Об одной теореме вложения пространств вещественной интерполяции
Доказывается одна теорема вложения пространств вещественной интерполяции. Утверждение формулируется в терминах норм операторов растяжения.
Gespeichert in:
| Datum: | 1987 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1987
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/154009 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одной теореме вложения пространств вещественной интерполяции / Е.А. Павлов // Український математичний журнал. — 1987. — Т. 39, № 2. — С. 257–260. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-154009 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1540092019-06-15T01:30:32Z Об одной теореме вложения пространств вещественной интерполяции Павлов, Е.А. Статті Доказывается одна теорема вложения пространств вещественной интерполяции. Утверждение формулируется в терминах норм операторов растяжения. 1987 Article Об одной теореме вложения пространств вещественной интерполяции / Е.А. Павлов // Український математичний журнал. — 1987. — Т. 39, № 2. — С. 257–260. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/154009 513.881 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Павлов, Е.А. Об одной теореме вложения пространств вещественной интерполяции Український математичний журнал |
| description |
Доказывается одна теорема вложения пространств вещественной интерполяции. Утверждение формулируется в терминах норм операторов растяжения. |
| format |
Article |
| author |
Павлов, Е.А. |
| author_facet |
Павлов, Е.А. |
| author_sort |
Павлов, Е.А. |
| title |
Об одной теореме вложения пространств вещественной интерполяции |
| title_short |
Об одной теореме вложения пространств вещественной интерполяции |
| title_full |
Об одной теореме вложения пространств вещественной интерполяции |
| title_fullStr |
Об одной теореме вложения пространств вещественной интерполяции |
| title_full_unstemmed |
Об одной теореме вложения пространств вещественной интерполяции |
| title_sort |
об одной теореме вложения пространств вещественной интерполяции |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1987 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/154009 |
| citation_txt |
Об одной теореме вложения пространств вещественной интерполяции / Е.А. Павлов // Український математичний журнал. — 1987. — Т. 39, № 2. — С. 257–260. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT pavlovea obodnojteoremevloženiâprostranstvveŝestvennojinterpolâcii |
| first_indexed |
2025-07-14T05:28:27Z |
| last_indexed |
2025-07-14T05:28:27Z |
| _version_ |
1837598955585667072 |
| fulltext |
УДК 513.861
Е. А. ПАВЛОВ
Об одной теореме вложения пространств
вещественной интерполяции
Теоремы вложения играют важную роль в теории интерполяционных
пространств (см. [1, 2]), в частности пространств, построенных по К мето-
ду. В данной работе приведены некоторые теоремы вложения для банахо-
вых пространств измеримых функций.
Пусть Ад, Ах — два банаховых пространства измеримых функций, опре-
деленных на (0, оо). Тогда Кл0,Аг (<* = inf (|| х0 \\А + t1| х^ Ц, ), t > О, х=х0+х1
0 1
при фиксированном х есть положительная возрастающая и вогнутая функ-
ция, определенная на полуоси (0, + оо) (см. [2, с. 5'5]).
Если .Е —некоторое банахово пространство измеримых функций f(f),
t£(0, оо), то через (Л0, Л х ) | обозначается банахово пространство измери-
мых функций таких, что iAi)k = \\КА ж (<»*) ||£. ' Е '
Интересно выяснить условия, которым должна удовлетворять пара
функциональных пространств Е и F, при выполнении которых справедли-
во вложение (А0, Ajfc с : (А0, .
В работе [3] это условие сформулировано в терминах интегрального
оператора ^
(Lf) ( t )= § min (1, t/s) f(s)ds/s, >
о
а именно, если оператор L ограниченно действует из Е в F, то справед-
ливо вложение (Л0, jt : l$| с : (Л0, A^)k
p.
При формулировке теорем вложения более удобно достаточные усло-
вия давать в терминах характеристик самих пространств Е и F. Решению
этого вопроса и посвящена настоящая статья, дополняющая [3]. Обозна-
чим через Е (СО, оо); dt/t) банахово пространство функций, определенных на
(О, оо) и измеримых по мере Хаара, Ei ((О, оо); dtH) — двойственное (дуаль-
ное) к пространству Е ((0, оо); dt/t). Функция Х е (t) определяется равен-
ством
ГО, если t$e\
1.1, если t£e.
Оператор подобного растяжения at задается равенством atx (s) — х (s'/t).
Т е о р е м а 1. Пусть максимальное идеальное пространство Е((0, оо);
dt/t) таково, что .
1) ot:E-yE-,
2) X[o,i] № + 1/ЙС[1,ос) т € Е1 ((0, оо); dt/t);
3) |] ° l / t ||£ ((0, оо); dt/t) е F ((0, оо); dt/t):
Тогда справедливо вложение (А0, А Ж cz (А0, .
Укр. мат. журн., 1987, т, 39, №2 9-6-1057 '257
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
(Lf) (t) = J min (1, t/s) f (s) ds/s = J / (s) ds/s + J t/sf (s) dsjs.
0 о t
Сделаем замену переменной s = tx. Имеем
( L f ) (t) = J f (tx) dx/x + J f (tx) dx/x\ (1)
0 1
Рассмотрим два вспомогательных оператора
i ™
(LJ) (t) = J f (tx) dx/x; (LJ) (t) = J / (tx) dx/x\
о 1
Для оператора Lx получаем
(LJ) (t) = ]f(tx)%L0,l}(x)dx/x<^
0
^ II ° l / t 1 | я ( ( 0 , о о ) ; й / / ) II f 1 | в ( ( 0 , о о ) ; Л Л ) H % [ 0 , 1 ] Н я 1 ( ( 0 , ° ° ) ; < З Д =
= II CTi/f HsC(0,oo);rff/0 II /
для. оператора L2 —
(LJ) (t) = ]f(tx)%[hoo)(x)Vxdx/x^
0
^ II ° l / t 1 1 в ( ( 0 , о о ) ; й / 0 II f I U ( ( 0 , C O у м / t ) II % [ l , o o ) ( 1 Г ) ^ I i s 1 =
= C21] al/t \\E(Spiao).di/t) II f \\E((o,ooy,dt/ty (3)
Из соотношений (1) — (3), используя обобщенное неравенство Гельдера [IJ
и условие 2 теоремы 1, находим
|| Lf = I J / (tx) dx/x + J f (tx) dx/x2 <||j/(tx) dx/x +
0 1 0
+ I J f (tx) dx/x* ||F < Cx II II oui ||B II / ||B + c2 II II a1A ||B||F II / ||B <
< Я К / * Ш 1 Л 1 В - (4)
Теперь достаточно воспользоваться теоремой 1 из [3]. Теорема доказана.
Т е о р е м а 2. Пусть р ^ q. Тогда оператор .<
T e f ( t ) = ]g(t/s)f(s)ds/s (5)
о
ограниченно действует из Я/.р>* х
Д о к а з а т е л ь с т в о . Получаем
I Tgf (t) К ||g- (t/s) ||„ Ц / | | 0 , < С || g\\о || f Но., (6)
где G — интерполяционное между и пространство [1]. Аналогично
с помощью неравенства Минковского имеем
оо
II т у (0 Но < J II S № l|G | / (S)I ds/s < С II g ||g II / (7)
n
Итак, при фиксированном g£G
Tg:G^^ос,.. Tg:£u,->G. (8)
•258 Укр. мат. журя.,- 1987, т. 39, № 2
Далее, применяя теорему 8.2 из [1], несложно показать, что оператор Tg
с фиксированным ядром G£G (в качестве EQ м о ж н о в з я т ь пространство
Мардинкевича с соответствующей фундаментальной функцией) ограниченно
действует из в ££(?,/>),., где
II 2 Ыы-Щ Р (AT lbv«o
оо оо
- (J [[z (е')]** t1/vf dt/tV/p > С ( J | z (е{) Г dt)1/q =
О —оо
= С ( J | Z ( Q \ q d t l t y ' 4 = С | | Z \ \ g q , * , ( 9 )
6
Неравенство (5) означает вложение
с= (10)
Учитывая ограниченность Tg из в s£(<7,p),*, получаем
II №/)(9 11*».*. < С || Г 6 min ( l , f ) |1 Г 0 / ( 0 ( 1 1 )
Итак, оператор L ограниченно действует из (Г* ) в е). Тео-
рема доказана.
С л е д с т в и е 1. Справедливо вложение
(А„, сг (Л0, с (А0, AtW. (12)
З а м е ч а н и е 1. Через обозначено пространство £?р((0, оо);
<Й» 14«
З а м е ч а н и е 2. Утверждение следствия 2 более сильное, чем теоре-
ма Лионса и Петре о вложении (Л0, Аг)в,р а (Л0, Л^е,, (см. [1,3]).
Т е о р е м а 3. Пусть симметричное пространство Е((0, оо); dt) тако-
во, что выполняется неравенство || о1/{ ||£ || at ||Б ^ С <; оо. Тогда справед-
ливо вложение
Л|Ме «= е с М\Щ\в- (1 3)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Учитывая неравенство I I 0 * Ф £ ( t ) , получаем
Далее имеем
1 ' 1
SUP И0!НвТ \x*(s)ds= sup | |a t | | £ [x*(st)ds^
< sup II crt ||£ || X* (St) ||£ I I Ч (8) < (15)
< С sup || a t ||£ || в ЦБ || x ||в < Cx \\ x J|£. O^t^a
Итак, справедливо вложение
Е а (16)
Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 3. Доказанная теорема полезна при использовании ин-
терполяционных теорем, в которых условия на фундаментальные функции
заменены условиями на операторы растяжения [1].
С л е д с т в и е 2. Если Е — интерполяционное между ££х((0, a); dt)
и ((0, a); dt) пространство типа а , то справедливо вложение
л И ^ П е < = Е < = М Ш \ Е -
Д о к а з а т е л ь с т в о . Вложение Л ) № | | г с : Е справедливо, так как в
силу интерполяционное™ Е пространство Е симметрично [1] и, следова-
тельно, в Е ограниченно действует оператор a t . Теперь достаточно вос-
пользоваться теоремой 3.
Укр. мат. журн., 1987, т. 39, Л® 2 259
: Покажем справедливость вложения Ecz Щщ\Е- Так как Е. — интерпо-
ляционное пространство типа а, то справедливо равенство [1] || o t = t .
Следовательно, || <J1/t \\Б || o t \\Е = 1.
1. Крейн С. Г.у Петунин Ю. И., Семенов'Е. М. Интерполяция линейных операторов.— М.:
Наука, 1978.— 400 с.
2. Берг И., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства.— М. : Мир, 1980.— 264 с.
З'. Берколайко М. 3., Дмитриев В. И. Несколько замечаний о вложениях пространств ве-
щественной интерполяции// Укр. мат. журн.— 1981.— 33, № 5.— С. 89—95.
4. Канторович J1. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— М. : Наука, 1977.— 700 с,
5. Павлов Е. А. Об операторах, инвариантных относительно сдвига в симметричных простран-
ствах// Си б. мат. журн.— 1977.— 18, № 1,— С. 112—117.
Вороши л овгр. машиностроит. ин-т Получено 27.02.83,
после доработки — 24.03.£6
|