора ),,( 1 lyy  , ціни ),,( 1 tpp  , обсяги випусків ),,( 1 nt xx  , рівні оподаткування монополістів ),,( 1 nt    мо- жуть змінювати свої значення залежно від ситуації на ринку. Вони залежать від поточного стану економічної системи і визначаються безпосередньо з умови рівноваги. Згідно з принципами рівноваги за Вальрасом [1, 2] пропозиція товарів в економічній системі має перевищувати попит. З цієї умови отримаємо набір усіх імовірних станів економічної системи. Щоб ви- значити стани рівноваги з прибутковим виробництвом усіх суб’єктів економічної системи достатньо використати умову рівності попиту і пропозиції [1]. Тоді зі співвідношень (1) і (5) отримаємо ,,1,)(~)(1 1 1 111 nkiebbxaxpDp p kk n j kj n i ki n i ikik l i iik k    або з урахуванням виразів (4) і (6) .,1, 1 1 111 nkiebbxaxyc kk n j kj n i ki n i ikik l j jkj    (7) Урахуємо також, що в стані рівноваги прибуток виробників, визначе- ний за формулою (2), має збігатися зі значеннями, знайденими за форму- лою (6) .,1, 11 1 11 njpcypbpbpapx s n s sjj n k kkjjk n k kjjk n k kjjjj          (8) Систему рівнянь (7), (8) розв’язуватимемо щодо векторів l iiy 1}{  , t iip 1}{  , n tiix 1}{  і n tii 1}{  і тим самим визначимо стани рівноваги еко- номічної системи, перебування в яких забезпечуватиме ефективне функціо- нування її суб’єктам. Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи … Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 99 ВИЗНАЧЕННЯ СТУПЕНІВ ЗАДОВОЛЕННЯ ПОТРЕБ ВИРОБНИКІВ ТОВАРІВ Укажемо спочатку, як визначити рівноважні значення компонент вектора ступенів задоволення потреб споживачів l iiyy 1}{  . Припускатимемо, що матриця n jkkjaA 1,   нерозкладна, а її спектральний радіус менший від одиниці. Тоді рівняння (7) можна переписати у вигляді ,,1, 1 nkbyd k l j jkj   де введено матрицю ln jkkjd , 1,1  і величини n iib 1}{  :     ., 1 1 1 1 1 1 1                 n s ss n j sj n i sikskk n s sjkskj iebbAExbcAEd Частина величин ),,( 00 1 tbb  будуть заданими. Вони мають бути і до- датними, інакше пропозиція товарів виявиться від’ємною, що неможливо. А через припущення про властивості матриць A і C матричні елементи kjd також будуть додатними. Нехай найнижчий прийнятний для споживачів в економічній системі рівень задоволення потреб є my . Тоді бажано, щоб реалізовувались лише стани рівноваги, у яких компоненти вектора y міститимуться в інтервалі ]1,[ my . Виберемо константи 0 , 1 , щоб вони задовольняли нерівності ,,1,1 1 0 0 0 1 1 tkdybbdy l nj kj M kk l nj kj m                    (9) а також сукупність параметрів ),,,,,( 11 11 ntt    , такі, що значення величин n ii 1}{  ,,1, 1 1 tsd t k kskss    ntsd t k kskss ,1, 1 1 0    містяться в діапазоні ],[ Mm yy , 1My , і вимагатимемо, щоб компоненти вектора ступенів задоволення потреб споживачів nyy ,,1  були розв’язком оптимізаційної задачі   ,][ 2 1,min 1 200 ,,1    n j jj yy y n FF  (10) за додаткових вимог .,1,0 01 1 tkbyyd kk n j jkj   (11) А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 100 Теорема 1. Нехай величини m , ,M вибрані з умови ,,1, 1 1 1 1 tsyddy M t k ks M t k ks mm                ,,1,1 0 11 1 0 ntsyddy s M t k ks M t k ks m s m    разом зі сталими 0 , 1 задовольняють нерівності ,,1, 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 tsdddddb M t i ik t i ki n k l i kiki m s n tk ksk                      .,1, 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 tsdddddb m t i ik t i ki n k l i kiki M s n tk ksk                      Тоді існує додатний вектор n iiy 1}{  , який розв’язує оптимізаційну зада- чу (10), (11), а його компоненти міститимуться в інтервалі значень ],[ Mm yy . Доведення. Складемо функцію Лагранжа оптимізаційної задачі (10), (11): .][ 2 1 1 0 01 11 20              t k kk n j jkjk n j jj byydyL Перевірка необхідних і достатніх умов існування мінімуму екстремаль- них задач приведе до виконання умови 0 1 2 1 1 02       n s s n j n i ji ji yy yyy L для будь-якого довільно вибраного ненульового вектора ),,( 1 nyy  та до появи рівнянь ,,1,0)( 1 1 0 nsdy y t k kskskss s      L (12) ,,1,00 01 1 0 tkbyyd kk n j jkj k      L (13) відносно невідомих n iiy 1}{  і множників Лагранжа t ii 1}{  . Компоненти век- тора y , який буде розв’язком оптимізаційної задачі (10), (11), визначимо за множниками Лагранжа t ii 1}{  з виразу (12), а значення множників Лагран- жа t ii 1}{  — з виразу (13), який трансформується у рівняння                      t j jj n i jikis n tk kskkk dddb 1 1 2 1 1 1 0 2 1 0 )(1)( .,1,)()(1 111 tkdd t j jjjk t j jjkj              (14) Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи … Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 101 Систему рівнянь (14) можна подати у вигляді .,1),,,( 11 0 tkttkkk   Умови теореми гарантуватимуть, що оператор ,({ 11 0 i t itt 1)},  переводитиме множину              lkR mM kk mM kk ,1, 22 ,M саму в себе. Тому на підставі принципу Шаудера [3] можна зробити висно- вок про існування ненульових значень множників Лагранжа t ii 1}{  , причо- му їх значення містяться в діапазоні tkM kk m ,1,  . За таких умов компоненти вектора ступенів задоволення потреб споживачів ,,1,)()( 1 1 tsdy t k kskksss    ,,1,)( 1 1 0 ntsdy t k kskkss    міститимуться в заданому інтервалі ],[ Mm yy . Теорему доведено. За допомогою оптимізаційної задачі (10), (11) знайдемо лише частину компонент n iiy 1}{  вектора ступенів задоволення потреб споживачів. Усі інші компоненти цього вектора, як і решта рівноважних економічних характери- стик, визначатимуться за ними. РІВНОВАЖНІ СТУПЕНІ ЗАДОВОЛЕННЯ ПОТРЕБ СПОЖИВАЧІВ Для знаходження решти компонент l niiy 1}{  сформулюємо задачу     l nj jj yy y ln 1 211 ),,( ][ 2 1,min 1 FF  (15) за додаткових вимог ,,1, 1 1 0 0 0 tkydybb l nj jkjkkk    (16) .,1, lnkyyy M k m  (17) Можливість одночасного виконання умов (16) і (17) випливає з нерівностей (9). Теорема 2. Нехай виконуються умови (9) і справедливі нерівності .0][][:],1[  m jj M yyyylnj (18) А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 102 Тоді існує додатний вектор t ii 1 1}{  , для якого розв’язок оптимізаційної задачі (15) з lnsd t k ksks ,1, 1 1    задовольнятиме обмеження (17) і рівності (16). Доведення. Складемо функцію Лагранжа оптимізаційної задачі (15)–(17). Звернемо увагу, що обмеження (17) еквівалентні нерівностям .,1,0][][ lnjyyyy m jj M  Додатково припустимо, що деякі компоненти вектора, який розв’язує оптимізаційну задачу (15)–(17), можуть набувати значень )( 2 1 mM k yyy  , 0Mk , ],1[0 lnM  (але множина 0M може виявитись і порожньою). З урахуванням цього функцію Лагранжа запишемо у вигляді               t k kkk l nj jkjk l nj jj bbyydy 1 00 01 1 1 1 21 ][ 2 1 L   .][][]2[ 2 1 00 \,1 10    Mlnj m jj M j Mj j mM j yyyyyyy Для такої функції Лагранжа та будь-якого довільно вибраного ненульо- вого вектора ),,( 1 ln yy  виконуватиметься умова   .02 2 \,1 1 1 2 1 1 12 0        s Mlns j l ns s l nj l ni ji ji yy yyyy L Тут враховано, що множники Лагранжа 0\],1[ 1}{ Mlnss  мають бути невід’ємними. Отримаємо також рівняння      0 0 1 1 1 1 1 Mj jsj t k ksk t k ksks s ddy y L ;,1,0)2( 2 1 1 lnsyyy s mM s  (19) ;,1,000 01 1 1 1 tkbbyyd kkk l nj jkj k      L (20) .,02 00 1 Mkyyy k mM k   L (21) Через наявність в оптимізаційній задачі (15)–(17) обмежень у формі нерівностей згідно з теоремою Куна–Таккера [4] варто вимагати додатково- го виконання умов .\],1[,0][][,0 0 11 Mlnjyyyy m jj M jj  (22) Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи … Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 103 Із виразу (19) випливає .\],1[, 2 0 1 1 1 1 1 Mlns yyy ddy s mM t k ksk t k ksks s       Тому мають виконуватись рівності ,,0][][ 1Mjyyyy m jj M  (23) ,,0 2 1 1 1 1 Msddy t k ksk t k ksks    (24) де ],1[ 2 0 lnM i i    . Крім того, з виразів (19) і (21) також отримаємо .,0)( 2 1 0 0 1 1 1 1 Msddyy s t k ksk t k ksk mM    (25) Рівняння (25) дасть змогу визначити множники Лагранжа 0 }{ 0 Mss  . А з рівняння (24) за множниками Лагранжа t ii 1 1}{  визначатимемо лише ту частину величин ),,( 1 ln yy  , які задовольняють обмеження (17) і не дорівнюють )( 2 1 mM yy  , значення решти цих величин знайдемо з рівностей або (21), або (23). Уведення множини 0M дозволяє коректно означити множники Лагранжа 0\],1[ 1}{ Mlnss  відповідно до вимог (22). Рівняння на множники Лагранжа t ii 1 1}{  отримаємо з рівностей (20) з урахуванням виразів (21), (23), (24): .,1,)( 1 11 1 0 0 0 210 tkddydybb t j jj Mi jiki MMj jkjkkk                Матричні елементи kjd додатні, унаслідок чого матриця t jk Mi jikidd 1,\|\|\|\| 2    буде додатно означеною, а отже, і невиродженою. Умо- ви теореми гарантують, що множина 2M непорожня. Існування оберненої матриці t jkkj 1, 11 \|\|\|\|    забезпечуватиме існування множників Лагранжа t ii 1 1}{  , оскільки завжди можна підібрати такі значення компонент додатно- го вектора t ii 1 1}{  , щоб компоненти вектора t ii 1 1}{  були ненульовими: .,1, 1 1 0 0 0111 10 tsydybb t k MMj jkjkkkskss                Позначимо: ., 21 1 1 1 0 0 011 10 MMsydybbdy t k t j MMj jkjjjjkjkss                   (26) А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 104 Вважатимемо, що для індексів з множини 1M виконується нерівність .,0][][ 1 11 Mjyyyy m jj M  Покладатимемо M j yy  , якщо 1 j M yy  , або m j yy  , якщо 1 j m yy  , тому 01  j , 1Mj . Натомість для індексів з множини 1M матимемо .,0][][, 1 1 Mjyyyyyy m jj M jj  Теорему доведено. Зауваження. Вимоги теореми 2 виключають випадок .],1[0][][ lnjyyyy m jj M  (27) Але якщо замість умови (18) вимагати виконання обмежень ,,1,)(~ 1 1 1 0 0 01 lnsyybbdy m t k t j jjjkjks M       де t jkkj 1, 1~   — матриця, обернена до t jk l ni jikidd 1,1   , то теорема 2 буде справедлива і допускатимуться рівності (27). Функцію Лагранжа 1L тоді можна записувати у вигляді              t k kkk l nj jkjk l nj jj bbyydy 1 00 01 1 1 1 21 ,][ 2 1 L а 2M буде множиною всіх індексів: ],1[2 lnM  . У контексті цього зауваження відзначимо, що замість послідовного розв’язування задач (10), (11) і (15)–(17) можна було б одразу розглядати об’єднану задачу      l j jj yy y l 1 2 ,, ]~[ 2 1~ , ~ min 1 FF  (28) за додаткових вимог .,1,0 1 tkbyd k l j jkj   (29) За схемою, використаною для отримання виразу (26), дістанемо розв’язок задачі (28), (29): ,,1, 1 1 01 lsbdy n k t j jkjkss       (30) де t jkkj 1, 1   — матриця, обернена до t jk l i jikidd 1,1   . Звичайно, що без по- переднього встановлення додаткових умов невідомо, чи задовольняє Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи … Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 105 розв’язок необхідні обмеження. Але навіть коли цей розв’язок міститься в потрібній області значень ],[ Mm yy , вираз (30) не завжди буде достатньо інформативним. Зокрема матричні елементи kjc , а тому і kjd , можуть зале- жати від деякої економічної характеристики 0z . І тоді вираз (30) не дозво- лить повною мірою оцінити характер залежності ступенів задоволення по- треб споживачів від зміни цієї додаткової характеристики 0z . Якщо для матричних елементів kjd вказуватиметься функціональна залежність від 0z в явному вигляді, то для елементів 1kj така залежність може бути втрачена. Натомість алгоритм розв’язування задачі (10), (11) дає змогу зберегти всю потрібну інформацію про залежність величин nyy ,,1  від додаткових ха- рактеристик. А саме ці компоненти вектора ступенів задоволення потреб споживачів, відповідно до співвідношення (8), пов’язані з визначенням рівноважного вектора цін. Завжди важливо мати найдетальнішу інформацією про залежність від 0z для більш повного оцінювання впливу характеристики 0z на ціноутворення в економічній системі. ОПТИМАЛЬНИЙ СТАН РІВНОВАГИ Рівноважні ступені задоволення потреб споживачів є розв’язком оптимізаційних задач. Таким чином, вони описують деякий в певному розумінні оптимальний стан рівноваги. Для його повного опису слід також вказати, яких значень набуватимуть компоненти вектора цін, обсягів випус- ку товарів та рівнів оподаткування монополістів. Рівноважні обсяги випуску товарів монополістами ),,( 1 nt xx  одно- значно визначаються ступенями задоволення потреб споживачів    l j jkjkkk ydyxyxx 1 )(),( .,1,)( 1 1 1 1 1 ntkiebbAE n s ss n j sj n i siks                Гарантувати їх додатні значення можна, наклавши умову .,1,0)( 1 1 1 1 1 1 ntkiebbAEdy n s ss n j sj n i siks l j kj m                 Виконання цієї умови може порушуватись насамперед через наявність великого обсягу запасу товарів у суб’єктів економічної системи. У результаті виникатимуть сумніви в доцільності виробництва деяких товарів, а це може спричинити виникнення проблем у функціонуванні окре- мих суб’єктів економічної системи. Простим рішенням уникнення появи таких дисбалансів видається встановлення обмежень на обсяги запасу товарів з тим, щоб споживчі інтереси суб’єктів економічної системи забез- А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2016, № 4 106 печувалися переважно за рахунок виготовлення нових товарів. Тоді елемен- ти матриці запасу товарів мають задовольняти нерівності .,1,,01 njkbbcy kjkjkj j m   Рівноважні значення цін в економічній системі отримаємо, розв’язавши систему рівнянь                t k kkj jj j j kjkj kjj pc x y x bb ap 1 000 1 ˆ ,,1, 1 0 000 1 tjpc x y x bb a n tk kkj jj j j kjkj kj                (31) Припускатимемо, що норма невід’ємної матриці )( MyH менша за одиницю, де t jk kj jj j kj j kj j kj c x y b x b x ay 1, 00 1 00 11)(    H . У цьому випадку можна записати аналітичний вираз розв’язку системи рівнянь (31):  )(,)( ypypp sss .,1,1))(( 1 1 0 000 1 tspc x y b x ayE t j n tk kkj jj j kj j kjjs                H (32) Завдяки умовам на матрицю )(yH справедливий розклад [5] tsyyE j j ,1,)())(( 0 1      HH , тому, якщо наявна функціональна залежність елементів матриці попиту C від деякої характеристики 0z , вона не втратиться і у виразі (32). Той чи інший стан рівноваги можна реалізувати вибором стратегії опо- даткування, зокрема вибором значень рівнів оподаткування монополістів. Відповідно до виразу (8) матимемо  ),( yxj .,1, )()()( )( 0 1 1 1 10 0 11 ntj pbbxaypbbxaxp pycypyc k n tk kjkjjkjk t k kjkjjkjjj s n ts jsjs t s jsj         Насамкінець звернемо увагу, що для кожної з рівноважних характери- стик є змога вказати інтервал усіх їх можливих значень. Для ступенів задо- волення потреб споживачів це ],[ Mm yy ; i -та компонента вектора обсягів випуску товарів монополістів міститиметься в діапазоні від )( m i m i yxx  Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи … Системні дослідження та інформаційні технології, 2016, № 4 107 до )( M i M i yxx  , ціна на i -й товар міститиметься в інтервалі )](),([ M i m i ypyp , а рівні оподаткування i -го монополіста змінюватимуться в межах області )],(),,([ Mm i mM i yxyx  . ВИСНОВКИ У результаті проведеного дослідження запропоновано алгоритм визначення станів рівноваги економічної системи із заданим інтервалом значень рівноважних характеристик. Ураховано наявність в економічній системі виробників-монополістів, а також те, що споживачі є ненасичуваними. Особливості алгоритму пов’язані з можливістю врахування дії додаткових чинників впливу на формування споживчих уподобань. Запропоновані раніше алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів [1, 6, 7] не дають такої можливості. Використане наближення моделі економіки з постійними інтересами споживачів передбачає, що елементи матриці попиту kic , які описують споживчі уподо- бання суб’єктів економічної системи, є постійними. Запропонований тут алгоритм може бути використаний не тільки для цього наближення, а й у разі, коли це наближення буде узагальнене на випадок залежності спо- живчих коефіцієнтів kic від деякої економічної характеристики 0z , )( 0zkiki cc  . Алгоритм дає змогу визначити характеристики стану рівноваги економічної системи, перебування в якому дозволить суб’єктам економічної системи функціонувати в прийнятному для них режимі, уникнувши тим са- мим негативної дії монопольних явищ. Указано інструменти реалізації таких станів рівноваги. ЛИТЕРАТУРА 1. Гончар М.С. Математичні основи інформаційної економіки / М.С. Гончар. — К.: Ін-т теор. фізики, 2007. — 464 с. 2. Debreu G. Existence of competitive equilibrium / G. Debreu // Handbook of Mathe- matical Economics, ed. By K.J. Arrow and M.D. Intriligator. — Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1982. — Vol. II. — P. 698–742. 3. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. — М.: Наука, 1977. — 442 с. 4. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации / Б.Н. Пшеничный. — М.: Наука, 1983. — 136 с. 5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1966. — 576 с. 6. Гончар М.С. Вплив монополізму та оподаткування на економічну систему / М.С. Гончар, А.П. Махорт // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2005. — № 1. — С. 77–99. 7. Махорт А.Ф. Оптимизация негативних влияний монополизма на состояние экономической системы / А.Ф. Махорт // Проблемы управления и информа- тики. — 2007. — № 1. — С. 146–153. Надійшла 25.05.2016

Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів

Репозитарії

Схожі ресурси