Изоморфизмы снловских p-подгрупп ограниченной линейной группы. II. Основная теорема
Рассматриваются получающиеся пополнением силовские р-подгруппы ограниченной линейной группы счетномерного векторного пространства счетной мощности над конечным полем характеристики р. Развивается геометрический подход О'Миры для описания изоморфизмов линейных групп, которые не являются богаты...
Збережено в:
| Дата: | 1990 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1990
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/153034 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Изоморфизмы снловских p-подгрупп ограниченной линейной группы. II. Основная теорема / Е.Г. Косман // Український математичний журнал. — 1990. — Т. 42, № 3. — С. 418–421. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-153034 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1530342019-06-27T10:51:53Z Изоморфизмы снловских p-подгрупп ограниченной линейной группы. II. Основная теорема Косман, Е.Г. Статті Рассматриваются получающиеся пополнением силовские р-подгруппы ограниченной линейной группы счетномерного векторного пространства счетной мощности над конечным полем характеристики р. Развивается геометрический подход О'Миры для описания изоморфизмов линейных групп, которые не являются богатыми и, вообще говоря, даже достаточно богатыми трансвекпиями. Доказано, что между двумя изоморфными силовскими р-подгруппами существует изоморфизм стандартного вида, который индуцируется некоторым локально внутренним автоморфизмом ограниченной линейной группы. Розглядаються одержувані поповненням силовські р-підгрупи обмеженої лінійної групи зчисленновимірного векторного простору зчисленної потужності над скінченним полем характеристики р. Розвивається геометричний підхід О’Міри для опису ізоморфізмів лінійних груп, які не являються багатими та, взагалі кажучи, навіть достатньо багатими трансвекціями. Доведено, що між двома ізоморфними силовськими р-підгрупамн існує ізоморфізм стандартного вигляду, який індукується деяким локально внутрішнім автоморфізмом обмеженої лінійної групи. 1990 Article Изоморфизмы снловских p-подгрупп ограниченной линейной группы. II. Основная теорема / Е.Г. Косман // Український математичний журнал. — 1990. — Т. 42, № 3. — С. 418–421. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/153034 512.54 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Косман, Е.Г. Изоморфизмы снловских p-подгрупп ограниченной линейной группы. II. Основная теорема Український математичний журнал |
| description |
Рассматриваются получающиеся пополнением силовские р-подгруппы ограниченной линейной группы счетномерного векторного пространства счетной мощности над конечным полем
характеристики р. Развивается геометрический подход О'Миры для описания изоморфизмов
линейных групп, которые не являются богатыми и, вообще говоря, даже достаточно богатыми трансвекпиями. Доказано, что между двумя изоморфными силовскими р-подгруппами
существует изоморфизм стандартного вида, который индуцируется некоторым локально
внутренним автоморфизмом ограниченной линейной группы. |
| format |
Article |
| author |
Косман, Е.Г. |
| author_facet |
Косман, Е.Г. |
| author_sort |
Косман, Е.Г. |
| title |
Изоморфизмы снловских p-подгрупп ограниченной линейной группы. II. Основная теорема |
| title_short |
Изоморфизмы снловских p-подгрупп ограниченной линейной группы. II. Основная теорема |
| title_full |
Изоморфизмы снловских p-подгрупп ограниченной линейной группы. II. Основная теорема |
| title_fullStr |
Изоморфизмы снловских p-подгрупп ограниченной линейной группы. II. Основная теорема |
| title_full_unstemmed |
Изоморфизмы снловских p-подгрупп ограниченной линейной группы. II. Основная теорема |
| title_sort |
изоморфизмы снловских p-подгрупп ограниченной линейной группы. ii. основная теорема |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1990 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/153034 |
| citation_txt |
Изоморфизмы снловских p-подгрупп ограниченной линейной группы. II. Основная теорема / Е.Г. Косман // Український математичний журнал. — 1990. — Т. 42, № 3. — С. 418–421. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kosmaneg izomorfizmysnlovskihppodgruppograničennojlinejnojgruppyiiosnovnaâteorema |
| first_indexed |
2025-07-14T04:26:17Z |
| last_indexed |
2025-07-14T04:26:17Z |
| _version_ |
1837595023528427520 |
| fulltext |
УДК 512.64
Е. Г. Ко с ман
Изоморфизмы силовских р-подгрупп
ограниченной линейной группы.
II. Основная теорема
Рассматриваются получающиеся пополнением силовские р-подгруппы ограниченной линей-
ной группы счетномерного векторного пространства счетной мощности над конечным полем
характеристики р. Развивается геометрический подход О'Миры для описания изоморфизмов
линейных групп, которые не являются богатыми и, вообще говоря, даже достаточно бога-
тыми трансвекпиями. Доказано, что между двумя изоморфными силовскими р-подгруппами
существует изоморфизм стандартного вида, который индуцируется некоторым локально
внутренним автоморфизмом ограниченной линейной группы.
Розглядаються одержувані поповненням СИЛОВСЬКІ р-підгрупи обмеженої лінійної групи
зчисленновимірного векторного простору зчисленної потужності над скінченним полем ха-
рактеристики р. Розвивається геометричний підхід О'Міри для опису ізоморфізмів лінійних
груп, які не являються багатими та, взагалі кажучи, навіть достатньо багатими трансвек-
ціями. Доведено, що між двома ізоморфними силовськими /з-підгрупами існує ізоморфізм
стандартного вигляду, який індукується деяким локально внутрішнім автоморфізмом об-
меженої лінійної групи.
В данной статье, являющейся продолжением работ [1—4], используются
принятые в последних обозначения и определения.
Дополнительно введем следующие обозначения: ££—множество пря-
мых пространства V; ^ — множество гиперплоскостей относительно тоталь-
ного подпространства пространства V; Р (Ь, Н) — подгруппа, состоя-
щая из е и всех трансвекций группы Р с вычетной прямой и непод-
вижной гиперплоскостью Н 6 Р ( Ц — подгруппа, состоящая из е и всех
трансвекций группы Р с вычетной прямой Р (Н) — подгруппа, сос-
тоящая из е и всех трансвекций группы Р с неподвижной гиперплоскостью
Я ? - Я и ЯР. Р(Х) = Р(Ь) при х = И Р(Х) = Р(Н) при
Х = # € Х ЗС(Р) = £(Р) и_Ж(Р) = {Х_еХ\Р(Х)Ф{е}}.
Обозначим через вЬ (К) б/ , (№) контраградиентный изомор-
л
физм, а через Д — образ подгруппы А группы (К) при контраградиент-
Мом изоморфизме.
Переход от свойства сохранения трансвекций к основной теореме об
С Е. г. КОСМАН. 1990
418 /ЯЗА/ 0041-6053. Укр. мат. журн., 1990, г. 42, № 3
изоморфизме силовских /?-подгрупп почти в точности таков же, как и в
15]. Опишем его в общих чертах.
Лемма 1. Для любых X, У £ X (Р)> любых L, К £ ££ (Р) и любых
Я , J £ Яв (Р) имеем
1) P(X) = P(Y) о X = F;
2) Р (L, Я) — Р (К, J) О L = К и Я = J (при условии, что LczH и
К a J) ;
3) Р ( I f = Я (L°), Р ( Я ) л = Р (Я0);
4) Р (L, Я ) " = Р (Я0 , L0) (при условии, что L с : Я);
5) Р (X) П Р (У)фе&У с : V или Y cz X;
6) Р (X) — максимальная подгруппа в Р, состоящая только из транс-
векций',
7) всякая максимальная подгруппа трансвещий из Р имеет вид Р (X).
Пусть Р и 5 — две изоморфные силовские р-подгруппы из $ (V), а
f — изоморфизм, сохраняющий трансвекции [4]. Поскольку для каждого
X из 00(Р) Р(Х) является максимальной подгруппой в Р, состоящей толь-
ко из трансвекций, то учитывая указанные выше факты, f (Р (X)) — мак-
симальная подгруппа в S , состоящая только из трансвекций, т. е.
/ (Р (X)) = S (Хх) для некоторого единственного Хг 6 X (5). Тогда по изо-
морфизму f можно построить отображение я : X (Р) ОС (5), полагая
я Х - Хг.
Л е м м а 2. Отображение я обладает следующими свойствами:
1) оно взаимно однозначно отображает X (Р) иа X (5);
2) (X с - Y или К с Х ) о ( я Х с я Y или я У с яХ);
3) либо (Р) = <£ (S) и пЖ (Р) = Ж (5), либо л<£ (Р) = Ж (S) и
nM(P) = i£(S).
Доказательство леммы полностью совпадает с доказательством пред-
ложения 5.5.10 в [6].
Л е м м а 3. Отображение я продлевается до отображения л*: X ~
—v X , обладающего следующими свойствами:
1) оно взаимно однозначно отображает X на Х>
2) (X с z Y или Y cz X) О (я*Х cr n*Y или я*Y с= я*Х);
3) либо = (£, и л*Ж = Ж> либо п*(£ = Ж " =
Д о к а з а т е л ь с т в о . По лемме 7 из [4] и теореме из [2]
dim V0 (Р) + dim W° (Р) = dim V° (S) + dim W° (S) = k < 2.
Если k— 0, то X ( P ) = X (S) = X и утверждения данной леммы следуют
из леммы 2.
Пусть k = 1 и dim V0 (Р) = 0, a dim W° (Р) = 1 (случай dim V0 ( Р ) =
= 1 и dim (Р) = 0 рассматривается аналогично). По теореме из [2]
силовская /^-подгруппа Р имеет единственную максимальную нормальную
подгруппу N (а), состоящую только из трансвекций, где N (а) = N (а;
Р) = (т„,р | ( а ) = W0 (Р), р £ W (Р)) . Из теоремы о сохранении транс-
векций [4] следует, что f (N (а)) есть единственная максимальная нормаль-
ная подгруппа в S, состоящая только из трансвекций. Если dim W° (S) =
= 1 и dim (S) = 0, то / (N (a)) = N (ft) = N (ft; 5) , где <ft> = W° (S).
Для любой силовской под группы ££ (Р) — {множество пря-
мых, порожденных векторами из V (Р)}, а ЖФ)~ {множество гиперплос-
костей, порожденных функционалами из W(P)}. В рассматриваемом случае
(£{Р) = (£ (S) = а из п. 3 леммы 2 следует я (Р)) = (S), так как
я ((a)) — (b). Следовательно, я (Ж (Р)) = J£ (S).
Пусть р0 и ф0 — любые такие функционалы в W, что W = (W (Р), р0>=
=(W (S), ф0) (р0 (а)ф0, q0(fc)^=0). Тогда любой функционал v из ^ п р е д -
ставим в виде v = р + ар 0 для некоторого р 6 W (Р) и a £ F . Из леммы 2
следует, что существует ассоциированное с я взаимно однозначное отобра-
жение я ' : W (Р) -*• W (S). Продлим отображение я ' до отображения я*
функционалов на всем пространстве W следующим образом: положим
я" (v) = я ' (р) + аф0 и я " (К\) = Я,я* (v) для любых v 6 W и X £ F. По
взаимно однозначному отображению я " : W № строим отображение
я * : 95 по правилу я * ((v)°) = (я* (v))° для любой гиперплоскости
ISSN 0041-6053. Укр. мат. журн., 1990, т. 42. № 3 9* 419
(у)0 6 Отображение л* определено корректно, поскольку я* ((Ял>)°) =
= <я" (Ь)>° = (кл" (V))0 = (я" (V))0 = я* «V)0). На множестве прямы:
££ положим я* = я . Тогда согласно лемме 2 отображение я* : X
является искомым.
Если (1ш1 «7° (в) = 0 и сНт V0 (5) = 1 «ф> = Vе (3)), то (а)) =
N (ф; 5) — единственная максимальная нормальная подгруппа в о , состо
ящая только из трансвекций. Из п. 3 леммы 2 я (£6) = так как я ((а)) =
= (ф°>, & (Р) = £ и т (Я) = т. Тогда я (я? (/>)) = £ (5). Аналогично
предыдущему случаю строится взаимно однозначное отображение я ' : ЩР) -*•
->У(8 ) , ассоциированное с отображением я. Затем для вектора Ь 0£У с
условием <У(5), Ь0) = V и функционала р 0 6 ^ с условием (И?(Р), р0) = №
отображение я ' продлевается до взаимно однозначного отображения я " •
—*• V следующим образом: для любого V = р + аРо- где р £ № (Р), а а
положим я " (V) = я ' (р) + аЬ0 и я " (к\) = Ял" (у) для всех Я, £ По отоб
ражению я" : ЙР -> V строим отображение я* : ->• й? по правилу я* ((г>°) =
= <я" (V)) для любой гиперплоскости <у)° б 30. Отображение я* определе-
но корректно, поскольку я* ((Ял-)0) = я* ((V)0). На множестве прямых ££
положим я* = я. Тогда согласно лемме 2 отображение я* : 00-*-00 явля-
ется искомым.
Пусть к = 2. Тогда по теореме из [2] либо / (Ы (а)) = N (Ь) и / (Л̂ (р)) =
= N (ф), либо / (УУ (а)) = N (ф) и / (ЛГ (р)) = N (Ь), где # (а) и N (р) — две
максимальные нормальные подгруппы в Р, состоящие только из трансвек-
ций, N (Ь) и N (ф) — две максимальные нормальные подгруппы в 5, состоя-
щие только из трансвекций, (а) = №°(Р), <р> = V0 (Р). (Ь) = (5), (ф> =
= V0 (5). При этом либо я (Р)) = X (5) и я (30 (Р)) = ($). либо
я (Р)) = (Б) и я (9£(Р)) = ££(5). В обоих случаях я продлевается до
я * : Х ~ * - Х аналогично тому, как это было сделано выше при А = 1. Тогда
согласно лемме 2 отображение я* : Х~*~Х является искомым. Таким обра-
зом, лемма доказана.
Теперь доказывается (предложение 3.7 в [5]), что отображение я*
единственным образом можно продолжить до проективности либо проек-
тивного пространства V, если я* (££) = и я* (96) = либо проектив-
ного пространства V? на проективное пространство V, если я* (££) = Ж я
я* {§€) = А далее, используя основную теорему проективной геометрии
и в точности следуя [5], доказываем теорему об изоморфизме силовских
р-подгрупп из 53 (V).
Т е о р е м а . Пусть Р и 5 — изоморфные силовские р -подгруппы из
$ (V). Тогда существует сохраняющий трансвекции изоморфизм / : Р -*•
-*• Б, представимый в одной из двух форм: либо / (х) = ёх^1 для всех х 6 Р
для некоторой коллинеации £ пространства V, либо / (х) = /иЛ—1 для всех
х£ Р для некоторой коллинеации Н пространства № на пространство V.
Элемент а группы йЬ(У) будем называть дилатацией [6], если суще-
ствует такое разложение V — V ф (о), что а\ц = 1ц и ау= ау для некото-
рого а Ф О из Р. Поскольку О . (У„) порождается своими трансвекциями
00
и дилатациями для любого п, а йЬ (V) = Ы. (У„), где йЬ (Уп) с
л—1
сг ОЬ (Уп+О. то О. (V) также порождается своими трансвекциями и дила-
тациями. По построению (доказательство леммы 3) коллинеация £ из тео-
ремы обладает тем свойством, что = V и = = а для кол-
линеации Л — АН? = V и к~1У == ПР. Поэтому изоморфизм / из теоремы
является взаимно однозначным отображением как трансвекций, так и ди-
латаций группы а (К), причем из вида / следует сохранение всех соотно-
шений между трансвекциями и дилатациями в йЬ (У). Таким образом,
справедливо следствие.
С л е д с т в и е . Силовские р-подгруппы Р и Б из (10 изоморфны
тогда и только тогда, когда существует локально внутренний автомор.
физм Л группы йЬ (У), при котором АР = 5 .
З а м е ч а н и е . При доказательстве леммы 3 в случае X (Р) ¥*X и
X {3)ФХ выбирались функционалы р0, ф , ^ с условием (V? (Р), рв) =
420 НЯМ 0041-6053. Укр. мат. журн., 1990, т. 42, № 3
= (W (S), ф0) = W. Тогда справедливо следствие. Но существуют такие
функционалы р, <р€У', что р, <рQW, (W(Р), р) = U19 (W(S), <p) = Uv где
— тотальные подпространства в V\ Обозначим через Явг и д#2
множества гиперплоскостей относительно тотальных подпространств U1 и
U2 соответственно, X t = ^ U * = 1,2. Тогда имеет место аналог
леммы 3 для отображения п*: Х \ а значит, и аналог теоремы, где
h — коллинеация пространства U2 на У, л : GL (V) GL (U2) — контрагра-
диентный изоморфизм. При этом gV = V, a Wg""1 = K~lV = и2Ф
Ф W. Отсюда следует, что при dim V0 (Р) + dim W° (Р) Ф 0 существует
изоморфизм / : Р S, сохраняющий трансвекции, который не обязательно
индуцируется некоторым локально внутренним автоморфизмом группы
GL(V), поскольку, например, для трансвекции т а р gGL(V), где р0 = pg,
.Ро) = ёга,Pog 1 = tga,р является линейным преобразованием простран-
ства V, но не принадлежит GL(V).
1. Косман Е. Г. Построение силовских р-подгрупп ограниченной линейной группы// Укр.
мат. журн.— 1987.— 39, № 2.— С. 173—179.
2. Косман Е. / \ О геометрической характеризации силовских р-подгрупп ограниченной
линейной группы / / Там же.— 1988.— 40, ,№> 3.— С. 391—397.
Косман Е. О нормальном строении силовских р-подгрупп ограниченной линейной
группы // Там же.— 1989.— 41, № 10.— С. 1399—1403.
Косман Е. Г. Изоморфизмы силовских р-подгрупп ограниченной линейной группы. I. Со-
хранение трансвекпий / / Там же.— № 12.— С. 1649—1653.
. О Мира О. Т. Общая теория изоморфизмов линейных групп / / Изоморфизмы класси-
ческих групп над целостными кольцами.— М. : Мир, 1980.— С. 58—118.
6. О*Мира О. Т. Лекции о линейных группах / / Автоморфизмы классических групп. —М.:
Мир, 1976.—С. 57—167.
Ин-т ботаники АН УССР, Киев Получено 13.09.88
|