К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве
Получены точные по порядку оценки поперечников классов бесконечно дифференцированных функций.
Gespeichert in:
| Datum: | 1990 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1990
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/152657 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве / А.К. Кушпель // Український математичний журнал. — 1990. — Т. 42, № 2. — С. 279–280. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-152657 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| fulltext |
УДК 517.5
А. К. Кушпель
К оценке поперечников классов
гладких функций в пространстве Lq
Получены точные по порядку оценки поперечников классов бесконечно дифференцирован-
ных функций.
Одержані точні по порядку оцінки поперечників класів нескінченно диференційованих
функцій.
Обозначим через Wp класс функций представимых в виде свертки
/ ( . ) = я - 1 J / C ( . — т ) ф ( т ) Л , | | ф | | р < 1 ,
—я
оо
где s \К (т)] == V \|) (k) cos {kn — ßn/2). Рассмотрим случай, когда ф (k) =
k=\
= e~akr, а > 0, r> 0.
Пусть X — банахово пространство, С — центральносимметричный ком-
пакт в X, Ln — подпространство размерности п. Величину dn (С, X) =
= inf sup \ni\\u — v\\x называют колмогоровским поперечником множе-
н е * и£С v£Ln
ства С в X (см. например, [1]).
В [2] показано, что
(Wl Lq)^L d2n-~i (г|э, ß, p, q) <
e-anVl~~r)+(lA>"~l/<7)+, 1 < p < q < 2,
< 1 < < 7 < / ? < o o , 2 < p < < ? < oo, (1)
^ r n ( 1 - n + ( , / " - 1 / 2 ) , 1 < P < 2 < 4 < 0 0 .
В настоящей статье на базе метода, примененного в [3], получены оцен-
ки снизу поперечников классов Wk
D . Метод оценки снизу поперечников
основывается на исследовании категорных поперечников (ф, ß, р, </),
© А. К. К У Ш П Е Л Ь , 1990
/SSW 004і-6053, Укр. мат. an/P«-* 1990, т. 2 279
введенных В. М. Тихомировым. При этом, используя, по существу, одну
и ту же конструкцию, удается получить окончательные в смысле порядка
оценки на классах целых, аналитических, бесконечнодифференцируемых
функций, а также на классах функций конечной гладкости при различных
соотношениях между р и ц. На первом этапе рассматривается след мно-
жества 1У* на подпространстве </2п+1: П<^2я+1 = Затем выпук-
лое тело ИРр,п приближается многогранником (2п(К, р) = с о п у ..., }>
где /я , . . . — полиномы специального вида, ^ ) 6 1 < & < т .
Очевидно, =э ()п (К, р). Далее, исследуем величину г\п = нИ {Р (я),
я £ Р 2/1+1)}» где Т7 (я) = вир {|| х ||» х€(1(К, р) П л}» я — прямая проектив-
ного пространства Р 2л+0- В ряде случаев (например, когда (&) =
= е—акГ, а > 0 , г ^ 1) величина т)Л дает точную по порядку оценку сни-
зу для поперечника %2п (г|э, р, р, <7). На втором этапе, с учетом известных
п
оценок для полиномов Рудина — Шапиро || ^ гЛ (0) е1к* Ц^ < Сл1/2, где
к=\
6 6 [0,1], а г к ( • ) — функции Радемахера, либо неравенства Хинчина
(л £ (е) г ̂ г < ({р/2+£ с*г- р>о-б к=1 к=1
строится случайное множество о п 6 Р 2/1+1)» имеющее достаточно высо-
кую (в смысле Люстерника — Шнирельмана) категорию относительна
Р(<Р2п+\) такое, что величина т) (ап) = Ы {Р (я), я £ а л } , реализует соот-
ветствующую оценку снизу для поперечника %2п (г|э, р, /?, <7). В ряде слу-
чаев величина т] (оп) по порядку больше, чем г]п и реализует точную по
порядку оценку снизу для поперечника.
Т е о р е м а 1. Пусть а > 0 , г> 0 , Р £ Я, г|)1 (к) = е-0*', тогда
Л2п (ф,, р, р, > х2п р, /?, <7) >
I е~апГ, I < P < < 7 < 0 0 , 2 < < 7 < / ? < о о ;
> е-апГпи-г)+МР-Ш^
I * - а п ' п ( 1 - г ) + ( 1 / р - 1 / 2 ) , I < P < 2 < < 7 < 0 0 .
Из теоремы 1 и оценок (1) находим
Р» Р> Я) ж Х2/1 (фр р. Р> Я) X
е - а п \ 1 < р = <7<оо, 2 < < 7 < P < 0 0 ,
2 < р < < 7 < оо;
ж \е-«пгпа-г)+11/р-{/2), 1 < P < 2 < < 7 C O O ,
' е-апГпн-п+1ир-и*)9
В связи с теоремой 1 отметим, что В. Н. Темляков сообщил автору дру-
гой способ доказательства оценок снизу для поперечников й2п Р, р, <7)
при 2 < ? < р < оо, 1 < р < <7 < 2, I < P < 2 < 9 < 0 0 .
1. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. — М. : Изд-во Моск. ун-та,
1976.— 304 с.
2. Кушпель А. К. Поперечники классов гладких функций в пространстве — Киев,.
1987 — 54 е.— (Препринт/АН УССР. Ин-т математики; 87.44).
3. Кушпель А. К. Поперечники классов аналитических функций / / Укр. мат. журн.—•
1989.— 41. № 4.— С. 576—579.
Ин-т математики АН УССР, Киев < Получено 23.11.89
280 /вЗЛ/ 0041-6053. Укр. мат. журн., 1990, г. 42, М 2
|
| spelling |
irk-123456789-1526572019-06-13T01:26:21Z К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве Кушпель, А.К. Статті Получены точные по порядку оценки поперечников классов бесконечно дифференцированных функций. 1990 Article К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве / А.К. Кушпель // Український математичний журнал. — 1990. — Т. 42, № 2. — С. 279–280. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/152657 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кушпель, А.К. К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве Український математичний журнал |
| description |
Получены точные по порядку оценки поперечников классов бесконечно дифференцированных функций. |
| format |
Article |
| author |
Кушпель, А.К. |
| author_facet |
Кушпель, А.К. |
| author_sort |
Кушпель, А.К. |
| title |
К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве |
| title_short |
К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве |
| title_full |
К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве |
| title_fullStr |
К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве |
| title_full_unstemmed |
К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве |
| title_sort |
к оценке поперечников классов гладких функций в пространстве |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1990 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/152657 |
| citation_txt |
К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве / А.К. Кушпель // Український математичний журнал. — 1990. — Т. 42, № 2. — С. 279–280. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kušpelʹak kocenkepoperečnikovklassovgladkihfunkcijvprostranstve |
| first_indexed |
2025-07-14T04:05:57Z |
| last_indexed |
2025-07-14T04:05:57Z |
| _version_ |
1837593744618029056 |