О работах В. Н. Кошлякова в области механики и ее приложений

Наведено огляд основних результатів, одержаних В. М. Кошляковим в галузі аналітичної механіки, динаміки твердого тіла та прикладної теорії гіроскопів.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	1997
Автори:	Калинович, В.Н., Митропольский, Ю.А., Онищенко, С.М., Полищук, А.Н., Самойленко, А.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 1997
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/157326
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О работах В. Н. Кошлякова в области механики и ее приложений / В.Н. Калинович, Ю.А. Митропольский, С.М. Онищенко, А.Н. Полищук, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 1997. — Т. 49, № 10. — С. 1444–1453. — Бібліогр.: 42 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-157326
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1573262019-06-30T21:13:58Z О работах В. Н. Кошлякова в области механики и ее приложений Калинович, В.Н. Митропольский, Ю.А. Онищенко, С.М. Полищук, А.Н. Самойленко, А.М. Статті Наведено огляд основних результатів, одержаних В. М. Кошляковим в галузі аналітичної механіки, динаміки твердого тіла та прикладної теорії гіроскопів. We present a survey of the principal results obtained by V. N. Koshlyakov in analytical mechanics, dynamics of solids, and applied theory of gyroscopes. 1997 Article О работах В. Н. Кошлякова в области механики и ее приложений / В.Н. Калинович, Ю.А. Митропольский, С.М. Онищенко, А.Н. Полищук, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 1997. — Т. 49, № 10. — С. 1444–1453. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/157326 351.383 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Калинович, В.Н. Митропольский, Ю.А. Онищенко, С.М. Полищук, А.Н. Самойленко, А.М. О работах В. Н. Кошлякова в области механики и ее приложений Український математичний журнал
description	Наведено огляд основних результатів, одержаних В. М. Кошляковим в галузі аналітичної механіки, динаміки твердого тіла та прикладної теорії гіроскопів.
format	Article
author	Калинович, В.Н. Митропольский, Ю.А. Онищенко, С.М. Полищук, А.Н. Самойленко, А.М.
author_facet	Калинович, В.Н. Митропольский, Ю.А. Онищенко, С.М. Полищук, А.Н. Самойленко, А.М.
author_sort	Калинович, В.Н.
title	О работах В. Н. Кошлякова в области механики и ее приложений
title_short	О работах В. Н. Кошлякова в области механики и ее приложений
title_full	О работах В. Н. Кошлякова в области механики и ее приложений
title_fullStr	О работах В. Н. Кошлякова в области механики и ее приложений
title_full_unstemmed	О работах В. Н. Кошлякова в области механики и ее приложений
title_sort	о работах в. н. кошлякова в области механики и ее приложений
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	1997
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/157326
citation_txt	О работах В. Н. Кошлякова в области механики и ее приложений / В.Н. Калинович, Ю.А. Митропольский, С.М. Онищенко, А.Н. Полищук, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 1997. — Т. 49, № 10. — С. 1444–1453. — Бібліогр.: 42 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT kalinovičvn orabotahvnkošlâkovavoblastimehanikiieepriloženij AT mitropolʹskijûa orabotahvnkošlâkovavoblastimehanikiieepriloženij AT oniŝenkosm orabotahvnkošlâkovavoblastimehanikiieepriloženij AT poliŝukan orabotahvnkošlâkovavoblastimehanikiieepriloženij AT samojlenkoam orabotahvnkošlâkovavoblastimehanikiieepriloženij
first_indexed	2025-07-14T09:46:19Z
last_indexed	2025-07-14T09:46:19Z
_version_	1837615158401171456
fulltext	УДК 531.383 Ю. А. Митропольский, А. М. Самойленко, В. Н. Калинович, С. М . О н и щ е н к о , А. Н . П о л и щ у к (Ин-т математики HAH Украины, Киев) О РАБОТАХ В. Н. КОШЛЯКОВА В ОБЛАСТИ МЕХАНИКИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЙ We present a review of principal results obtained by V. N. Koshlyakov in analytical mechanics, dynamics of a solid body, and in applied theory of gyroscopes. Наведено огляд основних результатів, одержаних В. М. Кошляковим п галузі аналітичної ме- ханіки, динаміки твердого тіла та прикладної теорії гіроскопів. Владимир Николаевич Кошляков — выдающийся ученый в области приклад- ной теории гироскопов, динамики твердого тела и аналитической механики. Его научные труды внесли существенный вклад в развитие прикладных методов математики, в теорию динамических систем и аналитическую механику. В его исследованиях весьма удачно сочетаются строгий аналитический подход к рас- сматриваемым проблемам и' четкое понимание практических аспектов прило- жения теоретических результатов к конкретным разработкам. Еще студентом Ленинградского института точной механики и оптики В. Н. Кошляков избрал теорию гироскопов своей будущей научной специаль- ностью. Его первым учителем в этой области механики был профессор Д. Р. Меркин, под руководством которого он написал и успешно защитил в 1951 г. кандидатскую диссертацию о девиациях гировертикалей при переменной скорости собственного вращения ротора гироскопа. В этой работе, основные положения которой опубликованы в [1], автор свел исходные дифференциаль- ные уравнения движения гироскопической вертикали к эквивалентной форме двух интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно углов, определяющих положение оси ротора гировертикали в пространстве. Эти уравнения оказались весьма удобными для последующей оценки точности гиро- вертикали при различных законах изменения угловой скорости собственного вращения гироскопа. В ленинградский период жизни В. Н. Кошляков написал вышедшую в 1953 г. работу [2], на которую специалисты ссылаются до сих пор. Она посвя- щена интегрированию динамических уравнений Эйлера, описывающих движе- ние уравновешенного несимметричного тела в сопротивляющейся среде, и является обобщением результатов, полученных в 30-х годах Ю. А. Крутковым при исследовании броуновского движения частиц с осевой симметрией. Применяя метод малого параметра, автор получил в явном виде условие, при выполнении которого влияние несимметричности тела на его движение оказы- вается незначительным. В случае симметричного тела для анализа уравнений его движения был удачно использован аппарат функций Бесселя и Уиттекера. При больших значениях угловой скорости собственного вращения тела со- противление среды можно считать пропорциональным квадрату этой скорости, что при определенных условиях приводит исходную задачу к уравнению Здесь ,у и т — некоторые постоянные. Его решение имеет вид где © Ю. А. МИТРОПОЛЬСКИЙ, А. М. САМОЙЛЕНКО, В. Н. КАЛИНОВИЧ, С. М. ОНИЩЕНКО, А. Н. ПОЛИЩУК, 1997 1444 ISSN 0041-6053. Укр. мат. журн., 1997, т. 49, № 11 О РАБОТАХ В. Н. КОШЛЯКОВА В ОБЛАСТИ МЕХАНИКИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЙ 1445 — функция Уиттекера, которая содержит вырожденный гипергеометрический ряд і Fi (а, у, х). Показано, что для других законов сопротивления среды решение уравнений Эйлера может выражаться через функции Бесселя различных порядков. В 1952 г. В. Н. Кошляков переезжает в Москву, где поступает на работу в один из ведущих научно-исследовательских институтов Минсудпрома СССР на должность старшего научного сотрудника лаборатории гироскопических ком- пасов. Научным консультантом этого института в то время был А. Ю. Ишлинс- кий. Он руководил научным семинаром, в работе которого Владимир Никола- евич стал принимать деятельное участие. Долголетнее научное общение с A. Ю. Ишлинским положительно повлияло на научную квалификацию B. Н. Кошлякова. В этот период Владимир Николаевич задумал и осуществил основные научные исследования в области теории гироскопических компасов, обобщенные впоследствии в монографии [3], в которой ярко проявилось прису- щее ему умение просто писать о сложных вещах. Эта монография и в нас- тоящее время является настольной книгой для специалистов в области гиро- скопических компасов. Помимо интенсивной научной деятельности В. Н. Кошляков в те годы ак- тивно участвовал в корабельных испытаниях различных систем гироскопи- ческих компасов в Черном, Балтийском, Баренцевом и Карском морях, был участником высокоширотной экспедиции, проводившей работу в районах Новой Земли и архипелага Франца - Иосифа. Среди научных результатов, полученных ученым в то время, отметим дос- таточно общую форму дифференциальных уравнений движения двухроторного гирокомпаса, заключающую в себе, как частный случай, уравнения, предло- женные в 1933-1934 гг. немецким ученым И. Геккелером. Теория Геккелера основывается на ряде допущений, требующих надлежащего обоснования. Ос- новное из них состоит в априорном разделении системы уравнений возму- щенного движения гирокомпаса на две независимые группы дифференциаль- ных уравнений с постоянными коэффициентами. В. Н. Кошляков получил следующую систему уравнений движения двухро- торного непространственного гирокомпаса: (1) свободную от указанных допущений. Здесь v и р — частоты главных колеба- ний прибора при отсутствии параметрического возмущения, а функция 0 = 9 (f) в общем случае зависит от обстоятельств движения точки подвеса чувстви- тельного элемента компаса по поверхности Земли. Уравнения Геккелера полу- чаются из системы (1), если положить в ней 8 = 0. Из уравнений (1) извлекаются результаты, которые принципиально нельзя получить, исходя из приближенных уравнений Геккелера. Примером может служить проведенный В. Н. Кошляковым анализ поведения гирокомпаса в слу- чае специального маневрирования корабля, когда 0 в уравнениях (1) изменя- ется по периодическому закону. Используя разложения Фурье - Неймана, а также преобразование вращения,' он получает уравнения вида (2) где (3) ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997, т. 49, N° 11 1446 Ю. А. МИТРОПОЛЬСКИЙ, А. М. САМОЙЛЕНКО, В. Н. КАЛИНОВИЧ И ДР. В (3) через ]0(2(х) обозначена функция Бесселя с нулевым индексом, \|Х — безразмерный малый параметр, определяемый условиями маневра корабля. Сопоставление решений уравнений (2) с данными интегрирования на ЭВМ системы (1) свидетельствует о высокой точности результатов, доставляемых уравнениями (2) по сравнению с уравнениями Геккелера. В частности, из (2) следует, что при неблагоприятной комбинации начальных отклонений чувстви- тельного элемента гирокомпаса перед маневром может иметь место нежела- тельная раскачка гирокомпаса на конечном промежутке времени. Отметим также важные для приложений исследования В. Н. Котлякова не- возмущаемых по Шулеру гиромаятниковых систем. С помощью инварианта Пу- анкаре он построил явные подстановки, приводящие их уравнения к системам с постоянными коэффициентами, а при более общих условиях — к системам, имеющим стандартную форму. Эта форма, как известно, допускает строгую процедуру усреднения по явно входящему времени, что, естественно, упрощает дальнейший анализ и, в частности, исследование устойчивости движения. Представив уравнения пространственного компаса, полученные в 1956 г. А. Ю. Ишлинским, в форме уравнений Пуанкаре д2Н д2Н э 2Н д2Н X, - ^ х 2 + дх2дх4 4' Х3 Т-24 дх4 дх4дх2 д2Н Э 2Н Э2Я э 2Я 2 ~ 3' Х4 - —2*3 дхъ Эх^Эх^ В. Н. Кошляков получил явную форму инварианта Пуанкаре, составленного из частных решений xs,x's,s= 1,4, системы (4): I = xtx2 - х2х\ + х4^з - х3х\ = const. (5) Вытекающее из структуры инварианта (5) ортогональное преобразование Ляпу- нова y = Lx приводит уравнения (4) к весьма простому виду Й = v>"2> Уг = Уъ = - ^ 4 . 34 = v;><3, (6) где V — круговая частота незатухающих колебаний, соответствующая периоду М. Шулера Tv = 2пл] R/g (здесь R — радиус земной сферы, g — ускорение силы тяжести). В 50-60-х годах Владимир Николаевич исследовал новые источники пог- решностей гирокомпасов маятникового типа, порождаемые различного рода возмущающими факторами, и указал пути их устранения или минимизации. Эти исследования были внедрены в практику проектирования и эксплуатации гирокомпасов типа „Курс", „Маяк" и их модификаций. Большой цикл работ В. Н. Кошлякова посвящен анализу устойчивости дви- жения гироскопических компасов [4 - 13]. Он указал на необходимость реали- зации в схемных решениях систем курсоуказания определенного запаса устой- чивости, обеспечивающего стабильность и надежность показаний прибора в случае маневрирования корабля; решил задачу устойчивости движения гиро- компаса при периодическом маневрировании; показал, что при определенных условиях имеет место параметрическая раскачка маятникового гирокомпаса на конечном интервале времени, а иногда и неустойчивость движения по Ляпу- нову; указал пути устранения в схемных решениях параметрической раскачки колебаний. Расчетные алгоритмы, полученные ученым для анализа устойчи- вости движения гирокомпасов, учитывались при проектировании современных средств курсоуказания. В связи с этим отметим полученные В. Н. Кошляковым с помощью прямого метода Ляпунова условия устойчивости движения пространственного гирогоризонткомпаса. Предполагая установку этого прибора на маневрирующем объекте и учи- тывая малые силы диссипации, всегда присутствующие в реальной системе, ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., J 997, т. 49, № 11 О РАБОТАХ В. Н. КОШЛЯКОВА В ОБЛАСТИ МЕХАНИКИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЙ 1447 Владимир Николаевич удачно строит функции Ляпунова и Четаева примени- тельно к уравнениям возмущенного движения гирогоризонткомпаса и получает весьма простые критерии устойчивости (неустойчивости). Так, при условии где 0. = Q(t) — проекция абсолютной угловой скорости гирогоризонткомпаса на геоцентрическую вертикаль, имеет место неустойчивость исследуемого при- бора. В начале 70-х годов в промышленности была начата разработка гироско- пических курсоуказателей — приборов следующего поколения по сравнению с двухроторными гирокомпасами маятникового типа. Эти курсоуказатели, назы- ваемые корректируемыми, отличаются общим свойством: с помощью специаль- ных устройств управления и коррекции, использующих информацию от специ- альных высокочувствительных индикаторов горизонта, они моделируют геогра- фический трехгранник. При отключении коррекции прибор приобретает свойс- тва гироазимута, что представляет определенное удобство при его эксплуата- ции в высоких широтах. Анализируя различные схемы корректируемых гирокомпасных устройств, построенных на управляемом и корректируемом астатическом гироскопе, и со- поставляя их с традиционными автономными маятниковыми гироскопами, В. Н. Кошляков пришел к выводу о безусловной перспективности направления кор- ректируемых и управляемых систем курсоуказания. Владимир Николаевич с самого начала занял активную позицию в отно- шении быстрейшего освоения промышленностью корректируемых курсоуказа- телей и их внедрения на корабли различных типов. В этот период отдел механики и процессов управления Института мате- матики АН Украины, руководимый В. Н. Кошляковым, систематически участ- вует в хоздоговорных работах по тематике корректируемых гирокомпасов. От- метим работу [14], написанную ученым в соавторстве со своими сотрудниками В. П. Василенко и А. Н. Кострицей. В ней построена уточненная математи- ческая модель двухрежимного корректируемого курсоуказателя с жидкостно- торсионным подвесом чувствительного элемента, нашедшая применение в про- мышленных разработках, и получены эффективные алгоритмы оценки погреш- ностей корректируемого гирокомпаса применительно к различным условиям его эксплуатации. Существенными оказались также результаты, свидетельст- вующие о весьма значительном запасе устойчивости прибора, установленного на маневрирующем объекте. Этот вывод был впоследствии подтвержден данными натурных испытаний отечественных навигационных систем и результатами ра- бот ряда зарубежных фирм. Своими исследованиями В. Н. Кошляков внес фундаментальный вклад в развитие теории двухроторных гироскопических компасов маятникового типа и корректируемых однороторных астатических курсоуказателей с жидкостно- торсионным подвесом чувствительного элемента. Полученные им результаты, внедренные в теорию и практику отечественного навигационного гироскопичес- кого приборостроения, способствовали повышению точности и надежности ря- да серийно выпускаемых прецизионных навигационных систем и по праву сде- лали его ведущим специалистом страны в области теории гироскопических компасов. За этот цикл исследований Владимир Николаевич был удостоен в 1976 г. Государственной премии СССР. В 1978 г. В. Н. Кошляков переезжает на постоянное место жительства в Киев. Благоприятные условия для научной работы в Институте математики АН Украины дали ему возможность не только обобщить полученные к тому времени результаты исследований в монографии [15], но и заняться давно интересующей его проблемой — применением аппарата кватернионов (в част- ности, параметров Родрига - Гамильтона) в теории гироскопов и в аналити- ческой механике. ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997, т. 49, N° 11 1448 Ю. А. МИТРОПОЛЬСКИЙ, А. М. САМОЙЛЕНКО, В. Н. КАЛИНОВИЧ И ДР. Первая публикация В. Н. Кошлякова по этому направлению относится к 1964 г. В статье [16] доказывается эквивалентность основной задачи инерци- альной навигации (состоящей в определении координат местонахождения объекта) классической задаче Дарбу определения положения тела, вращаю- щегося вокруг неподвижной точки, по его угловой скорости. Один из вариантов автономного решения основной задачи инерциальной навигации может быть реализован с помощью гиростабилизированной плат- формы, управляемой специально формируемыми моментами, прикладываемыми к гироскопам. Соответствующие этой задаче кинематические уравнения были получены в 1959 г. А. Ю. Ишлинским в виде (7) где и — угловая скорость вращения Земли, (р и X — соответственно геогра- фическая широта и долгота места, Ф— угол, определяющий ориентацию гиро- стабилизированной платформы в плоскости, касательной к земной сфере. Про- екции р, д, г угловой скорости платформы на ее собственные оси следует счи- тать известными функциями времени г. В работе [16] указана подстановка (8) приводящая уравнения (7) к виду у э т О э т с р ' + бсозср' = р, у з т б с о з ф ' - б э т с р ' = д, \\|/со58 + ф' = г. (9) Система (9) по своей структуре совпадает с известными кинематическими уравнениями Эйлера, описывающими вращение твердого тела вокруг непод- вижной точки. При этом переменные (8) аналогичны углам Эйлера, однозначно определяющим положение тела в пространстве. Таким образом, при известных р, д и г задача интегрирования уравнений (7) эквивалентна задаче определения положения тела по его угловой скорости — задаче Дарбу. Однако решение системы (7) связано с определенными неудобствами: ее не- линейностью и наличием особенностей в точках (р = ± я / 2 , соответствующих Северному и Южному полюсам Земли. Указанные неудобства устраняются переходом к параметрам Родрига — Гамильтона А.,., .у = 0,3. Полагая в (9) (Ю) и добавляя к полученным уравнениям продифференцированное по г условие нормировки (И) параметров Родрига - Гамильтона, получаем в отличие от (9) линейную диффе- ренциальную систему вида Линейная структура системы (12), не содержащая особенностей и тригоно- метрических функций, значительно упрощает ее аналитическое исследование и ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., J 997, т. 49, № 11 О РАБОТАХ В. Н. КОШЛЯКОВА В ОБЛАСТИ МЕХАНИКИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЙ 1449 численное интегрирование по сравнению с системой (9) и соответствующей ей системой (7). Об этом свидетельствует имеющееся к настоящему времени большое число публикаций, в которых аппарат параметров Родрига — Гамиль- тона применяется в кинематических задачах, в частности, в алгоритмах бес- платформенных систем инерциальной навигации и в задачах ориентации косми- ческих объектов. В связи с этим естественна постановка вопроса: не имеют ли указанных вы- ше положительных свойств уравнения, описывающие динамику материальных систем в параметрах Родрига - Гамильтона ? Этой проблеме посвящен после- дующий цикл фундаментальных исследований В. Н. Кошлякова. Интересна в этом плане работа [17], написанная в 1965 г. В ней помимо обобщения матричного уравнения (12) на случай неинерциальности опорного трехгранника показано, что выписанным в конечных углах уравнениям прецес- сионного движения гиромаятника на неподвижном основании эквивалентна линейная система дифференциальных уравнений в параметрах Родрига - Га- мильтона. Эта система интегрируется в конечном виде. Следует отметить также публикацию [18], в которой уравнения прецессион- ного движения пространственного гирокомпаса в параметрах Родрига - Гамиль- тона приводятся для случая произвольного движения точки подвеса к форме где через Xs, s = 0,3, обозначены некоторые линейные комбинации величин XS ,XS и Xs. Исследуется класс точных решений системы (14) в конечных углах, определяющих пространственное положение чувствительного элемента в случае А^ = 0, s = 0,3. В результате задача приводится к линейным диффе- ренциальным уравнениям относительно параметров Родрига — Гамильтона, ин- тегрирующимся в замкнутом виде. Аппарат параметров Родрига - Гамильтона оказывается полезным аналити- ческим средством для выявления слабо выраженных эффектов неустойчивости в динамических системах, в частности эффекта Магнуса применительно к гироскопу в кардановом подвесе [19-21] . Эффект Магнуса обусловлен влиянием вибрационных колебаний, порож- даемых нутацией главной оси ротора гироскопа, подвешенного в кардановом подвесе. Такие колебания возникают при воздействии ударного импульса на любое из двух колец подвеса. Рассматриваемый эффект в конечном счете при- водит к систематическому уходу внешнего кольца. Основополагающее исследование Магнуса базируется на применении метода последовательных приближений к системе нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение гироскопа в традиционных угловых пе- ременных. Формула ухода внешнего кольца подвеса была получена Магнусом в результате построения второго приближения без анализа сходимости итераци- онного процесса и оценки точности приближенного результата. Исследования ряда авторов подтвердили, тем не менее, правильность результата Магнуса. В работах [19 -21 ] В. Н. Кошляков впервые рассматривает задачу Магнуса с привлечением аппарата параметров Родрига — Гамильтона. Этот аппарат позво- ляет обойтись решениями линейной дифференциальной системы уравнений, выписанных в возмущенных значениях параметров Родрига — Гамильтона, без формального рассмотрения второго приближения. Кроме того, он дает воз- можность провести строгую оценку точности полученного таким способом ре- зультата, а также рассмотреть случай совмещения оси ротора с осью внешнего кольца, что не удается сделать в традиционных угловых переменных в формуле Магнуса. Оперируя двумя динамическими и двумя кинематическими уравнениями воз- мущенного движения гироскопа в кардановом подвесе, записанными в пара- метрах Родрига - Гамильтона, автор получает формулу [21] ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997, т. 49. №11 1450 Ю. А. МИТРОПОЛЬСКИЙ, А. М. САМОЙЛЕНКО, В. Н. КАЛИНОВИЧ И ДР. где \у(0) — начальное значение собственной угловой скорости внешнего коль- ца; V — круговая частота нутационных колебаний оси ротора гироскопа; 1(0) — суммарный момент инерции системы относительно оси вращения внешнего кольца; Я — собственный кинетический момент ротора гироскопа; тЭ-(О) — на- чальное значение угла, определяющего ориентацию оси ротора гироскопа отно- сительно оси внешнего кольца его карданова подвеса. Выражение (15) можно рассматривать в качестве обобщения формулы Маг- нуса. При совмещении оси ротора с осью внешнего кольца происходит потеря ги- роскопической стабилизации. Действительно, если в формуле (15) положить тЭ-(О) = 0, то после интегрирования будем иметь у (0 = \}/(0)?. Большой цикл работ В. Н. Кошлякова посвящен применению параметров Родрига - Гамильтона и Кэйли - Клейна в динамике твердого тела, вращающе- гося вокруг неподвижной точки [22-38] . К динамическим уравнениям Эйлера для этого случая движения тела, вы- раженным в функциях параметров Родрига - Гамильтона, добавляется уравне- ние, получаемое двухкратным дифференцированием условия (11) нормировки параметров . В результате В. Н. Кошляков получает матричное уравнение вида [22] (16) в котором А, В, С — моменты инерции тела относительно связанных с ним главных осей инерции х,у, г с началом в неподвижной точке, а матрица <2, имеющая существенно нелинейную структуру, представляется в виде Здесь причем М х, Му, М г — проекции на соответствующие оси главного момента сил, действующих на тело; р, г — проекции на те же оси вектора его абсо- лютной угловой скорости. Как нетрудно заметить, из матрицы (17), если записать ее в виде всегда можно выделить кососимметричную матрицу <2», аналогичную матрице (13) в кинематических уравнениях (12) (здесь £ 4 — единичная матрица четвер- того порядка). Существенно, что такие структуры имеют место и в уравнениях возмущенного движения, соответствующих (16). При определенных условиях кососимметричные структуры могут способствовать возникновению неустойчи- вых состояний. Указанное обстоятельство в сочетании с высоким порядком матрицы <2 в отношении величин и в некоторых случаях дает возмож- ность выявить эффекты неустойчивости уже в первом, линейном приближении уравнений возмущенного движения, соответствующих (16). Использование же ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., J 997, т. 49, № 11 О РАБОТАХ В. Н. КОШЛЯКОВА В ОБЛАСТИ МЕХАНИКИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЙ 1451 других методов, основывающихся, в частности, на уравнениях Эйлера - Пуас- сона, в задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки (при игнорировании сопротивлений) требует соответствующего учета членов второго и высшего порядков. Отметим цикл работ В. Н. Кошлякова, посвященных применению аппарата параметров Еодрига - Гамильтона к исследованию вращения тяжелого тела около вертикали [30, 33, 34, 36, 38]. В этом плане наибольший интерес представляет рассмотренный автором общий случай произвольного распределения массы тела в предположении, что его центр тяжести не лежит на оси собственного вращения, а имеет коорди- наты хс, ус и zc в осях связанного трехгранника xyz. Применительно к этому случаю В. Н. Кошляков строит некоторое точное частное решение уравнения (16), соответствующее невозмущенному движению тела, и показывает, что если А ^ В и центр масс не лежит в одной из главных плоскостей инерции zx или yz, то имеет место эффект неустойчивости, выра- жающийся в медленном возрастании угла нутации Ф и соответствующем от- клонении оси собственного вращения тела от вертикали. Можно заметить, что этот эффект имеет известную общность с эффектом диффузии Арнольда в теории гамильтоновых систем, состоящим при определенных условиях в мед- ленной эволюции переменных действия. Полученным Владимиром Николаевичем новым формам уравнений клас- сической задачи о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точ- ки свойственны единая структура, равноправно охватывающая все неизвестные, а также отсутствие в этих уравнениях особенностей. Весьма существенно, что они позволяют в силу нелинейной и неканонической связи параметров Родрига - Гамильтона с углами Эйлера учитывать уже в первом линейном приближении обстоятельства, которые при использовании переменных Эйлера - Пуассона в ряде случаев требуют учета членов второго и высшего измерений. Эти результаты были обобщены в монографии [39], отмеченной в 1987 г. премией им. Н. М. Крылова Академии наук Украины. Среди исследований, выполненных ученым в последние годы, весьма интере- сен общий результат, относящийся к структурным преобразованиям динамичес- ких систем, содержащим гироскопические члены [40]. Наличие гироскопических структур в уравнениях движения механических систем в ряде случаев существенно затрудняет их аналитическое исследование, часто препятствуя, например, непосредственному использованию в них метода усреднения. В. Н. Кошляков предложил общую методику, позволяющую, не изменяя условий устойчивости и стабилизирующих свойств, присущих гироскопическим структурам, видоизменять их уравнения так, чтобы после преобразования они не содержали гироскопических членов. В основу положено уравнение вида a0x + Dx + Hx + Tlx + Px = X(t,x,x), (19) где х — n-мерный вектор, а о — некоторый положительный постоянный ска- лярный параметр, D и П — симметричные матрицы размера пХ п, Н и Р — кососимметричные матрицы того же размера, X(t, х, х) — вектор-функция, со- держащая х и х в степенях выше первой. Уравнением (19) описывается дви- жение многих материальных систем, находящихся под действием диссипатив- ных, гироскопических, потенциальных и неконсервативных позиционных сил. Уравнение (19) подвергается линейному неособому преобразованию к неко- торой новой переменной £ = L x (20) с матрицей L = L(t), подлежащей определению. В результате получается уравнение относительно вектора приводящееся к виду ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997, т. 49, N° 11 1452 Ю. А. МИТРОПОЛЬСКИЙ, А. М. САМОЙЛЕНКО, В. Н. КАЛИНОВИЧ И ДР. в котором вектор-функция 5 содержит и £ в степенях выше первой. Четвертое слагаемое в уравнении (21) обращается в нуль при выполнении условия (22) которое при заданной матрице Я можно рассматривать как уравнение относи- тельно Ь. Учитывая кососимметричность матрицы Я , при единичных началь- ных условиях получаем Ь в виде ортогональной матрицы. При этом Ь будет матрицей Ляпунова и, следовательно, преобразование (20) не меняет свойств устойчивости исходного уравнения (19). В результате оно преобразуется к виду (23) не содержащему гироскопических структур. Использование уравнения (23) оказалось удобным в некоторых прикладных задачах и, в частности, как показано в работах [40,41], в решении задачи упроч- нения устойчивости гироскопа Лагранжа, установленного на основании, под- верженном вертикальной вибрации. Владимиру Николаевичу удалось получить [41] явное выражение оценки снизу величины частоты вибрации для данного случая, обобщающее известное условие Боголюбова - Капицы для случая стабилизации с помощью верти- кальной вибрации верхнего положения равновесия физического маятника. В течение многих лет В. Н. Кошляков успешно вел преподавательскую ра- боту в высших учебных заведениях Ленинграда, Москвы и Киева, читая общий курс теоретической механики и специальный курс прикладной теории гироско- пов. Лекции В. Н. Кошлякова, отличающиеся ясностью и мастерством изло- жения, неизменно пользовались успехом у слушателей. Итогом препода- вательской деятельности Владимира Николаевича является учебник [42], осно- вывающийся на лекциях, которые автор в течение ряда лет читал в Киевском политехническом институте. Настоящий обзор не отражает в полной мере всех результатов, полученных ученым за его более чем 50-летнюю научную деятельность. 1. Кошляков В. Н. О девиациях гировертикали при переменной скорости собственного вра- щения ротора гироскопа // Ииж. сб. АН СССР. - 1950. - б. - С. 185-196. 2. Кошляков В. Н. О некоторых частных случаях интегрирования динамических уравнений Эйлера, связанных с движением гироскопа в сопротивляющейся среде // Прикл. математика и механика. - 1953. - 1 7 , вып. 2. - С. 137-148. 3. Кошляков В. Н. Теория гироскопических компасов. - М.: Наука, 1972. - 344 с. 4. Кошляков В. Н. К теории гирокомпасов // Прикл. математика и механика. - 1959. - 23, вып. 5 . - С . 810-817. 5. Кошляков В. Н. Об асимптотическом решении уравнений движения гироскопического компаса//Там же. - 1 9 6 0 . - 2 4 , вып. 5. - С. 790-795. 6. Кошляков В. Н. О приводимости уравнений движения гирогоризонткомпаса // Там же. - 1961. -25 , вып. 5 . - С . 801-805. 7. Кошляков В. Н. Об устойчивости гирогоризонткомпаса при наличии диссипативиых сил // Там же. - 1962.-26, вып. 3. - С. 412-417. 8. Кошляков В. N.. Ляшенко В. Ф. Об одном ин теграле в теории гирогоризонткомпаса // Там же. - 1963. - 27, вып. 1. - С. 10-15. 9. Кошляков В. Н„ Ляшенко В. Ф. Об устойчивости гирокомпасов // Там же. - 28, вып. 5. - С.885-887. 10. Кошляков В. Н., Сосницкий С. П. Об устойчивости гирокомпаса // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1969. - № 3. - С. 32-35. 11. Кошляков В. Н. Об устойчивое™ двухроторпых г ироскопических компасов маятникового типа//Навигация и управление движением механических систем. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1980 . -С. 3-8. 12. Кошляков В. Н. К теории гироскопических компасов в свете аналогии с устойчивостью упругих систем//Механика гироскопических сис тем. - Киев: Киев, политехи, ин-т, 1981. - № 1 . - С . 3-11. /55^ 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997, т. 49, №-11 О РАБОТАХ В. Н. КОШЛЯКОВА В ОБЛАСТИ МЕХАНИКИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЙ 1453 13. Кошляков В. Н. К теории устойчивости иеконсервативных систем // Навигация и управ- ление. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. - С. 3-10. 14. Василенко В. П., Кострица А. Н„ Кошляков В. Н. К теории однороторных корректируемых гирокомпасов // Механика твердого тела. - 1967 . - № 2. - С. 38-46. 15. Кошляков В. Н. Задачи динамики твердого тела в прикладной теории гироскопов. - М : Наука, 1985 . -286 с. 16. Кошляков В. Н. Об уравнениях местоположения движущегося объекта // Прикл. мате- матика и механика. - 1964. -28, вып. б . - С . 1135-1137. 17. Кошляков В. Н. О применении параметров Родрига - Гамильтона и Кэйли - Клейна в прик- ладной теории гироскопов / /Там же. - 1 9 6 5 . - 2 9 , вып. 4. - С. 729-733. 18. Кошляков В. И. К вопросу построения некоторого класса решений гиромаятниковой сис- темы // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1975. - № 2. - С. 32-38. 19. Кошляков В. Н. Задача Магнуса в параметрах Родрига - Гамильтона // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1984. - № 4. - С. 4СМ4. 20. Кошляков В. Н. Применение параметров Родрига - Гамильтона в задаче Магнуса // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1 9 8 5 . - № 2. - С. 4 3 ^ 8 . 21. Кошляков В. Н. Обобщенная формула Магнуса / /Докл. АН УССР. Сер. А. - 1985. - № 8. - С. 6-9. 22. Кошляков В. Н. Об уравнениях движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки // Укр. мат. жури. - 1973.-25, № 5. - С. 677-681. 23. Кошляков В. Н. О применении параметров Родрига - Гамильтона и Кэйли - Клейна к за- даче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки / /Там же. - 1974. - 26, N » 2 . - С . 179-187. 24. Кошляков В. Н. Об уравнениях гиростата в параметрах Родрига - Гамильтона // Там же. - № 5 . - С . 657-663. 25. Кошляков В. Н. Уравнения тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, в унитарных и эрмитовых матрицах//Там же. - 1 9 8 1 . - 3 3 , Ns 1. - С. 9—16. 26. Кошляков В. Н. Об уравнениях тяжелого твердого тела, вращающегося около непод- вижной точки, в параметрах Родрига - Гамильтона // Изв. АН СССР. Механика твердого т е л а . - 1 9 8 3 , - № 4 . - С . 16-25. 27. Кошляков В. Н. Об одной из модификаций волчка Лагранжа / / Системы навигации и управления. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. —С. 3-9. 28. Кошляков В. Н. О применении аппарата параметров Родрига - Гамильтона к задаче о дви- жении тяжелого твердого тела около неподвижной точки // Приложение методов теории нелинейных колебаний в механике, физике, электротехнике, биологии. - Киев: Наук, думка, 1984. - Т . З . - С . 145-150. 29. Кошляков В. #., Богуславская Е. С. Об уравнениях движения тяжелого твердого тела в параметрах Родрига - Гамильтона // Системы курсоуказания и инерциалыюй навигации. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1985. - С. 3-9. 30. Кошляков В. И. Об одном случае неустойчивости быстрого вращения тела около верти- кали // Корректируемые навигационные системы. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986. - С . 37-44. 31. Кошляков В. Н. Параметры Родрига - Гамильтона в задачах динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов // Механика и научно-технический прогресс. Т. 1. Общая и прикладная механика. - М . : Наука, 1987 . -С . 117-127. 32. Кошляков В. Н. Об уравнениях движения тяжелого твердого тела в параметрах Родрига - Гамильтона // Укр. мат. жури. - 1988. - 40, № 2. - С. 182-192. 33. Кошляков В. Н. Об одном случае неустойчивости быстровращающегося тяжелого тела // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1988. - № 4. - С. 45-50. 34. Кошляков В. Н. О неустойчивости вертикального вращения тяжелого тела // Укр. мат. журн. - 1989. - 41, № 9. - С. 1214-1221. 35. Кошляков В. Н. Обобщенные уравнения Эйлера в параметрах Родрига - Гамильтона // Устойчивость и управление в механических системах. - Киев: Ин-т математики HAH Ук- раины, 1992. - С. 21-26. 36. Кошляков В. Н. Об одном эффекте неустойчивости в движении быстровращающегося тела вблизи вертикали // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1993. - № 1. - С. 10-19. 37. Кошляков В. Н. Обобщенные уравнения Эйлера в кватерниониых составляющих // Укр. мат. журн. - 1994. - 4 6 , № 10. - С . 1414-1417. 38. Кошляков В. Н. О понижении порядка уравнений движения тяжелого тела вблизи вер- тикали // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1996 . - № 4. - С. 3-7. 39. Кошляков В. Н. Параметры Родрига - Гамильтона и их приложения в механике твердо- го тела. - Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1994. - 176 с. 40. Кошляков В. Н. О структурных преобразованиях уравнений возмущенного движения не- которого класса динамических систем // Укр. мат. жури. - 1997. - 49, № 4. - С. 535-539. 41. Кошляков В. Н. Об устойчивости движения симметричного тела, установленного на вибрирующем основании//Там ж е . - 1 9 9 5 . - 4 7 , N a 1 2 . - C . 1661-1666. 42. Кошляков В. Н. Краткий курс теоретической механики: Учебник. - Киев: Выща шк., 1993. - 3 1 2 с. Получено 10.06.97 ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997, т. 49, N° 11

О работах В. Н. Кошлякова в области механики и ее приложений

Репозитарії

Схожі ресурси